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7.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Determinar los valores para los cuales una expresión racional no está definida.
  • Simplifica expresiones racionales
  • Multiplica expresiones racionales
  • Dividir expresiones racionales
  • Multiplica y divide funciones racionales

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: ( dfrac {90y} {15y ^ 2} ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Multiplica: ( dfrac {14} {15} · dfrac {6} {35} ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Dividir: ( dfrac {12} {10} ÷ dfrac {8} {25} ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Anteriormente revisamos las propiedades de las fracciones y sus operaciones. Introdujimos números racionales, que son solo fracciones donde los numeradores y denominadores son números enteros. En este capítulo trabajaremos con fracciones cuyos numeradores y denominadores son polinomios. Llamamos a este tipo de expresión un expresión racional.

EXPRESIÓN RACIONAL

Una expresión racional es una expresión de la forma ( dfrac {p} {q} ), donde (p ) y (q ) son polinomios y (q neq 0 ).

A continuación, se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales:

[- dfrac {24} {56} qquad dfrac {5x} {12y} qquad dfrac {4x + 1} {x ^ 2−9} qquad dfrac {4x ^ 2 + 3x − 1} {2x − 8} nonumber ]

Note que la primera expresión racional listada arriba, (- dfrac {24} {56} ), es solo una fracción. Dado que una constante es un polinomio con grado cero, la razón de dos constantes es una expresión racional, siempre que el denominador no sea cero.

Haremos las mismas operaciones con expresiones racionales que hicimos con fracciones. Los simplificaremos, sumaremos, restaremos, multiplicaremos, dividiremos y los usaremos en aplicaciones.

Determinar los valores para los que una expresión racional no está definida

Si el denominador es cero, la expresión racional no está definida. El numerador de una expresión racional puede ser 0, pero no el denominador.

Cuando trabajamos con una fracción numérica, es fácil evitar dividir por cero porque podemos ver el número en el denominador. Para evitar dividir por cero en una expresión racional, no debemos permitir valores de la variable que harán que el denominador sea cero.

Entonces, antes de comenzar cualquier operación con una expresión racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían que el denominador sea cero. De esa forma, cuando resolvemos una ecuación racional, por ejemplo, sabremos si las soluciones algebraicas que encontremos están permitidas o no.

DETERMINAR LOS VALORES POR LOS CUALES UNA EXPRESIÓN RACIONAL ES INDEFINIDA.

  1. Iguala el denominador a cero.
  2. Resuelve la ecuación.

EJEMPLO ( PageIndex {1} )

Determina el valor para el que no está definida cada expresión racional:

un. ( dfrac {8a ^ 2b} {3c} ) b. ( dfrac {4b − 3} {2b + 5} ) c. ( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} ).

Respuesta

La expresión estará indefinida cuando el denominador sea cero.

un.

( begin {array} {ll} & dfrac {8a ^ 2b} {3c} begin {array} {l} text {Iguala el denominador a cero y resuelve} text {para variable.} end {matriz} & 3c = 0 & c = 0 & dfrac {8a ^ 2b} {3c} text {no está definida para} c = 0 end {matriz} )
B.

( begin {array} {ll} & dfrac {4b-3} {2b + 5} begin {array} {l} text {Iguala el denominador a cero y resuelve} text { para la variable.} end {matriz} & 2b + 5 = 0 & 2b = -5 & b = - dfrac {5} {2} & & dfrac {4b-3} {2b + 5} text {no está definido para} b = - dfrac {5} {2} end {array} )

C.

( begin {array} {ll} & dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} begin {array} {l} text {Iguala el denominador a cero y resuelve} text {para la variable.} end {matriz} & x ^ 2 + 5x + 6 = 0 & (x + 2) (x + 3) = 0 & x + 2 = 0 text {o} x + 3 = 0 & x = -2 text {o} x = -3 & & dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} text {no está definido para} x = -2 text {o} x = -3 end {matriz} )

EJEMPLO ( PageIndex {2} )

Determina el valor para el cual cada expresión racional no está definida.

un. ( dfrac {3y ^ 2} {8x} ) b. ( dfrac {8n − 5} {3n + 1} ) c. ( dfrac {a + 10} {a ^ 2 + 4a + 3} )

Respuesta

un. (x = 0 )
B. (n = - dfrac {1} {3} )
C. (a = −1, a = −3 )

EJEMPLO ( PageIndex {3} )

Determina el valor para el cual cada expresión racional no está definida.

a. ( dfrac {4p} {5q} ) b. ( dfrac {y − 1} {3y + 2} ) c. ( dfrac {m − 5} {m ^ 2 + m − 6} )

Respuesta

un. (q = 0 )
B. (y = - dfrac {2} {3} )
C. (m = 2, m = −3 )

Simplifique las expresiones racionales

Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, distintos de 1, en su numerador y denominador. Del mismo modo, un expresión racional simplificada no tiene factores comunes, distintos de 1, en su numerador y denominador.

EXPRESIÓN RACIONAL SIMPLIFICADA

Una expresión racional se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.

Por ejemplo,

[ begin {array} {l} dfrac {x + 2} {x + 3} text {se simplifica porque no hay factores comunes de} x + 2 text {y} x + 3. dfrac {2x} {3x} text {no se simplifica porque x es un factor común de} 2x text {y} 3x. end {matriz} nonumber ]

Usamos la propiedad de fracciones equivalentes para simplificar fracciones numéricas. Lo reafirmamos aquí ya que también lo usaremos para simplificar expresiones racionales.

