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7.4.1: Permutaciones circulares y permutaciones con elementos similares (ejercicios) - Matemáticas

7.4.1: Permutaciones circulares y permutaciones con elementos similares (ejercicios) - Matemáticas


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Resuelva los siguientes problemas utilizando las técnicas aprendidas en esta sección.

  1. ¿De cuántas formas diferentes pueden tomarse de la mano cinco niños para jugar "Ring Around the Rosy"?
  1. ¿De cuántas formas se puede hacer que tres personas se sienten en una mesa redonda?
  1. ¿De cuántas formas diferentes pueden seis niños montar un "Merry Go Around" con seis caballos?
  1. ¿De cuántas formas se pueden sentar tres parejas en una mesa redonda, de modo que hombres y mujeres se sienten alternativamente?
  1. ¿De cuántas formas se pueden colocar seis baratijas en una cadena?
  1. ¿De cuántas formas se pueden poner cinco llaves en un llavero?
  1. Encuentra el número de permutaciones diferentes de las letras de la palabra MASSACHUSETTS.
  1. Encuentra el número de permutaciones diferentes de las letras de la palabra MATEMÁTICAS.
  1. Se ondearán siete banderas en siete postes: 3 banderas son rojas, 2 son blancas y 2 son azules. ¿Cuántos arreglos diferentes son posibles?
  1. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar 3 centavos, 2 centavos y 5 centavos en una fila?
  1. ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden hacer usando dos 2 y dos 3?
  1. ¿Cuántos números de cinco dígitos se pueden hacer usando dos 6 y tres 7?
  1. Si se lanza una moneda 5 veces, ¿cuántos resultados diferentes de 3 caras y 2 cruces son posibles?
  1. Si se lanza una moneda 10 veces, ¿cuántos resultados diferentes de 7 caras y 3 cruces son posibles?
  1. Si un equipo juega diez partidos, ¿cuántos resultados diferentes de 6 victorias y 4 derrotas son posibles?
  1. Si un equipo juega diez partidos, ¿de cuántas formas diferentes puede el equipo tener una temporada ganadora?

Permutación & ldquoCyclic & rdquo y & ldquoCircular & rdquo - ¿Son conceptos diferentes?

Permutaciones "cíclicas" y "circulares": ¿son estos dos conceptos diferentes? He estado leyendo sobre permutación y me he encontrado con ellos en muchos lugares. ¿Cuáles son las definiciones de ellos? En inglés simple, por favor. Y cuales son las diferencias?

(¿Podría explicar con ejemplos si no es un problema? Leí sobre la permutación "cíclica" en Wikipedia, pero fue muy difícil de entender. Vi algunos videos sobre la permutación "circular" (ejemplo de personas sentadas alrededor de una mesa) en YouTube, de alguna manera comprensible. Pero la diferencia entre los conceptos sigue siendo confusa)


En los ejemplos resueltos de Permutaciones sin repetición, vimos que si Lisa tiene n n n adornos diferentes, ¡entonces puede organizarlos en n! ¡norte! n! diferentes formas en su manto. ¿Qué sucede si Lisa, en cambio, tiene algunos adornos que son idénticos? ¿De cuántas formas puede Lisa colocar adornos en su manto si tiene 2 adornos de gato idénticos, 3 adornos de perro idénticos, 1 conejo, 1 pingüino y 1 adorno de koala?

En total, hay 8 objetos, y si los objetos se consideraran distintos, ¡hay 8! 8! 8! formas de colocarlos en el manto. Para cualquier arreglo, podemos tomar cualquiera de los 2! 2! 2! permutaciones de los ornamentos del gato y obtienen el mismo arreglo. Del mismo modo, ¡podemos tomar cualquiera de los 3! 3! 3! permutaciones de adornos para perros y obtienen la misma disposición. Por lo tanto, para tener en cuenta estos arreglos repetidos, dividimos por el número de repeticiones para obtener que el número total de permutaciones sea 8. 3! 2! frac <8!> <3! 2!> 3! 2! 8! . □ _ cuadrado □

Reordenando todas las letras de la palabra MATEMÁTICAS, ¿cuántas cadenas distintas podemos formar?


