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11.2: B- Integración de algunas EDO lineales básicas - Matemáticas


En este apéndice recopilamos algunas ideas comunes relacionadas con la resolución, explícitamente, de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Nuestra discusión se organiza en torno a una serie de ejemplos.

Ejemplo ( PageIndex {32} )

Considere el campo vectorial lineal autónomo unidimensional:

[ dot {x} = ax, x, a in mathbb {R}. label {B.1} ]

A menudo resolvemos problemas en matemáticas transformándolos en problemas más simples que ya sabemos cómo resolver. Con este fin, introducimos la siguiente transformación de variables (dependiente del tiempo):

[x = ue ^ {en}. label {B.2} ]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y usando (B.1), se obtiene la siguiente EDO para u:

[ dot {u} = 0, label {B.3} ]

que es trivial de integrar y da:

[u (t) = u (0), label {B.4} ]

y es fácil ver en (36) que:

[u (0) = x (0). label {B.5} ]

Usando (36), así como (B.4) y (B.5), se deduce que:

[x (t) e ^ {at} = u (t) = u (0) = x (0), label {B.6} ]

o

[x (t) = x (0) e ^ {en}. label {B.7} ]

Ejemplo ( PageIndex {33} )

Considere la siguiente EDO lineal no homogénea no autónoma (debido a la presencia del término b (t)):

[ dot {x} = ax + b (t), a, x in mathbb {R}, label {B.8} ]

donde b (t) es una función de valor escalar de t, cuyas propiedades precisas consideraremos un poco más adelante. Usaremos exactamente la misma estrategia y cambio de coordenadas que en el ejemplo anterior:

[x = ue ^ {en}. label {B.9} ]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y usando (B.8), se obtiene:

[ dot {u} = e ^ {- en} b (t). label {B.10} ]

(Compare con (B.3).) La integración (B.10) da:

[u (t) = u (0) + int_ {0} ^ {t} e ^ {- en '} b (t') dt '. label {B.11} ]

Ahora usando (B.9) (con la consecuencia u (0) = x (0)) con (B.11) da:

[x (t) = x (0) e ^ {at} + e ^ {at} int_ {0} ^ {t} e ^ {- at '} b (t') dt '. label {B.12} ]

Finalmente, volvemos a las propiedades necesarias de b (t) para que esta solución única de (B.8) "tenga sentido". Tras la inspección de (B.12), queda claro que todo lo que se requiere es que las integrales que involucran a b (t) estén bien definidas. La continuidad es una condición suficiente.

Ejemplo ( PageIndex {34} )

Considere el campo vectorial lineal unidimensional, no autónomo:

[ dot {x} = a (t) x, x in mathbb {R}, label {B.13} ]

donde a (t) es una función escalar de t cuyas propiedades precisas se considerarán más adelante. La similitud entre (B.1) y (B.13) debe ser evidente. Introducimos la siguiente transformación (dependiente del tiempo) de variables (comparar con (36)):

[x = ue ^ { int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'}. label {B.14} ]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y sustituyendo (B.13) en el resultado, se obtiene:

( dot {x} = dot {u} e ^ { int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'} + ua (t) e ^ { int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'} ),

[= dot {u} e ^ { int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'} + a (t) x, label {B.15} ]

que se reduce a:

[ dot {u} = 0. label {B.16} ]

Integrando esta expresión y usando (B.14), se obtiene:

[u (t) = u (0) = x (0) = x (t) e ^ {- int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'}, label {B.17} ]

o

[x (t) = x (0) e ^ { int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'}. label {B.18} ]

Como en el ejemplo anterior, todo lo que se requiere para que la solución esté bien definida es que existan las integrales que involucran a (t). La continuidad es una condición suficiente.

Ejemplo ( PageIndex {35} )

Considere el campo vectorial lineal no autónomo no homogéneo unidimensional:

[ dot {x} = a (t) x + b (t), x in mathbb {R}, label {B.19} ]

donde a (t), b (t) son funciones con valores escalares cuyas propiedades requeridas se considerarán al final de este ejemplo. Hacemos la misma transformación que (B.14):

[x = ue ^ { int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'}, label {B.20} ]

del cual obtenemos:

[ dot {u} = b (t) e ^ {- int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'}. label {B.21} ]

La integración de esta expresión da:

[u (t) = u (0) + int_ {0} ^ {t} b (t ') e ^ {- int_ {0} ^ {t'} a (t '') dt ''} dt '. label {B.22} ]

El uso da:

[x (t) e ^ {- int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'} = x (0) + int_ {0} ^ {t} b (t ') e ^ { - int_ {0} ^ {t '} a (t' ') dt' '} dt'. label {B.23} ]

o

[x (t) = x (0) e ^ { int_ {0} ^ {t} a (t ') dt'} + e ^ { int_ {0} ^ {t} a (t ') dt '} int_ {0} ^ {t} b (t') e ^ {- int_ {0} ^ {t '} a (t' ') dt' '} dt'. label {B.24} ]

Como en los ejemplos anteriores, todo lo que se requiere es que las integrales que involucran a (t) yb (t) estén bien definidas. La continuidad es una condición suficiente.

Los ejemplos anteriores eran todos unidimensionales. Ahora consideraremos dos ejemplos de n dimensiones.

Ejemplo ( PageIndex {36} )

Considere el campo vectorial lineal autónomo de n dimensiones:

[ dot {x} = Ax, x in mathbb {R} ^ n, label {B.25} ]

donde A es una matriz (n veces n ) de números reales. Realizamos la siguiente transformación de variables (comparar con):

[x = e ^ {At} u. label {B.26} ]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y usando (B.25), se obtiene:

[ dot {u} = 0. label {B.27} ]

La integración de esta expresión da:

[u (t) = u (0). label {B.28} ]

El uso de (B.26) con (B.28) da:

[u (t) = e ^ {- En} x (t) = u (0) = x (0), label {B.29} ]

de lo que se sigue que:

[x (t) = e ^ {En} x (0). label {b.30} ]

Ejemplo ( PageIndex {37} )

Considere el campo vectorial lineal no autónomo no homogéneo de n dimensiones:

[ dot {x} = Ax + g (t), x in mathbb {R} ^ n, label {B.31} ]

donde g (t) es una función de valor vectorial de t cuyas propiedades requeridas se considerarán más adelante. Usamos la misma transformación que en el ejemplo anterior:

[x = e ^ {At} u. label {B.32} ]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y usando (B.31), se obtiene:

[ dot {u} = e ^ {En} g (t), label {B.33} ]

de lo cual se sigue que:

[u (t) = u (0) + int_ {0} ^ {t} e ^ {- En '} g (t') dt ', label {B.34} ]

o, usando (B.32)

[x (t) = e ^ {At} x (0) + e ^ {At} int_ {0} ^ {t} e ^ {- At '} g (t') dt '. label {B.35} ]


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Podemos introducir una nueva variable $ z (x) = y '(x) $ y reducir la ecuación a un sistema de primer orden (la misma idea funciona para ecuaciones de orden superior).

Podemos escribir el sistema en forma de matriz-vector

si $ a (x) neq 0 $ en el dominio de integración podemos encontrar $ mathbf ^ <-1> $ dado por

$ mathbf(x) = izquierda ( begin 0 & amp -1 frac & amp frac finderecho). etiqueta <9> etiqueta $ Observe que $ mathbf$ contiene la razón de los coeficientes. Si $ mathbf(x_1) cdot mathbf(x_2) = mathbf(x_2) cdot mathbf(x_1) $, $ forall en D ( mathbf) $ la solución a $ eqref$ es similar al caso escalar de primer orden:

$ vec= mathbf<>> ^ <- int mathbf(x) mathrmx> etiqueta <10> etiqueta $ donde usamos la matriz exponencial y $ mathbf$ es una matriz constante. En ese caso, requerimos $ frac= k_1, frac= k_2 $, donde $ k_1, k_2 $ son constantes. Una solución general viene dada por la expansión Magnus (ver ref. 1 y ref. 2).

Quizás, es más fácil analizar el efecto de los coeficientes para una ecuación de primer orden: $ y '= - alpha (x) y $

la solución en este caso es

Por lo tanto, la solución es la composición de $ int alpha (x) mathrmx $ y la función exponencial. Dado un $ C ^$ función en $ x_0 $, su integral es $ C ^PS Por ejemplo, considere la siguiente función escalonada: $ alpha (x) = left < begin0 & amp x & lt0 1 & amp x geq 0 endderecho. PS

Es discontinua en $ x = 0 $ su integral en $ (- infty, x] $ es una función $ C ^ 0 $ (es decir, una continuo función):

$ int _ <- infty> ^ x alpha (s) mathrms = left < begink & amp x & lt0 k + x & amp x geq 0 endderecho. $ donde $ k $ es una constante. Respecto a las preguntas:

¿Por qué, si las funciones de coeficientes son analíticas, hay garantía de que la solución también es analítica, y viceversa? Dada la integración de la matriz $ mathbf$, necesita que la razón del coeficiente sea analítica, es decir, $ C ^ < infty> $ para obtener una solución que también sea $ C ^ < infty> $.

Son solo los coeficientes de la función desconocida $ y (x) $ en esa ecuación, no la función $ y (x) $ en sí misma, entonces, ¿cómo pueden afectar la función de una manera tan fuerte? Dada la solución $ eqref$, vemos que los coeficientes determinan completamente la solución. Por lo tanto, afectan fuertemente a la solución resultante (son parte de la solución).

Si, por ejemplo, $ a (x_0) = 0 $, ¿cómo puede esto determinar también la forma de $ y (x) $ en $ x_0 $? En ese caso, encuentra una singularidad en $ x_0 $, la solución no será analítica en ese caso (puede ser $ C ^ n $ en el mejor de los casos).


Contenido

Una ecuación diferencial de primer orden es un problema de valor inicial (PVI) de la forma, [2]

Sin perder la generalidad de los sistemas de orden superior, nos limitamos a primer orden ecuaciones diferenciales, porque una EDO de orden superior se puede convertir en un sistema más grande de ecuaciones de primer orden mediante la introducción de variables adicionales. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden y′′ = −y se puede reescribir como dos ecuaciones de primer orden: y′ = z y z′ = −y.

En esta sección, describimos métodos numéricos para IVP y comentamos que problemas de valor límite (BVP) requieren un conjunto diferente de herramientas. En un BVP, se definen valores o componentes de la solución. y en más de un punto. Debido a esto, se deben utilizar diferentes métodos para resolver los BVP. Por ejemplo, el método de disparo (y sus variantes) o los métodos globales como las diferencias finitas, [3] los métodos de Galerkin, [4] o los métodos de colocación son apropiados para esa clase de problemas.

El teorema de Picard-Lindelöf establece que existe una solución única, siempre que F es Lipschitz-continuo.

Los métodos numéricos para resolver PVI de primer orden a menudo se dividen en una de dos grandes categorías: [5] métodos lineales de varios pasos o métodos de Runge-Kutta. Se puede realizar una división adicional dividiendo los métodos en los que son explícitos y los que son implícitos. Por ejemplo, los métodos lineales multipaso implícitos incluyen los métodos Adams-Moulton y los métodos de diferenciación hacia atrás (BDF), mientras que los métodos Runge-Kutta implícitos [6] incluyen Runge-Kutta diagonalmente implícito (DIRK), [7] [8] Runge solo diagonalmente implícito –Kutta (SDIRK), [9] y Gauss – Radau [10] (basado en la cuadratura gaussiana [11]) métodos numéricos. Los ejemplos explícitos de la familia lineal de varios pasos incluyen los métodos Adams-Bashforth, y cualquier método Runge-Kutta con una diagonal inferior del cuadro Butcher es explícito. Una regla general flexible dicta que las ecuaciones diferenciales rígidas requieren el uso de esquemas implícitos, mientras que los problemas no rígidos se pueden resolver de manera más eficiente con esquemas explícitos.

Los llamados métodos lineales generales (GLM) son una generalización de las dos grandes clases de métodos anteriores. [12]

Método de Euler Editar

Desde cualquier punto de una curva, puede encontrar una aproximación de un punto cercano en la curva moviéndose una distancia corta a lo largo de una línea tangente a la curva.

Comenzando con la ecuación diferencial (1), reemplazamos la derivada y′ Por la aproximación en diferencias finitas

que cuando se reorganiza produce la siguiente fórmula

Esta fórmula se suele aplicar de la siguiente manera. Elegimos un tamaño de paso h, y construimos la secuencia t 0, t 1 = t 0 + h, t 2 = t 0 + 2 h,. . . < Displaystyle t_ <0>, t_ <1> = t_ <0> + h, t_ <2> = t_ <0> + 2h. > Denotamos por y n < displaystyle y_> una estimación numérica de la solución exacta y (t n) < displaystyle y (t_)>. Motivado por (3), calculamos estas estimaciones mediante el siguiente esquema recursivo

Este es el Método Euler (o método de Euler hacia adelante, en contraste con el método de Euler hacia atrás, que se describirá a continuación). El método lleva el nombre de Leonhard Euler, quien lo describió en 1768.

El método de Euler es un ejemplo de explícito método. Esto significa que el nuevo valor ynorte+1 se define en términos de cosas que ya se conocen, como ynorte.

