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4: Autovalores y autovectores - Matemáticas

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4: Autovalores y autovectores - Matemáticas

Álgebra 9
teoría de números, variables, operadores, exponenciación, raíces cuadradas,. Geometría analítica 4
líneas, planos, distancias, intersecciones,. Cálculo 11
funciones, derivadas, integrales, extremos, raíces, límites,. Geometría 7
formas, triángulos, cuadriláteros, círculos,. Álgebra lineal 15
vectores, combinaciones lineales, independencia, producto escalar, producto cruzado,. Trigonometría 4
seno, coseno, tangente,.


Polinomio característico¶

¿Cómo encontramos realmente los autovectores y autovalores? Consideremos una matriz cuadrada general (A in mathbb^) con vectores propios ( mathbf in mathbb^ n ) y valores propios ( lambda in mathbb) tal que:

Después de restar el lado derecho:

Por lo tanto, estamos resolviendo un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, pero queremos encontrar soluciones no triviales ( ( mathbf neq mathbf <0> )). Recuerde de la sección sobre espacios nulos que un sistema homogéneo tendrá soluciones distintas de cero si la matriz del sistema es singular, es decir

Este es un polinomio de grado (n ) con raíces ( lambda_1, lambda_2, dots, lambda_k ), (k leq n ). Este polinomio se denomina polinomio característico de (A ), donde las raíces del polinomio son los valores propios. Los autovectores se encuentran luego reemplazando cada autovalor nuevamente en ((A - lambda I) mathbf = mathbf <0> ) y resolviéndolo.

Ejemplo¶

Encontremos los autovalores y autovectores de la siguiente matriz (A in mathbb^ <3 times 3> ):

El polinomio característico es:

Las raíces de este polinomio, que son los valores propios, son // ( lambda_ <1, 2, 3> = 2, 2 pm sqrt <2> //). Ahora, para encontrar los vectores propios, necesitamos reemplazar estos valores en ((A - lambda I) mathbf = 0) .

donde (x_1 ), (x_2 ) y (x_3 ) son entradas del vector propio ( mathbf). La solución puede ser obvia para algunos, pero calculémosla resolviendo este sistema de ecuaciones lineales. Escribámoslo con una matriz aumentada y reduzcamos a RREF intercambiando la 1ra y 2da fila y restando la 1ra fila (2da después del intercambio) de la última fila:

Como se esperaba, no hay una solución única porque requerimos antes que // ((A - lambda I) ) sea singular. Por tanto, podemos parametrizar la primera ecuación: (x_1 = -x_3 ) en términos de la variable libre (x_3 = t, t in mathbb). Leemos de la segunda ecuación que (x_2 = 0 ). El conjunto de soluciones es entonces (<(-t, 0, t) ^ T, t in mathbb> ). Si dejamos (t = 1 ) entonces el vector propio ( mathbf_1 ) correspondiente al valor propio ( lambda_1 = 2 ) es ( mathbf_1 = (-1, 0, 1) ^ T ). Hacemos esto porque solo nos importa la dirección del vector propio y podemos escalarlo arbitrariamente.

Dejamos que los lectores se convenzan de que los otros dos vectores propios son ((1, sqrt <2>, 1) ^ T ) y ((1, - sqrt <2>, 1) ^ T ).

Ejemplo: multiplicidad algebraica y geométrica¶

La ecuación característica es ( det (A - lambda I) = ( lambda - 1) ( lambda - 1) ( lambda + 1) = ( lambda - 1) ^ 2 ( lambda + 1) = 0 ).

Vemos que los valores propios son ( lambda_1 = 1, lambda_2 = -1 ), donde ( lambda_1 ) se repite dos veces. Por tanto decimos que el multiplicidad algebraica, que es el número de veces que se repite un valor propio, de ( lambda_1 ) es 2 y de ( lambda_2 ) es 1.