Permutaciones circulares

Considere un arreglo de cuentas de color azul, cian, verde, amarillo, rojo y magenta en un círculo.

Para esta disposición particular de las seis cuentas, hay seis formas de enumerar la disposición de las cuentas en orden antihorario, dependiendo de si comenzamos la lista con la cuenta azul, cian, verde, amarilla, roja o magenta. Corresponden a las seis disposiciones lineales que se muestran en las filas siguientes.

A la inversa, cada una de estas seis disposiciones lineales se puede transformar en la disposición circular de arriba uniendo los extremos de una fila.

De manera más general, cualquier disposición circular de estas seis cuentas corresponde a seis disposiciones lineales. Como hay $ 6! $ Arreglos lineales de seis cuentas distintas, el número de arreglos circulares distinguibles es $ frac <6!> <6> = 5! $

A menos que se especifique otro, solo el orden relativo de los objetos importa en una permutación circular. Por lo tanto, los arreglos circulares se consideran invariantes en rotación.

Dada una disposición circular de $ n $ objetos, se pueden rotar, 1, 2, ldots, n - 1 $ lugares en el sentido de las agujas del reloj sin cambiar el orden relativo de los objetos. Por lo tanto, el número de arreglos distinguibles de $ n $ objetos en un círculo es el número de arreglos lineales dividido por $ n $, lo que da como resultado $ frac = (n - 1)! $

Alternativamente, dados $ n $ objetos, medimos el orden relativo a un objeto dado. Arregle ese objeto. A medida que avanzamos en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo, los objetos restantes se pueden organizar en $ (n - 1)! $ Pedidos.

Ahora suponga que colocamos estas cuentas en una pulsera.

Observe que si se quita el brazalete de la izquierda de la muñeca, lo gira media vuelta y luego vuelve a colocarlo en su muñeca, se verá como el brazalete de la derecha, donde las cuentas están dispuestas en el orden opuesto a medida que avanza. en sentido antihorario alrededor del círculo. Por lo tanto, podemos formar la misma pulsera colocando el azul, cian, verde, amarillo, rojo y magenta en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. Por lo tanto, la cantidad de brazaletes que podemos formar con las seis cuentas dadas arriba es $ frac <5!> <2> $

De manera más general, si una pulsera no tiene broche o apertura que nos permita distinguir un orden lineal, es invariante con respecto tanto a las rotaciones como a la reflexión. Por lo tanto, el número de arreglos distinguibles de una pulsera con $ n $ objetos es $ frac <1> <2> frac = frac <(n - 1)!> <2> $ proporcionó $ n & gt 2 $. Si $ n = 1 $, solo hay una disposición posible para la pulsera. Si $ n = 2 $, solo hay un arreglo distinguible para la pulsera.

Permutaciones circulares con repetición

Este es un problema mucho más complicado. Para ver por qué, considere un arreglo de nueve cuentas azules y tres rojas en un círculo. A continuación se muestran dos de estos arreglos.

La primera vez que vi un problema de este tipo, intenté resolverlo eligiendo tres de las posiciones de $ 12 $ para las cuentas rojas, luego dividir por $ 12 $ para tener en cuenta la invariancia rotacional.
$ frac <1> <12> binom <12> <3> = frac <1> <12> cdot frac <12!> <3! 9!> = frac <11!> <3! 9!> $ Por desgracia, esto no es un número entero. La razón por la que no es un número entero es la disposición de la izquierda. Mientras que el arreglo circular de la derecha corresponde a arreglos lineales diferentes de $ 12 $, el de la izquierda no. Dada su simetría, solo hay cuatro disposiciones lineales distinguibles correspondientes a los doce posibles puntos de partida de la disposición lineal, dependiendo de si la primera cuenta roja está en la primera, segunda, tercera o cuarta posición de la disposición lineal. Por lo tanto, hemos contado este arreglo lineal $ 1/3 $ veces. Por lo tanto, el número real de arreglos circulares es $ frac <1> <12> binom <12> <3> + frac <2> <3> $

Si bien esa observación resuelve este problema en particular, en general, necesitará dominar el uso del lema de Burnside para manejar estos problemas.


