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7.1: Ecuaciones paramétricas - Matemáticas

7.1: Ecuaciones paramétricas - Matemáticas


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Objetivos de aprendizaje

  • Trace una curva descrita por ecuaciones paramétricas.
  • Convierta las ecuaciones paramétricas de una curva en la forma (y = f (x) ).
  • Reconocer las ecuaciones paramétricas de curvas básicas, como una línea y un círculo.
  • Reconoce las ecuaciones paramétricas de una cicloide.

En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficas. El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto (x ) como (y ) y, a medida que aumenta el parámetro, los valores de (x ) y (y ) trazan una trayectoria a lo largo de una curva plana . Por ejemplo, si el parámetro es (t ) (una opción común), entonces (t ) podría representar el tiempo. Entonces (x ) y (y ) se definen como funciones del tiempo, y ((x (t), y (t)) ) puede describir la posición en el plano de un objeto dado a medida que se mueve a lo largo un camino de curvas.

Ecuaciones paramétricas y sus gráficas

Considere la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión usaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es casi la misma, excepto en los años bisiestos, cuando el retraso introducido por el ( frac {1} {4} ) día adicional del tiempo de órbita está integrado en el calendario. Llamamos al 1 de enero "día 1" del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.

El número del día en un año puede considerarse una variable que determina la posición de la Tierra en su órbita. A medida que la Tierra gira alrededor del Sol, su ubicación física cambia en relación con el Sol. Después de un año completo, volvemos a donde comenzamos y comienza un nuevo año. Según las leyes del movimiento planetario de Kepler, la forma de la órbita es elíptica, con el Sol en un foco de la elipse. Estudiamos esta idea con más detalle en Secciones cónicas.

La figura ( PageIndex {1} ) muestra La órbita de la tierra alrededor del sol durante un año. El punto etiquetado (F_2 ) es uno de los focos de la elipse; el otro foco está ocupado por el sol. Si superponemos ejes de coordenadas sobre este gráfico, entonces podemos asignar pares ordenados a cada punto de la elipse (Figura ( PageIndex {2} )). Entonces, cada valor de (x ) en el gráfico es un valor de posición en función del tiempo, y cada valor de (y ) también es un valor de posición en función del tiempo. Por tanto, cada punto del gráfico corresponde a un valor de la posición de la Tierra en función del tiempo.

Podemos determinar las funciones para (x (t) ) y (y (t) ), parametrizando así la órbita de la Tierra alrededor del Sol. La variable (t ) se denomina parámetro independiente y, en este contexto, representa el tiempo relativo al comienzo de cada año.

Una curva en el plano ((x, y) ) se puede representar de forma paramétrica. Las ecuaciones que se utilizan para definir la curva se denominan ecuaciones paramétricas.

Definición: ecuaciones paramétricas

Si (x ) y (y ) son funciones continuas de (t ) en un intervalo (I ), entonces las ecuaciones

[x = x (t) ]

y

[y = y (t) ]

se llaman ecuaciones paramétricas y (t ) se llama parámetro. El conjunto de puntos ((x, y) ) obtenido cuando (t ) varía en el intervalo (I ) se llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. La gráfica de ecuaciones paramétricas se llama curva paramétrica o curva plana, y se denota por (C ).

Observe en esta definición que (x ) y (y ) se usan de dos maneras. La primera es en función de la variable independiente (t ). Como (t ) varía en el intervalo (I ), las funciones (x (t) ) y (y (t) ) generan un conjunto de pares ordenados ((x, y) ) . Este conjunto de pares ordenados genera la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En este segundo uso, para designar los pares ordenados, (x ) y (y ) son variables. Es importante distinguir las variables (x ) y (y ) de las funciones (x (t) ) y (y (t) ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Graficar una curva definida paramétricamente

Dibuje las curvas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas:

  1. (x (t) = t − 1, quad y (t) = 2t + 4, quad text {para} −3≤t≤2 )
  2. (x (t) = t ^ 2−3, quad y (t) = 2t + 1, quad text {para} −2≤t≤3 )
  3. (x (t) = 4 cos t, quad y (t) = 4 sin t, quad text {para} 0≤t≤2π )

Solución

un. Para crear un gráfico de esta curva, primero configure una tabla de valores. Dado que la variable independiente tanto en (x (t) ) como en (y (t) ) es (t ), deje que (t ) aparezca en la primera columna. Entonces (x (t) ) y (y (t) ) aparecerán en la segunda y tercera columnas de la tabla.

(t ) (x (t) ) (y (t) )
−3−4−2
−2−30
−1−22
0−14
106
218

La segunda y tercera columnas de esta tabla proporcionan un conjunto de puntos que se deben trazar. El gráfico de estos puntos aparece en la Figura ( PageIndex {3} ). Las flechas del gráfico indican la orientación del gráfico, es decir, la dirección en la que se mueve un punto en el gráfico cuando t varía de −3 a 2.

B. Para crear un gráfico de esta curva, vuelva a configurar una tabla de valores.

(t ) (x (t) ) (y (t) )
−21−3
−1−2−1
0−31
1−23
215
367

La segunda y tercera columnas de esta tabla dan un conjunto de puntos a trazar (Figura ( PageIndex {4} )). El primer punto del gráfico (correspondiente a (t = −2 )) tiene coordenadas ((1, −3) ), y el último punto (correspondiente a (t = 3 )) tiene coordenadas ( (6,7) ). A medida que (t ) progresa desde (- 2 ) a (3 ), el punto de la curva se desplaza a lo largo de una parábola. La dirección en que se mueve el punto se llama nuevamente orientación y se indica en el gráfico.

C. En este caso, use múltiplos de (π / 6 ) para (t ) y cree otra tabla de valores:

(t ) (x (t) ) (y (t) ) (t ) (x (t) ) (y (t) )
040 ( frac {7π} {6} ) (- 2 sqrt {3} ≈ − 3.5 )-2
( frac {π} {6} ) (2 sqrt {3} ≈3.5 )2 ( frac {4π} {3} )−2 (- 2 sqrt {3} ≈ − 3.5 )
( frac {π} {3} )2 (2 sqrt {3} ≈3.5 ) ( frac {3π} {2} )0−4
( frac {π} {2} )04 ( frac {5π} {3} )2 (- 2 sqrt {3} ≈ − 3.5 )
( frac {2π} {3} )−2 (2 sqrt {3} ≈3.5 ) ( frac {11π} {6} ) (2 sqrt {3} ≈3.5 )-2
( frac {5π} {6} ) (- 2 sqrt {3} ≈ − 3.5 )2 (2π )40
(π )−40

El gráfico de esta curva plana aparece en el siguiente gráfico.

Esta es la gráfica de un círculo con radio (4 ) centrado en el origen, con una orientación en sentido antihorario. Tanto el punto inicial como el final de la curva tienen coordenadas ((4,0) ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dibuja la curva descrita por las ecuaciones paramétricas.

[x (t) = 3t + 2, quad y (t) = t ^ 2−1, quad text {para} −3≤t≤2. sin número]

Pista

Haz una tabla de valores para (x (t) ) y (y (t) ) usando valores de (t ) desde (- 3 ) a (2 ).

Respuesta

Eliminando el Parámetro

Para comprender mejor la gráfica de una curva representada paramétricamente, es útil reescribir las dos ecuaciones como una sola ecuación que relaciona las variables (x ) y (y ). Entonces podemos aplicar cualquier conocimiento previo de ecuaciones de curvas en el plano para identificar la curva. Por ejemplo, las ecuaciones que describen la curva plana en Example ( PageIndex {1b} ) son

[ begin {align} x (t) & = t ^ 2−3 label {x1} [4pt] y (t) & = 2t + 1 label {y1} end {align} ]

sobre la región (- 2 le t le 3. )

Resolver la ecuación ref {y1} para (t ) da

[t = dfrac {y − 1} {2}. sin número]

Esto se puede sustituir en la Ecuación ref {x1}:

[ begin {align} x & = left ( dfrac {y − 1} {2} right) ^ 2−3 [4pt] & = dfrac {y ^ 2−2y + 1} {4 } −3 [4pt] & = dfrac {y ^ 2−2y − 11} {4}. label {y2} end {align} ]

La ecuación ref {y2} describe (x ) como una función de (y ). Estos pasos dan un ejemplo de cómo eliminar el parámetro. La gráfica de esta función es una parábola que se abre hacia la derecha (Figura ( PageIndex {4} )). Recuerde que la curva plana comenzó en ((1, −3) ) y terminó en ((6,7) ). Estas terminaciones se debieron a la restricción del parámetro (t ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): eliminar el parámetro

Elimine el parámetro para cada una de las curvas planas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante.

  1. (x (t) = sqrt {2t + 4}, quad y (t) = 2t + 1, quad text {para} −2≤t≤6 )
  2. (x (t) = 4 cos t, quad y (t) = 3 sin t, quad text {para} 0≤t≤2π )

Solución

un. Para eliminar el parámetro, podemos resolver cualquiera de las ecuaciones para (t ). Por ejemplo, resolver la primera ecuación para (t ) da

[ begin {align *} x & = sqrt {2t + 4} [4pt] x ^ 2 & = 2t + 4 [4pt] x ^ 2−4 & = 2t [4pt] t & = dfrac {x ^ 2−4} {2}. end {alinear *} ]

Tenga en cuenta que cuando cuadramos ambos lados es importante observar que (x≥0 ). Sustituyendo (t = dfrac {x ^ 2−4} {2} ) en (y (t) ) se obtiene

[y (t) = 2t + 1 ]

[y = 2 left ( dfrac {x ^ 2−4} {2} right) +1 ]

[y = x ^ 2−4 + 1 ]

[y = x ^ 2−3. ]

Esta es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba. Sin embargo, existe una restricción de dominio debido a los límites del parámetro (t ). Cuando (t = −2 ), (x = sqrt {2 (−2) +4} = 0 ), y cuando (t = 6 ), (x = sqrt {2 (6 ) +4} = 4 ). A continuación, se muestra el gráfico de esta curva plana.