Método de Euler hacia atrás Editar

Si, en lugar de (2), usamos la aproximación

obtenemos el método de Euler hacia atrás:

El método de Euler hacia atrás es un implícito método, lo que significa que tenemos que resolver una ecuación para encontrar ynorte+1. A menudo se utiliza la iteración de punto fijo o (alguna modificación del) método de Newton-Raphson para lograr esto.

Cuesta más tiempo resolver esta ecuación que los métodos explícitos, este costo debe tenerse en cuenta cuando se selecciona el método a utilizar. La ventaja de métodos implícitos como (6) es que suelen ser más estables para resolver una ecuación rígida, lo que significa que un tamaño de paso mayor h puede ser usado.

Método integrador exponencial de primer orden Editar

Los integradores exponenciales describen una gran clase de integradores que recientemente han experimentado un gran desarrollo. [13] Se remontan al menos a la década de 1960.

En lugar de (1), asumimos que la ecuación diferencial tiene la forma

o se ha linealizado localmente sobre un estado de fondo para producir un término lineal: A y < displaystyle -Ay> y un término no lineal N (y) < displaystyle < mathcal > (y)>.

y n + 1 = e - A h y n + ∫ 0 h e - (h - τ) A N (y (t n + τ)) d τ. < Displaystyle y_= e ^ <-Ah> y_+ int _ <0> ^e ^ <- (h- tau) A> < mathcal > left (y left (t_+ tau derecha) derecha) , d tau.>

Esta ecuación integral es exacta, pero no define la integral.

El integrador exponencial de primer orden se puede realizar manteniendo N (y (t n + τ)) < displaystyle < mathcal > (y (t_+ tau))> constante durante todo el intervalo:

Generalizaciones Editar

El método de Euler a menudo no es lo suficientemente preciso. En términos más precisos, solo tiene el orden uno (el concepto de orden se explica a continuación). Esto hizo que los matemáticos buscaran métodos de orden superior.

Una posibilidad es utilizar no solo el valor calculado previamente ynorte para determinar ynorte+1, pero hacer que la solución dependa de más valores pasados. Esto produce un llamado método de varios pasos. Quizás el más simple es el método de salto, que es de segundo orden y (hablando en términos generales) se basa en dos valores de tiempo.

Casi todos los métodos prácticos de varios pasos pertenecen a la familia de métodos lineales de varios pasos, que tienen la forma

Otra posibilidad es usar más puntos en el intervalo [t n, t n + 1] < displaystyle [t_, t_]>. Esto lleva a la familia de métodos Runge-Kutta, nombrados en honor a Carl Runge y Martin Kutta. Uno de sus métodos de cuarto orden es especialmente popular.

Funciones avanzadas Editar

Una buena implementación de uno de estos métodos para resolver una EDO implica más que la fórmula de pasos en el tiempo.

A menudo es ineficaz utilizar el mismo tamaño de paso todo el tiempo, por lo que métodos de tamaño de paso variable ha sido desarrollado. Normalmente, el tamaño del paso se elige de modo que el error (local) por paso esté por debajo de algún nivel de tolerancia. Esto significa que los métodos también deben calcular un indicador de error, una estimación del error local.

Una extensión de esta idea es elegir dinámicamente entre diferentes métodos de diferentes órdenes (esto se llama método de orden variable). Los métodos basados ​​en la extrapolación de Richardson, [14] como el algoritmo Bulirsch-Stoer, [15] [16] se utilizan a menudo para construir varios métodos de diferentes órdenes.

Otras características deseables incluyen:

  • salida densa: aproximaciones numéricas baratas para todo el intervalo de integración, y no solo en los puntos t0, t1, t2, .
  • ubicación del evento: encontrar los momentos en los que, digamos, una función en particular desaparece. Por lo general, esto requiere el uso de un algoritmo de búsqueda de raíces.
  • soporte para computación paralela.
  • cuando se usa para integrar con respecto al tiempo, la reversibilidad del tiempo

Métodos alternativos Editar

Muchos métodos no caen dentro del marco discutido aquí. Algunas clases de métodos alternativos son:

  • métodos multiderivativos, que utilizan no solo la función F pero también sus derivados. Esta clase incluye Métodos de Hermite-Obreschkoff y Métodos de Fehlberg, así como métodos como el método Parker-Sochacki [17] o el método Bychkov-Scherbakov, que calculan los coeficientes de la serie de Taylor de la solución y recursivamente.
  • métodos para EDO de segundo orden. Dijimos que todas las EDO de orden superior se pueden transformar en EDO de primer orden de la forma (1). Si bien esto es cierto, puede que no sea la mejor manera de proceder. En particular, Métodos Nyström trabajar directamente con ecuaciones de segundo orden.
  • métodos de integración geométrica[18] [19] están especialmente diseñados para clases especiales de EDO (por ejemplo, integradores simplécticos para la solución de ecuaciones hamiltonianas). Se encargan de que la solución numérica respete la estructura o geometría subyacente de estas clases.
  • Métodos de sistemas de estado cuantificados son una familia de métodos de integración de ODE basados ​​en la idea de cuantificación de estados. Son eficientes al simular sistemas dispersos con discontinuidades frecuentes.

Métodos paralelos en el tiempo Editar

Para aplicaciones que requieren computación paralela en supercomputadoras, el grado de concurrencia ofrecido por un método numérico se vuelve relevante. En vista de los desafíos de los sistemas informáticos de exaescala, se están estudiando métodos numéricos para problemas de valor inicial que pueden proporcionar concurrencia en la dirección temporal. [20] Parareal es un ejemplo relativamente bien conocido de tal paralelo en el tiempo método de integración, pero las primeras ideas se remontan a la década de 1960. [21]

El análisis numérico no es solo el diseño de métodos numéricos, sino también su análisis. Tres conceptos centrales en este análisis son:

  • convergencia: si el método se aproxima a la solución,
  • orden: qué tan bien se aproxima a la solución, y: si los errores se amortiguan. [22]

Convergencia Editar

Se dice que un método numérico es convergente si la solución numérica se acerca a la solución exacta como el tamaño del paso h va a 0. Más precisamente, requerimos que para cada EDO (1) con una función de Lipschitz F y cada t * & gt 0,

lim h → 0 + max n = 0, 1,…, ⌊ t ∗ / h ⌋ ‖ y n, h - y (t n) ‖ = 0. < displaystyle lim _> max _/ h rfloor> left | y_-y (t_) derecha | = 0.>

Todos los métodos mencionados anteriormente son convergentes.

Consistencia y orden Editar

Suponga que el método numérico es

El error local (truncamiento) del método es el error cometido por un paso del método. Es decir, es la diferencia entre el resultado dado por el método, asumiendo que no se cometió ningún error en los pasos anteriores, y la solución exacta:

δ norte + k h = Ψ (t n + k y (t n), y (t n + 1),…, y (t n + k - 1) h) - y (t n + k). < Displaystyle delta _^= Psi left (t_y (t_), y (t_), puntos, y (t_) h derecha) -y (t_).>

Se dice que el método es consistente Si

El método tiene orden p < displaystyle p> si

Por lo tanto, un método es consistente si tiene un orden mayor que 0. El método de Euler (hacia adelante) (4) y el método de Euler hacia atrás (6) introducidos anteriormente tienen orden 1, por lo que son consistentes. La mayoría de los métodos que se utilizan en la práctica alcanzan un orden superior. La coherencia es una condición necesaria para la convergencia [ cita necesaria ], pero no suficiente para que un método sea convergente, debe ser consistente y estable a cero.

Estabilidad y rigidez Editar

Para algunas ecuaciones diferenciales, la aplicación de métodos estándar, como el método de Euler, los métodos explícitos de Runge-Kutta o los métodos de varios pasos (por ejemplo, los métodos de Adams-Bashforth), muestran inestabilidad en las soluciones, aunque otros métodos pueden producir soluciones estables. Este "comportamiento difícil" en la ecuación (que puede no ser necesariamente complejo en sí mismo) se describe como rigidez, ya menudo es causado por la presencia de diferentes escalas de tiempo en el problema subyacente. [23] Por ejemplo, una colisión en un sistema mecánico como en un oscilador de impacto ocurre típicamente en una escala de tiempo mucho menor que el tiempo para el movimiento de los objetos, esta discrepancia produce "giros muy bruscos" en las curvas de los parámetros de estado.

Los problemas rígidos son omnipresentes en cinética química, teoría de control, mecánica de sólidos, pronóstico del tiempo, biología, física del plasma y electrónica. Una forma de superar la rigidez es extender la noción de ecuación diferencial a la de inclusión diferencial, que permite y modela la falta de suavidad. [24] [25]

A continuación se muestra una cronología de algunos desarrollos importantes en este campo. [26] [27]

  • 1768 - Leonhard Euler publica su método.
  • 1824 - Augustin Louis Cauchy demuestra la convergencia del método de Euler. En esta prueba, Cauchy usa el método de Euler implícito.
  • 1855 - Primera mención de los métodos de varios pasos de John Couch Adams en una carta escrita por Francis Bashforth.
  • 1895 - Carl Runge publica el primer método Runge-Kutta.
  • 1901 - Martin Kutta describe el popular método Runge-Kutta de cuarto orden.
  • 1910 - Lewis Fry Richardson anuncia su método de extrapolación, la extrapolación de Richardson.
  • 1952 - Charles F. Curtiss y Joseph Oakland Hirschfelder acuñan el término ecuaciones rígidas.
  • 1963 - Germund Dahlquist presenta A-estabilidad de los métodos de integración.

Los problemas de valores en la frontera (BVP) generalmente se resuelven numéricamente resolviendo un problema de matriz aproximadamente equivalente obtenido al discretizar el BVP original. [28] El método más comúnmente utilizado para resolver numéricamente los PVV en una dimensión se llama Método de Diferencia Finita. [3] Este método aprovecha las combinaciones lineales de valores de puntos para construir coeficientes de diferencias finitas que describen derivadas de la función. Por ejemplo, la aproximación de diferencia central de segundo orden a la primera derivada viene dada por:

y la diferencia central de segundo orden para la segunda derivada está dada por:

u yo + 1-2 u yo + u yo - 1 h 2 = u ″ (x i) + O (h 2). < Displaystyle < frac <>-2u_+ u_>>> = u '' (x_) + < mathcal > (h ^ <2>).>

El siguiente paso sería discretizar el problema y usar aproximaciones derivadas lineales como

y resolver el sistema resultante de ecuaciones lineales. Esto conduciría a ecuaciones como:

u yo + 1-2 u yo + u yo - 1 h 2 - u yo = 0, ∀ yo = 1, 2, 3,. . . , n - 1. < Displaystyle < frac <>-2u_+ u_>>> - u_= 0, quad forall i = <1,2,3. n-1>.>

A primera vista, este sistema de ecuaciones parece tener dificultades asociadas con el hecho de que la ecuación no incluye términos que no estén multiplicados por variables, pero de hecho esto es falso. A I = 1 y norte - 1 hay un término que involucra los valores de los límites u (0) = u 0 < displaystyle u (0) = u_ <0>> y u (1) = u n < displaystyle u (1) = u_> y dado que se conocen estos dos valores, uno puede simplemente sustituirlos en esta ecuación y como resultado tener un sistema lineal de ecuaciones no homogéneo que tiene soluciones no triviales.


Contenido

El orden de derivación más alto que aparece en una ecuación diferencial (lineal) es el orden de la ecuación. El termino B(X), que no depende de la función desconocida y sus derivadas, a veces se denomina término constante de la ecuación (por analogía con las ecuaciones algebraicas), incluso cuando este término es una función no constante. Si el término constante es la función cero, entonces se dice que la ecuación diferencial es homogéneo, ya que es un polinomio homogéneo en la función desconocida y sus derivadas. La ecuación obtenida al reemplazar, en una ecuación diferencial lineal, el término constante por la función cero es el ecuación homogénea asociada. Una ecuación diferencial tiene coeficientes constantes si solo las funciones constantes aparecen como coeficientes en la ecuación homogénea asociada.

A solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación. Las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea forman un espacio vectorial. En el caso ordinario, este espacio vectorial tiene una dimensión finita, igual al orden de la ecuación. Todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal se encuentran agregando a una solución particular cualquier solución de la ecuación homogénea asociada.

A operador diferencial básico de orden i es un mapeo que mapea cualquier función diferenciable a su i-ésima derivada, o, en el caso de varias variables, a una de sus derivadas parciales de orden i. Se denota comúnmente

en el caso de funciones univariadas, y

en el caso de funciones de n variables. Los operadores diferenciales básicos incluyen la derivada de orden 0, que es el mapeo de identidad.

A operador diferencial lineal (abreviado, en este artículo, como operador lineal o simplemente, operador) es una combinación lineal de operadores diferenciales básicos, con funciones diferenciables como coeficientes. En el caso univariado, un operador lineal tiene la forma [1]

donde a0(X), …, anorte(X) son funciones diferenciables, y el entero no negativo n es el orden del operador (si anorte(X) no es la función cero).

Sea L un operador diferencial lineal. La aplicación de L a una función f generalmente se denota Lf o Lf(X), si es necesario especificar la variable (esto no debe confundirse con una multiplicación). Un operador diferencial lineal es un operador lineal, ya que asigna sumas a sumas y el producto por un escalar al producto por el mismo escalar.