7.4.1: Permutaciones circulares y permutaciones con elementos similares (ejercicios) - Matemáticas

El prisionero A es llevado a la habitación del alcaide y se le muestra una baraja boca arriba de 52 cartas, alineadas en una fila en orden arbitrario. Se le pide que intercambie dos cartas, después de lo cual sale de la habitación. Luego, las cartas se colocan boca abajo en su lugar. El prisionero B entra en la habitación. El alcaide piensa en una carta y luego se la dice a B (por ejemplo, "el tres de tréboles").

El prisionero B luego da vuelta a 26 cartas, una a la vez. Si la tarjeta nombrada se encuentra entre las que se dan vuelta, los prisioneros son liberados inmediatamente. Encuentra una estrategia que garantías que los prisioneros triunfen. (Si fracasan, deben pasar el resto de sus vidas en prisión).

No hace falta decir que los dos prisioneros tienen el juego que se les describió el día anterior y se les permite tener una sesión de estrategia. no se permite absolutamente ninguna comunicación entre ellos el día del juego. Nótese que en ningún momento el Prisionero A conoce la carta elegida.

Hay (al menos) dos formas de pensar (o definir) una permutación:

1. Una lista (un orden): un orden específico para escribir elementos. Por ejemplo, una permutación de los 10 elementos [0, 1, 2, 3,…, 9] significa esos 10 elementos escritos en un orden particular: una permutación particular de 0123456789 es 7851209463. En una computadora, podemos representarlo por una matriz:

2. Un reordenamiento. Por ejemplo, la permutación anterior puede verse como un envío de 0 a 7, de 1 a 8 y, en general, de i a a [i] para cada i.

En lugar de describir este reordenamiento escribiendo 10 pares 0 → 7, 1 → 8,…, 7 → 4, 8 → 6, 9 → 3, podemos ahorrar algo de espacio al & quot; siguiendo & quot cada elemento hasta que volvamos al principio: el arriba se convierte en un grupo de & quotciclos & quot:

- 0 → 7 → 4 → 2 → 5⟲ (como 5 → 0 de nuevo) (tenga en cuenta que también podríamos escribir esto como 4 → 2 → 5 → 0 → 7⟲ etc., solo importa el orden cíclico)

Puede pensar en los ciclos de la misma manera que piensa en las listas circulares enlazadas. Esta permutación particular que elegimos resultó tener dos ciclos.

# ¿Qué es una permutación cíclica?

Una permutación cíclica es una permutación que tiene solo un ciclo (en lugar de dos ciclos como en el anterior, o incluso más ciclos). Por ejemplo, considere la permutación 8302741956:

Si seguimos cada elemento como hicimos anteriormente, obtenemos 0 → 8 → 5 → 4 → 7 → 9 → 6 → 1 → 3 → 2⟲ donde los 10 elementos están en un solo ciclo. Esta es una permutación cíclica.

Nuestro objetivo es generar una permutación cíclica aleatoria (y de hecho, uniformemente al azar entre todas las permutaciones cíclicas).

Tenga en cuenta que en una permutación cíclica de [0,. n-1] (en nuestro ejemplo anterior, n = 10), para el índice más alto n-1, habrá un j más pequeño tal que a [j] = n-1 (en el ejemplo anterior, a [7] = 9). Ahora, si intercambiamos los elementos en las posiciones n-1 y j (que en el ejemplo anterior es:

donde intercambiamos a [7] = 9 y a [9] = 6 para hacer a [7] = 6 y a [9] = 9), entonces en general obtenemos a [n-1] = n-1, y a [0]… a [n-2] forman una permutación cíclica de [0… n-2]. En el ejemplo anterior, en el caso & quotafter & quot, si ignoramos i = 9 y consideramos solo las posiciones 0 a 8, tenemos el ciclo 0 → 8 → 5 → 4 → 7 → 6 → 1 → 3 → 2⟲. (Este es nuestro ciclo original 0 → 8 → 5 → 4 → 7 → 9 → 6 → 1 → 3 → 2⟲ con 9 & quot eliminado & quot, como hacemos & # x27d cuando eliminamos un elemento de una lista vinculada).

