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7.5: Resumen - Matemáticas


Estudiar y tomar exámenes siempre será una gran parte de la universidad, por lo que aprender a hacerlos bien ahora solo puede ayudarte a tener más éxito. Los expertos nos brindan muchas herramientas, técnicas e ideas para usar cuando determinamos la mejor manera de estudiar, usar nuestros recuerdos de manera efectiva y prepararnos para tomar exámenes. Puede ayudarse a sí mismo si toma en serio estas pautas y realiza un seguimiento de su progreso. Si una estrategia te funciona mejor en algunas clases y otra es más adecuada para un curso diferente, tenlo en cuenta cuando comiences a estudiar. Utilice todos los recursos disponibles para usted y estará bien encaminado hacia el éxito en la universidad.


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Un número racional es cualquier número que se pueda escribir como ( frac) donde (a ) y (b ) son números enteros y (b ne 0 ).

Los siguientes son números racionales:

Fracciones con numerador y denominador como números enteros

Números decimales que terminan

Números decimales que se repiten (se repiten)

Los números irracionales son números que no se pueden escribir como una fracción con el numerador y el denominador como números enteros.

Si el (n ^ < text> ) la raíz de un número no se puede simplificar a un número racional, se llama surd.

Si (a ) y (b ) son números enteros positivos y (a & ltb ), entonces ( sqrt [n] & lt sqrt [n]).

Un binomio es una expresión con dos términos.

El producto de dos binomios idénticos se conoce como el cuadrado del binomio.

Obtenemos la diferencia de dos cuadrados cuando multiplicamos ( left (ax + b right) left (ax-b right) )

Factorizar es el proceso opuesto de expandir los corchetes.

El producto de un binomio y un trinomio es:

Sacar un factor común es el método básico de factorización.

A menudo necesitamos usar agrupaciones para factorizar polinomios.

Para factorizar un cuadrático, encontramos los dos binomios que se multiplicaron para dar el cuadrático.

La suma de dos cubos se puede factorizar como: [^<3>+^ <3> = left (x + y right) left (^ <2> -xy +^ <2> derecha) ]

La diferencia de dos cubos se puede factorizar como: [^<3>-^ <3> = left (x-y right) left (^ <2> + xy +^ <2> derecha) ]

Podemos simplificar fracciones incorporando los métodos que hemos aprendido para factorizar expresiones.

Solo los factores se pueden cancelar en fracciones, nunca en términos.

Para sumar o restar fracciones, los denominadores de todas las fracciones deben ser iguales.


Estadística multivariante

Si (M sim W_p ( boldsymbol < Sigma>, n) ), demuestre que (< mathbb> mathbf M = n símbolo en negrita < Sigma> ).

Si ( mathbf x_1, ldots, mathbf x_n ) son i.i.d. (N_p (< boldsymbol < mu >>, boldsymbol < Sigma>) ) con media de muestra ( bar < mathbf x> ) y matriz de covarianza de muestra ( mathbf S ), demuestre que (< mathbb ombre del operador> ( bar < mathbf x>, mathbf x_i - bar < mathbf x>) = boldsymbol 0 ). Por lo tanto, deduzca que ( bar < mathbf x> ) y ( mathbf S ) son independientes.

Pista: Si el vector aleatorio ( mathbf x ) es independiente del vector aleatorio ( mathbf y ), entonces ( mathbf x ) también es independiente de cualquier función (f ( mathbf y) ).

  1. Realice una prueba de hipótesis de (< boldsymbol < mu >> = (182,182) ^ top ).
  2. Muestre que la región de confianza para (< boldsymbol < mu >> ) es circular. Encuentra su centro y radio.
  3. Repita la prueba de hipótesis y dibuje la región de confianza si asumimos que [ boldsymbol < Sigma> = begin 100 y 50 50 y 100 end.]

Sea ( mathbf x_1, ldots, mathbf x_ <20> ) una muestra aleatoria de vectores de una población (N_3 (< boldsymbol < mu >>, boldsymbol < Sigma>) ) donde (< boldsymbol < mu >> ) y ( boldsymbol < Sigma> ) son desconocidos. La media muestral y la matriz de covarianza muestral están dadas por [ bar < mathbf x> = begin 0.358 -1.056 -1.795 end qquad mathbf S = begin 0.522 & amp 0.556 & amp -2.285 0.556 & amp 3.258 & amp -0.765 -2.285 & amp -0.765 & amp 14.093 end.]

  1. Utilice la distribución (T ^ 2 ) de Hotelling para realizar una prueba de significancia de la hipótesis (H_0: < boldsymbol < mu >> = (0, -1, -1) ^ T ). Tenga en cuenta que ( mathbf S = mathbf V boldsymbol Lambda mathbf V ^ T ) donde ( boldsymbol Lambda = text(14.531, 3.253,0.090) ) y [ mathbf V = begin -0.163 & amp -0.121 & amp -0.979 -0.075 & amp -0.988 & amp 0.135 0.984 & amp -0.095 & amp -0.152 end.]
  2. Sea (< boldsymbol < mu >> = ( mu_1, mu_2, mu_3) ^ top ). Realice pruebas (t ) separadas (univariadas) de las siguientes hipótesis: ( mu_1 = 0 ) ( mu_2 = -1 ) ( mu_3 = -1 ). Compare los resultados de las pruebas individuales con la prueba combinada según la distribución (T ^ 2 ) de Hotelling en (a). Comente brevemente.

Se recolectaron dos mediciones en cada uno de los 36 escarabajos pulga. 18 de los escarabajos eran de una especie llamada Chaetocnema concinna y las otras 18 eran de otra especie llamada Chaetocnema heikertingeri. La primera variable consistió en la suma de los anchos (en micrómetros) de las primeras articulaciones de los dos primeros tarsos (`` pies '') y la segunda variable consistió en la suma correspondiente para las segundas articulaciones. Es interesante saber si las medias poblacionales de las dos especies son diferentes o no.

Las medias de muestra son ( bar < mathbf x> _1 = (181.50,129.17) ^ top ) y ( bar < mathbf x> _2 = (205.06,120.44) ^ top ) y la muestra las matrices de covarianza son [ mathbf S_1 = begin 120.58 & amp 56.25 56.25 & amp 44.63 end qquad mathbf S_2 = begin 203,94 y 73,42 73,42 y 47,14 end. ] Realizar una prueba de hipótesis adecuada. Exprese su conclusión en palabras. ¿Qué suposiciones ha hecho al construir la prueba? ¿Alguna de estas suposiciones parece sospechosa con estos datos?


7.5: Resumen - Matemáticas

Un filtro Bloom es un método para representar un conjunto de n elementos (también llamados claves) para admitir consultas de membresía. Fue inventado por Burton Bloom en 1970 [6] y fue propuesto para su uso en el contexto web por Marais y Bharat [37] como un mecanismo para identificar qué páginas tienen comentarios asociados almacenados dentro de un servidor CommonKnowledge.