B. A veces es necesario ser un poco creativo para eliminar el parámetro. Las ecuaciones paramétricas de este ejemplo son

[x (t) = 4 cos t nonumber ]

y

[y (t) = 3 sin t nonumber ]

No es aconsejable resolver ninguna ecuación para (t ) directamente porque el seno y el coseno no son funciones uno a uno. Sin embargo, dividir la primera ecuación por (4 ) y la segunda ecuación por (3 ) (y suprimir la (t )) nos da

[ cos t = dfrac {x} {4} nonumber ]

y

[ sin t = dfrac {y} {3}. nonumber ]

Ahora use la identidad pitagórica ( cos ^ 2t + sin ^ 2t = 1 ) y reemplace las expresiones para ( sin t ) y ( cos t ) con las expresiones equivalentes en términos de (x ) y (y ). Esto da

[ left ( dfrac {x} {4} right) ^ 2 + left ( dfrac {y} {3} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

[ dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1. sin número]

Ésta es la ecuación de una elipse horizontal centrada en el origen, con semieje mayor (4 ) y semieje menor (3 ) como se muestra en el siguiente gráfico.

Como t progresa de (0 ) a (2π ), un punto de la curva atraviesa la elipse una vez, en sentido antihorario. Recuerde del abridor de sección que la órbita de la Tierra alrededor del Sol también es elíptica. Este es un ejemplo perfecto del uso de curvas parametrizadas para modelar un fenómeno del mundo real.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Elimine el parámetro de la curva plana definida por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante.

[x (t) = 2 + dfrac {3} {t}, quad y (t) = t − 1, quad text {para} 2≤t≤6 nonumber ]

Pista

Resuelve una de las ecuaciones para (t ) y sustitúyelo en la otra ecuación.

Respuesta

(x = 2 + frac {3} {y + 1}, ) o (y = −1 + frac {3} {x − 2} ). Esta ecuación describe una parte de una hipérbola rectangular centrada en ((2, −1) ).

Hasta ahora hemos visto el método de eliminar el parámetro, asumiendo que conocemos un conjunto de ecuaciones paramétricas que describen una curva plana. ¿Qué pasa si quisiéramos comenzar con la ecuación de una curva y determinar un par de ecuaciones paramétricas para esa curva? Sin duda, esto es posible y, de hecho, es posible hacerlo de muchas formas diferentes para una curva determinada. El proceso se conoce como parametrización de una curva.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Parametrizar una curva

Encuentra dos pares diferentes de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de (y = 2x ^ 2−3 ).

Solución

Primero, siempre es posible parametrizar una curva definiendo (x (t) = t ), luego reemplazando (x ) con (t ) en la ecuación para (y (t) ). Esto da la parametrización

[x (t) = t, quad y (t) = 2t ^ 2−3. sin número]

Dado que no hay restricción en el dominio en el gráfico original, no hay restricción en los valores de (t ).

Tenemos total libertad en la elección de la segunda parametrización. Por ejemplo, podemos elegir (x (t) = 3t − 2 ). Lo único que debemos comprobar es que no se imponen restricciones a (x ); es decir, el rango de (x (t) ) son todos números reales. Este es el caso de (x (t) = 3t − 2 ). Ahora, como (y = 2x ^ 2−3 ), podemos sustituir (x (t) = 3t − 2 ) por (x ). Esto da

[y (t) = 2 (3t − 2) ^ 2−2 = 2 (9t ^ 2−12t + 4) −2 = 18t ^ 2−24t + 8−2 = 18t ^ 2−24t + 6. sin número]

Por tanto, una segunda parametrización de la curva se puede escribir como

(x (t) = 3t − 2 ) y (y (t) = 18t ^ 2−24t + 6. )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentra dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de (y = x ^ 2 + 2x ).

Pista

Siga los pasos del Ejemplo ( PageIndex {3} ). Recuerde que tenemos libertad para elegir la parametrización de (x (t) ).

Respuesta

Una posibilidad es (x (t) = t, quad y (t) = t ^ 2 + 2t. ) Otra posibilidad es (x (t) = 2t − 3, quad y (t) = (2t −3) ^ 2 + 2 (2t − 3) = 4t ^ 2−8t + 3. ) De hecho, hay un número infinito de posibilidades.

Cicloides y otras curvas paramétricas

Imagínese dar un paseo en bicicleta por el país. Los neumáticos permanecen en contacto con la carretera y giran en un patrón predecible. Ahora suponga que una hormiga muy decidida está cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Así que se cuelga del costado de la llanta y obtiene un viaje gratis. El camino que recorre esta hormiga por un camino recto se llama cicloide (Figura ( PageIndex {8} )). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de bicicleta) de radio a viene dada por las ecuaciones paramétricas

[x (t) = a (t− sin t), quad y (t) = a (1− cos t). nonumber ]

Para ver por qué esto es cierto, considere el camino que toma el centro de la rueda. El centro se mueve a lo largo del eje (x ) - a una altura constante igual al radio de la rueda. Si el radio es (a ), entonces las coordenadas del centro pueden estar dadas por las ecuaciones

[x (t) = en, quad y (t) = a nonumber ]

para cualquier valor de (t ). A continuación, considere la hormiga, que gira alrededor del centro a lo largo de una trayectoria circular. Si la bicicleta se mueve de izquierda a derecha, las ruedas giran en el sentido de las agujas del reloj. Una posible parametrización del movimiento circular de la hormiga (con respecto al centro de la rueda) viene dada por

[ begin {align *} x (t) & = - a sin t [4pt] y (t) & = - a cos t. end {align *} ]

(El signo negativo es necesario para invertir la orientación de la curva. Si el signo negativo no estuviera allí, tendríamos que imaginar la rueda girando en sentido antihorario). Al sumar estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones para la cicloide.

[ begin {align *} x (t) & = a (t− sin t) [4pt] y (t) & = a (1− cos t) end {align *} ]

Ahora suponga que la rueda de la bicicleta no viaja a lo largo de una carretera recta, sino que se mueve a lo largo del interior de una rueda más grande, como en la Figura ( PageIndex {9} ). En este gráfico, el círculo verde se desplaza alrededor del círculo azul en dirección contraria a las agujas del reloj. Un punto en el borde del círculo verde traza el gráfico rojo, que se llama hipocicloide.

Las ecuaciones paramétricas generales para un hipocicloide son

[x (t) = (a − b) cos t + b cos ( dfrac {a − b} {b}) t nonumber ]

[y (t) = (a − b) sin t − b sin ( dfrac {a − b} {b}) t. sin número]

Estas ecuaciones son un poco más complicadas, pero la derivación es algo similar a las ecuaciones de la cicloide. En este caso asumimos que el radio del círculo más grande es (a ) y el radio del círculo más pequeño es (b ). Luego, el centro de la rueda viaja a lo largo de un círculo de radio (a − b. ) Este hecho explica el primer término en cada ecuación anterior. El período de la segunda función trigonométrica tanto en (x (t) ) como en (y (t) ) es igual a ( dfrac {2πb} {a − b} ).

La razón ( dfrac {a} {b} ) está relacionada con el número de cúspides en el gráfico (las cúspides son las esquinas o extremos puntiagudos del gráfico), como se ilustra en la Figura ( PageIndex {10} ). Esta relación puede dar lugar a unos gráficos muy interesantes, dependiendo de si la relación es racional o no. La figura ( PageIndex {9} ) corresponde a (a = 4 ) y (b = 1 ). El resultado es un hipocicloide con cuatro cúspides. La figura ( PageIndex {10} ) muestra algunas otras posibilidades. Los dos últimos hipocicloides tienen valores irracionales para ( dfrac {a} {b} ). En estos casos los hipocicloides tienen un número infinito de cúspides, por lo que nunca regresan a su punto de partida. Estos son ejemplos de lo que se conoce como curvas que llenan el espacio.

La bruja de Agnesi

Muchas curvas planas en matemáticas llevan el nombre de las personas que las investigaron por primera vez, como el folio de Descartes o la espiral de Arquímedes. Sin embargo, quizás el nombre más extraño para una curva es el bruja de Agnesi. ¿Por qué una bruja?

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) fue una de las pocas matemáticas reconocidas en la Italia del siglo XVIII. Escribió un popular libro sobre geometría analítica, publicado en 1748, que incluía una interesante curva que había sido estudiada por Fermat en 1630. El matemático Guido Grandi mostró en 1703 cómo construir esta curva, que más tarde denominó la "versoria", una Término latino para una cuerda utilizada en la navegación. Agnesi usó el término italiano para esta cuerda, "versiera", pero en latín, esta misma palabra significa "duende femenino". Cuando el libro de Agnesi fue traducido al inglés en 1801, el traductor usó el término "bruja" para la curva, en lugar de cuerda. El nombre de "bruja de Agnesi" se ha mantenido desde entonces.

La bruja de Agnesi es una curva definida de la siguiente manera: Comience con un círculo de radio a de modo que los puntos ((0,0) ) y ((0,2a) ) sean puntos en el círculo (Figura ( PageIndex {11} )). Sea O el origen. Elija cualquier otro punto A en el círculo y dibuje la línea secante OA. Sea B el punto en el que la línea OA se cruza con la línea horizontal que pasa por ((0,2a) ). La línea vertical que pasa por B corta a la línea horizontal que pasa por A en el punto P. A medida que el punto A varía, la trayectoria que recorre el punto P es la curva de Agnesi para el círculo dado.

Las curvas de Witch of Agnesi tienen aplicaciones en física, incluido el modelado de ondas de agua y distribuciones de líneas espectrales. En la teoría de la probabilidad, la curva describe la función de densidad de probabilidad del Distribución de Cauchy. En este proyecto parametrizará estas curvas.

1. En la figura, rotule los siguientes puntos, longitudes y ángulos:

un. (C ) es el punto en el eje (x ) - con la misma coordenada (x ) - que (A ).

B. (x ) es la (x ) - coordenada de (P ), y (y ) es la (y ) - coordenada de (P ).

C. (E ) es el punto ((0, a) ).

D. (F ) es el punto en el segmento de línea (OA ) tal que el segmento de línea (EF ) es perpendicular al segmento de línea (OA ).

mi. (b ) es la distancia de (O ) a (F ).

F. (c ) es la distancia de (F ) a (A ).

gramo. (d ) es la distancia de (O ) a (C ).

h. (θ ) es la medida del ángulo (∠COA ).

El objetivo de este proyecto es parametrizar la bruja usando (θ ) como parámetro. Para hacer esto, escribe ecuaciones para (x ) y (y ) en términos de solo (θ ).

2. Muestre que (d = dfrac {2a} { sin θ} ).

3. Tenga en cuenta que (x = d cos θ ). Muestre que (x = 2a cot θ ). Cuando haga esto, habrá parametrizado la coordenada (x ) - de la curva con respecto a (θ ). Si puede obtener una ecuación similar para (y ), habrá parametrizado la curva.

