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3: Triángulos y vectores


  • 3.1: Funciones trigonométricas de ángulos
    Como se dijo al comienzo del Capítulo 1, la trigonometría tuvo su origen en el estudio de los triángulos. De hecho, la palabra trigonometría proviene de las palabras griegas para medición de triángulos. Veremos que podemos usar las funciones trigonométricas para ayudar a determinar las longitudes de los lados de los triángulos o la medida de los ángulos en triángulos. Como veremos en las dos últimas secciones de este capítulo, la trigonometría triangular también es útil en el estudio de vectores.
  • 3.2: Triángulos rectángulos
    En esta sección, aprenderemos cómo usar las funciones trigonométricas para relacionar las longitudes de los lados con los ángulos en triángulos rectángulos y resolver este problema, así como muchos otros.
  • 3.3: Triángulos que no son triángulos rectángulos
    Hay muchos triángulos sin ángulos rectos (estos triángulos se llaman triángulos oblicuos). Nuestra siguiente tarea es desarrollar métodos para relacionar lados y ángulos de triángulos oblicuos. En esta sección, desarrollaremos dos de estos métodos, la Ley de los senos y la Ley de los cosenos. En la siguiente sección, aprenderemos cómo usar estos métodos en aplicaciones.
  • 3.4: Aplicaciones de la trigonometría triangular
    Entonces, no debería sorprendernos que podamos usar la Ley de los senos y la Ley de los cosenos para resolver problemas aplicados que involucran triángulos que no son triángulos rectángulos. En la mayoría de los problemas, primero obtendremos un diagrama aproximado o una imagen que muestre el triángulo o los triángulos involucrados en el problema. Entonces necesitamos etiquetar las cantidades conocidas. Una vez hecho esto, podemos ver si hay suficiente información para usar la Ley de los senos o la Ley de los cosenos.
  • 3.5: Vectores desde un punto de vista geométrico
    Hay algunas cantidades que requieren solo un número para describirlas. Llamamos a este número la magnitud de la cantidad. Un ejemplo de ello es la temperatura, ya que la describimos con solo un número como 68 grados Fahrenheit. Otras cantidades similares son longitud, área y masa. Estos tipos de cantidades a menudo se denominan cantidades escalares. Sin embargo, hay otras cantidades que requieren tanto una magnitud como una dirección. Un ejemplo es la fuerza y ​​otro es la velocidad.
  • 3.6: Vectores desde un punto de vista algebraico
    Hemos visto que un vector está completamente determinado por la magnitud y la dirección. Entonces, dos vectores que tienen la misma magnitud y dirección son iguales. Eso significa que podemos posicionar nuestro vector en el plano e identificarlo de diferentes formas. Los vectores también tienen ciertas propiedades geométricas como la longitud y un ángulo de dirección. Con el uso de la forma componente de un vector, podemos escribir fórmulas algebraicas para estas propiedades.
  • 3.E: Triángulos y vectores (ejercicios)

Los vectores laterales del triángulo están dados por las diferencias de los vectores de posición de los vértices. Por ejemplo

es uno de los lados cuya longitud es $ sqrt <4 + 16 + 1> = sqrt <21>. $

¿Puedes hacer lo mismo con los otros dos bordes?

La siguiente figura puede ayudar a comprender mejor la solución:

Respecto a los ángulos: Calculemos otro vector lateral:

La longitud de este vector es $ sqrt <62>. $

son dos vectores unitarios. El producto escalar de estos dos vectores le dará el coseno del ángulo de las dos aristas correspondientes, el ángulo en $ vec a $.


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Si ha encontrado los tres vértices, los nombraré $ A $, $ B $ y $ C $, luego formaré los siguientes vectores: $ overrightarrow= B-A $ y $ overrightarrow= C-A $. Al hacer esto, en realidad 'mueve' el triángulo $ Delta ABC $ a uno con un vértice en el origen $ O $, es decir, $ Delta O (B-A) (C-A) $ - con un área idéntica, por supuesto.

El área de la paralelogramo generado por estos dos vectores viene dado por la magnitud de su producto cruzado. El área del triángulo es exactamente la mitad del área de ese paralelogramo, entonces: $ mbox = frac < left | overrightarrow times overrightarrow right |> <2> = frac < left | left (B-A right) times left (C-A right) right |> <2> $ Debería encontrar $ sqrt <19> approx 4.36 $.