La idea (ilustrada en la Figura 3) es asignar un vector v de m bits, inicialmente todos en 0, y luego elegir k funciones hash independientes, cada una con rango. Para cada elemento, los bits en las posiciones h 1 (a), h 2 (a),. h k (a) en v se establecen en 1. (Un bit en particular puede establecerse en 1 varias veces). Dada una consulta para b, verificamos los bits en las posiciones h 1 (b), h 2 (b),. h k (b). Si alguno de ellos es 0, entonces ciertamente b no está en el conjunto A. De lo contrario, conjeturamos que b está en el conjunto, aunque existe cierta probabilidad de que nos equivoquemos. Esto se denomina un `` falso positivo '' o, por razones históricas, una `` caída falsa ''. Los parámetros kym deben elegirse de manera que la probabilidad de un falso positivo (y, por lo tanto, un falso acierto) sea aceptable .

La característica más destacada de los filtros Bloom es que existe una clara compensación entre my la probabilidad de un falso positivo. Observe que después de insertar n claves en una tabla de tamaño m, la probabilidad de que un bit en particular siga siendo 0 es exactamente

Por tanto, la probabilidad de un falso positivo en esta situación es

El lado derecho se minimiza, en cuyo caso se convierte en

De hecho, k debe ser un número entero y, en la práctica, podríamos elegir un valor inferior al óptimo para reducir la sobrecarga computacional. Algunos valores de ejemplo son:

La Tabla 3 a la Tabla 5 enumeran los resultados de falsos positivos para combinaciones comunes de m / n y k.

  Tabla 3: Tasa de falsos positivos bajo varias combinaciones de m / ny k.
m / n k k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8
2 1.39 0.393 0.400
3 2.08 0.283 0.237 0.253
4 2.77 0.221 0.155 0.147 0.160
5 3.46 0.181 0.109 0.092 0.092 0.101
6 4.16 0.154 0.0804 0.0609 0.0561 0.0578 0.0638
7 4.85 0.133 0.0618 0.0423 0.0359 0.0347 0.0364
8 5.55 0.118 0.0489 0.0306 0.024 0.0217 0.0216 0.0229
9 6.24 0.105 0.0397 0.0228 0.0166 0.0141 0.0133 0.0135 0.0145
10 6.93 0.0952 0.0329 0.0174 0.0118 0.00943 0.00844 0.00819 0.00846
11 7.62 0.0869 0.0276 0.0136 0.00864 0.0065 0.00552 0.00513 0.00509
12 8.32 0.08 0.0236 0.0108 0.00646 0.00459 0.00371 0.00329 0.00314
13 9.01 0.074 0.0203 0.00875 0.00492 0.00332 0.00255 0.00217 0.00199
14 9.7 0.0689 0.0177 0.00718 0.00381 0.00244 0.00179 0.00146 0.00129
15 10.4 0.0645 0.0156 0.00596 0.003 0.00183 0.00128 0.001 0.000852
16 11.1 0.0606 0.0138 0.005 0.00239 0.00139 0.000935 0.000702 0.000574
17 11.8 0.0571 0.0123 0.00423 0.00193 0.00107 0.000692 0.000499 0.000394
18 12.5 0.054 0.0111 0.00362 0.00158 0.000839 0.000519 0.00036 0.000275
19 13.2 0.0513 0.00998 0.00312 0.0013 0.000663 0.000394 0.000264 0.000194
20 13.9 0.0488 0.00906 0.0027 0.00108 0.00053 0.000303 0.000196 0.00014
21 14.6 0.0465 0.00825 0.00236 0.000905 0.000427 0.000236 0.000147 0.000101
22 15.2 0.0444 0.00755 0.00207 0.000764 0.000347 0.000185 0.000112 7.46e-05
23 15.9 0.0425 0.00694 0.00183 0.000649 0.000285 0.000147 8.56e-05 5.55e-05
24 16.6 0.0408 0.00639 0.00162 0.000555 0.000235 0.000117 6.63e-05 4.17e-05
25 17.3 0.0392 0.00591 0.00145 0.000478 0.000196 9.44e-05 5.18e-05 3.16e-05
26 18 0.0377 0.00548 0.00129 0.000413 0.000164 7.66e-05 4.08e-05 2.42e-05
27 18.7 0.0364 0.0051 0.00116 0.000359 0.000138 6.26e-05 3.24e-05 1.87e-05
28 19.4 0.0351 0.00475 0.00105 0.000314 0.000117 5.15e-05 2.59e-05 1.46e-05
29 20.1 0.0339 0.00444 0.000949 0.000276 9.96e-05 4.26e-05 2.09e-05 1.14e-05
30 20.8 0.0328 0.00416 0.000862 0.000243 8.53e-05 3.55e-05 1.69e-05 9.01e-06
31 21.5 0.0317 0.0039 0.000785 0.000215 7.33e-05 2.97e-05 1.38e-05 7.16e-06
32 22.2 0.0308 0.00367 0.000717 0.000191 6.33e-05 2.5e-05 1.13e-05 5.73e-06
  Tabla 4: Tasa de falsos positivos bajo varias combinaciones m / ny k.
m / n k k = 9 k = 10 k = 11 k = 12 k = 13 k = 14 k = 15 k = 16
11 7.62 0.00531
12 8.32 0.00317 0.00334
13 9.01 0.00194 0.00198 0.0021
14 9.7 0.00121 0.0012 0.00124
15 10.4 0.000775 0.000744 0.000747 0.000778
16 11.1 0.000505 0.00047 0.000459 0.000466 0.000488
17 11.8 0.000335 0.000302 0.000287 0.000284 0.000291
18 12.5 0.000226 0.000198 0.000183 0.000176 0.000176 0.000182
19 13.2 0.000155 0.000132 0.000118 0.000111 0.000109 0.00011 0.000114
20 13.9 0.000108 8.89e-05 7.77e-05 7.12e-05 6.79e-05 6.71e-05 6.84e-05
21 14.6 7.59e-05 6.09e-05 5.18e-05 4.63e-05 4.31e-05 4.17e-05 4.16e-05 4.27e-05
22 15.2 5.42e-05 4.23e-05 3.5e-05 3.05e-05 2.78e-05 2.63e-05 2.57e-05 2.59e-05
23 15.9 3.92e-05 2.97e-05 2.4e-05 2.04e-05 1.81e-05 1.68e-05 1.61e-05 1.59e-05
24 16.6 2.86e-05 2.11e-05 1.66e-05 1.38e-05 1.2e-05 1.08e-05 1.02e-05 9.87e-06
25 17.3 2.11e-05 1.52e-05 1.16e-05 9.42e-06 8.01e-06 7.1e-06 6.54e-06 6.22e-06
26 18 1.57e-05 1.1e-05 8.23e-06 6.52e-06 5.42e-06 4.7e-06 4.24e-06 3.96e-06
27 18.7 1.18e-05 8.07e-06 5.89e-06 4.56e-06 3.7e-06 3.15e-06 2.79e-06 2.55e-06
28 19.4 8.96e-06 5.97e-06 4.25e-06 3.22e-06 2.56e-06 2.13e-06 1.85e-06 1.66e-06
29 20.1 6.85e-06 4.45e-06 3.1e-06 2.29e-06 1.79e-06 1.46e-06 1.24e-06 1.09e-06
30 20.8 5.28e-06 3.35e-06 2.28e-06 1.65e-06 1.26e-06 1.01e-06 8.39e-06 7.26e-06
31 21.5 4.1e-06 2.54e-06 1.69e-06 1.2e-06 8.93e-07 7e-07 5.73e-07 4.87e-07
32 22.2 3.2e-06 1.94e-06 1.26e-06 8.74e-07 6.4e-07 4.92e-07 3.95e-07 3.3e-07
  Tabla 5: Tasa de falsos positivos bajo varias combinaciones m / ny k.
m / n k k = 17 k = 18 k = 19 k = 20 k = 21 k = 22 k = 23 k = 24
22 15.2 2.67e-05
23 15.9 1.61e-05
24 16.6 9.84e-06 1e-05
25 17.3 6.08e-06 6.11e-06 6.27e-06
26 18 3.81e-06 3.76e-06 3.8e-06 3.92e-06
27 18.7 2.41e-06 2.34e-06 2.33e-06 2.37e-06
28 19.4 1.54e-06 1.47e-06 1.44e-06 1.44e-06 1.48e-06
29 20.1 9.96e-07 9.35e-07 9.01e-07 8.89e-07 8.96e-07 9.21e-07
30 20.8 6.5e-07 6e-07 5.69e-07 5.54e-07 5.5e-07 5.58e-07
31 21.5 4.29e-07 3.89e-07 3.63e-07 3.48e-07 3.41e-07 3.41e-07 3.48e-07
32 22.2 2.85e-07 2.55e-07 2.34e-07 2.21e-07 2.13e-07 2.1e-07 2.12e-07 2.17e-07