Esto también es válido a la inversa: si hubiéramos comenzado con la permutación cíclica de [0,…, 8] que se encuentra en la columna & quotafter & quot anterior, agregamos un [9] = 9 e intercambiamos un [9] = 9 con un elemento & quotrandom & quot a [7] = 6, obtenemos & # x27d la permutación cíclica de [0,… 9] que es la columna & quot antes & quot.

En general, puede convencerse de que existe una forma única de obtener cualquier permutación cíclica en [0,…, n-1] comenzando con una permutación cíclica en [0,…, n-2], considerando un [n- 1] = n-1, eligiendo un índice particular j en 0 ≤ j ≤ n-2, y cambiando a [n-1] y a [j].

Esto da el siguiente algoritmo, que ya hemos probado que es correcto (o derivado, mejor dicho):

En la publicación vinculada anteriormente, intercambias con un elemento aleatorio que es & quotahead & quot, en lugar de uno que está & quot detrás & quot; también comienzas con una lista de longitud n y la barajas de acuerdo con la permutación cíclica generada aleatoriamente de [0… (n-1) ] en lugar de simplemente generar la permutación. Del post:

Esto es ligeramente diferente, pero la prueba es similar: de hecho, este es el algoritmo (excepto que va hacia abajo) que se demuestra que es correcto en el artículo vinculado. (E incluso si no es obvio para usted que los dos algoritmos son equivalentes, ¡tiene un algoritmo que genera un ciclo aleatorio y es tan fácil de codificar!)


Los rompecabezas:

El Puzzle de pista ovalada Consiste en una pista circular con discos numerados del 1 al 20, o menos si se desea. Se pueden realizar dos tipos de movimientos: puedes rotar todo el anillo, manteniendo los discos en orden, y puedes realizar una permutación fija en una "zona activa". En el primer rompecabezas Oval Track, esta permutación es (1,4) (2,3), modelando el juego original donde los discos en las posiciones # 1, 2, 3, 4 se pueden rotar 180 grados. Las otras versiones de Oval Track tienen diferentes permutaciones en la zona activa, ¡incluso tienes la opción de diseñar la tuya propia! El objetivo del juego es mezclar los discos (el botón de reproducción aleatoria puede hacerlo por ti) y luego intentar que vuelvan al orden original.

El Rompecabezas de diapositivas es el conocido cuadrado de 4 x 4 con fichas numeradas del 1 al 15 y una ranura vacía. Cualquier pieza que esté adyacente a la ranura vacía se puede mover a esa ranura. Una vez más, el objetivo es intentar volver a poner en orden un juego mezclado. Esta versión computarizada le permite seleccionar menos de 15 mosaicos activos y también tiene la opción de trabajar con un segundo espacio vacío.

El muy desafiante Rompecabezas de anillos húngaros también está modelado a partir de un juego existente. Básicamente consta de dos pistas circulares de discos numerados del 1 al 38. Las pistas se cruzan en dos lugares y solo pueden intercambiar discos en estos puntos de intersección. Una vez más, tiene la opción de reducir la cantidad de discos activos y también puede seleccionar una versión más simple "solo de color".

Es muy fácil aprender a utilizar el software. Todos los rompecabezas tienen la misma barra de menú, incluido un botón de discos revueltos, ver movimientos, guardar configuraciones, "deshacer los últimos movimientos" y el botón "programar una macro".

Este último le permite ingresar un conjunto de movimientos particularmente útil que luego se pueden realizar todos a la vez presionando un solo botón "hacer macro". El menú de recursos de rompecabezas le permite cargar una configuración preprogramada o almacenar y recuperar un número ilimitado de sus propias configuraciones. La capacidad del programa es demasiado grande para describirla con precisión aquí, ¡debe probarlo usted mismo! Se nota que el autor pasó muchos años trabajando en él y perfeccionándolo antes de lanzarlo al público.


