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5.15: Propiedades conmutativas y asociativas (Parte 2) - Matemáticas

5.15: Propiedades conmutativas y asociativas (Parte 2) - Matemáticas


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Simplificar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas

Cuando tenemos que simplificar expresiones algebraicas, a menudo podemos facilitar el trabajo aplicando primero la propiedad conmutativa o asociativa en lugar de seguir automáticamente el orden de las operaciones. Observe que en el ejemplo 7.2.4 la parte (b) fue más fácil de simplificar que la parte (a) porque los opuestos estaban uno al lado del otro y su suma es 0. Asimismo, la parte (b) en el ejemplo 7.2.5 fue más fácil, con la recíprocos agrupados, porque su producto es 1. En los siguientes ejemplos, usaremos nuestro sentido numérico para buscar formas de aplicar estas propiedades para facilitar nuestro trabajo.

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Simplifica: −84n + (−73n) + 84n.

Solución

Observe que el primer y tercer término son opuestos, por lo que podemos usar la propiedad conmutativa de la suma para reordenar los términos.

Reordene los términos.−84n + 84n + (−73n)
Suma de izquierda a derecha.0 + (−73n)
Agregar.−73n

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

Simplifica: −27a + (−48a) + 27a.

Respuesta

(- 48a )

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

Simplifica: 39x + (−92x) + (−39x).

Respuesta

(- 92x )

Ahora veremos cómo es útil reconocer los recíprocos. Antes de multiplicar de izquierda a derecha, busque recíprocos: su producto es 1.

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Simplifique: ( dfrac {7} {15} cdot dfrac {8} {23} cdot dfrac {15} {7} ).

Solución

Observe que el primer y tercer término son recíprocos, por lo que podemos usar la propiedad conmutativa de la multiplicación para reordenar los factores.

Reordene los términos.$$ dfrac {7} {15} cdot dfrac {15} {7} cdot dfrac {8} {23} $$
Multiplica de izquierda a derecha.$$ 1 cdot dfrac {8} {23} $$
Multiplicar.$$ dfrac {8} {23} $$

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

Simplifique: ( dfrac {9} {16} cdot dfrac {5} {49} cdot dfrac {16} {9} ).

Respuesta

( frac {5} {49} )

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

Simplifique: ( dfrac {6} {17} cdot dfrac {11} {25} cdot dfrac {17} {6} ).

Respuesta

( frac {11} {25} )

En expresiones en las que necesitemos sumar o restar tres o más fracciones, primero combine aquellas con un denominador común.

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

Simplifica: ( left ( dfrac {5} {13} + dfrac {3} {4} right) + dfrac {1} {4} ).

Solución

Observe que el segundo y tercer términos tienen un denominador común, por lo que este trabajo será más fácil si cambiamos la agrupación.

Agrupa los términos con un denominador común.$$ dfrac {5} {13} + left ( dfrac {3} {4} + dfrac {1} {4} right) $$
Primero agregue los paréntesis.$$ dfrac {5} {13} + left ( dfrac {4} {4} right) $$
Simplifica la fracción.$$ dfrac {5} {13} + 1 $$
Agregar.$$ 1 dfrac {5} {13} $$
Convierte a una fracción impropia.$$ dfrac {18} {13} $$

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

Simplifica: ( left ( dfrac {7} {15} + dfrac {5} {8} right) + dfrac {3} {8} ).

Respuesta

( frac {22} {15} )

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

Simplifica: ( left ( dfrac {2} {9} + dfrac {7} {12} right) + dfrac {5} {12} ).

Respuesta

( frac {11} {9} )

Al sumar y restar tres o más términos que involucren decimales, busque términos que se combinen para dar números enteros.

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

Simplificar: (6.47q + 9.99q) + 1.01q.

Solución

Observe que la suma del segundo y tercer coeficientes es un número entero.

Cambie la agrupación.6.47q + (9.99q + 1.01q)
Primero agregue los paréntesis.6.47q + (11.00q)
Agregar.17.47q

Mucha gente tiene buen sentido numérico cuando se trata de dinero. Piense en agregar 99 centavos y 1 centavo. ¿Ves cómo se aplica esto a sumar 9,99 + 1,01?

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

Simplifica: (5.58c + 8.75c) + 1.25c.

Respuesta

(15,58c )

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

Simplifica: (8.79d + ​​3.55d) + 5.45d.

Respuesta

(17,79d )

No importa lo que esté haciendo, siempre es una buena idea pensar en el futuro. Al simplificar una expresión, piense cuáles serán sus pasos. El siguiente ejemplo le mostrará cómo el uso de la propiedad asociativa de la multiplicación puede facilitar su trabajo si planifica con anticipación.

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

Simplifique la expresión: [1.67 (8)] (0.25).

Solución

Observe que multiplicar (8) (0,25) es más fácil que multiplicar 1,67 (8) porque da un número entero. (Piense en tener 8 monedas de veinticinco centavos, eso hace $ 2).

Reagruparse.1.67[(8)(0.25)]
Multiplica primero entre paréntesis.1.67[2]
Multiplicar.3.34

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

Simplifica: [1,17 (4)] (2,25).

Respuesta

(10.53)

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

Simplifica: [3,52 (8)] (2,5).

Respuesta

(70.4)

Al simplificar expresiones que contienen variables, podemos usar las propiedades conmutativas y asociativas para reordenar o reagrupar términos, como se muestra en el siguiente par de ejemplos.

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

Simplifica: 6 (9x).

Solución

Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para reagrupar.(6 • 9) x
Multiplica entre paréntesis.54x

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

Simplifica: 8 (3y).

Respuesta

(24 años )

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

Simplifica: 12 (5z).

Respuesta

(60z )

En El lenguaje del álgebra, aprendimos a combinar términos semejantes reorganizando una expresión para que los términos semejantes estuvieran juntos. Simplificamos la expresión 3x + 7 + 4x + 5 reescribiéndola como 3x + 4x + 7 + 5 y luego la simplificamos a 7x + 12. Estábamos usando la propiedad conmutativa de la suma.

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

Simplifica: 18p + 6q + (−15p) + 5q.

Solución

Utilice la propiedad conmutativa de la suma para reordenar de modo que los términos semejantes estén juntos.

Reordenar términos.18p + (−15p) + 6q + 5q
Combina términos semejantes.3p + 11q

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

Simplifica: 23r + 14s + 9r + (−15s).

Respuesta

(32r-s )

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

Simplifica: 37m + 21n + 4m + (−15n).

Respuesta

(41m + 6n )

La práctica hace la perfección

Utilice las propiedades conmutativas y asociativas

En los siguientes ejercicios, use las propiedades conmutativas para reescribir la expresión dada.