El gráfico de la Figura 4 muestra la probabilidad de un falso positivo en función del número de bits asignados para cada entrada, es decir, la relación. La curva anterior es para el caso de 4 funciones hash. La siguiente curva es para el número óptimo de funciones hash. La escala es logarítmica, por lo que la línea recta observada corresponde a una disminución exponencial. Está claro que los filtros Bloom requieren muy poco almacenamiento por clave con el ligero riesgo de algunos falsos positivos. Por ejemplo, para una matriz de bits 10 veces mayor que el número de entradas, la probabilidad de un falso positivo es del 1,2% para 4 funciones hash y del 0,9% para el caso óptimo de 5 funciones hash. La probabilidad de falsos positivos se puede reducir fácilmente asignando más memoria.

   Figura 4: Probabilidad de falsos positivos (escala logarítmica). La curva superior es para 4 funciones hash. La curva inferior es para el número óptimo (integral) de funciones hash.

Dado que en nuestro contexto cada proxy mantiene un filtro Bloom local para representar sus propios documentos almacenados en caché, se deben admitir los cambios del conjunto A. Esto se hace manteniendo para cada ubicación en la matriz de bits un recuento del número de veces que el bit se establece en 1 (es decir, el número de elementos a los que se aplica el hash en cualquiera de las funciones hash). Todos los recuentos son inicialmente 0. Cuando se inserta o elimina una clave a (en nuestro caso, la URL de un documento), los recuentos c (h 1 (a)), c (h 2 (a)),. c (h k (a)) se incrementan o disminuyen en consecuencia. Cuando una cuenta cambia de 0 a 1, el bit correspondiente se activa. Cuando una cuenta cambia de 1 a 0, el bit correspondiente se desactiva. Por lo tanto, el filtro Bloom local siempre refleja correctamente el directorio actual.

Dado que también necesitamos asignar memoria para los recuentos, es importante saber qué tan grandes pueden llegar a ser. El conteo máximo esperado asintótico después de insertar n claves con k funciones hash en una matriz de bits de tamaño m es (ver [22, p. 72])

y la probabilidad de que cualquier recuento sea mayor o igual i es

Como ya se mencionó, el valor óptimo para k (sobre reales) es asumiendo que el número de funciones hash es menor de lo que podemos unir más

Por tanto, tomando i = 16 obtenemos que

En otras palabras, si permitimos 4 bits por conteo, la probabilidad de desbordamiento para valores prácticos de m durante la inserción inicial en la tabla es minúscula.

En la práctica debemos tener en cuenta que las funciones hash no son verdaderamente aleatorias, y que seguimos haciendo inserciones y eliminaciones. Sin embargo, parece que 4 bits por recuento serían suficientes. Además, si el recuento supera los 15, simplemente podemos dejar que permanezca en 15 después de muchas eliminaciones, esto podría llevar a una situación en la que el filtro Bloom permita un falso negativo (el recuento se convierte en 0 cuando no debería ser), pero la probabilidad de tal cadena de eventos es tan baja que es mucho más probable que el servidor proxy se reinicie mientras tanto y se reconstruya toda la estructura.


Si afuera es 42 ^ circ y la temperatura aumenta en 7 ^ circ, entonces podemos sumar la temperatura inicial y el cambio de temperatura para encontrar la temperatura final.

Si la temperatura disminuye en 7 ^ circ, podemos restar 42-7 para encontrar la temperatura final, o podemos pensar en el cambio como text-7 ^ circ. Nuevamente, podemos sumar para encontrar la temperatura final.

En general, podemos representar un cambio de temperatura con un número positivo si aumenta y un número negativo si disminuye. Luego, podemos encontrar la temperatura final agregando la temperatura inicial y el cambio. Si es 3 ^ circ y la temperatura disminuye en 7 ^ circ, entonces podemos sumar para encontrar la temperatura final.

Podemos representar números con signo con flechas en una recta numérica. Podemos representar números positivos con flechas que comienzan en 0 y apuntan a la derecha. Por ejemplo, esta flecha representa +10 porque tiene 10 unidades de largo y apunta a la derecha.

Podemos representar números negativos con flechas que comienzan en 0 y apuntan a la izquierda. Por ejemplo, esta flecha representa -4 porque tiene 4 unidades de largo y apunta a la izquierda.

Para representar la suma, colocamos las flechas "de punta a cola". Entonces este diagrama representa 3 + 5:

Y esto representa 3 + ( text-5):


5.3 Podemos agregar en su lugar

Empareja cada diagrama con una de estas expresiones:

Complete cada una de estas tablas. ¿Que notaste?

¿Estás listo para más?

Es posible crear un nuevo sistema numérico usando solamente los números 0, 1, 2 y 3. Escribiremos los símbolos para sumar y restar en este sistema así: 2 oplus 1 = 3 y 2 ominus 1 = 1. La tabla muestra algunas de las sumas.

  1. En este sistema, 1 oplus 2 = 3 y 2 oplus 3 = 1. ¿Cómo puedes ver eso en la mesa?
  2. ¿Qué crees que debería ser 3 oplus 1?
  3. ¿Qué pasa con 3 oplus 3?
  4. ¿Qué crees que debería ser 3 ominus 1?
  5. ¿Qué pasa con 2 ominus 3?
  6. ¿Puedes pensar en algún uso para este sistema numérico?

