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1.2: Repaso de funciones - Matemáticas


En esta sección, proporcionamos una definición formal de una función y examinamos varias formas en las que se representan las funciones, es decir, a través de tablas, fórmulas y gráficos. La mayor parte de este material será una revisión para usted, pero le servirá como una referencia útil para recordarle algunas de las técnicas algebraicas útiles para trabajar con funciones.

Funciones

Dados dos conjuntos (A ) y (B ) un conjunto con elementos que son pares ordenados ((x, y) ) donde (x ) es un elemento de (A ) y (y ) es un elemento de (B, ) es una relación de (A ) a (B ). Una relación de (A ) a (B ) define una relación entre esos dos conjuntos. Una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado exactamente con un elemento del segundo conjunto. El elemento del primer conjunto se llama aporte; el elemento del segundo conjunto se llama producción. Las funciones se utilizan todo el tiempo en matemáticas para describir relaciones entre dos conjuntos. Para cualquier función, cuando conocemos la entrada, la salida está determinada, por lo que decimos que la salida es una función de la entrada. Por ejemplo, el área de un cuadrado está determinada por la longitud de su lado, por lo que decimos que el área (la salida) es una función de la longitud de su lado (la entrada). La velocidad de una pelota lanzada al aire se puede describir como una función de la cantidad de tiempo que la pelota está en el aire. El costo de enviar un paquete por correo es una función del peso del paquete. Dado que las funciones tienen tantos usos, es importante tener definiciones y terminología precisas para estudiarlas.

Figura ( PageIndex {1} ): Una función se puede visualizar como un dispositivo de entrada / salida

Definición: Funciones

A función (f ) consta de un conjunto de entradas, un conjunto de salidas y una regla para asignar cada entrada a exactamente una salida. El conjunto de entradas se llama dominio de la función. El conjunto de salidas se llama abarcar del función.

Figura ( PageIndex {2} ): Una función asigna cada elemento del dominio a exactamente un elemento del rango. Aunque cada entrada se puede enviar a una sola salida, se pueden enviar dos entradas diferentes a la misma salida.

Por ejemplo, considere la función (f ), donde el dominio es el conjunto de todos los números reales y la regla es elevar al cuadrado la entrada. Luego, la entrada (x = 3 ) se asigna a la salida (3 ^ 2 = 9 ).

Dado que todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada de valor real, todo número no negativo es un elemento del rango de esta función. Dado que no hay un número real con un cuadrado que sea negativo, los números reales negativos no son elementos del rango. Concluimos que el rango es el conjunto de números reales no negativos.

Para una función general (f ) con dominio (D ), a menudo usamos (x ) para denotar la entrada y (y ) para denotar la salida asociada con (x ). Al hacerlo, nos referimos a (x ) como el variable independiente y (y como el variable dependiente, porque depende de (x ). Usando la notación de funciones, escribimos (y = f (x) ), y leemos esta ecuación como " (y ) es igual a (f ) de (x." ) Para la función de elevación al cuadrado descrita anteriormente escribimos (f (x) = x ^ 2 ).

El concepto de una función se puede visualizar usando Figuras ( PageIndex {1} ) - ( PageIndex {3} ).

Figura ( PageIndex {3} ): En este caso, una gráfica de una función f tiene un dominio de ({1,2,3} ) y un rango de ({1,2} ). La variable independiente es (x ) y la variable dependiente es (y ).

También podemos visualizar una función trazando puntos ((x, y) ) en el plano de coordenadas donde (y = f (x) ). La gráfica de una función es el conjunto de todos estos puntos. Por ejemplo, considere la función (f ), donde el dominio es el conjunto (D = {1,2,3} ) y la regla es (f (x) = 3 − x ). En la Figura ( PageIndex {4} ), trazamos una gráfica de esta función.

Figura ( PageIndex {4} ): Aquí vemos una gráfica de la función (f ) con dominio ({1,2,3} ) y regla (f (x) = 3 − x ). La gráfica consta de los puntos ((x, f (x)) ) para todo (x ) en el dominio.

Cada función tiene un dominio. Sin embargo, a veces una función se describe mediante una ecuación, como en (f (x) = x ^ 2 ), sin un dominio específico dado. En este caso, el dominio se toma como el conjunto de todos los números reales (x ) para los cuales (f (x) ) es un número real. Por ejemplo, dado que cualquier número real se puede elevar al cuadrado, si no se especifica ningún otro dominio, consideramos que el dominio de (f (x) = x ^ 2 ) es el conjunto de todos los números reales. Por otro lado, la función de raíz cuadrada (f (x) = sqrt {x} ) solo da una salida real si (x ) no es negativo. Por lo tanto, el dominio de la función (f (x) = sqrt {x} ) es el conjunto de números reales no negativos, a veces llamado dominio natural.

Notación de constructor de conjuntos y notación de intervalo

Para las funciones (f (x) = x ^ 2 ) y (f (x) = sqrt {x} ), los dominios son conjuntos con un número infinito de elementos. Claramente, no podemos enumerar todos estos elementos. Cuando se describe un conjunto con un número infinito de elementos, a menudo es útil utilizar el generador de conjuntos o la notación de intervalo. Cuando usamos la notación del constructor de conjuntos para describir un subconjunto de todos los números reales, denotado (R ), escribimos

[ {x | textit {x tiene alguna propiedad} }. ]

Leemos esto como el conjunto de números reales (x ) tal que (x ) tiene alguna propiedad. Por ejemplo, si estuviéramos interesados ​​en el conjunto de números reales que son mayores que uno pero menores que cinco, podríamos denotar este conjunto usando la notación del constructor de conjuntos escribiendo

[ {x | 1

Un conjunto como este, que contiene todos los números reales mayores que (a) y menor que b, también se puede denotar usando el notación de intervalos ((a, b) ). Por lo tanto,

[(1,5) = {x | 1

Los números (1 ) y (5 ) se denominan puntos finales de este conjunto. Si queremos considerar el conjunto que incluye los puntos finales, denotaríamos este conjunto escribiendo

[[1,5] = {x | 1 leq x leq 5 }. ]

Podemos usar una notación similar si queremos incluir uno de los puntos finales, pero no el otro. Para denotar el conjunto de números reales no negativos, usaríamos la notación del constructor de conjuntos

[ {x | x geq 0 }. ]

El número más pequeño de este conjunto es cero, pero este conjunto no tiene un número mayor. Usando notación de intervalo, usaríamos el símbolo (∞, ) que se refiere al infinito positivo, y escribiríamos el conjunto como

[[0, ∞) = {x | x geq 0 }. ]

Es importante notar que (∞ ) no es un número real. Se utiliza aquí simbólicamente para indicar que este conjunto incluye todos los números reales mayores o iguales a cero. De manera similar, si quisiéramos describir el conjunto de todos los números no positivos, podríamos escribir

[(- ∞, 0] = {x | x≤0 }. ]

Aquí, la notación (−∞) se refiere al infinito negativo e indica que estamos incluyendo todos los números menores o iguales a cero, sin importar cuán pequeños sean. El conjunto

[(- ∞, ∞) = { textit {x} | textit {x es cualquier número real} } ]

se refiere al conjunto de todos los números reales.

Funciones por partes

Algunas funciones se definen utilizando diferentes ecuaciones para diferentes partes de su dominio. Estos tipos de funciones se conocen como funciones definidas por partes. Por ejemplo, supongamos que queremos definir una función (f ) con un dominio que es el conjunto de todos los números reales tales que (f (x) = 3x + 1 ) para (x≥2 ) y (f (x) = x ^ 2 ) para (x <2 ). Denotamos esta función escribiendo

[f (x) = begin {cases} 3x + 1 & x≥2 x ^ 2 & x <2 end {cases} ]

Al evaluar esta función para una entrada (x ), la ecuación a usar depende de si (x≥2 ) o (x <2 ). Por ejemplo, desde (5> 2 ), usamos el hecho de que (f (x) = 3x + 1 ) para (x≥2 ) y vemos que (f (5) = 3 (5 ) + 1 = 16 ). Por otro lado, para (x = −1 ), usamos el hecho de que (f (x) = x ^ 2 ) para (x <2 ) y vemos que (f (−1) = 1 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): evaluación de funciones

Para la función (f (x) = 3x ^ 2 + 2x − 1 ), evalúa:

  1. (f (−2) )
  2. (f ( sqrt {2}) )
  3. (f (a + h) )

Solución

Sustituye x por el valor dado en la fórmula para (f (x) ).

  1. (f (−2) = 3 (−2 ^) 2 + 2 (−2) −1 = 12−4−1 = 7 )
  2. (f ( sqrt {2}) = 3 ( sqrt {2}) ^ 2 + 2 sqrt {x} −1 = 6 + 2 sqrt {2} −1 = 5 + 2 sqrt {2} )
  3. (f (a + h) = 3 (a + h) ^ 2 + 2 (a + h) −1 = 3 (a ^ 2 + 2ah + h ^ 2) + 2a + 2h − 1 ) (= 3a ^ 2 + 6ah + 3h ^ 2 + 2a + 2h − 1 )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para (f (x) = x ^ 2−3x + 5 ), evalúe (f (1) ) y (f (a + h) ).

