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14.6: Derivadas direccionales y gradiente

14.6: Derivadas direccionales y gradiente


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Objetivos de aprendizaje

  • Determine la derivada direccional en una dirección dada para una función de dos variables.
  • Determine el vector de gradiente de una función de valor real dada.
  • Explique la importancia del vector de gradiente con respecto a la dirección del cambio a lo largo de una superficie.
  • Use el gradiente para encontrar la tangente a una curva de nivel de una función dada.
  • Calcule derivadas direccionales y gradientes en tres dimensiones.

Una función (z = f (x, y) ) tiene dos derivadas parciales: (∂z / ∂x ) y (∂z / ∂y ). Estas derivadas corresponden a cada una de las variables independientes y pueden interpretarse como tasas de cambio instantáneas (es decir, como pendientes de una línea tangente). Por ejemplo, (∂z / ∂x ) representa la pendiente de una recta tangente que pasa por un punto dado en la superficie definida por (z = f (x, y), ) asumiendo que la recta tangente es paralela a la (x ) - eje. De manera similar, (∂z / ∂y ) representa la pendiente de la recta tangente paralela a la (y ) - eje. Ahora consideramos la posibilidad de una recta tangente paralela a ninguno de los ejes.

Derivadas direccionales

Comenzamos con la gráfica de una superficie definida por la ecuación (z = f (x, y) ). Dado un punto ((a, b) ) en el dominio de (f ), elegimos una dirección para viajar desde ese punto. Medimos la dirección usando un ángulo (θ ), que se mide en sentido antihorario en el plano (xy ), comenzando en cero desde el eje positivo (x ) - (Figura ( PageIndex {1} )). La distancia que viajamos es (h ) y la dirección que viajamos está dada por el vector unitario ( vecs u = ( cos θ) , hat { mathbf i} + ( sin θ) , hat { mathbf j}. ) Por lo tanto, la coordenada (z ) - del segundo punto en la gráfica está dada por (z = f (a + h cos θ, b + h sin θ). )

Podemos calcular la pendiente de la recta secante dividiendo la diferencia en (z ) - valores por la longitud del segmento de recta que conecta los dos puntos en el dominio. La longitud del segmento de línea es (h ). Por lo tanto, la pendiente de la recta secante es

[m_ {seg} = dfrac {f (a + h cos θ, b + h sin θ) −f (a, b)} {h} ]

Para encontrar la pendiente de la recta tangente en la misma dirección, tomamos el límite cuando (h ) se aproxima a cero.

Definición: Derivadas direccionales

Suponga que (z = f (x, y) ) es una función de dos variables con un dominio de (D ). Deje ((a, b) ∈D ) y defina ( vecs u = ( cos θ) , hat { mathbf i} + ( sin θ) , hat { mathbf j} ). Entonces la derivada direccional de (f ) en la dirección de ( vecs u ) viene dada por

[D _ { vecs u} f (a, b) = lim_ {h → 0} dfrac {f (a + h cos θ, b + h sin θ) −f (a, b)} { h} etiqueta {DD} ]

siempre que exista el límite.

La ecuación ref {DD} proporciona una definición formal de la derivada direccional que se puede utilizar en muchos casos para calcular una derivada direccional.

Tenga en cuenta que dado que el punto ((a, b) ) se elige aleatoriamente del dominio (D ) de la función (f ), podemos usar esta definición para encontrar la derivada direccional como una función de ( X y Y).

Eso es,

[D _ { vecs u} f (x, y) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h cos θ, y + h sin θ) −f (x, y)} { h} etiqueta {DDxy} ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar una derivada direccional a partir de la definición

Sea (θ = arccos (3/5). ) Encuentre la derivada direccional (D _ { vecs u} f (x, y) ) de (f (x, y) = x ^ 2 − xy + 3y ^ 2 ) en la dirección de ( vecs u = ( cos θ) , hat { mathbf i} + ( sin θ) , hat { mathbf j} ).

Luego, determina (D _ { vecs u} f (−1,2) ).

Solución

En primer lugar, dado que ( cos θ = 3/5 ) y (θ ) es agudo, esto implica

[ sin θ = sqrt {1− left ( dfrac {3} {5} right) ^ 2} = sqrt { dfrac {16} {25}} = dfrac {4} {5} . sin número]

Usando (f (x, y) = x ^ 2 − xy + 3y ^ 2, ) primero calculamos (f (x + h cos θ, y + h sin θ) ):

[ begin {align *} f (x + h cos θ, y + h sin θ) & = (x + h cos θ) ^ 2− (x + h cos θ) (y + h sin θ) +3 (y + h sin θ) ^ 2
& = x ^ 2 + 2xh cos θ + h ^ 2 cos ^ 2 θ − xy − xh sin θ − yh cos θ − h ^ 2 sin θ cos θ + 3y ^ 2 + 6yh sin θ + 3h ^ 2 sin ^ 2 θ
& = x ^ 2 + 2xh ( frac {3} {5}) + frac {9h ^ 2} {25} −xy− frac {4xh} {5} - frac {3yh} {5} - frac {12h ^ 2} {25} + 3y ^ 2 + 6yh ( frac {4} {5}) + 3h ^ 2 ( frac {16} {25})
& = x ^ 2 − xy + 3y ^ 2 + frac {2xh} {5} + frac {9h ^ 2} {5} + frac {21yh} {5}. end {alinear *} ]

Sustituimos esta expresión en la Ecuación ref {DD} con (a = x ) y (b = y ):

[ begin {align *} D _ { vecs u} f (x, y) & = lim_ {h → 0} frac {f (x + h cos θ, y + h sin θ) −f (x, y)} {h}
& = lim_ {h → 0} frac {(x ^ 2 − xy + 3y ^ 2 + frac {2xh} {5} + frac {9h ^ 2} {5} + frac {21yh} {5 }) - (x ^ 2 − xy + 3y ^ 2)} {h}
& = lim_ {h → 0} frac { frac {2xh} {5} + frac {9h ^ 2} {5} + frac {21yh} {5}} {h}
& = lim_ {h → 0} frac {2x} {5} + frac {9h} {5} + frac {21y} {5}
& = frac {2x + 21y} {5}. end {alinear *} ]

Para calcular (D _ { vecs u} f (−1,2), ) sustituimos (x = −1 ) y (y = 2 ) en esta respuesta (Figura ( PageIndex {2} )):

[D _ { vecs u} f (−1,2) = dfrac {2 (−1) +21 (2)} {5} = dfrac {−2 + 42} {5} = 8. sin número]

Un enfoque más fácil para calcular derivadas direccionales que involucra derivadas parciales se describe en el siguiente teorema.

Derivada direccional de una función de dos variables

Sea (z = f (x, y) ) una función de dos variables (x ) y (y ), y suponga que (f_x ) y (f_y ) existen. Entonces la derivada direccional de (f ) en la dirección de ( vecs u = ( cos θ) , hat { mathbf i} + ( sin θ) , hat { mathbf j} ) es dado por

[D _ { vecs u} f (x, y) = f_x (x, y) cos θ + f_y (x, y) sin θ. label {DD2v} ]

Prueba

Aplicando la definición de una derivada direccional establecida anteriormente en la Ecuación ref {DD}, la derivada direccional de (f ) en la dirección de ( vecs u = ( cos θ) , hat { mathbf i} + ( sin θ) , hat { mathbf j} ) en un punto ((x_0, y_0) ) en el dominio de (f ) se puede escribir

[D _ { vecs u} f ((x_0, y_0)) = lim_ {t → 0} dfrac {f (x_0 + t cos θ, y_0 + t sin θ) −f (x_0, y_0) } {t}. ]

Sea (x = x_0 + t cos θ ) y (y = y_0 + t sin θ, ) y defina (g (t) = f (x, y) ). Dado que (f_x ) y (f_y ) existen, podemos usar la regla de la cadena para funciones de dos variables para calcular (g ′ (t) ):

[g ′ (t) = dfrac {∂f} {∂x} dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂f} {∂y} dfrac {dy} {dt} = f_x (x, y) cos θ + f_y (x, y) sin θ. ]

Si (t = 0, ) entonces (x = x_0 ) y (y = y_0, ) entonces

[g ′ (0) = f_x (x_0, y_0) cos θ + f_y (x_0, y_0) sin θ ]

Por la definición de (g ′ (t), ) también es cierto que

[g ′ (0) = lim_ {t → 0} dfrac {g (t) −g (0)} {t} = lim_ {t → 0} dfrac {f (x_0 + t cos θ , y_0 + t sin θ) −f (x_0, y_0)} {t}. ]

Por lo tanto, (D _ { vecs u} f (x_0, y_0) = f_x (x_0, y_0) cos θ + f_y (x_0, y_0) sin θ ).

Dado que el punto ((x_0, y_0) ) es un punto arbitrario del dominio de (f ), este resultado es válido para todos los puntos en el dominio de (f ) para los cuales los parciales (f_x ) y (f_y ) existen.

Por lo tanto, [D _ { vecs u} f (x, y) = f_x (x, y) cos θ + f_y (x, y) sin θ. ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar una derivada direccional: método alternativo

Sea (θ = arccos (3/5). ) Encuentre la derivada direccional (D _ { vecs u} f (x, y) ) de (f (x, y) = x ^ 2 − xy + 3y ^ 2 ) en la dirección de ( vecs u = ( cos θ) , hat { mathbf i} + ( sin θ) , hat { mathbf j} ).

Luego, determina (D _ { vecs u} f (−1,2) ).

Solución

Primero, debemos calcular las derivadas parciales de (f ):

[ begin {align *} f_x (x, y) & = 2x − y f_y (x, y) & = - x + 6y, end {align *} ]

Luego usamos la Ecuación ref {DD2v} con (θ = arccos (3/5) ):

[ begin {align *} D _ { vecs u} f (x, y) & = f_x (x, y) cos θ + f_y (x, y) sin θ
& = (2x − y) dfrac {3} {5} + (- x + 6y) dfrac {4} {5}
& = dfrac {6x} {5} - dfrac {3y} {5} - dfrac {4x} {5} + dfrac {24y} {5}
& = dfrac {2x + 21y} {5}. end {alinear *} ]

Para calcular (D _ { vecs u} f (−1,2), ) sea (x = −1 ) y (y = 2 ):

[D _ { vecs u} f (−1,2) = dfrac {2 (−1) +21 (2)} {5} = dfrac {−2 + 42} {5} = 8. Nonumber ]

Esta es la misma respuesta obtenida en el Ejemplo ( PageIndex {1} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Encuentra la derivada direccional (D _ { vecs u} f (x, y) ) de (f (x, y) = 3x ^ 2y − 4xy ^ 3 + 3y ^ 2−4x ) en la dirección de ( vecs u = ( cos dfrac {π} {3}) , hat { mathbf i} + ( sin dfrac {π} {3}) , hat { mathbf j} ) usando la Ecuación ref {DD2v}.

¿Qué es (D _ { vecs u} f (3,4) )?

Pista

Calcula las derivadas parciales y determina el valor de (θ ).