Calculadora de resumen de 5 números / Calculadora de rango intercuartílico

La calculadora de resumen de 5 números le mostrará una forma paso a paso para encontrar los valores mínimo, Q1, mediano, Q3 y máximo en un conjunto. Después de encontrar Q1 y Q3, también encontrará el rango intercuartílico.

Después de encontrar el resumen de 5 números, otro recurso útil es la Calculadora de fórmula percentil y la Calculadora de rango percentil. Hacemos que las estadísticas sean fáciles & # 8230 ¡TIENES esto!

5 Resumen de números / Calculadora de rango intercuartílico

Respuesta:

El resumen de 5 números de los valores de los datos:

Min: 117
1er cuartil: 153,5
Mediana: 173
3er cuartil: 220,5
Máximo: 277
Rango intercuartil: 67

Solución:

Para encontrar el resumen de 5 números de un conjunto de datos, necesita encontrar el valor de datos más pequeño (mínimo), el percentil 25 (Q1 - el primer cuartil), la mediana (percentil 25, Q2, el segundo cuartil), el percentil 75 (Q3 - el tercer cuartil) y el valor de datos más grande (máximo).

Tenga en cuenta que hay 20 valores de datos en este conjunto de datos. Es útil ordenarlos en orden ascendente.

$ 117, 125, 143, 144, 153, 154, 156, 157, 166, 172, 174, 175, 219, 220, 220, 221, 228, 237, 267, 277 $

Una vez que se ordenan los datos, es fácil ver que el valor mínimo de los datos es 117 y el valor máximo de datos es 277.

La mediana de un conjunto de datos se encuentra identificando el número del medio en un conjunto de datos ordenados. Si hay un número impar de valores de datos en el conjunto de datos, la mediana es un solo número. Si hay un número par de valores de datos en el conjunto de datos, la mediana es el promedio de los dos números del medio.

Dado que hay un número par de valores de datos en este conjunto de datos, hay dos números intermedios. Con 20 valores de datos, los números del medio son los valores de datos en las posiciones 10 y 11. Estos son 172 y 174. La mediana es el promedio de estos números. Tenemos $ < frac <172 + 174> <2>> $ Por lo tanto, el la mediana es $ 173 $

Para encontrar el primer cuartil, o percentil 25, enumere todos los números en el conjunto de datos desde la posición 1 a la posición 10. Estas son las posiciones en el conjunto de datos que son menores que la posición de la mediana.

$ 117, 125, 143, 144, 153, 154, 156, 157, 166, 172, $

Ahora, encontramos la mediana de este conjunto de datos más pequeño. Eso es el primer cuartil, Q1. Dado que hay un número par de valores de datos en este conjunto de datos, hay dos números intermedios. Con 10 valores de datos, los números del medio son los valores de datos en las posiciones 5 y 6. Estos son 153 y 154. La mediana es el promedio de estos números. Tenemos $ < frac <153 + 154> <2>> $ Por lo tanto, Q1, el percentil 25, es $ 153,5 $.

Para encontrar el tercer cuartil, o percentil 75, enumere todos los números en el conjunto de datos desde la posición 11 a la posición 20. Estas son las posiciones en el conjunto de datos que son mayores que la posición de la mediana.

$ 174, 175, 219, 220, 220, 221, 228, 237, 267, 277, $

Ahora, encontramos la mediana de este conjunto de datos más pequeño. Eso es el tercer cuartil, Q3. Dado que hay un número par de valores de datos en este conjunto de datos, hay dos números intermedios. Con 10 valores de datos, los números del medio son los valores de datos en las posiciones 5 y 6. Estos son 220 y 221. La mediana es el promedio de estos números. Tenemos $ < frac <220 + 221> <2>> $ Por lo tanto, Q3, el percentil 75, es $ 220,5 $.

Para encontrar el rango intercuartílico, reste Q1, 153.5, de Q3, 220.5. $ 220.5 - 153.5 = 67 $


Contenido

Los arquitectos Michael Ostwald y Kim Williams, considerando las relaciones entre arquitectura y matemáticas, señalan que los campos como comúnmente se entienden pueden parecer sólo débilmente conectados, ya que la arquitectura es una profesión que se ocupa de la cuestión práctica de hacer edificios, mientras que las matemáticas son las puras. estudio de números y otros objetos abstractos. Pero, argumentan, los dos están fuertemente conectados y lo han estado desde la antigüedad. En la antigua Roma, Vitruvio describió a un arquitecto como un hombre que conocía lo suficiente de una variedad de otras disciplinas, principalmente la geometría, para permitirle supervisar a los artesanos expertos en todas las demás áreas necesarias, como albañiles y carpinteros. Lo mismo se aplicó en la Edad Media, donde los graduados aprendieron aritmética, geometría y estética junto con el programa básico de gramática, lógica y retórica (el trivium) en elegantes salones hechos por maestros constructores que habían guiado a muchos artesanos. Un maestro de obras en la cima de su profesión recibió el título de arquitecto o ingeniero. En el Renacimiento, el quadrivium de aritmética, geometría, música y astronomía se convirtió en un plan de estudios adicional esperado del hombre del Renacimiento como Leon Battista Alberti. De manera similar, en Inglaterra, Sir Christopher Wren, conocido hoy como arquitecto, fue en primer lugar un destacado astrónomo. [3]

Williams y Ostwald, al revisar más a fondo la interacción de las matemáticas y la arquitectura desde 1500 según el enfoque del sociólogo alemán Theodor Adorno, identifican tres tendencias entre los arquitectos, a saber: ser revolucionario, presentando ideas completamente nuevas reaccionario, no introducir cambios o avivador, en realidad yendo al revés. Argumentan que los arquitectos han evitado buscar inspiración en las matemáticas en tiempos de avivamiento. Esto explicaría por qué en los períodos revivalistas, como el Renacimiento gótico en la Inglaterra del siglo XIX, la arquitectura tenía poca conexión con las matemáticas. Igualmente, señalan que en tiempos reaccionarios como el manierismo italiano de aproximadamente 1520 a 1580, o los movimientos barroco y palladiano del siglo XVII, las matemáticas apenas se consultaban. En contraste, los movimientos revolucionarios de principios del siglo XX, como el futurismo y el constructivismo, rechazaron activamente las viejas ideas, abrazaron las matemáticas y condujeron a la arquitectura modernista. También hacia finales del siglo XX, los arquitectos se apoderaron rápidamente de la geometría fractal, al igual que el mosaico aperiódico, para proporcionar revestimientos interesantes y atractivos para los edificios. [4]