  1. 8 + 9 = ___
  2. 7 + 6 = ___
  3. 8(−12) = ___
  4. 7(−13) = ___
  5. (−19)(−14) = ___
  6. (−12)(−18) = ___
  7. −11 + 8 = ___
  8. −15 + 7 = ___
  9. x + 4 = ___
  10. y + 1 = ___
  11. −2a = ___
  12. −3m = ___

En los siguientes ejercicios, use las propiedades asociativas para reescribir la expresión dada.

  1. (11 + 9) + 14 = ___
  2. (21 + 14) + 9 = ___
  3. (12 · 5) • 7 = ___
  4. (14 · 6) • 9 = ___
  5. (−7 + 9) + 8 = ___
  6. (−2 + 6) + 7 = ___
  7. ( left (16 cdot dfrac {4} {5} right) • 15 = ___
  8. ( left (13 cdot dfrac {2} {3} right) • 18 = ___
  9. 3 (4x) = ___
  10. 4 (7x) = ___
  11. (12 + x) + 28 = ___
  12. (17 + años) + 33 = ___

Evaluar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas

En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión para el valor dado.

  1. Si y = ( dfrac {5} {8} ), evalúe:
    1. y + 0.49 + (- y)
    2. y + (- y) + 0.49
  2. Si z = ( dfrac {7} {8} ), evalúe:
    1. z + 0,97 + (- z)
    2. z + (- z) + 0,97
  3. Si c = (- dfrac {11} {4} ), evalúe:
    1. c + 3,125 + (- c)
    2. c + (- c) + 3,125
  4. Si d = (- dfrac {9} {4} ), evalúe:
    1. d + 2,375 + (- d)
    2. d + (- d) + 2,375
  5. Si j = 11, evalúe:
    1. ( dfrac {5} {6} left ( dfrac {6} {5} j right) )
    2. ( left ( dfrac {5} {6} cdot dfrac {6} {5} right) j )
  6. Si k = 21, evalúe:
    1. ( dfrac {4} {13} left ( dfrac {13} {4} k right) )
    2. ( left ( dfrac {4} {13} cdot dfrac {13} {4} right) k )
  7. Si m = −25, evalúe:
    1. (- dfrac {3} {7} left ( dfrac {7} {3} m right) )
    2. ( izquierda (- dfrac {3} {7} cdot dfrac {7} {3} derecha) m )
  8. Si n = −8, evalúe:
    1. (- dfrac {5} {21} left ( dfrac {21} {5} n right) )
    2. ( izquierda (- dfrac {5} {21} cdot dfrac {21} {5} derecha) n )

Simplificar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas

En los siguientes ejercicios, simplifique.

  1. −45a + 15 + 45a
  2. 9 años + 23 + (−9 años)
  3. ( dfrac {1} {2} + dfrac {7} {8} + left (- dfrac {1} {2} right) )
  4. ( dfrac {2} {5} + dfrac {5} {12} + left (- dfrac {2} {5} right) )
  5. ( dfrac {3} {20} cdot dfrac {49} {11} cdot dfrac {20} {3} )
  6. ( dfrac {13} {18} cdot dfrac {25} {7} cdot dfrac {18} {13} )
  7. ( dfrac {7} {12} cdot dfrac {9} {17} cdot dfrac {24} {7} )
  8. ( dfrac {3} {10} cdot dfrac {13} {23} cdot dfrac {50} {3} )
  9. −24 • 7 • ( dfrac {3} {8} )
  10. −36 • 11 • ( dfrac {4} {9} )
  11. ( left ( dfrac {5} {6} + dfrac {8} {15} right) + dfrac {7} {15} )
  12. ( left ( dfrac {1} {12} + dfrac {4} {9} right) + dfrac {5} {9} )
  13. ( dfrac {5} {13} + dfrac {3} {4} + dfrac {1} {4} )
  14. ( dfrac {8} {15} + dfrac {5} {7} + dfrac {2} {7} )
  15. (4,33p + 1,09p) + 3,91p
  16. (5.89d + 2.75d) + 1.25d
  17. 17(0.25)(4)
  18. 36(0.2)(5)
  19. [2.48(12)](0.5)
  20. [9.731(4)](0.75)
  21. 7 (4a)
  22. 9 (8w)
  23. −15 (5 m)
  24. −23 (2n)
  25. 12 ( izquierda ( dfrac {5} {6} p derecha) )
  26. 20 ( izquierda ( dfrac {3} {5} q derecha) )
  27. 14x + 19 años + 25x + 3 años
  28. 15u + 11v + 27u + 19v
  29. 43 m + (−12n) + (−16 m) + (−9n)
  30. −22p + 17q + (−35p) + (−27q)
  31. ( dfrac {3} {8} g + dfrac {1} {12} h + dfrac {7} {8} g + dfrac {5} {12} h )
  32. ( dfrac {5} {6} a + dfrac {3} {10} b + dfrac {1} {6} a + dfrac {9} {10} b )
  33. 6,8p + 9,14q + (−4,37p) + (−0,88q)
  34. 9,6 m + 7,22 n + (−2,19 m) + (−0,65n)

Matemáticas cotidianas

  1. Sellos Allie y Loren necesitan comprar sellos. Allie necesita cuatro sellos de $ 0.49 y nueve sellos de $ 0.02. Loren necesita ocho sellos de $ 0.49 y tres sellos de $ 0.02.
    1. ¿Cuánto costarán los sellos de Allie?
    2. ¿Cuánto costarán las estampillas de Loren?
    3. ¿Cuál es el costo total de los sellos de las niñas?
    4. ¿Cuántos sellos de $ 0.49 necesitan las niñas en total? ¿Cuánto costarán?
    5. ¿Cuántos sellos de $ 0.02 necesitan las niñas en total? ¿Cuánto costarán?
  2. Counting Cash Grant es el total del dinero en efectivo de una cena de recaudación de fondos. En un sobre, tiene veintitrés billetes de $ 5, dieciocho billetes de $ 10 y treinta y cuatro billetes de $ 20. En otro sobre, tiene catorce billetes de $ 5, nueve billetes de $ 10 y veintisiete billetes de $ 20.
    1. ¿Cuánto dinero hay en el primer sobre?
    2. ¿Cuánto dinero hay en el segundo sobre?
    3. ¿Cuál es el valor total de todo el efectivo?
    4. ¿Cuál es el valor de todos los billetes de $ 5?
    5. ¿Cuál es el valor de todos los billetes de $ 10?
    6. ¿Cuál es el valor de todos los billetes de $ 20?