Como la suma de dos operadores lineales es un operador lineal, así como el producto (a la izquierda) de un operador lineal por una función diferenciable, los operadores diferenciales lineales forman un espacio vectorial sobre los números reales o los números complejos (según la naturaleza de las funciones que se consideran). También forman un módulo libre sobre el anillo de funciones diferenciables.

El lenguaje de operadores permite una escritura compacta para ecuaciones diferenciables: si

es un operador diferencial lineal, entonces la ecuación

Puede haber varias variantes de esta notación, en particular, la variable de diferenciación puede aparecer explícitamente o no en y y la derecha y de la ecuación, como Ly(X) = B(X) o Ly = B .

El núcleo de un operador diferencial lineal es su núcleo como un mapeo lineal, es decir, el espacio vectorial de las soluciones de la ecuación diferencial (homogénea) Ly = 0 .

En el caso de un operador diferencial ordinario de orden n, el teorema de existencia de Carathéodory implica que, en condiciones muy suaves, el núcleo de L es un espacio vectorial de dimensión n, y que las soluciones de la ecuación Ly(X) = B(X) tiene la forma

donde C1, …, Cnorte son números arbitrarios. Normalmente, las hipótesis del teorema de Carathéodory se satisfacen en un intervalo I, si las funciones B, a0, …, anorte son continuas en I, y hay un número real positivo k tal que | anorte(X) | & gt k por cada x en I.

Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene coeficientes constantes si tiene la forma

donde a1, …, anorte son números (reales o complejos). En otras palabras, tiene coeficientes constantes si está definido por un operador lineal con coeficientes constantes.

El estudio de estas ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se remonta a Leonhard Euler, quien introdujo la función exponencial mi X , que es la única solución de la ecuación F′ = F tal que F(0) = 1. De ello se deduce que la n-ésima derivada de mi cx es C norte mi cx , y esto permite resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con bastante facilidad.

ser una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes (es decir a0, …, anorte son números reales o complejos).

Buscando soluciones de esta ecuación que tengan la forma mi αx es equivalente a buscar las constantes α tales que

Factorizar mi αx (que nunca es cero), muestra que α debe ser una raíz de la polinomio característico

de la ecuación diferencial, que es el lado izquierdo de la ecuación característica

Cuando estas raíces son todas distintas, uno tiene n soluciones distintas que no son necesariamente reales, incluso si los coeficientes de la ecuación son reales. Se puede demostrar que estas soluciones son linealmente independientes, considerando el determinante de Vandermonde de los valores de estas soluciones en X = 0, …, norte - 1. Juntos forman una base del espacio vectorial de soluciones de la ecuación diferencial (es decir, el núcleo del operador diferencial).

tiene la ecuación característica

Esto tiene ceros, i, -I y 1 (multiplicidad 2). Por tanto, la base de la solución es

Por tanto, una base real de solución es

En el caso de que el polinomio característico tenga solo raíces simples, lo anterior proporciona una base completa del espacio vectorial de soluciones. En el caso de raíces múltiples, se necesitan soluciones más linealmente independientes para tener una base. Estos tienen la forma

donde k es un número entero no negativo, α es una raíz del polinomio característico de multiplicidad m, y k & lt metro . Para probar que estas funciones son soluciones, se puede observar que si α es una raíz del polinomio característico de multiplicidad m, el polinomio característico puede factorizarse como PAG(t) (tα) metro . Por lo tanto, aplicar el operador diferencial de la ecuación es equivalente a aplicar primero m multiplicado por el operador d d x - α < textstyle < frac > - alpha>, y luego el operador que tiene P como polinomio característico. Por el teorema del cambio exponencial,

y así uno obtiene cero después k + 1 aplicación de d d x - α < textstyle < frac > - alpha>.

Como, según el teorema fundamental del álgebra, la suma de las multiplicidades de las raíces de un polinomio es igual al grado del polinomio, el número de soluciones anteriores es igual al orden de la ecuación diferencial, y estas soluciones forman una base del espacio vectorial de las soluciones.

En el caso común en el que los coeficientes de la ecuación son reales, generalmente es más conveniente tener una base de las soluciones que consta de funciones de valor real. Tal base puede obtenerse de la base anterior señalando que, si a + ib es una raíz del polinomio característico, entonces aib es también una raíz, de la misma multiplicidad. Por lo tanto, se obtiene una base real utilizando la fórmula de Euler y reemplazando X k mi (a+ib)X y X k mi (aib)X por X k mi hacha porquebx) y X k mi hacha pecado(bx) .

Caso de segundo orden Editar

Se puede escribir una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

y su polinomio característico es

Si ayb son reales, hay tres casos para las soluciones, dependiendo del discriminante D = a 2 − 4B . En los tres casos, la solución general depende de dos constantes arbitrarias C1 y C2 .

  • Si D & gt 0, el polinomio característico tiene dos raíces reales distintas α y β. En este caso, la solución general es
  • Si D = 0, el polinomio característico tiene una raíz doble -a/ 2, y la solución general es
  • Si D & lt 0, el polinomio característico tiene dos raíces conjugadas complejas α ± βi , y la solución general es

Encontrar la solucion y(X) satisfactorio y(0) = D1 y y′(0) = D2 , uno equipara los valores de la solución general anterior en 0 y su derivada allí a D1 y D2 , respectivamente. Esto da como resultado un sistema lineal de dos ecuaciones lineales en las dos incógnitas C1 y C2 . Al resolver este sistema se obtiene la solución del llamado problema de Cauchy, en el que se especifican los valores en 0 para la solución del DEQ y su derivada.

Se puede escribir una ecuación no homogénea de orden n con coeficientes constantes

donde a1, …, anorte son números reales o complejos, f es una función dada de x, e y es la función desconocida (en aras de la simplicidad, "(X) "se omitirá a continuación).

Existen varios métodos para resolver dicha ecuación. El mejor método depende de la naturaleza de la función f que hace que la ecuación no sea homogénea. Si f es una combinación lineal de funciones exponenciales y sinusoidales, entonces se puede usar la fórmula de respuesta exponencial. Si, de manera más general, f es una combinación lineal de funciones de la forma X norte mi hacha , X norte porquehacha) , y X norte pecado(hacha), donde n es un número entero no negativo y a una constante (que no tiene por qué ser la misma en cada término), entonces se puede utilizar el método de coeficientes indeterminados. Aún más general, el método del aniquilador se aplica cuando f satisface una ecuación diferencial lineal homogénea, típicamente, una función holonómica.

El método más general es la variación de constantes, que se presenta aquí.

La solución general de la ecuación homogénea asociada

donde (y1, …, ynorte) es una base del espacio vectorial de las soluciones y tu1, …, tunorte son constantes arbitrarias. El método de variación de constantes toma su nombre de la siguiente idea. En lugar de considerar tu1, …, tunorte como constantes, pueden considerarse como funciones desconocidas que deben determinarse para hacer y una solución de la ecuación no homogénea. Para este propósito, se agregan las restricciones

por I = 1, …, norte - 1, y

Reemplazando en la ecuación original y y sus derivadas por estas expresiones, y usando el hecho de que y1, …, ynorte son soluciones de la ecuación homogénea original, se obtiene

Esta ecuación y las anteriores con 0 como lado izquierdo forman un sistema de n ecuaciones lineales en tu1, …, tunorte cuyos coeficientes son funciones conocidas (f, el yI y sus derivados). Este sistema puede resolverse mediante cualquier método de álgebra lineal. El cálculo de antiderivadas da tu1, …, tunorte , y luego y = tu1y1 + ⋯ + tunorteynorte .

Como las antiderivadas se definen hasta la adición de una constante, se encuentra nuevamente que la solución general de la ecuación no homogénea es la suma de una solución arbitraria y la solución general de la ecuación homogénea asociada.

La ecuación homogénea asociada y ′ (x) + y (x) x = 0 < displaystyle y '(x) + < frac > = 0> da

Dividir la ecuación original por una de estas soluciones da

Para la condición inicial

uno obtiene la solución particular

La forma general de una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden 1, después de dividir el coeficiente de y′(X) , es:

y ′ (x) = f (x) y (x) + g (x).

Si la ecuación es homogénea, es decir gramo(X) = 0, se puede reescribir e integrar:

donde k es una constante arbitraria de integración y F = ∫ f d x < displaystyle F = textstyle int f , dx> es cualquier antiderivada de f. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es

donde C = mi k es una constante arbitraria.

Para la ecuación general no homogénea, se puede multiplicar por el recíproco miF de una solución de la ecuación homogénea. [2] Esto da

Por tanto, la solución general es

donde c es una constante de integración y F es cualquier antiderivada de f (cambio de cantidades de antiderivada para cambiar la constante de integración).

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales consta de varias ecuaciones diferenciales lineales que involucran varias funciones desconocidas. En general, se restringe el estudio a sistemas tales que el número de funciones desconocidas es igual al número de ecuaciones.

Una ecuación diferencial ordinaria lineal arbitraria y un sistema de tales ecuaciones se pueden convertir en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden agregando variables para todas las derivadas de orden más alto excepto las.Es decir, si y ′, y ″,…, y (k) < displaystyle y ', y' ', ldots, y ^ <(k) >> aparecen en una ecuación, se pueden reemplazar por nuevas funciones desconocidas y 1,…, yk < Displaystyle y_ <1>, ldots, y_> que debe satisfacer las ecuaciones y ′ = y 1 < displaystyle y '= y_ <1>> y y i ′ = y i + 1, < displaystyle y_'= y_,> para I = 1, . k – 1 .

Un sistema lineal de primer orden, que tiene n funciones desconocidas y n ecuaciones diferenciales, normalmente se puede resolver para las derivadas de las funciones desconocidas. Si no es el caso, se trata de un sistema algebraico diferencial, y esta es una teoría diferente. Por tanto, los sistemas que aquí se consideran tienen la forma

El método de resolución es similar al de una única ecuación diferencial lineal de primer orden, pero con complicaciones derivadas de la no conmutatividad de la multiplicación de matrices.

ser la ecuación homogénea asociada a la ecuación matricial anterior. Sus soluciones forman un espacio vectorial de dimensión n, y por lo tanto son las columnas de una matriz cuadrada de funciones U (x) < displaystyle U (x)>, cuyo determinante no es la función cero. Si norte = 1, o A es una matriz de constantes o, más generalmente, si A conmuta con su antiderivada B = ∫ A d x < displaystyle textstyle B = int Adx>, entonces uno puede elegir U igual al exponencial de B. De hecho, en estos casos, uno tiene

En el caso general, no hay una solución de forma cerrada para la ecuación homogénea, y uno tiene que usar un método numérico o un método de aproximación como la expansión de Magnus.

Conociendo la matriz U, la solución general de la ecuación no homogénea es

Si las condiciones iniciales se dan como

la solución que satisface estas condiciones iniciales es

Una ecuación lineal ordinaria de orden uno con coeficientes variables puede resolverse por cuadratura, lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales. Este no es el caso del pedido de al menos dos. Este es el resultado principal de la teoría de Picard-Vessiot que fue iniciada por Émile Picard y Ernest Vessiot, y cuyos desarrollos recientes se denominan teoría diferencial de Galois.

La imposibilidad de resolver por cuadratura se puede comparar con el teorema de Abel-Ruffini, que establece que una ecuación algebraica de grado al menos cinco no puede, en general, resolverse por radicales. Esta analogía se extiende a los métodos de prueba y motiva la denominación de teoría diferencial de Galois.

De manera similar al caso algebraico, la teoría permite decidir qué ecuaciones se pueden resolver por cuadratura y, si es posible, resolverlas. Sin embargo, para ambas teorías, los cálculos necesarios son extremadamente difíciles, incluso con las computadoras más potentes.

Sin embargo, el caso de orden dos con coeficientes racionales ha sido completamente resuelto por el algoritmo de Kovacic.

Ecuación de Cauchy-Euler Editar

Las ecuaciones de Cauchy-Euler son ejemplos de ecuaciones de cualquier orden, con coeficientes variables, que pueden resolverse explícitamente. Estas son las ecuaciones de la forma

Una función holonómica, también llamada Función D-finita, es una función que es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes polinomiales.

La mayoría de las funciones que se consideran comúnmente en matemáticas son holonómicas o cocientes de funciones holonómicas. De hecho, las funciones holonómicas incluyen polinomios, funciones algebraicas, logaritmo, función exponencial, seno, coseno, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas, y muchas funciones especiales como funciones de Bessel y funciones hipergeométricas.