Respuesta

(D _ { vecs u} f (x, y) = dfrac {(6xy − 4y ^ 3−4) (1)} {2} + dfrac {(3x ^ 2−12xy ^ 2 + 6y) sqrt {3}} {2} )

(D _ { vecs u} f (3,4) = dfrac {72−256−4} {2} + dfrac {(27−576 + 24) sqrt {3}} {2} = - 94 - dfrac {525 sqrt {3}} {2} )

Si el vector que se da para la dirección de la derivada no es un vector unitario, solo es necesario dividir por la norma del vector. Por ejemplo, si quisiéramos encontrar la derivada direccional de la función en el Ejemplo ( PageIndex {2} ) en la dirección del vector (⟨− 5,12⟩ ), primero dividiríamos por su magnitud a obtener ( vecs u ). Esto nos da ( vecs u = ⟨− frac {5} {13}, frac {12} {13}⟩ ).

Luego

[ begin {align *} D _ { vecs u} f (x, y) & = f_x (x, y) cos θ + f_y (x, y) sin θ
& = - dfrac {5} {13} (2x − y) + dfrac {12} {13} (- x + 6y)
& = - dfrac {22} {13} x + dfrac {17} {13} y end {align *} ]

Degradado

El lado derecho de la Ecuación ref {DD2v} es igual a (f_x (x, y) cos θ + f_y (x, y) sin θ ), que se puede escribir como el producto escalar de dos vectores . Defina el primer vector como ( vecs ∇f (x, y) = f_x (x, y) , hat { mathbf i} + f_y (x, y) , hat { mathbf j} ) y el segundo vector como ( vecs u = ( cos θ) , hat { mathbf i} + ( sin θ) , hat { mathbf j} ). Entonces, el lado derecho de la ecuación se puede escribir como el producto escalar de estos dos vectores:

[D _ { vecs u} f (x, y) = vecs ∇f (x, y) ⋅ vecs u. label {gradDirDer} ]

El primer vector de la ecuación ref {gradDirDer} tiene un nombre especial: el gradiente de la función (f ). El símbolo (∇ ) se llama nabla y el vector ( vecs ∇f ) se lee "del (F)."

Definición: el degradado

Sea (z = f (x, y) ) una función de (x ) y (y ) tal que (f_x ) y (f_y ) existen. El vector ( vecs ∇f (x, y) ) se llama degradado de (f ) y se define como

[ vecs ∇f (x, y) = f_x (x, y) , hat { mathbf i} + f_y (x, y) , hat { mathbf j}. label {grad} ]

El vector ( vecs ∇f (x, y) ) también se escribe como “graduado (F)."

Ejemplo ( PageIndex {3} ): encontrar degradados

Encuentra el gradiente ( vecs ∇f (x, y) ) de cada una de las siguientes funciones:

  1. (f (x, y) = x ^ 2 − xy + 3y ^ 2 )
  2. (f (x, y) = sin 3 x cos 3y )

Solución

Para ambas partes a. y b., primero calculamos las derivadas parciales (f_x ) y (f_y ), luego usamos la Ecuación ref {grad}.

un. (f_x (x, y) = 2x − y ) y (f_y (x, y) = - x + 6y ), entonces

[ begin {align *} vecs ∇f (x, y) & = f_x (x, y) , hat { mathbf i} + f_y (x, y) , hat { mathbf j} & = (2x − y) , hat { mathbf i} + (- x + 6y) , hat { mathbf j}. End {align *} ]

B. (f_x (x, y) = 3 cos 3x cos 3y ) y (f_y (x, y) = - 3 sin 3x sin 3y ), entonces

[ begin {align *} vecs ∇f (x, y) & = f_x (x, y) , hat { mathbf i} + f_y (x, y) , hat { mathbf j}
& = (3 cos 3x cos 3y) , hat { mathbf i} - (3 sin 3x sin 3y) , hat { mathbf j}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra el gradiente ( vecs ∇f (x, y) ) de (f (x, y) = dfrac {x ^ 2−3y ^ 2} {2x + y} ).

Pista

Calcule las derivadas parciales, luego use la Ecuación ref {grad}.

Respuesta

( vecs ∇f (x, y) = dfrac {2x ^ 2 + 2xy + 6y ^ 2} {(2x + y) ^ 2} , hat { mathbf i} - dfrac {x ^ 2 + 12xy + 3y ^ 2} {(2x + y) ^ 2} , hat { mathbf j} )

El gradiente tiene algunas propiedades importantes. Ya hemos visto una fórmula que usa el gradiente: la fórmula de la derivada direccional. Recuerde de El producto escalar que si el ángulo entre dos vectores ( vecs a ) y ( vecs b ) es (φ ), entonces ( vecs a⋅ vecs b = ‖ vecs a‖ ‖ Vecs b‖ cos φ. ) Por lo tanto, si el ángulo entre ( vecs ∇f (x_0, y_0) ) y ( vecs u = (cosθ) , hat { mathbf i} + (sinθ) , hat { mathbf j} ) es (φ ), tenemos

[D _ { vecs u} f (x_0, y_0) = vecs ∇f (x_0, y_0) ⋅ vecs u = | vecs ∇f (x_0, y_0) | ‖ vecs u‖ cos φ = | vecs ∇f (x_0, y_0) | cos φ. ]

(‖ Vecs u‖ ) desaparece porque ( vecs u ) es un vector unitario. Por lo tanto, la derivada direccional es igual a la magnitud del gradiente evaluado en ((x_0, y_0) ) multiplicado por ( cos φ ). Recuerda que ( cos φ ) varía de (- 1 ) a (1 ).

Si (φ = 0, ) entonces ( cos φ = 1 ) y ( vecs ∇f (x_0, y_0) ) y ( vecs u ) ambos apuntan en la misma dirección.

Si (φ = π ), entonces ( cos φ = −1 ) y ( vecs ∇f (x_0, y_0) ) y ( vecs u ) apuntan en direcciones opuestas.

En el primer caso, el valor de (D _ { vecs u} f (x_0, y_0) ) se maximiza; en el segundo caso, el valor de (D _ { vecs u} f (x_0, y_0) ) se minimiza.

También podemos ver que si ( vecs ∇f (x_0, y_0) = vecs 0 ), entonces

[D _ { vecs u} f (x_0, y_0) = vecs ∇f (x_0, y_0) ⋅ vecs u = 0 ]

para cualquier vector ( vecs u ). Estos tres casos se describen en el siguiente teorema.

Propiedades del degradado

Suponga que la función (z = f (x, y) ) es diferenciable en ((x_0, y_0) ) (Figura ( PageIndex {3} )).

  1. Si ( vecs ∇f (x_0, y_0) = vecs 0 ), entonces (D _ { vecs u} f (x_0, y_0) = 0 ) para cualquier vector unitario ( vecs u ).
  2. Si ( vecs ∇f (x_0, y_0) ≠ vecs 0 ), entonces (D _ { vecs u} f (x_0, y_0) ) es maximizado cuando ( vecs u ) apunta en la misma dirección que ( vecs ∇f (x_0, y_0) ). El valor máximo de (D _ { vecs u} f (x_0, y_0) ) es ( | vecs ∇f (x_0, y_0) | ).
  3. Si ( vecs ∇f (x_0, y_0) ≠ vecs 0 ), entonces (D _ { vecs u} f (x_0, y_0) ) es minimizado cuando ( vecs u ) apunta en la dirección opuesta a ( vecs ∇f (x_0, y_0) ). El valor mínimo de (D _ { vecs u} f (x_0, y_0) ) es (- | vecs ∇f (x_0, y_0) | ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): encontrar una derivada direccional máxima

Encuentre la dirección para la cual la derivada direccional de (f (x, y) = 3x ^ 2−4xy + 2y ^ 2 ) en ((- 2,3) ) es un máximo. ¿Cuál es el valor máximo?

Solución

El valor máximo de la derivada direccional ocurre cuando ( vecs ∇f ) y el vector unitario apuntan en la misma dirección. Por lo tanto, comenzamos calculando ( vecs ∇f (x, y )):

[f_x (x, y) = 6x − 4y ; text {y} ; f_y (x, y) = - 4x + 4y nonumber ]

asi que

[ vecs ∇f (x, y) = f_x (x, y) , hat { mathbf i} + f_y (x, y) , hat { mathbf j} = (6x − 4y) , hat { mathbf i} + (- 4x + 4y) , hat { mathbf j}. sin número]

A continuación, evaluamos el gradiente en ((- 2,3) ):

[ vecs ∇f (−2,3) = (6 (−2) −4 (3)) , hat { mathbf i} + (- 4 (−2) +4 (3)) , hat { mathbf j} = - 24 , hat { mathbf i} +20 , hat { mathbf j}. sin número]

Necesitamos encontrar un vector unitario que apunte en la misma dirección que ( vecs ∇f (−2,3), ) por lo que el siguiente paso es dividir ( vecs ∇f (−2,3) ) por su magnitud, que es ( sqrt {(- 24) ^ 2 + (20) ^ 2} = sqrt {976} = 4 sqrt {61} ). Por lo tanto,

[ dfrac { vecs ∇f (−2,3)} { | vecs ∇f (−2,3) |} = dfrac {−24} {4 sqrt {61}} i + dfrac {20} {4 sqrt {61}} j = - dfrac {6 sqrt {61}} {61} , hat { mathbf i} + dfrac {5 sqrt {61}} {61} , hat { mathbf j}. sin número]

Este es el vector unitario que apunta en la misma dirección que ( vecs ∇f (−2,3). ) Para encontrar el ángulo correspondiente a este vector unitario, resolvemos las ecuaciones

[ cos θ = dfrac {−6 sqrt {61}} {61} ; text {y} ; sin θ = dfrac {5 sqrt {61}} {61} nonumber ]

para (θ ).Dado que el coseno es negativo y el seno es positivo, el ángulo debe estar en el segundo cuadrante. Por lo tanto, (θ = π− arcsin ((5 sqrt {61}) / 61) ≈2.45 ) rad.

El valor máximo de la derivada direccional en ((- 2,3) ) es ( | vecs ∇f (−2,3) | = 4 sqrt {61} ) (Figura ( PageIndex {4} )).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentra la dirección para la cual la derivada direccional de (g (x, y) = 4x − xy + 2y ^ 2 ) en ((- 2,3) ) es un máximo. ¿Cuál es el valor máximo?

Pista

Evalúa el gradiente de (g ) en el punto ((- 2,3) ).

Respuesta

El gradiente de (g ) en ((- 2,3) ) es ( vecs ∇g (−2,3) = , hat { mathbf i} +14 , hat { mathbf j} ). El vector unitario que apunta en la misma dirección que ( vecs ∇g (−2,3) ) es

[ dfrac { vecs ∇g (−2,3)} { | vecs ∇g (−2,3) |} = dfrac {1} { sqrt {197}} , hat { mathbf i} + dfrac {14} { sqrt {197}} , hat { mathbf j} = dfrac { sqrt {197}} {197} , hat { mathbf i} + dfrac {14 sqrt {197}} {197} , hat { mathbf j}, nonumber ]

lo que da un ángulo de (θ = arcsin ((14 sqrt {197}) / 197) ≈1.499 ) rad.

El valor máximo de la derivada direccional es ( | vecs ∇g (−2,3) | = sqrt {197} ).