La Universidad de Sydney - Escuela de Matemáticas y Estadística

Otra forma de definir la suma de dos vectores es mediante una construcción de la cabeza a la cola que crea dos lados de un triángulo. El tercer lado del triángulo determina la suma de los dos vectores, como se muestra a continuación.

Coloque la cola del vector v en la cabeza del vector u. Es decir, u = y v =.

Ahora construya el vector para completar el tercer lado del triángulo OAP.

Este método es equivalente a la ley de la adición del paralelogramo, como se puede ver fácilmente dibujando una copia de v de cola a cola con u, para obtener el mismo paralelogramo que antes.

Usando la notación vectorial de posición, la regla de la suma del triángulo se escribe de la siguiente manera: para tres puntos cualesquiera X, Y, Z,

Tanto las reglas de suma del triángulo como del paralelogramo son procedimientos que son independientes del orden de los vectores, es decir, usando cualquiera de las reglas, siempre es cierto que u + v = v + u para todos los vectores u y v. Esto se conoce como la ley conmutativa de la adición. Hay otras reglas como esta, y se analizan en el componente Álgebra vectorial.

& copy 2002-09 The University of Sydney. Última actualización: 09 de noviembre de 2009

ABN: 15 211 513 464. Número CRICOS: 00026A. Teléfono: +61 2 9351 2222.

Autorizado por: Director de la Facultad de Matemáticas y Estadística.


Funciones de disparo inverso

En cada paso del aprendizaje de las operaciones matemáticas, aprendemos cómo "deshacerlo" al mismo tiempo. La suma y la resta se enseñaron juntas ya que cada una & # 8220undoes & # 8221 a la otra. Ahora necesitamos aprender a deshacer las funciones trigonométricas para poder calcular el ángulo si conocemos la razón de los lados de un triángulo rectángulo.

Para las funciones trigonométricas, las funciones inversas se identifican con un superíndice & # 8220-1 & # 8221 o un & # 8220a & # 8221 precede a la función.

Inverso sin (θ) = asin (θ) = sin¯¹ (θ)

Esto significa que asin (sin (θ)) = θ y asin (Opuesto / Hipotenusa) = θ.

acos (adyacente / hipotenusa) = θ

atan (opuesto / adyacente) = θ.

En su calculadora, esto es sin¯¹, inv sin, arcsin o asin. El coseno inverso es cos¯¹, inv cos, arccos o acos, y la tangente inversa es tan¯¹, inv tan, arctan o atan.

Por ejemplo, calcule θ para un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es 20, el lado opuesto a θ es 16 y el lado adyacente es 12 (vea el diagrama de arriba).

θ = asin (16/20) = asin (0.8) = 53.13 °

También podemos usar la hipotenusa y el lado adyacente:

θ = acos (20/12) = acos (0.6) = 53.13 °

Y por último, pero no menos importante, podemos usar los lados opuestos y adyacentes:

θ = atan (16/12) = atan (1.333) = 53.13 °

Calcular la magnitud y la dirección del amperio a partir de componentes vectoriales

Si conocemos los componentes del vector, usamos el Teorema de Pitágoras para calcular la magnitud del vector.

Utilice las funciones trigonométricas inversas para calcular el vector y la dirección # 8217s. Al usar el navegación convención (0º es el norte o en la dirección y positiva) y la dirección aumenta en el sentido de las agujas del reloj), la dirección del vector & # 8217s es 50,2º:

Dirección = tan¯¹ (opuesto / adyacente) = tan¯¹ (6.0 / 5.0) = 50.2º

Usando la convención de trigonmetría (0º está en la dirección x positiva o este en el diagrama) y la dirección aumenta en sentido antihorario), la dirección del vector & # 8217s es 39,8º:

Dirección = tan¯¹ (opuesto / adyacente) = tan¯¹ (5.0 / 6.0) = 39.8º

Arriba están los componentes vectoriales utilizados en este ejemplo para calcular la magnitud y la dirección en las convenciones de dirección de navegación y trigonometría (mostradas a la izquierda).

Haga clic en la imagen para descargar un .pdf de una cuadrícula rectangular en blanco.

Solución que convierte componentes direccionales en navegación convenciones de magnitud y dirección.

Solución que convierte componentes direccionales en trigonometría convenciones de magnitud y dirección.