Encontremos ahora los autovectores correspondientes a estos autovalores. Para ( lambda_1 = 1 ):

La única restricción en nuestro vector propio es que (x_3 = 0 ), mientras que no hay restricciones en (x_1 ) y (x_2 ), pueden ser lo que queramos. En casos como este, todavía tratamos de definir tantos vectores propios linealmente independientes como sea posible, lo que no tiene por qué ser igual a la multiplicidad algebraica de un valor propio. En nuestro caso, podemos definir fácilmente dos vectores linealmente independientes eligiendo (x_1 = 1, x_2 = 0 ) para un vector y (x_1 = 0, x_2 = 1 ) para el otro. Por lo tanto, logramos obtener dos autovectores linealmente independientes correspondientes al mismo autovalor:

El número de vectores propios linealmente independientes correspondientes a un valor propio ( lambda ) se llama multiplicidad geométrica de ese valor propio. La multiplicidad algebraica de ( lambda ) es igual o mayor que su multiplicidad geométrica. Un valor propio para el cual la multiplicidad algebraica (& gt ) multiplicidad geométrica se llama, con bastante dureza, un defectuoso valor propio.

Ahora considere el valor propio no repetido ( lambda_2 = -1 ):

Tenemos (x_1 = 0, x_2 = 0 ) y no hay restricción en (x_3 ), entonces ahora (x_3 ) puede ser cualquier número que queramos. Por simplicidad, elegimos que sea 1. Entonces el vector propio es simplemente


Problema no 3

Solucion:

En este problema tenemos dos vectores propios de la matriz 2 & # 2152 mencionada en el problema. La matriz dada es una matriz triangular superior, ¡si observa!

Y sabemos por propiedades que, valores propios de U.T.M o L.T.M = Principal elementos diagonales

Por lo tanto, los valores propios de la matriz dada son, Λ1 = 1 y Λ2 = 2

Ahora, sustituyendo el valor de la matriz A, primer vector propio (X1) y Λ1 en la ecuación,

A * X1 = Λ1 * X1,

después de realizar la multiplicación de las matrices, podemos calcular el valor de a,

1 + 2a = 1, lo que da a = 0

por favor refiérase a la imagen

de manera similar, sustituyendo el valor de la matriz A, el segundo vector propio (X2) y Λ2 en la ecuación,

A * X2 = Λ2 * X2,

después de realizar la multiplicación de las matrices, podemos calcular el valor de b,


Aquí está la definición más importante de este texto.

Definición

El prefijo alemán "eigen" se traduce aproximadamente como "yo" o "propio". Un vector propio de

es un vector que se lleva a un múltiplo de sí mismo por la transformación matricial

lo que quizás explique la terminología. Por otro lado, "eigen" a menudo se traduce como "característica". Podemos pensar en un vector propio como la descripción de una propiedad intrínseca o característica de

Los autovalores y autovectores son solo para matrices cuadradas.

Los vectores propios son por definición distinto de cero. Los valores propios pueden ser iguales a cero.

No consideramos que el vector cero sea un vector propio: ya que

el valor propio asociado sería indefinido.

Si alguien te entrega una matriz

Por otro lado, dada solo la matriz

no es obvio en absoluto cómo encontrar los vectores propios. Aprenderemos cómo hacer esto en la Sección 6.2.

Ejemplo (verificación de autovectores)
Ejemplo (verificación de autovectores)
Ejemplo (un vector propio con valor propio

son colineal con el origen. Entonces, un vector propio de

se encuentran en la misma línea que pasa por el origen. En este caso,

el valor propio es el factor de escala.

Para las matrices que surgen como la matriz estándar de una transformación lineal, a menudo es mejor dibujar una imagen, luego encontrar los autovectores y autovalores geométricamente estudiando qué vectores no se mueven fuera de su línea. Para una transformación que se define geométricamente, no es necesario ni siquiera calcular su matriz para encontrar los autovectores y autovalores.


Preliminares de matemáticas

Ahora que es una matriz de cambio de base, cada una de sus columnas da las coordenadas a un vector de base de alguna base. Llamemos a esa base y dejemos que pasen los elementos de esa base. Ahora, si tomamos la ecuación anterior y la multiplicamos por a la derecha, observe que

Es decir, la -ésima columna de es igual a la -ésima columna de, que es solo multiplicada por la -ésima columna de. Dado que cada columna de es solo una combinación lineal de las columnas de, sin embargo, tenemos

Esto significa que cuando conectamos la -ésima columna de a la transformación lineal representada por, obtenemos un múltiplo de esa columna. Llamando a la transformación lineal, tenemos que

Los vectores como cuya imagen debajo es solo un múltiplo del vector se llaman vectores propios de . Ese múltiplo, el anterior, se llama un valor propio de . Estos autovectores y autovalores están asociados con una transformación lineal particular, por lo que cuando hablamos de autovectores y autovalores de una matriz, realmente nos referimos a los autovectores y autovalores de la transformación representada por esa matriz. Observe que esto significa que los valores propios son independientes de la base elegida, ya que matrices similares representan la misma transformación solo con respecto a bases diferentes, las matrices similares tienen los mismos valores propios.