Pista

Sustituye (1 ) y (a + h ) por (x ) en la fórmula para (f (x) ).

Respuesta

(f (1) = 3 ) y (f (a + h) = a ^ 2 + 2ah + h ^ 2−3a − 3h + 5 )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): búsqueda de dominio y rango

Para cada una de las siguientes funciones, determine la i. dominio y ii. abarcar.

  1. (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5 )
  2. (f (x) = sqrt {3x + 2} −1 )
  3. (f (x) = 3x − 2 )

Solución

1. Considere (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5. )

1.Dado que (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5 ) es un número real para cualquier número real (x ), el dominio de f es el intervalo ((- ∞, ∞) ).

2. Como ((x − 4) ^ 2≥0 ), sabemos (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5≥5 ). Por lo tanto, el rango debe ser un subconjunto de { (y | y≥5 )}. Para mostrar que todos los elementos de este conjunto están en el rango, necesitamos mostrar que para una y dada en ese conjunto, hay un número real x tal que (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5 = y ). Resolviendo esta ecuación para x, vemos que necesitamos x tal que

((x − 4) ^ 2 = y − 5. )

Esta ecuación se satisface siempre que exista un número real x tal que

(x − 4 = ± sqrt {y − 5} )

Dado que (y≥5 ), la raíz cuadrada está bien definida. Concluimos que para (x = 4 ± sqrt {y − 5} ), (f (x) = y ), y por lo tanto el rango es { (y | y≥5 )}.

2. Considere (f (x) = sqrt {3x + 2} −1 ).

1.Para encontrar el dominio de f, necesitamos la expresión (3x + 2≥0 ). Resolviendo esta desigualdad, llegamos a la conclusión de que el dominio es { (x | x≥ − 2/3 )}.

2.Para encontrar el rango de f, observamos que desde ( sqrt {3x + 2} ≥0 ), (f (x) = sqrt {3x + 2} −1≥ − 1 ). Por lo tanto, el rango de f debe ser un subconjunto del conjunto { (y | y≥ − 1 )}. Para mostrar que cada elemento de este conjunto está en el rango de (f ), necesitamos mostrar que para todo (y ) en este conjunto, existe un número real x en el dominio tal que (f ( x) = y ). Sea (y≥ − 1 ). Entonces, (f (x) = y ) si y solo si

( sqrt {3x + 2} −1 = y. )

Resolviendo esta ecuación para x, vemos que x debe resolver la ecuación

( sqrt {3x + 2} = y + 1. )

Dado que (y≥ − 1 ), tal (x ) podría existir. Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación, tenemos (3x + 2 = (y + 1) ^ 2. )

Por lo tanto, necesitamos

(3x = (y + 1) ^ 2−2, )

lo que implica

(x = frac {1} {3} (y + 1) ^ 2− frac {2} {3}. )

Solo necesitamos verificar que x esté en el dominio de (f ). Dado que el dominio de (f ) consta de todos los números reales mayores o iguales que frac {−2} {3} ), y

( frac {1} {3} (y + 1) ^ 2- frac {2} {3} ≥− frac {2} {3}, )

existe una x en el dominio de (f ). Concluimos que el rango de (f ) es { (y | y≥ − 1 )}.

3.Considere (f (x) = 3 / (x − 2). )

Dado que (3 / (x − 2) ) se define cuando el denominador es distinto de cero, el dominio es { (x | x ≠ 2 )}.

2.Para encontrar el rango de (f ), necesitamos encontrar los valores de (y ) tales que exista un número real (x ) en el dominio con la propiedad que

( frac {3} {x} −2 = y. )

Resolviendo esta ecuación para x, encontramos que

(x = frac {3} {y} +2. )

Por lo tanto, siempre que (y ≠ 0 ), existe un número real (x ) en el dominio tal que (f (x) = y ). Por lo tanto, el rango es { (y | y ≠ 0 )}.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentre el dominio y rango para (f (x) = sqrt {4−2x} +5. )

Pista

Utilice (4−2x≥0 ).

Respuesta

Dominio = { (x∣x≤2 )} y rango = { (y∣y≥5 )}

Representar funciones

Normalmente, una función se representa mediante una o más de las siguientes herramientas:

  • Una mesa
  • Un gráfico
  • Una fórmula

Podemos identificar una función en cada formulario, pero también podemos usarlos juntos. Por ejemplo, podemos trazar en un gráfico los valores de una tabla o crear una tabla a partir de una fórmula.

Mesas

Funciones descritas mediante un tabla de valores surgen con frecuencia en aplicaciones del mundo real. Considere el siguiente ejemplo sencillo. Podemos describir la temperatura de un día determinado en función de la hora del día. Suponga que registramos la temperatura cada hora durante un período de 24 horas a partir de la medianoche. Dejamos que nuestra variable de entrada (x ) sea el tiempo después de la medianoche, medida en horas, y la variable de salida (y ) sea la temperatura (x ) horas después de la medianoche, medida en grados Fahrenheit. Registramos nuestros datos en la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} ): La temperatura en función de la hora del día
Hora después de la medianocheTemperatura (° F)Hora después de la medianocheTemperatura (° F)
0581284
1541385
2531485
3521583
4521682
5551780
6601877
7641974
8722069
9752165
10782260
11802358

Podemos ver en la tabla que la temperatura es una función del tiempo, y la temperatura disminuye, luego aumenta y luego disminuye nuevamente. Sin embargo, no podemos obtener una imagen clara del comportamiento de la función sin graficarla.

Gráficos

Dada una función (f ) descrita por una tabla, podemos proporcionar una imagen visual de la función en forma de gráfico. Graficar las temperaturas enumeradas en la Tabla ( PageIndex {1} ) puede darnos una mejor idea de su fluctuación a lo largo del día. La figura muestra el gráfico de la función de temperatura.

Figura ( PageIndex {5} ): El gráfico de los datos de la tabla muestra la temperatura en función del tiempo.

A partir de los puntos trazados en el gráfico de la Figura ( PageIndex {5} ), podemos visualizar la forma general del gráfico. A menudo es útil conectar los puntos en el gráfico, que representan los datos de la tabla. En este ejemplo, aunque no podemos sacar una conclusión definitiva con respecto a cuál fue la temperatura en cualquier momento para el que no se registró la temperatura, dado el número de puntos de datos recopilados y el patrón en estos puntos, es razonable sospechar que las temperaturas en otras veces siguió un patrón similar, como podemos ver en la Figura ( PageIndex {6} ).

Figura ( PageIndex {6} ): La conexión de los puntos en la Figura muestra el patrón general de los datos.

Fórmulas algebraicas

A veces no se nos dan los valores de una función en forma de tabla, sino que se nos dan los valores en una fórmula explícita. Las fórmulas surgen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, el área de un círculo de radio (r ) está dada por la fórmula (A (r) = πr ^ 2 ). Cuando un objeto se lanza hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial (v_ {0} ) ft / s, su altura sobre el suelo desde el momento en que se lanza hasta que golpea el suelo viene dada por la fórmula (s ( t) = - 16t ^ 2 + v_ {0} t ). Cuando se invierten (P ) dólares en una cuenta a una tasa de interés anual r compuesta continuamente, la cantidad de dinero después de (t ) años viene dada por la fórmula (A (t) = Pe ^ {rt} ). Las fórmulas algebraicas son herramientas importantes para calcular valores de funciones. A menudo también representamos estas funciones visualmente en forma de gráfico.

Dada una fórmula algebraica para una función (f ), la gráfica de (f ) es el conjunto de puntos ((x, f (x)) ), donde (x ) está en el dominio de (f ) y (f (x) ) está en el rango. Para graficar una función dada por una fórmula, es útil comenzar usando la fórmula para crear una tabla de entradas y salidas. Si el dominio de (f ) consta de un número infinito de valores, no podemos enumerarlos todos, pero dado que enumerar algunas de las entradas y salidas puede ser muy útil, a menudo es una buena manera de comenzar.

Al crear una tabla de entradas y salidas, normalmente verificamos para determinar si cero es una salida. Los valores de (x ) donde (f (x) = 0 ) se llaman ceros de una función. Por ejemplo, los ceros de (f (x) = x ^ 2−4 ) son (x = ± 2 ). Los ceros determinan dónde se cruza la gráfica de (f ) con el eje (x ), lo que nos da más información sobre la forma de la gráfica de la función. Es posible que la gráfica de una función nunca se cruce con el eje (x ) - o puede que se cruce múltiples (o incluso infinitas) veces.

Otro punto de interés es la intersección en (y ), si existe. La intersección en (y ) - está dada por ((0, f (0)) ).

