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3.1: Tangente a la gráfica de una función


Elemental y muy importante.

Considere una recta con ecuación,

(y = metro x + b ).

La pendiente, m, de la línea se calcula como el incremento en y dividido por el incremento en x entre dos puntos de la línea, y se puede llamar la tasa de cambio de y con respecto ax.

  • Si y mide el tamaño de la población bacteriana en el tiempo x medido en horas, la pendiente m es el aumento bacteriano por hora, o la tasa de crecimiento bacteriano, con dimensiones, pop / hora.
  • Si y mide la altura de una niña en pulgadas en el año x, entonces m es la tasa de crecimiento de la niña en pulgadas por año.
  • Si y mide una concentración de morfógeno a una distancia x de su fuente en un embrión en desarrollo, m es la tasa de disminución de la concentración, llamada gradiente morfogenético, que causa la diferenciación de tipos celulares específicos en un orden espacial distinto.

La tasa de cambio simple de funciones lineales es crucial para comprender la tasa de cambio de funciones no lineales.

Ejemplo 3.1.1 ¿A qué tasa estaba creciendo la población de Vibrio natriegens de la Sección 1.1 en el tiempo T = 40 minutos?

Tenemos datos para la densidad de población (medida en unidades de absorbancia) en los tiempos T = 0, T = 16, T = 32, T = 48, T = 64 y T = 80, minutos.

Tiempo01632486480
Absorbancia0.0220.0360.0600.1010.1690.266

La tasa de crecimiento promedio entre los tiempos T = 32 y T = 48 es

[ frac {0.101-0.060} {48-32} = 0.0026 quad frac { text {Unidades de absorbancia}} { text {minuto}} ]

y es una estimación bastante buena de la tasa de crecimiento en el tiempo T = 40, particularmente porque 40 está a medio camino entre 32 y 48.

En la Sección 1.1 dejamos que t indexe el tiempo en intervalos de 16 minutos, y usamos el modelo matemático de que el aumento de población durante el tiempo t a t + 1 es proporcional a la población en el tiempo t. Con (B_t ) siendo la población en el índice de tiempo t, escribimos

[B_ {t + 1} -B_ {t} = r times B_ {t} quad text {para} quad t = 0,1,2,3,4,5 label {3.1} ]

Concluimos que

[B_ {t} = 0.022 left ( frac {5} {3} right) ^ {t}, quad text {para} quad t = 0,1,2,3,4,5 ]

En términos de T en minutos y B (T) en unidades de absorbancia, (Ecuación 1.1.5)

[B (T) = 0.022 left ( frac {5} {3} right) ^ {T / 16} = 0.022 cdot 1.032 ^ {T} label {3.2} ]

En la figura 3.1.1A se muestran los datos, los cálculos discretos de la ecuación ref {3.1} y la gráfica de la ecuación ref {3.2}. Un aumento del gráfico cerca de T = 40 minutos se muestra en la Figura 3.1.1B junto con una tangente trazada en (40, B (40)).

Figura ( PageIndex {1} ): A. Gráfica de los datos de V. natriegens (+), la aproximación discreta de la Ecuación ref {3.1} (círculos rellenos) y la gráfica de la Ecuación ref {3.2}. En B se muestra un aumento cercano a T = 40 minutos junto con una tangente a la gráfica de B (T) (Ecuación ref {3.2}) en (40, B (40)).

Nosotros definir la tasa de crecimiento (instantáneo) de una población descrita por B (T) en el tiempo T = 40 como la pendiente de la tangente a la gráfica de B en el tiempo T = 40. Las unidades en la pendiente de la tangente son

[ frac { text {cambio en} mathrm {y}} { text {cambio en} mathrm {x}} = frac { text {Unidades de absorbancia}} { text {Tiempo en segundos}} ]

y son apropiados para la tasa de crecimiento de la población. En la figura 3.1.2 se muestran la tangente y una línea secante entre (32, B (32)) y (48, B (48)). La pendiente de la secante es

[ frac {B (48) -B (32)} {48-32} = frac {0.10185-0.06111} {16} = 0.002546 ]

Esta es la tasa de crecimiento promedio de B y es ligeramente diferente de la tasa de crecimiento promedio (0.0026) calculada a partir de los datos porque B solo se aproxima a los datos (bastante bien, en realidad) y se puede calcular con mayor precisión de lo que es posible con los datos.

Podemos calcular una estimación más cercana de la pendiente de la tangente calculando

[ frac {B (45) -B (35)} {45-35} = frac {0.092549-0.067254} {10} = 0.0025295 ]

Sería posible tener datos de absorbancia a intervalos de 5 minutos y calcular la tasa de crecimiento promedio entre 35 y 45 minutos, pero existen dos dificultades. La principal dificultad es que la absorbancia (en nuestra máquina) solo se puede medir con tres dígitos decimales y la respuesta podría confiarse a solo 3 dígitos decimales, el primero de los cuales es 0. Un segundo problema es que en cada lectura, 10 ml de Se extrae el suero de crecimiento, se analiza en el espectrofotómetro y se desecha. En 80 minutos, se descartarían 160 ml de suero, posiblemente más de lo que estaba inicialmente presente.

Figura ( PageIndex {2} ): Gráfica de B (T), la tangente a la gráfica en (40, B (40)) y la secante a través de (32, B (32)) y (48, B (48)).

Ejemplo 3.1.2 ¿A qué tasa estaba aumentando la población humana mundial en 1980? En la figura 3.1.3 se muestran los datos del siglo XX y una gráfica de una función aproximada, F. Se dibuja una tangente a la gráfica de F en (1980, F (1980)) y tiene una pendiente de (0.0781 cdot 10 ^ {9} = 78, 100, 000 ). Ahora,

[ text {pendiente es} quad frac { text {subida}} { text {correr}} = frac { text {cambio en la población}} { text {cambio en años}} approx frac { text {personas}} { text {año}} ]

Las unidades de pendiente, entonces, son personas / año. Por lo tanto,

[ text {pendiente} = 78,100,000 frac { text {personas}} { text {año}} ]

La población mundial estaba aumentando aproximadamente 78.100.000 personas por año en 1980.

Explorar 3.1.1 ¿Aproximadamente a qué tasa estaba aumentando la población humana mundial en 1920?

Definición 3.1.1 Tasa de cambio de una función en un punto.

Si la gráfica de una función, F, tiene una tangente en un punto (a, F (a)), entonces la tasa de cambio de F en a es la pendiente de la tangente a F en el punto (a, F (a )).

Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico de las estimaciones de las Naciones Unidas de la población humana mundial para el siglo XX, una curva aproximada y una tangente a la curva. La pendiente de la tangente es (0.0781 cdot 10 ^ {9} = 78, 100, 000. )

Figura ( PageIndex {4} ): En ninguno de estos gráficos aceptaremos una recta como tangente al gráfico en el punto (2,3)

Para ser útil, la Definición 3.1.1 requiere una definición de tangente a un gráfico que se da a continuación en la Definición 3.1.3. En algunos casos no habrá tangente. En cada gráfico que se muestra en la Figura 3.1.4 no hay tangente en el punto (3,2) del gráfico. Los estudiantes generalmente están de acuerdo en que no hay tangente en los gráficos A y B, pero a veces discuten sobre el caso C.

Explorar 3.1.2 ¿Está de acuerdo en que no existe una recta tangente a ninguna de las gráficas de la figura 3.1.4 en el punto (3,2)?

En la Figura 3.1.5 se muestran ejemplos de tangentes a gráficos; todas las gráficas tienen tangentes en el punto (2, 4). En la figura 3.1.5C, sin embargo, la línea que se muestra no es la línea tangente. Las gráficas en B y C son iguales y la tangente en (2, 4) es la línea trazada en B.

Una recta tangente a la gráfica de (F ) en un punto ((a, F (a)) ) contiene (a, F (a)) así que para encontrar la tangente solo necesitamos encontrar la pendiente de la tangente, que denotamos por (m_a ). Para encontrar (m_a ) consideramos los puntos (b ) en el dominio de (F ) que son diferentes de ay calculamos las pendientes,

[ frac {F (b) -F (a)} {b-a} ]

de las líneas que contienen ((a, F (a)) ) y ((b, F (b)) ). La línea que contiene ((a, F (a)) ) y ((b, F (b)) ) se llama secante de la gráfica de (F ). La pendiente, ( frac {F (b) - F (a)} {b - a} ), de la secante es una "buena" aproximación a la pendiente de la tangente cuando b está "cerca de" a. En la figura 3.1.6 se muestran una gráfica, una tangente a la gráfica y una secante a la gráfica. Si pudiéramos animar esa figura, deslizaríamos el punto ((b, F (b)) ) a lo largo de la curva hacia ((a, F (a)) ) y mostraríamos la secante moviéndose hacia la tangente.

Figura ( PageIndex {5} ): Todos estos gráficos tienen una tangente al gráfico en el punto (2,4). Sin embargo, la línea dibujada en C no es la tangente.

Figura ( PageIndex {6} ): Una gráfica, una tangente a la gráfica y una secante a la gráfica.

Un sustituto de esta animación se muestra en la Figura 3.1.7. Se muestran tres puntos, (B_ {1}, B_ {2} ) y (B_3 ) con (B_ {1} = (b_ {1}, F (b_ {1})) ), (B_ {2} = (b_ {2}, F (b_ {2})) ) y (B_ {3} = (b_ {3}, F (b_ {3})) ). Los números (b_ {1}, b_ {2} ) y (b_ {3} ) están progresivamente más cerca de (a ), y las pendientes de las líneas discontinuas de (B_ {1}, B_ {2} ), y (B_ {3} ) a ((a, F (a)) ) están progresivamente más cerca de la pendiente de la tangente a la gráfica de (F ) en ( (una, F (una)) ). A continuación, observe el aumento de (F ) en la figura 3.1.7B. La progresión hacia a continúa con (b_ {3}, b_ {4} ) y (b_ {5} ), y las pendientes de (B_ {3}, B_ {4} ) y (B_ {5} ) a ((a, F (a)) ) muévase aún más cerca de la pendiente de la tangente.

Explorar 3.1.3 Es importante en la Figura 3.1.7 que a medida que las coordenadas x (b_ {1}, b_ {2}, cdots ) ​​se acercan a los puntos (B_ {1} = (b_ {1}, F (b_ {1})), B_ {2} = (b_ {2}, F (b_ {2})), cdots ) ​​en el enfoque de curva ((a, f (a)) ). ¿Sería esto cierto en la figura 3.1.4B?

Figura ( PageIndex {7} ): A. Una gráfica y tangente a la gráfica en ((a, F (a)) ). Las pendientes de las líneas secantes de (B_ {1}, B_ {2}, ) y (B_3 ) a ((a, F (a)) ) se mueven progresivamente hacia la pendiente de la tangente. B. Continuó una ampliación de A con la progresión.

Definición 3.1.2

Suponga que (a ) y (b ) son dos números y (a

La notación para intervalo abierto es ambigua. (3,5) podría representar todos los números entre 3 y 5 o podría representar el punto en el plano cuyo par de coordenadas es (3,5). El contexto de su uso debe aclarar su significado.

Definición 3.1.3

Suponga que el dominio de una función (F ) contiene un intervalo abierto que contiene un número (a ). Suponga además que hay un número (m_a ) tal que para los puntos (b ) en el intervalo diferente de (a ),

[ text {as} b text {se acerca} a quad frac {F (b) -F (a)} {b-a} quad text {se acerca} m_a ]

Entonces (m_a ) es la pendiente de la tangente a (F ) en ((a, F (a)) ). La gráfica de (y = F (a) + m_ {a} (x - a) ) es la tangente a la gráfica de (F ) en ((a, F (a)) ).

Estamos progresando. Ahora tenemos una definición de tangente a un gráfico y, por lo tanto, le hemos dado significado a la tasa de cambio de una función. Sin embargo, debemos darle sentido a la frase

[ text {as} b text {se acerca} a quad frac {F (b) -F (a)} {b-a} quad text {se acerca} m_a ]

Esta frase es un puente entre la geometría y el cálculo analítico y se define formalmente en la Definición 3.2.1. Primero lo usamos de forma intuitiva. Algunos estudiantes prefieren una declaración alternativa, igualmente intuitiva:

[ text {if} b text {está cerca de} a quad frac {F (b) -F (a)} {b-a} quad text {está cerca de} m_ {a} ]

Ambas frases son útiles.

Considere la parábola, que se muestra en la figura 3.1.8,

[F (t) = t ^ {2} quad text {para todos} t text {y un punto} left (a, a ^ {2} right) text {of} F ]

Figura ( PageIndex {8} ): La parábola, (F (t) = t ^ 2 ), una tangente a la parábola en ((a, a ^ {2}) ), y una secante a través de ((a, a ^ {2} ) ) y ((b, b ^ {2}) ).

La pendiente de la secante es

[ frac {F (b) -F (a)} {ba} = frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {ba} = frac {(ba) (b + a)} {ba} = b + a ]

Aunque los "enfoques" no se han definido con cuidado, no debería sorprenderle si llegamos a la conclusión de que

[ text {as} b text {se acerca} a quad frac {F (b) -F (a)} {ba} = frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {ba } = b + a quad text {enfoques} quad a + a = 2 a. ]

Alternativamente, podríamos concluir que

[ [ text {if} b text {está cerca de} a quad frac {F (b) -F (a)} {ba} = frac {b ^ {2} -a ^ {2 }} {ba} = b + a quad text {está cerca de} quad a + a = 2 a. ]

Llegamos a cualquier conclusión, y junto con ella concluimos que la pendiente de la tangente a la parábola (y = x ^ 2 ) en el punto ((a, a ^ {2}) ) es (2a ) . Además, la tasa de cambio de (F (t) = t ^ 2 ) en (a ) es (2a ). Este es el primero de muchos ejemplos.