Ejercicios de escritura

  1. En sus propias palabras, establezca la propiedad conmutativa de la suma y explique por qué es útil.
  2. En sus propias palabras, indique la propiedad asociativa de la multiplicación y explique por qué es útil.

Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?


Utilice las propiedades conmutativas y asociativas

Piense en sumar dos números, digamos 5 y 3. El orden en que los sumamos no afecta el resultado, ¿verdad?

Como podemos ver, ¡el orden en el que agreguemos no importa!

Que hay de multiplicar

Una vez más, ¡los resultados son los mismos!

¡El orden en el que nos multiplicamos no importa!

Estos ejemplos ilustran la propiedad conmutativa. Al sumar o multiplicar, cambiar el orden da el mismo resultado.

Al sumar o multiplicar, cambiar el orden da el mismo resultado.

La propiedad conmutativa tiene que ver con el orden. Si cambia el orden de los números al sumar o multiplicar, el resultado es el mismo.

¿Qué pasa con la resta? ¿Importa el orden cuando restamos números? Lo hace dar el mismo resultado que

Los resultados no son los mismos.

Dado que cambiar el orden de la resta no dio el mismo resultado, sabemos que la resta no es conmutativa.

Veamos qué sucede cuando dividimos dos números. ¿La división es conmutativa?

Los resultados no son los mismos.

Dado que cambiar el orden de la división no dio el mismo resultado, la división no es conmutativa. ¡Las propiedades conmutativas solo se aplican a la suma y la multiplicación!

  • Suma y multiplicación son conmutativo.
  • Resta y división no son conmutativo.

Si se le pidiera que simplificara esta expresión, ¿cómo lo haría y cuál sería su respuesta?

Algunas personas pensarían y luego . Otros pueden comenzar con y luego .

De cualquier manera da el mismo resultado. Recuerde, usamos paréntesis como símbolos de agrupación para indicar qué operación debe realizarse primero.

Agregar .
Agregar.
Agregar .
Agregar.

Al sumar tres números, cambiar la agrupación de los números da el mismo resultado.

Esto también es cierto para la multiplicación.

Multiplicar.
Multiplicar.
Multiplicar. .
Multiplicar.

Al multiplicar tres números, cambiar la agrupación de los números da el mismo resultado.

Probablemente sepa esto, pero la terminología puede ser nueva para usted. Estos ejemplos ilustran la propiedad asociativa.

Al sumar o multiplicar, cambiar el agrupamiento da el mismo resultado.

Pensemos de nuevo en multiplicar . Obtuvimos el mismo resultado en ambos sentidos, pero ¿cuál fue más fácil? Multiplicar y primero, como se muestra arriba en el lado derecho, elimina la fracción en el primer paso. ¡Usar la propiedad asociativa puede facilitar las matemáticas!

La propiedad asociativa tiene que ver con la agrupación. Si cambiamos la forma en que se agrupan los números, el resultado será el mismo. Observe que son los mismos tres números en el mismo orden; la única diferencia es la agrupación.

Vimos que la resta y la división no eran conmutativas. Tampoco son asociativos.

Al simplificar una expresión, siempre es una buena idea planificar cuáles serán los pasos. Para combinar términos semejantes en el siguiente ejemplo, usaremos la propiedad conmutativa de la suma para escribir los términos semejantes juntos.

Simplificar: .

Utilice la propiedad conmutativa de la suma para reordenar de modo que los términos semejantes estén juntos.
Agregue términos similares.

Simplificar: .

Simplificar: .

Cuando tenemos que simplificar la expresión algebraica s, a menudo podemos facilitar el trabajo aplicando primero la propiedad conmutativa o asociativa, en lugar de seguir automáticamente el orden de las operaciones. Al sumar o restar fracciones, primero combine las que tengan un denominador común.

Simplificar: .

Observe que los 2 últimos términos tienen un denominador común, así que cambie la agrupación.
Agregue primero los paréntesis.
Simplifica la fracción.
Agregar.
Convierte a una fracción impropia.

Simplificar: .

Simplificar: .

Usa la propiedad asociativa para simplificar .

Cambie la agrupación.
Multiplica entre paréntesis.

Note que podemos multiplicar pero no pudimos multiplicar 3X sin tener un valor para X.

Utilice la propiedad asociativa para simplificar 8 (4X).

Usa la propiedad asociativa para simplificar .


Una encuesta sobre t-normas y pseudo-t-normas continuas a la izquierda

Rotaciones de uninorms

Un examen más detenido del teorema 5.5.1 muestra que no todas las uniformes son adecuadas para desempeñar el papel de METRO . De hecho, las uninormas que se pueden rotar con éxito (es decir, que dan como resultado una operación asociativa) son precisamente aquellas para las que la norma t subyacente satisface la condición (C1) o la condición (C2).

5.5.9 Teorema

Considere una negación fuerte N con un punto fijo único t y una U uninorme continua a la izquierda que satisface cualquiera de las condiciones (C1) o (C2) de Teorema 5.5.1 . Denote su elemento neutro por e. Dejarte1 ser la transformación lineal de U en [t, 1] y denotar la imagen de e bajo esta transformación lineal por e *. Entonces sostiene que: (I)

La rotación Uputrefacción es un uniforme con elemento neutro e *.

5.5.10 Ejemplo

Considerar norte(X) = 1 − X. El operador “Tres Pi” definido por x y x y + 1 - x 1 - y y su rotación se presentan en la Figura 5.10.

Figura 5.10. "Three Pi" (izquierda) y su rotación (derecha), consulte el Ejemplo 5.5.10

5.5.11 Ejemplo

Considerar norte(X) = 1 − X. El idempotente uninorme [8]

y su rotación se muestran en la Figura 5.11.

Figura 5.11. U (izquierda) y su rotación (derecha), consulte el Ejemplo 5.5.11

5.5.12 Observación

La construcción de rotación no se puede generalizar al caso no conmutativo.


5.15: Propiedades conmutativas y asociativas (Parte 2) - Matemáticas

Estas Tarjetas de tareas de propiedad asociativa de multiplicación también incluyen las claves de respuestas, que puede laminar y dejar en el centro para permitir que sean hojas de autoverificación dirigidas por los estudiantes. En las lecciones de grupos pequeños, puede dar a cada estudiante de tres a cuatro tarjetas y ellos pueden ayudarse entre sí y revisar la habilidad Propiedad asociativa de la multiplicación al verificar las respuestas que respondió su compañero o vecino, ¡manteniendo a todos involucrados! ¡Mantenga a sus estudiantes comprometidos, alerta y alerta con este pequeño y lindo recurso de tarjetas de tareas de propiedad asociativa de multiplicación!

