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11.1: Preludio a las cónicas - Matemáticas


Cinco cuatro. Luego, usará lo que aprenda para investigar sistemas de ecuaciones no lineales.


Ejercicio 11.1 Capítulo 11 Secciones cónicas Clase 11 Matemáticas

En esta conferencia, he discutido soluciones ncert para el Ejercicio 11.1 del Capítulo 11 Secciones cónicas Clase 11 Matemáticas.

00:00:05 Cómo estudiar las secciones cónicas en la clase 11

00:05:31 Introducción al círculo, parábola, elipse e hipérbola

00:07:31 Animación para entender por qué se llaman secciones cónicas.

00:09:51 Cómo derivar la ecuación del círculo
En cada uno de los siguientes ejercicios 1 a 5, encuentre la ecuación del círculo con

00:13:51 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 1 centro (0,2) y radio 2

00:16:41 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 2 centro (-2,3) y radio 4

00:18:31 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 3 centro izquierda ( frac <1> <2>, frac <1> <4> derecha) y radio frac <1>

00:21:41 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 4 centro (1,1) y radio sqrt

00:22:52 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 5 centro (–a, –b) y radio sqrt
En cada uno de los siguientes Ejercicios 6 a 9, encuentre el centro y el radio de los círculos.

00:25:32 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 6 (x + 5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 36

00:26:52 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 7 x ^ 2 + y ^ 2-4x-8y-45 = 0

00:31:02 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 8 x ^ 2 + y ^ 2-8x + 10y-12 = 0

00:33:22 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 9 2x ^ 2 + 2y ^ 2-x = 0

00:36:02 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 15 ¿El punto (–2,5, 3,5) se encuentra dentro, fuera o en el círculo x ^ 2 + y ^ 2 = 25?

00:42:42 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 14 Encuentre la ecuación de un círculo con centro (2,2) y pasa por el punto (4,5).

00:45:42 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 12 Encuentre la ecuación del círculo de radio 5 cuyo centro se encuentra en el eje xy pasa por el punto (2,3).

00:51:42 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 13 Encuentre la ecuación del círculo que pasa por (0,0) y hace intersecciones ayb en los ejes de coordenadas.

00:59:42 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 10 Encuentre la ecuación del círculo que pasa por los puntos (4,1) y (6,5) y cuyo centro está en la línea 4x + y = 16.

01:08:32 Soluciones NCERT Ejercicio 11.1 Pregunta 11 Encuentre la ecuación del círculo que pasa por los puntos (2,3) y (–1,1) y cuyo centro está en la línea x - 3y - 11 = 0.


Capítulo 11 Clase 11 Secciones cónicas

Aprenda el Capítulo 11 Secciones Cónicas de la Clase 11 gratis con soluciones de todas las Preguntas, Ejemplos y Ejercicios Misceláneos del NCERT. Todas las soluciones se proporcionan con una explicación paso a paso para su referencia.

Veamos qué es la sección cónica.

Aprendimos Líneas rectas en el último capítulo, pero las líneas rectas no son el único tipo de curvas que tenemos.

En este capítulo, hablamos de secciones cónicas,

es decir, secciones del cono

En concreto, hablamos de

Círculos, elipse, parábola e hipérbola

Entonces, los temas del capítulo incluyen

  • Círculos - Cómo encontrar la ecuación del círculo, centro del círculo
  • Parábola - Ecuación de la parábola, su directriz, excentricidad y foco
  • Elipse - Ecuación de elipse, su directriz, excentricidad, foco y vértices
  • Hipérbola - Ecuación de hipérbola, su directriz, excentricidad, foco y vértices
  • Otras preguntas como problema de espejo, problema de triángulo en parábola, problema de haz, lugar geométrico, problemas de trazado de ruta

Haga clic en un ejercicio para comenzar con las respuestas de las preguntas, o en el tema para aprender los conceptos con las preguntas.


Secciones cónicas Clase 11 Notas Matemáticas Capítulo 11

Circulo
Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano, que están a una distancia fija de un punto fijo en el plano. El punto fijo se llama centro del círculo y la distancia desde el centro a cualquier punto del círculo se llama radio del círculo.
La ecuación de un círculo con radio r que tiene centro (h, k) está dada por (x & # 8211 h) 2 + (y & # 8211 k) 2 = r 2.

La ecuación general del círculo está dada por x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0, donde, g, f y c son constantes.

La ecuación general del círculo que pasa por el origen es x 2 + y 2 + 2gx + 2fy = 0.

La ecuación paramétrica del círculo x 2 + y 2 = r 2 viene dada por x = r cos θ, y = r sin θ, donde θ es el parámetro y la ecuación paramétrica del círculo (x & # 8211 h) 2 + (y & # 8211 k) 2 = r 2 están dados por x = h + r cos θ, y = k + r sin θ.

Nota: La ecuación general del círculo involucra tres constantes, lo que implica que se requieren al menos tres condiciones para determinar un círculo de manera única.

Parábola
Una parábola es el conjunto de puntos P cuyas distancias desde un punto fijo F en el plano son iguales a su distancia desde una línea fija l en el plano. El punto fijo F se llama foco y la línea fija l es la directriz de la parábola.