La figura ( PageIndex {5} ) muestra una parte de la gráfica de la función (f (x, y) = 3 + sin x sin y ). Dado un punto ((a, b) ) en el dominio de (f ), el valor máximo de la derivada direccional en ese punto está dado por ( | vecs ∇f (a, b) | ). Esto equivaldría a la velocidad de mayor ascenso si la superficie representara un mapa topográfico. Si fuéramos en la dirección opuesta, sería la velocidad de mayor descenso.

Cuando se usa un mapa topográfico, la pendiente más pronunciada siempre está en la dirección donde las curvas de nivel están más juntas (Figura ( PageIndex {6} )). Esto es análogo al mapa de contorno de una función, asumiendo que las curvas de nivel se obtienen para valores igualmente espaciados en todo el rango de esa función.

Gradientes y curvas de nivel

Recuerde que si una curva está definida paramétricamente por el par de funciones ((x (t), y (t)), ) entonces el vector (x ′ (t) , hat { mathbf i} + y ′ (t) , hat { mathbf j} ) es tangente a la curva para cada valor de (t ) en el dominio. Ahora supongamos que (z = f (x, y) ) es una función diferenciable de (x ) y (y ), y ((x_0, y_0) ) está en su dominio. Supongamos además que (x_0 = x (t_0) ) y (y_0 = y (t_0) ) para algún valor de (t ), y consideremos la curva de nivel (f (x, y) = k ). Defina (g (t) = f (x (t), y (t)) ) y calcule (g ′ (t) ) en la curva de nivel. Por la regla de la cadena,

[g ′ (t) = f_x (x (t), y (t)) x ′ (t) + f_y (x (t), y (t)) y ′ (t). ]

Pero (g ′ (t) = 0 ) porque (g (t) = k ) para todo (t ). Por tanto, por un lado,

[f_x (x (t), y (t)) x ′ (t) + f_y (x (t), y (t)) y ′ (t) = 0; ]

en la otra mano,

[f_x (x (t), y (t)) x ′ (t) + f_y (x (t), y (t)) y ′ (t) = vecs ∇f (x, y) ⋅⟨x ′ (T), y ′ (t)⟩. ]

Por lo tanto,

[ vecs ∇f (x, y) ⋅⟨x ′ (t), y ′ (t)⟩ = 0. ]

Por tanto, el producto escalar de estos vectores es igual a cero, lo que implica que son ortogonales. Sin embargo, el segundo vector es tangente a la curva de nivel, lo que implica que el gradiente debe ser normal a la curva de nivel, lo que da lugar al siguiente teorema.

El gradiente es normal a la curva de nivel

Suponga que la función (z = f (x, y) ) tiene derivadas parciales continuas de primer orden en un disco abierto centrado en un punto ((x_0, y_0) ). Si ( vecs ∇f (x_0, y_0) ≠ 0 ), entonces ( vecs ∇f (x_0, y_0) ) es normal a la curva de nivel de (f ) en ((x_0, y_0 ). )

Podemos usar este teorema para encontrar vectores tangentes y normales para nivelar las curvas de una función.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar tangentes a curvas de nivel

Para la función (f (x, y) = 2x ^ 2−3xy + 8y ^ 2 + 2x − 4y + 4, ) encuentre un vector tangente a la curva de nivel en el punto ((- 2,1) ) . Grafica la curva de nivel correspondiente a (f (x, y) = 18 ) y dibuja ( vecs ∇f (−2,1) ) y un vector tangente.

Solución

Primero, debemos calcular ( vecs ∇f (x, y): )

[f_x (x, y) = 4x − 3y + 2 ; text {y} ; f_y = −3x + 16y − 4 ; text {entonces} ; vecs ∇f (x, y) = (4x − 3y + 2) , hat { mathbf i} + (- 3x + 16y − 4) , hat { mathbf j}. nonumber ]

Luego, evaluamos ( vecs ∇f (x, y) ) en ((- 2,1): )

[ vecs ∇f (−2,1) = (4 (−2) −3 (1) +2) , hat { mathbf i} + (- 3 (−2) +16 (1) - 4) , hat { mathbf j} = - 9 , hat { mathbf i} +18 , hat { mathbf j}. Nonumber ]

Este vector es ortogonal a la curva en el punto ((- 2,1) ). Podemos obtener un vector tangente invirtiendo las componentes y multiplicando una por (- 1 ). Así, por ejemplo, (- 18 , hat { mathbf i} −9 , hat { mathbf j} ) es un vector tangente (Figura ( PageIndex {7} )).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Para la función (f (x, y) = x ^ 2−2xy + 5y ^ 2 + 3x − 2y + 3 ), encuentre la tangente a la curva de nivel en el punto ((1,1) ). Dibuja la gráfica de la curva de nivel correspondiente a (f (x, y) = 8 ) y dibuja ( vecs ∇f (1,1) ) y un vector tangente.

Pista

Calcula el gradiente en el punto ((1,1) ).

Respuesta

( vecs ∇f (x, y) = (2x − 2y + 3) , hat { mathbf i} + (- 2x + 10y − 2) , hat { mathbf j} )

( vecs ∇f (1,1) = 3 , hat { mathbf i} +6 , hat { mathbf j} )

Vector tangente: (6 , hat { mathbf i} −3 , hat { mathbf j} ) o (- 6 , hat { mathbf i} +3 , hat { mathbf j} )

Gradientes tridimensionales y derivadas direccionales

La definición de un gradiente se puede extender a funciones de más de dos variables.

Definición: degradados en 3D

Sea (w = f (x, y, z) ) una función de tres variables tales que (f_x, , f_y ) y (f_z ) existen. El vector ( vecs ∇f (x, y, z) ) se llama gradiente de (f ) y se define como

[ vecs ∇f (x, y, z) = f_x (x, y, z) , hat { mathbf i} + f_y (x, y, z) , hat { mathbf j} + f_z (x, y, z) , hat { mathbf k}. label {grad3d} ]

( vecs ∇f (x, y, z) ) también se puede escribir como graduado (f (x, y, z). )

Calcular el gradiente de una función en tres variables es muy similar a calcular el gradiente de una función en dos variables. Primero, calculamos las derivadas parciales (f_x, , f_y, ) y (f_z ), y luego usamos la Ecuación ref {grad3d}.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): encontrar degradados en tres dimensiones

Encuentra el gradiente ( vecs ∇f (x, y, z) ) de cada una de las siguientes funciones:

  1. (f (x, y, z) = 5x ^ 2−2xy + y ^ 2−4yz + z ^ 2 + 3xz )
  2. (f (x, y, z) = e ^ {- 2z} sin 2x cos 2y )

Solución

Para ambas partes a. y b., primero calculamos las derivadas parciales (f_x, f_y, ) y (f_z ), luego usamos la Ecuación ref {grad3d}.

un. (f_x (x, y, z) = 10x − 2y + 3z ), (f_y (x, y, z) = - 2x + 2y − 4z ) y (f_z (x, y, z) = 3x − 4y + 2z ), entonces

[ begin {align *} vecs ∇f (x, y, z) & = f_x (x, y, z) , hat { mathbf i} + f_y (x, y, z) , sombrero { mathbf j} + f_z (x, y, z) , sombrero { mathbf k}
& = (10x − 2y + 3z) , hat { mathbf i} + (- 2x + 2y − 4z) , hat { mathbf j} + (3x-4y + 2z) , hat { mathbf k}. end {alinear *} ]

B. (f_x (x, y, z) = 2e ^ {- 2z} cos 2x cos 2y ), (f_y (x, y, z) = - 2e ^ {- 2z} sin 2x sin 2y ) y (f_z (x, y, z) = - 2e ^ {- 2z} sin 2x cos 2y ), entonces

[ begin {align *} vecs ∇f (x, y, z) & = f_x (x, y, z) , hat { mathbf i} + f_y (x, y, z) , hat { mathbf j} + f_z (x, y, z) , hat { mathbf k} & = (2e ^ {- 2z} cos 2x cos 2y) , hat { mathbf i } + (- 2e ^ {- 2z} sin 2x sin 2y) , hat { mathbf j} + (- 2e ^ {- 2z} sin 2x cos 2y) , hat { mathbf k } & = 2e ^ {- 2z} ( cos 2x cos 2y , hat { mathbf i} - sin 2x sin 2y , hat { mathbf j} - sin 2x cos 2y , hat { mathbf k}). end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Encuentra el gradiente ( vecs ∇f (x, y, z) ) de (f (x, y, z) = dfrac {x ^ 2−3y ^ 2 + z ^ 2} {2x + y− 4z.} )

Respuesta

[ vecs ∇f (x, y, z) = dfrac {2x ^ 2 + 2xy + 6y ^ 2−8xz − 2z ^ 2} {(2x + y − 4z) ^ 2} , hat { mathbf i} - dfrac {x ^ 2 + 12xy + 3y ^ 2−24yz + z ^ 2} {(2x + y − 4z) ^ 2} , hat { mathbf j} + dfrac {4x ^ 2 −12y ^ 2−4z ^ 2 + 4xz + 2yz} {(2x + y − 4z) ^ 2} , hat { mathbf k} nonumber ]

La derivada direccional también se puede generalizar a funciones de tres variables. Para determinar una dirección en tres dimensiones, se necesita un vector con tres componentes. Este vector es un vector unitario, y los componentes del vector unitario se denominan cosenos direccionales. Dado un vector unitario tridimensional ( vecs u ) en forma estándar (es decir, el punto inicial está en el origen), este vector forma tres ángulos diferentes con el positivo (x ) -, (y ) - y (z ) - ejes. Llamemos a estos ángulos (α, β, ) y (γ ). Entonces, los cosenos direccionales están dados por ( cos α, cos β, ) y ( cos γ ). Estos son los componentes del vector unitario ( vecs u ); dado que ( vecs u ) es un vector unitario, es cierto que ( cos ^ 2 α + cos ^ 2 β + cos ^ 2 γ = 1. )

Definición: derivada direccional de una función de tres variables

Suponga que (w = f (x, y, z) ) es una función de tres variables con un dominio de (D ). Deje ((x_0, y_0, z_0) ∈D ) y deje ( vecs u = cos α , hat { mathbf i} + cos β , hat { mathbf j} + cos γ , hat { mathbf k} ) sea un vector unitario. Entonces, la derivada direccional de (f ) en la dirección de (u ) viene dada por

[D _ { vecs u} f (x_0, y_0, z_0) = lim_ {t → 0} dfrac {f (x_0 + t cos α, y_0 + t cos β, z_0 + t cos γ) −f (x_0, y_0, z_0)} {t} ]

siempre que exista el límite.

Podemos calcular la derivada direccional de una función de tres variables usando el gradiente, lo que lleva a una fórmula que es análoga a la Ecuación ref {DD2v}.