PROPIEDAD FRACCIONES EQUIVALENTES

Si (a ), (b ) y (c ) son números donde (b neq 0, c neq 0, )

[ text {luego} dfrac {a} {b} = dfrac {a · c} {b · c} text {y} dfrac {a · c} {b · c} = dfrac {a } {b} nonumber ]

Observe que en la propiedad de fracciones equivalentes, los valores que harían que los denominadores sean cero están específicamente rechazados. Vemos (b neq 0, c neq 0 ) claramente establecido.

Para simplificar expresiones racionales, primero escribimos el numerador y el denominador en forma factorizada. Luego, eliminamos los factores comunes usando la propiedad de fracciones equivalentes.

Tenga mucho cuidado al eliminar los factores comunes. Los factores se multiplican para hacer un producto. Puede eliminar un factor de un producto. No puede eliminar un término de una suma.

Eliminar las (x ) de ( dfrac {x + 5} {x} ) sería como cancelar las (2 ) en la fracción ( dfrac {2 + 5} {2 }! )

Cómo simplificar una expresión racional

EJEMPLO ( PageIndex {4} )

Simplificar: ( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} )

Respuesta

EJEMPLO ( PageIndex {5} )

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2 − x − 2} {x ^ 2−3x + 2} ).

Respuesta

( dfrac {x + 1} {x − 1}, x neq 2, x neq 1 )

EJEMPLO ( PageIndex {6} )

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2−3x − 10} {x ^ 2 + x − 2} ).

Respuesta

( dfrac {x − 5} {x − 1}, x neq −2, x neq 1 )

Ahora resumimos los pasos que debe seguir para simplificar expresiones racionales.

SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN RACIONAL.

  1. Factoriza el numerador y el denominador por completo.
  2. Simplifica dividiendo factores comunes.

Por lo general, dejamos la expresión racional simplificada en forma factorizada. De esta forma, es fácil comprobar que hemos eliminado todos los factores comunes.

Usaremos los métodos que hemos aprendido para factorizar los polinomios en los numeradores y denominadores en los siguientes ejemplos.

Cada vez que escribimos una expresión racional, debemos hacer una declaración que rechace los valores que harían un denominador cero. Sin embargo, para centrarnos en el trabajo en cuestión, omitiremos escribirlo en los ejemplos.

EJEMPLO ( PageIndex {7} )

Simplifica: ( dfrac {3a ^ 2−12ab + 12b ^ 2} {6a ^ 2−24b ^ 2} ).

Respuesta

( begin {matriz} {ll} & dfrac {3a ^ 2−12ab + 12b ^ 2} {6a ^ 2−24b ^ 2} & & begin {matriz} {l} text {Factoriza el numerador y el denominador,} text {primero factorizando el MCD.} end {array} & dfrac {3 (a ^ 2−4ab + 4b ^ 2)} {6 (a ^ 2− 4b ^ 2)} & & dfrac {3 (a − 2b) (a − 2b)} {6 (a + 2b) (a − 2b)} & text {Eliminar el común factores de} a − 2b text {y} 3. & dfrac { cancel {3} (a − 2b) cancel {(a − 2b)}} { cancel {3} · 2 (a + 2b) cancelar {(a − 2b)}} & dfrac {a − 2b} {2 (a + 2b)} end {matriz} )

EJEMPLO ( PageIndex {8} )

Simplifica: ( dfrac {2x ^ 2−12xy + 18y ^ 2} {3x ^ 2−27y ^ 2} ).

Respuesta

( dfrac {2 (x − 3y)} {3 (x + 3y)} )

EJEMPLO ( PageIndex {9} )

Simplifica: ( dfrac {5x ^ 2−30xy + 25y ^ 2} {2x ^ 2−50y ^ 2} ).

Respuesta

( dfrac {5 (x − y)} {2 (x + 5y)} )

Ahora veremos cómo simplificar una expresión racional cuyo numerador y denominador tienen factores opuestos. Anteriormente introdujimos la notación opuesta: lo opuesto de (a ) es (- a ) y (- a = −1 · a ).

La fracción numérica, digamos ( dfrac {7} {- 7} ) se simplifica a (- 1 ). También reconocemos que el numerador y el denominador son opuestos.

La fracción ( dfrac {a} {- a} ), cuyo numerador y denominador son opuestos también se simplifica a (- 1 ).

[ begin {array} {ll} text {Veamos la expresión} b − a. & b − a text {Reescribir.} & −a + b text {Factorizar} –1. & −1 (a − b) nonumber end {array} ]

Esto nos dice que (b − a ) es el opuesto de (a − b ).

En general, podríamos escribir el opuesto de (a − b ) como (b − a ). Entonces, la expresión racional ( dfrac {a − b} {b − a} ) se simplifica a (- 1 ).

OPUESTOS EN UNA EXPRESIÓN RACIONAL

El opuesto de (a − b ) es (b − a ).

[ dfrac {a − b} {b − a} = - 1 quad a neq b nonumber ]

Una expresión y su opuesto se dividen en (- 1 ).

Usaremos esta propiedad para simplificar expresiones racionales que contienen opuestos en sus numeradores y denominadores. Tenga cuidado de no tratar (a + b ) y (b + a ) como opuestos. Recuerda que además, el orden no importa, entonces (a + b = b + a ). Entonces, si (a neq −b ), entonces ( dfrac {a + b} {b + a} = 1 ).

EJEMPLO ( PageIndex {10} )

Simplificar: ( dfrac {x ^ 2−4x − 32} {64 − x ^ 2} )

Respuesta
Factoriza el numerador y el denominador.
Reconoce los factores opuestos.
Simplificar.

EJEMPLO ( PageIndex {11} )

Simplificar: ( dfrac {x ^ 2−4x − 52} {5 − x ^ 2} )

Respuesta

(- dfrac {x + 1} {x + 5} )

EJEMPLO ( PageIndex {12} )

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2 + x − 2} {1 − x ^ 2} ).