Explore 3.1.4 Haga esto. Utilice su intuición para responder las siguientes preguntas. No responderás g. o h. fácilmente, si es que lo hace, pero piénselo.

un. Cuando b se acerca a 4, ¿a qué número se acerca (3b )?

B. Cuando b se acerca a 2, ¿a qué número se acerca (b ^ 2 )?

C. Si b está cerca de 5, ¿a qué número se acerca (3b + b ^ 3 )?

D. Cuando b se acerca a 0, ¿a qué número se acerca ( frac {b ^ 2} {b} )?

mi. Si b está cerca de 0, ¿a qué número se acerca (2 ^ b )?

F. Cuando b se acerca a 0, ¿ ( frac {2 ^ b} {b} ) se acerca a un número?

gramo. Cuando b se acerca a 0, ¿a qué número se acerca ( frac { sin {b}} {b} )? Usa medidas de ángulos en radianes.

gramo*. Si b está cerca de 0, ¿a qué número se acerca ( frac { sin {b}} {b} )? Usa medidas de ángulos en radianes.

h. Cuando b se acerca a 0, ¿a qué número se aproxima ( frac {2 ^ {b} −1} {b} )?

h *. Si b está cerca de 0, ¿a qué número se acerca ( frac {2 ^ {b} −1} {b} )?

Uno puede buscar una respuesta a c., Por ejemplo, eligiendo un número, b, cercano a 5 y calculando (3 b + b ^ 3 ). Considere 4,99 que algunos considerarían cercano a 5. Entonces (3 cdot 4,99 + 4,99 ^ {3} ) es 139,22. 4.99999 está aún más cerca de 5 y (3 cdot 4.99999 + 4.99999 ^ {3} ) es 139.99922. Se puede suponer que 3b + b 3 está cerca de 140 si b está cerca de 5. Por supuesto, en este caso, (3 b + b ^ 3 ) puede evaluarse para b = 5 y es 140. Las aproximaciones parecen superfluas.

Explorar 3.1.5 Elemento g *. es más interesante que el elemento c porque ( frac { sin b} {b} ) no tiene sentido para (b = 0 ). Calcule ( frac { sin b} {b} ) para (b = 0.1, b = 0.01 ) y (b = 0.001 ) (pon tu calculadora en modo radianes) y responda la pregunta de g *.

El elemento h es más interesante que g *. Mira los siguientes cálculos.

[ begin {array} {lc}
b = 0.1 & frac {2 ^ {0.1} -1} {0.1} = 0.717734625
b = 0.01 & frac {2 ^ {0.01} -1} {0.01} = 0.69555006
b = 0,001 & frac {2 ^ {0,001} -1} {0,001} = 0,69338746
b = 0.0001 & frac {2 ^ {0.000001} -1} {0.000001} = 0.6931474
end {matriz} ]

No está claro a qué se acercan los números de la derecha y, además, el número de dígitos informados está disminuyendo. Esto se explicará cuando calculemos la derivada de las funciones exponenciales en el Capítulo 5.

Explorar 3.1.6 Configure su calculadora para que muestre el número máximo de dígitos que mostrará. Calcule (2 ^ {0.00001} ) y explique por qué el número de dígitos reportados está disminuyendo en los cálculos anteriores.

Es probable que su calculadora tenga un botón marcado como "LN" o "Ln" o "ln". Use ese botón para calcular (ln {2} ) y comparar (ln {2} ) con los cálculos anteriores.

Nota

En los siguientes ejemplos, le resultará útil recordar que para los números ayb yn un entero positivo,

[b ^ {n} -a ^ {n} = (ba) left (b ^ {n-1} + b ^ {n-2} a + b ^ {n-3} a ^ {2} + cdots + b ^ {2} a ^ {n-3} + ba ^ {n-2} + a ^ {n-1} right) label {3.3} ]

Problema. Encuentre la tasa de cambio de

[F (t) = 2 t ^ {4} -3 t quad text {en} quad t = 2 ]

De manera equivalente, encuentre la pendiente de la tangente a la gráfica de F en el punto (2,26).

Solución. Para (b ) un número diferente de 2,

[ begin {alineado}
frac {F (b) -F (2)} {b-2} & = frac { left (2 b ^ {4} -3 b right) - left (2 cdot 2 ^ {4} -3 cdot 2 right)} {b-2}
& = 2 frac {b ^ {4} -2 ^ {4}} {b-2} -3 frac {b-2} {b-2}
& = 2 left (b ^ {3} + b ^ {2} cdot 2 + b cdot 2 ^ {2} + 2 ^ {3} right) -3
end {alineado} ]

Afirmamos que

[ text {Como} b text {se acerca} 2, quad frac {F (b) -F (2)} {b-2} = 2 left (b ^ {3} + b ^ {2 } cdot 2 + b cdot 2 ^ {2} + 2 ^ {3} right) -3 quad text {se acerca} 61. ]

Por lo tanto, la pendiente de la tangente a la gráfica de F en (2,26) es 61, y la tasa de cambio de (F (t) = 2 t ^ {4} -3 t ) en (t = 2 ) es 61. Una ecuación de la tangente a la gráfica de F en (2,26) es

[ frac {y-26} {t-2} = 61, quad y = 61 t-96 ]

Las gráficas de F y (y = 61t - 96 ) se muestran en la Figura 3.1.9.

Figura ( PageIndex {9} ): Gráficas de (F (t) = 2 t ^ {4} -3 t ) y la recta (y = 61t - 96 ).

Problema. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de

[F (t) = frac {1} {t ^ {2}} quad text {en el punto} quad (2,1 / 4) ]

Figura ( PageIndex {10} ): A. Gráficas de (F (t) = 1 / t ^ {2} ) y una secante a la gráfica a través de ( left (b, 1 / b ^ {2} right) ) y (2, 1/4). Gráficas de (F (t) = 1 / t ^ {2} ) y la línea (y = -1 / 4 t + 3/4 ).

Solución. Gráficas de (F (t) = 1 / t ^ 2 ) y una secante a la gráfica a través de los puntos ((b, 1 / b ^ {2}) ) y (2, 1/4) para una En la figura 3.1.10A se muestra un número (b ) distinto de 2.