4. En términos de (θ ), ¿cuál es el ángulo (∠EOA )?

5. Muestre que (b + c = 2a cos left ( frac {π} {2} −θ right) ).

6. Muestre que (y = 2a cos left ( frac {π} {2} −θ right) sin θ ).

7. Muestre que (y = 2a sin ^ 2θ ). Ahora ha parametrizado la coordenada (y ) - de la curva con respecto a (θ ).

8. Concluya que una parametrización de la curva bruja dada es

[x = 2a cot θ, quad y = 2a sin ^ 2θ, quad text {para} −∞ <θ <∞. ]

9. Use su parametrización para mostrar que la curva de bruja dada es la gráfica de la función (f (x) = dfrac {8a ^ 3} {x ^ 2 + 4a ^ 2} ).

Viaja con mi hormiga: las cicloides cortadas y prolongadas

Anteriormente en esta sección, analizamos las ecuaciones paramétricas de una cicloide, que es la trayectoria que traza un punto en el borde de una rueda cuando la rueda rueda a lo largo de una trayectoria recta. En este proyecto, analizamos dos variaciones diferentes de la cicloide, llamadas cicloides cortadas y alargadas.

Primero, revisemos la derivación de las ecuaciones paramétricas de una cicloide. Recuerde que consideramos una hormiga tenaz tratando de llegar a casa colgándose del borde de una llanta de bicicleta. Hemos asumido que la hormiga se subió a la llanta en el mismo borde, donde la llanta toca el suelo. A medida que rueda la rueda, la hormiga se mueve con el borde de la llanta (Figura ( PageIndex {12} )).

Como hemos comentado, tenemos mucha flexibilidad a la hora de parametrizar una curva. En este caso, dejamos que nuestro parámetro t represente el ángulo en el que ha girado el neumático. Mirando la Figura ( PageIndex {12} ), vemos que después de que la llanta ha girado en un ángulo de (t ), la posición del centro de la rueda, (C = (x_C, y_C) ), es dado por

(x_C = en ) y (y_C = a ).

Además, dejando que (A = (x_A, y_A) ) denote la posición de la hormiga, notamos que

(x_C − x_A = a sin t ) y (y_C − y_A = a cos t )

Luego

[x_A = x_C − a sin t = en − a sin t = a (t− sin t) ]

[y_A = y_C − a cos t = a − a cos t = a (1− cos t). ]

Tenga en cuenta que estas son las mismas representaciones paramétricas que teníamos antes, pero ahora le hemos asignado un significado físico a la variable paramétrica (t ).

Después de un rato, la hormiga se marea por dar vueltas y vueltas en el borde de la llanta. Así que sube por uno de los radios hacia el centro de la rueda. Al subir hacia el centro de la rueda, la hormiga ha cambiado su trayectoria de movimiento. La nueva ruta tiene menos movimiento hacia arriba y hacia abajo y se llama reducir cicloide (Figura ( PageIndex {13} )). Como se muestra en la figura, dejamos que b denote la distancia a lo largo del radio desde el centro de la rueda hasta la hormiga. Como antes, dejamos que t represente el ángulo en el que ha girado el neumático. Además, dejamos que (C = (x_C, y_C) ) represente la posición del centro de la rueda y (A = (x_A, y_A) ) represente la posición de la hormiga.

1. ¿Cuál es la posición del centro de la rueda después de que la llanta ha girado en un ángulo de (t )?

2. Use geometría para encontrar expresiones para (x_C − x_A ) y para (y_C − y_A ).

3. Sobre la base de sus respuestas a las partes 1 y 2, ¿cuáles son las ecuaciones paramétricas que representan la cicloide acortada?

Una vez que la cabeza de la hormiga se aclara, se da cuenta de que el ciclista ha dado un giro y ahora se aleja de su casa. Así que deja el neumático de la bicicleta y mira a su alrededor. Afortunadamente, hay un conjunto de vías de tren cerca, que se dirigen en la dirección correcta. Así que la hormiga se dirige a las vías del tren para esperar. Después de un rato, pasa un tren que va en la dirección correcta, y él logra saltar y agarrarse al borde de la rueda del tren (¡sin ser aplastado!).

La hormiga todavía está preocupada por marearse, pero la rueda del tren está resbaladiza y no tiene radios para trepar, por lo que decide agarrarse al borde de la rueda y esperar lo mejor. Ahora, las ruedas del tren tienen un reborde para mantener la rueda funcionando en las vías. Entonces, en este caso, dado que la hormiga está colgada del borde mismo de la pestaña, la distancia desde el centro de la rueda a la hormiga es en realidad mayor que el radio de la rueda (Figura ( PageIndex {14} )).

La configuración aquí es esencialmente la misma que cuando la hormiga trepó por el radio de la rueda de la bicicleta. Dejemos que b denote la distancia desde el centro de la rueda a la hormiga y t represente el ángulo en el que ha girado la llanta. Además, dejamos que (C = (x_C, y_C) ) represente la posición del centro de la rueda y (A = (x_A, y_A) ) represente la posición de la hormiga (Figura ( PageIndex {14 } )).

Cuando la distancia desde el centro de la rueda a la hormiga es mayor que el radio de la rueda, su trayectoria de movimiento se llama cicloide alargada. Una gráfica de un cicloide prolongado se muestra en la figura.

4. Con el mismo enfoque que usó en las partes 1 a 3, encuentre las ecuaciones paramétricas para la trayectoria del movimiento de la hormiga.

5. ¿Qué notas sobre tu respuesta a la parte 3 y tu respuesta a la parte 4?

Observe que la hormiga en realidad viaja hacia atrás a veces (los "bucles" en el gráfico), aunque el tren continúa avanzando. ¡Probablemente estará realmente mareado cuando llegue a casa!

Conceptos clave

  • Las ecuaciones paramétricas proporcionan una forma conveniente de describir una curva. Un parámetro puede representar el tiempo o alguna otra cantidad significativa.
  • A menudo es posible eliminar el parámetro en una curva parametrizada para obtener una función o relación que describa esa curva.
  • Siempre hay más de una forma de parametrizar una curva.
  • Las ecuaciones paramétricas pueden describir curvas complicadas que son difíciles o quizás imposibles de describir usando coordenadas rectangulares.

Glosario

cicloide
la curva trazada por un punto en la llanta de una rueda circular cuando la rueda rueda a lo largo de una línea recta sin deslizamiento
cúspide
un extremo puntiagudo o parte donde dos curvas se encuentran
orientación
la dirección en la que se mueve un punto en un gráfico a medida que aumenta el parámetro
parámetro
una variable independiente de la que dependen tanto (x ) como (y ) en una curva paramétrica; generalmente representado por la variable (t )
curva paramétrica
la gráfica de las ecuaciones paramétricas (x (t) ) y (y (t) ) sobre un intervalo (a≤t≤b ) combinado con las ecuaciones
ecuaciones paramétricas
las ecuaciones (x = x (t) ) y (y = y (t) ) que definen una curva paramétrica
parametrización de una curva
reescribir la ecuación de una curva definida por una función (y = f (x) ) como ecuaciones paramétricas

Parametrizar un círculo & # 8211 Ecuaciones, gráficos y ejemplos

Aprender cómo podemos parametrizar un círculo es útil, especialmente cuando queremos visualizar la posición de un objeto determinado a lo largo del tiempo. Al igual que con otras aplicaciones de ecuaciones paramétricas, puede ayudarnos a modelar relaciones que no necesariamente funcionan por sí mismas.

Podemos parametrizar un círculo expresando$ boldsymbol$ y$ boldsymbol$ en términos de coseno y seno, respectivamente.

Ya hemos aprendido sobre ecuaciones paramétricas en el pasado, y este artículo es una extensión de ese conocimiento, centrándose en el proceso de parametrizar círculos. Antes de sumergirnos en el tema esencial de este artículo, asegúrese de revisar sus conocimientos sobre lo siguiente:

Repase cuál es la ecuación general del círculo como sección cónica.

Comprender cómo se pueden obtener las razones trigonométricas en un sistema de coordenadas cartesiano.

¿Listo para aprender más? Sigamos adelante y comencemos por revisar lo que sabemos de las ecuaciones paramétricas y veamos cómo podemos aplicarlas a los círculos.

¿Cómo parametrizar un círculo?

Cuando se nos da una ecuación en forma rectangular, podemos expresar $ x $ y $ y $ en función de $ t $. El nuevo elemento, $ t $, es ahora nuestro nuevo parámetro, por lo tanto, el nombre de la relación compartida por $ x $, $ y $ y $ t $.

Esto significa que podemos reescribir la ecuación del círculo, $ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 $, en términos de $ t $. Podemos hacer esto asignando una función especial para $ x $ y $ y $ & # 8211 aquí es donde entran el círculo unitario y las relaciones trigonométricas.

Comencemos por parametrizar la ecuación del círculo unitario, $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $, antes de generalizar las reglas.

Parametrización de un círculo unitario

Recuerde que cuando leq t leq 2 pi $, podemos usar la expresión $ x $ y $ y $ en términos de coseno y seno.

Si cuadramos ambos lados de la ecuación y sumamos los dos, desarrollaremos la forma paramétrica del círculo unitario.

comenzarx ^ 2 & amp = cos ^ 2 t y & amp = sin ^ 2 t x ^ 2 + y ^ 2 & amp = 1 cos ^ 2 t + sin ^ 2 t & amp = 1 fin

Parametrización de un círculo centrado en $ boldsymbol <(0, 0)> $

Podemos extender este concepto con círculos centrados en el origen pero con un radio $ r $. Esto significa que $ r $ ahora será un factor de las formas paramétricas de $ x $ y $ y $, como se muestra a continuación.

Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones, podremos llegar a la forma paramétrica de la ecuación del círculo.

comenzarx ^ 2 & amp = r ^ 2 cos ^ 2 t y & amp = r ^ 2 sin ^ 2 t x ^ 2 + y ^ 2 & amp = r ^ 2 r ^ 2 ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t) & amp = r ^ 2 end

El tercer caso que tendremos que considerar es parametrizar un círculo que no está centrado en el origen.