Respuesta

(- dfrac {x + 2} {x + 1} )

Multiplica expresiones racionales

Para multiplicar expresiones racionales, hacemos exactamente lo que hicimos con las fracciones numéricas. Multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores. Luego, si hay factores comunes, los eliminamos para simplificar el resultado.

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

Si (p ), (q ), (r ) y (s ) son polinomios donde (q neq 0 ), (s neq 0 ), entonces

[ dfrac {p} {q} · dfrac {r} {s} = dfrac {pr} {qs} nonumber ]

Para multiplicar expresiones racionales, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.

Recuerde, a lo largo de este capítulo, asumiremos que se excluyen todos los valores numéricos que harían que el denominador sea cero. No escribiremos las restricciones para cada expresión racional, pero tenga en cuenta que el denominador nunca puede ser cero. Entonces, en el siguiente ejemplo, (x neq 0 ), (x neq 3 ) y (x neq 4. )

EJEMPLO ( PageIndex {13} ): Cómo multiplicar expresiones racionales

Simplifica: ( dfrac {2x} {x ^ 2−7x + 12} · dfrac {x ^ 2−9} {6x ^ 2} ).

Respuesta

EJEMPLO ( PageIndex {14} )

Simplifica: ( dfrac {5x} {x ^ 2 + 5x + 6} · dfrac {x ^ 2−4} {10x} ).

Respuesta

( dfrac {x − 2} {2 (x + 3)} )

EJEMPLO ( PageIndex {15} )

Simplifica: ( dfrac {9x ^ 2} {x ^ 2 + 11x + 30} · dfrac {x ^ 2−36} {3x ^ 2} ).

Respuesta

( dfrac {3 (x − 6)} {x + 5} )

MULTIPLICAR EXPRESIONES RACIONALES.

  1. Factoriza cada numerador y denominador por completo.
  2. Multiplica los numeradores y denominadores.
  3. Simplifica dividiendo factores comunes.

EJEMPLO ( PageIndex {16} )

Multiplica: ( dfrac {3a ^ 2−8a − 3} {a ^ 2−25} · dfrac {a ^ 2 + 10a + 25} {3a ^ 2−14a − 5} ).

Respuesta

( begin {matriz} {ll} & dfrac {3a ^ 2−8a − 3} {a ^ 2−25} · dfrac {a ^ 2 + 10a + 25} {3a ^ 2−14a − 5} & begin {array} {ll} text {Factoriza los numeradores y denominadores} text {y luego multiplica.} end {array} & dfrac {(3a + 1) (a − 3 ) (a + 5) (a + 5)} {(a − 5) (a + 5) (3a + 1) (a − 5)} & begin {array} {l} text { Simplifique dividiendo} text {factores comunes.} End {matriz} & dfrac { cancel {(3a + 1)} (a − 3) cancel {(a + 5)} (a + 5 )} {(a − 5) cancel {(a + 5)} cancel {(3a + 1)} (a − 5)} & text {Simplify.} & dfrac {(a− 3) (a + 5)} {(a − 5) (a − 5)} & text {Reescribir} (a − 5) (a − 5) text {usando un exponente.} & dfrac {(a − 3) (a + 5)} {(a − 5) ^ 2} end {matriz} )

EJEMPLO ( PageIndex {17} )

Simplifica: ( dfrac {2x ^ 2 + 5x − 12} {x ^ 2−16} · dfrac {x ^ 2−8x + 16} {2x ^ 2−13x + 15} ).

Respuesta

( dfrac {x − 4} {x − 5} )

EJEMPLO ( PageIndex {18} )

Simplifica: ( dfrac {4b ^ 2 + 7b − 2} {1 − b ^ 2} · dfrac {b ^ 2−2b + 1} {4b ^ 2 + 15b − 4} ).

Respuesta

(- dfrac {(b + 2) (b − 1)} {(1 + b) (b + 4)} )

Dividir expresiones racionales

Al igual que hicimos con las fracciones numéricas, para dividir expresiones racionales, multiplicamos la primera fracción por el recíproco de la segunda.

DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

Si (p ), (q ), (r ) y (s ) son polinomios donde (q neq 0 ), (r neq 0 ), (s neq 0 ), entonces

[ dfrac {p} {q} ÷ dfrac {r} {s} = dfrac {p} {q} · dfrac {s} {r} nonumber ]

Para dividir expresiones racionales, multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda.

Una vez que reescribimos la división como multiplicación de la primera expresión por el recíproco de la segunda, factorizamos todo y buscamos factores comunes.

EJEMPLO ( PageIndex {19} ): Cómo dividir expresiones racionales

Dividir: ( dfrac {p ^ 3 + q ^ 3} {2p ^ 2 + 2pq + 2q ^ 2} ÷ dfrac {p ^ 2 − q ^ 2} {6} ).

Respuesta

EJEMPLO ( PageIndex {20} )

Simplifica: ( dfrac {x ^ 3−8} {3x ^ 2−6x + 12} ÷ dfrac {x ^ 2-4} {6} ).

Respuesta

( dfrac {2 (x ^ 2 + 2x + 4)} {(x + 2) (x ^ 2−2x + 4)} )

EJEMPLO ( PageIndex {21} )

Simplifica: ( dfrac {2z ^ 2} {z ^ 2−1} ÷ dfrac {z ^ 3 − z ^ 2 + z} {z ^ 3 + 1} ).

Respuesta

( dfrac {2z} {z − 1} )

DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

  1. Reescribe la división como el producto de la primera expresión racional y el recíproco de la segunda.
  2. Factoriza los numeradores y denominadores por completo.
  3. Multiplica los numeradores y denominadores juntos.
  4. Simplifica dividiendo factores comunes.