Los arquitectos utilizan las matemáticas por varias razones, dejando de lado el uso necesario de las matemáticas en la ingeniería de edificios. [5] En primer lugar, utilizan la geometría porque define la forma espacial de un edificio. [6] En segundo lugar, utilizan las matemáticas para diseñar formas que se consideran bellas o armoniosas. [7] Desde la época de los pitagóricos con su filosofía religiosa del número, [8] los arquitectos de la antigua Grecia, la antigua Roma, el mundo islámico y el Renacimiento italiano han elegido las proporciones del entorno construido - edificios y sus alrededores diseñados - según a principios tanto matemáticos como estéticos y, a veces, religiosos. [9] [10] [11] [12] En tercer lugar, pueden usar objetos matemáticos como teselados para decorar edificios. [13] [14] En cuarto lugar, pueden utilizar las matemáticas en forma de modelos informáticos para cumplir con los objetivos ambientales, como minimizar las corrientes de aire en la base de los edificios altos. [1]

Roma antigua Editar

Vitruvio Editar

El influyente arquitecto romano antiguo Vitruvio argumentó que el diseño de un edificio como un templo depende de dos cualidades, proporción y simetría. La proporción asegura que cada parte de un edificio se relacione armoniosamente con todas las demás. Symmetria en el uso de Vitruvio significa algo más cercano al término inglés modularidad que simetría de espejo, ya que nuevamente se relaciona con el ensamblaje de partes (modulares) en todo el edificio. En su Basílica de Fano, utiliza proporciones de números enteros pequeños, especialmente los números triangulares (1, 3, 6, 10,.) Para proporcionar la estructura en módulos (vitruvianos). [a] Por lo tanto, el ancho a largo de la Basílica es 1: 2, el pasillo alrededor de ella es tan alto como ancho, 1: 1 las columnas tienen cinco pies de espesor y cincuenta pies de alto, 1:10. [9]

Vitruvio nombró tres cualidades requeridas de la arquitectura en su De architectura, C. 15 a. C.: firmeza, utilidad (o "mercancía" en el inglés del siglo XVI de Henry Wotton) y deleite. Estos se pueden utilizar como categorías para clasificar las formas en que se utilizan las matemáticas en la arquitectura. La firmeza abarca el uso de las matemáticas para garantizar que un edificio se mantenga en pie, de ahí las herramientas matemáticas utilizadas en el diseño y para apoyar la construcción, por ejemplo, para garantizar la estabilidad y el rendimiento del modelo. La utilidad se deriva en parte de la aplicación efectiva de las matemáticas, razonando y analizando las relaciones espaciales y de otro tipo en un diseño. El deleite es un atributo del edificio resultante, resultado de la incorporación de relaciones matemáticas en el edificio que incluye cualidades estéticas, sensuales e intelectuales. [dieciséis]

El Panteón Editar

El Panteón de Roma ha sobrevivido intacto, ilustrando la estructura, proporción y decoración romanas clásicas. La estructura principal es una cúpula, el ápice se deja abierto como un óculo circular para dejar entrar la luz y está enfrentado por una columnata corta con un frontón triangular. La altura del óculo y el diámetro del círculo interior son los mismos, 43,3 metros (142 pies), por lo que todo el interior encajaría exactamente dentro de un cubo, y el interior podría albergar una esfera del mismo diámetro. [17] Estas dimensiones tienen más sentido cuando se expresan en unidades de medida romanas antiguas: La cúpula mide 150 pies romanos [b]) el óculo tiene 30 pies romanos de diámetro y la entrada tiene 40 pies romanos de alto. [18] El Panteón sigue siendo la cúpula de hormigón no reforzado más grande del mundo. [19]

Renacimiento Editar

El primer tratado renacentista de arquitectura fue el 1450 de Leon Battista Alberti. De re aedificatoria (Sobre el arte de la construcción) se convirtió en el primer libro impreso sobre arquitectura en 1485. Se basó en parte en el libro de Vitruvio. De architectura y, a través de Nicomachus, aritmética pitagórica. Alberti comienza con un cubo y deriva proporciones de él. Así, la diagonal de una cara da la razón 1: √ 2, mientras que el diámetro de la esfera que circunscribe el cubo da 1: √ 3. [20] [21] Alberti también documentó el descubrimiento de Filippo Brunelleschi de la perspectiva lineal, desarrollada para permitir el diseño de edificios que se verían bellamente proporcionados cuando se veían desde una distancia conveniente. [12]

El siguiente texto importante fue el de Sebastiano Serlio. Regole generali d'architettura (Reglas Generales de Arquitectura) el primer volumen apareció en Venecia en 1537 el volumen de 1545 (libros 1 y 2) cubrió la geometría y la perspectiva. Dos de los métodos de Serlio para construir perspectivas estaban equivocados, pero esto no impidió que su trabajo fuera ampliamente utilizado. [23]

En 1570, Andrea Palladio publicó el influyente I quattro libri dell'architettura (Los cuatro libros de arquitectura) en Venecia. Este libro ampliamente impreso fue en gran parte responsable de difundir las ideas del Renacimiento italiano en toda Europa, con la ayuda de proponentes como el diplomático inglés Henry Wotton con su 1624 Los elementos de la arquitectura. [24] Las proporciones de cada habitación dentro de la villa se calcularon en proporciones matemáticas simples como 3: 4 y 4: 5, y las diferentes habitaciones dentro de la casa estaban interrelacionadas por estas proporciones. Los arquitectos anteriores habían utilizado estas fórmulas para equilibrar una sola fachada simétrica, sin embargo, los diseños de Palladio se relacionaban con toda la villa, generalmente cuadrada. [25] Palladio permitió una variedad de proporciones en el Quattro libri, indicando: [26] [27]

Hay siete tipos de habitaciones que son las más bonitas y bien proporcionadas y resultan mejor: se pueden hacer circulares, aunque son raras o cuadradas o su longitud será igual a la diagonal del cuadrado de la anchura o un cuadrado y un tercio o un cuadrado y medio o un cuadrado y dos tercios o dos cuadrados. [C]

En 1615, Vincenzo Scamozzi publicó el tratado del Renacimiento tardío L'idea dell'architettura universale (La idea de una arquitectura universal). [28] Intentó relacionar el diseño de ciudades y edificios con las ideas de Vitruvio y los pitagóricos, y con las ideas más recientes de Palladio. [29]

Siglo XIX Editar

Vladimir Shukhov utilizó estructuras hiperboloides a partir de finales del siglo XIX para mástiles, faros y torres de refrigeración. Su llamativa forma es a la vez estéticamente interesante y fuerte, utilizando materiales estructurales de forma económica. La primera torre hiperboloidal de Shújov se exhibió en Nizhny Novgorod en 1896. [30] [31] [32]

Siglo XX Editar

El movimiento de principios del siglo XX La arquitectura moderna, iniciada [d] por el constructivismo ruso, [33] utilizó geometría euclidiana rectilínea (también llamada cartesiana). En el movimiento de De Stijl, lo horizontal y lo vertical se consideraban constitutivos de lo universal. La forma arquitectónica consiste en unir estas dos tendencias direccionales, utilizando planos de techo, planos de pared y balcones, que se deslizan o se cruzan, como en la Casa Rietveld Schröder de 1924 de Gerrit Rietveld. [34]