Las funciones holonómicas tienen varias propiedades de cierre en particular, las sumas, productos, derivadas e integrales de funciones holonómicas son holonómicas. Además, estas propiedades de cierre son efectivas, en el sentido de que existen algoritmos para calcular la ecuación diferencial del resultado de cualquiera de estas operaciones, conociendo las ecuaciones diferenciales de la entrada. [3]

La utilidad del concepto de funciones holonómicas resulta del teorema de Zeilberger, que sigue. [3]

A secuencia holonómica es una secuencia de números que puede generarse mediante una relación de recurrencia con coeficientes polinomiales. Los coeficientes de la serie de Taylor en un punto de una función holonómica forman una secuencia holonómica. Por el contrario, si la secuencia de los coeficientes de una serie de potencias es holonómica, entonces la serie define una función holonómica (incluso si el radio de convergencia es cero). Existen algoritmos eficientes para ambas conversiones, es decir, para calcular la relación de recurrencia a partir de la ecuación diferencial, y viceversa. [3]

De ello se deduce que, si uno representa (en una computadora) funciones holonómicas por sus ecuaciones diferenciales definitorias y condiciones iniciales, la mayoría de las operaciones de cálculo se pueden realizar automáticamente en estas funciones, como la derivada, la integral indefinida y definida, el cálculo rápido de series de Taylor (gracias de la relación de recurrencia sobre sus coeficientes), evaluación con alta precisión con cota certificada del error de aproximación, límites, localización de singularidades, comportamiento asintótico en el infinito y cerca de singularidades, prueba de identidades, etc. [4]


Matemáticas preliminares 2020-21

Las sinopsis brindan algunos detalles adicionales y muestran cómo se divide el material entre los diferentes cursos de conferencias. Incluyen detalles de la lectura recomendada.

Trabajo practico

El requisito en el Normas de examen Para seguir un curso adecuado de trabajo práctico se satisfará siguiendo el curso de Matemática Computacional y presentando dos proyectos de Matemática Computacional. Los detalles sobre la presentación de estos proyectos se darán en el manual de Matemática Computacional.

El plan de estudios aquí es el que se menciona en el Reglamento de examen 2020 Reglamento Especial para el Examen Preliminar de Matemáticas (https://www.admin.ox.ac.uk/examregs/) y ha sido aprobado por el Comité de Enseñanza de Matemáticas para su examen en Trinity Term 2021.

A
El tema del examen serán las matemáticas y sus aplicaciones. El plan de estudios y el número de trabajos serán prescritos por reglamento periódicamente por la Junta de Matemáticas, Físicas y Ciencias de la Vida.

1. Los candidatos deberán realizar cinco trabajos escritos. Los títulos de los trabajos serán:
Matemáticas yo,
Matemáticas II,
Matemáticas III,
Matemáticas IV,
Matemáticas V.

2. Además de los cinco trabajos de la clase 1, el candidato también debe ofrecer una evaluación práctica del trabajo.

3. Se considerará que los candidatos han aprobado el examen si han satisfecho a los Moderadores en los cinco trabajos y la evaluación práctica en un solo examen o si han aprobado los cinco trabajos y la evaluación práctica de acuerdo con la condición de cl 4.

4. Un candidato que no satisfaga a los Moderadores en uno o dos de los artículos IV puede ofrecer esos artículos en una ocasión posterior, un candidato que no satisfaga a los Moderadores en tres o más de los artículos IV puede ofrecer los cinco artículos en una ocasión posterior El candidato que no satisfaga a los moderadores en la evaluación del trabajo práctico también podrá ofrecer la evaluación en una ocasión posterior.

5. Los moderadores pueden otorgar una distinción a los candidatos de mérito especial que hayan aprobado los cinco trabajos escritos y la evaluación del trabajo práctico en un solo examen.

6. El programa de estudios de cada trabajo será publicado por el Instituto de Matemáticas en el sitio web del Instituto de Matemáticas al comienzo del período completo de Michaelmas en el año académico del examen, después de consultar con el Comité de Enseñanza de Matemáticas. Cada artículo contendrá preguntas de carácter sencillo.

7. El Presidente de Matemáticas, o un suplente, pondrá a disposición de los Moderadores evidencia que demuestre hasta qué punto cada candidato ha realizado un curso adecuado de trabajo práctico. Al evaluar el desempeño de un candidato en el examen, los moderadores tendrán en cuenta esta evidencia. Los plazos para la entrega de trabajos prácticos se publicarán en un manual para los candidatos al comienzo del período completo de Michaelmas en el año académico del examen.

Por lo general, se requiere que los candidatos presenten dichos trabajos prácticos electrónicamente. Los detalles se proporcionarán en el manual del curso práctico. Cualquier candidato que no pueda, por alguna razón, enviar un trabajo electrónicamente debe solicitar al Administrador Académico, Instituto de Matemáticas, permiso para enviar el trabajo en forma impresa. Dichas solicitudes deben llegar al Administrador Académico dos semanas antes de la fecha límite para la presentación de los trabajos prácticos.

8. Por lo general, no se permite el uso de calculadoras de bolsillo, pero se pueden permitir ciertos tipos para algunos papeles. Los moderadores anunciarán las especificaciones de qué trabajos y qué tipos de calculadora están permitidos para esos trabajos excepcionales en el período de Hilary que precede al examen.

Matemáticas I

Conjuntos: ejemplos que incluyen los números naturales, los enteros, los números racionales, la inclusión de números reales, unión, intersección, conjunto de potencias, pares ordenados y producto cartesiano de conjuntos. Relaciones. Definición de relación de equivalencia.

La propiedad de ordenamiento correcto de los números naturales. La inducción como método de prueba, incluida una prueba del teorema del binomio con coeficientes integrales no negativos.

Mapas: composición, restricción, mapas inyectables (uno a uno), sobreyectivos (sobre) e invertibles, imágenes y preimágenes.

Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices y los inicios del álgebra matricial. Uso de matrices para describir sistemas de ecuaciones lineales.
Operaciones de fila elemental (ERO) en matrices. Reducción de matrices a forma escalonada. Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Inversa de una matriz cuadrada. Forma escalonada reducida (RRE) y el uso de ERO para calcular la eficiencia computacional inversa del método. Transposición de una matriz de matrices ortogonales.

Espacios vectoriales: definición de un espacio vectorial sobre un campo (como $ mathbb$, $ mathbb$, $ mathbbPS Subespacios. Muchos ejemplos explícitos de espacios vectoriales y subespacios.

Alcance de un conjunto de vectores. Ejemplos como el espacio de filas y el espacio de columnas de una matriz. Dependencia e independencia lineal. Bases de ejemplos de espacios vectoriales. La dimensión del lema de intercambio de Steinitz. Aplicación a matrices: espacio de fila y espacio de columna, rango de fila y rango de columna. Coordenadas asociadas a una base de un espacio vectorial.

Uso de ERO para encontrar bases de subespacios. Sumas e intersecciones de subespacios la fórmula de dimensión. Sumas directas de subespacios.

Transformaciones lineales: definición y ejemplos (incluidas proyecciones asociadas con descomposiciones de suma directa). Se invierte algo de álgebra de transformaciones lineales. Núcleo e imagen, teorema de nulidad de rango. Aplicaciones que incluyen la caracterización algebraica de proyecciones (como transformaciones lineales idempotentes).

Matriz de una transformación lineal con respecto a bases. Teorema del cambio de bases. Aplicaciones que incluyen prueba de que el rango de fila y el rango de columna de una matriz son iguales.

Ejemplos de espacios de productos internos reales de formas bilineales Mención de espacios de producto interior complejos. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Distancia y ángulo. La importancia de las matrices ortogonales.

Introducción al determinante de una matriz cuadrada: existencia y unicidad y relación con el volumen. Prueba de existencia por inducción. Propiedades básicas, cálculo por operaciones de fila.

Determinantes y transformaciones lineales: multiplicatividad del determinante, definición del determinante de una transformación lineal. Invertibilidad y determinante. Matrices de permutación y fórmula explícita para el determinante deducido de las propiedades del determinante.

Autovectores y autovalores, el polinomio característico. Rastro. Prueba de que los espacios propios forman una suma directa. Ejemplos. Discusión de la diagonalización. Multiplicidad geométrica y algebraica de valores propios.

Teorema espectral para matrices simétricas reales. Realización de matrices de mapas bilineales con base y aplicación a la transformación ortogonal de cuadrículas en forma normal. Declaración de clasificación de transformaciones ortogonales.

Axiomas para un grupo y para un grupo abeliano. Ejemplos que incluyen grupos de simetría geométrica, grupos de matrices ($ GL_$, $ SL_$, $ O_$, $ SO_$, $ U_$), grupos cíclicos. Productos de grupos.

Permutaciones de un conjunto finito en composición. Ciclos y notación cíclica. Orden. Transposiciones Cada permutación puede expresarse como un producto de transposiciones. La paridad de una permutación está bien definida a través de determinantes. Conjugado en grupos de permutación.

Ejemplos de subgrupos. Intersecciones. El subgrupo generado por un subconjunto de un grupo. Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Conexión con hcf y lcm. Lema de Bezout.

Recapitulación de las relaciones de equivalencia, incluida la congruencia mod n y la conjugación en un grupo. Prueba de que las clases de equivalencia dividen un conjunto. Ejemplos de Cosets y del teorema de Lagrange. El orden de un elemento. El pequeño teorema de Fermat.

Isomorfismos, ejemplos. Grupos de orden 8 o menos hasta isomorfismo (declarado sin prueba). Homomorfismos de grupos con ejemplos motivadores. Granos. Imágenes. Subgrupos normales. Ejemplos de grupos de cocientes. Primer teorema del isomorfismo. Ejemplos simples que determinan todos los homomorfismos entre grupos.

Ejemplos de acciones grupales. Definición de órbitas y estabilizadores. Transitividad. Las órbitas dividen el conjunto. Los estabilizadores son subgrupos.

Teorema del estabilizador de órbita. Ejemplos y aplicaciones que incluyen el teorema de Cauchy y clases de conjugación.

Fórmula de recuento de órbitas. Ejemplos.

La representación $ G rightarrow mathrm(S) $ asociado con una acción de $ G $ en $ S $. Teorema de Cayley. Grupos de simetría del tetraedro y el cubo.

Matemáticas II

Números reales: aritmética, ordenación, suprema, infima números reales como un campo completo ordenado. Conjuntos contables. Los números racionales son contables. Los números reales son incontables.

El sistema de números complejos. El módulo y argumento del diagrama de Argand. Teorema de De Moivre, forma polar, desigualdad triangular. Declaración del teorema fundamental del álgebra. Raíces de unidad. Transformaciones simples en el plano complejo. Forma polar, con aplicaciones.

Secuencias de números (reales o complejos). Límites de sucesiones de números el álgebra de límites. Orden de notación.

Subsecuencias Cada subsecuencia de una secuencia convergente converge al mismo límite. Las secuencias monótonas delimitadas convergen. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Criterio de convergencia de Cauchy. Punto límite de un subconjunto de la línea o el plano.

Serie de números (reales o complejos). Convergencia de series. Ejemplos simples para incluir progresiones geométricas y series de potencias. Prueba de series alternas, convergencia absoluta, prueba de comparación, prueba de razón, prueba integral.

Serie de potencias, radio de convergencia, ejemplos importantes para incluir definiciones de relaciones entre funciones exponenciales, trigonométricas y funciones hiperbólicas.

Funciones continuas de una sola variable real o compleja. Definición de continuidad de funciones reales valoradas de varias variables.

El álgebra de funciones continuas. Una función continua de valor real en un intervalo acotado cerrado está acotada, alcanza sus límites y es uniformemente continua. Teorema del valor intermedio. Teorema de función inversa para funciones continuas estrictamente monótonas.

Secuencias y series de funciones. El límite uniforme de una secuencia de funciones continuas es continuo. Prueba M de Weierstrass. Continuidad de funciones definidas por series de potencias.

Definición de derivada de una función de una sola variable real. El álgebra de funciones diferenciables. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Teorema del valor medio (generalizado) de Cauchy. Fórmula de L'H & ocircpital. La expansión de Taylor con el resto en la forma de Lagrange. Teorema del binomio con índice arbitrario.

Funciones escalonadas y sus integrales. Integral de una función continua en un intervalo acotado cerrado. Propiedades de la integral, incluida la linealidad y el intercambio de integral y límite para un límite uniforme de funciones continuas en un intervalo acotado. El teorema del valor medio para integrales. El teorema fundamental del cálculo integración por partes y sustitución.

Diferenciación término por término de una serie de potencias (reales) (intercambiando límite y derivada para una serie de funciones donde las derivadas convergen uniformemente).

Matemáticas III

EDO lineales generales homogéneas: factor de integración para EDO lineales de primer orden, segunda solución cuando se conoce una solución para EDO lineales de segundo orden. EDO lineales de primer y segundo orden con coeficientes constantes. Solución general de EDO lineal no homogénea como solución particular más solución de ecuación homogénea. Ejemplos simples de encontrar integrales particulares mediante conjeturas.

Derivadas parciales. Derivadas de segundo orden y enunciado de condición para la igualdad de derivadas parciales mixtas. Regla de cadena, cambio de variable, incluidas coordenadas polares planas. Resolver algunas ecuaciones diferenciales parciales simples (por ejemplo, $ f_ = 0 $, $ f_x = f_y $).

Representación paramétrica de curvas, tangentes. Longitud de arco. Integrales de línea.

Jacobianos con ejemplos que incluyen coordenadas polares planas. Algunas integrales dobles simples calculan el área y también $ int _ < mathbb^ 2> e ^ <- (x ^ 2 + y ^ 2)> dA $.

Ejemplos simples de superficies, especialmente como conjuntos de niveles. Vector de gradiente normal a la derivada direccional de superficie $ int ^ B_A nabla phi cdot d mathbf = phi (B) - phi (A) $.