Haga clic en cualquiera de las imágenes de arriba para descargar una cuadrícula polar y rectangular combinada en blanco para trazar y convertir entre magnitud y direcciones y componentes axiales.


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OP: "@Yuval, eso lo explica muy bien. Me pregunto por qué el libro no especificó esto, porque parecía casi intencionalmente vago, como si hubiera muchos casos omitidos. ¿Estás seguro de que no hay más casos?

Suponga que $ mathbf a, mathbf b, mathbf c $ no son colineales (es decir, no son paralelos).

Entonces, dado que $ mathbf a, mathbf b, mathbf c $ son distintos de cero y suman $ mathbf 0, $ ningún par es colineal en particular, $ mathbf a nparallel mathbf b. $

Como $ mathbf a + mathbf b + mathbf c = mathbf 0, $ los tres vectores forman un triángulo.

Por tanto, si los tres vectores no forman un triángulo, entonces ellos deber ser colineal. En este caso, los tres vectores forman de hecho un triángulo degenerado.


Desigualdad de triángulos en vectores

La siguiente figura muestra un triángulo formado por los vectores ( vec a ), ( vec b ) y ( vec a , + vec b ):

Por la geometría plana, sabemos que en cualquier triángulo, la suma de dos lados es mayor que el tercer lado. En la figura anterior, PQ = ( left | < vec a> right | ), QR = ( left | < vec b> right | ) y PR = ( left | < vec a , + vec b> right | ). Por lo tanto,

Además, sabemos que la diferencia de dos lados en un triángulo es menor que el tercer lado. La diferencia de dos cantidades X y y se puede escribir como ( left | derecha | ). Tomamos el signo del módulo porque no sabemos qué cantidad es mayor: X o y y cuando decimos diferencia, nos referimos a la diferencia positiva. Por ejemplo, la diferencia de 3 y 5 es ( left | <3-5> right | = 2 ). Volviendo a nuestro triángulo, la diferencia de PQ y QR se puede escribir como | PQ (- ) QR |. Por lo tanto,

Combinando (i) y (ii), tenemos el desigualdad triangular para vectores:

No se deje intimidar por el aspecto aparentemente complicado de esta desigualdad. Es simplemente una expresión del hecho de que cualquier lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia. En este caso, el lado ( left | < vec a , + vec b> right | ) es menor que la suma de los otros dos lados ( left | < vec a> right | + left | < vec b> right | ), y mayor que su diferencia ( left | < left | < vec a> right | - left | < vec b> right |> derecha | ).

¿Qué pasa si los vectores ( vec a ) y ( vec b ) son paralelos (en la misma dirección), como se muestra en la siguiente figura?

En este caso, ( left | < vec a , + vec b> right | ) será igual a ( left | < vec a> right | + left | < vec b > derecha | ). Asegúrese de entender esto.

El otro caso especial es cuando los vectores ( vec a ) y ( vec b ) son antiparalelos (en direcciones opuestas), como se muestra a continuación:

En este caso, ( left | < vec a , + vec b> right | ) es igual a la diferencia en las magnitudes de los dos vectores, o ( left | < left | < vec a> right | - left | < vec b> right |> right | ).

Si incorporamos estos dos casos especiales, tenemos la versión completa de la desigualdad del triángulo:


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Yo hubiera optado por el enfoque de productos cruzados sugerido en los comentarios (ver más abajo), pero así es como lo haría usando su enfoque.

Al tomar la base del triángulo como $ d = a-b $, estamos traduciendo efectivamente el origen a $ b $. Para encontrar la altitud, necesitamos el componente de $ e = c-b $ que es ortogonal a $ d $, es decir, el rechazo ortogonal de $ e $ relativo a $ d $. La proyección ortogonal de $ e $ sobre $ d $ es $d = frac9 5 (-2,0,1) = left ( frac <18> 5,0, frac95 right), $ y el rechazo ortogonal es $ e $ menos este vector, es decir, $ left ( frac35, -2, frac65 right) $. El área del triángulo es entonces $ A = frac12 | (-2,0,1) | cdot left | left ( frac35, -2, frac65 right) right | = frac12 cdot sqrt <5> cdot < sqrt <145> over5> = < sqrt <29> over2>. $ También puedes encontrar la altitud encontrando el punto más cercano en la línea $ a + td $ a $ c $, como lo hace, resolviendo $ (ca-td) cdot d = 0 $ para $ t $. Descubrirá que cuando sustituye el valor de $ t $ que obtiene de nuevo en $ c-a-td $, terminará con el mismo vector que el anterior.