Los arquitectos modernistas eran libres de hacer uso de curvas y planos. La estación Arnos de Charles Holden en 1933 tiene una taquilla circular de ladrillo con un techo plano de hormigón. [35] En 1938, el pintor de la Bauhaus László Moholy-Nagy adoptó los siete elementos biotécnicos de Raoul Heinrich Francé, a saber, el cristal, la esfera, el cono, el plano, la tira (cuboidal), la barra (cilíndrica) y la espiral como los supuestos bloques de construcción básicos de la arquitectura inspirados en la naturaleza. [36] [37]

Le Corbusier propuso una escala antropométrica de proporciones en arquitectura, el Modulor, basada en la supuesta altura de un hombre. [38] La Chapelle Notre-Dame du Haut de Le Corbusier de 1955 utiliza curvas de forma libre que no se pueden describir en fórmulas matemáticas. [e] Se dice que las formas evocan formas naturales como la proa de un barco o las manos en oración. [41] El diseño es solo a la escala más grande: no hay jerarquía de detalles a escalas más pequeñas y, por lo tanto, no hay dimensión fractal; lo mismo se aplica a otros edificios famosos del siglo XX, como la Ópera de Sydney, el Aeropuerto Internacional de Denver y el Museo Guggenheim, Bilbao. [39]

La arquitectura contemporánea, en opinión de los 90 arquitectos líderes que respondieron a una Encuesta Mundial de Arquitectura de 2010, es extremadamente diversa, y se consideró que lo mejor es el Museo Guggenheim de Frank Gehry, Bilbao. [42]

El edificio de la terminal del Aeropuerto Internacional de Denver, terminado en 1995, tiene un techo de tela sostenido como una superficie mínima (es decir, su curvatura media es cero) por cables de acero. Evoca las montañas nevadas de Colorado y las tiendas de campaña tipi de los nativos americanos. [43] [44]

El arquitecto Richard Buckminster Fuller es famoso por diseñar fuertes estructuras de capa delgada conocidas como domos geodésicos. La cúpula de Montréal Biosphère tiene 61 metros (200 pies) de altura y su diámetro es de 76 metros (249 pies). [45]

Sydney Opera House tiene un techo espectacular que consiste en elevadas bóvedas blancas, que recuerdan a las velas de los barcos para que sea posible construirlas utilizando componentes estandarizados, las bóvedas están compuestas por secciones triangulares de conchas esféricas con el mismo radio. Estos tienen la curvatura uniforme requerida en todas las direcciones. [46]

El movimiento deconstructivismo de finales del siglo XX crea un desorden deliberado con lo que Nikos Salingaros en Una teoría de la arquitectura denomina formas aleatorias [47] de alta complejidad [48] mediante el uso de paredes no paralelas, rejillas superpuestas y superficies complejas en 2-D, como en el Disney Concert Hall de Frank Gehry y el Museo Guggenheim de Bilbao. [49] [50] Hasta el siglo XX, los estudiantes de arquitectura estaban obligados a tener una base en matemáticas. Salingaros argumenta que primero el Modernismo "excesivamente simplista y políticamente impulsado" y luego el Deconstructivismo "anticientífico" han separado efectivamente la arquitectura de las matemáticas. Él cree que esta "inversión de los valores matemáticos" es dañina, ya que la "estética generalizada" de la arquitectura no matemática entrena a las personas "para rechazar la información matemática en el entorno construido", argumenta que esto tiene efectos negativos en la sociedad. [39]

Antiguo Egipto Editar

Las pirámides del antiguo Egipto son tumbas construidas con proporciones matemáticas, pero se debate cuáles fueron y si se utilizó el teorema de Pitágoras. The ratio of the slant height to half the base length of the Great Pyramid of Giza is less than 1% from the golden ratio. [51] If this was the design method, it would imply the use of Kepler's triangle (face angle 51°49'), [51] [52] but according to many historians of science, the golden ratio was not known until the time of the Pythagoreans. [53] The Great Pyramid may also have been based on a triangle with base to hypotenuse ratio 1:4/π (face angle 51°50'). [54]

The proportions of some pyramids may have also been based on the 3:4:5 triangle (face angle 53°8'), known from the Rhind Mathematical Papyrus (c. 1650–1550 BC) this was first conjectured by historian Moritz Cantor in 1882. [55] It is known that right angles were laid out accurately in ancient Egypt using knotted cords for measurement, [55] that Plutarch recorded in Isis and Osiris (c. 100 AD) that the Egyptians admired the 3:4:5 triangle, [55] and that a scroll from before 1700 BC demonstrated basic square formulas. [56] [f] Historian Roger L. Cooke observes that "It is hard to imagine anyone being interested in such conditions without knowing the Pythagorean theorem," but also notes that no Egyptian text before 300 BC actually mentions the use of the theorem to find the length of a triangle's sides, and that there are simpler ways to construct a right angle. Cooke concludes that Cantor's conjecture remains uncertain he guesses that the ancient Egyptians probably knew the Pythagorean theorem, but "there is no evidence that they used it to construct right angles." [55]

Ancient India Edit

Vaastu Shastra, the ancient Indian canons of architecture and town planning, employs symmetrical drawings called mandalas. Complex calculations are used to arrive at the dimensions of a building and its components. The designs are intended to integrate architecture with nature, the relative functions of various parts of the structure, and ancient beliefs utilizing geometric patterns (yantra), symmetry and directional alignments. [57] [58] However, early builders may have come upon mathematical proportions by accident. The mathematician Georges Ifrah notes that simple "tricks" with string and stakes can be used to lay out geometric shapes, such as ellipses and right angles. [12] [59]

The mathematics of fractals has been used to show that the reason why existing buildings have universal appeal and are visually satisfying is because they provide the viewer with a sense of scale at different viewing distances. For example, in the tall gopuram gatehouses of Hindu temples such as the Virupaksha Temple at Hampi built in the seventh century, and others such as the Kandariya Mahadev Temple at Khajuraho, the parts and the whole have the same character, with fractal dimension in the range 1.7 to 1.8. The cluster of smaller towers (shikhara, lit. 'mountain') about the tallest, central, tower which represents the holy Mount Kailash, abode of Lord Shiva, depicts the endless repetition of universes in Hindu cosmology. [2] [60] The religious studies scholar William J. Jackson observed of the pattern of towers grouped among smaller towers, themselves grouped among still smaller towers, that:

The ideal form gracefully artificed suggests the infinite rising levels of existence and consciousness, expanding sizes rising toward transcendence above, and at the same time housing the sacred deep within. [60] [61]

The Meenakshi Amman Temple is a large complex with multiple shrines, with the streets of Madurai laid out concentrically around it according to the shastras. The four gateways are tall towers (gopurams) with fractal-like repetitive structure as at Hampi. The enclosures around each shrine are rectangular and surrounded by high stone walls. [62]