Teorema de Taylor para una función de dos variables (solo declaración). Puntos críticos y clasificación mediante derivadas direccionales y teorema de Taylor. Tratamiento informal (geométrico) de los multiplicadores de Lagrange.

Espacio muestral, álgebra de eventos, medida de probabilidad. Permutaciones y combinaciones, muestreo con o sin reemplazo. Probabilidad condicional, particiones del espacio muestral, teorema de probabilidad total, teorema de Bayes. Independencia.

Variables aleatorias discretas, funciones de masa de probabilidad, ejemplos: Bernoulli, binomial, Poisson, geométrico. Expectativa: media y varianza. Distribuciones conjuntas de varias variables aleatorias discretas. Distribuciones marginales y condicionales. Independencia. Expectativa condicional, teorema de probabilidad total de expectativas. Expectativas de funciones de más de una variable aleatoria discreta, covarianza, varianza de una suma de variables aleatorias discretas dependientes.

Solución de ecuaciones en diferencias lineales de primer y segundo orden. Paseos aleatorios (solo espacio de estados finitos).

Funciones generadoras de probabilidad, se utilizan en el cálculo de expectativas. Muestra aleatoria, sumas de variables aleatorias independientes, sumas aleatorias. Desigualdad de Chebyshev, ley débil de números grandes.

Variables aleatorias continuas, funciones de distribución acumulativa, funciones de densidad de probabilidad, ejemplos: uniforme, exponencial, gamma, normal. Expectativa: media y varianza. Funciones de una única variable aleatoria continua. Funciones de densidad de probabilidad conjunta de varias variables aleatorias continuas (solo regiones rectangulares). Distribuciones marginales. Independencia. Expectativas de funciones de variables aleatorias conjuntamente continuas, covarianza, varianza de una suma de variables aleatorias dependientes conjuntamente continuas.

Muestras aleatorias, concepto de estadística y su distribución, media muestral como medida de ubicación y varianza muestral como medida de dispersión.

Concepto de verosimilitud Ejemplos de verosimilitud para distribuciones simples. Estimación de un único parámetro desconocido maximizando la probabilidad. Ejemplos extraídos de: Bernoulli, binomial, geométrico, Poisson, exponencial (parametrizado por media), normal (solo media, varianza conocida). Datos para incluir encuestas simples, sondeos de opinión, estudios arqueológicos, etc. Propiedades de los estimadores --- insesgado, error cuadrático medio = (sesgo $ ^ <2> $ + varianza). Declaración del teorema del límite central (excluyendo la prueba). Intervalos de confianza utilizando CLT. Ajuste en línea recta simple, $ Y_= a + bx_+ varepsilon _$, con $ varepsilon _$ errores independientes normales de media cero y varianza conocida común. Estimadores de $ a $, $ b $ maximizando la probabilidad mediante la diferenciación parcial, el insesgado y el cálculo de la varianza como sumas lineales de $ Y_PS (Sin intervalos de confianza). Ejemplos (use diagramas de dispersión para mostrar la idoneidad de la regresión lineal).

Regresión lineal con 2 regresores. Caso especial de regresión cuadrática $ Y_t = a + bx_t + cx ^ 2_t + epsilon_t $. Modelo de diagnóstico y detección de valores atípicos. Parcelas residuales. Heteroscedasticidad. Valores atípicos y residuales studentizados. Puntos de alto apalancamiento y estadísticas de apalancamiento.

Introducción al aprendizaje no supervisado con ejemplos del mundo real. Análisis de componentes principales (PCA). Prueba de que los PJ maximizan las direcciones de máxima varianza y son ortogonales usando multiplicadores de Lagrange. PCA como autodescomposición de la matriz de covarianza. Autovalores como varianzas. Elección del número de PC. El pdf de distribución normal multivariante. Ejemplos de PCA en datos normales multivariados y datos agrupados. Técnicas de agrupación K-significa agrupación. Minimización de la varianza dentro del conglomerado. Algoritmo K-means y prueba de que disminuirá la función objetiva. Óptima local versus global y uso de inicializaciones aleatorias. Técnicas de agrupamiento jerárquico. Agrupación aglomerativa mediante enlace completo, medio y único.

Matemáticas IV

Geometría euclidiana en dos y tres dimensiones aproximada por vectores y coordenadas. Suma de vectores y multiplicación escalar. El producto escalar, ecuaciones de planos, líneas y círculos. [3]

El producto vectorial en tres dimensiones. Uso de a, b, a∧b como base. r∧a = b representa una línea. Productos triples escalares y productos triples vectoriales, álgebra vectorial. [2]

Cónicas (solo forma normal), foco y directriz. Ecuaciones de grado dos en dos variables. Matrices ortogonales y los mapas que representan en R2. Bases ortonormales en R3. Cambio ortogonal de la variable Au⋅Av = u⋅v y A (u∧v) = ± Au∧Av. Declaración de que una matriz simétrica real se puede diagonalizar ortogonalmente. Ejemplos simples que identifican cónicas que no están en forma normal. [3]

Matrices ortogonales 3 × 3 SO (3) y condiciones de rotación para ser una reflexión. Isometrías de R3. [2]

Marcos giratorios en 2 y 3 dimensiones. Velocidad angular. v = ω∧r. [1]

Superficies parametrizadas, incluidas esferas, conos. Ejemplos de sistemas de coordenadas que incluyen polares parabólicos, esféricos y cilíndricos. Calculando normal como ru∧rv. Área de superficie. [4]

Leyes de Newton, marcos inerciales, relatividad galileana. Análisis dimensional.

Fuerzas, ejemplos que incluyen gravedad, electromagnetismo, arrastre de fluidos. Fuerzas conservadoras y potencial gravitacional newtoniano. Energía e impulso.

Equilibrios y oscilador armónico. Estabilidad e inestabilidad mediante ecuaciones linealizadas, modos normales. Ejemplos sencillos de equilibrios en dos variables mediante matrices.

Fuerzas centrales, momento angular y par. Movimiento plano en coordenadas polares, potencial efectivo, leyes de Kepler y movimiento planetario.

Muchos sistemas de partículas, centro de movimiento de masas. Cuerpos rígidos, marcos giratorios y fuerza de Coriolis, tensor de inercia, movimiento del cuerpo rígido.

El algoritmo de división en números enteros, el algoritmo de Euclides que incluye la prueba de terminación con el factor común más alto. La solución de ecuaciones diofánticas lineales.

División y algoritmo de Euclides para polinomios reales. Ejemplos.

Hallazgo de raíces para polinomios reales. Iteraciones de punto fijo, ejemplos. Convergencia. Existencia de puntos fijos y convergencia de iteraciones de punto fijo por el teorema del mapeo de contracciones (usando el teorema del valor medio).

Iteración de Newton. Convergencia cuadrática. Regla de Horner.

Matemáticas V

Integrales múltiples: Dos dimensiones. Definición y evaluación informal mediante el ejemplo de integración repetido sobre las propiedades de un rectángulo. Dominios generales. Cambio de variables. Ejemplos.

Integrales de volumen: jacobianos para polares cilíndricos y esféricos, ejemplos.

Recapitula las integrales de superficie. Integrales de flujo.

Campos escalares y vectoriales. Operadores diferenciales vectoriales: interpretación física de divergencia y rizo. Cálculo. Identidades.

Teorema de divergencia. Ejemplo. Consecuencias: Teoremas 1º y 2º de Greens. $ int_V nabla phi dV = int_ < delta V> phi dS $. Unicidad de las soluciones de la ecuación de Poisson. Derivación de la ecuación de calor. Teorema de divergencia en plano. Prueba informal para avión.

Teorema de Stokes. Ejemplos. Consecuencias. La existencia de potencial para una fuerza conservadora.

Teorema del flujo de Gauss. Ejemplos. Equivalencia con la ecuación de Poisson.

Serie de Fourier: funciones periódicas, impares y pares. Cálculo de series de seno y coseno. Aplicaciones simples que se concentran en impartir familiaridad con el cálculo de coeficientes de Fourier y el uso de series de Fourier. El tema de la convergencia se discute informalmente con ejemplos. Se menciona el vínculo entre convergencia y suavidad, junto con sus consecuencias a efectos de aproximación.

Ecuaciones diferenciales parciales: Introducción en modo descriptivo sobre ecuaciones diferenciales parciales y cómo surgen. Derivación de (i) la ecuación de onda de una cuerda, (ii) la ecuación de calor en una dimensión (solo argumento de caja). Ejemplos de soluciones y su interpretación. Solución de D'Alembert de la ecuación de onda y sus aplicaciones. Diagramas característicos (excluyendo reflexión y transmisión). Singularidad de las soluciones de ecuaciones de ondas y calor.

PDE con condiciones de contorno. Solución por separación de variables. Uso de la serie de Fourier para resolver la ecuación de onda, la ecuación de Laplace y la ecuación de calor (todas con dos variables independientes). (Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas y polares planas). Aplicaciones.


11.2: B- Integración de algunas EDO lineales básicas - Matemáticas

Elegibilidad mínima

Un mínimo de 17 años de educación con una maestría en Matemáticas / Ciencias de la Computación / Estadística / Investigación de Operaciones / Física o un título equivalente con un 55% de calificaciones en la calificación agregada o equivalente.

Procedimiento de admisión: Prueba de ingreso y entrevista. Se deberá obtener un mínimo del 50% de las notas por separado, tanto en la prueba de ingreso como en la entrevista, para ser elegible para la admisión. El peso de la prueba de ingreso será del 50% y el peso de la entrevista será del 50%.

Formato de la prueba de entrada

La duración de la prueba de ingreso será de 2 horas y el cuestionario constará de 50 preguntas de opción múltiple.

Se dará preferencia a quienes opten por la investigación en las siguientes áreas:

3. Dinámica de fluidos computacional

10. Técnicas de optimización

13. Sistema dinámico no lineal

Marcas negativas para respuestas incorrectas: Si la respuesta dada a cualquiera de las preguntas de opción múltiple es incorrecta, se deducirá 1/4 de las calificaciones asignadas a esa pregunta.

Entrevista: Los candidatos hasta cinco veces el número de asientos disponibles serán preseleccionados para la entrevista sobre la base de su desempeño en la prueba de ingreso, sujeto a un corte mínimo.

Se elaborará una lista final de méritos sumando las calificaciones de la prueba de ingreso y la entrevista. Se harán listas de mérito separadas para (a) candidatos de todos los países de la SAARC que no sean India, y (b) candidatos de India. Se ofrecerá admisión a igual número de candidatos de estas dos listas, de acuerdo con el mérito y la disponibilidad de asientos.

No se permiten calculadoras. Sin embargo, se pueden utilizar tablas de registro.

Las áreas de las cuales se pueden hacer preguntas en la prueba de ingreso incluirán las siguientes:

Análisis: Funciones reales límite, continuidad, diferenciabilidad secuencias serie funciones de convergencia uniforme de variables complejas funciones analíticas, singularidades de integración compleja, potencia y serie Laurent espacios métricos proyección estereográfica topología, compacidad, conectividad espacios lineales normativos, espacios de producto interno espacios duales, operadores lineales medida de Lebesgue y teoremas de convergencia de integración.

Álgebra: Teoría básica de matrices y determinantes valores propios y vectores propios Grupos y sus propiedades elementales subgrupos, subgrupos normales, grupos cíclicos, grupos de permutación Grupos del cociente del teorema de Lagrange, homomorfismo de grupos Teorema de Cauchy y grupos p la estructura de grupos Teoremas de Sylow y sus anillos de aplicación , dominios y campos integrales homomorfismo de anillos e ideales anillos polinomiales y criterios de irreductibilidad espacio vectorial, subespacio vectorial, independencia lineal de vectores, base y dimensiones de un espacio vectorial, espacios de producto interno, base ortonormal proceso de Gram-Schmidt, transformaciones lineales.

Ecuaciones diferenciales: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (EDO) solución de problemas de valor inicial de primer orden solución singular de EDO de primer orden sistema de EDO lineal de primer orden método de solución de dx / P = dy / Q = dz / R trayectoria ortogonal solución de ecuaciones diferenciales de Pfaffian en tres variables EDO lineales de segundo orden Problemas de Sturm-Liouville Transformación de Laplace de EDO soluciones en serie Problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales parciales de primer orden (PDE) método de características PDE lineales de segundo orden en dos variables y su clasificación separación de variables solución de Laplace, onda y difusión ecuaciones Transformada de Fourier y transformada de Laplace de PDE.

Análisis numérico: Solución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentales métodos directos e iterativos para sistemas de ecuaciones lineales problemas de valores propios de matrices interpolación y aproximaciones diferenciación e integración numérica integración numérica compuesta integración numérica doble solución numérica para problemas de valores iniciales métodos de diferencias finitas y elementos finitos para problemas de valores en la frontera.

Probabilidades y estadísticas: Enfoque axiomático de expectativa de variables aleatorias de probabilidad, funciones generadoras de momentos, funciones de densidad y distribución expectativa condicional.

Programación lineal: Problema de programación lineal y su formulación método gráfico, método simplex solución de partida artificial análisis de sensibilidad análisis de dualidad y post-optimización.