Parametrización de un círculo centrado en $ boldsymbol <(h, k)> $

Dado que las coordenadas $ x $ y $ y $ se trasladan a lo largo de las unidades $ h $ y $ k $, respectivamente, tendremos que considerarlas para la forma parametrizada de la ecuación del círculo.

comenzarx -h & amp = r cos t x & amp = h + r cos t y & # 8211 k & amp = r sin t y & amp = k + r sin t end

Elevemos ambos lados de la ecuación al cuadrado y observemos cómo se vería la ecuación & # 8217s paramétrica.

comenzar(x- h) ^ 2 & amp = r ^ 2 cos ^ 2 t (y -k) ^ 2 & amp = r ^ 2 sin ^ 2 t (x- h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 & amp = r ^ 2 r ^ 2 ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t) & amp = r ^ 2 end

Ahora que sabemos cómo podemos parametrizar la ecuación de un círculo, ¿por qué no vemos cómo afecta esto a la gráfica de las ecuaciones?

Graficar la p ecuaciones aramétricas de un círculo

Las ecuaciones paramétricas se utilizan mejor cuando queremos tener en cuenta la dirección de la curva. Estos son algunos consejos rápidos para recordar al graficar la curva paramétrica de un círculo.

Tome nota del intervalo asignado para $ t $.

Asigne valores clave de $ t $ y use estos valores para encontrar los valores correspondientes de $ x $ y $ y $.

Trace la curva paramétrica y tenga en cuenta la dirección del círculo y la dirección # 8217 según la tabla de valores resultante.

¿Por qué no intentamos graficar las ecuaciones paramétricas que se muestran a continuación y los intervalos asignados para $ t $?

comenzarx & amp = 2 cos t y & amp = 2 sin t 0 & amp leq t leq 2 pi end

Comenzamos asignando valores clave para $ t $ entre el intervalo, leq t leq 2 pi $, como $ t = left <0, dfrac < pi> <2>, pi, dfrac <3pi> <2> right > $.

Esto significa que las flechas estarán en sentido antihorario comenzando desde $ (2, 0) $ a $ (- 2, 0) $ y luego de regreso a $ (2, 0) $. Ahora podemos graficar las ecuaciones paramétricas y no olvidemos incluir las flechas para reflejar la dirección de la curva.

Este gráfico muestra la importancia de las ecuaciones paramétricas: podemos graficar los movimientos de los objetos mientras tenemos en cuenta un tercer parámetro & # 8211 $ t $. Aplicaremos enfoques similares al graficar otros círculos usando sus ecuaciones paramétricas.

Escribe dos conjuntos de ecuaciones paramétricas para las siguientes ecuaciones rectangulares.

B. $ x ^ 2 + y ^ 2 = 12 $
C. $ (x - 3) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 81 $

La ecuación, $ x ^ 2 + y ^ 2 = 64 $, es un círculo centrado en el origen, por lo que la forma estándar de las ecuaciones paramétricas que representan la curva será beginx & amp = r cos t y & amp = r sin t 0 & amp leq t leq 2 pi end, donde $ r $ representa el radio del círculo.

Dado que $ r ^ 2 = 64 $, el valor del radio del círculo es igual a $ r = 8 $. Por lo tanto, tenemos las ecuaciones paramétricas que se muestran a continuación. También hemos incluido el intervalo de $ t $.

comenzarx & amp = 8 cos t y & amp = 8 sin t 0 & amp leq t leq 2 pi end

Aplicaremos un proceso similar al escribir las ecuaciones paramétricas de $ x ^ 2 + y ^ 2 = 12 $, pero esta vez, tenemos $ r ^ 2 = 12 $ y, en consecuencia, $ r = 2 sqrt <3> PS

comenzarx & amp = 2 sqrt <3> cos t y & amp = 2 sqrt <3> sin t 0 & amp leq t leq 2 pi end

Para la tercera ecuación, $ (x - 3) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 81 $, el círculo ahora está centrado en $ (3, -2) $, por lo que también debemos traducir las ecuaciones paramétricas en consecuencia.

Usaremos las ecuaciones, $ left < beginx = h + r cos t y = k + r sin t end right. $, esta vez, donde $ (h, k) $ representa el centro del círculo. Para nuestra ecuación rectangular, también tenemos $ r ^ 2 = 81 $, entonces $ r = 9 $.

comenzarx & amp = 3 + 9 cos t y & amp = -2 + 9 sin t 0 & amp leq t leq 2 pi end

La cuarta ecuación, $ (x + 6) ^ 2 + (y & # 8211 4) ^ 2 = 12 $, se parece a la tercera, así que usaremos $ (h, k) = (-6, 4 PS Como $ r ^ 2 = 24 $, podemos usar $ r = 2 sqrt <6> $.

comenzarx & amp = -6 + 2 sqrt <6> cos t y & amp = 4 + 2 sqrt <6> sin t 0 & amp leq t leq 2 pi end

Por lo tanto, hemos mostrado cómo podemos escribir una ecuación de un círculo en su forma paramétrica.

Ejemplo 2

Escribe dos conjuntos de ecuaciones paramétricas para las siguientes ecuaciones rectangulares. Usa las ecuaciones paramétricas resultantes para graficar el círculo (asumiremos que leq t leq 2 pi $).

Dado que la primera ecuación rectangular muestra un círculo centrado en el origen, la forma estándar de las ecuaciones paramétricas es $ left < beginx = r cos t y = r sin t 0 leq t leq 2 pi end derecha. $. Tenemos $ r ^ 2 = 36 $, entonces $ r = 6 $.

Por tanto, las ecuaciones paramétricas del círculo son las que se muestran a continuación.

Para graficar este conjunto de ecuaciones paramétricas, usemos valores clave de $ t $ como guías para saber cómo se comporta la curva paramétrica.


1.1 Ecuaciones paramétricas

En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficas. En el sistema de coordenadas bidimensionales, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente que tanto X y y dependen de, y a medida que aumenta el parámetro, los valores de X y y trazar un camino a lo largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es t (una elección común), entonces t podría representar el tiempo. Luego X y y se definen como funciones del tiempo, y (x (t), y (t)) (x (t), y (t)) pueden describir la posición en el plano de un objeto dado mientras se mueve a lo largo de una trayectoria curva.

Ecuaciones paramétricas y sus gráficas

Considere la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión usaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es casi la misma, excepto en los años bisiestos, cuando el retraso introducido por los 1 4 1 4 días extra de tiempo en órbita se incorpora al calendario. Llamamos al 1 de enero "día 1" del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.

El número del día en un año puede considerarse una variable que determina la posición de la Tierra en su órbita. A medida que la Tierra gira alrededor del Sol, su ubicación física cambia en relación con el Sol. Después de un año completo, volvemos a donde comenzamos y comienza un nuevo año. Según las leyes del movimiento planetario de Kepler, la forma de la órbita es elíptica, con el Sol en un foco de la elipse. Estudiamos esta idea con más detalle en Secciones cónicas.

La figura 1.2 muestra la órbita de la Tierra alrededor del Sol durante un año. El punto etiquetado como F 2 F 2 es uno de los focos de la elipse, el otro foco lo ocupa el Sol. Si superponemos ejes de coordenadas sobre este gráfico, entonces podemos asignar pares ordenados a cada punto de la elipse (Figura 1.3). Entonces cada X El valor en el gráfico es un valor de posición en función del tiempo, y cada y El valor también es un valor de posición en función del tiempo. Por tanto, cada punto del gráfico corresponde a un valor de la posición de la Tierra en función del tiempo.

Definición

Si X y y son funciones continuas de t en un intervalo I, luego las ecuaciones

Ejemplo 1.1

Graficar una curva definida paramétricamente

Dibuje las curvas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas:

Solución

  1. Para crear un gráfico de esta curva, primero configure una tabla de valores. Dado que la variable independiente tanto en x (t) x (t) como en y (t) y (t) es t, dejar t aparecen en la primera columna. Entonces, x (t) x (t) y y (t) y (t) aparecerán en la segunda y tercera columnas de la tabla.

Dibuja la curva descrita por las ecuaciones paramétricas.

Eliminando el Parámetro

Para comprender mejor la gráfica de una curva representada paramétricamente, es útil reescribir las dos ecuaciones como una sola ecuación que relaciona las variables X y y. Entonces podemos aplicar cualquier conocimiento previo de ecuaciones de curvas en el plano para identificar la curva. Por ejemplo, las ecuaciones que describen la curva plana del ejemplo 1.1b. son

Resolviendo la segunda ecuación para t da

Esto se puede sustituir en la primera ecuación:

Esta ecuación describe X como una función de y. Estos pasos dan un ejemplo de eliminando el parámetro. La gráfica de esta función es una parábola que se abre a la derecha. Recuerde que la curva plana comenzó en (1, −3) (1, −3) y terminó en (6, 7). (6, 7). Estas terminaciones se debieron a la restricción del parámetro t.

Ejemplo 1.2

Eliminando el Parámetro

Elimine el parámetro para cada una de las curvas planas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante.

Solución

  1. Para eliminar el parámetro, podemos resolver cualquiera de las ecuaciones para t. Por ejemplo, resolviendo la primera ecuación para t da

Elimine el parámetro de la curva plana definida por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante.

Hasta ahora hemos visto el método de eliminar el parámetro, asumiendo que conocemos un conjunto de ecuaciones paramétricas que describen una curva plana. ¿Qué pasa si quisiéramos comenzar con la ecuación de una curva y determinar un par de ecuaciones paramétricas para esa curva? Esto es ciertamente posible y, de hecho, es posible hacerlo de muchas formas diferentes para una curva determinada. El proceso se conoce como parametrización de una curva.

Ejemplo 1.3

Parametrizar una curva

Encuentra dos pares diferentes de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y = 2 x 2-3. y = 2 x 2-3.

Solución

Dado que no hay restricción en el dominio en el gráfico original, no hay restricción en los valores de t.

Por tanto, una segunda parametrización de la curva se puede escribir como

Encuentra dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y = x 2 + 2 x. y = x 2 + 2 x.

Cicloides y otras curvas paramétricas

Imagínese dar un paseo en bicicleta por el campo. Los neumáticos permanecen en contacto con la carretera y giran en un patrón predecible. Ahora suponga que una hormiga muy decidida está cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Así que se cuelga del costado de la llanta y obtiene un viaje gratis. El camino que recorre esta hormiga por un camino recto se llama cicloide (Figura 1.9). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de bicicleta) de radio a viene dado por las ecuaciones paramétricas

Para ver por qué esto es cierto, considere el camino que toma el centro de la rueda. El centro se mueve a lo largo del X-Eje a una altura constante igual al radio de la rueda. Si el radio es a, entonces las coordenadas del centro pueden estar dadas por las ecuaciones

(El signo negativo es necesario para invertir la orientación de la curva. Si el signo negativo no estuviera allí, tendríamos que imaginar la rueda girando en sentido antihorario). Al sumar estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones para la cicloide.