Supusimos que era similar a una matriz diagonal anterior, pero esto no siempre es cierto. Si es similar a una matriz diagonal, digamos, entonces, como acabamos de mostrar, las columnas de son vectores propios de. Dado que estos forman las columnas de una matriz no singular, los vectores propios de forman una base para el espacio vectorial. Además, si los vectores propios de forman una base, tomemos & # 8217s esos vectores base como columnas de.

Entonces una matriz es diagonalizable (similar a una matriz diagonal) si y solo si sus autovectores forman una base para el espacio vectorial.


a) Multiplicación escalar: si multiplicamos una columna de una matriz por k el determinante se multiplica por k.

b) Suma de vectores: el determinante de una suma de vectores es igual a la suma de los determinantes.

c) Si los vectores son linealmente dependientes, el determinante es igual a cero.

d) El determinante de una matriz identidad es igual a uno.

e) Si cambiamos el lugar de dos columnas / filas, la señal del determinante cambia.

f) Si A es una matriz cuadrada, entonces

g) Si A, B son matrices cuadradas n x n. Luego


Ecuaciones de valores propios en álgebra lineal y para

En primer lugar, repasemos las ecuaciones de valores propios en álgebra lineal. Suponga que tenemos una matriz (cuadrada) con dimensiones y es un vector columna en dimensiones. La correspondiente ecuación de valor propio tendrá la forma de un número escalar (real o complejo, según el tipo de espacio vectorial). Podemos expresar la ecuación anterior en términos de sus componentes, asumiendo como de costumbre alguna elección específica de base, utilizando las reglas de la multiplicación de matrices. El escalar se conoce como el valor propio de la ecuación, mientras que el vector se conoce como el asociado vector propio.

La característica clave de tales ecuaciones es que la aplicación de una matriz al vector devuelve el vector original hasta un cambio de escala general,. En general, habrá múltiples soluciones para la ecuación de autovalores, cada una caracterizada por un autovalor y autovectores específicos. Tenga en cuenta que en algunos casos uno tiene soluciones degeneradas, donde una matriz dada tiene dos o más autovectores que son iguales.

Para determinar los valores propios de la matriz, necesitamos evaluar las soluciones de los llamados Ecuación característica de la matriz, definida como donde es la matriz identidad de dimensiones, y es el determinante.

Esta relación se sigue de la ecuación de valor propio en términos de componentes.Por lo tanto, la condición de valor propio se puede escribir como un conjunto de ecuaciones lineales acopladas que solo admiten soluciones no triviales si el determinante de la matriz desaparece (la llamada condición de Cramer), lo que lleva a a la ecuación característica.

Una vez que hemos resuelto la ecuación característica, terminamos con valores propios,.

Entonces podemos determinar el vector propio correspondiente resolviendo el sistema correspondiente de ecuaciones lineales

Recordemos que en dimensiones el determinante de una matriz se evalúa como mientras que la expresión correspondiente para una matriz perteneciente a un espacio vectorial en dimensiones se dará en términos de la expresión anterior

Ilustremos cómo calcular autovalores y autovectores considerando un espacio vectorial. Considere la siguiente matriz que tiene asociada la siguiente ecuación característica. Esta es una ecuación cuadrática que sabemos cómo resolver exactamente, y encontramos que los dos valores propios son y.

A continuación, podemos determinar los vectores propios asociados y. Para el primero, la ecuación que debe resolverse es de donde encontramos la condición de que: una propiedad importante de las ecuaciones de valores propios es que los vectores propios solo se fijan hasta un condición de normalización general. Esto debería quedar claro a partir de su definición: si un vector satisface, entonces el vector con alguna constante también satisfará la misma ecuación. Entonces encontramos que el autovalor tiene asociado un autovector y, de hecho, se puede verificar eso como queríamos demostrar. Como ejercicio, puede intentar obtener la expresión del vector propio correspondiente al segundo valor propio.