Derivada direccional de una función de tres variables

Sea (f (x, y, z) ) una función diferenciable de tres variables y sea ( vecs u = cos α , hat { mathbf i} + cos β , hat { mathbf j} + cos γ , hat { mathbf k} ) sea un vector unitario. Entonces, la derivada direccional de (f ) en la dirección de ( vecs u ) viene dada por

[D _ { vecs u} f (x, y, z) = vecs ∇f (x, y, z) ⋅ vecs u = f_x (x, y, z) cos α + f_y (x, y , z) cos β + f_z (x, y, z) cos γ. label {DDv3} ]

Los tres ángulos (α, β, ) y (γ ) determinan el vector unitario ( vecs u ). En la práctica, podemos usar un vector arbitrario (no unitario), luego dividir por su magnitud para obtener un vector unitario en la dirección deseada.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): encontrar una derivada direccional en tres dimensiones

Calcula (D _ { vecs v} f (1, −2,3) ) en la dirección de ( vecs v = - , hat { mathbf i} +2 , hat { mathbf j } +2 , hat { mathbf k} ) para la función

[f (x, y, z) = 5x ^ 2−2xy + y ^ 2−4yz + z ^ 2 + 3xz. sin número]

Solución:

Primero, encontramos la magnitud de (v ):

[‖ Vecs v‖ = sqrt {(- 1) ^ 2 + (2) ^ 2 + (2) ^ 2} = sqrt {9} = 3. sin número]

Por lo tanto, ( dfrac { vecs v} {‖ vecs v‖} = dfrac {- hat { mathbf i} +2 , hat { mathbf j} +2 , hat { mathbf k}} {3} = - dfrac {1} {3} , hat { mathbf i} + dfrac {2} {3} , hat { mathbf j} + dfrac {2} { 3} , hat { mathbf k} ) es un vector unitario en la dirección de ( vecs v ), entonces ( cos α = - dfrac {1} {3}, cos β = dfrac {2} {3}, ) y ( cos γ = dfrac {2} {3} ). A continuación, calculamos las derivadas parciales de (f ):

[ begin {align *} f_x (x, y, z) & = 10x − 2y + 3z
f_y (x, y, z) & = - 2x + 2y − 4z
f_z (x, y, z) & = - 4y + 2z + 3x, end {align *} ]

luego sustitúyalos en la Ecuación ref {DDv3}:

[ begin {align *} D _ { vecs v} f (x, y, z) & = f_x (x, y, z) cos α + f_y (x, y, z) cos β + f_z ( x, y, z) cos γ
& = (10x − 2y + 3z) (- dfrac {1} {3}) + (- 2x + 2y − 4z) ( dfrac {2} {3}) + (- 4y + 2z + 3x) ( dfrac {2} {3})
& = - dfrac {10x} {3} + dfrac {2y} {3} - dfrac {3z} {3} - dfrac {4x} {3} + dfrac {4y} {3} - dfrac {8z} {3} - dfrac {8y} {3} + dfrac {4z} {3} + dfrac {6x} {3}
& = - dfrac {8x} {3} - dfrac {2y} {3} - dfrac {7z} {3}. end {alinear *} ]

Por último, para encontrar (D _ { vecs v} f (1, −2,3), ) sustituimos (x = 1, , y = −2 ) y (z = 3: )

[ begin {align *} D _ { vecs v} f (1, −2,3) & = - dfrac {8 (1)} {3} - dfrac {2 (−2)} {3} - dfrac {7 (3)} {3}
& = - dfrac {8} {3} + dfrac {4} {3} - dfrac {21} {3}
& = - dfrac {25} {3}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

Calcula (D _ { vecs v} f (x, y, z) ) y (D _ { vecs v} f (0, −2,5) ) en la dirección de ( vecs v = - 3 , hat { mathbf i} +12 , hat { mathbf j} −4 , hat { mathbf k} ) para la función

[f (x, y, z) = 3x ^ 2 + xy − 2y ^ 2 + 4yz − z ^ 2 + 2xz. nonumber ]

Pista

Primero, divida ( vecs v ) por su magnitud, calcule las derivadas parciales de (f ), luego use la Ecuación ref {DDv3}.

Respuesta

(D _ { vecs v} f (x, y, z) = - dfrac {3} {13} (6x + y + 2z) + dfrac {12} {13} (x − 4y + 4z) - dfrac {4} {13} (2x + 4y − 2z) )

(D _ { vecs v} f (0, −2,5) = dfrac {384} {13} )

Resumen

  • Una derivada direccional representa una tasa de cambio de una función en cualquier dirección dada.
  • El gradiente se puede utilizar en una fórmula para calcular la derivada direccional.
  • El gradiente indica la dirección de mayor cambio de una función de más de una variable.

Ecuaciones clave

  • derivada direccional (dos dimensiones) [D _ { vecs u} f (a, b) = lim_ {h → 0} dfrac {f (a + h cos θ, b + h sin θ) −f (a, b)} { h} nonumber ] o [D _ { vecs u} f (x, y) = f_x (x, y) cos θ + f_y (x, y) sin θ nonumber ]
  • gradiente (dos dimensiones) [ vecs ∇f (x, y) = f_x (x, y) , hat { mathbf i} + f_y (x, y) , hat { mathbf j} nonumber ]
  • gradiente (tres dimensiones) [ vecs ∇f (x, y, z) = f_x (x, y, z) , hat { mathbf i} + f_y (x, y, z) , hat { mathbf j} + f_z (x, y, z) , hat { mathbf k} nonumber ]
  • derivada direccional (tres dimensiones) [D _ { vecs u} f (x, y, z) = vecs ∇f (x, y, z) ⋅ vecs u = f_x (x, y, z) cos α + f_y (x, y , z) cos β + f_x (x, y, z) cos γ nonumber ]

Glosario

derivado direccional

la derivada de una función en la dirección de un vector unitario dado

degradado

el gradiente de la función (f (x, y) ) se define como ( vecs ∇f (x, y) = (∂f / ∂x) , hat { mathbf i} + (∂ f / ∂y) , hat { mathbf j}, ) que se puede generalizar a una función de cualquier número de variables independientes


26 Derivadas direccionales y el gradiente

En Derivadas parciales introdujimos la derivada parcial. Una función tiene dos derivadas parciales: y Estas derivadas corresponden a cada una de las variables independientes y pueden interpretarse como tasas de cambio instantáneas (es decir, como pendientes de una línea tangente). Por ejemplo, representa la pendiente de una recta tangente que pasa por un punto dado en la superficie definida por asumiendo que la recta tangente es paralela a la X-eje. Similar, representa la pendiente de la recta tangente paralela a la Ahora consideramos la posibilidad de una recta tangente paralela a ninguno de los ejes.

Derivadas direccionales

Comenzamos con la gráfica de una superficie definida por la ecuación Dado un punto en el dominio de elegimos una dirección para viajar desde ese punto. Medimos la dirección usando un ángulo que se mide en sentido antihorario en el X, y-plano, comenzando en cero desde el positivo X-eje ((Figura)). La distancia que viajamos es y la dirección en la que viajamos viene dada por el vector unitario Por lo tanto, la z-la coordenada del segundo punto en el gráfico está dada por

Encontrar la derivada direccional en un punto de la gráfica de La pendiente de la flecha negra en el gráfico indica el valor de la derivada direccional en ese punto.

Podemos calcular la pendiente de la recta secante dividiendo la diferencia en por la longitud del segmento de línea que conecta los dos puntos del dominio. La longitud del segmento de línea es Por lo tanto, la pendiente de la recta secante es

Para encontrar la pendiente de la recta tangente en la misma dirección, tomamos el límite como se acerca a cero.

Suponer es una función de dos variables con un dominio de Dejar y definir Entonces la derivada direccional de en la dirección de es dado por

siempre que exista el límite.

(Figura) proporciona una definición formal de la derivada direccional que se puede utilizar en muchos casos para calcular una derivada direccional.

Dejar Encuentra la derivada direccional de en la dirección de Que es

En primer lugar, ya que y es agudo, esto implica

Utilizando primero calculamos

Sustituimos esta expresión en (Figura):

Calcular nosotros sustituimos y en esta respuesta:

Encontrar la derivada direccional en una dirección dada en un punto dado de una superficie. El plano es tangente a la superficie en el punto dado

Otro enfoque para calcular una derivada direccional implica derivadas parciales, como se describe en el siguiente teorema.

Dejar ser una función de dos variables y asumir que y existe. Entonces la derivada direccional de en la dirección de es dado por

Prueba

(Figura) establece que la derivada direccional de F en la dirección de es dado por

Dejar y y definir Ya que y ambas existen, podemos usar la regla de la cadena para funciones de dos variables para calcular

Si luego y asi que

Por la definición de también es cierto que

Por lo tanto,

Dejar Encuentra la derivada direccional de en la dirección de Que es

Primero, debemos calcular las derivadas parciales de

Luego usamos (Figura) con

Calcular dejar y

Esta es la misma respuesta obtenida en la (Figura).

Encuentra la derivada direccional de en la dirección de usando (Figura). Que es

Calcule las derivadas parciales y determine el valor de

Si el vector que se da para la dirección de la derivada no es un vector unitario, solo es necesario dividir por la norma del vector. Por ejemplo, si quisiéramos encontrar la derivada direccional de la función en (Figura) en la dirección del vector Primero dividiríamos por su magnitud para obtener Esto nos da Luego

Degradado

El lado derecho de (Figura) es igual a que se puede escribir como el producto escalar de dos vectores. Defina el primer vector como y el segundo vector como Entonces, el lado derecho de la ecuación se puede escribir como el producto escalar de estos dos vectores:

El primer vector en (Figura) tiene un nombre especial: el gradiente de la función El símbolo se llama nabla y el vector es leído

Dejar ser una función de tal que y existe. El vector se llama el gradiente de y se define como

El vector también está escrito como

Encuentra el gradiente de cada una de las siguientes funciones:

Para ambas partes a. y b., primero calculamos las derivadas parciales y luego use (Figura).



Encuentra el gradiente de

Calcule las derivadas parciales, luego use (Figura).

El gradiente tiene algunas propiedades importantes. Ya hemos visto una fórmula que usa el gradiente: la fórmula de la derivada direccional. Recuerde de The Dot Product que si el ángulo entre dos vectores y es luego Por lo tanto, si el ángulo entre y es tenemos

El desaparece porque es un vector unitario. Por lo tanto, la derivada direccional es igual a la magnitud del gradiente evaluado en multiplicado por Recordar que rangos desde para Si luego y y ambos apuntan en la misma dirección. Si luego y y apuntar en direcciones opuestas. En el primer caso, el valor de se maximiza en el segundo caso, el valor de se minimiza. Si luego para cualquier vector Estos tres casos se describen en el siguiente teorema.

Supongamos que la función es diferenciable en ((Figura)).

  1. Si luego para cualquier vector unitario
  2. Si luego se maximiza cuando apunta en la misma dirección que El valor máximo de es
  3. Si luego se minimiza cuando puntos en la dirección opuesta a El valor mínimo de es

Encuentre la dirección para la cual la derivada direccional de a es un máximo. ¿Cuál es el valor máximo?

El valor máximo de la derivada direccional ocurre cuando y el vector unitario apunta en la misma dirección. Por lo tanto, comenzamos calculando

A continuación, evaluamos el gradiente en

Necesitamos encontrar un vector unitario que apunte en la misma dirección que entonces el siguiente paso es dividir por su magnitud, que es Por lo tanto,

Este es el vector unitario que apunta en la misma dirección que Para encontrar el ángulo correspondiente a este vector unitario, resolvemos las ecuaciones

por Dado que el coseno es negativo y el seno es positivo, el ángulo debe estar en el segundo cuadrante. Por lo tanto,

El valor máximo de la derivada direccional en es (ver la siguiente figura).