Ahora suponga que la rueda de la bicicleta no se desplaza a lo largo de una carretera recta, sino que se desplaza por el interior de una rueda más grande, como en la figura 1.10. En este gráfico, el círculo verde se desplaza alrededor del círculo azul en dirección contraria a las agujas del reloj. Un punto en el borde del círculo verde traza el gráfico rojo, que se llama hipocicloide.

Las ecuaciones paramétricas generales para un hipocicloide son

Estas ecuaciones son un poco más complicadas, pero la derivación es algo similar a las ecuaciones de la cicloide. En este caso asumimos que el radio del círculo más grande es a y el radio del círculo más pequeño es B. Luego, el centro de la rueda se desplaza a lo largo de un círculo de radio a - b. a - b. Este hecho explica el primer término en cada ecuación anterior. El período de la segunda función trigonométrica tanto en x (t) x (t) como en y (t) y (t) es igual a 2 π b a - b. 2 π b a - b.

Proyecto de estudiante

La bruja de Agnesi

Muchas curvas planas en matemáticas llevan el nombre de las personas que las investigaron por primera vez, como el folio de Descartes o la espiral de Arquímedes. Sin embargo, quizás el nombre más extraño para una curva es la bruja de Agnesi. ¿Por qué una bruja?

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) fue una de las pocas matemáticas reconocidas en la Italia del siglo XVIII. Escribió un popular libro sobre geometría analítica, publicado en 1748, que incluía una interesante curva que había sido estudiada por Fermat en 1630. El matemático Guido Grandi mostró en 1703 cómo construir esta curva, que más tarde denominó la "versoria", una Término latino para una cuerda utilizada en la navegación. Agnesi usó el término italiano para esta cuerda, "versiera", pero en latín, esta misma palabra significa "duende femenino". Cuando el libro de Agnesi fue traducido al inglés en 1801, el traductor usó el término "bruja" para la curva, en lugar de cuerda. El nombre de "bruja de Agnesi" se ha mantenido desde entonces.

La bruja de Agnesi es una curva definida de la siguiente manera: Comience con un círculo de radio a de modo que los puntos (0, 0) (0, 0) y (0, 2 a) (0, 2 a) son puntos en el círculo (Figura 1.12). Dejar O denotar el origen. Elija cualquier otro punto A en el círculo y dibuja la línea secante OA. Dejar B denotar el punto en el que la línea OA interseca la línea horizontal que pasa por (0, 2 a). (0, 2 a). La línea vertical que atraviesa B interseca la línea horizontal a través de A en el punto PAG. Como el punto A varía, el camino que el punto PAG viaja es la curva de la bruja de Agnesi para el círculo dado.

Las curvas de Witch of Agnesi tienen aplicaciones en física, incluido el modelado de ondas de agua y distribuciones de líneas espectrales. En la teoría de la probabilidad, la curva describe la función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy. En este proyecto parametrizará estas curvas.

  1. En la figura, rotule los siguientes puntos, longitudes y ángulos:
    1. C es el punto en el X-eje con el mismo X-coordinar como A.
    2. X es el X-coordinado de PAG, y y es el y-coordinado de PAG.
    3. mi es el punto (0, a). (0, a).
    4. F es el punto en el segmento de línea OA tal que el segmento de línea EF es perpendicular al segmento de línea OA.
    5. B es la distancia desde O para F.
    6. C es la distancia desde F para A.
    7. D es la distancia desde O para B.
    8. θ θ es la medida del ángulo ∠ C O A. ∠ C O A.

    Proyecto de estudiante

    Viaja con mi hormiga: las cicloides cortadas y prolongadas

    Anteriormente en esta sección, analizamos las ecuaciones paramétricas de una cicloide, que es la trayectoria que traza un punto en el borde de una rueda cuando la rueda rueda a lo largo de una trayectoria recta. En este proyecto, analizamos dos variaciones diferentes de la cicloide, llamadas cicloides cortadas y alargadas.

    Primero, revisemos la derivación de las ecuaciones paramétricas de una cicloide. Recuerde que consideramos una hormiga tenaz tratando de llegar a casa colgándose del borde de una llanta de bicicleta. Hemos asumido que la hormiga se subió a la llanta en el mismo borde, donde la llanta toca el suelo. A medida que rueda la rueda, la hormiga se mueve con el borde de la llanta (Figura 1.13).

    Como hemos comentado, tenemos mucha flexibilidad a la hora de parametrizar una curva. En este caso dejamos que nuestro parámetro t representan el ángulo en el que ha girado el neumático. Mirando la Figura 1.13, vemos que después de que la llanta ha girado en un ángulo de t, la posición del centro de la rueda, C = (x C, y C), C = (x C, y C), viene dada por

    Tenga en cuenta que estas son las mismas representaciones paramétricas que teníamos antes, pero ahora le hemos asignado un significado físico a la variable paramétrica t.

    Después de un rato, la hormiga se marea por dar vueltas y vueltas en el borde de la llanta. Así que sube por uno de los radios hacia el centro de la rueda. Al subir hacia el centro de la rueda, la hormiga ha cambiado su trayectoria de movimiento. La nueva ruta tiene menos movimiento hacia arriba y hacia abajo y se llama cicloide acortada (Figura 1.14). Como se muestra en la figura, dejamos B denotar la distancia a lo largo del radio desde el centro de la rueda hasta la hormiga. Como antes, dejamos t representan el ángulo en el que ha girado el neumático. Además, dejamos que C = (x C, y C) C = (x C, y C) represente la posición del centro de la rueda y A = (x A, y A) A = (x A, y A) representan la posición de la hormiga.

    1. ¿Cuál es la posición del centro de la rueda después de que la llanta ha girado en un ángulo de t?
    2. Usa la geometría para encontrar expresiones para x C - x A x C - x A y para y C - y A. y C - y A.
    3. Sobre la base de sus respuestas a las partes 1 y 2, ¿cuáles son las ecuaciones paramétricas que representan la cicloide cortada?
      Una vez que la cabeza de la hormiga se aclara, se da cuenta de que el ciclista ha dado un giro y ahora se aleja de su casa. Así que deja el neumático de la bicicleta y mira a su alrededor. Afortunadamente, hay un conjunto de vías de tren cerca, que se dirigen en la dirección correcta. Así que la hormiga se dirige a las vías del tren para esperar. Después de un rato, pasa un tren que va en la dirección correcta, y él logra saltar y agarrarse al borde de la rueda del tren (¡sin ser aplastado!).
      La hormiga todavía está preocupada por marearse, pero la rueda del tren está resbaladiza y no tiene radios para trepar, por lo que decide agarrarse al borde de la rueda y esperar lo mejor. Ahora, las ruedas del tren tienen un reborde para mantener la rueda funcionando en las vías. Entonces, en este caso, dado que la hormiga está colgada del borde mismo de la brida, la distancia desde el centro de la rueda a la hormiga es en realidad mayor que el radio de la rueda (Figura 1.15).
      La configuración aquí es esencialmente la misma que cuando la hormiga trepó por el radio de la rueda de la bicicleta. Dejamos B denotar la distancia desde el centro de la rueda a la hormiga, y dejamos t representan el ángulo en el que ha girado el neumático. Además, dejamos que C = (x C, y C) C = (x C, y C) represente la posición del centro de la rueda y A = (x A, y A) A = (x A, y A) representan la posición de la hormiga (Figura 1.15).
      Cuando la distancia desde el centro de la rueda a la hormiga es mayor que el radio de la rueda, su trayectoria de movimiento se llama cicloide alargada. En la figura se muestra un gráfico de una cicloide alargada.

    Sección 1.1 Ejercicios

    Para los siguientes ejercicios, dibuje las curvas a continuación eliminando el parámetro t. Da la orientación de la curva.


    Guía de Effectlib - Conceptos básicos de matemáticas de efecto de ecuación

    He visto a mucha gente confundirse con la clase EquationEffect. Esta guía explicará brevemente el concepto básico con el que trabaja este efecto.

    Ahora, me gustaría que dejara de lado la idea de que tiene que ser bueno con las matemáticas para poder usar EquationEffect. El dominio de las matemáticas definitivamente ayudará, ya que el conocimiento de cómo se comportan las diferentes funciones es la parte más crítica de este efecto. Pero otra cosa es entender cómo hacen los efectos que ves en Minecraft.

    En primer lugar, EquationEffect utiliza lo que se llama ecuaciones paramétricas. Para simplificar, primero explicaré cuáles son estos en 2 dimensiones.

    Primero echemos un vistazo a las funciones que puede encontrar en las clases de álgebra.

    Todas estas funciones utilizan la variable & # 039x & # 039 como VARIABLE INDEPENDIENTE, mientras que la variable & # 039y & # 039 se considera la VARIABLE DEPENDIENTE.

    Esto se debe a que el valor de & # 039y & # 039 depende de cuál será el valor de & # 039x & # 039. para la primera función, y = x ^ 2, ingresa diferentes números para x, y obtendrá diferentes valores para y. Esto se debe a que esta función bidimensional ha definido su valor de salida para que sea dependiente del valor xy de la aritmética que lo rodea.

    Las ecuaciones paramétricas funcionan de manera diferente en que ni las variables & # 039x & # 039 ni & # 039y & # 039 son la variable independiente. Ambos dependen de otra variable, que es el tiempo (t). Esto significa que tanto x como y tendrán sus propias ecuaciones, dependiendo de la única variable t.

    ¿Cómo se vería esta gráfica en un plano de coordenadas? Espera, ¿cómo graficarías esto en un plano de coordenadas? Usaré Desmos para ilustrar cómo se vería este gráfico en un plano de coordenadas bidimensional.

    Ahora, para darle sentido a este gráfico,

    Tenemos que separar la ecuación x y la ecuación y como si estuvieran en dos ejes diferentes. A diferencia de las funciones anteriores donde y (eje vertical) dependía de cuál era el valor de x (eje horizontal), esta vez la variable dependiente t no tiene su propio eje.

    * La ecuación x determinará el valor x del punto que se mostrará en el tiempo t

    * La ecuación y determinará el valor y del punto que se mostrará en el tiempo t

    Juntos, pueden definir un solo punto, (x (t), y (t)), ambos dependientes del valor de t.

    Para explicar esto con más detalle, usemos una tabla de valores.

    Cuando t es 0, el conjunto de ecuaciones define el punto en (2, 0)

    Cuando t es 1, el conjunto de ecuaciones define el punto en (7, 1)

    Cuando t es 2, el conjunto de ecuaciones define el punto en (12, 4)

    Cuando t es 3, el conjunto de ecuaciones define el punto en (17, 9)

    Ahora, tracemos estos puntos en el plano de coordenadas.