Recordar de Usa el lenguaje del álgebra que una fracción compleja es una fracción que contiene una fracción en el numerador, el denominador o ambos. Además, recuerde que una barra de fracción significa división. Una fracción compleja es otra forma de escribir la división de dos fracciones.

EJEMPLO ( PageIndex {22} )

Dividir: ( dfrac { dfrac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8}} { dfrac {2x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−5x + 6}} ).

Respuesta

( begin {matriz} {ll} & dfrac { dfrac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8}} { dfrac {2x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−5x + 6}} & text {Reescribir con un signo de división.} & Dfrac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8} ÷ dfrac {2x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−5x + 6} & begin {array} {l} text {Reescribir como producto de los primeros tiempos recíprocos} text {del segundo.} End {array} & dfrac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8} · dfrac {x ^ 2−5x + 6} {2x ^ 2−7x + 3} & begin {array} {l} text {Factoriza el numeradores y los denominadores} text {, y luego multiplicar.} end {matriz} & dfrac {(2x − 1) (3x − 2) (x − 2) (x − 3)} {4 (x −2) (2x − 1) (x − 3)} & text {Simplifica dividiendo factores comunes.} & Dfrac { cancel {(2x − 1)} (3x − 2) cancel {(x − 2)} cancel {(x − 3)}} {4 cancel {(x − 2)} cancel {(2x − 1)} cancel {(x − 3)}} texto {Simplificar.} & dfrac {3x − 2} {4} end {matriz} )

EJEMPLO ( PageIndex {23} )

Simplifica: ( dfrac { dfrac {3x ^ 2 + 7x + 2} {4x + 24}} { dfrac {3x ^ 2−14x − 5} {x ^ 2 + x − 30}} ).

Respuesta

( dfrac {x + 2} {4} )

EJEMPLO ( PageIndex {24} )

Simplifica: ( dfrac { dfrac {y ^ 2−36} {2y ^ 2 + 11y − 6}} { dfrac {2y ^ 2−2y − 60} {8y − 4}} ).

Respuesta

( dfrac {2} {y + 5} )

Si tenemos más de dos expresiones racionales con las que trabajar, seguimos siguiendo el mismo procedimiento. El primer paso será reescribir cualquier división como una multiplicación por el recíproco. Luego, factorizamos y multiplicamos.

EJEMPLO ( PageIndex {26} )

Realice las operaciones indicadas: ( dfrac {4m + 4} {3m − 15} · dfrac {m ^ 2−3m − 10} {m ^ 2−4m − 32} ÷ dfrac {12m − 36} {6m −48} ).

Respuesta

( dfrac {2 (m + 1) (m + 2)} {3 (m + 4) (m − 3)} )

EJEMPLO ( PageIndex {27} )

Realice las operaciones indicadas: ( dfrac {2n ^ 2 + 10n} {n − 1} ÷ dfrac {n ^ 2 + 10n + 24} {n ^ 2 + 8n − 9} · dfrac {n + 4} {8n ^ 2 + 12n} ).

Respuesta

( dfrac {(n + 5) (n + 9)} {2 (n + 6) (2n + 3)} )

Multiplicar y dividir funciones racionales

Comenzamos esta sección afirmando que un expresión racional es una expresión de la forma ( dfrac {p} {q} ), donde pag y q son polinomios y (q neq 0 ). Del mismo modo, definimos un función racional en función de la forma (R (x) = dfrac {p (x)} {q (x)} ) donde (p (x) ) y (q (x) ) son funciones polinómicas y (q (x) ) no es cero.

FUNCIÓN RACIONAL

Una función racional es una función de la forma

[R (x) = dfrac {p (x)} {q (x)} nonumber ]

donde (p (x) ) y (q (x) ) son funciones polinomiales y (q (x) ) no es cero.

El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos valores que causarían una división por cero. Debemos eliminar cualquier valor que haga (q (x) = 0 ).

DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL.

  1. Iguala el denominador a cero.
  2. Resuelve la ecuación.
  3. El dominio son todos los números reales excluyendo los valores encontrados en el Paso 2.

EJEMPLO ( PageIndex {28} )

Encuentre el dominio de (R (x) = dfrac {2x ^ 2−14x} {4x ^ 2−16x − 48} ).

Respuesta

El dominio serán todos los números reales excepto aquellos valores que hacen que el denominador sea cero. Estableceremos el denominador igual a cero, resolveremos esa ecuación y luego excluiremos esos valores del dominio.

( begin {array} {ll} text {Establece el denominador en cero.} & 4x ^ 2−16x − 48 = 0 text {Factoriza, primero factoriza el MCD.} & 4 (x ^ 2−4x −12) = 0 & 4 (x − 6) (x + 2) = 0 text {Usar la propiedad del producto cero.} & 4 neq 0 quad x − 6 = 0 quad x + 2 = 0 text {Resolver.} & hspace {24mm} x = 6 qquad x = −2 & text {El dominio de} R (x) text {son todos los números reales} & text {donde} x neq 6 text {y} x neq −2 end {matriz} ).

EJEMPLO ( PageIndex {29} )

Encuentre el dominio de (R (x) = dfrac {2x ^ 2−10x} {4x ^ 2−16x − 20} ).

Respuesta

El dominio de (R (x) ) son todos los números reales donde (x neq 5 ) y (x neq −1 ).

EJEMPLO ( PageIndex {30} )

Encuentre el dominio de (R (x) = dfrac {4x ^ 2−16x} {8x ^ 2−16x − 64} ).

Respuesta

El dominio de (R (x) ) son todos los números reales donde (x neq 4 ) y (x neq −2 ).

Para multiplicar funciones racionales, multiplicamos las expresiones racionales resultantes en el lado derecho de la ecuación usando las mismas técnicas que usamos para multiplicar expresiones racionales.

