Artículos

3.1: Identidades recíprocas y pitagóricas - Matemáticas


Los dos tipos más básicos de identidades trigonométricas son las identidades recíprocas y las identidades pitagóricas. Las identidades recíprocas son simplemente definiciones de los recíprocos de las tres razones trigonométricas estándar:
[ sec theta = frac {1} { cos theta} quad csc theta = frac {1} { sin theta} quad cot theta = frac {1} { tan theta}
]

Además, recuerde las definiciones de las tres razones trigonométricas estándar (seno, coseno y tangente):
[ begin {array} {l}
sin theta = frac {o p p} {h y p}
cos theta = frac {a d j} {h y p}
tan theta = frac {o p p} {a d y}
end {matriz}
]

Si miramos más de cerca las relaciones entre el seno, el coseno y la tangente, notaremos que ( frac { sin theta} { cos theta} = tan theta )
[ frac { sin theta} { cos theta} = frac { left ( frac {opp} {hyp} right)} { left ( frac {adj} {hyp} right) } = frac {opp} {hip} * frac {hip} {adj} = frac {opp} {adj} = tan theta
]

Identidades pitagóricas
Las identidades pitagóricas se basan, por supuesto, en el teorema de Pitágoras. Si recordamos un diagrama que se presentó en el Capítulo (2, ) podemos construir estas identidades a partir de las relaciones en el diagrama:

Usando el Teorema de Pitágoras en este diagrama, vemos que (x ^ {2} + y ^ {2} = 1 ^ {2}, ) entonces (x ^ {2} + y ^ {2} = 1. ) Pero, también recuerda que, en el círculo unitario, (x = cos theta ) y (y = sin theta )

Sustituir esta igualdad nos da la primera Identidad pitagórica:
[x ^ {2} + y ^ {2} = 1
]o
[ cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1
] Esta identidad generalmente se expresa en la forma:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
]

Si tomamos esta identidad y la dividimos en ambos lados por ( cos ^ {2} theta, ), esto resultará en la primera de dos Identidades pitagóricas adicionales:
[ frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} + frac { cos ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} = frac {1} { cos ^ {2} theta}
]o
[ tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta
]

Dividir entre ( sin ^ {2} theta ) nos da el segundo:
[ frac { sin ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} + frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = frac {1} { sin ^ {2} theta}
]o
[1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta
] Entonces, las tres identidades pitagóricas que usaremos son:
[ begin {array} {l}
sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta
1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta
end {matriz}
]

Estas identidades pitagóricas a menudo se expresan en otros términos, como:
[ begin {array} {l}
sin ^ {2} theta = 1- cos ^ {2} theta
cos ^ {2} theta = 1- sin ^ {2} theta
tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta-1
cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta-1
end {matriz}
]

Al comienzo de este capítulo, discutimos la verificación de identidades trigonométricas. Ahora que tenemos algunas identidades básicas con las que trabajar, usémoslas para verificar la igualdad de algunas declaraciones más complicadas. El proceso de verificación de identidades trigonométricas implica cambiar un lado de la expresión dada al otro lado. dado que en realidad no son ecuaciones, no las trataremos de la misma manera que las tratamos. Es decir, no sumaremos ni restaremos nada a ambos lados del enunciado (ni multiplicaremos ni dividiremos por nada en ambos lados).

Otra razón para no tratar una identidad trigonométrica como una ecuación es que, en la práctica, este proceso generalmente involucra solo un lado de la declaración. En la resolución de problemas, los matemáticos suelen utilizar identidades trigonométricas para cambiar la apariencia de un problema sin cambiar su valor. En este proceso, una expresión trigonométrica se cambia a otra expresión trigonométrica en lugar de mostrar que dos expresiones trigonométricas son iguales, que es lo que haremos.

Ejemplo 1
Verificar la identidad (( sin theta) ( cot theta) = cos theta )
Esta es una identidad muy sencilla y se puede resolver utilizando uno de los enfoques fundamentales para trabajar con identidades trigonométricas. Este es el enfoque de escribir todo en términos de senos y cosenos.

Comenzando con la declaración original:
[( sin theta) ( cot theta) = cos theta
] Reemplaza ( cot theta ) con ( frac { cos theta} { sin theta} )
[( sin theta) frac { cos theta} { sin theta} = cos theta
] Luego cancela el ( sin theta: )
[ cos theta = cos theta
]

Hay cuatro enfoques fundamentales para verificar las identidades trigonométricas:
1. escribe todo en términos de senos y cosenos
2.Haz un denominador común y suma fracciones
3. dividir una fracción
4. factorizar y cancelar
No todos estos pueden usarse en todos los problemas y algunos problemas usarán combinaciones de estas estrategias. He aquí otro ejemplo.