Datos principales sobre la parábola

Formas de parábola y 2 = 4ax y 2 = -4ax x 2 = 4 días x 2 = -4ay
Eje de parábola y = 0 y = 0 x = 0 x = 0
Directriz de parábola x = -a x = a y = -a y = a
Vértice (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)
Atención (a, 0) (-a, 0) (0, a) (0, -a)
Longitud del recto latus 4a 4a 4a 4a
Longitud focal | x + a | | x & # 8211 a | | y + a | | y & # 8211 a |

Elipse
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano tal que la suma de cuyas distancias desde dos puntos fijos es constante.
o
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano cuyas distancias desde un punto fijo en el plano tienen una relación constante, menor que a su distancia desde un punto fijo en el plano. El punto fijo se llama foco, la línea fija una directriz y la relación constante (e) la excentricidad de la elipse. Tenemos dos formas estándar de elipse, es decir,

Datos principales sobre la elipse

Hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto en un plano que se mueve de tal manera que la relación entre su distancia desde un punto fijo en el mismo plano y su distancia desde una línea fija es siempre constante, que siempre es mayor que la unidad. El punto fijo se llama foco, la línea fija se llama directriz y la relación constante, generalmente denominada bye, se conoce como excentricidad de la hipérbola.
Tenemos dos formas estándar de hipérbola, es decir,

Principales datos sobre la hipérbola


Tabla de contenido

Explorando patrones y secuencias
Calculadora TI-83 Plus: Generación de los términos de una
& # 160 & # 160 & # 160 Secuencia
Secuencias y fórmulas recursivas
Calculadora TI-83 Plus: Representación gráfica de secuencias
Investigando formas de cortar & # 34Verduras & # 34
Secuencias aritméticas
Secuencias geométricas
Interés compuesto: monto y valor presente
Exponentes racionales
Simplificar expresiones que involucran exponentes
Resolver ecuaciones exponenciales

Capitulo 2: Series y aplicaciones financieras

Serie aritmética
Investigación de una secuencia usando la calculadora TI-83 Plus & # 160 & # 160 & # 160 y el guardabosques basado en calculadora TI (CBR)
Series geométricas
Usar una hoja de cálculo para representar el valor de un depósito
Uso de hojas de cálculo para analizar y representar situaciones financieras & # 160 & # 160 & # 160: Tablas de valor futuro y amortización
Calculadora TI-83 Plus: encontrar la suma y la serie de uso para analizar situaciones financieras: valor futuro
Uso de series para analizar situaciones financieras: Presente la calculadora TI-83 Plus: análisis de situaciones financieras con & # 160 & # 160 & # 160the TVM Solver
Tasas equivalentes y anualidades generales
Calculadora TI-83 Plus: Creación de programas de reembolso
Uso de tecnología para analizar hipotecas canadienses

Repaso del capítulo 2
Examen de revisión del capítulo 2
Prueba de revisión acumulativa

Tarea de rendimiento para los capítulos 1 y 2

Revisión de habilidades y conocimientos esenciales - Parte 2

Capítulo 3: Introducción a las funciones

Investigando un tipo especial de relación
Funciones: concepto y notación
Resolver desigualdades
La función inversa
Calculadora TI-83 Plus: funciones gráficas y propiedades de investigación inversa de funciones inversas
Transformaciones y notación de funciones

Capítulo 4: Funciones cuadráticas y racionales

Ampliación de las habilidades de álgebra: completar el cuadrado
Valores máximos y mínimos de funciones cuadráticas
Ceros de funciones cuadráticas
Presentación de números complejos
Sumar, restar y multiplicar números complejos
Funciones recíprocas
Calculadora TI-83 Plus: exploración del comportamiento de funciones cercanas a las asíntotas
Simplificando expresiones racionales
Multiplicar y dividir expresiones racionales
División de números complejos
Sumar y restar expresiones racionales
Ampliación de las habilidades de álgebra: trabajar con polinomios

Repaso del capítulo 4
Capítulo 4 Examen de revisión
Prueba de revisión acumulativa

Tarea de rendimiento para los capítulos 3 y 4


PARTE 3 - FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Revisión de habilidades y conocimientos esenciales - Parte 3

Capítulo 5: Modelado de funciones periódicas

Fenómenos periódicos
Entendiendo los ángulos
Funciones trigonométricas
Medida en radianes
Calculadora TI-83 Plus: Representación gráfica de funciones trigonométricas
Investigando Transformaciones
Modelado de fenómenos periódicos
Resolver ecuaciones trigonométricas lineales
Calculadora TI-83 Plus: uso de la regresión sinusal
para encontrar la curva de mejor ajuste
Uso de sondas digitales para recopilar datos periódicos

Repaso del capítulo 5
Capítulo 5 Examen de revisión

Capítulo 6: Ampliación de habilidades con trigonometría

Ampliación de las habilidades de trigonometría con triángulos oblicuos
Resolución de problemas de trigonometría en dos y tres dimensiones
Uso de triángulos especiales para determinar valores exactos
Investigando expresiones idénticas
Identidades trigonométricas
Resolver ecuaciones trigonométricas cuadráticas

PARTE 4 - LOCI Y CONICOS

Revisión de habilidades y conocimientos esenciales - Parte 4

Capítulo 7: Investigación de loci y cónicas

Introducción a las definiciones de locus
Revisitando el Círculo
Calculadora TI-83 Plus: Representación gráfica de círculos
La elipse
Modelos de papel encerado
La parábola
Propiedades reflectantes de las cónicas
Graficar cónicas usando tecnología
La hipérbola
La forma general de las cónicas
Cuando las líneas se encuentran con las cónicas


11.1: Preludio a las cónicas - Matemáticas

Dado: Centro (0, 2) y radio (r) = 2

La ecuación de un círculo con centro como (h, k) y radio como r se da como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Como, Centro (h, k) = (0, 2) y radio (r) = 2



Por tanto, la ecuación del círculo es

(x - 0) 2 + (y - 2) 2 = 2 2 [utilizando la fórmula (a & # 8211 b) 2 = a 2 & # 8211 2ab + b 2]

x 2 + y 2 + 4 - 4y = 4

x 2 + y 2 - 4y = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 - 4y = 0

Pregunta 2: Centro (–2, 3) y radio 4


La ecuación de un círculo con centro como (h, k) y radio como r se da como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Como, centro (h, k) = (-2, 3) y radio (r) = 4

Por tanto, la ecuación del círculo es

(x + 2) 2 + (y - 3) 2 = (4) 2 [utilizando la fórmula (a & # 8211 b) 2 = a 2 & # 8211 2ab + b 2]

x 2 + 4x + 4 + y 2 - 6y + 9 = 16

x 2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0

Pregunta 3: Centro (1/2, 1/4) y radio (1/12)