  • Grupos de remediación y RTI
  • Carpetas de maestros sustitutos
  • ¡Juego de Scoot! ¡Mantenlos a todos en movimiento!
  • Estaciones de trabajo de matemáticas
  • Receso interior
  • Leer el juego de la habitación
  • Trabajo de la mañana
  • Subbañeras de emergencia
  • Cubos de matemáticas matutinas
  • Centros de matemáticas
  • Estudiantes de madrugada
  • Tutoría después de la escuela
  • Noches de matemáticas para padres
  • ¡Y mucho más!

El recurso completo también se incluye en blanco y negro para ahorrarle el costo de la tinta de color.
Imprímalos en papel de colores o cartulina de colores para obtener un poco de color y alegría en su centro de matemáticas.
Propiedades asociativas de las tarjetas de tareas de multiplicación

6.2.2 Propiedades y expresiones equivalentes de amp

Aplicar las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas y el orden de las operaciones para generar expresiones equivalentes y resolver problemas con números racionales positivos.

Otro ejemplo: Use la ley distributiva para escribir: $ frac <1> <2> + frac <1> <3> left ( frac <9> <2> - frac <15> <8> right) = frac <1> <2> + frac <1> <3> veces frac <9> <2> - frac <1> <3> veces frac <15> <8> = frac < 1> <2> + frac <3> <2> - frac <5> <8> = 2- frac <5> <8> = 1 frac <3> <8> $.

Visión general

Estándar 6.2.2 Comprensiónes esenciales

Los estudiantes en este nivel comienzan a desarrollar la capacidad de generalizar relaciones numéricas y expresar ideas matemáticas de manera concisa usando expresiones y ecuaciones (por ejemplo, tres más que un número como X + 3, duplicando como 2norte, conmutatividad como a + b = b + a). Los modelos concretos y las representaciones pictóricas de expresiones algebraicas se utilizan para desarrollar la comprensión de que las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas y el orden de las operaciones se aplican de la misma manera que lo hicieron para las expresiones numéricas. Los estudiantes usan estas propiedades y el orden de las operaciones para generar expresiones equivalentes y evaluar expresiones que involucran números racionales positivos.

Todos los puntos de referencia estándar

6.2.2.1 Aplicar las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas y el orden de las operaciones para generar expresiones equivalentes y resolver problemas que involucran números racionales positivos.

Grupo de referencia A

6.2.2.1 Aplicar las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas y el orden de las operaciones para generar expresiones equivalentes y resolver problemas que involucran números racionales positivos.

Lo que los estudiantes deben saber y poder hacer [a un nivel de dominio] relacionado con este punto de referencia:

  • Entender que las expresiones algebraicas se comportan de la misma manera que las expresiones numéricas.
  • Aplicar el orden de las operaciones para generar expresiones numéricas equivalentes que involucren números racionales.
    Ejemplos:
    $12.6-(5.1+4.2)=12.6-9.3=3.3$
  • Aplicar propiedades conmutativas, asociativas y distributivas para generar expresiones equivalentes.
    Ejemplos:
    $ 9 times 52 = 9 times (50 + 2) = (9 times 50) + (9 times 2) = 450 + 18 = 468 $
    $ 12x + 2x = 2x + 12x = 14x $
    $ 5x cdot 3 = 3 (5x) = 15x $
    $ (x + 2) cdot 5 = 5 (x + 2) = 5x + 10 $
  • Identificar propiedades conmutativas, asociativas y distributivas utilizadas para generar expresiones numéricas y algebraicas equivalentes.
    Ejemplos:
    $ 3 cdot (x + 5) = (x + 5) cdot 3 $ Propiedad conmutativa de la multiplicación
  • Evaluar expresiones algebraicas cuando se les dan números racionales positivos como valores para variables.


El trabajo de grados anteriores que respalda este nuevo aprendizaje incluye:

Aplicar las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas y el orden de las operaciones para generar expresiones numéricas equivalentes y resolver problemas con números enteros.

  • Determinar si una ecuación o desigualdad es verdadera o falsa para un valor dado de la variable.
  • Representar situaciones del mundo real usando ecuaciones y desigualdades que involucren variables. Crea situaciones del mundo real correspondientes a ecuaciones y desigualdades.
  • Evaluar expresiones y resolver ecuaciones que involucran variables cuando se dan valores para las variables.

Estándares NCTM

Comprender el significado de las operaciones y cómo se relacionan entre sí.

  • Comprender el significado y los efectos de las operaciones aritméticas con fracciones, decimales y porcentajes.
  • Usar las propiedades asociadas y conmutativas de la suma y la multiplicación y la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma para simplificar los cálculos con números enteros, fracciones y decimales.

Estándares estatales básicos comunes (CCSS)

6 EE (Expresiones y ecuaciones) Aplicar y ampliar conocimientos previos de aritmética a expresiones algebraicas.

  • 6.EE.3 Aplicar las propiedades de las operaciones para generar expresiones equivalentes. Por ejemplo, aplique la propiedad distributiva a la expresión 3 (2 + x) para producir la expresión equivalente 6 + 3x aplique la propiedad distributiva a la expresión 24x + 18y para producir la expresión equivalente 6 (4x + 3y) aplique las propiedades de las operaciones a y + y + y para producir la expresión equivalente 3y.

Conceptos erróneos

Conceptos erróneos de los estudiantes y errores comunes

  • Los estudiantes aplican incorrectamente el orden de operaciones.
  • Los estudiantes pueden pensar que 3 x 5 es equivalente a 3 x 3 + 2, sin reconocer la necesidad de usar paréntesis.
  • Los estudiantes malinterpretan los exponentes (por ejemplo, 4 2 como 4 x 2)
  • Los estudiantes pueden confundirse por las diferencias entre las propiedades conmutativas y asociativas y las identificarán incorrectamente.
  • Dado que $ 2 + frac <1> <2> = 2 frac <1> <2> $, los estudiantes malinterpretan 2x como 2 + x
  • Los estudiantes no reconocen que x + x se puede simplificar a 2x
  • Los estudiantes pueden malinterpretar x + x + x como x 3, en lugar de 3x
  • Los estudiantes no reconocen que $ x cdot 5 $ y $ 5x $ son expresiones equivalentes, lo que resulta en la incapacidad de generar la expresión equivalente $ 8x $ para $ x cdot 5 + 3x $
  • Cuando se da X = 3, los estudiantes interpretan incorrectamente 5X como 53.

Viñeta

En el aula

En esta viñeta, los estudiantes usan propiedades asociativas, conmutativas y distributivas para generar expresiones algebraicas equivalentes para el área de un rectángulo.