Dado que una función tiene exactamente una salida para cada entrada, la gráfica de una función puede tener, como máximo, una intersección en (y ). Si (x ) = 0 está en el dominio de una función (f ), entonces (f ) tiene exactamente una intersección en (y ). Si (x = 0 ) no está en el dominio de (f, ) entonces (f ) no tiene intersección en (y ). De manera similar, para cualquier número real (c ), si (c ) está en el dominio de (f ), hay exactamente una salida (f (c) ) y la línea (x = c ) interseca la gráfica de (f ) exactamente una vez. Por otro lado, si (c ) no está en el dominio de (f ), (f (c) ) no está definido y la línea (x = c ) no interseca la gráfica de (F). Esta propiedad se resume en la prueba de la línea vertical.

Prueba de línea vertical

Dada una función (f ), cada línea vertical que se pueda trazar interseca la gráfica de (f ) no más de una vez. Si alguna línea vertical cruza un conjunto de puntos más de una vez, el conjunto de puntos no representa una función.

Podemos usar esta prueba para determinar si un conjunto de puntos trazados representa la gráfica de una función (Figura ( PageIndex {7} )).

Figura ( PageIndex {7} ): (a) El conjunto de puntos graficados representa la gráfica de una función porque cada línea vertical interseca el conjunto de puntos, como máximo, una vez. (b) El conjunto de puntos graficados no representa la gráfica de una función porque algunas líneas verticales intersecan el conjunto de puntos más de una vez.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): encontrar ceros y (y ) - intersecciones de una función

Considere la función (f (x) = - 4x + 2. )

  1. Encuentra todos los ceros de (f ).
  2. Encuentra la intersección en (y ) (si la hay).
  3. Dibuja una gráfica de (f ).

Solución

1.Para encontrar los ceros, resuelva (f (x) = - 4x + 2 = 0 ). Descubrimos que f tiene un cero en (x = 1/2 ).

2. La intersección con el eje y está dada por ((0, f (0)) = (0,2). )

3. Dado que f es una función lineal de la forma (f (x) = mx + b ) que pasa por los puntos ((1 / 2,0) ) y ((0,2) ) , podemos dibujar la gráfica de (f ) (Figura ( PageIndex {8} )).

Figura ( PageIndex {8} ): La función (f (x) = - 4x + 2 ) es una línea con (x ) - intersección ((1 / 2,0) ) y (y ) - intersección ((0, 2) ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de ceros y intersecciones y para dibujar un gráfico

Considere la función (f (x) = sqrt {x + 3} +1 ).

  1. Encuentra todos los ceros de (f ).
  2. Encuentra la intersección en (y ) (si la hay).
  3. Dibuja una gráfica de (f ).

Solución

1. Para encontrar los ceros, resuelva ( sqrt {x + 3} + 1 = 0 ). Esta ecuación implica ( sqrt {x + 3} = - 1 ). Como ( sqrt {x + 3} ≥0 ) para todo (x ), esta ecuación no tiene soluciones y, por lo tanto, f no tiene ceros.

2. La intersección en (y ) - está dada por ((0, f (0)) = (0, sqrt {3} +1) ).

3. Para graficar esta función, hacemos una tabla de valores. Como necesitamos (x + 3≥0 ), necesitamos elegir valores de (x≥ − 3 ). Elegimos valores que hacen que la función de raíz cuadrada sea fácil de evaluar.

(X)-3-21
(f (x) )123

Haciendo uso de la tabla y sabiendo que, dado que la función es una raíz cuadrada, la gráfica de (f ) debe ser similar a la gráfica de (y = sqrt {x} ), dibujamos la gráfica (Figura ( PageIndex {9} )).

Figura ( PageIndex {9} ): La gráfica de (f (x) = sqrt {x + 3} +1 ) tiene una intersección en (y ) pero no en (x ) - intersecciones.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra los ceros de (f (x) = x ^ 3−5x ^ 2 + 6x. )

Pista

Factoriza el polinomio.

Respuesta

(x = 0,2,3 )

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar la altura de un objeto en caída libre

Si se deja caer una pelota desde una altura de 100 pies, su altura s en el tiempo (t ) está dada por la función (s (t) = - 16t ^ 2 + 100 ), donde s se mide en pies y t se mide en segundos. El dominio está restringido al intervalo ([0, c] ), donde (t = 0 ) es el momento en que se deja caer la pelota y (t = c ) es el momento en que la pelota golpea el suelo .

  1. Cree una tabla que muestre la altura s (t) cuando (t = 0,0.5,1,1.5,2 ) y (2.5 ). Con los datos de la tabla, determine el dominio para esta función. Es decir, encuentre el tiempo c cuando la pelota golpea el suelo.
  2. Dibuja una gráfica de (s ).

Solución

(t )00.511.522.5
(S t))100968464360

Dado que la pelota golpea el suelo cuando (t = 2.5 ), el dominio de esta función es el intervalo ([0,2.5] ).

2.

Tenga en cuenta que para esta función y la función (f (x) = - 4x + 2 ) graficada en la Figura ( PageIndex {8} ), los valores de (f (x) ) se hacen más pequeños a medida que (x ) se hace más grande. Se dice que una función con esta propiedad es decreciente. Por otro lado, para la función (f (x) = sqrt {x + 3} +1 ) graficada en la Figura ( PageIndex {9} ), los valores de (f (x) ) aumentan a medida que los valores de (x ) aumentan. Se dice que una función con esta propiedad aumenta. Sin embargo, es importante tener en cuenta que una función puede aumentar en algunos intervalos y disminuir en un intervalo o intervalos diferentes. Por ejemplo, usando nuestra función de temperatura graficada arriba, podemos ver que la función está disminuyendo en el intervalo ((0,4) ), aumentando en el intervalo ((4,14) ) y luego disminuyendo en el intervalo ((14,23) ). Hacemos que la idea de una función creciente o decreciente en un intervalo particular sea más precisa en la siguiente definición.

Definición: creciente y decreciente en un intervalo

Decimos que una función (f ) es aumentando en el intervalo I si para todo (x_ {1}, x_ {2} ∈I, )

(f (x_ {1}) ≤f (x_ {2}) ) cuando (x_ {1}

Decimos que (f ) es estrictamente creciente en el intervalo (I ) si para todo (x_ {1}, x_ {2} ∈I, )

(f (x_ {1})

Decimos que una función (f ) es disminuyendo en el intervalo I si para todo (x_ {1}, x_ {2} ∈I, )

(f (x_ {1}) ≥f (x_ {2}) ) si (x_ {1}

Decimos que una función (f ) es estrictamente decreciente en el intervalo (I ) si para todo (x_ {1}, x_ {2} ∈I ),

(f (x_ {1})> f (x_ {2}) ) si (x_ {1}

Por ejemplo, la función (f (x) = 3x ) aumenta en el intervalo ((- ∞, ∞) ) porque (3x_ {1} <3x_ {2} ) siempre que (x_ {1 } - x ^ 3_ {2} ) siempre que (x_ {1}

Figura ( PageIndex {10} ): (a) La función (f (x) = 3x ) aumenta en el intervalo ((- ∞, ∞) ). (b) La función (f (x) = - x ^ 3 ) es decreciente en el intervalo ((- ∞, ∞) ).

Combinar funciones

Ahora que hemos revisado las características básicas de las funciones, podemos ver qué sucede con estas propiedades cuando combinamos funciones de diferentes formas, usando operaciones matemáticas básicas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, si el costo de fabricación de (x ) artículos para una empresa se describe mediante la función (C (x) ) y los ingresos generados por la venta de (x ) artículos se describen mediante la función (R (x) ), entonces la ganancia en la fabricación y venta de x artículos se define como (P (x) = R (x) −C (x) ). Usando la diferencia entre dos funciones, creamos una nueva función.

Alternativamente, podemos crear una nueva función componiendo dos funciones. Por ejemplo, dadas las funciones (f (x) = x ^ 2 ) y (g (x) = 3x + 1 ), la función compuesta (f∘g ) se define de manera que

[(f∘g) (x) = f (g (x)) = (g (x)) ^ 2 = (3x + 1) ^ 2. ]

La función compuesta g∘f se define de manera que

[(g∘f) (x) = g (f (x)) = 3f (x) + 1 = 3x ^ 2 + 1. ]

Tenga en cuenta que estas dos nuevas funciones son diferentes entre sí.

Combinar funciones con operadores matemáticos

Para combinar funciones usando operadores matemáticos, simplemente escribimos las funciones con el operador y simplificamos. Dadas dos funciones (f ) y (g ), podemos definir cuatro funciones nuevas:

((f + g) (x) = f (x) + g (x) )Suma
((f − g) (x) = f (x) −g (x) )Diferencia
((f · g) (x) = f (x) g (x) )Producto
(( frac {f} {g}) (x) = frac {f (x)} {g (x)} ) para (g (x) ≠ 0 )Cociente

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Combinar funciones usando operaciones matemáticas

Dadas las funciones (f (x) = 2x − 3 ) y (g (x) = x ^ 2−1 ), encuentre cada una de las siguientes funciones y establezca su dominio.

  1. ((f + g) (x) )
  2. ((f − g) (x) )
  3. ((f · g) (x) )
  4. (( frac {f} {g}) (x) )

Solución

1. ((f + g) (x) = (2x − 3) + (x ^ 2−1) = x ^ 2 + 2x − 4. )

El dominio de esta función es el intervalo ((- ∞, ∞) ).