La ecuación de un círculo con centro como (h, k) y radio como r se da como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Entonces, centro (h, k) = (1/2, 1/4) y radio (r) = 1/12

Por tanto, la ecuación del círculo es

(x - 1/2) 2 + (y - 1/4) 2 = (1/12) 2 [utilizando la fórmula (a & # 8211 b) 2 = a 2 & # 8211 2ab + b 2]

x 2 - x + 1/4 + y 2 - y / 2 + 1/16 = 1/144

x 2 - x + 1/4 + y 2 - y / 2 + 1/16 = 1/144

144x 2 - 144x + 36 + 144y 2 - 72y + 9 - 1 = 0

144x 2 - 144x + 144y 2 - 72y + 44 = 0

36x 2 + 36x + 36y2 - 18y + 11 = 0

36x 2 + 36y2 - 36x - 18y + 11 = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es 36x 2 + 36y 2 - 36x - 18y + 11 = 0

Pregunta 4: Centro (1, 1) y radio √2

Dado: Centro (1, 1) y radio √2

La ecuación de un círculo con centro como (h, k) y radio como r se da como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Entonces, centro (h, k) = (1, 1) y radio (r) = √2

Por tanto, la ecuación del círculo es

(x-1) 2 + (y-1) 2 = (√2) 2 [utilizando la fórmula (a & # 8211 b) 2 = a 2 & # 8211 2ab + b 2]

x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y + 1 = 2

x 2 + y 2 - 2x -2y = 0



Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 - 2x -2y = 0

Pregunta 5: Centro (–a, –b) y radio √ (a 2 - b 2)

Dado: Centro (-a, -b) y radio √ (a 2 - b 2)

La ecuación de un círculo con centro como (h, k) y radio como r se da como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Entonces, centro (h, k) = (-a, -b) y radio (r) = √ (a 2 - b 2)

Por tanto, la ecuación del círculo es

(x + a) 2 + (y + b) 2 = (√ (a 2 - b 2) 2) [usando la fórmula (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2]

x 2 + 2ax + a 2 + y 2 + 2 por + b 2 = a 2 - b 2

x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0

En cada uno de los siguientes ejercicios 6 a 9, encuentre el centro y el radio de los círculos.

Pregunta 6: (x + 5) 2 + (y - 3) 2 = 36

Ecuación dada: (x + 5) 2 + (y - 3) 2 = 36

(x - (-5)) 2 + (y - 3) 2 = 6 2

La ecuación tiene la forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 donde, h = -5, k = 3 y r = 6

Por lo tanto, el centro es (-5, 3) y su radio es 6.

Pregunta 7: x 2 + y 2 - 4x - 8y - 45 = 0

Ecuación dada: x 2 + y 2 - 4x - 8y - 45 = 0.

x 2 + y 2 - 4x - 8y - 45 = 0

(x 2-4x) + (y 2-8y) = 45



(x 2 - 2 (x) (2) + 2 2) + (y 2 - 2 (y) (4) + 4 2) - 4 - 16 = 45

(x - 2) 2 + (y - 4) 2 = 65

(x - 2) 2 + (y - 4) 2 = (√65) 2

La ecuación tiene la forma (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2, donde h = 2, k = 4 y r = √65

Por lo tanto, el centro es (2, 4) y su radio es √65.

Pregunta 8: x 2 + y 2 - 8x + 10y - 12 = 0

Ecuación dada: x 2 + y 2 -8x + 10y -12 = 0.

x 2 + y 2 - 8x + 10y - 12 = 0

(x 2 - 8x) + (y 2 + 10y) = 12

(x 2 - 2 (x) (4) + 4 2) + (y 2 - 2 (y) (5) + 5 2) - 16 - 25 = 12

(x - 4) 2 + (y + 5) 2 = 53

(x - 4) 2 + (y - (-5)) 2 = (√53) 2

La ecuación tiene la forma (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2, donde h = 4, k = -5 y r = √53

Por lo tanto, el centro es (4, -5) y su radio es √53.

Pregunta 9: 2x 2 + 2y 2 - x = 0

Ecuación dada: 2x 2 + 2y 2 - x = 0.

2x 2 + 2y 2 - x = 0

(2x 2 y # 8211 x) + 2y 2 = 0

(x 2 - 2 (x) (1/4) + (1/4) 2) + y 2 - (1/4) 2 = 0

(x - 1/4) 2 + (y - 0) 2 = (1/4) 2

La ecuación tiene la forma (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2, donde, h = 1/4, k = 0 y r = 1/4

Por lo tanto, el centro es (1/4, 0) y su radio es 1/4.

Pregunta 10: Calcula la ecuación del círculo que pasa por los puntos (4,1) y (6,5) y cuyo centro está en la recta 4x + y = 16.

La ecuación del círculo es (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

A medida que el círculo pasa por los puntos (4,1) y (6,5)

Entonces, cuando el círculo pasa por (4,1)

(4 - h) 2 + (1 - k) 2 = r 2 …………… .. (1)

Cuando pasa el círculo (6,5)

(6 - h) 2 + (5 - k) 2 = r 2 ……………… (2)



Dado que, el centro (h, k) del círculo se encuentra en la línea 4x + y = 16,

4h + k = 16 ………………… (3)

De la ecuación (1) y (2), obtenemos

(4 - h) 2 + (1 - k) 2 = (6 - h) 2 + (5 - k) 2

16 - 8h + h 2 +1 -2k + k 2 = 36-12h + h 2 +15 - 10k + k 2

16 - 8 h +1 -2k + 12h -25-10k

4 h + 8 km = 44

h + 2k = 11 ……………. (4)

Ahora multipliquemos la ecuación (3) por 2, y restándola con la ecuación (4), obtenemos