Maestro: La tarea de hoy es generar tantas expresiones como sea posible para representar el área de este rectángulo.

Maestro: Para ayudarnos a pensar en esto, comencemos usando fichas de álgebra para representar este rectángulo.

Estudiante1: Ya hice un dibujo para mostrar cómo se vería.

Maestro: ¿Qué expresión algebraica usarías para representar el área?

Estudiante1: La imagen muestra X + X + X + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1.

Maestro: Ciertamente lo hace. ¿Hay otra forma de escribir esa expresión que pueda ser un poco más simple?

Estudiante1: Por supuesto. Podrías agregar todos los (x) s juntos y sume todos los (1) s juntos. Entonces obtendrías 3X + 15.

Maestro: Entonces, lo que hizo fue agrupar los términos "similares". Juntas todas las (x) s en un grupo y todos los (1) s en otro grupo. A menudo usamos paréntesis en matemáticas para mostrar grupos, por lo que podría escribir su trabajo de esta manera: (X + X + X) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1) = 3X + 15.

Estudiante2: Conozco una forma más sencilla de solucionar el problema.

Maestro: ¿Qué sería eso?

Estudiante2: Bueno, recuerdo que la forma más rápida de encontrar el área de un rectángulo es multiplicar la longitud por el ancho. Por eso escribí el área como X + 5 x 3.

Estudiante3: Estoy de acuerdo en que el área de un rectángulo se puede encontrar multiplicando la longitud por el ancho, pero creo que hay algo mal en tu expresión.

Maestro: Dime más.

Estudiante3: Las fichas de álgebra muestran que hay 3 (x) s y 15 unidades. Cuando usa el orden de las operaciones para simplificar X + 5 x 3, obtienes X + 15. De alguna manera perdiste dos (x) s, pero no sé cómo.

Maestro: De acuerdo con el orden de las operaciones, la multiplicación viene antes que la suma, por lo que su observación es correcta. Como hicieron los dos (x) s ¿Piérdase?

Estudiante3: Es porque solo multiplicaste el 5 por 3 y no multiplicaste el X por 3.

Maestro: Oh, estás diciendo que el 3 solo se distribuyó entre el 5, pero no el X. ¿Cómo podemos reescribir la expresión para que sea precisa y mostrar que el 3 debe distribuirse o multiplicarse por 5 y el X?

Estudiante3: Necesita poner paréntesis alrededor del X + 5.

Maestro: Muéstrame lo que quieres decir.

Estudiante3: Me gusta esto. (X + 5) x 3. Eso significa que tanto el X y el 5 se multiplica por 3.

Maestro: Se acabó el tiempo. Estoy teniendo problemas para encontrarle sentido a lo que escribiste, porque has usado un X para representar la variable y una x para indicar la multiplicación. ¿Existe otra forma de escribir la expresión que pueda resultar un poco menos confusa?

Estudiante3: Veo a que te refieres. Supongo que podría escribir la expresión como (X + 5) ٠3, ya que a veces se usa un punto para representar la multiplicación.

Estudiante1: ¿Por qué tienes que escribir cualquier símbolo?

Maestro: ¿Qué estas sugeriendo?

Estudiante1: Que lo escribamos así: (X + 5)3.

Maestro: Es cierto que en álgebra, cuando escribimos cantidades una al lado de la otra sin ningún símbolo en el medio, la multiplicación está implícita. Por ejemplo, 6y significa 6 veces el valor de la variable y posee.

Estudiante3: Entiendo que se supone que debes multiplicar cuando no hay símbolo, pero esa expresión me parece confusa.

Maestro: ¿Qué parte te confunde?

Estudiante3: Escribiendo el 3 al final de la expresión en lugar del principio.

Maestro: ¿Cómo sugieres que escribamos la expresión?

Estudiante3: Escribiría 3X + 5).

Maestro: ¿Por qué te resulta menos confuso?

Estudiante3: Porque normalmente escribimos los números primero.

Maestro: Dame un ejemplo.

Estudiante3: Como solemos escribir 3X, no X3.

Maestro: Tienes un punto. Es nuestra práctica en álgebra escribir el número que se está multiplicando antes de la variable. Pero, ¿son equivalentes esas dos expresiones? Es 3X equivalente a X3?

Estudiante3: Creo que sí. Si sustituye un número por X, como 2, obtienes 6 para ambas expresiones. En la primera expresión multiplica 3 por 2, y en la segunda expresión multiplica 2 por tres. Obtienes lo mismo. Es solo que multiplicas en un orden diferente.

Maestro: Exactamente. En matemáticas tenemos una propiedad que dice que cuando multiplicas, el orden de los factores no importa. Obtendrá el mismo resultado. Es la propiedad conmutativa. Regresemos ahora a nuestro problema del rectángulo. ¿Cómo son las expresiones (X + 5) 3 y 3 (X + 5) ¿diferente?

Estudiante3: La única diferencia es el orden en que se anotan los factores.

Maestro: ¿Son equivalentes las dos expresiones?

Estudiante3: Ellos deben ser.

Maestro: ¿Y cómo lo sabes?

Estudiante3: Debido a la propiedad conmutativa.

Maestro: Sí, pero recuerde: la propiedad conmutativa solo funciona para la multiplicación y la suma. La resta y la división no son conmutativas. Si cambia el orden de los números al realizar esas operaciones, obtendrá diferentes respuestas. Ahora estoy curioso. Anteriormente escribimos el área del rectángulo como 3X + 15. ¿Cómo sabemos que 3X + 15 y 3 (X + 5) ¿son equivalentes?

Estudiante1: Oh, esa es otra propiedad. Creo que se llama propiedad distributiva. Usa esa propiedad para deshacerse del paréntesis y simplificar 3 (X + 5).

Maestro: ¿Cómo funciona la propiedad distributiva?

Estudiante1: Primero multiplica 3 por X, que es 3X. Luego sumas 3 por 5, o 15. La respuesta es 3X + 15.

Maestro: La propiedad distributiva recibe su nombre porque "distribuye" el factor fuera del paréntesis sobre los términos dentro del paréntesis. Sé que las propiedades son algo así como leyes, siempre funcionan. Pero, ¿por qué funciona la propiedad distributiva?

Estudiante1: Creo que es como usar productos parciales.

Maestro: Eso es un pensamiento interesante. La propiedad distributiva le permite "distribuir" o multiplicar un número sobre cada suma de una suma y luego sumar los productos. Déjame darte un ejemplo de la propiedad distributiva usando números.