2. ((F − g) (x) = (2x − 3) - (x ^ 2−1) = - x ^ 2 + 2x − 2. )

El dominio de esta función es el intervalo ((- ∞, ∞) ).

3. ((f · g) (x) = (2x − 3) (x ^ 2−1) = 2x ^ 3−3x ^ 2−2x + 3. )

El dominio de esta función es el intervalo ((- ∞, ∞) ).

4. (( frac {f} {g}) (x) = frac {2x − 3} {x ^ 2−1} ).

El dominio de esta función es { (x∣∣x ≠ ± 1 )}.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Para (f (x) = x ^ 2 + 3 ) y (g (x) = 2x − 5 ), encuentre ((f / g) (x) ) y establezca su dominio.

Pista

La nueva función ((f / g) (x) (f / g) (x) ) es un cociente de dos funciones. ¿Para qué valores de (x ) es cero el denominador?

Respuesta

(( frac {f} {g}) (x) = frac {x ^ 2 + 3} {2x − 5} ). El dominio es { (x | x ≠ frac {5} {2} )}.

Composición de funciones

Cuando componimos funciones, tomamos una función de una función. Por ejemplo, suponga que la temperatura (T ) en un día dado se describe como una función del tiempo (t ) (medido en horas después de la medianoche) como en la Tabla. Suponga que el costo (C ) de calentar o enfriar un edificio durante 1 hora se puede describir como una función de la temperatura (T ). Combinando estas dos funciones, podemos describir el costo de calentar o enfriar un edificio en función del tiempo evaluando (C (T (t)) ). Hemos definido una nueva función, denotada (C∘T ), que se define de manera que ((C∘T) (t) = C (T (t)) ) para todo (t ) en el dominio de (T ). Esta nueva función se llama función compuesta. Observamos que dado que el costo es una función de la temperatura y la temperatura es una función del tiempo, tiene sentido definir esta nueva función ((C∘T) (t) ). No tiene sentido considerar ((T∘C) (t) ), porque la temperatura no es una función del costo.

Definición: funciones compuestas

Considere la función (f ) con dominio (A ) y rango (B ), y la función (g ) con dominio (D ) y rango (E ). Si (B ) es un subconjunto de (D ), entonces la función compuesta ((g∘f) (x) ) es la función con dominio (A ) tal que

[(g∘f) (x) = g (f (x)) ]

Una función compuesta (g∘f ) se puede ver en dos pasos. Primero, la función (f ) asigna cada entrada (x ) en el dominio de f a su salida (f (x) ) en el rango de (f ). En segundo lugar, dado que el rango de (f ) es un subconjunto del dominio de (g ), la salida (f (x) ) es un elemento en el dominio de (g ), y por lo tanto se asigna a una salida (g (f (x)) ) en el rango de (g ). En la Figura ( PageIndex {11} ), vemos una imagen visual de una función compuesta.

Figura ( PageIndex {11} ): Para la función compuesta (g∘f ), tenemos ((g∘f) (1) = 4 ), ((g∘f) (2) = 5 ) y ((g∘ f) (3) = 4 ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Composiciones de funciones definidas por fórmulas

Considere las funciones (f (x) = x ^ 2 + 1 ) y (g (x) = 1 / x ).

  1. Encuentra ((g∘f) (x) ) e indica su dominio y rango.
  2. Evalúa ((g∘f) (4) ), ((g∘f) (- 1/2) ).
  3. Encuentra ((f∘g) (x) ) e indica su dominio y rango.
  4. Evalúa ((f∘g) (4) ), ((f∘g) (- 1/2) ).

Solución

1. Podemos encontrar la fórmula para ((g∘f) (x) ) de dos formas diferentes. Podríamos escribir

((g∘f) (x) = g (f (x)) = g (x ^ 2 + 1) = frac {1} {x ^ 2 + 1} ).

Alternativamente, podríamos escribir

((g∘f) (x) = g (f (x)) = frac {1} {f (x)} = frac {1} {x ^ 2 + 1}. )

Dado que (x ^ 2 + 1 ≠ 0 ) para todos los números reales x, el dominio de ((g∘f) (x) ) es el conjunto de todos los números reales. Dado que (0 <1 / (x2 + 1) ≤1 ), el rango es, como máximo, el intervalo ((0,1] ). Para mostrar que el rango es este intervalo completo, dejamos y = 1 / (x2 + 1) y resuelva esta ecuación para x para mostrar que para todo (y ) en el intervalo ((0,1] ), existe un número real x tal que (y = 1 / (x ^ 2 + 1) ). Resolviendo esta ecuación para (x ), vemos que (x ^ 2 + 1 = 1 / y ), lo que implica que

(x = ± sqrt { frac {1} {y} −1} )

Si (y ) está en el intervalo ((0,1] ), la expresión debajo del radical no es negativa y, por lo tanto, existe un número real (x ) tal que (1 / (x ^ 2 +1) = y ). Concluimos que el rango de g∘f es el intervalo ((0,1]. )

2. ((g∘f) (4) = g (f (4)) = g (4 ^ 2 + 1) = g (17) = frac {1} {17} )

((g∘f) (- frac {1} {2}) = g (f (- frac {1} {2})) = g ((- frac {1} {2}) ^ 2 +1) = g ( frac {5} {4}) = frac {4} {5} )

3. Podemos encontrar una fórmula para ((f∘g) (x) ) de dos formas. Primero, podríamos escribir

((f∘g) (x) = f (g (x)) = f ( frac {1} {x}) = ( frac {1} {x}) ^ 2 + 1. )

Alternativamente, podríamos escribir

((f∘g) (x) = f (g (x)) = (g (x)) ^ 2 + 1 = ( frac {1} {x}) ^ 2 + 1. )

El dominio de (f∘g ) es el conjunto de todos los números reales (x ) tales que (x ≠ 0 ). Para encontrar el rango de (f ), necesitamos encontrar todos los valores (y ) para los cuales existe un número real (x ≠ 0 ) tal que

(( frac {1} {x}) ^ 2 + 1 = y. )

Resolviendo esta ecuación para x, vemos que necesitamos x para satisfacer

(( frac {1} {x}) ^ 2 = y − 1, )

que simplifica a

( frac {1} {x} = ± sqrt {y − 1} )

Finalmente, obtenemos

(x = ± frac {1} { sqrt {y − 1}} ).

Dado que (1 / sqrt {y − 1} ) es un número real si y solo si (y> 1 ), el rango de (f ) es el conjunto { (y∣∣y≥1 )}.

4. ((F∘g) (4) = f (g (4)) = f ( frac {1} {4}) = ( frac {1} {4}) ^ 2 + 1 = frac {17} {16} )

((f∘g) (- frac {1} {2}) = f (g (- frac {1} {2})) = f (−2) = (- 2) ^ 2 + 1 = 5 )

En el ejemplo, podemos ver que ((f∘g) (x) ≠ (g∘f) (x) ). Esto nos dice, en términos generales, que el orden en el que componimos las funciones es importante.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Sea (f (x) = 2−5x ). Sea (g (x) = sqrt {x} ). Encuentra ((f∘g) (x) ).

Solución

((f∘g) (x) = 2−5 sqrt {x} ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Composición de funciones definidas por tablas

Considere las funciones (f ) y (g ) descritas por

X-3-2-101234
f (x)0424-20-24
X-4-2024
g (x)10305
  1. Evalúa ((g∘f) (3) ), ((g∘f) (0) ).
  2. Indique el dominio y rango de ((g∘f) (x) ).
  3. Evalúe ((f∘f) (3) ), ((f∘f) (1) ).
  4. Indique el dominio y rango de ((f∘f) (x) ).

Solución:

1. ((g∘f) (3) = g (f (3)) = g (−2) = 0 )

((g∘f) (0) = g (4) = 5 )

2. El dominio de (g∘f ) es el conjunto { (- 3, −2, −1,0,1,2,3,4 )}. Dado que el rango de (f ) es el conjunto { (- 2,0,2,4 )}, el rango de (g∘f ) es el conjunto { (0,3,5 ) }.

3. ((f∘f) (3) = f (f (3)) = f (−2) = 4 )

((f∘f) (1) = f (f (1)) = f (−2) = 4 )

4. El dominio de (f∘f ) es el conjunto { (- 3, −2, −1,0,1,2,3,4 )}. Dado que el rango de (f ) es el conjunto { (- 2,0,2,4 )}, el rango de (f∘f ) es el conjunto { (0,4 )}.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Aplicación que incluye una función compuesta

Una tienda anuncia una venta del 20% de descuento en toda la mercadería. Caroline tiene un cupón que le da derecho a un 15% de descuento adicional en cualquier artículo, incluida la mercancía en oferta. Si Caroline decide comprar un artículo con un precio original de (x ) dólares, ¿cuánto terminará pagando si aplica su cupón al precio de oferta? Resuelva este problema utilizando una función compuesta.