Matemáticas (MATEMÁTICAS)

Operaciones y ecuaciones algebraicas, exponentes y radicales, polinomios y factorización, e introducción a la geometría de ángulos y triángulos. Requisito previo: Colocación a través de la Facultad de Educación Profesional y Continua (4 créditos)

MATH1000 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS

Álgebra y trigonometría, incluidas fracciones algebraicas, sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones literales, problemas verbales y sus soluciones, triángulos rectángulos y vectores. Se enfatizarán las aplicaciones. (4 créditos) otoño, primavera

MATH1005 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS A

Temas de álgebra universitaria que incluyen exponentes, radicales, números complejos, polinomios, factorización, fracciones algebraicas, técnicas de resolución de ecuaciones, una introducción a las funciones y sus gráficas y funciones lineales. (3 créditos)

MATH1007 APLICACIONES EN MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS

Esta clase proporciona aplicaciones de enriquecimiento adicionales para los estudiantes inscritos en MATH1000, College Mathematics. Los estudiantes asumirán un papel de liderazgo en esta clase para trabajar en problemas de aplicación avanzados y ver cómo las matemáticas universitarias encajan con el resto del plan de estudios de su especialización. Co-requisito: MATH1000

MATH1020 AVIÓN Y GEOMETRÍA SÓLIDA

Un estudio de la geometría euclidiana elemental que incluye líneas y ángulos, medidas y unidades, propiedades de triángulos, paralelogramos, trapezoides, polígonos regulares, círculos, secciones cónicas, esferas, cilindros, pirámides, poliedros, áreas y volúmenes. (4 créditos) primavera

MATH1030 ESTADÍSTICAS Y APLICACIONES AMP

Este curso está diseñado para presentar a los estudiantes los conceptos estadísticos relacionados con el diseño de ingeniería, la inspección y la garantía de calidad. Los temas cubiertos incluyen probabilidad, normalidad, muestreo, regresión, correlación e intervalos de confianza en la confiabilidad. (4 créditos) otoño, primavera

MATEMÁTICAS1035 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS B

Temas en álgebra universitaria que incluyen funciones y sus gráficas, funciones compuestas e inversas, funciones aplicadas y variación, funciones cuadráticas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, sistemas de ecuaciones y aplicaciones. Requisito previo: MATH1005 (3 créditos)

MATH1040 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA EMPRESA

El propósito de este curso es proporcionar a los estudiantes las habilidades matemáticas básicas útiles para resolver problemas comerciales de la vida real. Se estudiarán y aplicarán ecuaciones lineales y cuadráticas a las finanzas y las ciencias sociales. Se estudiarán funciones y gráficos y se aplicarán al análisis básico de datos. Se aplicarán sistemas de ecuaciones lineales y programación lineal para maximizar las ganancias. Se proporciona una introducción a la probabilidad y la estadística y las matemáticas financieras básicas. (4 créditos) caída

MATH1065 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS C

Temas en álgebra universitaria y trigonometría, incluidas las funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y aplicaciones. Requisito previo: MATH1035 (3 créditos)

MATEMÁTICAS1500 PRECALCULO

Los temas incluyen: funciones polinomiales y racionales, funciones exponenciales y logarítmicas, funciones trigonométricas, ecuaciones paramétricas, trigonometría analítica, sistemas multivariables y aplicaciones y modelado. Requisito previo: MATH1000 (4 créditos) otoño, primavera, verano

MATEMÁTICAS1550 FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS APLICADAS

Se discutirán problemas, métodos y desarrollos recientes en matemáticas aplicadas. Los temas incluyen, entre otros, los siguientes: ecuaciones en diferencias, ajuste de modelos a los datos y elección del mejor modelo, modelos probabilísticos, decisiones secuenciales y probabilidad condicional y teoría de juegos. Los estudiantes se familiarizarán con procesadores de texto técnicos como LaTeX, software de hoja de cálculo y también con paquetes de programación de alto nivel como Python, R y MATLAB. Los estudiantes también escucharán a los oradores invitados describir el papel que juegan las matemáticas en sus respectivas carreras. (4 créditos) caída

MATH1600 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

La primera parte del curso repasa las habilidades de álgebra y precálculo, tal como aparecen en cálculo. La segunda parte del curso presenta a los estudiantes los conceptos principales del cálculo, incluidos los límites, las tasas de cambio y la acumulación. Este curso no satisface ningún requisito de grado. (2 créditos)

MATH1700 CÁLCULO I

Los temas incluyen: introducción a los límites, definición de la derivada, diferenciación de funciones algebraicas y trascendentales, diferenciación implícita, aplicaciones de la derivada e introducción a la integración. Requisito previo: MATH1065 o MATH1500 (4 créditos)

MATH1750 CÁLCULO DE INGENIERÍA I

Límites, continuidad, diferenciabilidad, la definición límite de la derivada, diferenciación, linealización y alguna integración de funciones algebraicas y trascendentales, diferenciación implícita. Destinado a estudiantes de ingeniería o tecnología avanzada. (4 créditos) otoño, primavera, verano

MATEMÁTICAS1775 CÁLCULO DE INGENIERÍA INTEGRADA I

Límites (incluida la regla de L'Hopital), continuidad, diferenciabilidad, definición del límite de la derivada, diferenciación de funciones algebraicas y trascendentales. Integra herramientas simbólicas, conceptos gráficos, datos y cálculos numéricos. Los estudiantes modelarán problemas científicos y de ingeniería en conferencias y laboratorios. (4 créditos)

MATH1800 CÁLCULO II

Técnicas de integración, teorema fundamental de cálculo, área, regla de L'Hopital, integrales impropias y aplicaciones de integrales definidas. Requisito previo: MATH1700 (4 créditos)

MATEMÁTICAS1850 CÁLCULO DE INGENIERÍA II

Definir integrales como límite de sumas de Riemann, cálculo de integrales definidas e indefinidas utilizando las técnicas de integración, integrales impropias, convergencia de sucesiones y series, y funciones de aproximación y estimación del error mediante series de Taylor y Maclaurin. Requisito previo: MATH1750 o MATH1775 (4 créditos) otoño, primavera, verano

MATEMÁTICAS1875 CÁLCULO DE INGENIERÍA INTEGRADA II

Definir integrales como límite de sumas de Reimann, cálculo de integrales definidas e indefinidas utilizando las técnicas de integración, integrales impropias, convergencia de sucesiones y series, incluida la serie de Taylor. Integra herramientas simbólicas, conceptos gráficos, datos y cálculos numéricos. Los estudiantes modelarán problemas científicos y de ingeniería en conferencias y laboratorios. Requisito previo: MATH1775 (4 créditos)

MATH1900 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Este curso sirve como una introducción al campo de la investigación de operaciones (OR). El curso cubrirá métodos básicos deterministas (no probabilísticos) de investigación de operaciones (programación lineal, flujos de red y programación entera) y sus aplicaciones a problemas de asignación de recursos en negocios y redes. Requisito previo: MATH1500 o MATH2800 (4 créditos) verano

MATEMÁTICAS1950 MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Este curso está diseñado para preparar a los estudiantes para el examen FM de la Sociedad de Actuarios (Matemáticas financieras) Este curso desarrollará el conocimiento de los conceptos fundamentales de las matemáticas financieras y cómo estos conceptos se aplican en el momento del valor del dinero, préstamos, bonos y efectivo en general. flujos y carteras.Se cubrirán teorías generales de interés como anualidades, tasas de rendimiento y amortización. Se cubrirán bonos y otros valores y temas adicionales en el análisis financiero, como la determinación de tasas de interés y permutas de tasas de interés. Requisitos previos: MATH1800, MATH1850 o MATH1875 (4 créditos)

MATH2000 CÁLCULO III

Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, vectores, líneas en tres dimensiones, planos y otras superficies, derivadas parciales, derivadas direccionales, extremos locales, coordenadas polares y múltiples integrales en coordenadas cartesianas y polares. Requisito previo: MATH1800 (4 créditos)

MATEMÁTICAS2025 CÁLCULO MULTIVARIABLE

Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, vectores, líneas en tres dimensiones, planos y otras superficies, derivadas parciales, derivadas direccionales, extremos locales, coordenadas polares y múltiples integrales en coordenadas cartesianas y polares, campos vectoriales, integrales de línea y teorema de Green. Requisito previo: MATH1850 o MATH1875 (4 créditos) otoño, primavera, verano

MATH2100 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAS AMP PARA INGENIEROS

Los temas estudiados son la probabilidad básica y una variedad de distribuciones de probabilidad utilizadas en el modelado de ingeniería y la confiabilidad (vida útil esperada de los productos), regresión lineal y correlación y prueba de hipótesis. Requisito previo: MATH1800 o MATH1850 o MATH1875 (4 créditos) otoño, primavera, verano

MATH2200 ESTADISTICAS AVANZADAS

Los temas incluyen: diseño de experimentos, correlación y regresión, análisis de varianza, pruebas t, métodos no paramétricos, análisis de fallas, modos y efectos. Requisito previo: MATH2100 (4 créditos) primavera

MATH2250 SERIES DE TIEMPO

El curso proporcionará una instrucción básica para series de tiempo. Los temas incluyen regresión de series de tiempo y análisis de datos exploratorios, modelos ETS, MA, ARMA / ARIMA, estimación de parámetros, diagnóstico de modelos, modelos estacionales y pronósticos. Requisito previo: MATH2100 (4 créditos) otoño

MATH2300 MATEMÁTICAS DISCRETAS

Temas de este curso a elegir: lógica elemental, conjuntos, permutaciones y combinaciones, inducción, relaciones, dígrafos, funciones, árboles, algoritmo de Warshall y álgebra booleana. Requisito previo: MATH1500 o MATH1065 (4 créditos) otoño, primavera, verano

MATH2425 CRIPTOLOGÍA

Este curso introducirá las matemáticas de la criptología histórica y moderna. Habrá énfasis tanto en la criptografía, la elaboración de códigos, como en el criptoanálisis, el desciframiento de mensajes codificados sin clave. Los temas incluyen, pero no se limitan a: combinatoria enumerativa, probabilidad, estadística, álgebra lineal, grupos finitos y teoría de números. (4 créditos) caída. Requisito previo: MATH2300

MATH2500 ECUACIONES DIFERENCIALES

Introducción a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Los temas incluirán la resolución de EDO de primer orden y de orden superior con coeficientes constantes, ecuaciones matriciales simples y sistemas de EDO, aplicaciones y métodos de solución de transformación de Euler y Laplace. Requisito previo: MATH1850 o MATH1875 (4 créditos) otoño, primavera, verano

MATH2550 TRANSICIÓN A MATEMÁTICAS AVANZADAS

Los estudiantes revisarán la lógica elemental y obtendrán técnicas de prueba estándar: prueba directa, prueba por contradicción, contraposición, casos e inducción. Los estudiantes escribirán pruebas de declaraciones relacionadas con conjuntos, relaciones y funciones. Se discutirán cuantificadores, operaciones de conjuntos, formas equivalentes de inducción matemática, relaciones de equivalencia, particiones, gráficas de relaciones, sobreyecciones, inyecciones y cardinalidad. Requisito previo: MATH2300 (4 créditos) primavera

MATH2650 MÉTODOS CUANTITATIVOS

Se estudian la teoría y lógica de conjuntos, la manipulación y notación matricial básica, la programación lineal y el método simplex. Se proporciona una introducción a la probabilidad y la estadística. Las aplicaciones de estos conceptos se aplican luego a los problemas de gestión con una encuesta de problemas de inventario, pronósticos y toma de decisiones. Requisitos previos: MATH1065 (3 créditos)

MATH2750 ECUACIONES DIFERENCIALES Y MODELADO DE SISTEMAS DE AMP

Sistemas lineales, álgebra matricial, autovalores y autovectores, soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, soluciones de estabilidad y equilibrio, transformadas de Laplace, modelos de espacio de estados y simulación. Requisito previo: MATH1800 o MATH1850 o MATH1875 (4 créditos) otoño

MATH2800 MATEMÁTICAS FINITAS

Se estudian teoría y lógica de conjuntos, notación y manipulación matricial, programación lineal y método simplex. Se proporciona una introducción a la probabilidad y la estadística. Resolución de problemas por computadora. Requisito previo: MATH1000 (4 créditos) primavera

MATH2850 ÁLGEBRA LINEAL Y VECTORIAL

Este curso es una introducción al álgebra lineal y vectorial con aplicaciones informáticas. Los temas incluyen: operaciones de vectores y matrices, transformaciones lineales, curvas y superficies. Requisito previo: MATH1500 Precálculo.