La pendiente de la secante es

[ begin {alineado}
frac {F (b) -F (2)} {b-2} & = frac { frac {1} {b ^ {2}} - frac {1} {2 ^ {2}}} { b-2}
& = frac {2 ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2} cdot 2 ^ {2}} frac {1} {b-2}
& = - frac {2 + b} {2 ^ {2} cdot b ^ {2}} quad text {Ver ecuación 3.1.19}
end {alineado} ]

Afirmamos que

[ text {Como} b text {se acerca} 2, quad frac {F (b) -F (2)} {b-2} = - frac {2 + b} {2 ^ {2} cdot b ^ {2}} quad text {se acerca} quad- frac {1} {4} ]

Una ecuación de la línea que contiene (2, 1/4) con pendiente -1/4 es

[ frac {y-1/4} {t-2} = - 1/4, quad y = - frac {1} {4} t + frac {3} {4} ]

Ésta es una ecuación de la recta tangente a la gráfica de [F (t) = 1 / t ^ {2} ] en el punto (2, 1/4). Las gráficas de (F ) y (y = -1 / 4 t + 3/4 ) se muestran en la figura 3.1.10B.

Explorar 3.1.7 En Explore, la figura 3.1.7 es la gráfica de (y = sqrt [3] {x} ). ¿Tiene la gráfica una tangente en (0,0)? Tu voto cuenta.

Explore la Figura 3.1.7 Gráfica de (y = sqrt [3] {x} )

Problema. ¿A qué tasa aumenta la función (F (x) = sqrt [3] {x} ) en t = 8?

Solución. Para un número b no igual a 8,

[ begin {alineado}
& frac {F (b) -F (8)} {b-8} = frac { sqrt [3] {b} - sqrt [3] {8}} {b-8}
& = frac { sqrt [3] {b} -2} {( sqrt [3] {b}) ^ {3} -2 ^ {3}} quad text {¡Rayo! Vea la figura 3.1.11}
& = frac {1} {( sqrt [3] {b}) ^ {2} + sqrt [3] {b} cdot 2 + 2 ^ {2}}
end {alineado} ]

Ahora afirmamos que

[ text {as} b text {se acerca} 8 quad frac {F (b) -F (8)} {b-8} = frac {1} {( sqrt [3] {b} ) ^ {2} + sqrt [3] {b} cdot 2 + 2 ^ {2}} quad text {enfoques} quad frac {1} {12} ]

Por lo tanto, la tasa de aumento de (F (t) = sqrt [3] {t} ) en t = 8 es 1/12. En la figura 3.1.12 se muestra una gráfica de (F (t) = sqrt [3] {t} ) y (y = t / 12 + 4/3 ).

Patrón. En cada uno de los cálculos que hemos mostrado, comenzamos con una expresión para

[ frac {F (b) -F (a)} {b-a} ]

eso no tenía sentido para (b = a ) debido a (b - a ) en el denominador. Hicimos un reordenamiento algebraico que neutralizó el factor (b - a ) en el denominador y obtuvimos una expresión (E (b) ) tal que

  1. ( frac {F (b) -F (a)} {b-a} = E (b) ) para (b neq a ), y
  2. (E (a) ) está definido, y
  3. Cuando (b ) se acerca a (a ), (E (b) ) se acerca a (E (a) )

A Rayo señala un paso que es sorprendente, misterioso, oscuro o de dudosa validez, o que se probará en capítulos posteriores. Piense en Zeus en la cima del Monte Olimpo emitiendo atronadoras proclamas en medio de la oscuridad y los relámpagos.

Figura ( PageIndex {11} ): Figura de Zeus de http://en.wikipedia.org/wiki/Zeus. La imagen es de Sdwelch1031

Figura ( PageIndex {12} ): Gráficas de (F (t) = sqrt [3] {t} ) y la línea (y = t / 12 + 4/3 ).

Luego afirmamos que

[ text {como} b text {se acerca} a quad frac {F (b) -F (a)} {b-a} quad text {se acerca} quad E (a) text {. } ]

Este patrón le servirá bien hasta que consideremos funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas donde se requiere más que un reordenamiento algebraico para neutralizar el factor (b - a ) en el denominador. El artículo 3 de esta lista suele recibir escasa atención, pero merece su consideración.

Ejercicios para la sección 3.1, Tangente a la gráfica de una función.

Ejercicio 3.1.1 Calcule la tasa de crecimiento de la población de V. natriegens de la tabla 1.1 en el tiempo t = 56 minutos.

Ejercicio 3.1.2 Calcule la tasa de crecimiento de (B (T) = 0.022 ) en el momento a. T = 56 minutos, b. T = 30 minutos, c. T = 0 minutos.

Ejercicio 3.1.3 En el ejercicio, la figura 3.1.3 muestra el volumen ventricular del corazón durante un latido normal de 0,8 segundos. Durante la sístole, el ventrículo se contrae y empuja la sangre hacia la aorta. Encuentre aproximadamente la tasa de flujo en ml / seg de sangre en la aorta en el tiempo t = 0.2 segundos. Encuentre aproximadamente el flujo máximo de sangre en la aorta.

Figura del ejercicio 3.1.3 Gráfico del volumen ventricular durante un latido cardíaco normal. Modelado según el gráfico de la figura 9.13.

Ejercicio 3.1.4 En el ejercicio, la figura 3.1.4 es una gráfica de las densidades del aire en (kg / m ^ 3 ) como una función de la altitud en metros (Atmósferas estándar de los EE. UU. DC, octubre de 1976). Encontrarás la tasa de cambio de densidad con la altitud. Debido a que la variable independiente es la altitud, una distancia, la tasa de cambio se denomina comúnmente degradado.

  1. ¿A qué tasa cambia la densidad del aire con el aumento de la altitud a una altitud = 2000 metros? Alternativamente, ¿cuál es el gradiente de densidad del aire a 2000 metros?
  2. ¿Cuál es el gradiente de densidad del aire a una altitud = 5000 metros?
  3. ¿Cuál es el gradiente de densidad del aire a una altitud = 8000 metros?

Figura del ejercicio 3.1.4 Gráfico de la densidad del aire ((kg / m ^ {3}) ) frente a la altitud (m)

Ejercicio 3.1.5 Una abeja africana Apis mellifera scutellata fue introducida en Brasil en 1956 por genetistas que esperaban aumentar la producción de miel con un cruce entre la abeja africana, que era nativa de los trópicos, y la especie europea comúnmente utilizada por los apicultores en América del Sur y en los Estados Unidos. Veintiséis reinas africanas escaparon a la naturaleza en 1957 y la posterior población salvaje ha sido muy agresiva y ha interrumpido o eliminado la producción comercial de miel en las áreas donde se han extendido.

En el ejercicio, la figura 3.1.5 es un mapa.1 que muestra las regiones ocupadas por la abeja africana en los años 1957 a 1983, y proyecciones de las regiones que serían ocupadas por las abejas durante 1985-1995.