Solución

Dado que el precio de venta es un 20% de descuento sobre el precio original, si un artículo cuesta (x ) dólares, su precio de venta viene dado por (f (x) = 0,80x ). Dado que el cupón le da derecho a un individuo a un 15% de descuento en el precio de cualquier artículo, si un artículo es (y ) dólares, el precio, después de aplicar el cupón, viene dado por g (y) = 0.85y. Por lo tanto, si el precio es originalmente (x ) dólares, su precio de venta será (f (x) = 0.80x ) y luego su precio final después del cupón será (g (f (x)) = 0,85 (0,80x) = 0,68x ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Si los artículos están en oferta con un 10% de descuento sobre su precio original y un cliente tiene un cupón con un 30% de descuento adicional, ¿cuál será el precio final para un artículo que originalmente es x dólares, después de aplicar el cupón al precio de oferta?

Pista

El precio de venta de un artículo con un precio original de (x ) dólares es (f (x) = 0.90x ). El precio del cupón para un artículo que es (y ) dólares es (g (y) = 0.70y ).

Solución

((g∘f) (x) = 0.63x )

Simetría de funciones

Las gráficas de ciertas funciones tienen propiedades de simetría que nos ayudan a comprender la función y la forma de su gráfica. Por ejemplo, considere la función (f (x) = x ^ 4−2x ^ 2−3 ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {12a} ). Si tomamos la parte de la curva que se encuentra a la derecha del eje (y ) y la volteamos sobre el eje (y ), se ubica exactamente en la parte superior de la curva a la izquierda de ( y ) - eje. En este caso, decimos que la función tiene simetría sobre el eje y. Por otro lado, considere la función (f (x) = x ^ 3−4x ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {12b} ). Si tomamos la gráfica y la rotamos (180 ° ) sobre el origen, la nueva gráfica se verá exactamente igual. En este caso, decimos que la función tiene simetría sobre el origen.

Figura ( PageIndex {12} ): (a) Una gráfica que es simétrica con respecto al eje (y ). (b) Una gráfica que es simétrica con respecto al origen.

Si nos dan la gráfica de una función, es fácil ver si la gráfica tiene una de estas propiedades de simetría. Pero sin una gráfica, ¿cómo podemos determinar algebraicamente si una función (f ) tiene simetría? Mirando la Figura nuevamente, vemos que dado que (f ) es simétrico con respecto al eje (y ) -, si el punto ((x, y) ) está en la gráfica, el punto ((- x , y) ) está en el gráfico. En otras palabras, (f (−x) = f (x) ). Si una función (f ) tiene esta propiedad, decimos que (f ) es una función par, que tiene simetría con respecto al eje (y ). Por ejemplo, (f (x) = x ^ 2 ) es par porque

(f (−x) = (- x) ^ 2 = x ^ 2 = f (x). )

Por el contrario, mirando la Figura nuevamente, si una función (f ) es simétrica con respecto al origen, entonces siempre que el punto ((x, y) ) está en la gráfica, el punto ((- x, −y ) ) también está en el gráfico. En otras palabras, (f (−x) = - f (x) ). Si f tiene esta propiedad, decimos que (f ) es una función impar, que tiene simetría con respecto al origen. Por ejemplo, (f (x) = x ^ 3 ) es impar porque

(f (−x) = (- x) ^ 3 = −x ^ 3 = −f (x). )

Definición: funciones pares e impares

  • Si (f (x) = f (−x) ) para todo (x ) en el dominio de (f ), entonces (f ) es un incluso función. Una función par es simétrica con respecto al eje (y ).
  • Si (f (−x) = - f (x) ) para todo (x ) en el dominio de (f ), entonces (f ) es un impar función. Una función impar es simétrica con respecto al origen.

Prueba de simetría algebraica: ¿la función es par, impar o ninguna?

Evalúa (f (−x) ) y compáralo con (f (x) ) y (- f (x) ).

  • Si (f (x) = f (−x) ) para todo (x ) en el dominio de (f ), entonces (f ) es un incluso función.
  • Si (f (−x) = - f (x) ) para todo (x ) en el dominio de (f ), entonces (f ) es un impar función.
  • Si (f (−x) ) no es lo mismo que (f (x) ) y no es lo mismo que (- f (x) ), entonces (f) no es ni par ni impar.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): funciones pares e impares

Determina si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna.

  1. (f (x) = - 5x ^ 4 + 7x ^ 2−2 )
  2. (f (x) = 2x ^ 5−4x + 5 )
  3. (f (x) = frac {3x} {x ^ 2 + 1} )

Solución

Para determinar si una función es par o impar, evaluamos (f (−x) ) y la comparamos con (f (x) ) y (- f (x) ).

1. (f (−x) = - 5 (−x) ^ 4 + 7 (−x) ^ 2−2 = −5x ^ 4 + 7x ^ 2−2 = f (x) ). Por lo tanto, (f ) es par.

2. (F (−x) = 2 (−x) ^ 5−4 (−x) + 5 = −2x ^ 5 + 4x + 5 ). Ahora, (f (−x) ≠ f (x) ). Además, observando que (- f (x) = - 2x ^ 5 + 4x − 5 ), vemos que (f (−x) ≠ −f (x) ). Por lo tanto, (f ) no es ni par ni impar.

3. (F (−x) = 3 (−x) / ((- x) 2 + 1) ) (= - 3x / (x ^ 2 + 1) = ) (- [3x / ( x ^ 2 + 1)] = - f (x) ). Por lo tanto, (f ) es impar.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Determina si f (x) = 4x ^ 3−5x es par, impar o ninguna de las dos.

Insinuación

Compara (f (−x) ) con (f (x) ) y (- f (x) ).

Respuesta

f (x) es impar.

Una función simétrica que surge con frecuencia es la función de valor absoluto, escrito como (| x | ). La función de valor absoluto se define como

[f (x) = begin {cases} -x & x <0 x & x≥0 end {cases} ]

Algunos estudiantes describen esta función diciendo que "hace que todo sea positivo". Por la definición de la función de valor absoluto, vemos que si (x <0 ), entonces (| x | = −x> 0 ), y si (x> 0 ), entonces (| x | = x> 0 ). Sin embargo, para (x = 0 ), (| x | = 0 ). Por lo tanto, es más exacto decir que para todas las entradas distintas de cero, la salida es positiva, pero si (x = 0 ), la salida (| x | = 0 ). Concluimos que el rango de la función de valor absoluto es { (y | y≥0 )}. En la Figura ( PageIndex {13} ), vemos que la función de valor absoluto es simétrica con respecto al eje (y ) y, por lo tanto, es una función par.

Figura ( PageIndex {13} ): La gráfica de (f (x) = | x | ) es simétrica con respecto al eje (y ).

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Trabajar con la función de valor absoluto

Encuentra el dominio y rango de la función (f (x) = 2 | x − 3 | +4 ).

Solución

Dado que la función de valor absoluto está definida para todos los números reales, el dominio de esta función es ((- ∞, ∞) ). Dado que (| x − 3 | ≥0 ) para todo (x ), la función (f (x) = 2 | x − 3 | + 4≥4 ). Por tanto, el rango es, como máximo, el conjunto { (y | y≥4 )}. Para ver que el rango es, de hecho, todo este conjunto, necesitamos mostrar que para (y≥4 ) existe un número real (x ) tal que

(2 | x − 3 | + 4 = y )

Un número real (x ) satisface esta ecuación siempre que

(| x − 3 | = frac {1} {2} (y − 4) )

Como (y≥4 ), conocemos (y − 4≥0 ) y, por tanto, el lado derecho de la ecuación no es negativo, por lo que es posible que haya una solución. Además,

(| x − 3 | = begin {cases} - (x − 3) & text {if} x <3 x − 3 & text {if} x≥3 end {cases} ).

Por tanto, vemos que hay dos soluciones:

(x = ± frac {1} {2} (y − 4) +3 ).

El rango de esta función es ({y | y≥4} ).

Ejercicio ( PageIndex {11} ): dominio y rango

Para la función (f (x) = | x + 2 | −4 ), encuentra el dominio y el rango.

Insinuación

(| x + 2 | ≥0 ) para todos los números reales (x ).

Respuesta

Dominio = ((- ∞, ∞) ), rango = { (y | y≥ − 4 )}.

Conceptos clave

  • Una función es un mapeo de un conjunto de entradas a un conjunto de salidas con exactamente una salida para cada entrada.
  • Si no se establece ningún dominio para una función (y = f (x) ),
  • el dominio se considera el conjunto de todos los números reales (x )
  • para el que se define la función.
  • Al trazar el gráfico de una función (f ),
  • cada línea vertical puede intersecar el gráfico, como máximo, una vez.
  • Una función puede tener cualquier número de ceros, pero tiene, como máximo, una intersección con el eje y.
  • Para definir la composición (g∘f ), el rango de (f ) debe estar contenido en el dominio de (g ).
  • Las funciones pares son simétricas con respecto al eje (y ), mientras que las funciones impares son simétricas con respecto al origen.