    Hemos trazado 4 puntos de este conjunto específico de ecuaciones paramétricas. El gráfico de arriba fue el gráfico de este conjunto de los valores t [0, 3], pero incluyendo las cantidades infinitas de decimales entre esos números enteros, haciendo una línea suave. El concepto de ecuaciones paramétricas debería tener sentido en este punto.


    7.1: Ecuaciones paramétricas - Matemáticas

    Por el contrario, dado un par de ecuaciones paramétricas con parámetro t, el conjunto de puntos (f (t), g (t)) forman una curva en el plano.

    A modo de ejemplo, se puede parametrizar el gráfico de cualquier función. Porque, si y = f (x) entonces sea t = x de modo que x = t, y = f (t). es un par de ecuaciones paramétricas con parámetro t cuya gráfica es idéntica a la de la función. El dominio de las ecuaciones paramétricas es el mismo que el dominio de f.

    Ejemplo Las ecuaciones paramétricas x = t, y = t 2 son un ejemplo de cómo parametrizar la gráfica de la función y = x 2. Llegamos a este par de ecuaciones paramétricas como se describió anteriormente.

    En el último ejemplo no hubo restricciones sobre el parámetro. La curva definida paramétricamente por las ecuaciones era idéntica a la gráfica de la función. Tenga en cuenta que al restringir los valores del parámetro, podemos parametrizar parte del gráfico de la función.

    Ejemplo Las ecuaciones paramétricas x = t, y = t 2 t [-1,2] son ​​un ejemplo de cómo parametrizar parte de la gráfica de la función y = x 2. La parte de la gráfica que obtenemos es de x = -1 ax = 2.

    Hay varias técnicas que usamos para dibujar una curva generada por un par de ecuaciones paramétricas. La más simple es evaluar f (t) yg (t) para varios valores de t. Luego trazamos los puntos (f (t), g (t)) en el plano y a través de ellos dibujamos una curva suave (asumiendo que esto es válido). Esta idea de graficar puntos es idéntica a la técnica de graficación elemental de funciones graficas y se ilustra en los dos diagramas siguientes.

    En este ejemplo, las ecuaciones paramétricas son x = 2 ty hemos evaluado t en -2, -1,5, -1, -0,5, -0,25, 0, 0,25, 0,5, 1,5 y 2. Hemos determinado los valores correspondientes de xey y graficaron estos puntos. El resultado se muestra en el primer diagrama. A través de estos puntos hemos dibujado una curva suave y el resultado se muestra en el segundo diagrama.

    La orientación de una curva parametrizada es la dirección determinada por valores crecientes del parámetro. A veces, se dibujan flechas en la curva para indicar la orientación. El diagrama muestra la misma curva paramétrica que acabamos de estudiar donde hemos incluido algunas flechas para ilustrar la orientación. En este caso, la dirección de t creciente es de izquierda a derecha.

    Deberías probar esta técnica. En este ejercicio, se le dan un par de ecuaciones paramétricas. Seleccione 6 valores válidos de ty sustituya cada uno en ambas ecuaciones para obtener las coordenadas de un punto en el plano. Trace los seis puntos en el plano. El botón "Eliminar" elimina los puntos en orden inverso. El botón "Eliminar todo" eliminará todos los puntos que ha trazado.Una vez que esté satisfecho, presione el botón "Verificar". Si tiene al menos dos puntos correctos, puede corregir los puntos o intentar dibujar el gráfico. Para dibujar el gráfico, mantenga presionado el botón del mouse y arrástrelo. Finalmente, presione "Gráfico" y se le mostrará el gráfico correcto.
    También se le pide que proporcione la orientación de la curva. Haga la mejor selección de las cuatro opciones. Solo debe elegir en sentido horario y antihorario para círculos y elipses. Todas las demás curvas tienen una orientación que se puede describir como de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

    Una segunda técnica para identificar la curva de las ecuaciones paramétricas es intentar eliminar el parámetro de las ecuaciones. Esto dará como resultado una ecuación que involucra solo xey que podemos reconocer. Por ejemplo, veamos nuevamente el ejemplo anterior. Dado que x = 2 t, entonces resolver para t da t = x / 2. Sustituya t en la ecuación por y para obtener y = (x / 2) 2 = x 2/4. Esto lo reconocemos como la gráfica de una parábola y podemos esbozar su gráfica usando técnicas de gráficas de funciones.
    Sin embargo, tenga cuidado de tener en cuenta las restricciones sobre el valor del parámetro. Si en este ejemplo sumamos la condición t> 0, entonces la curva definida por las ecuaciones paramétricas sería la gráfica de y = x 2/4 en el eje x positivo.

    Trazar una curva paramétrica
    En este conjunto de ejercicios se le dan ecuaciones paramétricas. Debe eliminar el parámetro y encontrar una expresión entre y y x. Todas las respuestas de este conjunto se pueden escribir en la forma y = f (x).

    Una vez que haya ingresado la expresión, presione VERIFICAR para ver si obtuvo la respuesta correcta.

    Una representación paramétrica de una curva no es única. Es decir, una curva C puede estar representada por dos (o más) pares diferentes de ecuaciones paramétricas.

    Eliminando el parámetro
    Ejemplo Vimos anteriormente que las ecuaciones paramétricas x = t, y = t 2 t [-1,2] parametrizan parte de la gráfica de la función y = x 2. desde x = -1 hasta x = 2.

    Sin embargo, las ecuaciones x = 1-2 u, y = (1-2 u) 2 u [-1 / 3,1] también parametrizan la misma parte de la gráfica de la función y = x 2. desde x = -1 hasta x = 2.

    Ejemplo Considere x = cos (t), y = sin (t) t [0, 2]. Para ver qué curva definen estas ecuaciones, elevemos al cuadrado y agreguemos xey. x 2 + y 2 = cos 2 (t) + sen 2 (t) = 1. Esta es la ecuación del círculo unitario y, por lo tanto, hemos encontrado una parametrización del círculo unitario.

    Ahora, considere x = sin (t), y = cos (t) t [0, 2]. Hacemos el mismo truco para eliminar el parámetro, es decir, cuadrado y sumar x e y. x 2 + y 2 = sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1.
    Esta curva paramétrica es también el círculo unitario y hemos encontrado dos parametrizaciones diferentes del círculo unitario.

    Algo a tener en cuenta en este ejemplo anterior fue cómo obtuvimos una ecuación en términos de xey. Eliminamos el parámetro pero no de forma directa resolviendo una de las ecuaciones. Esta técnica es útil en muchas ecuaciones paramétricas que involucran seno y coseno. Es decir, resuelva las ecuaciones para sin (t) y cos (t), luego eleve al cuadrado y sume las ecuaciones.

    Una buena interpretación de las ecuaciones paramétricas es pensar en el parámetro como tiempo (medido en segundos, digamos) y las funciones f y g como funciones que describen la posición xey de un objeto que se mueve en un plano. Damos cuatro ejemplos de ecuaciones paramétricas que describen el movimiento de un objeto alrededor del círculo unitario.

    Ejemplo Las ecuaciones paramétricas x = sin (t), y = cos (t) t [0, 2], por ejemplo, describen un objeto que se mueve alrededor del círculo unitario. Si t = 0, pensamos que el objeto comienza su viaje en el punto (0,1) en el plano y si t = 2 pensamos en el objeto que termina su viaje en (0,1) en el plano. La orientación de la curva representa la dirección de desplazamiento del objeto. En este caso, el objeto se mueve alrededor del círculo en el sentido de las agujas del reloj. El objeto tarda 2 segundos en recorrer el círculo.

    Ejemplo Las ecuaciones paramétricas x = sin (t), y = cos (t) t> 0 podrían describir un objeto que se mueve alrededor del círculo unitario indefinidamente (es decir, que hace infinitas revoluciones). El objeto tardaría 2 segundos en completar una revolución.

    Ejemplo Las ecuaciones paramétricas x = sin (2t), y = cos (2t) t [0, 2] describen un objeto que se mueve dos veces alrededor del círculo unitario. En t = 0, el objeto comienza su viaje, en t = el objeto ha hecho una revolución y en t = 2 el objeto termina su viaje. El objeto tarda unos segundos en recorrer el círculo.

    Ejemplo Las ecuaciones paramétricas x = cos (t), y = sin (t) t [0, 2] describen un objeto que se mueve alrededor del círculo unitario en sentido antihorario. El objeto comienza y termina en en el plano. El objeto tarda unos segundos en recorrer el círculo.

    Ilustramos estos cuatro ejemplos con los applets a continuación. Haga clic en el inicio de cada uno para ver el movimiento que acabamos de describir.

    Un proyectil es un objeto que se mueve solo bajo la fuerza de la gravedad, como cuando lanzamos una pelota de baloncesto, disparamos un misil o regamos el jardín. Al modelar el movimiento de un proyectil, asumimos que no hay resistencia del aire. En este caso, el proyectil sigue una trayectoria parabólica.

    Para obtener ecuaciones paramétricas que describan el movimiento de un proyectil, es útil establecer un sistema de coordenadas rectangular con el eje x positivo a lo largo del suelo (horizontal) y en la dirección en la que enviaremos el proyectil y el eje y perpendicular. al suelo. Una vez hecho esto, si un objeto se proyecta en un ángulo con respecto al suelo con una velocidad inicial V, entonces la trayectoria del proyectil viene dada por las ecuaciones paramétricas x = Vcos () t, y = Vsin () t -gt 2 / 2
    donde t representa el tiempo (t = 0 cuando se proyecta el objeto) yg es la aceleración debida a la gravedad. El valor de g depende del sistema de unidades que usemos para medir la distancia y el tiempo. En el sistema métrico usamos metros y segundos. En este caso, una aproximación ag es de 9,8 metros / segundo / segundo (9,8 m / s / s). La velocidad inicial se mide en metros por segundo. En este sistema podemos reescribir las ecuaciones como x = Vcos () t, y = Vsin () t -4.9 t 2. Si usamos pies y segundos como nuestras unidades de distancia y tiempo, entonces la aceleración debida a la gravedad es de aproximadamente 32 pies por segundo por segundo (32 pies / s / s). En este sistema de unidades las ecuaciones paramétricas son x = Vcos () t, y = Vsin () t -16 t 2. Por supuesto, en este sistema la velocidad inicial también debe expresarse en pies por segundo.