Respuestas y respuestas

No entiendo exactamente su pregunta sobre las posibles permutaciones (¿de qué?), Pero tengo algunos comentarios.

Primero, su lista de números es en realidad la cantidad de formas de colocar 7 elementos distintos, no elementos idénticos, en contenedores. Y usa esto, en el párrafo del medio, cuando menciona el primer, segundo, tercer elemento, etc.

Entonces, los números de la lista se pueden expresar mediante S (7, k) (32 k) k! donde S (m, n) es el número de Stirling de segundo tipo (que por cierto, multiplicado por n! da el número de sobreyecciones de un conjunto de m elementos, a un conjunto de n elementos), y (32 k) es un binomio . Los números de Stirling se calculan usando inclusión / exclusión al igual que su suma, por lo que dudo que pueda encontrar algo más eficiente si insiste en crear esa lista.

Su sorprendente hecho sobre la posibilidad de que todos los artículos entren en diferentes contenedores, por cierto, también se puede obtener por 31 * 30 * 29 * 28 * 27 * 26/32 6 = 49.37%.


COMBINACIÓN

Tipo 5-

Solución:- Si no pueden estar juntas dos niñas, primero arreglamos a los niños. ¡Esto se puede hacer en 9! Formas. En los huecos tenemos que arreglar a las chicas. Teniendo en cuenta las posiciones más a la izquierda y más a la derecha y los espacios entre los chicos. Sea & # 8216B & # 8217 la posición de los chicos & amp & # 8216G & # 8217 sea la posición de las chicas.
G1 B1 G2 B2 G3 B3 G4 B4 G5 B5 G6 B6 G7 B7 G8 B8 G9 B9 G10
Por lo tanto, en 10 lugares, es decir (de G1 a G10), se pueden organizar 6 niñas de 10P6 formas.
Entonces, ¡formas totales = 9! X 10P6
Nota: - No hay dos chicas juntas, es diferente a todas las chicas que no están juntas. Todas las chicas no están juntas significa que pocas chicas pueden estar juntas.

Tipo 6-

El lugar de mil (Th) se puede llenar de 7 formas. Para cada uno de estos, el lugar de las cien, décimas unidades se puede llenar de 6, 5, 4 formas respectivamente.
Total de vías = 7x6x5x4 = 840 nos.

Caso 2: -

Solución:- Si el número es par, debe terminar con un número par (2, 4 o 6 en esta pregunta dada). Por lo tanto, el lugar de las unidades tiene 3 opciones y el milésimo, el centésimo y el décimo lugar se pueden completar de 5, 4,3 formas respectivamente.
Por lo tanto, el total de números pares de 4 dígitos = 5x4x3x3 = 180

Tipo 7-

Construcción de palabras (alfabetos no repetidos)
Caso 1:-
Cuando no hay restricción
Ejemplo: - Encuentre el número de palabras que se pueden formar usando todas las letras de la palabra & # 8220MONKEY & # 8221.

Solución:- La palabra MONO tiene 6 letras. ¡Las seis letras diferentes se pueden organizar en 6P6 = 6! = 720 vías.

Caso 2: -

Solución:- La palabra RISA tiene 3 vocales y 5 consonantes. Considere las 3 vocales como 1 unidad, por lo tanto, 1 unidad + 5 consonantes.
Total = 6 se pueden arreglar en 6! Formas. ¡Para cada uno de estos, las 3 vocales se pueden organizar en 3! Formas.
Por lo tanto, ¡palabras totales = 6! x3! = 720x6 = 4320

Caso 3: -

Cuando las vocales / consonantes ocupan lugares pares / impares
Ejemplo:
- ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra HEXAGON para que las vocales estén siempre en lugares pares?