En este ejemplo, el 5 se "distribuye" tanto al 10 como al 2. Eso significa que 5 se multiplica por 10 y 2, lo que da como resultado los productos parciales 50 (5 x 10) y 10 (5 x 2). Cuando sumo 50 y 10, obtengo 60, que es el mismo resultado que obtengo para 5 x 12 usando cualquier estrategia. En nuestro producto rectangular, nuestros productos parciales son 3X y 15. Sin embargo, no podemos combinarlos como hicimos con 50 y 10 porque no son términos "similares". Pero volvamos a nuestra tarea original de generar expresiones equivalentes para el área del rectángulo. Hasta ahora tenemos:

X + X + X + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1

(X + X + X) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1)

También hemos hablado sobre cómo se pueden usar las propiedades conmutativas y distributivas para generar expresiones equivalentes. Pero no he escuchado a nadie hablar de la propiedad asociativa. ¿Cuál es esa propiedad y cómo podría usarse para generar una expresión equivalente para el área de nuestro rectángulo?

Estudiante1: La propiedad asociativa tiene que ver con la agrupación. Dice que podemos cambiar la agrupación de lo que se agrega o multiplica sin cambiar los resultados.

Maestro: Sí, y a menudo usamos paréntesis para mostrar esos grupos. Recuerde, esta propiedad no se aplica a la resta o división, al igual que la propiedad conmutativa. Entonces, ¿cómo podemos usar la propiedad asociativa para encontrar más expresiones equivalentes para el área de nuestro rectángulo?

Estudiante1: Tengo una idea. Voy a usar la propiedad asociativa para cambiar la agrupación de lo que se agrega. Aquí está mi pensamiento:

(X + X + X) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1) =

([X + X] + X) + ([1 + 1 + 1 + 1] + [1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1]) =

Eso significa que 2X + X + 4 + 11 es otra expresión para el área del rectángulo.

Maestro: Volvamos a nuestra imagen para verificarlo. Veo 2 (y) s, otro X, 4 unos y 11 unos. La imagen apoya tu idea. Ahora me gustaría que trabajara con sus socios para generar 3 expresiones equivalentes más para el área del rectángulo. Identifique qué propiedades justifican su pensamiento.

Recursos

Notas del profesor

  • El mnemónico Por favor, disculpe a mi querida tía Sally es útil para los estudiantes que no pueden recordar el orden de las operaciones (Paréntesis, exponentes, multiplicar, dividir, sumar, restar). Recuerde a los estudiantes que los cálculos siempre se hacen de izquierda a derecha y que los grupos deben seguir las reglas trabajando desde el interior hacia el exterior.
  • Los estudiantes se beneficiarán de una discusión sobre lo que equivalente medio. Por ejemplo, una docena y 12 artículos, o $ 1.00 y 4 monedas de veinticinco centavos son equivalentes porque tienen el mismo valor. En matemáticas, tenemos fracciones equivalentes ($ frac <1> <2> $ y $ frac <2> <4> $) y medidas equivalentes (1 pie y 12 pulgadas). Expresiones equivalentes, (12 + 7 y 7 + 12 o X + X + 2 y 2X + 2) también tienen el mismo valor.
  • Los estudiantes que creen que 3 x 5 es equivalente a 3 x 3 + 2 necesitan oportunidades adicionales para ver cómo los paréntesis son necesarios para representar 5 como 3 + 2 y cambiar el orden típico de moverse de izquierda a derecha al realizar cálculos para mantener la equivalencia. Se beneficiarán de actividades en las que se les pida que inserten paréntesis en expresiones para generar un número determinado. Por ejemplo, ¿cómo se pueden insertar paréntesis en la expresión 5 + 3 x 4 - 2 para hacerla equivalente a 30? ¿Equivalente a 11? ¿Equivalente a 15?
  • Es muy probable que las experiencias previas de los estudiantes con exponentes se hayan relacionado con el valor posicional utilizando base 10, p. 10 2 = 10 x 10 = 100 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000 10 4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000. Utilice esta conexión para ayudar a los estudiantes a ver la base como un repetido factor, con el exponente indicando cuántas veces se repite la base.
  • Las palabras clave para recordar son orden para la propiedad conmutativa y agrupamiento para la propiedad asociada. Recuerde a los estudiantes que la propiedad asociativa mueve los paréntesis pero no cambia la posición de los números. La propiedad conmutativa cambia las posiciones de los números
  • Proporcionar organizadores gráficos, como los que se muestran a continuación, para ayudar a los estudiantes a comprender las propiedades y cómo se utilizan para simplificar expresiones numéricas y algebraicas.

  • Asegúrese de darles a los estudiantes muchas oportunidades para usar materiales concretos y representaciones pictóricas de expresiones algebraicas antes de pasar a lo simbólico. Esto ayudará a los estudiantes a ver que 2 + X no es equivalente a 2X , aunque $ 2 + frac <1> <2> = 2 frac <1> <2> $.
  • Sin amplias experiencias concretas y semi-concretas, también es difícil para los estudiantes entender que X + X = 2X. Debido a que el coeficiente 1 está implícito, los estudiantes se beneficiarán de que el maestro escriba el coeficiente 1 siempre que esté implícito hacerlo explícito. Escritura 1X + 1X + 1X puede ayudar a los estudiantes a visualizar tres cantidades distintas que se pueden sumar y representar como 3X.
  • El uso de modelos concretos y representaciones pictóricas también ayudará a los estudiantes que tienen la idea errónea de que X + X + X se puede expresar con la expresión X 3 en lugar de 3X. Recuerde a los estudiantes que en notación exponencial, la base es una repetición factory no indica una adición repetida.
  • Los estudiantes luchan por entender que X5 y 5X son expresiones equivalentes, porque entra en conflicto con sus experiencias previas con los números (53 y 35 no son equivalentes). Esto brinda la oportunidad de demostrar que las propiedades realmente actúan de la misma manera con los números. y expresiones algebraicas. Por ejemplo, 50 + 3 = 3 + 50 y 50 $ cdot $ 3 = 3 $ cdot $ 50 demuestran la propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación. En la expresión algebraica X5, la multiplicación está implícita. Por lo tanto, X5 medios X $ cdot $ 5. Según la propiedad conmutativa, X $ cdot $ 5 es equivalente a 5 $ cdot $ x, que generalmente se escribe como 5X. Por lo tanto, X5 + 3X se puede reescribir como 5X + 3X = 8X. En el número 53, está implícita la suma 50 + 3. Según la propiedad conmutativa 53 = 50 + 3 = 3 + 50, no 35.
  • Alumnos que interpretan 5X como 53 para X = 3 debe recordarse que en las expresiones algebraicas cuando dos cantidades se escriben una al lado de la otra sin ningún símbolo, la multiplicación está implícita. These students may benefit from discussion about how x is not usually used to represent multiplication in algebraic expressions to avoid confusion with the variable X, and that a dot is often used when a multiplication symbol is needed to prevent confusion.