EJEMPLO ( PageIndex {31} )

Encuentra (R (x) = f (x) · g (x) ) donde (f (x) = dfrac {2x − 6} {x ^ 2−8x + 15} ) y (g ( x) = dfrac {x ^ 2−25} {2x + 10} ).

Respuesta

( begin {matriz} {ll} & R (x) = f (x) · g (x) & & R (x) = dfrac {2x − 6} {x ^ 2−8x + 15} · Dfrac {x ^ 2−25} {2x + 10} & text {Factoriza cada numerador y denominador.} & R (x) = dfrac {2 (x − 3)} {(x − 3 ) (x − 5)} · dfrac {(x − 5) (x + 5)} {2 (x + 5)} & text {Multiplica los numeradores y denominadores.} & R (x) = dfrac {2 (x − 3) (x − 5) (x + 5)} {2 (x − 3) (x − 5) (x + 5)} & text {Quita factores comunes. } & R (x) = dfrac { cancel {2} cancel {(x − 3)} cancel {(x − 5)} cancel {(x + 5)}} { cancel {2} cancel {(x − 3)} cancel {(x − 5)} cancel {(x + 5)}} & text {Simplify.} & R (x) = 1 end {array} )

EJEMPLO ( PageIndex {32} )

Encuentra (R (x) = f (x) · g (x) ) donde (f (x) = dfrac {3x − 21} {x ^ 2−9x + 14} ) y (g ( x) = dfrac {2x ^ 2−8} {3x + 6} ).

Respuesta

(R (x) = 2 )

EJEMPLO ( PageIndex {33} )

Encuentra (R (x) = f (x) · g (x) ) donde (f (x) = dfrac {x ^ 2 − x} {3x ^ 2 + 27x − 30} ) y ( g (x) = dfrac {x ^ 2−100} {x ^ 2−10x} ).

Respuesta

(R (x) = dfrac {1} {3} )

Para dividir funciones racionales, dividimos las expresiones racionales resultantes en el lado derecho de la ecuación usando las mismas técnicas que usamos para dividir expresiones racionales.

EJEMPLO ( PageIndex {34} )

Encuentra (R (x) = dfrac {f (x)} {g (x)} ) donde (f (x) = dfrac {3x ^ 2} {x ^ 2−4x} ) y (g (x) = dfrac {9x ^ 2−45x} {x ^ 2−7x + 10} ).

Respuesta

( begin {array} {ll} & R (x) = dfrac {f (x)} {g (x)} text {Sustituir en las funciones} f (x), space g (x) . & R (x) = dfrac { dfrac {3x ^ 2} {x ^ 2−4x}} { dfrac {9x ^ 2−45x} {x ^ 2−7x + 10}} & begin {array} {l} text {Reescribe la división como el producto de} f (x) text {y el recíproco de} g (x). end {array} & R (x) = dfrac { 3x ^ 2} {x ^ 2−4x} · dfrac {x ^ 2−7x + 10} {9x ^ 2−45x} & begin {array} {l} text {Factoriza los numeradores y denominadores} text {y luego multiplicar.} end {matriz} & R (x) = dfrac {3 · x · x · (x − 5) (x − 2)} {x (x − 4) · 3 · 3 · x · (x − 5)} & text {Simplifica dividiendo factores comunes.} & R (x) = dfrac { cancel {3} · cancel {x} · cancel {x} cancelar {(x − 5)} (x − 2)} { cancelar {x} (x − 4) · cancelar {3} · 3 · cancelar {x} cancelar {(x − 5 )}} & & R (x) = dfrac {x − 2} {3 (x − 4)} end {matriz} )

EJEMPLO ( PageIndex {35} )

Encuentra (R (x) = dfrac {f (x)} {g (x)} ) donde (f (x) = dfrac {2x ^ 2} {x ^ 2−8x} ) y (g (x) = dfrac {8x ^ 2 + 24x} {x ^ 2 + x − 6} ).

Respuesta

(R (x) = dfrac {x − 2} {4 (x − 8)} )

EJEMPLO ( PageIndex {36} )

Encuentra (R (x) = dfrac {f (x)} {g (x)} ) donde (f (x) = dfrac {15x ^ 2} {3x ^ 2 + 33x} ) y (g (x) = dfrac {5x − 5} {x ^ 2 + 9x − 22} ).

Respuesta

(R (x) = dfrac {x (x − 2)} {x − 1} )

Conceptos clave

  • Determina los valores para los que una expresión racional no está definida.
    1. Iguala el denominador a cero.
    2. Resuelve la ecuación.
  • Propiedad de fracciones equivalentes
    Si (a ), (b ) y (c ) son números donde (b neq 0 ), (c neq 0 ), entonces

    ( quad dfrac {a} {b} = dfrac {a · c} {b · c} ) y ( dfrac {a · c} {b · c} = dfrac {a} {b }. )

  • Cómo simplificar una expresión racional.
    1. Factoriza el numerador y el denominador por completo.
    2. Simplifica dividiendo factores comunes.
  • Opuestos en una expresión racional
    El opuesto de (a − b ) es (b − a ).

    ( quad dfrac {a − b} {b − a} = - 1 qquad a neq b )

    Una expresión y su opuesto se dividen en (- 1 ).