Ejemplo

Digamos que tenemos que encontrar autovalores y autovectores de matriz GRAMO.

Primero obtendremos la ecuación característica de la matriz GRAMO

luego expandimos determinante para formar una ecuación en términos de lambda.

Finalmente encontraremos los valores de lambda (autovalores) resolviendo la ecuación.

Tenemos los autovalores ahora tenemos que encontrar autovectores. Comenzando con lambda = 5

Después de realizar la multiplicación de matrices obtenemos

La razón de x11 a x12 es 1: (-1) por lo que el primer vector propio de la matriz GRAMO es

De manera similar, podemos encontrar el vector propio de la matriz G cuando lambda = (-1)

y el segundo vector propio de matriz GRAMO es


Encontrar vectores propios

Una vez que haya encontrado los valores propios, ahora está listo para encontrar el vector propio (o los vectores propios) para cada valor propio.

Para encontrar el autovector (o autovectores) asociado con un autovalor dado, resuelva para ## vec## en la ecuación matricial ## (A & # 8211 lambda I) vec = vec <0> ##. Esta acción debe realizarse para cada valor propio.

Ejemplo 2: Encuentre los vectores propios para la matriz ## A = begin 1 & amp 3 -1 & amp 5 end.##

(Esta es la misma matriz que en el Ejemplo 1.)

Trabajar para ## lambda = 4 ##

Para encontrar un vector propio asociado con ## lambda = 4 ##, vamos a resolver la ecuación matricial ## (A & # 8211 4I) vec = vec <0> ## para ## vec##. En lugar de escribir la ecuación matricial como un sistema de ecuaciones, voy a tomar un atajo y usar la reducción de filas en la matriz ## A & # 8211 4I. ## Después de la reducción de filas, escribiré el sistema de ecuaciones que están representadas por la matriz reducida.

En el trabajo que se muestra aquí, supongo que puede resolver un sistema de ecuaciones en forma de matriz, utilizando operaciones de fila para obtener una matriz equivalente en forma de escalón de fila reducido. Usando operaciones de fila en la última matriz anterior, encontramos que la matriz anterior es equivalente a ## begin 1 & amp -1 0 & amp 0 end.##

La última matriz representa este sistema de ecuaciones:

Podemos escribir esto como ## vec = comenzar x_1 x_2 end = x_2 begin 1 1 end##, donde ## x_2 ## es un parámetro.

Un vector propio para ## lambda = 4 ## es ## begin 1 1 end.##

Este no es el único vector propio posible para ## lambda = 4 ## cualquier múltiplo escalar (excepto el múltiplo cero) también será un vector propio.

Como prueba, asegúrese de que ## begin 1 & amp 3 -1 & amp 5 end comenzar 1 1 end = 4 begin 1 1 end##, mostrando así que ## A vec = lambda vec## para nuestro par de autovalores / autovectores.

Trabajar para ## lambda = 2 ##

Usando operaciones de fila para obtener la última matriz en forma escalonada de fila reducida, encontramos que la última matriz de arriba es equivalente a ## begin 1 & amp -3 0 & amp 0 end.##

Esta matriz representa el siguiente sistema de ecuaciones:

Podemos escribir esto como ## vec = comenzar x_1 x_2 end = x_2 begin 3 1 end##, donde ## x_2 ## es un parámetro.

Un vector propio para ## lambda = 2 ## es ## begin 3 1 end.##

Como prueba, asegúrese de que ## begin 1 & amp 3 -1 & amp 5 end comenzar 3 1 end = 2 begin 3 1 end##.

Para el ejemplo final, veremos una matriz de 3 x 3.

Ejemplo 3: Encuentre los autovalores y autovectores para la matriz ## A = begin 1 & amp 0 & amp -4 0 & amp 5 & amp 4 -4 & amp 4 & amp 3 end.##

Debido a que este ejemplo trata con una matriz de 3 x 3 en lugar de la matriz de 2 x 2 de los ejemplos anteriores, el trabajo es considerablemente más largo. La solución que proporciono ganó & # 8217t muestra el nivel de detalle de los ejemplos anteriores. Dejo a los lectores de este artículo que completen los detalles que he omitido.