Ecuaciones clave

  • Composición de dos funciones

(g∘f) (x) = g (f (x)) )

  • Función de valor absoluto

(f (x) = begin {cases} −x & x <0 x & x≥0 end {cases} )

Glosario

función de valor absoluto
(f (x) = begin {cases} −x & x <0 x & x≥0 end {cases} )
función compuesta
dadas dos funciones (f ) y (g ), una nueva función, denotada (g∘f ), tal que ((g∘f) (x) = g (f (x)) )
decreciente en el intervalo II
una función decreciente en el intervalo (I ) si, para todo (x_1, x_2∈I, f (x_1) ≥f (x_2) ) si (x_1
variable dependiente
la variable de salida para una función
dominio
el conjunto de entradas para una función
incluso función
una función es par si (f (−x) = f (x) ) para todo (x ) en el dominio de (f )
función
un conjunto de entradas, un conjunto de salidas y una regla para asignar cada entrada a exactamente una salida
gráfica de una función
el conjunto de puntos ((x, y) ) tal que (x ) está en el dominio de (f ) y (y = f (x) )
aumentando en el intervalo II
una función que aumenta en el intervalo (I ) si para al (l x1, x2∈I, f (x1) ≤f (x2) ) si (x1
variable independiente
la variable de entrada para una función
Función impar
una función es impar si (f (−x) = - f (x) ) para todo (x ) en el dominio de (f )
abarcar
el conjunto de salidas para una función
simetría sobre el origen
la gráfica de una función (f ) es simétrica con respecto al origen si ((- x, −y) ) está en la gráfica de (f ) siempre que ((x, y) ) está en la grafico
simetría sobre el y-eje
la gráfica de una función (f ) es simétrica con respecto al eje (y ) si ((- x, y) ) está en la gráfica de (f ) siempre que ((x, y) ) está en el gráfico
tabla de valores
una tabla que contiene una lista de entradas y sus correspondientes salidas
prueba de línea vertical
dado el gráfico de una función, cada línea vertical se cruza con el gráfico, como máximo, una vez
ceros de una función
cuando un número real x es un cero de una función (f, f (x) = 0 )

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


1.4 Funciones exponenciales y logarítmicas

Las propiedades básicas de los exponentes y logaritmos y el hecho de que la función exponencial y la función logarítmica son inversas conducen a muchos problemas interesantes.

Las propiedades exponenciales básicas:

Para todos los números reales positivos X y yy todos los números reales a y B:

Las propiedades logarítmicas básicas:

Para todos los números reales positivos a, b, p, y q, y todos los números reales X, dónde a /> 1 y B />1:

La propiedad básica que relaciona las funciones exponencial y logarítmica es:

Para todos los números reales X, y todos los números reales positivos B y NORTE, Iniciar sesiónB norte = X es equivalente a b x = norte. Si la base es el numero mi, ln, el logaritmo natural, se usa en lugar de logmi.

Por convención, la base es 10 si no se indica ninguna base.

PROPINA

Iniciar sesiónBnorte solo se define para positivo NORTE.

2. Simplificar .

Para combinar exponentes usando las propiedades anteriores, la base de cada factor debe ser la misma.

3. Si log 23 = z, ¿a qué equivale log 2300?

log 2300 = log (23 y middot 100) = log 23 + log 100 = z + log 10 2 = z + 2

Nota: Los ejemplos 3 y 4 se pueden evaluar fácilmente con una calculadora.

4. Si ln 2 = X y en 3 = y, encuentre el valor de ln 18 en términos de X y y.

ln 18 = ln (32 y middot 2) = ln 2 + 2ln 3 = X + 2y

Por lo tanto, log (X + 5) = log (5X), lo cual es cierto solo cuando:

6. Evaluar .

La última igualdad implica que

Por lo tanto, 3X = 1 y X = .

Por lo tanto, .

También puede usar la fórmula de cambio de base y su calculadora.

Por lo tanto, .

Las gráficas de todas las funciones exponenciales y = b x tienen aproximadamente la misma forma y pasan por el punto (0,1). Si B > 1, el gráfico aumenta a medida que X aumenta y se acerca al X-aXes una asíntota como X disminuye. La cantidad de curvatura aumenta a medida que el valor de B se hace mayor. Si 0 1, la gráfica aumenta a medida que X aumenta y se acerca al y-aXes una asíntota como X se acerca a cero. La cantidad de curvatura aumenta a medida que el valor de B se hace mayor. Si 0 a & middot (x a +1 ) a & middot (x a ) 1–a = x k , luego k =

& emsp y emsp (A)

3. & emspIf log10 metro = , luego registre10 10metro 2 =

& emsp y emsp (B)

& emsp & emsp (E) El valor de X no se puede determinar a partir de la información proporcionada.

5. & emspIf f (x) = registro2 X, luego

& emsp y emsp (A)

& emsp y emsp (C)

& emsp y emsp (D)

7. y emsplog2 metro = y registro7 norte = , Minnesota =

9. & emsp=

10. & emsp Si se invierten $ 300 al 3%, compuesto continuamente, ¿cuánto tiempo (al año más cercano) tardará el dinero en duplicarse? (Si PAG es la cantidad invertida, la fórmula para la cantidad, A, que está disponible después t años es A = Educación física 0.03t .)

Respuestas y explicaciones

Funciones exponenciales y logarítmicas

1. & emsp(C)

2. & emsp(A)

3. & emsp(A) registro (10metro 2) = log 10 + 2 log metro = 1 + 2 y middot = 2.

4. & emsp(B) b a = 5, antes de Cristo = 2.5 = 5 X , usando las relaciones entre registros y exponentes: (b a ) X = b hacha = 5 X = antes de Cristo . Por lo tanto, ax = c y .

5. & emsp(B)

6. & emsp(B) Dado que ln significa logmi, y mi > 1, xy 0.03t para obtener 600 = 300mi 0.03t . Simplifica para obtener 2 = mi 0.03t . Luego tome ln de ambos lados para obtener ln 2 = 0.03t y t = . Usa tu calculadora para encontrar eso t es aproximadamente 23.

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Relaciones, funciones y gráficas.

Un par consta de dos elementos. Algunos ejemplos de pares son (3,4) (a, b) (d, c). etc. Un par ordenado (a, b) es un par de objetos. El orden en el que aparecen los objetos en el par es significativo: el par ordenado (a, b) es diferente del par ordenado (b, a) a menos que a = b. (Por el contrario, el par desordenado es igual al par desordenado .) Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o secuencias

Algún ejemplo de par igual y desigual

una. (1, 3) y (3, 1) son desiguales, es decir, (1, 3) & ne (3, 1).

B. (a, b) y (a, b) son iguales, es decir, (a, b) = (a, b).

C. (1, a) y (1, x) son desiguales, es decir, (1, a) & ne (1, x).

D. (x, x) y (y, y) son desiguales, es decir, (x, x) & ne (y, y).

B. Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B se denota por A & vecesB y se define como la colección de todos los pares ordenados (a, b) tales que a & isinA yb & isinB.

Si A = <1, 2, 3> y B = encuentra A x A, B x B y B x A

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados (x, y) tal que el valor de la segunda coordenada `y & rsquo depende del valor de la primera coordenada` x & rsquo, entonces y es la variable dependiente y x es la variable independiente.

Una función es una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de posibles salidas con la propiedad de que cada entrada está relacionada exactamente con una salida. Un ejemplo es la función que relaciona cada número real x con su cuadrado x 2.

Función compuesta

Sean f: A & rarr B yg: B & rarr C las dos funciones. La función gof: A & rarr C se llama función compuesta de A a C

Si f = <(1,2), (2,3) (3,4)> anf g = <(2, a) (4, c), (3, b)>, entonces demuestre que la función compuesta gof en flecha

diagrama y encontrarlo en forma de pares ordenados.

Tipos de funcion

En función

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y está sobre, si cada elemento en Y tiene un elemento correspondiente en X tal que f (x) = y.

En función

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y está dentro, si el elemento en Y es un subconjunto propio de X

Uno a uno para funcionar

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es uno a uno en función, si cada elemento en Y se asigna de forma única al elemento de X.

Uno a uno en función

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es uno a uno en función, si el elemento en Y no se asigna necesariamente al elemento de X.

Muchos a uno para funcionar

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es Muchos a uno en función, si el elemento en Y tiene más de un elemento en x asignado a ellos.

Muchos a uno en función

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es Muchos a uno en función, si el elemento en Y tiene al menos un elemento que no está mapeado al elemento de X.

Algunas funciones algebraicas simples y sus gráficas:

1. Funciones lineales:

Estas son funciones de la forma: y = m x + b,

Donde myb son constantes

Un uso típico de las funciones lineales es la conversión de una cantidad o conjunto de unidades a otro. Los gráficos de estas funciones son líneas rectas. m es la pendiente y b es la intersección con el eje y. Si m es positivo, la línea se eleva hacia la derecha y si m es negativo, la línea desciende hacia la derecha.

2. Funciones cuadráticas:

Estas son funciones de la forma: y = a x 2 + b x + c,

Donde a, byc son constantes

Sus gráficos se llaman parábolas. Este es el siguiente tipo de función más simple después de la función lineal. Los objetos que caen se mueven a lo largo de trayectorias parabólicas. Si a es un número positivo, la parábola se abre hacia arriba y si a es un número negativo, la parábola se abre hacia abajo.