  • Multiplicación de expresiones racionales
    Si (p ), (q ), (r ) y (s ) son polinomios donde (q neq 0 ), (s neq 0 ), entonces

    ( quad dfrac {p} {q} · dfrac {r} {s} = dfrac {pr} {qs} )

  • Cómo multiplicar expresiones racionales.
    1. Factoriza cada numerador y denominador por completo.
    2. Multiplica los numeradores y denominadores.
    3. Simplifica dividiendo factores comunes.
  • División de expresiones racionales
    Si (p ), (q ), (r ) y (s ) son polinomios donde (q neq 0 ), (r neq 0 ), (s neq 0 ), entonces

    ( quad dfrac {p} {q} ÷ dfrac {r} {s} = dfrac {p} {q} · dfrac {s} {r} )

  • Cómo dividir expresiones racionales.
    1. Reescribe la división como el producto de la primera expresión racional y el recíproco de la segunda.
    2. Factoriza los numeradores y denominadores por completo.
    3. Multiplica los numeradores y denominadores juntos.
    4. Simplifica dividiendo factores comunes.
  • Cómo determinar el dominio de una función racional.
    1. Iguala el denominador a cero.
    2. Resuelve la ecuación.
    3. El dominio son todos los números reales excluyendo los valores encontrados en el Paso 2.

Glosario

expresión racional
Una expresión racional es una expresión de la forma ( dfrac {p} {q} ), donde (p ) y (q ) son polinomios y (q neq 0 ).
expresión racional simplificada
Una expresión racional simplificada no tiene factores comunes, además de (1 ), en su numerador y denominador.
función racional
Una función racional es una función de la forma (R (x) = dfrac {p (x)} {q (x)} ) donde (p (x) ) y (q (x) ) son funciones polinómicas y (q (x) ) no es cero.

CH 7 2 Multiplicar y dividir expresiones radicales

Multiplicar y dividir expresiones radicales ÁLGEBRA 2 LECCIÓN 7 -2 Multiplica. Simplifique si es posible. un. B. C. 3 • 12 = 3 - 16 • - 4 • 3 3 3 • 12 = 36 = 6 4 4 = 3 - 16 • 4 = 3 -64 = - 4 16 La propiedad para multiplicar radicales no se aplica. - 4 no es un número real. 7-2

Multiplicar y dividir expresiones radicales ÁLGEBRA 2 LECCIÓN 7 -2 Simplifica cada expresión. Suponga que todas las variables son positivas. un. 50 x 5 = = 52 • (x 2) 2 • x Factoriza en cuadrados perfectos. 52 • (x 2) 2 • n = 5 x 2 b. 3 3 2 • x 2 xa • nb = n ab definición de raíz n-ésima 54 n 8 = = 3 3 33 • 2 • (n 2) 3 • n 2 33 (n 2) 3 • = 3 n 2 3 2 n 2 Factoriza en cubos perfectos. n a • n b = n ab definición de raíz n 7-2

Multiplicar y dividir expresiones radicales ÁLGEBRA 2 LECCIÓN 7 -2 Multiplicar y simplificar son positivos. 3 25 xy 8 • 3 5 x 4 y 3 = = = 3 3 25 xy 8 • n 25 xy 8 • 5 x 4 y 3 = 5 xy 3 3 3 n 5 x 4 y 3. Suponga todas las variables b = n ab Factoriza en cubos perfectos. 53 x 3 (y 3) 3 • x 2 y 2 53 x 3 (y 3) 3 • a • 3 x 2 y 2 n a • n b = n ab definición de la raíz n 7-2

Multiplicar y dividir expresiones radicales ÁLGEBRA 2 LECCIÓN 7 -2 Divide y simplifica. Suponga que todas las variables son positivas. un. 3 = b. - 81 3 3 = 192 x 8 3 3 - 81 3 = = 3 - 27 = = 3 (- 3) 3 = 3 3 192 x 8 3 x 64 x 7 43 (x 2) 3 • x = 4 x 2 = - 3 7-2 3 x 3 x

Multiplicar y dividir expresiones radicales ÁLGEBRA 2 LECCIÓN 7 -2 Racionalizar el denominador de cada expresión. Suponga que todas las variables son positivas. Método 1: a. 3 3 5 5 = 3 5 Reescribe como la raíz cuadrada de una fracción. = 3 • 5 5 • 5 Luego haz del denominador un cuadrado perfecto. = 15 52 = 15 5 7-2

Multiplicar y dividir expresiones radicales ÁLGEBRA 2 LECCIÓN 7 -2 (continuación) Método 2: a. 3 3 5 5 = 3 • 5 • = 15 5 Multiplica el numerador y el denominador por 5 para que el denominador se convierta en un número entero. 7-2

Multiplicar y dividir expresiones radicales ÁLGEBRA 2 LECCIÓN 7 -2 (continuación) b. C. x 5 3 5 4 y 3 x 2 yx 5 3 x 2 y = = x 5 • 3 x 2 y 3 x 7 y 3 x 2 y = x 3 3 xy 2 3 xy = x 3 xy 3 y = = 7 - 2 3 5 • 4 2 y 2 4 y • 42 y 2 3 80 y 2 43 y 3 2 3 3 10 y 2 4 y 10 y 2 2 y Vuelve a escribir la fracción para que el denominador sea un cubo perfecto.


Capítulo 7 - Sección 7.2 - Multiplicar y dividir expresiones racionales - Conjunto de ejercicios - Página 498: 9

Multiplicación paso a paso de expresiones racionales: 1. Factoriza completamente lo que puedas. 2. Reduce (divide) numeradores y denominadores por factores comunes. 3. Multiplica los factores restantes en los numeradores y multiplica los factores restantes en los denominadores. $ ( Displaystyle frac

cdot frac= frac) $ --- Factoriza lo que podamos: $ x ^ <2> + 9x + 14 =. PS factorizar el trinomio $ x ^ <2> + bx + c $. buscando dos factores de $ c $ cuya suma sea $ b $. . Aquí, encontramos que $ 7 $ y $ 2 $ son factores de $ 14 $ cuya suma es $ 9. $ $ = (x + 2) (x + 7) $ El problema se convierte en $. = Displaystyle frac <(x + 2) (x + 7) cdot 1> <(x + 7) cdot (x + 2)> qquad $. divide los factores comunes $ = displaystyle frac <1> <1> $ = $ 1 $

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R: Nuestro objetivo es evaluar 2-12 - (i)

P: Usando la fórmula punto-pendiente, escribe la ecuación de la línea que pasa por los puntos dados.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Resolver sistemas usando ELIMINATION (A)

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Resuelve cada desigualdad: a. 3 (x + 1) & gt 3x + 2 b. x + 1 s x - 1.