Ancient Greece Edit

Pythagoras (c. 569 – c. 475 B.C.) and his followers, the Pythagoreans, held that "all things are numbers". They observed the harmonies produced by notes with specific small-integer ratios of frequency, and argued that buildings too should be designed with such ratios. The Greek word symmetria originally denoted the harmony of architectural shapes in precise ratios from a building's smallest details right up to its entire design. [12]

The Parthenon is 69.5 metres (228 ft) long, 30.9 metres (101 ft) wide and 13.7 metres (45 ft) high to the cornice. This gives a ratio of width to length of 4:9, and the same for height to width. Putting these together gives height:width:length of 16:36:81, or to the delight [63] of the Pythagoreans 4 2 :6 2 :9 2 . This sets the module as 0.858 m. A 4:9 rectangle can be constructed as three contiguous rectangles with sides in the ratio 3:4. Each half-rectangle is then a convenient 3:4:5 right triangle, enabling the angles and sides to be checked with a suitably knotted rope. The inner area (naos) similarly has 4:9 proportions (21.44 metres (70.3 ft) wide by 48.3 m long) the ratio between the diameter of the outer columns, 1.905 metres (6.25 ft), and the spacing of their centres, 4.293 metres (14.08 ft), is also 4:9. [12]

The Parthenon is considered by authors such as John Julius Norwich "the most perfect Doric temple ever built". [64] Its elaborate architectural refinements include "a subtle correspondence between the curvature of the stylobate, the taper of the naos walls and the entasis of the columns". [64] Entasis refers to the subtle diminution in diameter of the columns as they rise. The stylobate is the platform on which the columns stand. As in other classical Greek temples, [65] the platform has a slight parabolic upward curvature to shed rainwater and reinforce the building against earthquakes. The columns might therefore be supposed to lean outwards, but they actually lean slightly inwards so that if they carried on, they would meet about a kilometre and a half above the centre of the building since they are all the same height, the curvature of the outer stylobate edge is transmitted to the architrave and roof above: "all follow the rule of being built to delicate curves". [66]

The golden ratio was known in 300 B.C., when Euclid described the method of geometric construction. [67] It has been argued that the golden ratio was used in the design of the Parthenon and other ancient Greek buildings, as well as sculptures, paintings, and vases. [68] More recent authors such as Nikos Salingaros, however, doubt all these claims. [69] Experiments by the computer scientist George Markowsky failed to find any preference for the golden rectangle. [70]

Islamic architecture Edit

The historian of Islamic art Antonio Fernandez-Puertas suggests that the Alhambra, like the Great Mosque of Cordoba, [71] was designed using the Hispano-Muslim foot or codo of about 0.62 metres (2.0 ft). In the palace's Court of the Lions, the proportions follow a series of surds. A rectangle with sides 1 and √ 2 has (by Pythagoras's theorem) a diagonal of √ 3 , which describes the right triangle made by the sides of the court the series continues with √ 4 (giving a 1:2 ratio), √ 5 and so on. The decorative patterns are similarly proportioned, √ 2 generating squares inside circles and eight-pointed stars, √ 3 generating six-pointed stars. There is no evidence to support earlier claims that the golden ratio was used in the Alhambra. [10] [72] The Court of the Lions is bracketed by the Hall of Two Sisters and the Hall of the Abencerrajes a regular hexagon can be drawn from the centres of these two halls and the four inside corners of the Court of the Lions. [73]

The Selimiye Mosque in Edirne, Turkey, was built by Mimar Sinan to provide a space where the mihrab could be see from anywhere inside the building. The very large central space is accordingly arranged as an octagon, formed by eight enormous pillars, and capped by a circular dome of 31.25 metres (102.5 ft) diameter and 43 metres (141 ft) high. The octagon is formed into a square with four semidomes, and externally by four exceptionally tall minarets, 83 metres (272 ft) tall. The building's plan is thus a circle, inside an octagon, inside a square. [74]

Mughal architecture Edit

Mughal architecture, as seen in the abandoned imperial city of Fatehpur Sikri and the Taj Mahal complex, has a distinctive mathematical order and a strong aesthetic based on symmetry and harmony. [11] [75]

The Taj Mahal exemplifies Mughal architecture, both representing paradise [76] and displaying the Mughal Emperor Shah Jahan's power through its scale, symmetry and costly decoration. The white marble mausoleum, decorated with pietra dura, the great gate (Darwaza-i rauza), other buildings, the gardens and paths together form a unified hierarchical design. The buildings include a mosque in red sandstone on the west, and an almost identical building, the Jawab or 'answer' on the east to maintain the bilateral symmetry of the complex. The formal charbagh ('fourfold garden') is in four parts, symbolising the four rivers of paradise, and offering views and reflections of the mausoleum. These are divided in turn into 16 parterres. [77]

The Taj Mahal complex was laid out on a grid, subdivided into smaller grids. The historians of architecture Koch and Barraud agree with the traditional accounts that give the width of the complex as 374 Mughal yards or gaz, [g] the main area being three 374-gaz squares. These were divided in areas like the bazaar and caravanserai into 17-gaz modules the garden and terraces are in modules of 23 gaz, and are 368 gaz wide (16 x 23). The mausoleum, mosque and guest house are laid out on a grid of 7 gaz. Koch and Barraud observe that if an octagon, used repeatedly in the complex, is given sides of 7 units, then it has a width of 17 units, [h] which may help to explain the choice of ratios in the complex. [78]

Christian architecture Edit

The Christian patriarchal basilica of Haghia Sophia in Byzantium (now Istanbul), first constructed in 537 (and twice rebuilt), was for a thousand years [i] the largest cathedral ever built. It inspired many later buildings including Sultan Ahmed and other mosques in the city. The Byzantine architecture includes a nave crowned by a circular dome and two half-domes, all of the same diameter (31 metres (102 ft)), with a further five smaller half-domes forming an apse and four rounded corners of a vast rectangular interior. [79] This was interpreted by mediaeval architects as representing the mundane below (the square base) and the divine heavens above (the soaring spherical dome). [80] The emperor Justinian used two geometers, Isidore of Miletus and Anthemius of Tralles as architects Isidore compiled the works of Archimedes on solid geometry, and was influenced by him. [12] [81]

The importance of water baptism in Christianity was reflected in the scale of baptistry architecture. The oldest, the Lateran Baptistry in Rome, built in 440, [82] set a trend for octagonal baptistries the baptismal font inside these buildings was often octagonal, though Italy's largest baptistry, at Pisa, built between 1152 and 1363, is circular, with an octagonal font. It is 54.86 metres (180.0 ft) high, with a diameter of 34.13 metres (112.0 ft) (a ratio of 8:5). [83] Saint Ambrose wrote that fonts and baptistries were octagonal "because on the eighth day, [j] by rising, Christ loosens the bondage of death and receives the dead from their graves." [84] [85] Saint Augustine similarly described the eighth day as "everlasting . hallowed by the resurrection of Christ". [85] [86] The octagonal Baptistry of Saint John, Florence, built between 1059 and 1128, is one of the oldest buildings in that city, and one of the last in the direct tradition of classical antiquity it was extremely influential in the subsequent Florentine Renaissance, as major architects including Francesco Talenti, Alberti and Brunelleschi used it as the model of classical architecture. [87]