3. Funciones de energía:

Estas son funciones de la forma:

Donde ayb son constantes.

La potencia b es un número entero positivo:

Cuando x = 0 estas funciones son todas cero. Cuando x es grande y positivo, todos son grandes y positivos. Cuando x es grande y negativo, los que tienen poderes pares son grandes y positivos, mientras que los que tienen poderes impares son grandes y negativos.

La potencia b es un número entero negativo:

Cuando x = 0 estas funciones sufren una división por cero y por tanto son todas infinitas. Cuando x es grande y positivo, son pequeños y positivos. Cuando x es grande y negativo, los que tienen poderes pares son pequeños y positivos, mientras que los que tienen poderes impares son pequeños y negativos.

La potencia b es una fracción entre 0 y 1:

Cuando x = 0 estas funciones son todas cero. Las curvas son verticales en el origen y a medida que x aumenta, aumentan pero se curvan hacia el eje x.

Funciones polinomiales:

Estas son funciones de la forma:

Donde unnorte, anorte & menos1, & hellip, un2, a1, a0 son constantes. Solo se permiten potencias de números enteros de x. La mayor potencia de x que se produce se llama grado del polinomio. El gráfico muestra ejemplos de polinomios de grado 4 y grado 5. El grado da el número máximo de "grupos y descensos" que puede tener el polinomio y también el número máximo de cruces del eje x que puede tener.

Funciones racionales:

Estas funciones son la razón de dos polinomios. Un campo de estudio en el que son importantes es el análisis de estabilidad de sistemas mecánicos y eléctricos (que utiliza transformadas de Laplace).

Cuando el polinomio en el denominador es cero, la función racional se vuelve infinita como lo indica una línea de puntos vertical (llamada asíntota) en su gráfico. En el ejemplo de la derecha, esto sucede cuando x = & minus2 y cuando x = 7.

Cuando x se vuelve muy grande, la curva puede estabilizarse. La curva de la derecha se nivela en y = 5.

La gráfica de la derecha muestra otro ejemplo de función racional.Éste tiene una división por cero en x = 0. No se nivela pero se acerca a la línea recta y = x cuando x es grande, como lo indica la línea de puntos (otra asíntota).

Funciones exponenciales:

Estas son funciones de la forma:

Donde x está en un exponente (no en la base como era el caso de la función de potencia) y ayb son constantes. (Tenga en cuenta que solo b se eleva a la potencia x, no a a). Si la base b es mayor que 1, el resultado es un crecimiento exponencial. Muchas cantidades físicas crecen exponencialmente (por ejemplo, poblaciones de animales y efectivo en una cuenta que devenga intereses).

Si la base b es menor que 1, el resultado es una disminución exponencial. Muchas cantidades decaen exponencialmente (por ejemplo, la luz del sol alcanza una profundidad determinada del océano y la velocidad de un objeto se ralentiza debido a la fricción).

Funciones logarítmicas:

Hay muchas formas equivalentes de definir funciones logarítmicas. Los definiremos para que sean de la forma:

Donde x está en el logaritmo natural y ayb son constantes. Solo se definen para x positivo. Para x pequeña son negativas y para x grande son positivas pero permanecen pequeñas. Las funciones logarítmicas describen con precisión la respuesta del oído humano a los sonidos de diferente intensidad y la respuesta del ojo humano a la luz de diferente brillo.

Funciones sinusoidales:

Estas son funciones de la forma:

Donde a, byc son constantes. Las funciones sinusoidales son útiles para describir cualquier cosa que tenga forma de onda con respecto a la posición o el tiempo. Ejemplos son las olas en el agua, la altura de la marea durante el transcurso del día y la corriente alterna en la electricidad. El parámetro a (llamado amplitud) afecta la altura de la onda, b (la velocidad angular) afecta el ancho de la onda yc (el ángulo de fase) desplaza la onda hacia la izquierda o hacia la derecha.


Hallar la derivada de una función inversa

Calcular la derivada de una función inversa no es mucho más difícil que calcular las derivadas en general.

Primero, aquí & # 8217s una revisión rápida de las reglas de derivadas básicas: Revisión de cálculo: Reglas de derivadas.

El teorema principal de los inversos

Suponer que F es una función que tiene una inversa bien definida F -1, y supongamos que (a, B) es un punto en la gráfica de y = F(X). Luego

Sin embargo, es posible que vea una versión diferente de esta regla. Otra forma de decir eso (a, B) es un punto en la gráfica de y = F(X) es decir que B = F(a). Además, por propiedades de la inversa, podemos decir que a = F -1 (B).

Finalmente, reemplazando B por X, descubrimos la segunda versión del Teorema principal:

Las dos versiones son útiles en diferentes contextos, que veremos en los ejemplos.

También es bueno saber que la condición de & # 8220 tener un inverso bien definido & # 8221 se satisface siempre que la función sea doce y cincuenta y nueve de la noche.

Ejemplo 1

Suponer que gramo(X) es la función inversa para F(X) = 3X 5 + 6X 3 + 4. Halla el valor de gramo '(13).

Solución

No nos servirá de nada intentar resolver la función inversa algebraicamente. Este polinomio es demasiado complicado para eso. En cambio, debemos confiar en el Teorema principal.

Primero, encuentre la derivada de la función original.

La otra pieza del rompecabezas es el valor que se debe conectar. Identificar B = 13 del enunciado del problema. ¡Pero no conecte 13 a nada! En cambio, la fórmula requiere un valor a tal que F(a) = B eso es, F(a) = 13.

Entonces parece que tendremos que resolver:

Sin embargo, ese polinomio sigue siendo muy difícil de resolver algebraicamente. Afortunadamente, no toma mucho tiempo adivinar y verificar un valor para X eso haría que esta ecuación fuera verdadera.

Solo mire los coeficientes: suman 13 & # 8230 Por lo tanto, si simplemente conectamos X = 1, entonces obtendríamos el resultado correcto.

3(1) 5 + 6(1) 3 + 4 = 3 + 6 + 4 = 13

Esto significa que debemos usar a = 1 en la fórmula de la derivada.

Finalmente, júntelo todo usando la fórmula del Teorema principal:


1.2: Repaso de funciones - Matemáticas

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Editor de expresiones matemáticas

Esta sección revisa los conceptos básicos de las funciones exponenciales y cómo calcular exponenciales numéricos.

¿Qué son exponenciales?

Normalmente, uno aprende exponenciales como una acción puramente mecánica. En esencia, uno puede pensar en exponenciales como "multiplicación repetida", al igual que la multiplicación es "suma repetida". Pero esto esconde algunos de los conocimientos más intuitivos e importantes de las funciones exponenciales. No obstante, es útil aprender la mecánica (al menos para los números) antes de considerar los aspectos de modelado de la función.

Cálculo numérico de exponenciales una breve revisión.

Los exponenciales se dan en la forma. Quizás sea más fácil entender la notación considerando explícitamente el paralelo que mencionamos anteriormente, el de la multiplicación y la suma.

Comparar exponentes con multiplicación y multiplicación con suma

Cuando eras (muy) joven y estabas aprendiendo a sumar, probablemente tuviste momentos de sumar el mismo número repetidamente. De hecho, contar es exactamente lo mismo con el número. Entonces, contar es solo sumarse a sí mismo 5 veces y decir en voz alta cada subpaso. A medida que envejece (un poco), probablemente le resulte molesto sumar el mismo número una y otra vez, y esto es a menudo cuando se introduce la multiplicación.
Por lo tanto, podemos pensar en la multiplicación (y de hecho se define como) simplemente agregando algo una y otra vez. En lugar de calcular, podemos decir que tenemos "cuatro" y calcularlo como. Probablemente se trate de aburrirte en un estupor aquí, así que pasemos a los exponentes.
Los exponenciales son la misma idea. En lugar de multiplicar, podemos decir que tenemos "cuatro" que se están multiplicando. Obviamente, no podemos usar el mismo símbolo para representar esto, ya que si escribiéramos lo interpretaríamos como no. Por lo tanto, para notar la diferencia, colocamos el en un lugar diferente, es decir, escribimos.
Esto puede parecer obvio y una pérdida de tiempo, pero reconociendo que todo un exponente es una forma de escribir multiplicaciones repetidas, en realidad podemos extraer casi todos las características importantes de los exponentes con solo recordar ese pequeño detalle. Esto es lo que haremos a continuación.


Lección 8

El objetivo de este calentamiento es revisar el significado de una función presentada gráficamente. Si bien los estudiantes no necesitan usar la notación de funciones aquí, interpretar la gráfica en términos del contexto los preparará para su trabajo con funciones en el resto de la unidad.

Lanzamiento

Dígales a los estudiantes que cierren sus libros o dispositivos. Muestre el gráfico para que todos lo vean. Pida a los estudiantes que observen el gráfico y estén preparados para compartir algo que noten y algo que se pregunten. Seleccione a los estudiantes para que compartan brevemente una cosa que notaron o se preguntaron para ayudar a garantizar que todos los estudiantes comprendan la información que se transmite en el gráfico. Pida a los estudiantes que abran sus libros o dispositivos y respondan las preguntas sobre el gráfico. Siga con una discusión para toda la clase.