El valor máximo de la derivada direccional en está en la dirección del gradiente.

Encuentre la dirección para la cual la derivada direccional de a es un máximo. ¿Cuál es el valor máximo?

El gradiente de a es El vector unitario que apunta en la misma dirección que es que da un ángulo de El valor máximo de la derivada direccional es

Evaluar el gradiente de en el punto

(Figura) muestra una parte del gráfico de la función Dado un punto en el dominio de el valor máximo del gradiente en ese punto viene dado por Esto equivaldría a la velocidad de mayor ascenso si la superficie representara un mapa topográfico. Si fuéramos en la dirección opuesta, sería la velocidad de mayor descenso.

Una superficie típica en Dado un punto en la superficie, la derivada direccional se puede calcular usando el gradiente.

Cuando se usa un mapa topográfico, la pendiente más pronunciada siempre está en la dirección donde las líneas de contorno están más juntas (ver (Figura)). Esto es análogo al mapa de contorno de una función, asumiendo que las curvas de nivel se obtienen para valores igualmente espaciados en todo el rango de esa función.

Mapa de contorno para la función usando valores de nivel entre y

Gradientes y curvas de nivel

Recuerde que si una curva está definida paramétricamente por el par de funciones entonces el vector es tangente a la curva para cada valor de en el dominio. Ahora supongamos es una función diferenciable de y está en su dominio. Supongamos además que y por algún valor de y considera la curva de nivel Definir y calcular en la curva de nivel. Por la regla de la cadena,

Pero porque para todos Por tanto, por un lado,

Por tanto, el producto escalar de estos vectores es igual a cero, lo que implica que son ortogonales. Sin embargo, el segundo vector es tangente a la curva de nivel, lo que implica que el gradiente debe ser normal a la curva de nivel, lo que da lugar al siguiente teorema.

Supongamos que la función tiene derivadas parciales continuas de primer orden en un disco abierto centrado en un punto Si luego es normal a la curva de nivel de a

Podemos usar este teorema para encontrar vectores tangentes y normales para nivelar las curvas de una función.

Para la función encontrar un vector tangente a la curva de nivel en el punto Grafique la curva de nivel correspondiente a y dibujar en y un vector tangente.

Primero, debemos calcular

A continuación, evaluamos a

Este vector es ortogonal a la curva en el punto Podemos obtener un vector tangente invirtiendo las componentes y multiplicando una por Así, por ejemplo, es un vector tangente (ver el siguiente gráfico).

Vectores tangentes y normales a en el punto

Para la función encuentra la tangente a la curva de nivel en el punto Dibuje el gráfico de la curva de nivel correspondiente a y dibuja y un vector tangente.



Vector tangente: o

Calcular el gradiente en el punto

Gradientes tridimensionales y derivadas direccionales

La definición de un gradiente se puede extender a funciones de más de dos variables.

Dejar ser una función de tres variables tales que existe. El vector se llama el gradiente de y se define como

también se puede escribir como

Calcular el gradiente de una función en tres variables es muy similar a calcular el gradiente de una función en dos variables. Primero, calculamos las derivadas parciales y y luego usamos (Figura).

Encuentra el gradiente de cada una de las siguientes funciones:

Para ambas partes a. y b., primero calculamos las derivadas parciales y luego use (Figura).



Encuentra el gradiente de

La derivada direccional también se puede generalizar a funciones de tres variables. Para determinar una dirección en tres dimensiones, se necesita un vector con tres componentes. Este vector es un vector unitario, y los componentes del vector unitario se denominan cosenos direccionales . Dado un vector unitario tridimensional en forma estándar (es decir, el punto inicial está en el origen), este vector forma tres ángulos diferentes con el positivo y z-ejes. Llamemos a estos ángulos y Entonces los cosenos direccionales están dados por y Estos son los componentes del vector unitario ya que es un vector unitario, es cierto que

Suponer es una función de tres variables con un dominio de Dejar y deja ser un vector unitario. Entonces, la derivada direccional de en la dirección de es dado por

siempre que exista el límite.

Podemos calcular la derivada direccional de una función de tres variables utilizando el gradiente, lo que nos lleva a una fórmula análoga a la (Figura).

Dejar ser una función diferenciable de tres variables y dejar ser un vector unitario. Entonces, la derivada direccional de en la dirección de es dado por

Los tres ángulos determinar el vector unitario En la práctica, podemos usar un vector arbitrario (no unitario), luego dividir por su magnitud para obtener un vector unitario en la dirección deseada.

Calcular en la dirección de para la función

Primero, encontramos la magnitud de

Por lo tanto, es un vector unitario en la dirección de asi que A continuación, calculamos las derivadas parciales de

luego sustitúyalos en (Figura):

Por último, para encontrar nosotros sustituimos

Calcular y en la dirección de para la función

Primero, divide por su magnitud, calcule las derivadas parciales de luego use (Figura).

Conceptos clave

  • Una derivada direccional representa una tasa de cambio de una función en cualquier dirección dada.
  • El gradiente se puede utilizar en una fórmula para calcular la derivada direccional.
  • El gradiente indica la dirección de mayor cambio de una función de más de una variable.

Ecuaciones clave

  • derivada direccional (dos dimensiones)

    o
  • gradiente (dos dimensiones)
  • gradiente (tres dimensiones)
  • derivada direccional (tres dimensiones)

Para los siguientes ejercicios, encuentre la derivada direccional usando solo la definición de límite.

en el punto en la dirección de

en el punto en la dirección de

Encuentra la derivada direccional de en el punto en la dirección de

Para los siguientes ejercicios, encuentre la derivada direccional de la función en el punto en la dirección de

Para los siguientes ejercicios, encuentre la derivada direccional de la función en la dirección del vector unitario

Para los siguientes ejercicios, encuentre el gradiente.

Encuentra el gradiente de Luego, encuentra el gradiente en el punto

Encuentra el gradiente de en el punto

Encuentra el gradiente de a y en la dirección de

Para los siguientes ejercicios, encuentre la derivada direccional de la función en el punto en la dirección de

Para los siguientes ejercicios, encuentre la derivada de la función en en la dirección de

[T] Utilice la tecnología para dibujar la curva de nivel de que pasa por y dibuja el vector de gradiente en

[T] Utilice la tecnología para dibujar la curva de nivel de que pasa por y dibuja el vector de gradiente en

Para los siguientes ejercicios, encuentre el vector de gradiente en el punto indicado.

Para los siguientes ejercicios, encuentre la derivada de la función.

en el punto en la dirección en que la función aumenta más rápidamente

en el punto en la dirección en que la función aumenta más rápidamente

en el punto en la dirección en que la función aumenta más rápidamente

en el punto en la dirección en que la función aumenta más rápidamente

en el punto en la dirección en que la función aumenta más rápidamente

Para los siguientes ejercicios, encuentre la tasa máxima de cambio de en el punto dado y la dirección en la que ocurre.

Para los siguientes ejercicios, encuentre ecuaciones de

La curva de nivel por en el punto

en el punto

un. B.

en el punto

en el punto

un. B.

Para los siguientes ejercicios, resuelva el problema.

La temperatura en una esfera de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la esfera (el origen: La temperatura en el punto es

  1. Encuentre la tasa de cambio de la temperatura en el punto en la dirección hacia el punto
  2. Demuestre que, en cualquier punto de la esfera, la dirección del mayor aumento de temperatura viene dada por un vector que apunta hacia el origen.

El potencial eléctrico (voltaje) en una determinada región del espacio viene dado por la función

  1. Encuentre la tasa de cambio del voltaje en el punto en la dirección del vector
  2. ¿En qué dirección cambia el voltaje más rápidamente en el punto
  3. ¿Cuál es la tasa máxima de cambio de voltaje en el punto

un. B. C.

Si el potencial eléctrico en un punto en el xy-plano es entonces el vector de intensidad eléctrica en es

  1. Encuentre el vector de intensidad eléctrica en
  2. Demuestre que, en cada punto del plano, el potencial eléctrico disminuye más rápidamente en la dirección del vector

En dos dimensiones, el movimiento de un fluido ideal está gobernado por un potencial de velocidad Los componentes de velocidad del fluido en el X-dirección y en el y-dirección, están dadas por Encuentre los componentes de velocidad asociados con el potencial de velocidad

Glosario

derivada direccional derivada de una función en la dirección de un vector unitario dado gradiente gradiente de la función se define como que se puede generalizar a una función de cualquier número de variables independientes

El gradiente es un vector que apunta en la dirección de mayor ascenso.

La derivada direccional es un número, es la tasa de cambio cuando su punto en $ Bbb R ^ 3 $ se mueve en esa dirección. (Puede imaginarse "reducir" su función a una función de una sola variable, digamos $ t $, al "cortar" la curva en esa dirección, la derivada direccional es entonces la derivada 1-D de esa función "dividida").

Tenga cuidado de que la derivada direccional de una función sea un escalar mientras que el gradiente sea un vector.

La única diferencia entre derivado y derivado direccional es la definición de esos términos. Recordar:

  • La derivada direccional es la tasa de cambio instantánea (que es un escalar) de $ f (x, y) $ en la dirección del vector unitario $ u $.
  • La derivada es la tasa de cambio de $ f (x, y) $, que se puede pensar en la pendiente de la función en un punto $ (x_0, y_0) $.

Sí, el gradiente viene dado por el vector fila cuyos elementos son las derivadas parciales de $ g $ con respecto a $ x $, $ y $ y $ z $, respectivamente. En su caso, el gradiente en $ (x, y, z) $ es, por tanto, $ [- 3x ^ 2,9y ^ 2,2z + 2] $. El gradiente en $ (2,1, -1) $ es, por tanto, $ [- 12,9,0] $.

La derivada direccional en un punto $ (x, y, z) $ en la dirección $ (u, v, w) $ es el gradiente multiplicado por la dirección dividida por su longitud. Entonces, si $ u ^ 2 + v ^ 2 + w ^ 2 = 1 $ entonces la derivada direccional en $ (x, y, z) $ en la dirección $ (u, v, w) $ es solo $ -3x ^ 2 u + 9y ^ 2v + (2z + 2) w $.

Si $ u ^ 2 + v ^ 2 + w ^ 2 neq 1 $, entonces debes dividir el número anterior por $ sqrt$.

En resumen, el gradiente es un vector con la pendiente de la función a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas, mientras que la derivada direccional es la pendiente en una dirección especificada arbitraria.


14.6: Derivadas direccionales y gradiente

DERIVADOS DIRECCIONALES Y GRADIENTE

La vista desde abajo. Haga clic en la imagen para ampliarla.