The number five is used "exuberantly" [88] in the 1721 Pilgrimage Church of St John of Nepomuk at Zelená hora, near Žďár nad Sázavou in the Czech republic, designed by Jan Blažej Santini Aichel. The nave is circular, surrounded by five pairs of columns and five oval domes alternating with ogival apses. The church further has five gates, five chapels, five altars and five stars a legend claims that when Saint John of Nepomuk was martyred, five stars appeared over his head. [88] [89] The fivefold architecture may also symbolise the five wounds of Christ and the five letters of "Tacui" (Latin: "I kept silence" [about secrets of the confessional]). [90]

Antoni Gaudí used a wide variety of geometric structures, some being minimal surfaces, in the Sagrada Família, Barcelona, started in 1882 (and not completed as of 2015). These include hyperbolic paraboloids and hyperboloids of revolution, [91] tessellations, catenary arches, catenoids, helicoids, and ruled surfaces. This varied mix of geometries is creatively combined in different ways around the church. For example, in the Passion Façade of Sagrada Família, Gaudí assembled stone "branches" in the form of hyperbolic paraboloids, which overlap at their tops (directrices) without, therefore, meeting at a point. In contrast, in the colonnade there are hyperbolic paraboloidal surfaces that smoothly join other structures to form unbounded surfaces. Further, Gaudí exploits natural patterns, themselves mathematical, with columns derived from the shapes of trees, and lintels made from unmodified basalt naturally cracked (by cooling from molten rock) into hexagonal columns. [92] [93] [94]

The 1971 Cathedral of Saint Mary of the Assumption, San Francisco has a saddle roof composed of eight segments of hyperbolic paraboloids, arranged so that the bottom horizontal cross section of the roof is a square and the top cross section is a Christian cross. The building is a square 77.7 metres (255 ft) on a side, and 57.9 metres (190 ft) high. [95] The 1970 Cathedral of Brasília by Oscar Niemeyer makes a different use of a hyperboloid structure it is constructed from 16 identical concrete beams, each weighing 90 tonnes, [k] arranged in a circle to form a hyperboloid of revolution, the white beams creating a shape like hands praying to heaven. Only the dome is visible from outside: most of the building is below ground. [96] [97] [98] [99]

Several medieval churches in Scandinavia are circular, including four on the Danish island of Bornholm. One of the oldest of these, Østerlars Church from c. 1160, has a circular nave around a massive circular stone column, pierced with arches and decorated with a fresco. The circular structure has three storeys and was apparently fortified, the top storey having served for defence. [100] [101]

The vaulting of the nave of Haghia Sophia, Istanbul (annotations), 562

The octagonal Baptistry of Saint John, Florence, completed in 1128

Islamic architectural decoration Edit

Islamic buildings are often decorated with geometric patterns which typically make use of several mathematical tessellations, formed of ceramic tiles (girih, zellige) that may themselves be plain or decorated with stripes. [12] Symmetries such as stars with six, eight, or multiples of eight points are used in Islamic patterns. Some of these are based on the 'Khatem Sulemani' or Solomon's seal motif, which is an eight-pointed star made of two squares, one rotated 45 degrees from the other on the same centre. [102] Islamic patterns exploit many of the 17 possible wallpaper groups as early as 1944, Edith Müller showed that the Alhambra made use of 11 wallpaper groups in its decorations, while in 1986 Branko Grünbaum claimed to have found 13 wallpaper groups in the Alhambra, asserting controversially that the remaining four groups are not found anywhere in Islamic ornament. [102]

The complex geometry and tilings of the muqarnas vaulting in the Sheikh Lotfollah Mosque, Isfahan, 1603–1619

Louvre Abu Dhabi under construction in 2015, its dome built up of layers of stars made of octagons, triangles, and squares

Modern architectural decoration Edit

Towards the end of the 20th century, novel mathematical constructs such as fractal geometry and aperiodic tiling were seized upon by architects to provide interesting and attractive coverings for buildings. [4] In 1913, the Modernist architect Adolf Loos had declared that "Ornament is a crime", [103] influencing architectural thinking for the rest of the 20th century. In the 21st century, architects are again starting to explore the use of ornament. 21st century ornamentation is extremely diverse. Henning Larsen's 2011 Harpa Concert and Conference Centre, Reykjavik has what looks like a crystal wall of rock made of large blocks of glass. [103] Foreign Office Architects' 2010 Ravensbourne College, London is tessellated decoratively with 28,000 anodised aluminium tiles in red, white and brown, interlinking circular windows of differing sizes. The tessellation uses three types of tile, an equilateral triangle and two irregular pentagons. [104] [105] [l] Kazumi Kudo's Kanazawa Umimirai Library creates a decorative grid made of small circular blocks of glass set into plain concrete walls. [103]

Europe Edit

The architecture of fortifications evolved from medieval fortresses, which had high masonry walls, to low, symmetrical star forts able to resist artillery bombardment between the mid-fifteenth and nineteenth centuries. The geometry of the star shapes was dictated by the need to avoid dead zones where attacking infantry could shelter from defensive fire the sides of the projecting points were angled to permit such fire to sweep the ground, and to provide crossfire (from both sides) beyond each projecting point. Well-known architects who designed such defences include Michelangelo, Baldassare Peruzzi, Vincenzo Scamozzi and Sébastien Le Prestre de Vauban. [106] [107]

The architectural historian Siegfried Giedion argued that the star-shaped fortification had a formative influence on the patterning of the Renaissance ideal city: "The Renaissance was hypnotized by one city type which for a century and a half—from Filarete to Scamozzi—was impressed upon all utopian schemes: this is the star-shaped city." [108]

Coevorden fortification plan. 17th century

China Edit

In Chinese architecture, the tulou of Fujian province are circular, communal defensive structures with mainly blank walls and a single iron-plated wooden door, some dating back to the sixteenth century. The walls are topped with roofs that slope gently both outwards and inwards, forming a ring. The centre of the circle is an open cobbled courtyard, often with a well, surrounded by timbered galleries up to five stories high. [109]

Architects may also select the form of a building to meet environmental goals. [88] For example, Foster and Partners' 30 St Mary Axe, London, known as "The Gherkin" for its cucumber-like shape, is a solid of revolution designed using parametric modelling. Its geometry was chosen not purely for aesthetic reasons, but to minimise whirling air currents at its base. Despite the building's apparently curved surface, all the panels of glass forming its skin are flat, except for the lens at the top. Most of the panels are quadrilaterals, as they can be cut from rectangular glass with less wastage than triangular panels. [1]

The traditional yakhchal (ice pit) of Persia functioned as an evaporative cooler. Above ground, the structure had a domed shape, but had a subterranean storage space for ice and sometimes food as well. The subterranean space and the thick heat-resistant construction insulated the storage space year round. The internal space was often further cooled with windcatchers. The ice was available in the summer to make the frozen dessert faloodeh. [110]


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