    A partir de estas ecuaciones podemos encontrar cuánto tiempo está el objeto en el aire (tiempo de vuelo), qué tan lejos horizontalmente viajará el objeto (alcance del proyectil) y la altura máxima alcanzada por el objeto.

    Tiempo de vuelo El proyectil llega al suelo en y = 0. Resolver Vsin () t -g t 2/2 = 0 da t = 2Vsin () / g (tenga en cuenta que hemos ignorado la solución t = 0). Es decir, el tiempo de vuelo es
    2Vsin () / g.

    Abarcar El rango es el valor de x cuando el proyectil llega al suelo. Como acabamos de encontrar el tiempo de vuelo, sustituimos este tiempo de vuelo en la ecuación que conecta xyt para obtener Rango = Vcos () 2Vsin () / g = 2V 2 sin () cos () / g = V 2 [ 2sin () cos ()] / g = V 2 sin (2) / g.

    Altura máxima Por la simetría de la trayectoria del objeto, intuitivamente se puede razonar que el proyectil alcanza su mayor altura a la mitad del tiempo de vuelo. Eso es cuando t = Vsin () / g. Si sustituimos este valor de t en la ecuación por y, obtenemos y Max = Vsin () Vsin () / g - gVsin () Vsin () / 2g 2 = V 2 sin 2 () / 2g.

    Resumimos estas fórmulas para el caso general y para el sistema típico de unidades.

    Tiempo de vueloAbarcarAltura máxima
    General 2Vsin () / g. V 2 sen (2) / g. V 2 sin 2 () / 2g
    Métrico Vsin () /4,9 V 2 sin (2) / 9,8 V 2 sen 2 () /19.6
    Pies Vsin () / 16 V 2 sin (2) / 32 V 2 sin 2 () / 64

    Ejemplo Se dispara un proyectil en un ángulo de / 4 con respecto a la horizontal con una velocidad inicial de 100 m / s. El alcance es de aproximadamente 1.020 metros.
    El tiempo de vuelo es 100sin (/4)/4.9, que es aproximadamente 14.4 segundos.
    La altura máxima es 10,000sin 2 (/4)/19.6 que es aproximadamente 255 metros.

    En este ejercicio, debe encontrar el alcance o el tiempo de vuelo de un proyectil. Se le dará la velocidad inicial y el ángulo en el que se dispara el proyectil en relación con la horizontal.


    10.1 Ecuaciones paramétricas

    ¿Por qué querríamos parametrizar una curva? Imagina que estás ubicado en un plano cartesiano en (1, 0). Empiezas a caminar y tu posición después de un tiempo t es dado por . El camino que trazará será el círculo unitario. Pero lo que es más importante, puede dar su ubicación en cualquier momento porque su posición viene dada por el par de ecuaciones paramétricas. Entonces, mientras que la ecuación cartesiana del círculo unitario describe la ruta que camina, las ecuaciones paramétricas describen su ubicación en cualquier momento.

    Proyectiles
    Se dice que una curva en el plano es parametrizado si las coordenadas de los puntos de la curva, (x, y), se representan como funciones de una variable t. Es decir, x = F(t), y = gramo(t) & nbsp t D. donde D es un conjunto de números reales. La variable t se llama parámetro y las relaciones entre x, y y t se llaman ecuaciones paramétricas. El conjunto D se llama dominio de F y gramo y es el conjunto de valores que t toma.

    Por el contrario, dado un par de ecuaciones paramétricas con parámetro t, el conjunto de puntos (F(t), gramo(t)) forman una curva en el plano.

    A modo de ejemplo, se puede parametrizar el gráfico de cualquier función. Porque, si y = F(x), entonces sea t = x de modo que x = t, y = F(t) Este par de ecuaciones paramétricas, con parámetro t, tiene una gráfica idéntica a la de la función y = F( X ). El dominio de las ecuaciones paramétricas es el mismo que el dominio de F.

    Ejemplo: Las ecuaciones paramétricas x = t, y = t 2, t cualquier número real son un ejemplo de cómo parametrizar la gráfica de la función y = x 2. Llegamos a este par de ecuaciones paramétricas como se describió anteriormente. La siguiente imagen muestra la gráfica de las ecuaciones paramétricas. Hemos etiquetado tres puntos en el gráfico que se obtienen a partir de diferentes valores del parámetro.

    Si el parámetro t representaba el tiempo medido en segundos, y el X y y-Las coordenadas son la posición de un objeto en movimiento, entonces, ¿dónde estaría el objeto después de 3 segundos? Si entonces y El objeto estaría en.

    En el ejemplo, no se impusieron restricciones al parámetro. La curva definida paramétricamente por las ecuaciones era idéntica a la gráfica de la función. Al restringir los valores del parámetro, podemos parametrizar parte del gráfico de la función.

    Ejemplo: Las ecuaciones paramétricas x = t, y = t 2 t [& minus1,2] dan un ejemplo de cómo parametrizar parte de la gráfica de la función y = x 2. La parte de la gráfica que obtenemos es de x = & minus1 ax = 2. El diagrama muestra la gráfica de las ecuaciones paramétricas. Hemos marcado tres puntos en la curva correspondientes a tres valores del parámetro.

    Hay varias técnicas que usamos para dibujar una curva generada por un par de ecuaciones paramétricas. El más básico es evaluar F(t) y gramo(t) para varios valores de t. Luego trazamos los puntos (F(t), gramo(t)) en el plano y a través de ellos dibuja una curva suave (¡asumiendo que esto sea válido!). Dibujar la curva paramétrica trazando puntos es idéntico a las técnicas de representación gráfica elementales de funciones gráficas y se ilustra en los dos diagramas siguientes.

    En este ejemplo, las ecuaciones paramétricas son x = 2 ty hemos evaluado t en & minus2, & minus1.5, & minus1, & minus0.5, & minus0.25, 0, 0.25, 0.5, 1.5 y 2. Hemos determinado los valores correspondientes de xey y graficaron estos puntos. El diagrama muestra el resultado de trazar estos puntos.
    A través de estos puntos graficados hemos dibujado una curva suave y el resultado se muestra en el diagrama de la derecha. Veremos en breve cómo deducir que la ecuación cartesiana de esta curva es

    Con este método, no está claro cuántos valores de t elegir. Elegimos suficientes valores hasta que sentimos que teníamos una idea clara de cómo se vería la curva. También elegimos valores negativos del parámetro, así como valores fraccionarios. Por lo general, no es una buena idea confiar solo en valores positivos o solo en valores enteros del parámetro. Esto hace que el método de trazado de puntos parezca laborioso y tedioso, y de hecho lo es. Esta tarea se adapta mejor a una computadora o calculadora gráfica. Debido a esto, empleamos otros métodos para ayudar a dibujar el gráfico y usamos el trazado de puntos principalmente para colocar ciertos puntos especiales o interesantes en el gráfico. Uno de estos métodos, el método de "eliminar el parámetro", se analiza al final de esta sección.

    Es hora de practicar esta técnica. En este ejercicio, se le dan un par de ecuaciones paramétricas. Seleccione 6 valores válidos de ty sustituya cada uno en ambas ecuaciones para obtener las coordenadas de un punto en el plano. Trace los seis puntos en el plano. El botón "Eliminar" elimina los puntos en orden inverso. El botón "Eliminar todo" eliminará todos los puntos que ha trazado. Una vez que esté satisfecho, presione el botón "Verificar". Si tiene al menos dos puntos correctos, puede corregir los puntos o intentar dibujar el gráfico. Para dibujar el gráfico, mantenga presionado el botón del mouse y arrástrelo. Finalmente, presione "Gráfico" y se le mostrará el gráfico correcto.
    También se le pide que proporcione la orientación de la curva. Haga la mejor selección de las cuatro opciones. Solo debe elegir en sentido horario o antihorario para las parametrizaciones utilizando seno y coseno. Todas las demás curvas tienen una orientación que se puede describir como de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

    Trazar una curva paramétrica

    Una segunda técnica para identificar la curva de las ecuaciones paramétricas es intentar eliminar el parámetro de las ecuaciones. Esto dará como resultado una ecuación que involucra solo xey que podemos reconocer. Por ejemplo, veamos nuevamente el ejemplo anterior. Dado que x = 2 t, entonces resolver para t da t = x / 2. Sustituya t en la ecuación por y para obtener y = (x / 2) 2 = x 2/4. Esto lo reconocemos como el gráfico de una parábola y podemos esbozar su gráfico usando técnicas de representación gráfica de funciones.
    Sin embargo, tenga cuidado de tener en cuenta las restricciones sobre el valor del parámetro. Si, en este ejemplo, agregamos la condición t> 0, entonces la curva definida por las ecuaciones paramétricas sería la gráfica de y = x 2/4 en el eje x positivo.

    En este conjunto de ejercicios se le dan dos ecuaciones paramétricas. Debe eliminar el parámetro para encontrar una expresión entre y y x. Todas las respuestas de este conjunto se pueden escribir en la forma y = f (x). Haga clic en "Nuevo" para ver un nuevo problema. Escriba su función en el área de escritura. Una vez que haya ingresado la expresión, presione "Verificar" para ver si sus respuestas son correctas. El botón "Ayuda" proporcionará una pista. El botón "Resolver" revelará la solución si su respuesta marcada es incorrecta.
    Eliminando el Parámetro

    Una representación paramétrica de una curva no es única. Es decir, una curva C puede estar representada por dos (o más) pares diferentes de ecuaciones paramétricas.

    Ejemplo: Vimos anteriormente que las ecuaciones paramétricas x = t, y = t 2 t [& minus1,2] parametrizan parte de la gráfica de la función y = x 2. desde x = & menos1 hasta x = 2.

    Sin embargo, las ecuaciones x = 1 & minus 2 u, y = (1 & minus 2 u) 2 u [& minus1 / 3,1] también parametrizan la misma parte de la gráfica de la función y = x 2. desde x = & menos1 hasta x = 2.

    Ejemplo: Considere x = cos (t), y = sin (t) t [0, 2]. Para ver qué curva definen estas ecuaciones, elevemos al cuadrado tanto x como y, y agreguemos ambos términos. x 2 + y 2 = cos 2 (t) + sen 2 (t) = 1. Esta es la ecuación del círculo unitario y, por lo tanto, las dos ecuaciones paramétricas son una parametrización del círculo unitario.

    Ahora, considere x = sin (t), y = cos (t) t [0, 2]. Aplicamos el mismo procedimiento para eliminar el parámetro, a saber, el cuadrado xey, y sumamos los términos. x 2 + y 2 = sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1.
    Esta curva paramétrica es también el círculo unitario y hemos encontrado dos parametrizaciones diferentes del círculo unitario.