Solución:- La palabra HEXAGON tiene 7 letras de las cuales 3 son vocales. Dado que el total de letras es 7, hay 4 lugares impares y 3 lugares pares.
¡Las 3 vocales se pueden organizar en los 3 lugares impares en 3! Formas. Para cada uno de estos, las 4 consonantes se pueden ordenar en los 4 impares.
¡Lugares en 4! Formas. Por lo tanto, formas totales = 3! X4! = 6x24 = 144

Tipo 8-

Permutación de cosas similares El número de permutaciones de & # 8216n & # 8217 cosas tomadas todas a la vez, donde & # 8216x & # 8217 de las cosas son iguales y de un tipo, & # 8216y & # 8217 otras son iguales de otro tipo, & # 8216z & # 8217 otros son como & amp de otro tipo & amp; así sucesivamente es
No total de vías = n! / x! y! z!
Ejemplo: - Hallar el número de permutaciones de las letras de la palabra INGENIERÍA. Cuantos de estos
a) Empiece con E y termine con E
B) Tener los 3 E & # 8217 juntos
C) No hay dos vocales juntas

Solución:- La palabra INGENIERÍA tiene 11 letras de las cuales E se repite tres veces, N se repite tres veces, G se repite dos veces, I se repite dos veces.
Permutaciones totales = 11! / 3! 3! 2! 2!
a) Comenzando con E y amp terminando con E: -
De 3 E & # 8217s, la posición de 2 E & # 8217s es fija, es decir, primero y último.
Total -9, N-3, G-2, I-2
Por lo tanto, las permutaciones de las letras restantes son 9! / 3! 2! 2!

B) Los 3 E y # 8217 están juntos
Considere los 3 E & # 8217 como una unidad. Por lo tanto, tenemos que organizar 1 unidad (3 E & # 8217s) y las letras restantes.

EEE y amp NGINRING
1 + 8 =9
Total = 9, N-3, G-2, I-2
Permutaciones totales = 9! / (¡3! 2! 2!)
Las 3 E & # 8217 consideradas como una se pueden organizar de una sola manera, ya que las 3 letras son iguales.
Permutación total = 9! / (¡3! 2! 2!)

C) No hay dos vocales juntas
Primero arregla 6 consonantes. N G N R N G
N-3, G-2, total-6
¡Esto se puede hacer en 6! / (¡3! 2!)
Si hay 6 letras, entonces hay 7 espacios. En los 7 huecos tenemos que ordenar las 5 vocales. Pero en estas 5 vocales E se repite tres veces y I se repite dos veces.
Así que formas totales = 7P3 / (¡3! 2!)
El total de palabras sin dos vocales juntas es
<[6! / (3! 2!)] X [7P3 / (3! 2!)]>

Tipo 9-

Permutaciones circulares Cuando los objetos están dispuestos a lo largo de una curva cerrada como un círculo o un anillo, las permutaciones se conocen como permutaciones circulares.
Es importante tener en cuenta que en una disposición circular no hay un comienzo (primer término) ni un final (último término)
1) ¡El número de permutaciones circulares de los objetos & # 8216n & # 8217 es (n-1)!
2) Si los órdenes en sentido horario y antihorario no son distinguibles, entonces el número de permutaciones circulares es (n-1). / 2

Ejemplo:-
I)
¿De cuántas formas se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda?
Solución:- Esta es una permutación circular. ¡Por lo tanto, 8 personas pueden sentarse en una mesa redonda (8-1)! = 7!
ii) ¿De cuántas formas se pueden colocar 10 piedras preciosas diferentes para formar un collar?

Solución:- En el caso del collar, no hay distinción entre la disposición en sentido horario y antihorario. Por eso no. de formas = (10-1)! / 2 = 9! / 2


Permutaciones circulares: ejemplos

En esta lección, cubriré algunos ejemplos relacionados con permutaciones circulares.

Ejemplo 1 ¿De cuántas formas puedo 6 la gente se sienta en una mesa redonda?

Solución Como se discutió en la lección, el número de formas será (6 – 1)!, o 120.

Ejemplo 2 Encuentra el número de formas en que 5 gente A, B, C, D, y mi puede sentarse en una mesa redonda, de modo que

(I) A y B siempre sentarse juntos.
(ii) C y D nunca se sienten juntos.