Las imágenes de arriba representan dos vistas del gráfico de una función de dos variables,

Quiero encontrar algo llamado derivado direccional,

Esta derivada direccional se define como un límite (consulte la página 932 en la 8ª edición de LHE). Como interpretación geométrica, dará la tasa de cambio del valor de la función (z) en un punto (x, y, z) en la gráfica de la función con respecto al cambio en la distancia movida a lo largo de una línea en el plano de coordenadas xy. que pasa por el punto (x, y, 0). La "dirección" en la derivada direccional se relaciona con un vector de dirección para la línea.El límite tomado en la definición de la derivada direccional implica que esta distancia se aproxime a cero. Suponga que la línea está dada por

donde el vector de dirección de la línea viene dado por

Podríamos simplemente parametrizar la línea en el plano de coordenadas xy mediante

con vector de dirección dado por

Podemos calcular la derivada direccional usando una forma de la regla de la cadena si hacemos la parametrización de la línea la parametrización del arco y diferenciamos con respecto a este parámetro. Tome theta como el ángulo que forma el vector de dirección de la línea con el eje x positivo. En este caso, si

Por lo tanto, la línea se puede representar en el plano de coordenadas xy como

con su vector de dirección el vector unitario

Con esta parametrización t será el parámetro arclength ya que si

En el punto (1,2,5) de la superficie encontramos que

Si definimos una función de valor vectorial llamada gradiente como

Mientras tu es un vector unitario.

Aquí hay una imagen DPGraph de la superficie, el plano que contiene las dos líneas azules en la imagen de la derecha y el punto (1,1,7). ¿Puedes decir qué representarían estas dos líneas azules y si serían paralelas o no? El plano pasaría por el punto (1,1,7) y contendría una línea en el plano de coordenadas xy que pasa por (1,1,0) y tiene un vector de dirección & lt1, -1,0 & gt. La ecuación de este plano sería

Haga clic en la imagen para ampliarla.

Maximización de la derivada direccional mediante el degradado

Sabemos por el teorema 10.5 en LHE que para dos vectores tu y v y el ángulo theta entre ellos

Esto nos muestra que la derivada direccional se maximizará si el coseno de theta es igual a uno, es decir, si theta es igual a cero grados. Por lo tanto, la derivada direccional se maximizará cuando la medida del ángulo entre el gradiente y el vector de dirección sea cero. De esto podemos concluir que

la derivada direccional se maximizará en la dirección del gradiente y este valor máximo será la magnitud del gradiente.

Encuentre el valor máximo de la derivada direccional en el punto (1,1,7) para la función dada a continuación.

Por lo tanto, el valor máximo de la derivada direccional en el punto (1,1,7) estará en la dirección del vector & lt -2, -2 & gt y será

Haga clic en la imagen para ampliarla.

En este ejemplo, mostraré cómo las ecuaciones de las líneas, la curva y el plano en ejemplo 3 fueron encontrados.

La línea en el plano de coordenadas xy tendría un vector de dirección de & lt -1, -1 & gt, por lo que podría estar dada paramétricamente por

El plano contendría la línea y = x en el plano de coordenadas xy y sería perpendicular al plano de coordenadas xy, por lo que la ecuación del plano en el espacio sería

Para encontrar la curva de intersección de este plano y la superficie dada por z = 9 - x 2 - y 2 podríamos establecer x = t. Por tanto, para satisfacer la ecuación del plano también tendríamos y = t. Podemos sustituir en la ecuación de la superficie para obtener z. Por tanto, la curva viene dada paramétricamente por

Podemos representar esta curva como una función de posición con valor vectorial r (t).

En el punto (1,1,7) de la superficie, el valor t sería 1 y la representación paramétrica de la recta tangente a la curva de intersección del plano y la superficie sería

Ejemplo 5: Dirección del descenso más pronunciado

Queremos encontrar un vector desde el punto (1,1,7) en la superficie descrita en el ejemplo 4 anterior en la dirección xey del descenso más pronunciado basado en el gradiente negativo evaluado en (1,1) con el punto terminal de el vector que yace en la superficie. Queremos usar un vector en la dirección del gradiente negativo que se ha normalizado (vector unitario).

Haga clic en cada imagen para ampliar.

Ejemplo 6: Comparación de vectores

Aquí hay una hoja de trabajo de Maple que compara & quot; Vectores derivados direccionales & quot. Los colores de los vectores corresponden a los colores en los cálculos siguientes. Los vectores horizontales corresponden a los vectores de dirección r , tu , v , y w y la magnitud con signo (arriba para positivo, abajo para negativo) de los vectores verticales corresponde al valor de la derivada direccional correspondiente. Los vectores de hipotenusa son lo que yo llamo los "Vectores Derivados Direccionales" correspondientes a los vectores de dirección unitaria. Esta hoja de trabajo de Maple es como la vinculada arriba, excepto que se enfoca solo en el vector de dirección r lo que daría la dirección de descenso más empinado.

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¿Cómo debo abordar esta pregunta?

Encuentre la derivada direccional de f (x, y, z) = xz + y 2 en el punto (3,1,2) en la dirección de un vector que forma un ángulo de −π / 4 con ∇f (3,1, 2).

Encontré que el degradado es & lt2,2,3 & gt

No es necesario pensar en ángulos para comprender la idea de una derivada direccional. Sean xyv en R n, v un vector unitario yt en R. La derivada direccional de f en a en la dirección v es simplemente la derivada de la función de variable única h (t) = f (a + tv) en t = 0 (es decir, h '(0)).

Esto da la definición de la derivada direccional sin discutir el gradiente. Y, de hecho, pueden existir algunas derivadas direccionales sin que f tenga un gradiente definido. Digamos que f es diferenciable con respecto a x pero no con respecto a y. Sin embargo, si f es diferenciable, entonces la derivada de f en a en la dirección v es grad (f) (a) * v.

Dada la función f (x, y, z), con gradiente [itex] nabla f [/ itex], podemos hablar de la & quot derivada direccional & quot en la dirección de vector unitario [itex] vec[/ itex] como producto escalar: [itex] nabla f cdot vec[/ itex].

En tres dimensiones, una dirección no se puede especificar con un solo ángulo. Nosotros necesitamos dos ángulos como & quot [itex] theta [/ itex] & quot y & quot [itex] phi [/ itex] & quot utilizados en coordenadas esféricas. O podemos usar los & quot; cosenos de dirección & quot, los cosenos de los ángulos que forma la dirección con los tres ejes de coordenadas: [itex] theta_x [/ itex] es el ángulo que forma una línea en la dirección dada con el eje x, [itex] theta_y [/ itex] el ángulo que forma con el eje y, y [itex] theta_z [/ itex], el ángulo que forma con el eje z. Por supuesto, esos tres ángulos no son independientes. Podemos demostrar que debemos tener [itex] cos ^ 2 ( theta_x) + cos ^ 2 ( theta_y) + cos ^ 2 ( theta_z) = 1 [/ itex] lo que significa que el vector [itex] cos ( theta_x) vec+ cos ( theta_y) vec+ cos ( theta_z) vec[/ itex] es el vector unitario en esa dirección.

Es decir, la & quot; derivada direccional & quot de f (x, y, z) en la dirección que forma los ángulos [itex] theta_x [/ itex], [itex] theta_y [/ itex] y [itex] theta_z [/ itex ] con los ejes x, y y z, respectivamente, viene dado por [itex] nabla f cdot (cos ( theta_x) vec+ cos ( theta_y) vec+ cos ( theta_z) vec) = f_x cos ( theta_x) + f_y cos ( theta_y) + f_z cos ( theta_z) [/ itex].


14.6: Derivadas direccionales y gradiente

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Hemos definido las derivadas direccionales de una función, que nos permiten determinar cómo cambia una función en varias direcciones.

Sin embargo, nos gustaría una forma más sencilla de evaluar las derivadas direccionales, que no requiera la definición del límite.

Tal método requerirá el uso del gradiente de la función. Recuerde nuestra definición del gradiente de una función.

Veremos que este vector resulta estar estrechamente relacionado con las derivadas direccionales.

Las derivadas gradiente y direccional

Supongamos que tenemos una función diferenciable y consideremos nuestra definición de la derivada direccional como una función en la dirección de un vector unitario, que era. Reescribiremos esta definición considerando otra función,. Observe que es una función de una sola variable, y cuando reescribimos la derivada direccional, tenemos

Entonces, la derivada direccional es solo la derivada de esta función de variable única evaluada en. Revisando nuestra definición de, podemos usar la regla de la cadena para encontrar la derivada de.

Por tanto, hemos llegado al siguiente resultado.

Usemos este resultado para calcular algunas derivadas direccionales.

Dado que no es un vector unitario, necesitamos normalizarlo. Ya que, usaremos el vector para calcular nuestra derivada direccional deseada.

A continuación, necesitaremos el gradiente de. Dado que las derivadas parciales de son polinomios, son continuas, por lo que son diferenciables. Por lo tanto, podemos usar el teorema anterior para calcular la derivada direccional.

Entonces, podemos calcular la derivada direccional como

Esto coincide con lo que habíamos calculado previamente usando la definición de derivadas direccionales.

Calcule la derivada direccional de en, en la dirección de.

Los conjuntos de gradiente y nivel

Hemos demostrado que para una función diferenciable, podemos calcular derivadas direccionales como: ¿Qué significa esto para los valores posibles de una derivada direccional? Recuerde que el producto escalar se puede calcular como dónde está el ángulo entre los dos vectores. Dado que es un vector unitario, tenemos Dado, tenemos que En particular, lo más grande que puede ser es, y esto ocurre cuando apunta en la misma dirección que, de modo que. Por tanto, el gradiente apunta en la dirección de mayor aumento.

Por otro lado, el valor mínimo que puede tener es, y esto ocurre cuando apunta en la dirección opuesta a, en la dirección de. Por lo tanto, apunta en la dirección de mayor disminución.

Además, desde, podemos ver que es perpendicular a if y solo if. Pero, ¿para qué significa? Esto significa que no hay un cambio instantáneo en la dirección de, lo que significa que será un vector tangente a una curva de nivel.

Consideremos cómo cambia esta función cerca del punto.

El gradiente de at es Consultando la gráfica de cerca del punto, podemos confirmar que aumenta más rápidamente cuando nos movemos en la dirección de. También podemos confirmar que disminuye más rápidamente cuando nos movemos en la dirección de.

El punto se encuentra en la curva de nivel. Un vector tangente a esta curva de nivel en el punto viene dado por.

Este vector es perpendicular a nuestro gradiente.

Enunciaremos esta observación de manera más formal y demostraremos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Prueba Necesitamos demostrar que para cualquier vector que sea tangente a, tenemos que es perpendicular a.

Si es tangente a, podemos encontrar una curva parametrizada que se encuentra en tal que y. Mostraremos que es perpendicular a.

Por la definición de, y desde que se encuentra en, para todos. Diferenciando ambos lados de esta identidad, y usando la regla de la cadena en el lado izquierdo, obtenemos Plugging in, esto nos da lo que podemos reescribir como Así, hemos demostrado que es perpendicular al nivel establecido.


14.6: Derivadas direccionales y gradiente

Las derivadas parciales FX y Fy en un punto mida la tasa de cambio de la función F en el X y y direcciones, respectivamente. Pueden considerarse casos especiales de derivado direccional, que mide la tasa de cambio de / en una dirección arbitraria, y que definimos a continuación.

Usamos la siguiente notación a lo largo de esta sección. Dejar

ser el vector unitario que forma un ángulo &alfa con lo positivo X dirección.