    Observe cómo obtuvimos una ecuación en términos de xey en el ejemplo anterior. Eliminamos el parámetro pero no de forma directa resolviendo una de las ecuaciones. La técnica es útil en muchas ecuaciones paramétricas que involucran seno y coseno. Es decir, resuelva las ecuaciones para sin (t) y cos (t), luego eleve al cuadrado y sume las ecuaciones.


    Rutas paramétricas

    Las ecuaciones paramétricas para nueve curvas se definen combinando los encabezados de fila y columna en la siguiente tabla. El dominio de (t ) para cada curva es el conjunto de valores de (t ) para los que se definen las coordenadas (x ) y (y ).

    Los bocetos de algunas de estas curvas están disponibles en tarjetas.

    Coloque cada boceto en la celda con los encabezados de fila y columna apropiados para las ecuaciones paramétricas de la curva y dibuje las curvas que faltan.

    ¿Cuáles son los dominios y rangos de las funciones que dan las ecuaciones paramétricas de la curva?

    ¿Cuál es el rango de valores del parámetro (t ) para la curva?

    ¿En qué dirección se mueve el punto (P (x, y) ) a lo largo de la curva a medida que (t ) aumenta?

    ¿Cuáles son los valores de (t ) en algunos puntos importantes de la curva?

    Al mirar a lo largo de las filas o las columnas de la tabla, ¿qué características de las curvas permanecen iguales y cuáles cambian? Explica cómo se relaciona esto con las ecuaciones paramétricas de las curvas.


    7.1: Ecuaciones paramétricas - Matemáticas


    Departamento de Educación Matemática
    J. Wilson, EMAT 6680

    Introducción a las ecuaciones paramétricas
    por David Wise

    Esta investigación sirve como lección introductoria en ecuaciones paramétricas. Dado un punto y una pendiente, los estudiantes que hayan completado con éxito Álgebra I deberían poder escribir fácilmente la ecuación de la recta. Los dos objetivos de esta investigación son que los estudiantes aprendan a escribir ecuaciones paramétricas dados un punto y una pendiente, y que los estudiantes adquieran la capacidad de interpretar ecuaciones paramétricas.

    Estos gráficos de demostración se han producido utilizando el software de calculadora gráfica, Graphing Calculator 2.2.1. Si no tiene este software, puede utilizar una versión de demostración o comprar el software a través de Internet en http://www.pacifict.com. Estas demostraciones también se pueden crear utilizando otro software de gráficos o calculadoras de gráficos.

    Comience escribiendo primero la ecuación lineal básica. y = mx + b

    Coloque la pendiente, la coordenada xy la coordenada y en la ecuación y resuelva para b. 5 = 3 (7) + b, entonces b = -16

    Por tanto, la ecuación lineal es: y = 3x - 16.

    Ahora, necesitamos manipular la ecuación lineal para desarrollar las ecuaciones paramétricas correspondientes. En ecuaciones paramétricas, la variable xy la variable y se escriben como una función de una tercera variable, t, llamada parámetro. Las ecuaciones paramétricas nos permiten determinar una cooridinada x y una coordenada y específicas de un punto en función de un valor t específico. En muchas aplicaciones, t representa el tiempo, lo que puede ser una forma útil de pensar en t. Usando este concepto, las ecuaciones paramétricas nos permiten determinar la ubicación de un punto específico (x, y) en un momento específico (t).

    Necesitamos introducir la variable t.

    Una forma es simplemente hacer que t sea igual ax. Las ecuaciones paramétricas resultantes son:
    x = t
    y = 3t - 16

    ¿Qué significan estas ecuaciones? ¿Son realmente iguales a la ecuación lineal con la que nos hemos sentido tan cómodos tratando?

    Construyamos una tabla de valores.

    valor t coordenada x coordenada y
    0 0 -16
    1 1 -13
    2 2 -10
    3 3 -7
    4 4 -4
    5 5 -1
    6 6 2
    7 7 5

    Observe que obtenemos las mismas coordenadas xey de la ecuación lineal y las ecuaciones paramétricas. La diferencia clave es que en las ecuaciones paramétricas, las coordenadas xey están asociadas con un valor t. Podemos pensar en cada punto en términos de & quot; tiempo & quot. Por ejemplo, en el tiempo 0, obtenemos el punto (0, 10) y en el tiempo 7, obtenemos el punto (7, 5).

    La principal diferencia al graficar una ecuación lineal y las ecuaciones paramétricas correspondientes es la restricción que colocamos en t. Cuando graficamos una ecuación lineal, obtenemos una línea porque el dominio y el rango consisten en todos los números reales. Sin embargo, con ecuaciones paramétricas, t generalmente está restringido, de modo que la gráfica producida se enfoca en los valores especificados de t. Por ejemplo, Graphing Calculator 2.2.1 tiene un valor predeterminado, de modo que t min = 0 y t max = 1. Por lo tanto, en lugar de obtener la recta y = 3x - 16, obtenemos un segmento de recta de y = 3x - 16. La única forma de obtener la línea y = 3x - 16 usando las ecuaciones paramétricas que produjimos es establecer t min = -infinito y t max = + infinito. Veamos las gráficas.

    2. x = t y y = 3t - 16 para t min = 0, t max = 1

    3. x = t y y = 3t - 16 para t min = 0, t max = 7

    En el tercer conjunto de gráficos, el punto final (7, 5) del segmento de línea corresponde con t = 7. Los gráficos anteriores deberían habernos convencido de que la ecuación lineal y las ecuaciones paramétricas producen la misma línea cuando t es infinito, pero si No intente los siguientes dos trucos. Primero, si tratamos de graficar la ecuación lineal y las ecuaciones paramétricas correspondientes en el mismo plano de coordenadas, la gráfica de las ecuaciones paramétricas es & quothidden & quot por la ecuación lineal. En segundo lugar, al graficar las ecuaciones paramétricas, establezca t min igual a un número negativo "muy grande" y t max igual a un número positivo muy grande.

    Nota: Si es un usuario principiante de Graphing Calculator 2.2.1, para ingresar ecuaciones paramétricas, debe usar la función 2-Vector del menú Ecuación. Además, para cambiar t, debe usar el menú Ver y Parámetros.

    • ¿Existe solo un conjunto de ecuaciones paramétricas para una línea que pasa por (7, 5) con pendiente de 3?

    No, sin demasiada dificultad, podemos desarrollar otro conjunto de ecuaciones paramétricas que satisfaga las condiciones dadas.

    Sabemos que la ecuación lineal es: y = 3x - 16.

    La clave es considerar la factorización. y = 3x - 15 - 1, entonces y = 3 (x - 5) - 1.

    Ahora podemos introducir la variable t. En el ejemplo anterior establecemos t = x, esta vez estableceremos t = x - 5. Las ecuaciones paramétricas resultantes son:
    x = t + 5 ----- (desde, t = x - 5)
    y = 3t - 1

    Construyamos una tabla de valores para verificar que este conjunto de ecuaciones paramétricas se corresponda con la ecuación lineal y el conjunto anterior de ecuaciones paramétricas. El truco consiste en intentar encontrar los valores t que correspondan a las coordenadas x que encontramos anteriormente.

    valor t coordenada x coordenada y
    -5 0 -16
    -4 1 -13
    -3 2 -10
    -2 3 -7
    -1 4 -4
    0 5 -1
    1 6 2
    2 7 5

    Observe que obtenemos exactamente los mismos puntos que obtuvimos en el ejemplo anterior. Lo único que ha cambiado es el valor t. Por lo tanto, este conjunto de ecuaciones paramétricas produce la misma línea, pero obtenemos los mismos puntos en diferentes momentos. Hemos cambiado a qué es igual el parámetro (t), lo que significa que hemos cambiado el parámetro. Considere el punto (7, 5), que era el punto por el que tenía que pasar nuestra línea. Con el primer conjunto de ecuaciones paramétricas, obtuvimos el punto (7, 5) en el tiempo t = 7. Con nuestro nuevo conjunto de ecuaciones paramétricas, obtuvimos el punto (7, 5) en el tiempo t = 2.


    Ecuaciones paramétricas

    Piense en una curva que se traza a lo largo del tiempo, que a veces se dobla sobre sí misma o se cruza. Tal curva no puede describirse mediante una función $ y = f (x) $. En cambio, describiremos nuestra posición a lo largo de la curva en el momento $ t $ por begin x & amp = & ampx (t) y & amp = & ampy (t). fin Entonces $ x $ y $ y $ están relacionados entre sí a través de su dependencia de la parámetro $ t $.

    Ejemplo

    El parámetro no siempre representa el tiempo:

    Ejemplo

    Diferenciar ecuaciones paramétricas

    Sea $ x = x (t) $ y $ y = y (t) $. Supongamos por el momento que podemos reescribir esto como $ y (t) = f (x (t)) $. Entonces $ displaystyle frac

    = frac cdot frac
    $ por la regla de la cadena. Resolviendo para $ displaystyle frac$ y asumiendo $ displaystyle frac
    neq 0 $, [ frac= frac <

    > ] una fórmula que se cumple en general.

    Ejemplo

    Notas

    • A menudo es posible volver a escribir las ecuaciones paramétricas sin el parámetro. En el segundo ejemplo, $ displaystyle frac<3> = cos theta $, $ displaystyle frac<3> = sin theta $. Dado que $ cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta = 1 $, $ displaystyle left ( frac<3> right) ^ 2 + left ( frac<3> derecha) ^ 2 = 1 $. Entonces $ x ^ 2 + y ^ 2 = 9 $, que es la ecuación de un círculo como se esperaba. Cuando elimine el parámetro, compruebe siempre que no ha introducido partes ajenas a la curva.

    Conceptos clave

    Una curva en el plano $ xy $ puede describirse mediante un par de ecuaciones paramétricas $ x = x (t) $ $ y = y (t) $ donde $ x $ y $ y $ están relacionados a través de su dependencia de $ t PS Esto es particularmente útil cuando ni $ x $ ni $ y $ son función del otro.

    La derivada de $ y $ con respecto a $ x $, en términos del parámetro $ t $, viene dada por $ frac = frac < frac

    > < frac
    >. $



    Comentarios:

    1. Jaykell

      tu idea es util

    2. Scannalan

      No solo tu

    3. Eugene

      ¡Te deseamos felicidad y salud!

    4. Barth

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