Ejemplo 2
Verificar la identidad ( tan theta + cot theta = sec theta csc theta )
Primero escribiremos todo en términos de senos y cosenos:
[ begin {array} {l}
tan theta + cot theta = sec theta csc theta
frac { sin theta} { cos theta} + frac { cos theta} { sin theta} = frac {1} { cos theta} cdot frac {1} { pecado theta}
end {matriz}
]

A continuación, en el lado izquierdo, podemos sumar las dos fracciones haciendo un denominador común de ( cos theta sin theta )
begin {alineado}
frac { sin theta} { cos theta} + frac { cos theta} { sin theta} & = frac {1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
frac { sin theta} { sin theta} cdot frac { sin theta} { cos theta} + frac { cos theta} { sin theta} cdot frac { cos theta} { cos theta} & = frac {1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
frac { sin ^ {2} theta} { sin theta cos theta} + frac { cos ^ {2} theta} { sin theta cos theta} & = frac { 1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
frac { sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta} { sin theta cos theta} & = frac {1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
frac {1} { sin theta cos theta} & = frac {1} { sin theta cos theta}
end {alineado}

En este ejemplo, puede ver que primero escribimos todo en términos de senos y cosenos, luego creamos denominadores comunes y sumamos las fracciones del lado izquierdo. Una vez hecho esto, podemos reemplazar la expresión ( sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta ) con (1, ) ya que esta es la identidad pitagórica fundamental.

Ejemplo 3
Verificar la identidad ( frac { tan theta- cot theta} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta )
Comenzaremos este problema dividiendo la fracción sobre el denominador. Esto puede resultar útil en problemas en los que no hay suma ni resta en el denominador. La idea aquí es que desde ( frac {a} {x} + frac {b} {x} = frac {a + b} {x}, ) entonces podemos revertir este proceso y decir que ( frac {a + b} {x} = frac {a} {x} + frac {b} {x} )
En el problema anterior diremos que:

[ frac { tan theta- cot theta} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac { tan theta} { sin theta cos theta} - frac { cot theta} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac { frac { sin theta} { cos theta}} { sin theta cos theta} - frac { frac { cos theta} { sin theta}} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac { sin theta} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta cos theta} - frac { cos theta} { sin theta} cdot frac {1} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac { cancel { sin theta}} { cos theta} cdot frac {1} { cancel { sin theta} cos theta} - frac { cancel { cos theta}} { sin theta} cdot frac {1} { sin theta cancel { cos theta}} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac {1} { cos ^ {2} theta} - frac {1} { sin ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta = sec ^ {2} theta - csc ^ {2} theta
]

Ejemplo 4
Verificar la identidad ( frac { tan ^ {2} theta- cos ^ {2} theta} {1- cos ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta )
En el lado izquierdo, observe la expresión (1- cos ^ {2} theta ) en el denominador. Podemos reemplazar esto con ( sin ^ {2} theta, ) que es una expresión más simple. A menudo es útil tener una expresión más simple en el denominador en lugar de una expresión más complicada.

[ begin {array} {l}
frac { tan ^ {2} theta- cos ^ {2} theta} {1- cos ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
frac { tan ^ {2} theta- cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
end {matriz}
] Luego, podemos dividir la fracción sobre el denominador de ( sin ^ {2} theta )
[ frac { tan ^ {2} theta- cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
] [ frac { tan ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} - frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
]

Podemos ver en el lado izquierdo que la expresión ( frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} ) es equivalente a ( cot ^ {2} theta ) pero la primera pieza del lado izquierdo necesita simplificarse un poco más. Reescribiremos ( tan ^ {2} theta ) como ( frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} ) y luego simplificaremos la fracción compleja.
[ begin {array} {c}
frac { tan ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} - frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = sec ^ { 2} theta- cot ^ {2} theta
frac { frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta}} { sin ^ {2} theta} - cot ^ {2} theta = sec ^ { 2} theta- cot ^ {2} theta

frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} cdot frac {1} { sin ^ {2} theta} - cot ^ {2} theta = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
frac { cancel { sin ^ {2} theta}} { cos ^ {2} theta} cdot frac {1} { cancel { sin ^ {2} theta}} - cot ^ {2} theta = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
end {matriz}
]