(h + 2k) & # 8211 2 (4h + k) = 11 & # 8211 32

h + 2k & # 8211 8h & # 8211 2k = -21

-7h = -21

h = 3

Sustituya este valor de h en la ecuación (4), obtenemos

3 + 2k = 11

2k = 11 y # 8211 3

2k = 8

k = 4

Obtenemos h = 3 y k = 4

Cuando sustituimos los valores de h y k en la ecuación (1), obtenemos

(4 - 3) 2 + (1 - 4) 2 = r 2

(1) 2 + (-3) 2 = r 2

1 + 9 = r 2

r = √10

Ahora, la ecuación del círculo es,

(x - 3) 2 + (y - 4) 2 = (√10) 2

x 2-6x + 9 + y 2-8y + 16 = 10

x 2 + y 2 - 6x - 8y + 15 = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 - 6x - 8y + 15 = 0

Pregunta 11: Encuentre la ecuación del círculo que pasa por los puntos (2, 3) y (–1, 1) y cuyo centro está en la recta x - 3y - 11 = 0.

La ecuación del círculo es (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

A medida que el círculo pasa por los puntos (2,3) y (-1,1)

Entonces, cuando el círculo pasa por (2,3)

(2 - h) 2 + (3 - k) 2 = r 2 …………… .. (1)

Cuando el círculo pasa por (-1,1)

(-1 - h) 2 + (1– k) 2 = r 2 ……………… (2)

Dado que, el centro (h, k) del círculo se encuentra en la línea x - 3y - 11 = 0,

h - 3k = 11 ………………… (3)

De la ecuación (1) y (2), obtenemos

(2 - h) 2 + (3 - k) 2 = (- 1 - h) 2 + (1 - k) 2

4 - 4h + h 2 +9 -6k + k 2 = 1 + 2h + h 2 +1 - 2k + k 2

4 - 4h +9 -6k = 1 + 2h + 1-2k

6h + 4k = 11 ……………. (4)

Ahora multipliquemos la ecuación (3) por 6, y restándola con la ecuación 4, obtenemos

6h + 4k - 6 (h-3k) = 11 - 66

6h + 4k - 6h + 18k = 11 - 66

22 k = - 55

k = -5/2

Sustituya este valor de k en la ecuación (4), obtenemos



6 h + 4 (-5/2) = 11

6h - 10 = 11

6h = 21

h = 21/6

h = 7/2

Obtenemos h = 7/2 y k = -5/2

Al sustituir los valores de h y k en la ecuación (1), obtenemos

(2 - 7/2) 2 + (3 + 5/2) 2 = r 2

[(4-7) / 2] 2 + [(6 + 5) / 2] 2 = r 2

(-3/2) 2 + (11/2) 2 = r 2

9/4 + 121/4 = r 2

130/4 = r 2

Ahora, la ecuación del círculo es,

(x - 7/2) 2 + (y + 5/2) 2 = 130/4

[(2x-7) / 2] 2 + [(2y + 5) / 2] 2 = 130/4

4 & # 2152-28x + 49 + 4y 2 + 20y + 25 = 130

4x 2 + 4y 2 -28x + 20y - 56 = 0

4 (x 2 + y 2-7x + 5y - 14) = 0

x 2 + y 2 - 7x + 5y - 14 = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 - 7x + 5y - 14 = 0

Pregunta 12: Encuentre la ecuación del círculo con radio 5 cuyo centro se encuentra en el eje xy pasa por el punto (2, 3).

La ecuación del círculo es (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Dado que el radio del círculo es 5 y su centro se encuentra en el eje x, k = 0 y r = 5.

Entonces, ahora, la ecuación del círculo es (x - h) 2 + y 2 = 25.

También dado que el círculo pasa por el punto (2, 3).

Por lo tanto,

(2 - h) 2 + 3 2 = 25

(2 - h) 2 = 25-9

(2 - h) 2 = 16

2 - h = ± √16 = ± 4

Si 2-h = 4, entonces h = -2

Si 2-h = -4, entonces h = 6

Ahora, cuando h = -2, la ecuación del círculo es

(x + 2) 2 + y 2 = 25

x 2 + 4x + 4 + y 2 = 25

x 2 + y 2 + 4x & # 8211 21 = 0

Ahora, cuando h = 6, la ecuación del círculo es

(x - 6) 2 + y 2 = 25

x 2 -12x + 36 + y 2 = 25

x 2 + y 2 -12x + 11 = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 - 4x + 21 = 0 y x 2 + y 2 -12x + 11 = 0

Pregunta 13: Encuentre la ecuación del círculo que pasa por (0,0) y hace intersecciones ayb en los ejes de coordenadas.

La ecuación del círculo es (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Cuando el círculo pasa por (0, 0), obtenemos,

(0 - h) 2 + (0 - k) 2 = r 2

h 2 + k 2 = r 2

La ecuación del círculo es (x - h) 2 + (y - k) 2 = h 2 + k 2.

Dado que el círculo intercepta los puntos ayb en los ejes de coordenadas.



Dado que, el círculo pasa por los puntos (a, 0) y (0, b).

Entonces las ecuaciones son,

(a - h) 2 + (0 - k) 2 = h 2 + k 2 …………… .. (1)

(0 - h) 2 + (b– k) 2 = h 2 + k 2 ……………… (2)

De la ecuación (1), obtenemos

a 2 - 2ah + h 2 + k 2 = h 2 + k 2

a 2 - 2ah = 0

a (a - 2h) = 0

a = 0 o (a -2h) = 0

Como, a ≠ 0 por tanto, (a -2h) = 0

h = a / 2

De la ecuación (2), obtenemos

h 2 - 2bk + k 2 + b 2 = h 2 + k 2

b 2 - 2bk = 0

b (b– 2k) = 0

b = 0 o (b-2k) = 0

Como, a ≠ 0 por tanto, (b -2k) = 0

k = b / 2

Ahora, sustituyendo el valor de h y k, obtenemos

(x - a / 2) 2 + (y - b / 4) 2 = (a / 2) 2 + (b / 2) 2

[(2x-a) / 2] 2 + [(2y + b) / 2] 2 = (a2 + b2) / 4

4x 2-4ax + a 2 + 4y 2-4by + b 2 = a 2 + b 2

4x 2 + 4y 2 -4ax - 4by = 0

4 (x 2 + y 2-7x + 5y - 14) = 0

x 2 + y 2 - ax - by = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 - ax - by = 0

Pregunta 14: Calcula la ecuación de un círculo con centro (2,2) y pasa por el punto (4,5).