R: (a) Considere la desigualdad proporcionada, 3x + 1 & ampgt 3x + 2 Resuelva la desigualdad anterior. Ahora, simplifica el gi.

P: Supongamos que Peggy Carr pesaba 120 libras y dos de sus hijos pesaban 180 libras y 190 pou.

P: En los Ejercicios 71-82, divida como se indica o indique que la división no está definida. 12 30 72. -5 71. -4.

R: “Dado que ha publicado una pregunta con varias subpartes, resolveremos las tres primeras subpartes para yo.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: La pregunta está en la imagen.

A: Escribir una ecuación de la línea que pasa por (1,2) y es paralela a la línea y = -5x + 4

R: Los factores de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se pueden calcular usando la factorización entera te.


Sección 2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

Como en aritmética, también podemos multiplicar expresiones racionales. Para multiplicar expresiones racionales, siga los pasos a continuación:

  1. Factoriza todos los numeradores y denominadores de la forma más completa posible.
  2. Aplicar la propiedad fundamental de los números racionales.
  3. Multiplica los factores restantes en el numerador y los factores restantes en el denominador. Deje el denominador en forma factorizada
  4. Verifique que el producto esté en los términos más bajos.

Ejemplo 1. Multiplica.

Ejemplo 2: multiplica.

División de expresiones racionales

Para dividir dos expresiones racionales, multiplicar la primera expresión racional por el recíproco del segundo expresión racional.

Ejemplo 3. Dividir.

Ejemplo 4. Dividir.


Ponga a prueba sus conocimientos abriendo la actividad Prueba usted mismo.


¿Cómo encontrar expresiones racionales de multiplicación y división?

Una expresión racional es una expresión tal que puede expresarse como el cociente o fracción p / q o simplemente cociente de dos polinomios. Significa que tanto el numerador como el denominador son polinomios.

Multiplicación de expresiones racionales: Podemos multiplicar los numeradores y denominadores y luego simplificar el producto.

Por ejemplo, multiplica 4/5 y 9/8 = 4/5 y por 9/8 = 36/40 = 9/10. Lo mismo se puede aplicar a las expresiones racionales.

División de expresiones racionales: To dividir expresiones racionales, multiplicar el numerador de la expresión racional por el recíproco del denominador de la expresión racional.

Por ejemplo, divide 2/3 y 5/9 = 2/3 y por 9/5 = 18/15 = 6/5. Lo mismo se puede aplicar a las expresiones racionales.

Ejemplo resuelto:

Multiplica las expresiones racionales dadas (x + 1) / (x + 2) y (x + 2) / (x + 1)

Solución:

Multiplica (x + 1) / (x + 2) y (x + 2) / (x + 1)

De manera similar, puede probar la calculadora para encontrar multiplicar y dividir expresiones racionales para


7.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

División de expresiones racionales (página 2 de 2)

Para dividir expresiones racionales, usará el mismo método que usó para dividir fracciones numéricas: al dividir por una fracción, invertirá y multiplicar. Por ejemplo:

Para simplificar esta división, la convertiré en multiplicación volteando lo que estoy dividiendo, es decir, pasaré de dividir por una fracción a multiplicar por el recíproco de esa fracción. Entonces lo simplificaré como de costumbre:

¿Pueden los 2 cancelarse de los 20? ¡No! Esto está tan simplificado como la fracción.

Para simplificar esto, primero giraré y multiplicaré. Luego, para simplificar la multiplicación, factorizaré los numeradores y denominadores, y luego cancelaré cualquier factor duplicado. Mi trabajo se ve así:

Entonces la respuesta es: Copyright & copy Elizabeth Stapel 2003-2011 Todos los derechos reservados

Primero, tendré que voltear la segunda fracción y convertir de división a multiplicación. Luego factorizaré y veré si algo se cancela.

(¿Puedes cancelar los 6? O el X '¿s? ¡No! ¡Lo anterior es lo más simplificado posible!)

Por razones que quedarán claras al sumar y restar racionales, el numerador generalmente se multiplica (& quotsimplified & quot para deshacerse de los paréntesis), mientras que el denominador generalmente se deja en forma factorizada.

Asegúrate de saber factorizar cuadráticas y cúbicas, porque, como has visto, es necesario para muchos de los problemas que vas a resolver. Además, asegúrese de tener cuidado de cancelar solo factores, no términos. Si puedes mantenerlo claro, probablemente te irá bien.


7.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

Así como puedes multiplicar y dividir fracciones, puedes multiplicar y dividir expresiones racionales. De hecho, usa los mismos procesos para multiplicar y dividir expresiones racionales que usa para multiplicar y dividir fracciones numéricas. ¡El proceso es el mismo aunque las expresiones se vean diferentes!

Multiplica expresiones racionales

Recuerda que hay dos formas de multiplicar fracciones numéricas.

Una forma es multiplicar los numeradores y denominadores y luego simplificar el producto, como se muestra aquí.

Una segunda forma es factorizar y simplificar las fracciones. antes de realizar la multiplicación.

Tenga en cuenta que ambos métodos dan como resultado el mismo producto. En algunos casos, puede resultarle más fácil multiplicar y luego simplificar, mientras que en otros puede tener más sentido simplificar fracciones antes de multiplicar.