Después de cancelar ( sin ^ {2} theta, ) casi terminamos:
[ begin {alineado}
frac { cancel { sin ^ {2} theta}} { cos ^ {2} theta} cdot frac {1} { cancel { sin ^ {2} theta}} - cot ^ {2} theta & = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
& frac {1} { cos ^ {2} theta} - cot ^ {2} theta = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
& sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
end {alineado}
] Las identidades trigonométricas que hemos discutido en esta sección se resumen a continuación:

En los ejemplos anteriores y en los ejercicios, normalmente se usa la forma sin ( theta ) o ( cos theta ), sin embargo, se puede usar cualquier letra para representar el ángulo en cuestión siempre que sea el MISMO letra en todas las expresiones. Por ejemplo, podemos decir que:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
] o podemos decir que

[ sin ^ {2} x + cos ^ {2} x = 1
]sin embargo:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} x neq 1
] porque ( theta ) y (x ) podrían ser ángulos diferentes.

Ejercicios 3.1
En cada problema, verifique la identificación trigonométrica dada.
1. ( cos theta ( sec theta- cos theta) - sin ^ {2} theta )
2. ( tan theta ( cot theta + tan theta) - sec ^ {2} theta )
3. ( tan theta ( csc theta + cot theta) - sec theta + 1 )
4. ( cot theta ( sec theta + tan theta) - csc theta + 1 )
5. ( tan ^ {2} theta csc ^ {2} theta- tan ^ {2} theta-1 )
6. ( sin ^ {2} theta cot ^ {2} theta + sin ^ {2} theta-1 )
7. ( frac { sin theta tan theta + sin theta} { tan theta + tan ^ {2} theta} - cos theta )

8. ( frac { cos theta cot theta + cos theta} { cot theta + cot ^ {2} theta} - sin theta )
9. ( frac {( sin theta + cos theta) ^ {2}} { cos theta} - sec theta + 2 sin theta )

10. ( sin theta + cos theta) ^ {2} + ( sin theta- cos theta) ^ {2} -2 )
11. ( cos theta ( tan theta + cot theta) - csc theta )
12. ( sin theta ( cot theta + tan theta) - sec theta )
13. ( frac { cos theta} { tan theta} - csc theta- sin theta )

14. ( frac { sin theta} { cot theta} - sec theta- cos theta )
15. ( frac { csc theta} { cos theta} - frac { cos theta} { csc theta} - frac { cot ^ {2} theta + sin ^ {2 } theta} { cot theta} )

16. ( frac { sec theta + csc theta} { tan theta + cot theta} - sin theta + cos theta )
17. ( frac { sin theta} {1+ sin theta} - frac { sin theta} {1- sin theta} - 2 tan ^ {2} theta )

18. ( frac { cos theta} {1+ cos theta} - frac { cos theta} {1- cos theta} - 2 cot ^ {2} theta )
19. ( frac { cot theta} {1+ csc theta} - frac { cot theta} {1- csc theta} -2 sec theta )

20. ( frac { tan theta} {1+ sec theta} - frac { tan theta} {1- sec theta} -2 csc theta )
21. ( frac { sec ^ {2} theta} {1+ cot ^ {2} theta} - tan ^ {2} theta )

22. ( frac { csc ^ {2} theta} {1+ tan ^ {2} theta} - cot ^ {2} theta )
23. ( sec ^ {4} theta- sec ^ {2} theta- tan ^ {4} theta + tan ^ {2} theta )
24. ( csc ^ {4} theta- csc ^ {2} theta- cot ^ {4} theta + cot ^ {2} theta )
25. (1- frac { cos ^ {2} theta} {1+ sin theta} - sin theta )
26. (1- frac { sin ^ {2} theta} {1+ cos theta} - cos theta )
27. ( frac { sec theta} { csc theta} + frac { sin theta} { cos theta} -2 tan theta )
28. ( frac {1- sin theta} { cos theta} + frac { cos theta} {1- sin theta} -2 sec theta )
29. ( frac { cos theta} {1+ sin theta} + frac {1+ sin theta} { cos theta} -2 sec theta )

30. ( frac { tan theta- cot theta} { tan theta + cot theta} - sin ^ {2} theta- cos ^ {2} theta )
31. ( frac { sec theta- cos theta} { sec theta + cos theta} - frac { sin ^ {2} theta} {1+ cos ^ {2} theta} )

32. ( frac { sec theta + tan theta} { cot theta + cos theta} - tan theta sec theta )


Ver el vídeo: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES RECÍPROCAS, COCIENTE Y PITAGÓRICAS - DEMOSTRACIÓN (Noviembre 2021).