Dado cualquier punto (X0, y0), deseamos medir la tasa de cambio de F en la dirección de T&alfa. Simplemente tomamos el cambio en la función a medida que avanzamos una distancia &Deltas en esta dirección, dividir por &Deltasy tomar el límite como &Deltas tiende a cero (Fig. 6.1). Usamos la notación & nabla&alfaF(X0, y0) para esta cantidad.

FIGURA 6.1 Derivada direccional y nabla&alfa

Definición 6.1 El derivado direccional de una función F(X, y) en un punto (X0, y0) en la dirección del vector porque &alfa, pecado &alfa es

Tenga en cuenta que las derivadas parciales FX y Fy son casos especiales:

En general, una función puede tener derivadas direccionales en algunas direcciones, pero no en otras. Nuevamente podemos referirnos al ejemplo definido por la Ec. (5,1). Para esa función, las derivadas direccionales en el origen existen en el X y ydirecciones, pero en ninguna otra dirección. Esto ilustra nuevamente la insuficiencia de las derivadas parciales para describir la forma en que una función varía en una dirección arbitraria. El hecho sorprendente es que si sumamos al supuesto de que las derivadas parciales existen en cada punto el supuesto adicional de que son continuas, entonces podemos sacar dos conclusiones.

1. Las derivadas direccionales deben existir en todas las direcciones.

2. El valor de la derivada direccional en cualquier punto en una dirección dada depende solo de la dirección y de las derivadas parciales. FX, Fy en el punto.

La prueba de estos hechos se basa en el Lema fundamental 5.1. Tenemos el siguiente teorema.

Dividiendo por &Deltas rendimientos

Pero y el Lema 5.1 fundamental afirma precisamente que

Por lo tanto, aplicando Def. 6.1 a la ecuación. (6.5) obtenemos la ecuación. (6.4).

Tenga en cuenta que el hecho de que la derivada direccional es negativo significa que la función está disminuyendo en esta dirección (Fig. 6.2a)

FIGURA 6.2 Direcciones de derivadas en los ejemplos 6.1 y 6.2

Usando la misma función y el mismo punto que en el ejemplo 6.1, sea

Tenga en cuenta que en este caso T&alfa es un vector unitario en una dirección perpendicular al vector radio 3, 2 . La tasa de cambio de la función en esta dirección es cero (figura 6.2b).

Hay dos interpretaciones físicas que son más útiles para comprender la derivada direccional. El primero se obtiene imaginando el dominio D ser un plato delgado y la función F(X, y) la temperatura en cada punto del plato. Entonces, la derivada direccional en cualquier punto nos dice si, a medida que nos movemos en una dirección dada, nos estamos calentando o enfriando, y qué tan rápido.

La otra interpretación se refiere a la superficie z = F(X, y). Dibujamos una línea a través de (X0, y0) en la dirección de T&alfa y considere el plano vertical a través de esta línea. La intersección de ese plano con la superficie define una curva cuya pendiente es precisamente & nabla&alfaF(X0, y0) (Figura 6.3). Si volvemos a nuestra descripción de la superficie como un terreno montañoso, donde F(X, y) es la altitud, entonces la derivada direccional es positiva o negativa según estemos ascendiendo o descendiendo al caminar en la dirección indicada. La magnitud de la derivada direccional simplemente mide qué tan empinada sería una trayectoria en esa dirección.

FIGURA 6.3 Interpretación geométrica de la derivada direccional

Regresemos ahora a la Ec. (6.4), y observamos que el lado derecho tiene la forma de un producto escalar de dos vectores, siendo uno de ellos T&alfa. El otro tendría componentes FX, Fy en el punto. Este vector es de importancia básica para funciones de dos variables. Se llama el vector degradado de F y se denota por & nablaF.

Definición 6.2 Dejar F(X, y) estar definido en un dominio D. En cualquier punto (X0, y0) donde las derivadas parciales FX y Fy existir, definimos el gradiente de F ser el vector cuyos componentes son estas derivadas parciales:

Observación sobre la notación A menudo se ve la notación graduada F para el gradiente, o grad F donde el tipo de negrita indica una cantidad vectorial. El delta invertido utilizado en la ecuación. (6.6) se llama nabla, pero cuando se usa para operar en una función, como en la Ec. (6.6), generalmente se denomina del. Así se lee "& nablaF"Como" del F. " La negrita & nabla se utiliza para enfatizar el hecho de que el gradiente de una función define un vector en cada punto. En la notación & nabla&alfaF, no usamos negrita, ya que la derivada direccional es un número, en lugar de un vector.

Ahora podemos reescribir la ecuación. (6.4) en notación vectorial, usando las ecuaciones. (6.1) y (6.6):

Al principio, esto es simplemente una notación diferente para lo mismo. Sin embargo, conduce a nueva información importante. Recordando que el producto escalar de dos vectores es el producto de sus longitudes por el coseno del ángulo intermedio y observando que T&alfa es un vector de longitud 1, tenemos

FIGURA 6.4 Vector de gradiente y derivada direccional

De la ecuación. (6.8) deducimos inmediatamente los siguientes hechos básicos.

Dejar F(X, y) ser continuamente diferenciable en D. Luego, en cada punto (X0, y0) de D tenemos un vector fijo

1. Si |& nablaF(X0, y0) | = 0 (es decir, si ambas derivadas parciales en el punto son cero), entonces todos las derivadas direccionales en el punto son cero.

3. Dado que | cos y theta| & le 1, el valor de la derivada direccional siempre varía entre & plusmn |& nablaF(X0, y0) |. Si |& nablaF(X0, y0)| & le 0, luego como &alfa varía la derivada direccional toma su valor máximo, |& nablaF(X0, y0) |, precisamente cuando y theta = 0, es decir, cuando T&alfa está en la misma dirección que & nablaF(X0, y0). Toma su valor mínimo, & menos |& nablaF(X0, y0) |, en la dirección opuesta, cuando y theta = &Pi (Figura 6.5).

FIGURA 6.5 Derivadas direccionales en direcciones paralelas y perpendiculares al vector de gradiente

En el ejemplo 6.2 anterior, tenemos

Este es un vector dirigido hacia el origen. El vector T&alfa = (1/ ) & menos2, 3 es perpendicular a él, y por lo tanto la derivada direccional & nabla&alfaF(3, 2) = 0 (Fig. 6.6).

FIGURA 6.6 & nablaF(3, 2), donde

Tenga en cuenta que en términos de la superficie z = (25 y menos X 2 y menos y 2) 1/2, que es su esfera, el gradiente apunta en la dirección de ascenso más empinado, mientras que el veci T&alfa apunta en la dirección de la curva de nivel X 2 + y 2 = 13 (figura 6.7).

FIGURA 6.7 Derivadas direccionales para hemisferio

Se construirá un camino hasta la cima de una montaña cuya ecuación es

(en millas). Se desea el camino más corto posible con una pendiente máxima de 30 °. ¿En qué dirección debe construirse la carretera en el punto (0, y menos1)?

Como queremos el camino más corto hasta la cima, queremos el máximo aumento en F(X, y) = 1 y menos X 2/2 y menos y 2/3, sujeto a la restricción. Por lo tanto, haríamos el grado exactamente 30 °, y por lo tanto elegiríamos &alfa así que eso

Pero Fy = & menos X, Fy = & menos 2y/ 3 y & le F(0 y menos1) = 0, por eso,

Así procedemos en una dirección que forma un ángulo de 60 ° con el positivo o negativo X eje (Fig. 6.8a).

Considere el mismo problema del ejemplo 6.4, pero comience en el punto ( , 1).

Tenemos & nablaF( , 1) = &menos y menos . Usando la ecuación. (6.4), tendríamos que resolver

FIGURA 6.8 Hallazgo &alfa así que eso & nabla&alfaF(X0, y0) = / 3 donde F(X, y) = 1 y menos X 2/3 y menos y 2 /3

Es más fácil aplicar la ecuación. (6,8). Tenemos |& nablaF( , 1)| = , y debemos elegir y theta así que eso

Refiriéndonos a las tablas trigonométricas, encontramos que y theta es de aproximadamente 52 °. Por lo tanto, el vector de gradiente en ( , 1) apunta hacia abajo y hacia la izquierda en un ángulo de 45 °, y debemos avanzar en una dirección formando un ángulo de 52 ° con la pendiente (Fig. 6.8b).

Observación La ecuación (6.8) y sus consecuencias enumeradas anteriormente son de importancia básica al trabajar con funciones de más de una variable. Describen cómo determinar todas las derivadas direccionales a partir del conocimiento del vector de gradiente. Igualmente importante es la observación de que cuando los hechos anteriores se ven desde la dirección opuesta, nos permiten describir el vector de gradiente en términos de la totalidad de las derivadas direccionales.

Teorema 6.2 Si f(X, y) es continuamente diferenciable en un dominio D, entonces el vector gradiente de f en un punto (X0, y0) en D es el vector cuya magnitud es igual a la derivada direccional máxima de f en (X0, y0) y cuya dirección es la dirección en la que se produce este máximo.

NOTA Esta descripción del vector de gradiente puede expresarse de manera más compacta como

PRUEBA. (Véase también el ejemplo 6.8 a continuación). Esto es esencialmente una reafirmación de los hechos enumerados después de la ec. (6,8). Si todas las derivadas direccionales en (X0, y0) son cero, entonces el gradiente de F es el vector cero. Si alguna derivada direccional es diferente de cero, entonces por la ecuación. (6,8)

Concluimos esta sección con una breve discusión de los máximos y mínimos para funciones de dos variables. Volveremos sobre este tema en la Secta. 12.

Definición 6.3 Una función F(X, y) definido en un dominio D se dice que tiene un máximo local (o máximo relativo) en un punto (X0, y0) en D si hay algún círculo sobre (X0, y0) tal que F(X, y) & le F(X0, y0) por (X, y) dentro de ese círculo. Similarmente para un mínimo local (o mínimo relativo).

Definición 6.4 Una función F(X, y) definido en un dominio D se dice que tiene un máximo absoluto (o para alcanzar su máximo) en un punto (X0, y0) en D Si F(X, y) & le F(X0, y0) para todos los puntos (X, y) en D. Del mismo modo, para un mínimo absoluto.

Tenga en cuenta que un máximo local de F(X, y) puede corresponder a un punto en la superficie z = F(X, y) que parece un pico de montaña, un punto en una cresta o un punto en una meseta (Fig. 6.9).

FIGURA 6.9 Diferentes tipos de máximos locales.

¿En qué puntos la función

¿Tiene un máximo o mínimo local?

Por tanto, el gradiente existe para todos X, y, y desaparece solo en el punto (& menos1, 2). Este punto es, por tanto, el único máximo o mínimo local posible.

Podemos notar que en este caso podemos determinar puramente algebraicamente el comportamiento de F(X, y) cerca (& menos1, 2). Es decir, completando los cuadrados:

y esta función tiene claramente un mínimo local (de hecho, un mínimo absoluto) en (& menos1, 2).

¿En qué puntos la función F(X, y) = cos (xe y ) ¿Tienen un máximo o un mínimo local?