  1. ¿A qué ritmo avanzaron las abejas durante 1957 a 1966?
  2. ¿A qué ritmo avanzaron las abejas durante 1971 a 1975?
  3. ¿A qué ritmo avanzaron las abejas durante 1980 a 1982?
  4. ¿A qué ritmo se asumió que las abejas avanzarían durante 1983-1987?

Figura del ejercicio 3.1.5 La propagación de la abeja africana desde Brasil hacia América del Norte. Las curvas sólidas con fechas representan la dispersión observada. Las curvas de trazos y las fechas son proyecciones de dispersión.

Ejercicio 3.1.6 Si b se acerca a 3

  1. (b ) se acerca a __________.
  2. (2 div b ) se acerca a __________. Nota: Ni 0.6666 ni 0.6667 es la respuesta.
  3. ( pi ) se acerca a __________.
  4. ( frac {2} { sqrt {b} + sqrt {3}} ) se acerca a __________. Nota: Ni 0.577 ni 0.57735026919 es la respuesta.
  5. (b ^ {3} + b ^ {2} + b ) se acerca a __________.
  6. ( frac {b} {1 + b} ) se acerca a __________.
  7. (2 ^ {b} ) se acerca a __________.
  8. ( log _ {3} b ) se acerca a __________.

Ejercicio 3.1.7 En un estudio clásico2, David Ho y sus colegas trataron a pacientes infectados por el VIH-1 con ABT-538, un inhibidor de la proteasa del VIH-1. La proteasa del VIH-1 es una enzima necesaria para la replicación viral, de modo que el inhibidor interrumpe la reproducción viral del VIH. El ARN viral es una medida de la cantidad de virus en el suero. Los datos que muestran la cantidad de ARN viral presente en el suero durante dos semanas después de la administración del fármaco se muestran en la Tabla Ej. 3.1.7 para uno de los pacientes. Antes del tratamiento, el ARN viral en suero de los pacientes era aproximadamente constante a 180.000 copias / ml. El día 1 del tratamiento, la producción viral se eliminó eficazmente y no se produjo ningún virus nuevo durante aproximadamente 21 días, después de lo cual surgió un mutante viral que era resistente a ABT-538. La velocidad a la que el ARN viral disminuyó el día 1 del tratamiento es una medida de la rapidez con la que el sistema inmunológico del paciente eliminó el virus antes del tratamiento.

  1. Calcule una estimación de la velocidad a la que disminuyó el ARN viral el día 1 del tratamiento.
  2. Suponga que el sistema inmunológico del paciente eliminó el virus al mismo ritmo antes del tratamiento. ¿Qué porcentaje del virus presente en el paciente fue destruido por el sistema inmunológico del paciente cada día antes del tratamiento?
  3. ¿A qué velocidad se reprodujo el virus en ausencia de ABT-538?

Tabla del ejercicio 3.1.7 Copias de ARN / ml en un paciente durante el tratamiento con un inhibidor de la proteasa del VIH-1.

Observado

Tiempo

Dias

Copias de ARN / ml

Miles

180
450
818
119.5
155

Ejercicio 3.1.8 Como se muestra en la Figura Ej. 3.1.8 es la gráfica de la recta, (y = 0.5 x ), y el punto (2,1).

  1. ¿Existe una tangente a la gráfica de (y = 0.5 x ) en el punto (2,1)?
  2. Suponga que (H (t) = 0.5 t ) es la altura en pies de agua por encima del nivel de inundación en un río (t ) horas después de la medianoche. ¿A qué tasa sube el agua en el momento t = 2 am?

Figura del ejercicio 3.1.8 Gráfica de la recta (y = 0.5x ). Vea el ejercicio 3.1.8.

Ejercicio 3.1.9 Ver figura Ej. 3.1.9. Sea A el punto (3,4) del círculo

[x ^ {2} + y ^ {2} = 25 ]

Sea B un punto del círculo diferente de A. ¿A qué número se aproxima la pendiente de la línea que contiene A y B cuando B se acerca a A?

Figura del ejercicio 3.1.9 Gráfica del círculo (x ^ {2} + y ^ {2} = 25 ) y una secante que pasa por (3,4) y un punto B. Vea el ejercicio 3.1.9.

Ejercicio 3.1.10 Tecnología. Suponga que se observa que la concentración plasmática de penicilina en un paciente después de la inyección de 1 gramo de penicilina es

[P (t) = 200 cdot 2 ^ {- 0.03 t} ]

donde (t ) es el tiempo en minutos y (P (t) ) es ( mu g / ml ) de penicilina. Utilice los siguientes pasos para aproximar la velocidad a la que cambia el nivel de penicilina en el tiempo t = 5 minutos y en t = 0 minutos.

  1. t = 5 minutos. Dibuja la gráfica de (P (t) ) vs (t ) para (4.9 leq t leq 5.1 ). (El gráfico debe parecer una línea recta en este breve intervalo).
  2. Complete la tabla de la izquierda, calculando las tasas promedio de cambio del nivel de penicilina.
(B) ( frac {P (b) -P (5)} {b-5} )
4.9-3.7521
4.95
4.99
4.995
5.005
5.01
5.05
5.1-3.744
(B) ( frac {P (b) -P (0)} {b-0} )
-0.1OMITIR
-0.05OMITIR
-0.01OMITIR
-0.005OMITIR
0.005
0.01
0.05
0.1-4.155
  1. ¿Cuál es su mejor estimación de la tasa de cambio del nivel de penicilina en el tiempo (t = 5 ) minutos? Incluya unidades en su respuesta.
  2. t = 0 minutos. Complete la segunda tabla de arriba. Las entradas OMIT en la segunda tabla se refieren al hecho de que el nivel de penicilina, (P (t) ), puede no estar dado por la fórmula para valores negativos de tiempo, (t ). ¿Cuál es su mejor estimación de la tasa de cambio del nivel de penicilina en el tiempo (t = 0 ) minutos?

Ejercicio 3.1.11 El paciente del ejercicio 3.1.10 tenía un nivel de penicilina 200 ( mu g / ml ) en el momento t = 0 después de una inyección de 1 gramo. ¿Cuál es el volumen aproximado de la reserva vascular del paciente? Si quisiera mantener el nivel de penicilina del paciente en 200 ( mu g / ml ), ¿a qué velocidad infundiría penicilina continuamente al paciente?

Ejercicio 3.1.12 Encuentra ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de la función F en los puntos indicados.