Dado el centro del círculo como (h, k) = (2,2)

También dado que el círculo pasa por el punto (4,5),

el radio (r) del círculo es la distancia entre los puntos (2,2) y (4,5).

r = √ [(2-4) 2 + (2-5) 2]

= √[(-2) 2 + (-3) 2 ]

= √[4+9]

= √13

Ahora, la ecuación del círculo es

(x– h) 2 + (y - k) 2 = r 2

(x –h) 2 + (y - k) 2 = (√13) 2

(x –2) 2 + (y - 2) 2 = (√13) 2

x 2 - 4x + 4 + y 2 - 4y + 4 = 13

x 2 + y 2 - 4x - 4y = 5

Por lo tanto, la ecuación del círculo es x 2 + y 2 - 4x - 4y = 5

Pregunta 15: ¿El punto (–2,5, 3,5) se encuentra dentro, fuera o en el círculo x 2 + y 2 = 25?

Dada la ecuación del círculo es x 2 + y 2 = 25.

x 2 + y 2 = 25

(x - 0) 2 + (y - 0) 2 = 5 2

La ecuación tiene la forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, donde, h = 0, k = 0 y r = 5.

Ahora la distancia entre el punto (-2,5, 3,5) y el centro (0,0) es

= √[(-2.5 – 0) 2 + (-3.5 – 0) 2 ]

= √(6.25 + 12.25)

= √18.5

= 4,3 [que es & lt 5]

Dado que, la distancia entre el punto (-2,5, -3,5) y el centro (0, 0) del círculo es menor que el radio del círculo.

Por lo tanto, el punto (-2,5, -3,5) se encuentra dentro del círculo.


En cada uno de los siguientes ejercicios 1 a 6, encuentre las coordenadas del foco, el eje de la parábola, la ecuación de la directriz y la longitud del latus recto.

Ej 11.2 Clase 11 Matemáticas Pregunta 1.
y 2 = 12x
Solución:
La ecuación de parábola dada es y 2 = 12x, que tiene la forma y 2 = 4ax.
∴ 4a = 12 ⇒ a = 3
∴ Las coordenadas de enfoque son (3, 0)
El eje de la parábola es y = 0
La ecuación de la directriz es x = -3 ⇒ x + 3 = 0
Longitud del recto latus = 4 x 3 = 12.

Ej 11.2 Pregunta 2 de matemáticas de la clase 11.
x 2 = 6 años
Solución:
La ecuación de parábola dada es x 2 = 6y que tiene la forma x 2 = 4ay.

Ej 11.2 Pregunta 3 de matemáticas de la clase 11.
y 2 = & # 8211 8x
Solución:
La ecuación dada de la parábola es
y 2 = -8x, que tiene la forma y 2 = & # 8211 4ax.
∴ 4a = 8 ⇒ a = 2
∴ Las coordenadas de enfoque son (-2, 0)
El eje de la parábola es y = 0
La ecuación de la directriz es x = 2 ⇒ x & # 8211 2 = 0
Longitud del recto latus = 4 x 2 = 8.

Ej 11.2 Pregunta de matemáticas de clase 11 4.
x 2 = -16 años
Solución:
La ecuación dada de la parábola es
x 2 = -16y, que tiene la forma x 2 = -4ay.
∴ 4a = 16 ⇒ a = 4
∴ Las coordenadas de enfoque son (0, -4)
El eje de la parábola es x = 0
La ecuación de la directriz es y = 4 ⇒ y & # 8211 4 = 0
Longitud del recto latus = 4 x 4 = 16.

Consulta la calculadora de parábola para resolver la ecuación de parábola.

Ej 11.2 Clase 11 Pregunta de matemáticas 5.
y 2 = 10x
Solución:
La ecuación de parábola dada es y 2 = 10x, que tiene la forma y 2 = 4ax.

Ej 11.2 Pregunta 6 de matemáticas de la clase 11.
x 2 = -9 años
Solución:
La ecuación dada de la parábola es
x 2 = -9y, que tiene la forma x 2 = -4ay.

En cada uno de los Ejercicios del 7 al 12, encuentre la ecuación de la parábola que satisfaga las condiciones dadas:

Ej 11.2 Pregunta de matemáticas de clase 11 7.
Enfoque (6, 0) directriz x = -6
Solución:
Se nos da que el foco (6, 0) se encuentra en el eje x, por lo tanto, el eje x es el eje de la parábola. Además, la directriz es x = -6, es decir, x = -a y el foco (6, 0) es decir (a, 0). La ecuación de la parábola tiene la forma y 2 = 4ax.
La ecuación requerida de la parábola es
y 2 = 4 x 6x ⇒ y 2 = 24x.

Ej 11.2 Pregunta 8 de matemáticas de la clase 11.
Enfoque (0, -3) directri xy = 3
Solución:
Se nos da que el foco (0, -3) se encuentra en el eje y, por lo tanto, el eje y es el eje de la parábola. Además, la directriz es y = 3, es decir, y = a y el foco (0, -3) es decir (0, -a). La ecuación de la parábola tiene la forma x 2 = -4ay.
La ecuación requerida de la parábola es
x 2 = & # 8211 4 x 3y ⇒ x 2 = -12y.