Ya que e y nunca desaparece, tenemos

donde norte es un entero arbitrario. Por lo tanto, el gradiente solo puede desaparecer en puntos donde xe y = n & pi, y de hecho desaparece en todos estos puntos, ya que Fy allí también desaparece. Cuándo norte = 0, obtenemos el y eje o X = 0. Para todos los demás enteros norte obtenemos una curva X = n & pie &menosy . Cada una de estas curvas corresponde a una "cresta" en la superficie z = F(X, y). Tenga en cuenta que a lo largo de cada curva xe y = n & pi,

el signo es positivo o negativo dependiendo de si norte es par o impar. Desde |F(X, y) | & le 1 para todos X, y, se deduce que para norte incluso, todos los puntos de la curva X = n & pie &menosy son máximos locales mientras que para norte extraño, todos los puntos son mínimos locales. (Vea el esquema de esta superficie en la Fig. 3.7.)

En ambos ejemplos, podríamos decir si un punto dado donde el gradiente desapareció era un máximo o mínimo local mediante el uso de propiedades especiales de las funciones consideradas. En general, puede ser difícil decidir si un punto donde el gradiente desaparece es un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos. Un método para hacer esto se dará en Th. 12.2.

6.1 Para cada una de las siguientes funciones, encuentre el vector de gradiente en los puntos indicados.

6.2 Para cada una de las siguientes funciones F(X, y) encuentra la derivada direccional & nabla&alfaF en el punto indicado y en la dirección prescrita.

un. F(X, y) = sinh xy en (2, 0) &alfa = &Pi

B. F(X, y) = arco bronceado (y / x) a las 12) &alfa = &Pi

C. F(X, y) = (X 2 y menos y 2 )/(X 2 + y 2) en (1, 1) &alfa = &Pi

D. F(X, y) = (X 2 + y 2) 2 en ( y menos ) &alfa = &Pi

6.3 Para cada una de las siguientes funciones, encuentre el gradiente en el punto (1, 1) y luego calcule las derivadas direccionales en ese punto en cada una de las direcciones

6.4 Para cada una de las siguientes funciones, encuentre la derivada direccional máxima en el punto indicado y encuentre la dirección para la cual se alcanza este máximo.

B. F(X, y) = X pecado y a la 1, &Pi)

C.

6.5 Dejar F(t) ser una función continuamente diferenciable de t, F '(t) & ne 0, y deja F(X, y) = F(X 2 + y 2). Encontrar & nablaF en cualquier punto arbitrario, y demuestre que se dirige a lo largo de la línea que une ese punto con el origen.

6.6 Dejar GRAMO(t) ser una función continuamente diferenciable de t, G '(t) & ne 0, y deja gramo(X, y) = GRAMO(y/X). Encontrar & nablagramo en cualquier punto donde X & ne 0 y demuestre que es perpendicular a la línea que une ese punto al origen.

6.7 Dejar F(X, y) y gramo(X, y) ser continuamente diferenciable en un dominio D, y supongamos que satisfacen las ecuaciones FX = gramoy, Fy = & menos gramoX en cada punto de D. (Estas ecuaciones se denominan Ecuaciones de Cauchy-Riemann. En el Ej. 4.4.) Demuestre que en cualquier punto (X0 y0) de D, la ecuacion

un. Demuestre que la derivada gramo'(&alfa) desaparece por esos valores de &alfa para cual

B. Demuestre que el valor máximo de gramo(&alfa) es y se obtiene por el valor único de &alfa satisfactorio

C. Utilice las partes ayb junto con Th. 6.1 para dar una prueba alternativa de Th. 6.2.

6.9 Dejar F(X, y) ser continuamente diferenciable, y suponga que la derivada direccional máxima de F en el origen es igual a 5 y se obtiene en la dirección del vector desde el origen hacia el punto (& menos1, 2). Encontrar & nablaF(0, 0).

6.10 Dejar F(X, y) ser continuamente diferenciable, y dejar z = L(X, y) ser la ecuación del plano tangente a la superficie z = F(X, y) a (X0 y0). Muestra esa

6.11 Si F(x, y) es continuamente diferenciable en (X0, y0), demuestre que para cualquier &alfa y &beta lo siguiente es cierto.

B.

6.12 Usando el Lema 6.1, determine los puntos donde las siguientes funciones pueden tener un máximo o un mínimo. Luego intente verificar directamente si los puntos en cuestión son máximos o mínimos locales.

6.13 Dejar F(X, y) ser un polinomio cuadrático general

Demuestra que si F(X, y) tiene un máximo o mínimo local en un punto, luego las coordenadas (X, y) de ese punto debe satisfacer las ecuaciones lineales simultáneas

6.14 Aplicando Ex. 6.13 para cada uno de los siguientes polinomios cuadráticos, encuentre el punto o puntos donde puede ocurrir un máximo o mínimo.

6.15 un. Demuestre que si los coeficientes de F(X, y) en Ex. 6.13 satisfacer la condición C.A. &menos B 2 & ne 0, entonces hay como máximo un punto en el que F(X, y) puede tener un máximo o un mínimo local.

B. Encuentre las coordenadas de ese punto en términos de los coeficientes de F(X, y).

C. Pruebe las funciones en Ex. 6.14 para ver cuáles satisfacen la condición del inciso a. (Tenga en cuenta que el coeficiente de la xy el término fue denotado por 2B en vez de B.)

D. Demuestre que la función F(X, y) = (hacha + por + C) 2 hace no satisfacen la condición del inciso a, y que esta función tiene un mínimo local en más de un punto.

6.16 Una situación que surge en muchos contextos diferentes es la siguiente. Dos cantidades observables X y y se sabe que están conectados aproximadamente por una relación lineal de la forma y = hacha + B. Los valores de los coeficientes a y Bno se conocen y el problema es determinarlos mediante una serie de observaciones. Usando diferentes valores X1, & hellip, Xnorte, se obtiene una serie de valores y1, & hellip, ynorte. Si existen constantes a, b tal que yk = hachak + B se mantiene exactamente para cada k = 1, & hellip, norte, el problema esta resuelto. En general, para cualquier elección de a y B hay ciertos "residuos" rk = hachak + B &menos yk. El problema es encontrar la opción más favorable de a y B geométricamente, el problema es encontrar la línea recta que "más cerca" pasa por los puntos (Xnorte, ynorte). Desde muchos puntos de vista, la elección óptima es la que ofrece el método de mínimos cuadrados. Este método consiste en elegir a y B minimizando las sumas de los cuadrados de los residuos.

Muestra esa F(a, B) es un polinomio cuadrático en las incógnitas a y B.

B. Utilice Ex. 6.13 para mostrar que los valores de a y B obtenido por el método de mínimos cuadrados debe satisfacer un par de ecuaciones lineales simultáneas cuyos coeficientes dependen de X1, & hellip, Xnorte y y1, & hellip, ynorte.

C. Demuestra que si a y B se eligen por el método de mínimos cuadrados, entonces los residuos positivos y negativos se cancelan en el sentido de que la suma de los residuos es igual a cero. (Pista: aplicar el Lema 6.1 a la función F(a, B).)

6.17 Aplicar el método de mínimos cuadrados para encontrar la mejor relación lineal y = hacha + B correspondiente a los pares de valores observados (X1, y1) = (1, 5), (X2, y2) = (2, 6), (X3, y3) = (3, 8). Después de encontrar a y B, calcule los residuos y demuestre que satisfacen la condición del Ej. 6.16c.

ser la suma de los cuadrados de las distancias desde (X, y) a los puntos dados. Demuestra que si F(X, y) tiene un mínimo en (X0, y0), luego

6.19 En la mayoría de los problemas encontrados en las aplicaciones, es imposible encontrar el máximo o el mínimo de una función. F(X, y) por métodos puramente analíticos. Uno de los procedimientos numéricos que se puede utilizar es el método de gradiente o método de descenso más empinado. Esto se basa en el hecho de que la función aumenta más rápidamente en la dirección del vector de gradiente. Supongamos, por ejemplo, que estamos tratando de minimizar la función F(X, y). Comenzando en cualquier punto (X1, y1), elija una constante positiva h y deja

Dado que el vector de desplazamiento

está en el direccion opuesta del vector de gradiente, la función F(X, y) tendrá un menor valor en (X2, y2) que en (X1, y1), siempre que h es suficientemente pequeño. Repitiendo el proceso, deja

Continuando de esta manera, obtenemos una secuencia de puntos (Xk, yk), y se puede demostrar en muchos casos que cuando h es suficientemente pequeña, esta secuencia convergerá a un punto donde F(X, y) tiene un mínimo. (Véanse las Secciones 4.41 y 6.45 de [34] para un análisis más detallado y las variaciones de este método).

Realice varios pasos de este procedimiento para la función

comenzando en el origenX1, y1) = (0, 0), y usando el valor h = . Nótese cómo los puntos obtenidos se acercan gradualmente al mínimo real, que se puede obtener analíticamente en este caso por el método del Ej. 6.13.

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Respuestas y respuestas

2) está resuelto. De hecho, es un producto escalar entre el vector tangente y los marcos base.

La pregunta 1) también está resuelta. La intuición fue correcta de que tiene que ver con [itex] x_i (t) = p_i + t v_i [/ ​​itex]. La curva a lo largo de este vector está parametrizada por t y las coordenadas del espacio son una función de este parámetro, es decir, [itex] [/ itex]. Finalmente, la regla de la cadena se aplica a la función de valor real f como

Estaba leyendo de algunos pdf notas, antes. Ahora, he encontrado el libro para aprenderlo correctamente.
Es el Geometría diferencial por Erwin Kreyszig.


Derivadas direccionales y gradiente

Interactúe en el escritorio, el dispositivo móvil y la nube con Wolfram Player gratuito u otros productos Wolfram Language.

Esta demostración explica visualmente el teorema que establece que la derivada direccional de la función en el punto , ) en la dirección del vector unitario es igual al producto escalar del gradiente de con . Si denotamos las derivadas parciales de en este punto por y y los componentes del vector unitario por y , podemos enunciar el teorema de la siguiente manera:

.

En esta demostración hay controles para , el ángulo que determina el vector de dirección , y para los valores de las derivadas parciales y . Los valores de la derivada parcial determinan la inclinación del plano tangente a en el punto , ) este es el plano que se muestra en el gráfico. Cuando vea el & quot; triángulo derivado direccional & quot, observe que su cateto horizontal tiene una longitud 1 (ya que es un vector unitario), por lo que la longitud con signo de su cateto vertical representa el valor de la derivada direccional . Cuando ve los & quot; triángulos derivados parciales & quot, esta distancia vertical con signo se descompone como la suma . El primer sumando está representado por el cateto vertical del triángulo azul, el segundo está representado por el cateto vertical del triángulo verde. La representación visual es más clara cuando los dos sumandos tienen el mismo signo.

Contribuido por: Bruce Torrence & # xA0 (marzo de 2011)
Contenido abierto con licencia CC BY-NC-SA


Ver el vídeo: Multivariable A 12 mar Derivadas Direccionales (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Byrne

    Lo siento, el mensaje está muy lejos

  2. Ronal

    el silencio ha llegado :)

  3. Bradwell

    Esto es poco probable.

  4. Cosmin

    Estoy seguro de esto, confusión.

  5. Sachio

    los felicito, que palabras necesarias..., una idea notable

  6. Gardabei

    Quiero decir, permites el error. Me ofrezco a discutirlo.



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