Instructional Resources

Additional Instructional Resources

This interactive website includes print activities with 5 different levels of difficulty.

This website is a game for two users where each player tries to connect four game pieces in a row before his or her opponent. Players can also choose game difficulty.

New Vocabulary

base (of an exponent): the number used as the factor in exponential notation base exponent

Ejemplo: In 6 4 = 6 x 6 x 6 x 6, 6 is the base used as a factor 4 times.

exponent: in exponential notation (base exponent ), the exponent is the number that tells how many times the base is used as a factor

Example: In 8 x 8 x 8 = 8 3 , the exponent is 3 with base 8.

evaluate: to find the value. To evaluate algebraic expressions, particular numbers are substituted for variables before calculating.

Ejemplo: To evaluate 7X por X = 5, X is replaced with 5, resulting in 35

order of operations: the rules describing what sequence to use in evaluating expressions. All calculations are done left to right, in the following order:

  1. Parentheses and other grouping symbols work from the innermost set using rules 2-4
  2. Exponents
  3. Multiply or divide in the order the operations occur.
  4. Add or subtract in the order the operations occur.

simplify (an expression): to rewrite by removing parentheses and by combining like terms. Ejemplos: 3X + 4 + 2 + 2X can be simplified as 5X + 6 and 3(2y + 4) - y can be simplified as 5y + 12

simplify (a fraction): to express in simplest form, or lowest terms. The numerator and denominator of proper fractions in simplest form have no common factor other than 1. Improper fractions and mixed numbers are in simplest form when the fraction part is proper and in simplest form. Ejemplos: The numerator and denominator of $frac<4><8>$ share the common factor 4, so must be rewritten as $frac<1><2>$ to be in simplest form $frac<19><3>$ written in simplest form is $6frac<1><3>$.

variable: a quantity that changes or that can have different values a letter if often used to represent a variable quantity. Ejemplo: In the expression 5norte, norte is a variable because it can have different values.

Reflection - Critical questions regarding the teaching and learning of this benchmark:

How can concrete models and pictorial representations be used to move students to abstract representations?

  • What activities will help students gain the understanding that algebraic representations work in the same way as numerical expressions?
  • What evidence shows that students can apply and identify properties used to generate equivalent expressions?
  • What evidence shows that students can apply the order of operations to generate equivalent expressions?
  • What student misconceptions need to be addressed?

Materials - suggested articles and books

● This article from NCTM's Principles and Standards for School Mathematics discusses the importance of using informal explorations with physical models, data, graphs, and other mathematical representations rather than facility with formal algebraic manipulation at the middle school level.

Minnesota's K-12 Mathematics Frameworks. (1998). St. Paul, MN: SciMathMN.

Focus in Grade 6 Teaching with Curriculum Focal Points. (2010). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Developing Essential Understanding of Ratios, Proportions & Proportional Reasoning Grades 6-8. (2010). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Principles and Standards for School Mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.


Developmental Math

All About Percent and Ratios

All About Measurements

All About Equations

Equations - how to solve
Factors - essential basics
Graphs - basic essentials
Measurement - from mm to m³

HIGH SCHOOL MATH

Algebra - basic essentials
Equations - how to solve
Factors - essential basics
Graphs - basic essentials
Measurement - from mm to m
Percentage - helping you achieve 100%
Prime numbers - talk about odd!
Standard Form - scientifically speaking


Properties of rational numbers

Properties of Rational Numbers. Algebra and Functions 1.3 Simplify Numerical expressions by applying properties of rational numbers (e.g. identity, inverse, distributive, associative, commutative). Math Objective: Understand and distinguish between the commutative and associative properties. - PowerPoint PPT Presentation

Properties of Rational NumbersAlgebra and Functions 1.3Simplify Numerical expressions by applying properties of rational numbers (e.g. identity, inverse, distributive, associative, commutative)

Math Objective:Understand and distinguish between the commutative and associative properties

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

The Commutative PropertyBackgroundThe word commutative comes from the verb to commute.Definition on dictionary.comCommuting means changing, replacing, or exchangingPeople who travel back and forth to work are called commuters.Traffic Reports given during rush hours are also called commuter reports.

Here are two families of commuters.Commuter ACommuter BCommuter ACommuter BCommuter A & Commuter B changed lanes. Remember commute means to change.

HomeSchoolWould the distance from Home to School and then from school to home change?Home + School = School + HomeH + S = S + HA + B = B + A

3 groups of 5 ==15 kids=15 kids3 x 55 x 3=5 groups of 3

The Commutative PropertyA + B = B + AA x B = B x A

The Commutative PropertyYou can add or multiply numbers in any order. It is called the commutative property of addition when we add, and the commutative property of multiplication when we multiply.

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

The Associative PropertyBackgroundThe word associative comes from the verb to associate.Definition on dictionary.comAssociate means connected, joined, or related People who work together are called associates.They are joined together by business, and they do talk to one another.

Lets look at another hypothetical situationThree people work together.

Associate B needs to call Associates A and C to share some news.

Does it matter who he calls first?

Here are three associates. B calls A firstHe calls C lastIf he called C first, then called A, would it have made a difference?NO!

(The Role of Parentheses)In math, we use parentheses to show groups.

In the order of operations, the numbers and operations in parentheses are done first. (PEMDAS)So.

The Associative Property(A + B) + C = A + (B + C)THENTHENThe parentheses identify which two associates talked first.

Notice the first two students are associating with each other in the first situation. In the second situation, the same girl is associating with a different student. Have the students changed? Have the students moved places?=()()

The Associative PropertyWhen adding or multiplying, you can change the grouping of numbers without changing the sum or product. The order of the terms DOES NOT change.It is called the associative property of addition when we add, and the associative property of multiplication when we multiply.

Look at the problem.Identify which property it represents.

(4 + 3) + 2 = 4 + (3 + 2) The Associative Property of AdditionIt has parentheses!

6 11 = 11 6The Commutative Property of MultiplicationSame 2 numbersNumbers switched places

(1 2) 3 = 1 (2 3) The Associative Property of MultiplicationSame 3 numbers in the same order2 sets of parentheses

a b = b aThe Commutative Property of Multiplication

The Associative Property of Multiplication(a b) c = a (b c)

4 + 6 = 6 + 4The Commutative Property of AdditionNumbers change places.