Ej 11.2 Pregunta de matemáticas de clase 11 9.
Enfoque de vértice (0, 0) (3, 0)
Solución:
Dado que el vértice de la parábola está en (0, 0) y el foco está en (3, 0)
∴ y = 0 ⇒ El eje de la parábola está a lo largo del eje x
∴ La ecuación de la parábola tiene la forma y 2 = 4ax
La ecuación requerida de la parábola es
y 2 = 4 x 3x ⇒ y 2 = 12x.

Ej 11.2 Clase 11 Pregunta de matemáticas 10.
Enfoque de vértice (0, 0) (-2, 0)
Solución:
Dado que el vértice de la parábola está en (0, 0) y el foco está en (-2, 0).
∴ y = 0 ⇒ El eje de la parábola está a lo largo del eje x
∴ La ecuación de la parábola tiene la forma y 2 = & # 8211 4ax
La ecuación requerida de la parábola es
y 2 = & # 8211 4 x 2x ⇒ y 2 = -8x.

Ej 11.2 Pregunta 11 de matemáticas de la clase 11.
El vértice (0, 0), que pasa por (2, 3) y el eje está a lo largo del eje x.
Solución:
Dado que el vértice de la parábola está en (0, 0) y el eje está a lo largo del eje x.
∴ La ecuación de la parábola tiene la forma y 2 = 4ax
Dado que la parábola pasa por el punto (2, 3)

Ej 11.2 Clase 11 Pregunta de matemáticas 12.
Vértice (0, 0), que pasa por (5, 2) y simétrico con respecto al eje del juguete.
Solución:
Dado que el vértice de la parábola está en (0, 0) y es simétrico con respecto al eje y.
∴ La ecuación de la parábola tiene la forma x 2 = 4ay
Dado que la parábola pasa por el punto (5, 2)

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Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11 Capítulo 11 Ejercicio 11.3

Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11 Capítulo 11 Secciones cónicas Ej 11.3

Pregunta 1:

Respuesta:

Pregunta 2:

Respuesta:

Pregunta 3:

Respuesta:

Pregunta 4:

Respuesta:

Pregunta 5:

Respuesta:

Pregunta 6:

Respuesta:

Pregunta 7:

Respuesta:

Pregunta 8:

Respuesta:

Pregunta 9:

Respuesta:

Pregunta 10:

Respuesta:

Pregunta 11:

Respuesta:

Pregunta 12:

Respuesta:

Pregunta 13:

Respuesta:

Pregunta 14:

Respuesta:

Pregunta 15:

Respuesta:

Pregunta 16:

Respuesta:

Pregunta 17.

Respuesta:

Pregunta 18.

Respuesta:

Pregunta 19:

Respuesta:

Pregunta 20:

Respuesta:


Secciones cónicas - Ejercicio 11.1 - Clase XI

Se da que centro (h, k) = (0, 2) y radio (r) = 2.

Por tanto, la ecuación del círculo es

La ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio r se da como

Se da que el centro (h, k) = (–2, 3) y el radio (r) = 4.

Por tanto, la ecuación del círculo es

⟹ x 2 + 4x + 4 + y 2-6y + 9 = 16

La ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio r se da como

Se da que centro (h, k) = (1 /2, 1 /4) y radio (r) = (1 /12)

Por tanto, la ecuación del círculo es

144x 2 - 144x + 36 + 144y 2 - 72y + 44 = 0

36x 2 - 36x + 36y 2 - 18y + 11 = 0

36x 2 + 36y 2 - 36x - 18y + 11 = 0

La ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio r se da como

Se da que el centro (h, k) = (1, 1) y el radio (r) = √2.

Por tanto, la ecuación del círculo es

La ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio r se da como

Se da que centro (h, k) = (-a, -b) y radio (r) = √ (a 2 - b 2).

Por tanto, la ecuación del círculo es

(x + a) 2 + (y + b) 2 = (√ (a 2 - b 2)) 2

x 2 + 2ax + a 2 + y 2 + 2 por + b 2 = a 2 - b 2

x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0

La ecuación del círculo dado es (x + 5) 2 + (y - 3) 2 = 36.

2 + (y - 3) 2 = 6 2, que tiene la forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, donde h = - 5, k = 3 y r = 6.

Por lo tanto, el centro del círculo dado es (–5, 3), mientras que su radio es 6.

La ecuación del círculo dado es x 2 + y 2 - 4x - 8y - 45 = 0.

Cuál es de la forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, donde h = 2, k = 4 y como r 2 = 65, tenemos r = √65,

Por lo tanto, el centro del círculo dado es (2, 4), mientras que su radio es √65.

La ecuación del círculo dado es x 2 + y 2 - 8x + 10y - 12 = 0.

⟹ (x - 4) 2 + 2 = (√53) 2 que es de la forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, donde h = 4, k = - 5 y r = √53

Por lo tanto, el centro del círculo dado es (4, –5), mientras que su radio es √53.

La ecuación del círculo dado es 2x 2 + 2y 2 - x = 0.

que es de la forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, donde h = 1/4, k = 0 y r = 1/4.

Por lo tanto, el centro del círculo dado es (1/4, 0), mientras que su radio es 1/4.

  1. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por los puntos (4, 1) y (6, 5) y cuyo centro está en la recta 4x + y = 16.

Sea la ecuación del círculo requerido (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2.

Dado que el círculo pasa por los puntos (4, 1) y (6, 5),

Dado que el centro (h, k) del círculo se encuentra en la línea 4x + y = 16,

De las ecuaciones (1) y (2), obtenemos

(4 - h) 2 + (1 - k) 2 = (6 - h) 2 + (5 - k) 2

⇒ 16 - 8 h + h 2 + 1 - 2 k + k 2 = 36 - 12 h + h 2 + 25 - 10 k + k 2

⇒ 16 - 8 h + 1 - 2 k = 36 - 12 h + 25 - 10 k

Al resolver las ecuaciones (3) y (4), obtenemos h = 3 y k = 4.