Alternativamente, la norma del producto cruzado de dos vectores es el área del paralelogramo definida por esos vectores, por lo que tenemos para el triángulo $ A = frac12 | d times e | = frac12 | (2,3,4) | = < sqrt <29> over 2>. $


Componentes vectoriales

Supongamos que tenemos un avión que vuela a 100 nudos. La dirección del avión es 50 ° al norte del este.

Podríamos encontrar la velocidad en la dirección norte y la velocidad en la dirección este encontrando componentes usando trigonometría. Primero dibujamos un triángulo rectángulo.

Luego usamos trigonometría para encontrar los lados de este triángulo. Estos se denominan componentes vectoriales. Usamos seno para encontrar el componente norte.


¿Qué es un triángulo vectorial?

Los vectores (como la velocidad, la fuerza o el momento) obedecen a la ley de la suma vectorial.

Eso significa, en particular, esa combinación de dos vectores [itex] vec_1 [/ itex] y [itex] vec_2 [/ itex] es un vector [itex] vec_3 [/ itex] solo si tres líneas dirigidas (líneas con flechas) [itex] vec_[/ itex] [itex] vec_[/ itex] y [itex] vec_[/ itex] se puede dibujar representando los vectores para formar un triángulo cerrado con las flechas que van de A a B, de B a C y de A a C.

De manera similar, tres vectores se sumarán a cero solo si se pueden dibujar tres líneas dirigidas que los representen para formar un triángulo cerrado con las flechas en la misma dirección alrededor del triángulo.

(Y de manera similar para n vectores y polígonos cerrados de n lados).

Los pseudovectores (como el momento angular) también obedecen la ley de la suma vectorial, exactamente de la misma manera que los vectores.

Recuerde: técnicamente, no existe tal cosa como un absoluto velocidad.

Todas las velocidades son velocidades relativas, entre un objeto (u observador) y otro.

¡Muy a menudo, uno de esos objetos es el suelo!

Para asegurarse de que las flechas estén en el sentido correcto, asigne a cada velocidad relativa dos letras, que representen los dos objetos cuya velocidad relativa representa.

Por ejemplo, [itex] vec_[/ itex] y [itex] vec_[/ itex] para & quotWater to Boat & quot y & quotGround to Water & quot, que representa la velocidad de un barco en relación con el agua y del agua en relación con el suelo.

Del mismo modo, puede usar Ground Wind y Plane:

Cuando el cambio de impulso (aceleración) de un cuerpo es cero, la segunda ley de Newton significa que la suma vectorial de las fuerzas en ese cuerpo es cero.

Por tanto, se puede utilizar un triángulo (o polígono) vectorial.

(La diferencia entre un triángulo (o polígono) vectorial y un DCL, o & quot Diagrama de cuerpo libre & quot, es que los vectores en un DCL se dibujan todos comenzando en el mismo punto, y Coordenadas cartesianas se utilizan para determinar que suman cero).

Antes de dibujar cualquier triángulo vectorial para las fuerzas:

yo decido cuales cuerpo sobre el que actúan las fuerzas (siempre debe ser el mismo cuerpo)

ii] luego dibuje líneas adicionales con flechas en el diagrama de la situación real, para mostrar las fuerzas en ese cuerpo.

iii] luego dibuje el triángulo (o polígono) vectorial por separado, teniendo cuidado de que las flechas rodeen el triángulo (o polígono) de la misma manera!

En una colisión, tratamos a todos los cuerpos involucrados como si fueran uno cuerpo (no rígido).

Entonces no hay fuerzas (externas) en ese cuerpo, por lo que la segunda ley de Newton significa que el cambio de momento de ese cuerpo es cero.

Y por lo tanto, la suma vectorial de los momentos individuales que componen ese cuerpo es cero.

* Esta entrada es de nuestra antigua función de biblioteca. Si sabe quién lo escribió, háganoslo saber para que podamos atribuir un autor. ¡Gracias!


Ver el vídeo: Teorema de Thales - Semejanza de Triángulos (Noviembre 2021).