  1. (F (t) = t ^ {2} ) en (2, 4)
  2. (F (t) = t ^ {2} +2 ) en (2, 6)
  3. (F (t) = t + 1 ) en (2, 3)
  4. (F (t) = 3 t ^ {3} -4 t ^ {2} ) en (1, -1)
  5. (F (t) = 1 / (t + 1) ) en (1, 1/2)
  6. (F (t) = sqrt [4] {t} ) en (1, 1)

Ejercicio 3.1.13 Encuentre las tasas de cambio de la función F en los puntos indicados.

un. (F (t) = t ^ {3} ) en (2, 8)
B. (F (t) = 1 / t ) en (2, 1/2)
C. (F (t) = 2 t + t ^ {2} ) en (2,8)
D. (F (t) = sqrt {t} ) en (4, 2)
mi. (F (t) = t / (t + 1) ) en (1, 1/2)
F. (F (t) = (t + 1) / t ) en (1, 2)

Figura del ejercicio 3.1.14 Una parábola con vértice en A y una secante que pasa por A y un punto B. Vea el ejercicio 3.1.14.

1 Orley R. Taylor, Abejas africanas: impacto potencial en los Estados Unidos, Bull Ent Soc of America, Invierno de 1985, 15-24. Copyright, 1985, Sociedad Entomológica de América.

2 David D. Ho, Avidan U Neumann, Alan S. Perlson, Wen Chen, John M. Leonard y Martin Markowitz, Recambio rápido de viriones plasmáticos y linfocitos CD4 en la infección por VIH-1, Naturaleza 373, 123-126, (1995)


Gráfico de la función tangente (tan) - Trigonometría

Para graficar la función tangente, marcamos el ángulo a lo largo del eje x horizontal, y para cada ángulo, colocamos la tangente de ese ángulo en el eje y vertical. El resultado, como se ve arriba, es una curva bastante irregular que va al infinito positivo en una dirección y al infinito negativo en la otra.

En el diagrama de arriba, arrastre el punto A alrededor en una trayectoria circular para variar el ángulo CAB. Al hacerlo, el punto del gráfico se mueve para corresponder con el ángulo y su tangente. (Si marca la casilla "modo progresivo", la curva se dibujará a medida que mueva el punto A en lugar de trazar la curva existente).


En ejes separados, dibuje con precisión cada una de las siguientes funciones para ( text <0> text <& # 176> leq theta leq text <360> text <& # 176> ):

Para cada función, determine lo siguiente:

Funciones de la forma (y = tan (k theta) ) (EMBHB)


3.1: Tangente a la gráfica de una función

Derivadas en el boceto de curvas

Las derivadas pueden ayudar a graficar muchas funciones. ¡La primera derivada de una función es la pendiente de la recta tangente para cualquier punto de la función! Por lo tanto, indica cuándo la función aumenta, disminuye o dónde tiene una tangente horizontal. Considere el siguiente gráfico:

Observe que en el lado izquierdo, la función está aumentando y la pendiente de la recta tangente es positiva. En el punto del vértice de la parábola, la tangente es una línea horizontal, lo que significa que f '(x) = 0 y en el lado derecho la gráfica es decreciente y la pendiente de la línea tangente es negativa.

Estas observaciones conducen a una generalización para cualquier función f (x) que tenga una derivada en un intervalo I :

  • 1) Si f '(x)> 0 en un intervalo I, entonces la gráfica de f (x) aumenta cuando x aumenta.
  • 2) Si f '(x)

¡Aquí hay algunos gráficos de cada una de las observaciones hechas arriba!

¡Algunas observaciones sobre los gráficos anteriores!

1) Para ser un punto mínimo, el gráfico debe cambiar de dirección de decreciente a creciente.

2) Para ser un punto máximo, el gráfico debe cambiar de dirección de creciente a decreciente.

3) Para ser un punto de inflexión, el gráfico no cambia de dirección. En el ejemplo anterior (uno en el medio) aumenta antes de f '(c) = 0 y sigue aumentando después. También puede tener uno con la gráfica decreciente en ambos lados.

    1) Encuentre los puntos críticos (máximo, mínimo o puntos de inflexión) de la función f (x) = x 3 + 3x 2 - 4. Luego grafique la función.
      a) Encuentre los puntos críticos encontrando f '(x).
          Encuentre los ceros resolviendo f '(x) = 0

        Sustituya estos valores en la función original para encontrar los valores y de los puntos críticos. Los puntos son (0, -4) y (-2, 0)

        b) Use la derivada para encontrar dónde la gráfica aumenta y disminuye tomando valores de x en cada una de las tres áreas formadas por los dos puntos críticos. El siguiente cuadro muestra los resultados

        f '(x)
        x & lt -2 +
        x = -2 0
        -2 & lt x & lt 0 -
        x = 0 0
        x & gt 0 +

        El gráfico muestra que (-2, 0) es un máximo local. y (0, -4) es un min local. ¡Se nota por los cambios de señal!

        c) Encuentra los ceros de la función original. Estas son las intersecciones con el eje x. ¡Puedes usar la división sintética y la factorización para encontrar los ceros! Son (-2, 0) (raíz doble) y (1, 0)

        d) Encuentra la intersección con el eje y. Ésta es la constante de la función original. (0, -4)

        e) Ahora tome el límite cuando x va a ambos infinitos de la función original.


        Gráfico de la función tangente - Concepto

        ¡Norm fue cuarto en los Nacionales de Halterofilia de Estados Unidos de 2004! Todavía entrena y compite ocasionalmente, a pesar de su apretada agenda.

        Para gráfico de función tangente, cree una tabla de valores y trácelos en el plano de coordenadas. Dado que tan (theta) = y / x, siempre que x = 0 la función tangente no está definida (dividir por cero no está definida). Estos puntos, en theta = pi / 2, 3pi / 2 y sus múltiplos enteros, se representan en un gráfico mediante asíntotas verticales, o valores que la función no puede igualar. Debido a la simetría del círculo unitario sobre el eje y, el período es pi / 2.

        Quiero graficar la función tangente. Tengo una tabla de valores escrita aquí y la definición de la función tangente en el círculo unitario aquí. Ahora aquí está el círculo unitario. Quiero recordarles que otra forma de ver la función tangente es la pendiente del lado terminal op. ¿Porqué es eso? Bueno, es porque dibujas este pequeño triángulo aquí, el lado vertical del triángulo es y y el lado horizontal es x, donde xey son estas coordenadas. Y la pendiente de esta línea sería y sobre x aumento sobre ejecución. Entonces y sobre x es la pendiente de op y eso nos ayuda a ver cómo se comporta la tangente. Pero la tangente me da la pendiente de esta línea.
        Está bien. Empecemos por trazar algunos puntos, volveré al tema de la pendiente en un segundo. El primer punto es 0 0, que va justo ahí. Y solo voy a usar estos 2 puntos. Pi sobre 4, 1. Pi sobre 4 está a medio camino entre 0 y pi sobre 2, así que aquí. And I'm going to make this 1. So here is pi over 4, 1. And then pi over 3, root 3. Root 3 is approximately 1.7, so I'm going to plot that as 1.7, and pi over 3 is two thirds the way from 0 to pi over 2. So this is pi over 3 right there. Bueno. If that's 1.5 and that's 2, 1.7 is about here. So there's my point and I draw my curve. It increases very rapidly like that and it actually has a vertical asymptote. It just increases steep more steeply and steeply as x approaches or as theta rather approaches pi over 2. And the reason for that is again it comes back to slope. As this angle gets closer and closer to pi over 2, the slope of this line gets steeper and steeper. It's approaching infinity and that's why the tangent zooms off to infinity.
        So know this graph because in a future episode, we're going to extend this in both directions because tangent's actually defined for all real numbers.