Solución (i) Si deseamos sentarnos A y B juntos en todos los arreglos, podemos considerar estos dos como una unidad, junto con 3 otros. Entonces, efectivamente, tenemos que arreglar 4 personas en un círculo, el número de formas en que se (4 – 1)! o 6. Echemos un vistazo a estos arreglos:

Pero en cada uno de estos arreglos, A y B ellos mismos pueden intercambiar lugares en 2 formas. Esto es de lo que estoy hablando:

Por lo tanto, el número total de vías será 6 x 2 o 12.

(ii) El número de formas en este caso se obtendría eliminando todos aquellos casos (del total posible) en los que C y D están juntos. El número total de formas será (5 – 1)! o 24. Similar a (i) anterior, el número de casos en los que C y D están sentados juntos, serán 12. Por lo tanto, el número requerido de formas será 24 – 12 o 12.

Ejemplo 3 ¿De cuántas formas puede 3 hombres y 3 las mujeres se sentarán alrededor de la mesa de manera que no se sienten dos hombres juntos?

Solución Como no queremos que los hombres se sienten juntos, la única forma de hacerlo es hacer que los hombres y las mujeres se sienten alternativamente. Primero sentaremos al 3 mujeres, en asientos alternos, lo que se puede hacer en (3 – 1)! o 2 formas, como se muestra a continuación. (Estamos ignorando el otro 3 asientos por ahora.)

Tenga en cuenta que lo siguiente 6 los arreglos son equivalentes:

Es decir, si cada mujer cambia de asiento en cualquier dirección, la disposición de los asientos sigue siendo exactamente la misma. Por eso solo tenemos 2 arreglos, como se muestra en la figura anterior.

Ahora que hemos hecho esto, el 3 los hombres pueden sentarse en los asientos restantes en 3! o 6 formas. Tenga en cuenta que no hemos utilizado la fórmula para arreglos circulares ahora. Esto se debe a que después de que las mujeres están sentadas, cambiando a cada uno de los hombres 2 los asientos darán una disposición diferente. Después de fijar la posición de las mujeres (igual que & # 8216numerar & # 8217 los asientos), la disposición de los asientos restantes es equivalente a una disposición lineal.

Por lo tanto, el número total de formas en este caso será 2! x 3! o 12.

Espero que ahora tenga alguna idea sobre los arreglos circulares. La próxima lección le presentará combinaciones o selecciones.


Permutaciones con repetición

Supongamos que se da un conjunto A finito. La permutación de los elementos del conjunto A es cualquier secuencia que pueda formarse a partir de sus elementos.

Si todos los elementos del conjunto A no son diferentes, el resultado obtenido es permutaciones con repetición.

Si el conjunto A que contiene n elementos consta de n1 elementos del primer tipo, n2 elementos del segundo tipo. y Nk elementos de k-ésimo tipo (n = n1+ n2+. + nk), el número de permutaciones con repetición viene dado por:

En general, las repeticiones se solucionan dividiendo la permutación por el número de objetos que son idénticos. (factorial).

¿Cuántas palabras diferentes de 5 letras se pueden formar a partir de la palabra DEFINICIÓN?


¡Divides por 2! porque la letra N se repite dos veces.
¡Divides por 3! porque la letra I se repite tres veces.

Ingrese la cantidad de elementos del conjunto A y la cantidad de elementos diferentes y la computadora le calculará cuántas permutaciones sin repetición de los elementos hay?


Ver el vídeo: Permutación explicación completa. Lineal, Circular y con elementos repetidos (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Liang

    Este tema es simplemente incomparable :), me gusta.

  2. Feshakar

    Creo que estas equivocado. Estoy seguro. Hablemos de esto. Envíame un correo electrónico a PM, hablaremos.

  3. Dilrajas

    Lo siento, eso ha interferido... Entiendo esta pregunta. Vamos a discutir. Escribe aquí o en PM.

  4. Danny

    volverse loco !!! ¡AFFTARU ZACHOT!

  5. JoJodal

    En mi opinión, admites el error. Ofrezco discutirlo. Escríbeme en PM, lo manejaremos.

  6. Malaramar

    De acuerdo, esta es una pieza notable



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