(Parte A y # 8211 Encontrar los valores propios)

Establezca ## | A & # 8211 lambda I | ## en 0 y resuelva para ## lambda ##.

## Rightarrow begin 1 & # 8211 lambda & amp 0 & amp -4 0 & amp 5 & # 8211 lambda & amp 4 -4 & amp 4 & amp 3 & # 8211 lambda end = 0##

## Flecha derecha - lambda ^ 3 + 9 lambda ^ 2 + 9 lambda & # 8211 81 = 0 ##

## Flecha derecha ( lambda & # 8211 9) ( lambda ^ 2 & # 8211 9) = 0 ##

∴ Los valores propios son ## lambda = 9 ##, ## lambda = 3 ## y ## lambda = -3. ##

He omitido muchos de los pasos anteriores, por lo que debe convencerse expandiendo el determinante y factorizando el polinomio de tercer grado resultante de que los valores que se muestran son los correctos.

(Parte B y # 8211 Encontrar los autovectores)

Mostraré un esquema del trabajo para ## lambda = 9 ##, pero solo mostraré los resultados para los otros dos valores propios, ## lambda = 3 ## y ## lambda = -3 ##.

Trabajar para ## lambda = 9 ##

La última matriz de la derecha es equivalente a ## begin 2 & amp 0 & amp 1 0 & amp 1 & amp -1 2 & amp -2 & amp 3 end.##

Usando operaciones de fila para poner esta matriz en forma escalonada de fila reducida, llegamos a esta matriz completamente reducida:

Esta matriz representa el siguiente sistema de ecuaciones:

Podemos escribir este sistema en forma vectorial, como

## vec = comenzar x_1 x_2 x_3 end = x_3 begin - frac 1 2 1 1 end##, donde ## x_3 ## es un parámetro.

Un vector propio para ## lambda = 9 ## es ## begin - frac 1 2 1 1 end.##

Cualquier múltiplo distinto de cero de este vector propio es también un vector propio, por lo que también podríamos haber elegido ## begin -1 2 2 end## para el vector propio.

Como antes, siempre debe verificar su trabajo, verificando que ## begin 1 & amp 0 & amp -4 0 & amp 5 & amp 4 -4 & amp 4 & amp 3 end comenzar -1 2 2 end = 9 begin -1 2 2 end.##

Resultados para ## lambda = 3 ## y ## lambda = -3 ##

Usando el mismo procedimiento anterior, encuentro que un vector propio para ## lambda = 3 ## es ## begin -2 -2 1 end##, y que un vector propio para ## lambda = -3 ## es ## begin 1 - frac 1 2 1 end. ## Si desea evitar las fracciones, es conveniente elegir ## begin 2 -1 2 end## para un vector propio para ## lambda = -3. ##

Resumen del ejemplo 2

Para la matriz de este ejemplo, los valores propios son ## lambda = 9 ##, ## lambda = 3 ## y ## lambda = -3. ## En el mismo orden, un conjunto de autovectores para estos valores propios es ## left < begin-1 2 2 end, comenzar -2 & # 8211 2 1 end, comenzar 2 -1 2 end right >. ##

Ex profesor universitario de matemáticas durante 19 años enseñó una variedad de lenguajes de programación. Ex redactor técnico durante 15 años en una gran empresa de software con sede en Redmond, WA. Profesorado asociado actual en un colegio comunitario cercano, impartiendo clases en C ++ y arquitectura de computadora / lenguaje ensamblador.
Disfruto deambular fuera de los senderos en el Parque Nacional Olympic, así como montar y jugar con mis cuatro motocicletas.


Ver el vídeo: Autovalores y Autovectores de una matriz. Conceptos básicos (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Bohort

    Y lo he enfrentado. Discutamos esta pregunta. Aquí o en PM.

  2. Taum

    Creo que estabas equivocado. Estoy seguro. Intentemos discutir esto. Escríbeme en PM, te habla.

  3. Tum

    Perdón por fuera de tema, ¿quién vio videos en youtube sobre el fin del mundo? Bueno, sobre el colisionador de hadrones. ¡Da miedo!

  4. Selby

    Felicitaciones, su útil opinión



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