        A: Given, Amount = A = 2130 OMR Rate of interest = r = 8% Time period = t = 2 years We have to fin.

        R: Haga clic para ver la respuesta

        Q: 2. With the help of polar coordinates and the following formula, find the surface area of the parabo.

        A: Given that the paraboloid is z=3x2+3y2 which lies under the plane z=27.

        Q: Determine the area in the second quadrant enclosed by the equation y = 2x + 4 and the x- and y-axes.

        A: Here we have to Determine the area in the second quadrant enclosed by the equation y=2x+4 and the x.

        Q: f(x + h) – f(x) For f(x) = x² – 4x + 7, find h

        R: Haga clic para ver la respuesta

        Q: Express the interval in terms of an inequality involving absolute value. [−2, 2]

        A: The modulus of a number is equal to non-negative number a when the number is one of ±a. The solution.

        Q: . If f(x) = 2x3 - 3x2 + 4x - 1 and g(x) = 2, find (f ∘ g) (x) and (g ∘ f) (x)

        R: Haga clic para ver la respuesta

        Q: What is the derivative of `y=ln x`?

        R: Haga clic para ver la respuesta

        Q: In the given question , consider a particle moving along the x-axis, where x (t) is the position of .


        Tangent Function

        A series of free, online Trigonometry Video Lessons.
        Videos, worksheets, and activities to help Trigonometry students.

        In this lesson, we will learn

        • how to define the tangent function using the unit circle
        • how to evaluate the tangent function
        • how to graph the tangent function
        • how to transform the graph of tangent functions
        • how to find the x-intercepts and vertical asymptotes of the tangent function

        The Tangent Function

        In right triangle trigonometry (for acute angles only), the tangent is defined as the ratio of the opposite side to the adjacent side. The unit circle definition is tan(&theta)=y/x or tan(&theta)=sin(&theta)/cos(&theta). The tangent function is negative whenever sine or cosine, but not both, are negative: the second and fourth quadrants. Tangent is also equal to the slope of the terminal side.

        Evaluating the Tangent Function

        When evaluating the tangent function, to find values of the tangent function at different angles, we first identify the reference angle formed by the terminal side and the x-axis. Then, we find the tangent of this reference angle and, based on which quadrant the terminal side is in, decide if tangent is positive or negative. Tangent is positive in the first and third quadrants, where both sine and cosine are positive and both are negative.

        Graph of the Tangent Function

        For a tangent function graph, create a table of values and plot them on the coordinate plane. Since tan(theta)=y/x, whenever x=0 the tangent function is undefined (dividing by zero is undefined). These points, at theta=pi/2, 3pi/2 and their integer multiples, are represented on a graph by vertical asymptotes, or values the function cannot equal. Because of unit circle symmetry over the y-axis, the period is pi/2.

        Transforming the Tangent Graph

        When graphing a tangent transformation, start by using a theta and tan(theta) t-table for -pi/2 to pi/2. In the case of y = Atan(Bx) or y = Atan(B(x - h)), define Bx or B(x - h) to be equal to theta and solve for x. Now use this equation to create a x and Atan(Bx) or Atan(B(x - h)) table, which will give coordinate pairs to plot.

        Intercepts and Asymptotes of Tangent Functions

        The tangent identity is tan(theta)=sin(theta)/cos(theta), which means that whenever sin(theta)=0, tan(theta)=0, and whenever cos(theta)=0, tan(theta) is undefined (dividing by zero). When the tangent function is zero, it crosses the x-axis. Therefore, to find the intercepts, find when sin(theta)=0. To find the vertical asymptotes determine when cos(theta)=0.

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        How to Find Horizontal Tangent Lines

        Look for places on a graph where the slope (a.k.a. the derivative) is zero. In other words, look for where the slope is horizontal or flat and parallel to the x-axis. If you have a trace function on your calculator, you should be able to pinpoint the exact coordinates. However, if you have a graph on paper or without that “trace” ability, the position of the horizontal tangent line will usually be an estimate. For example, the graph below appears to have a horizontal tangent at y = 3 (at the graph’s low point). However, the tangent line is actually at y = 3.025:


        The Product of Two Linear Functions each of which is Tangent to the Product Function

        This may have been an attempt to write a paper with a longer title than the paper itself. In fact, this "paper" is a discussion of our examining a particular problem that having tools like function graphers available might make possible different approaches.

        This problem was posed by a group of teachers during a workshop in which the use of function graphers was being explored. Our analysis is presented as a sort of stream of consciousness account of how one might explore the problem with the tools at hand. In fact, we came up with two different streams of consciousness and so we have two senarios that are parallel in that they cover alternative approaches to the problem. The senarios represent a composite of several discussions of the problem with teachers, students, and colleagues. Note, the goal here is using this problem context, not only to solve the problem posed, but to understand the concepts and procedures underlying the problem.

        Function graphers are available for almost any computing platform or graphic calculator. Such tools make it possible to look at new topics in the mathematics curriculum or to look at current topics in different ways. This problem has some elements of each. In general it would not be included in the school curriculum, but there is no reason it should not. Further, the use of technological tools to examine visualizations of the functions makes for a different approach to the problem.

        Is it possible to find two linear functions, f(x) = mx + b and g(x) = nx + c, such that the function h(x) = f(x).g(x) is tangent to each. A traditional approach would begin with algebraic manipulation. This is useful because it keeps the students occupied, but what do they learn from it? Clearly, h(x) = (mx + b)(nx + c) is a polynomial of degree 2 and h(x) has two roots. The respective roots are when f(x) = 0 and g(x) = 0. This means the graph of h(x) crosses the x-axis at the same two points as f(x) and g(x). Thus, if there are points of tangency then they must occur at these common points on the x-axis. Experienced students, very bright students, and good problem solvers could whittle this information and a lot more information out of this algebraic analysis. Novice students would be more tentative.

        Senario One

        The graphs on the same set of axes are

        For some novices, seeing the graph of the product h(x) = (3x + 2)(2x+1) and the graphs of the two straight lines from the factors on the same coordinate axes provides a new experience. This particular graph has one of the two lines "close" to being tangent to the product curve but the other one is not close. How could the picture be changed?