MATH2860 ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRIZ DE AMP

Los temas incluyen las operaciones básicas de n-tuplas y matrices, vectores geométricos, ecuaciones de líneas y planos, sistemas de ecuaciones lineales, reducción de filas de matrices, independencia lineal, determinantes y una introducción a la base, dimensión, valores propios, vectores propios y vectores. espacios. Requisito previo: MATH1850 (4 créditos) otoño, primavera

MATH3100 IMAGEN MÉDICA: UN ENFOQUE MATEMÁTICO

Este curso proporcionará fundamentos matemáticos básicos para imágenes médicas. Habrá énfasis tanto en los antecedentes teóricos como en los métodos numéricos para implementar algoritmos de inversión. Los temas incluyen, entre otros: transformadas de radón y Fourier, convolución, muestreo, filtros y reconstrucciones de imágenes. Requisito previo: MATH2025 (4 créditos)

MATH3150 PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Esta es una introducción a los procesos estocásticos y su aplicación a una gran variedad de problemas probabilísticos. El material se impartirá sin necesidad de medir la teoría. Los temas incluyen: cadenas de Markov con espacios de estado tanto finitos como infinitos, paseos aleatorios, transitoriedad y recurrencia, procesos de ramificación, cadenas de Markov en tiempo continuo como el proceso de Poisson y los procesos de nacimiento-muerte. También discutiremos martingalas y movimiento browniano. Se pueden incluir otros temas según lo permita el tiempo y según el interés del estudiante. Se empleará visualización por computadora, junto con simulación. También hay un componente de proyecto en el curso, y los temas se elegirán de acuerdo con el interés del estudiante que se relacione con procesos estocásticos específicos. Requisito previo: MATH2100 (4 créditos)

MATH3200 GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Este curso cubre curvas y superficies de geometría diferencial básica, con generalización a variedades diferenciables abstractas. Los temas incluyen la longitud del arco, la curvatura y el marco Frenet de las curvas espaciales, y la curvatura gaussiana y normal de las superficies. Para curvas y superficies incrustadas, así como para variedades abstractas, la geometría se define en términos de espacios tangentes y cotangentes, con difeomorfismos que dan lugar a asignaciones entre geometrías a través de mapas de retroceso y avance. El curso incluye el tratamiento del Teorema de Gauss-Bonnet y su importancia en la relación de los aspectos geométricos y topológicos de las superficies. Requisitos previos: MATH2025 y MATH2860 (4 créditos)

MATH3225 ANÁLISIS FUNCIONAL

Este curso cubre las propiedades analíticas de los espacios lineales normativos, en particular los espacios funcionales importantes para la teoría de ecuaciones diferenciales y probabilidad. Los temas incluyen los espacios métricos y la noción de integridad, los espacios de Banach y los espacios de Banach delimitados por operaciones lineales, los espacios duales, los espacios de productos internos y los espacios de Hilbert. Requisitos previos: MATH2500 y MATH2860 (4 créditos)

MATH3250 MODELADO DE PELIGRO Y CATÁSTROFE AMPLIFICADO

Este curso está diseñado para presentar al estudiante el desarrollo de modelos de catástrofes en el contexto de la determinación de las primas de las pólizas de seguro. Discutiremos el desarrollo de modelos, la computación paralela utilizada para generar un catálogo de datos, la estimación de parámetros para modelos y el análisis estadístico para probar el aseguramiento de la calidad. Los estudiantes trabajarán en grupos pequeños para trabajar en modelos de terremotos, inundaciones o incendios forestales, y presentarán su progreso y resultados finales a lo largo del semestre de manera profesional. Requisitos previos: MATH2850 y MATH2500 o MATH2750 y MATH2100 o BMED4600 y MATH2025 (4 créditos)

MATH3500 CÁLCULO IV

Los temas incluyen la geometría analítica de sistemas de coordenadas bidimensionales y tridimensionales, incluidas las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, una revisión del teorema fundamental de las integrales de línea y la orientación y parametrización del teorema de Green de líneas y superficies integrales de superficie el teorema de divergencia Teorema de Stokes el jacobiano la regla de sustitución general para la optimización y la curvatura restringidas por integración. Se pueden incluir otros temas si el tiempo lo permite. Se enfatizará la visualización por computadora. Requisito previo: MATH2025 (4 créditos)

MATH3700 LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Una introducción a la investigación de operaciones, con temas seleccionados de la programación lineal (que cubre la formulación de varios tipos diferentes de modelos lineales, el algoritmo simplex, el análisis de dualidad y sensibilidad, los problemas de transporte y asignación, y la programación lineal entera). También se discuten la optimización, el modelado y simulación, y la teoría de juegos. Requisito previo: MATH2860 (4 créditos) otoño

MATH3800 TEMAS ESPECIALES DE MATEMÁTICAS APLICADAS

Presenta temas que no están cubiertos por los cursos existentes y es probable que cambien de un semestre a otro. Consulte el Horario de clases para un semestre específico para obtener detalles de las ofertas para el semestre. (1 - 4 créditos)

MATH3900 ANÁLISIS NUMÉRICO I

Análisis de algoritmos de uso frecuente en matemáticas, ciencias, ingeniería e industria. Los temas incluyen: búsqueda de raíces, interpolación, sistemas lineales, diferenciación e integración numérica, solución de problemas de valor inicial. Los experimentos numéricos se realizarán con C, Matlab, Java, Python u otro lenguaje apropiado de alto nivel. Requisitos previos: COMP1000 y MATH1850 (4 créditos) caen

MATH3950 ANÁLISIS NUMÉRICO II

Este curso discutirá la base teórica de la convergencia y el álgebra lineal numérica. Los temas incluyen: pruebas, secuencias de Cauchy, convergencia absoluta, polinomios ortogonales, factorización de matrices y límites de error. Se realizarán experimentos numéricos con C, Matlab, Java, Python u otro lenguaje apropiado de alto nivel. Requisito previo: MATH3900 Co-requisito: MATH2860 (4 créditos) primavera

MATH4050 APRENDIZAJE AUTOMÁTICO

Introducción al campo del aprendizaje automático. Este curso se enfoca en algoritmos para ayudar a identificar patrones en datos y predecir o generalizar reglas a partir de estos patrones. Los temas incluyen aprendizaje supervisado (algoritmos paramétricos / no paramétricos, kernels, máquinas de vectores de soporte), selección de modelos y aplicaciones (como reconocimiento de voz y escritura, imágenes médicas y descubrimiento de fármacos). Se anima a los estudiantes que tengan habilidades básicas de programación y que hayan tomado un curso de probabilidad a que tomen este curso. Lista cruzada con COMP4050 Requisito previo: COMP1000 y MATH2100 (4 créditos)

MATH4100 PROBLEMAS INDUSTRIALES EN MATEMÁTICAS APLICADAS

Este es un curso de problemas aplicados en matemáticas. Los estudiantes trabajarán en pequeños equipos para resolver problemas que surjan en la industria bajo la guía del profesor del curso y un enlace industrial. Cada término será diferente. (4 créditos)

MATH4400 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA ABSTRACTA

Los temas incluyen grupos, subgrupos y grupos de factores, homomorfismos, anillos y campos, y aplicaciones que pueden incluir grupos de simetría, grupos de friso y grupos cristalográficos y / o introducciones a la teoría de la codificación algebraica. Este curso se recomienda para los estudiantes que deseen ir a la escuela de posgrado en matemáticas o una disciplina relacionada con las matemáticas. Requisito previo: MATH2300 (4 créditos)

MATH4475 MATEMÁTICAS ACTUARIALES

Este curso está diseñado para preparar a los estudiantes para el examen P / CAS 1 de la Sociedad de Actuarios. Desarrollaremos el conocimiento de las herramientas de probabilidad fundamentales para evaluar cuantitativamente el riesgo con énfasis en los problemas encontrados en la ciencia actuarial. Requisito previo: MATH2100 completado con una calificación de B o mejor (4 créditos)

MATH4575 VARIABLES COMPLEJAS

Los temas de este curso incluyen álgebra compleja y analiticidad de funciones, integración de contorno, firmas del teorema de Cauchy. Residuos de series de Taylor y Laurent, evaluación de funciones integrales multivalor, teoría del potencial en dos dimensiones. Requisitos previos: MATH2025 (4 créditos)

MATH4875 ANÁLISIS REAL I

Introducción al análisis real. Los temas incluyen la escritura de prueba introductoria, el sistema de números reales, los límites, la continuidad, las propiedades de las funciones de valor real, la diferenciación y la teoría elemental de la integración. Requisito previo: MATH2025 (4 créditos)

MATH4900 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Curso de introducción a las ecuaciones diferenciales parciales que cubre los métodos de características, separación de variables, Series de Fourier, diferencias finitas, Transformadas de Fourier y Funciones de Green. Requisito previo: MATH2500 (4 créditos) otoño

MATH4950 SISTEMAS DINÁMICOS Y CAOS

Introducción a los sistemas dinámicos y al caos con énfasis en aplicaciones en ciencia e ingeniería. Los temas incluyen flujos unidimensionales (puntos fijos, estabilidad y bifurcaciones), flujos bidimensionales (planos de fase, ciclos límite y bifurcaciones) y caos (ecuaciones de Lorenz, mapas, fractales y atractores extraños). Este curso cuenta como una electiva técnica para los mayores y menores de matemáticas aplicadas. Requisito previo: MATH2500 (4 créditos)

MATH4975 ANÁLISIS REAL II

Introducción continua al análisis real. Los temas incluyen secuencias, series, series de Fourier, funciones definidas por integrales, integrales impropias, integrales de Riemann-Stieltjes, funciones de variación acotada, teoremas de punto fijo, teoremas de funciones implícitas, multiplicadores de Lagrange, funciones en espacios métricos, aproximación, teorema de Green y Stokes 'Teorema para campos vectoriales reales. Requisito previo: MATH4875 (4 créditos)

MATH5000 DISEÑO FINAL DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

El estudiante trabajará solo y en proyectos de grupos pequeños para estudiar, analizar, diseñar y, a veces, construir y probar conceptos en un subcampo de matemáticas aplicadas de su elección. El estudio se realizará bajo la dirección de uno o más asesores de la facultad. Fomentar los proyectos de la industria para incrementar la interacción y cooperación con las empresas. Los requisitos del curso incluyen informes de progreso orales y escritos regulares a lo largo del semestre. El informe técnico final de los estudiantes puede incluir un plan para el siguiente curso de Diseño II del Año Final de Matemáticas Aplicadas. Requisito previo: Otoño del último año en el programa BSAM (4 créditos)

MATH5500 MATEMÁTICAS APLICADAS FINAL AÑO DISEÑO II

Este curso es una continuación del Diseño I del Año Final de Matemáticas Aplicadas. Los estudiantes continuarán con su diseño y análisis (o con nuevos diseños y análisis) con énfasis en mejoras y aplicaciones. Otros profesores y profesionales de la industria local revisarán el trabajo de los estudiantes y harán recomendaciones. (4 créditos) verano


MATEMÁTICAS 2

Profesor de la unidad: Dr. D A S Rees Departamento de Ingeniería Mecánica. Sala 4E 2.54.

Teléfono: (01225) 386775 (Oficina)
Dirección de correo electrónico: [email protected] o [email protected]

ENLACES RÁPIDOS (Última actualización 14/04/2021 14:00)
Notas, videos, hojas de problemas:
Notas del curso Ya debería tener una copia de estas, pero aquí están las originales en caso de que sean necesarias.
Mis videos Los enlaces a mis videos de conferencias (y las diapositivas asociadas) aparecerán aquí gradualmente a medida que avanza el semestre.
Hojas de problemas y soluciones Se irán desvelando gradualmente a medida que avance el semestre.
Información complementaria:
Programa de estudios Listas cada vez más detalladas de lo que estaremos haciendo.
Recursos Algunos enlaces a soporte externo.
Letras griegas e información diversa.
Folletos Alguna información adicional que puede ser útil.
Libros de texto Algunos consejos sobre libros de texto.
Exámenes:
Pruebas de exámenes anteriores Cubren los últimos cinco años. Incluye contorno soluciones y comentarios generales.
Calculadora universitaria Se utilizan cuando los exámenes se realizan de forma normal.
Notas de LOIL: Su utilidad está en el ojo del espectador, ¡pero son un registro de lo que se discutió!
Enlaces para reuniones de Zoom en Moodle.
Directo enlace para el LOIL (Revisión 1) el miércoles 5 de mayo a las 09:00.
Directo enlace para el LOIL (Revisión 2) el viernes 7 de mayo a las 14:15.
--> Directo enlace para el LOIL (Revisión 3) el martes 11 de mayo a las 16:15.
Directo enlace para LOIL (Revisión 4) el jueves 13 de mayo a las 11:15.
-->
Notas del 3 de febrero ODE de video del 3 de febrero 1 Notas del 5 de febrero ODE de video del 5 de febrero 2
Notas del 10 de febrero EDO de video del 10 de febrero 3
Notas del 12 de febrero ODE de video del 12 de febrero 4
Notas del 17 de febrero Video del 17 de febrero ODEs 5 / Matrices 1
Notas del 19 de febrero Video del 19 de febrero EDO 6 / Matrices 2
24 de febrero notas 24 de febrero video Matrices 3
26 de febrero notas 26 de febrero video Matrices 4
3 de marzo notas 3 de marzo video Matrices 5
Notas del 5 de marzo Lo siento, hubo un problema con la grabación.
Notas del 10 de marzo video del 10 de marzo Laplace 1
Notas del 12 de marzo Vídeo del 12 de marzo Laplace 2 LT de una integral
Notas del 17 de marzo vídeo del 17 de marzo Laplace 3
19 de marzo notas 19 de marzo video Laplace 4
Notas del 24 de marzo Video del 24 de marzo Numérico 1
Notas del 26 de marzo Video del 26 de marzo Numérico 2
Notas del 14 de abril Video del 14 de abril Fourier 1
Notas del 16 de abril Video del 16 de abril Fourier 2
Notas del 21 de abril Video del 21 de abril Todo 1
Notas del 23 de abril Video del 23 de abril Everything 2
Notas del 28 de abril Video del 23 de abril Todo 3
Notas del 5 de mayo Revisión 1
Notas del 7 de mayo Video del 7 de mayo Revisión 2 (Algunas preguntas del examen 19/20).
Notas del 8 de mayo Video del 8 de mayo Documento del Q7 de mayo de 2020.
Notas del 13 de mayo


MIS VIDEOS Todo para aparecer a su debido tiempo.