Al sustituir los valores de h y k en la ecuación (1), obtenemos (4 - 3) 2 + (1 - 4) 2 = r 2

Por lo tanto, la ecuación del círculo requerido es

x 2-6x + 9 + y 2-8y + 16 = 10

  1. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por los puntos (2, 3) y (–1, 1) y cuyo centro está en la recta x - 3y - 11 = 0.

Sea la ecuación del círculo requerido (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2.

Dado que el círculo pasa por los puntos (2, 3) y (–1, 1),

Dado que el centro (h, k) del círculo se encuentra en la línea x - 3y - 11 = 0,

De las ecuaciones (1) y (2), obtenemos

(2 - h) 2 + (3 - k) 2 = (–1 - h) 2 + (1 - k) 2

⇒ 4 - 4 h + h 2 + 9 - 6 k + k 2 = 1 + 2 h + h 2 + 1 - 2 k + k 2

⇒ 4 - 4 h + 9 - 6 k = 1 + 2 h + 1 - 2 k

Al resolver las ecuaciones (3) y (4), obtenemos h = 7 /2 y k = - 5 /2

Al sustituir los valores de h y k en la ecuación (1), obtenemos

Por tanto, la ecuación del círculo requerido es

4x 2 - 28x + 49 + 4y 2 + 20y + 25 = 130

4x 2 + 4y 2 - 28x + 20y - 56 = 0

  1. Encuentre la ecuación del círculo con radio 5 cuyo centro se encuentra en el eje x y pasa por el punto (2, 3).

Sea la ecuación del círculo requerido (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2.

Dado que el radio del círculo es 5 y su centro se encuentra en el eje x, k = 0 y r = 5.

Ahora, la ecuación del círculo se convierte en (x - h) 2 + y 2 = 25.

Se da que el círculo pasa por el punto (2, 3).

cuando h = -2 la ecuación del círculo se convierte en

Cuando h = 6 la ecuación del círculo se convierte en

  1. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por (0, 0) y hace intersecciones ayb en los ejes de coordenadas.

Sea la ecuación del círculo requerido (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2.

Dado que el centro del círculo pasa por (0, 0),

La ecuación del círculo ahora se convierte en (x - h) 2 + (y- k) 2 = h 2 + k 2

Se da que el círculo hace intersecciones ayb en los ejes de coordenadas. Esto significa que el círculo pasa por los puntos (a, 0) y (0, b). Por lo tanto,

De la ecuación (1), obtenemos a 2 - 2ah + h 2 + k 2 = h 2 + k 2

Sin embargo, a ≠ 0, por lo tanto, (a - 2h) = 0 ⇒ h = a / 2.

De la ecuación (2), obtenemos h 2 + b 2 - 2bk + k 2 = h 2 + k 2

Sin embargo, b ≠ 0 por lo tanto, (b - 2k) = 0 ⇒ k = b / 2.

Por lo tanto, la ecuación del círculo requerido es

4x 2-4ax + a 2 + 4y 2-4by + b 2 = a 2 + b 2

  1. Encuentra la ecuación de un círculo con centro (2, 2) y pasa por el punto (4, 5) .

El centro del círculo se da como (h, k) = (2, 2).

Dado que el círculo pasa por el punto (4, 5), el radio (r) del círculo es la distancia entre los puntos (2, 2) y (4, 5).

r = √ [(2-4) 2 + (2-5) 2] = √ [(2) 2 + (3) 2] = √ (4 + 9) = √13

Por tanto, la ecuación del círculo es

La ecuación del círculo dado es x 2 + y 2 = 25.

⇒ (x - 0) 2 + (y - 0) 2 = 5 2, que tiene la forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, donde h = 0, k = 0, y r = 5.

∴ Centro = (0, 0) y radio = 5

Distancia entre el punto (–2,5, 3,5) y el centro (0, 0)

Dado que la distancia entre el punto (–2,5, 3,5) y el centro (0, 0) del círculo es menor que el radio del círculo, el punto (–2,5, 3,5) se encuentra dentro del círculo.


Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11 Capítulo 11 Secciones cónicas Ejercicio 11.1

Soluciones NCERT del Capítulo 11 Secciones cónicas Ejercicio 11.1 se proporciona aquí que le ayudará a resolver preguntas difíciles fácilmente y completar su tarea en poco tiempo. Las soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11 están preparadas por expertos de Studyrankers que son detalladas y correctas para que pueda mejorar su puntaje en los exámenes.

Aquí h = & # 82112, k = 3 y r = 4. Por lo tanto, la ecuación requerida del círculo es
[x & # 8211 (& # 82112)] 2 + (y & # 8211 3) 2 = (4) 2
o (x + 2) 2 + (y & # 8211 3) 2 = 16
o x 2 + 4x + 4 + y 2 & # 8211 6y + 9 = 16.

3. Encuentra la ecuación del círculo con centro (1/2, 1/4) y radio 1/12.

La ecuación del círculo es
(x & # 8211 1/2) 2 + (y & # 8211 1/4) 2 = 1/12 2 = 1/144
= & gt x 2 + y 2 & # 8211 x & # 8211 y / 2 + 1/4 + 1/16 = 1/144
= & gt 36x 2 + 36y 2 & # 8211 36x & # 8211 18y + 11 = 0.

4. Encuentre la ecuación del círculo con centro (1, 1) y radio & # 87302.

El centro del círculo es (1, 1), radio = & # 87302
La ecuación del círculo es
(x & # 8211 1) 2 + (y & # 8211 1) 2 = (& # 87302) 2 = 2
o x 2 + y 2 & # 8211 2x & # 8211 2y + 2 = 2
o x 2 + y 2 & # 8211 2x & # 8211 2y = 0.

5. Encuentre la ecuación del círculo con centro (& # 8211a, & # 8211b) y radio & # 8730a 2 + b 2

El centro del círculo es (& # 8211a, & # 8211b), radio = & # 8730a2 + b2
& # 8756 La ecuación del círculo es
(x + a) 2 + (y + b) 2 = a 2 – b 2
Or x 2 + y 2 + 2xa + 2yb + a 2 + b 2 = a 2 – b 2
Or x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0.