        One idea is to spread the two lines so that one has negative slope. Intentar

        This is better? What can be observed? How can the graph of h(x) be "moved down?" What if the graphs of f(x) and g(x) had smaller y-intercepts? Intentar

        Still not too good but at least the graph of h(x) was "moved down."

        Try smaller y-intercepts, such as

        These graphs seem close, but clearly the line with negative slope is not tangent to the graph of h(x). Looking back over the sequence of graphs (and perhaps generating some others) the graph of h(x) always has a line of symmetry parallel to the y-axis. It seems that the pair of tangent lines will have to have this same symmetry. ¿Cómo? Try making the slopes 3 and -3. The functions are

        A zoom to the right hand side of the graph with give

        showing tangency has not been achieved. A zoom to the left hand side shows a similar problem.

        One could try adjusting the y-intercepts. In fact, if the y-intercepts were equal, the y-axis would be the line of symmetry. Intentar

        The result seems on target. It remains to confirm f(x) and g(x) each share exactly one point in common with h(x). Again the tradition is to do so algebraically, but it might be instructive to look at some graphs of h(x) - f(x) and h(x) - g(x), such as the following:

        Can we immediately generate graphs of other f(x), g(x), and h(x) satisfying the conditions of the problem? Reviewing the graphs and the strategy, its seems that the slopes of the lines can vary, the only condition being that they are m and -m. So, a simpler case might be to let the slopes be 1 and -1, giving

        It is also of interest to see both of the solutions on the same graph:

        Other solutions could be generated by making some other vertical line the axis of symmetry. Indeed substituting

        for which the equations simplify to

        First consider the graphs of f(x) and g(x) and try to sketch in h(x). The graph is

        What do these lines tell you about the parabola? What points do you know the curve will go through? Why? What causes it to open the way it does? Now let's add the graph of the parabola and compare it with our sketch.

        How is it like our sketch? How is it different? Is there anything we should notice or consider?

        It appears that all three graphs seem to intersect at 1 on the y axis. Lets zoom for a closer look.

        Maybe changing one of the functions will help with the explanation.
        Consider

        The three functions no longer intersect at 1 on the y-axis. However, the changed function, f(x), does intersect the curve at its y-intercept.

        When g(x) = 1 the parabola intersects f(x). Is the opposite true? Lets graph and see.

        It seems that if f(x) = 1 then h(x) = g(x) and if g(x) = 1 then h(x) = f(x). Lets test this by trying to generate h(x) from a new f(x) and g(x). Dejar

        Then add the sketch h(x) and compare with . . .

        In this process we seem to have also noticed that the lines and the parabola intersect at the points when the lines cross the x-axis. Why would this be true?

        Now the goal is to get one line tangent to the parabola. The function g(x) is close to being tangent. If we could just get the two points to slid together then they would become one point -- the point of tangency. (If a line intersects a parabola in exactly one point, what is true about the line?)

        Since f(x) takes on a value of 1 when x = 1, then lets try to change g(x) so that g(1) = 0. Lets see we could change the slope or change g(x)'s position up and down.

        To change slope, g(x) = -2x + 2 and test to see if g(1) = -2(1) + 2 = 0

        Or change position, g(x) = -3x + 3 and test g(1) = -3(1) + 3 = 0

        This seems to imply that f(x) and h(x) are tangent at the f(x) and h(x)'s common root, if the function g(x) takes on the value 1 at this root. Or in other words if f(a) = 0 and g(a) = 1 then f(x) is tangent to h(x) at a.

        What would we have to do to get both f and g tangent to h? That would mean that when f(x) = 0, then g(x) = 1 and when g(x) = 0, then f(x) = 1. Lets first start with an easy function for f and then try to generate a g(x) which satisfies what we want. Lets begin with f(x) = x.

        Now when f(x) = 0, then g(x) should take a value of 1. In other words if f(0) = 0, then g(0) = 1. Likewise, when g(x) = 0, f(x) should have a value of 1. Since f(1) = 1 then g(1) = 0. We need a our linear function g(x) to go through (0,1) and (1,0). So our g(x) = -x +1. Lets graph it to check.

        That looks right! Now, add the graph of the product and then test it to see if the curves are tangent.

        That looks good. (What is the coordinates of the vertex?) Lets zoom in at the roots.

        This seems to be a useful direction. Does it work on the previous problem? When we left off, f(x) = x and g(x) = -3x + 3. Can we use our technique to find a different f(x) that works for g(x) to produce h(x) = f(x).g(x) with f(x) and g(x) each tangent to h(x)? We have the following graph.

        Since g(1) = 0, then f(1) = 1 and since g(2/3) = 1 then f(2/3) = 0 will be necessary. So f(x) contains the points (1,1) and (2/3, 0). Try g(x) = -3x - 2.

        Zoom in for a closer look.

        What are the coordinates of the upper vertex of the triangle? What are the coordinates of the vertex of the parabola? Are the lines really tangent to the parabola? How might this be proved? Where else could the function f(x) possibly take on the same value as h(x) if h(x) = f(x).g(x)? And how can we interpret this on the graphs?

        Many issues are hidden in these composite accounts of examination of this problem. We still have the additional problem of writing a concise argument of proof of the demonstration -- that the solution will always have the two lines of slope m and -m crossing on y = 1 and the vertex of the parabola on y = 1/2.

        Each senario presents a somewhat different approach. Which would be most helpful in finding two quadratic functions f(x) and g(x) such that their product function h(x) = f(x).g(x) has each tangent? The following graphs show such functions. How can they be generated?


        3.1: Tangent to the Graph of a Function

        Question from Princess, a student:

        Hi! I'm a college sophomore student and I am taking a Business Calculus class. And I'm having a REALLY hard time trying to figure out this problem: If f ' (x) = 3x^2 +1, find the equation of the tangent line to f(x) = x^3 + x at x= -1.

        The term f &prime (x) refers to the derivative of f(x). The derivative of f(x) is the slope of f(x). The slope of f(x) is the tangent line to f(x) at whatever value of x you are interested in.

        So f &prime (x) is itself the slope of f(x). This means 3x 2 + 1 es the slope of x 3 + x.

        By simply plugging in the value x = -1, you can find the slope of the tangent line. And of course f(x) is the y value corresponding to x, giving you a point on the tangent line (the point of tangency itself).

        The equation of any line, given a point on the line (x0, y0) and a slope m is:

        Since the slope of a function f(x) is f ' (x) and the value y0 = f(x0), the tangent line of ninguna function f(x) at a particular value of x = x0 es:

        Just substitute x0 = -1 and simplify to complete the question:

        y - f(-1) = f '(-1) (x + 1)
        y - ((-1) 3 + (-1)) = (3(-1) 2 + 1)(x + 1)
        y - (-2) = (4)(x + 1)
        y = 4x + 2.