Los mismos dos enfoques se pueden aplicar a expresiones racionales. En los siguientes ejemplos, se muestran ambas técnicas. Primero, multipliquemos y luego simplifiquemos.

Ejemplo

Indique el producto en la forma más simple.

Multiplica los numeradores y luego multiplica los denominadores.

Simplifica encontrando factores comunes en el numerador y denominador. Simplifica los factores comunes.

[látex] Displaystyle frac <1> <4a> [/ látex]

Respuesta

Está bien, eso funcionó. Pero esta vez simplifiquemos primero y luego multipliquemos. Al utilizar este método, es útil buscar el máximo común divisor. Puedes factorizar ninguna factores comunes, pero encontrar el más grande requerirá menos pasos.

Ejemplo

Indique el producto en la forma más simple.

Factoriza los numeradores y denominadores. Busque los mayores factores comunes.

Simplifica los factores comunes y luego multiplica.

Respuesta

Ambos métodos produjeron la misma respuesta.

Además, recuerde que cuando trabaje con expresiones racionales, debe acostumbrarse a identificar cualquier valor de las variables que resulte en una división por [látex] 0 [/ látex]. Estos valores excluidos deben eliminarse del dominio, el conjunto de todos los valores posibles de la variable. En el ejemplo anterior, [latex] displaystyle frac <5 <^ <2> >> <14> cdot frac <7> <10 <^ <3> >> [/ latex], el dominio es todo real números donde a no es igual a 0. Cuando [látex] a = 0 [/ látex], el denominador de la fracción [látex] frac <7> <10a ^ <3>> [/ látex] es igual a 0, lo que hará que la fracción indefinido.

Algunas expresiones racionales contienen expresiones cuadráticas y otros polinomios de varios términos. To multiply these rational expressions, the best approach is to first factor the polynomials and then look for common factors. (Multiplying the terms before factoring will often create complicated polynomials…and then you will have to factor these polynomials anyway! For this reason, it is easier to factor, simplify, and then multiply.) Just take it step by step, like in the examples below.

Ejemplo

State the product in simplest form.

Factor the numerators and denominators.

Multiply simplified rational expressions. This expression can be left with the numerator in factored form or multiplied out.


Multiplying and Dividing Rational Expressions - Concept

Carl taught upper-level math in several schools and currently runs his own tutoring company. He bets that no one can beat his love for intensive outdoor activities!

Dividing rational expressions is basically two simplifying problems put together. Cuándo dividing rationals, we factor both numerators and denominators and identify equivalents of one to cancel. After identifying these equivalents, we take the reciprocal of the second fraction and divide. Multiplying rational expressions is the same as dividing rationals, except that we do not take the reciprocal of the second fraction.

Multiplying and dividing rational expressions is very similar to multiplying and dividing fractions okay if we have 3, 4's times 8, 7's you already know that we can cancel like terms if we have them so 4 and 8 share a factor 4 so we know that we can turn this down to 1, turn this to a 2 and then just multiplying across this ends up being 6 over 7. Okay we didn't have to simplify this we could end up getting 3 times 8, 24 over 4 times 7, 28 and then simplify it but in general if we can simplify it before hand life becomes a lot easier.
Okay with rational expressions it's no different okay so what we have here is a rational expression and we're just going to cancel like terms for 4, so we could have cancel the 4 over 4 here to begin with or we can cancel the 4 and the 8 it doesn't really matter because it's all going to be multiplied in the end so I'm going to cancel the 4 and 4 here okay we then have a y in the bottom and a y squared in the top so I'm going to go ahead and cancel one of those y's, x cubed in the top x the fifth in the bottom so this is 3x's and this is 5x's we can actually go ahead and cancel 3 of those so then this ends up being x squared. Once we've simplified everything up we can just multiply across so our numerator now just has an 8y and our denominator has just a x squared okay so by cancelling things just like we did when we were dealing with fractions we're able to simplify this up fairly easily okay.
Division just like with fractions is basically the same process where you take a division and then you flip your divisor and multiply okay so with the fraction what we're used to is 5 sixth divided by 10 thirds just becomes 5 sixth times 3 over 10. This is the same thing we did back there where we can cancel anything we have in common so 3 and 6 are both divisible by 3 cancel out the 3, 5 and 10 both divisible by 5 cancel the 5 so we end up with one fourth.
Okay when dealing with rational expressions, this one is pretty ugly but we can still do the exact same thing so our first term always stays the same so we end up with 5 x the forth, y squared over 16 x squared, y times and then our divisor our second time flips over so this ends up being 60x cubed y squared divided by 25 x squared y. Okay so we can either cancel across our fractions or within a fraction it doesn't really matter okay so when I'm going to end up doing is I have a y in the bottom another y over here and a y squared at top so those 3 things can all cancel to get nothing okay we then have a x squared and an x squared in the bottom and an x to the forth in the top those can cancel, 5 and 25 cancel down to 5 and 16 and 60 both divisible by 4 so that becomes a 4 and that becomes, believe it's 15, 15 and 5 once again can cancel leaving us with 3 okay so just by going through I'm looking for common terms so we're able to simplify up what we're actually multiplying. Then just multiplying across seeing what we're left with that's not crossed out, everything in this numerator cancels out, I have a 3x cubed y squared and then we have a 4 and then that's it in the denominator and then just checking to make sure that I didn't miss anything 3x square 3x cube y squared over 4 can't cancel so what we're able to do is by flipping our devisor multiplying cancelling anything that can cancel we're able to simplify this up.
Okay, so multiplying rational expressions pretty much as the same as multiplying fractions dividing rational expressions pretty much the same as dividing fractions all you have to do is flip it over and then turn it right back into the multiplication problem.


Ver el vídeo: MAT1033 Multiplication and Division of Rational Expressions (Noviembre 2021).