(a + b) + c = a + (b + c) The Associative Property of AdditionParentheses!

a + b = b + aThe Commutative Property of AdditionMoving numbers!

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

The Identity PropertyI am me!You cannot changeMy identity!

Identity Property of AdditionZero is the only number you can add to something and see no change.This property is also sometimes called the Identity Property of Zero.

Identity Property of AdditionA + 0 = A+ 0 =

Identity Property of MultiplicationOne is the only number you can multiply by something and see no change.This property is also sometimes called the Identity Property of One.

Identity Property of MultiplicationA 1 = A 1 =

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

Inverse PropertyInverse means opposite.

Inverse Property The opposite of addition issubtraction.So, when I use inverse operations, I can undo the original number. Example: 3 + (-3)= 0

Inverse Property The opposite of division ismultiplication.So, when I use inverse operations, I can undo the original number. Ejemplo:

Look at the problem.Identify which property it represents.

a 1 = a The Identity Property of Multiplication

12 + 0 = 12 The Identity Property of AdditionIt is the only addition property that has two addends and one of them is a zero.

987 1 = 987The Identity Property of MultiplicationTimes 1

7 + (- 7) = 0The Inverse Property Undo the operation by using the opposite operation

9 1 = 9The Identity Property of MultiplicationTimes 1

The Inverse Property Undo the operation by using the inverse operation66= 1

3 + 0 = 3 The Identity Property of AdditionSee the zero?

a + 0 = a The Identity Property of AdditionZero!

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

The Distributive PropertyBackgroundThe word distributive comes from the verb to distribute.Definition on dictionary.comDistributing refers to passing things out or delivering things to people

The Distributive Propertya(b + c) = (a b) + (a c)A times the sum of b and c = a times b plus a times cLets plug in some numbers first.Remember that to distribute means delivering items, or handing them out.Here is how this property works:5(2 + 3) = (5 2) + (5 3)

5(2 + 3) = (5 2) + (5 3)Think: Five groups of (2+3) or(2+3) + (2+3) + (2+3) + (2+3) + (2+3)You went to five houses. Every family bought 5 items total, 2 red gifts and three green gifts! How many gifts did you deliver all together?How many red gifts were distributed? How many green gifts were distributed?You have sold many items for the BMMS fundraiser!

You will be distributing 5 items to each house.

5(2 + 3) = (5 2) + (5 3)You distributed (delivered) these all in one trip.You need to deliver 5 gifts to each house. To each house, you will deliver 2 red gifts and 3 green gifts.How many red gifts?How many green gifts?5 houses x 2 red gifts and 5 houses x 3 green gifts = (5x2) + (5x3) = 25 items all together

The Distributive Property 3( 5 + 2)35215615 + 6 = 214( 3n + 6)43n612n2412n + 24-7( 4 + 6)-28-746-42-28 - 42 = -709( -3 - 8)-279-3- 8-72-27 - 72 = -99

The Distributive Property 6( 4x - 2)64x-224x-1224x - 12-4( 8x 3)-48x-3-32x 12-32x + 12-6n( 2 - 6)-12n-6n2-636n-12n + 36n = 24n5( -6n + 2)-30n5-6n210-30n + 10


7 respuestas 7

Have you seen Light's associativity test? According to Wikipedia, "Direct verification of the associativity of a binary operation specified by a Cayley table is cumbersome and tedious. Light's associativity test greatly simplifies the task."

If nothing else, the existence of Light's algorithm seems to rule out the possibility that anyone knows an easy way to do it just by looking at the original Cayley table.

Note also that, in general, one cannot do better than the obvious method of just checking all $n^3$ identities of the form $(aast b)ast c = aast (bast c)$. This is because it is possible that the operation could be completely associative except for one bad triple $langle a,b,c angle$. So any method that purports to do better than this must only be able to do so in limited circumstances.

Using the original $n imes n$ table seems bleak - this is essentially a problem of arity-dimension three, but the Cayley table only gives us two dimensions. However, Light's Associativity Test shows how to systematically reduce the problem of comparing $n$ pairs of Cayley tables. Note that the procedure can be greatly simplified by considering only operations derived from the underlying structure's generators.

First of all, let me make a personal reflection on this matter. Light's associativity test (as others have noted) provides a characterization, but (at least from my point of view) it is not really helpful. Indeed, I like to consider this difficulty to check whether a table is associative as the main reason why it is better to introduce associative operations (in particular groups) through presentations. Then, you trivially get associativity since your "object" is by definition a quotient of the free one.

Now, let me note that in the particular case that the operation is commutative (like the example you have written) then it is known an alternative method which is affordable to be done using a pencil. This (quite unknown in my opinion) method is due to S. KAMAL ABDALI and was introduced in his paper "Verification of Associativity of a Binary Operation" http://www.jstor.org/stable/3613856

I have never seen this method explained in a book, so it is worthwhile to take a look at this paper (in case you can go through the publisher firewall).


On the surface, both tasks can be completed with sound procedural fluency in addition and multiplication. However, these tasks present the opportunity to delve much more deeply into equivalence and strategic use of mathematical properties. These tasks add clarity to the often misunderstood or neglected concept of equivalence. Students often understand the equal sign as the precursor to writing the answer. Class discussion should be carefully guided to ensure that students come to the understanding that the equal sign indicates equivalence between two expressions. Though these tasks can be completed by evaluating each expression on either side of the equal sign, they present deliberate next levels of reasoning that invite students to look for different approaches.

Anyone facilitating a conversation about this task should constantly ask, "Is there another way to know whether this equation is true?" Consider 5 x 8 = 10 x 4. Students will likely know these facts relatively quickly and come to the conclusion that both sides are equal to 40, thus this equation is true. When pressed to see other options, students may reason that the 8 can be broken down into 4 x 2. The equation becomes 5 x (2 x 4) = 10 x 4. Through the associative property, this becomes (5 x 2) x 4 = 10 x 4. We can see that these expressions are equivalent because we know that 5 x 2 has the same value as 10. The same opportunity presents itself in part f. Part g presents an opportunity for students to think critically about the meaning of multiplication.

Third graders interpret multiplication as equal sized groups. Students might reason that 8 x 6 means 8 groups of 6. Thus 7 x 6 + 6 would mean 7 groups of 6 with another group of 6. Students might recognize that extra 6 as the "8th group of 6," thereby making the two expressions equivalent.


Ver el vídeo: Propiedad Conmutativa, Asociativa y Distributiva Super Fácil (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Alcmaeon

    Confirmo. Sucede.

  2. Kalei

    Bien hecho, tu oración simplemente excelente

  3. Queran

    Perdón por interferir ... Entiendo este problema. Escribe aquí o en PM.



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