Ecuaciones diferenciales ordinarias (5 conferencias)
Video (42.39) Diapositiva 1: Clasificación, reducción al formulario de primer pedido. (29/01/2021)
Video (41.40) Diapositiva 2: Separación de variables, lineal de primer orden. (29/01/2021) (Corregido)
Video (42.52) Diapositiva 3: ODE de coeficiente constante lineal homogéneo (05/02/2021)
Video (30.29) Diapositiva 4: EDO de coeficiente constante lineal no homogéneo I (05/02/2021)
Video (20.02) Diapositiva 5: ODEs II de coeficiente constante lineal no homogéneo (05/02/2021)
Matrices (5 conferencias)
Video (41.47) Diapositiva 1: Matrices: definición, multiplicación y el zoológico (12/02/2021)
Video1 (20.54) Video2 (40.23) Diapositiva 2: Matrices: Determinantes y regla de Cramer (19/02/2021)
Video1 (24.54) Video2 (6.57) Diapositiva 3: Matrices: Eliminación gaussiana (19/02/2021)
Video (47.38) Diapositiva 4: Autovalores y autovectores 1 (26/02/2021)
Video 2 (25.29) Diapositiva 5: Autovalores y autovectores 2 (26/02/2021)
Video 2b (9.39) Diapositiva 5b: Autovalores y autovectores 2b Ejemplo adicional. (26/02/2021)
Transformadas de Laplace (4 conferencias)
Video (39.25) Diapositiva 1: Introducción, LT de algunas funciones, algunas soluciones ODE. (02/03/2021)
Video (43:59) Diapositiva 2: Impulso unitario, integrales, LT. Soluciones ODE con forzamiento impulsivo. (03/03/2021)
Video (33:41) Diapositiva 3: Función de paso unitario, teoremas de desplazamiento s y desplazamiento t. (03/10/2021)
Video (25:00) Diapositiva 4: Convolución: definición y teorema. Solución de sistemas de EDO. (03/11/2021)
Matemáticas numéricas (esquemas de iteración) (2 conferencias)
Video (39:00) Diapositiva 1: Esquemas de iteración ad hoc para encontrar raíces. (15/03/2021)
Video (32:56) Diapositiva 2: El esquema de Newton-Raphson. (15/03/2021)
Mínimos cuadrados (1 conferencia) Broma
Video (50:00) Diapositivas: Muchas cosas de mínimos cuadrados.
Series de Fourier (3 conferencias pero 1 video)
Video (50:01) Diapositivas: Todo lo que necesita y más.

Aulladores de los exámenes S1 2019/2020: Hoja 0 Respuestas 0 [Disponible]

EDO: Hoja 1 de EDO [Disponible] Soluciones [Disponible] sobre la separación de variables y ecuaciones lineales de primer orden.
EDO: Hoja 2 de EDO [Disponible] Soluciones [Disponible] en la solución de ecuaciones lineales de coeficiente constante.
EDO: Hoja 2b de EDO [Disponible] Soluciones [Disponible] (complementario) sobre EDO aleatorias, diversas y difíciles, pero con suerte interesantes.

Serie de Fourier: Hoja [Disponible] Soluciones [Disponible] sobre las series de Fourier y su papel en la resolución de EDO con forzamiento periódico.

Transformadas de Laplace: Hoja introductoria [Disponible] Sí, ¡pruébalo antes de comenzar las conferencias sobre el tema!
Transformadas de Laplace: Hoja 1 [Disponible] Soluciones [Disponible] sobre transformaciones básicas y su aplicación para la resolución de EDO, y sobre el impulso unitario.
Transformadas de Laplace: Hoja 2 [Disponible] Soluciones [Disponible] sobre los dos teoremas de desplazamiento y el teorema de convolución.

Matrices: Hoja 1 [Disponible] Soluciones [Disponible] sobre productos de matrices.
Matrices: Hoja 2 [Disponible] Soluciones [Disponible] sobre determinantes, la regla de Cramer y la eliminación gaussiana.
Matrices: Hoja 3 [Disponible] Soluciones [Disponible] sobre valores propios, vectores propios y la solución de sistemas de EDO.

Mínimos cuadrados: hoja [Disponible] Soluciones Onzas / gramos de datos para el segundo trimestre [Disponible]

[No disponible aún] Soluciones [No disponible aún]
Probabilidad: Hoja 8 [No disponible aún] Soluciones [No disponible aún]
-> Matemáticas numéricas: Hoja [Disponible] Soluciones [Disponible]
[Estará disponible] Soluciones [Estará disponible]
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  • Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • Matrices
  • Transformaciones de Laplace
  • Matemáticas numéricas (esquemas de iteración)
  • Series de Fourier
  • Ajuste de datos por mínimos cuadrados

1. ¿Qué estoy haciendo y cuándo? Respuesta. (ACTUALIZADO 18/1/2021)
2. Una descripción más detallada del orden en que aparecen los subtemas. (ACTUALIZADO EL 19/1/2021)
3. El plan de estudios oficial detallado está aquí, pero no es exacto debido a la deformación del plan de estudios.

Esta unidad se evalúa al 100% únicamente mediante examen. No hay ningún elemento de trabajo de curso.

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Hay un Centro de Recursos de Matemáticas y Estadísticas en la Universidad de Bath. Llamado MASH, opera sesiones sin cita previa en varios momentos.
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Letras griegas. No mezcle sus etas, zetas y xis. Ni tu phis y psis. Y conoce tu primera carta discontinua.
Si quieres pistas sobre la pronunciación según el lugar del mundo en el que te encuentres, este es el lugar.
Prefijos SI

Nota sobre la solución de sistemas homogéneos de EDO.
Folleto sobre la velocidad de convergencia de la serie de Fourier.
Folleto para el desfile de belleza de la matriz.

Esencialmente, cualquier cosa que tenga las palabras "Ingeniería matemática" en el título probablemente sea sólida. Entonces, Glyn James, Stroud, Kreyszig, Croft y Davidson, Kuldeep Singh son excelentes.

Tenga cuidado con la palabra "Avanzado", como en "Matemáticas de ingeniería avanzada" porque algunas de ellas son muy avanzadas. Así que revisa las páginas de contenido. De hecho, en los títulos de los libros, la palabra "Elemental" no siempre concuerda con la definición estándar del diccionario y, en ocasiones, "Una introducción a" requiere que hayas obtenido un doctorado antes de siquiera contemplar la más mínima posibilidad de mirar dentro de la portada. . Así que siempre revise el índice. Has sido advertido.

SIN EMBARGO, mi consejo es que revise algunos de estos libros en la Biblioteca antes de comprar cualquier cosa. Algunas personas se llevan bien con Stroud pero odian a Croft, por ejemplo, mientras que otras sienten precisamente lo contrario. Consulte siempre los precios en amazon.co.uk.

Hay una versión escaneada del aquí. (Esta es la última versión 2019/2020).

TENGA EN CUENTA LO SIGUIENTE. Debido a los cambios en el programa de estudios a lo largo de los años, los artículos de Matemáticas 1 serán útiles para la serie Fourier. Además, ahora resolvemos las EDO con un término de forzamiento de la serie de Fourier en el lado derecho.


PROCESAMIENTO EN PARALELO

Métodos iterativos

Los esquemas de factorización son inherentemente secuenciales ya que se basan en la eliminación gaussiana donde la solución se obtiene para una variable tras otra. En contraste, los solucionadores iterativos buscan aproximaciones de todas las incógnitas simultáneamente e involucran operaciones matriciales simples. Por tanto, son naturalmente paralelos. Los métodos iterativos utilizan solo una pequeña cantidad de espacio de memoria, ya que las matrices no necesitan ser ensambladas o factorizadas explícitamente. Por esa razón, se utilizan comúnmente en mecánica de fluidos computacional para resolver grandes problemas no lineales. En el análisis estructural, los solucionadores directos se han visto favorecidos por su robustez en comparación con los métodos iterativos donde la convergencia rápida puede ser difícil de lograr en la práctica. Sin embargo, con el advenimiento de la computación paralela, los métodos iterativos han ganado un nuevo impulso.

Los solucionadores iterativos buscan una solución en un subespacio Vk= intervalo<>1, y2,…, Yk> donde la dimensión del espacio de búsqueda aumenta en cada iteración. Para sistemas simétricos positivos definidos, el algoritmo más eficaz es el método de gradiente conjugado. Puede interpretarse como aproximaciones sucesivas de Rayleigh-Ritz: en la iteración k, encuentra la mejor solución en el subespacio Vk que abarca las columnas de Yk= [y1 y2… Yk] como:

En el siguiente paso k+1, una nueva dirección de búsqueda yk+1 relacionado con el residual rk=FKuk luego se agrega al subespacio. Si la nueva direccion yk+1 está ortogonalizado con respecto al subespacio anterior de manera que YkKentuckyk+1=0, la nueva aproximación se encuentra fácilmente como:

Un paso de iteración de gradiente conjugado implica operaciones matriciales simples que se pueden realizar, por ejemplo, mediante rutinas BLAS o basadas en la descomposición del dominio, como lo indica la división (eqn (6)). Por tanto, los esquemas iterativos son naturalmente paralelos.

Las iteraciones se detienen cuando la norma relativa ∥rk∥/∥F∥ está por debajo de una tolerancia definida por el usuario ɛ. Para que las iteraciones converjan rápidamente, las direcciones de búsqueda yk+1 elegido como:

donde K ˜ - 1 es una aproximación de la inversa de K llamado el preacondicionador y donde β son los coeficientes de ortogonalización con respecto a direcciones anteriores. Tenga en cuenta que debido a las propiedades de ortogonalidad recursivas entre direcciones de gradiente conjugadas, yk+1 necesita ser ortogonalizado solo con respecto a la dirección anterior yk. Sin embargo, debido a los errores de redondeo, en la práctica se requiere una re-ortogonalización completa. El algoritmo se resume en la Tabla 1.

Tabla 1 . El método de iteración de gradiente conjugado preacondicionado

Para el algoritmo de gradiente conjugado, el preacondicionador K ˜ - 1 debe ser simétrico positivo definido y el costo de calcular K ˜ - 1 r k debe ser pequeño. La convergencia de la iteración es función del número de condición κ (K ˜ - 1 K), es decir, cuanto mejor K ˜ - 1 se aproxima a la inversa de K, mejor será la convergencia. Preacondicionadores eficientes K ˜ - 1 como los obtenidos por factorización incompleta de K o por métodos de redes múltiples, son necesarios para resolver problemas globales y no son adecuados para el cálculo en paralelo con un gran número de procesadores. Tenga en cuenta que se han propuesto esquemas de factorización de bloques incompletos en paralelo, pero su efectividad se vuelve pobre a medida que aumenta el número de procesadores.

Cuando se usan solucionadores directos, una vez que se ha factorizado la matriz, se utilizan sustituciones hacia adelante y hacia atrás de bajo costo para resolver problemas con múltiples lados derechos. Esta es una característica esencial, por ejemplo, cuando se calculan soluciones estáticas lineales para múltiples casos de carga, en iteraciones de potencia inversa para cálculos de valores propios y cuando se realiza una integración de tiempo implícita. Para el método iterativo de gradiente conjugado, los cálculos realizados para resolver el sistema con el primer lado derecho se pueden reutilizar de la siguiente manera.

Vamos a llamar Yk1 la matriz de las direcciones de búsqueda de las iteraciones para el primer lado derecho F1y supongamos que los resultados Kentuckyk1 calculados durante esas iteraciones se han almacenado. Una estimación inicial de la solución relativa a un segundo lado derecho F2 luego se busca en el subespacio Yk1, tal que:

Encontrar esta aproximación inicial es una operación de bajo costo ya que Y k 1 T KY k 1 es una matriz diagonal. Entonces, a partir de tu0, se pueden realizar iteraciones de gradiente conjugado y las nuevas direcciones de búsqueda se ortogonalizarán a todas las anteriores, incluida Y k 1. Obviamente, una vez que el número de direcciones de búsqueda en Y es igual a la dimensión del sistema, se encontrará la solución exacta.

De manera similar al método de Lanczos, las direcciones de búsqueda de las iteraciones de gradiente conjugado pertenecen al llamado espacio de Krylov K= intervalo <y1, Kentucky1, …K k y1>. Para sistemas no simétricos, se pueden utilizar ideas similares para diseñar solucionadores iterativos, como el algoritmo de gradiente biconjugado y el método popular de residuo mínimo generalizado (GMRES).

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