6. Find the centre and radius of the circle.
(x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36

Comparing the equation of the circle
(x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36
with (x – h) 2 + (y – k) 2 = 2
∴ –h = 5 or h = 𔃃, k = 3, r 2 = 36, r = 6
∴ Centre of the circle is (𔃃, 3) and radius = 6

7. Find the centre and radius of the circle.
x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0

The given equation is
x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0
or (x 2 – 4x) + (y 2 – 5y) = 45
Now completing the squares with in the parenthesis, we get
(x 2 – 4x + 4) + (y 2 – 8y + 16) = 4 + 16 + 45
or (x – 2) 2 + (y – 4) 2 = 65
Therefore, the given circle has centre at (2, 4) and radius 󕉩.

8. Find the centre and radius of the circle.
x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0.

The given equation is
x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0
or (x 2 – 8x) + (y 2 + 10) = 12
or (x 2 – 8x + 16) + (y 2 + 10y + 25) = 12 + 16 + 25
or (x – 4) 2 + (y + 5) 2 = 53
Therefore, the given circle has centre at (4, 𔃃) and radius 󕉝.

9. Find the centre and radius of the given circle
2x 2 + 2y 2 – x = 0.

Equation of circle is 2x 2 + 2y 2 – x = 0
=> x 2 + y 2 – x/2 = 0 => (x 2 – x/2) + y 2 = 0
=> (x 2 – x/ 2 + 1/16) + y 2 = 1/16
=> (x – 1/4) 2 + y 2 = 1/16
Centre is (1/4 , 0)and radius is 1.

10. Find the equation of the circle passing through the points (4, 1) and (6, 5) and whose centre is on the line 4x + y = 16.

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
The points (4, 1) and (6, 5) lies on it
∴ (4 – h) 2 + (1 – k) 2 = r 2
=> h 2 + k 2 – 8h – 2k + 17 = r 2 …..(ii)
and (6 – h) 2 + (5 – k) 2 = r 2 …..(iii)
The centre (h, k) lies on
4x + y = 16
4h + k = 16 … (iv)
Subtracting (iii) from (ii),
∴ 4h + 8k – 44 = 0 Þh + 2k = 11 … (v)
Multiplying (v) by 4, 4h + 8k = 44
Subtracting eqn (iv) from it
7k = 44 – 16 = 28 ∴ k = 4
From (v) h + 8 = 11 ∴ h = 3
Putting h = 3, k = 4 in (ii)
9 + 16 – 24 – 8 + 17 = r 2
=> 42 – 32 = r 2
∴ r 2 = 10
∴ Equation of the circle is
(x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 10
=> x 2 + y 2 – 6x – 8y + 15 = 0

11. Find the equation of the circle passing through the points (2, 3) and (𔂿, 1) and whose centre is on the line x – 3y – 11 = 0.

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
Since, the points (2, 3) and (𔂿, 1) lies on it.
∴ (2 – h) 2 + (3 – k) 2 = r 2
h 2 + k 2 – 4h – 6k + 13 = r 2 … (ii)
Centre (h, k) lies on x – 3y – 11 = 0
h – 3k – 11 = 0 … (iii)
Subtracting (ii) from (i) 6h + 4 k – 11 = 0 … (iv)
Multiply eqn (iii) by 6 6h – 18 k – 66 = 0 … (v)
Subtracting (v) from (iv) 22k + 55 = 0
∴ k = -(55/22) = -(5/2)
from (iii) h = 3k + 11 = -(15/2) + 11 = 7/2
Put the value of h and k in (2 – h) 2 + (3 – k) 2 = r 2
(2 – 7/2) 2 + (3 + 5/2) 2 = r 2
=> r 2 = 9/4 + 121/4 130/4 = 65/2
∴ Equation of the circle
(x – 7/2) 2 + (y + 5/2) 2 = 65/2
=> x 2 + y 2 – 7x + 5y + 49/4 + 25/4 – 65/2 = 0
=> x 2 + y 2 – 7x + 5y – 14 = 0

12. Find the equation of the circle with radius 5 whose centre lies on x-axis and passes through the point (2, 3).

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
r = 5 ∴ r 2 = 25
Centre lies on x -axis is k = 0
Equation (i) becomes (x – h) 2 + y 2 = 25 (2, 3) lies on it
∴ (2 – h) 2 + 9 = 25 => (2 – h) 2 = 16,
∴ 2 – h = ۮ => h = 𔃀, 6
When h = 𔃀, equation of circle
(x + 2) 2 + y 2 = 25
=> x 2 + y 2 + 4x – 21 = 0
When h = 6, (x – 6) 2 + y 2 = 25,
x 2 + y 2 – 12x + 11 = 0
Thus, required circles are x 2 + y 2 + 4x – 21 = 0
and x 2 + y 2 – 12x + 11 = 0

13. Find the equation of the circle passing through (0, 0) and making intercepts a and b on the coordinate axes.

a, b are the intercepts made by the circle on the co-ordinate axes at A and B, C the mid point of AB is the centre of the circle
∴ centre (a/2 , b/2)
radius = OC =
=
∴ Equation of the circle is
(x – a/2) 2 + (y – b/2) 2 =

x 2 + y 2 – ax – by + a 2 /4 + b 2 /4 = (a 2 + b 2 )4
=> x 2 + y 2 – ax – by = 0

14. Find the equation of a circle with centre (2, 2) and passes through the point (4, 5).

Let the centre of the circle C(2, 2), and P(4, 5) is a point on the circle
∴ radius CP = √(4 - 2)2 + (5 - 2)2
= √4 + 9 = √13
∴ Equation of the circle is
(x – 2) 2 + (y – 2) 2 = 13
=> x 2 + y 2 – 4x – 4y = 5

15. Does the point (𔃀.5, 3.5) lie inside, outside or on the circle x 2 + y 2 = 25?


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