Aquí hay un gráfico de la precipitación acumulada en Las Vegas, Nevada, en los primeros 60 días de 2017.

Expandir imagen

Descripción: & ltp & gtGráfico de línea titulado Precipitaciones acumuladas, Las Vegas, Nevada. Eje horizontal, día del año 2017, de 0 a 60, por decena. (Hay 4 marcas de almohadilla / marcas de graduación igualmente espaciadas entre cada número etiquetado.) Eje vertical, lluvia en pulgadas, de 0 a 1 punto 6 por 0 punto 2. & Lt / p & gt & ltp & gt El gráfico comienza en 0 coma 0 y se mueve horizontalmente y hacia la derecha hasta llegar a 11 coma 0. Luego se inclina hacia arriba y hacia la derecha hasta llegar a 13 coma 0 punto 1. El gráfico luego se mueve horizontalmente y hacia la derecha hasta llegar a 19 coma 0 punto 1. Luego se inclina hacia arriba y hacia la derecha hasta llega a 20 coma 0 punto 4. La gráfica se mueve horizontalmente y hacia la derecha hasta llegar a 21 coma 0 punto 4. Luego se inclina hacia arriba y hacia la derecha hasta llegar a 22 coma 0 punto 9. Se inclina hacia arriba y nuevamente a la derecha hasta llega a 23 coma 0 punto 95. La gráfica luego se mueve horizontalmente y hacia la derecha hasta llegar a 41 coma 0 punto 95. Se inclina hacia arriba y hacia la derecha hasta 43 coma 1. Se mueve horizontalmente y hacia la derecha hasta 47 coma 1. Se inclina hacia arriba y hacia la derecha hasta 48 coma 1 punto 02, y se inclina hacia arriba y hacia la derecha nuevamente hasta 49 coma 1 punto 45. El gráfico se mueve horizontalmente y hacia la derecha hasta 60 coma 1 punto 45. & lt / p & gt & ltp & gt & ltbr & gt & ltbr & gt & lt / p & gt

Utilice el gráfico para respaldar sus respuestas a las siguientes preguntas.

  1. ¿Es la cantidad acumulada de lluvia una función del tiempo?
  2. ¿Es el tiempo una función de la lluvia acumulada?

Respuesta del estudiante

Para acceder, consulte a uno de nuestros socios certificados de mensajería instantánea.

Conceptos erróneos anticipados

Si a los estudiantes les cuesta ver en el gráfico cómo la lluvia acumulada es una función del tiempo, pero el tiempo no es una función de la lluvia acumulada, considere mostrar los datos en una tabla. Aquí se muestran los datos de los primeros 20 días de 2017. Ayude a los estudiantes a ver que para cada valor de (t ), el tiempo en días, hay un valor de (r ), la precipitación acumulada en pulgadas, pero esto no es cierto al revés.

(t ) (días) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(r ) (pulgadas) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.03 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.11 0.38

Síntesis de actividades

Asegúrese de que los estudiantes comprendan por qué la lluvia acumulada es una función del tiempo y no al revés.

Luego, recuerde la notación para escribir, usando la notación de función, la lluvia acumulada cae en función del tiempo. Si (r ) representa la cantidad de lluvia en pulgadas y (t ) es el tiempo en días, entonces (r (t) ) es la cantidad de lluvia que ha caído en los primeros (t ) días de 2017. Por ejemplo, (r (2) = 0 ) nos dice que la lluvia acumulada después en los dos primeros días del año fue de 0 pulgadas. (r (48) = 1 ) significa que hubo 1 pulgada de lluvia acumulada en los primeros 48 días del año. Pida a los estudiantes que escriban y expliquen el significado de algunas otras afirmaciones utilizando la notación de funciones.


MCR3UG - Funciones de grado 11, Matemáticas universitarias (Ontario, Canadá - plan de estudios) 2008-2009 Recursos del curso

Unidad 1 - Herramientas algebraicas para operar con funciones
1.1 Revisar las leyes de los exponentes
1.2 exponentes racionales
1.3 Resolver ecuaciones exponenciales
1.4 Repaso de sumar, restar y multiplicar polinomios
1.5 Simplificar expresiones racionales
1.6 Multiplicar y dividir expresiones racionales
1.7 Sumar y restar expresiones racionales I
1.8 Sumar y restar expresiones racionales II

SOLUCIONES DE MUESTRA
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Unidad 2: Funciones y ecuaciones cuadráticas
2.1 El sistema de números complejos
2.2 Máximo o mínimo de una función cuadrática completando el cuadrado
2.3 Resolver ecuaciones cuadráticas
- Fórmula de factorización y cuádruple
- Raíces de una ecuación cuadrática
- Resolución de problemas de relaciones lineales y cuadráticas. (gráficamente y algebraicamente)
- Problemas de aplicación
2.4 Herramientas para operar con números complejos
2.5 Operaciones con números complejos en forma rectangular

SOLUCIONES DE MUESTRA
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Unidad 3: Transformaciones de funciones
3.1 Funciones
3.2 Investigación: propiedades de funciones recíprocas y funciones de raíz cuadrada
3.3 Traslación horizontal y vertical
3.4 Reflexiones de funciones
3.5 Funciones inversas
3.6 Estiramientos de funciones
3.7 Combinaciones de transformaciones

Funciones exponenciales
Transformaciones de funciones exponenciales

Unidad 4: Trigonometría
Introducción a las relaciones trigonométricas y las relaciones trigonométricas recíprocas
SOH CAH TOA
4.1 Revisión de la trigonometría de triángulos rectángulos
4.2 El seno y el coseno de ángulos mayores de 900
4.3 Las leyes del seno y el coseno
4.4 La ley del seno: el caso ambiguo

Unidad 5: Funciones trigonométricas
5.2 Relaciones trigonométricas de cualquier ángulo
5.4 Investigación: Dibujar las gráficas de:
f (x) = sen x
f (x) = cos x
f (x) = tan x
5.5 Extensiones de funciones periódicas
5.6 Traducciones y combinaciones de transformaciones
5.7 Identidades trigonométricas

Unidad 6: Secuencias y Series
6.1 Secuencias
6.2 Secuencias aritméticas
6.3 Secuencias geométricas
6.4 Fórmula de recursividad (secuencia de Fibonacci)
Triángulo de Pascal y expansión de binomios
6.5 Serie aritmética
6.6 Serie geométrica

Unidad 7: Interés compuesto y anualidades
7.1 Interés simple
7.2 Interés compuesto
7.3 Comparación de interés simple y compuesto
7.4 Valor presente
7.5 Importe de una anualidad ordinaria
7.6 Valor presente de una anualidad ordinaria
7.7 Tecnología: Tablas de amortización y hojas de cálculo


1.2: Repaso de funciones - Matemáticas

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Calendario de coronavirus AQUÍ revisado 20/4/2020

Folleto del primer día: Carta para padres / estudiantes

1 Introducción: Prerrequisitos de precálculo (Notas)

1.2 Factorizar con expresiones y ecuaciones amp (Notes / E01a-i / E02-04h /, WS /CLAVE )

2 Introducción: diversión y funciones (Notas)

2.3 Otras propiedades de las funciones (Notas / E04-05 / E06a-b / E06c-i / E07 / E07b-07e /, WS /CLAVE )

PSAT, sección 4, 2015 (Tarea para el viernes, 10-06-2017, calculadora permitida, debe entregarse al final de la clase)

2.4 Funciones y transformaciones principales (Notes / E01 / E04a-c / E04d-05c / E05d / E06c-09 /, WS /CLAVE )

2.5 Creación de funciones a partir de otras funciones (Notes / E01-02 / E06-08 /, WS /CLAVE )

3 Introducción: funciones polinomiales y racionales (Notas)

3.1 Funciones polinomiales y desigualdades de amplificador (Notes / E01 / E02-03 / E04 / E05-06 / E08-10 /, WS /CLAVE )

3.1B Teorema del binomio y triángulo de Pascal (notas, WS)

3.2 Ceros reales de funciones polinomiales (Notas / E02-03 / E04-06 / E07-09a / E09-15 /, WS /CLAVE )

3.3 El teorema del valor intermedio (notas, WS /CLAVE )

3.4 Ceros complejos de funciones polinomiales (notas /, WS /CLAVE )

3.5 Funciones racionales (Notas /, WS /CLAVE )

3.6 Funciones radicales y funciones de potencia de amplificador (Notes, WS /CLAVE )

4 Introducción: Funciones exponenciales y logarítmicas (Notas)

4.1 Funciones exponenciales y logísticas (Notas / E01-04 / E05-07 /, WS /CLAVE )

4.2 Modelado exponencial y logístico (Notas /, WS /CLAVE )

4.3 Funciones logarítmicas (notas /, WS /CLAVE )

4.4 Propiedades de los registros (Notas / E04-07 / E08-10 /, WS / WSvideo /CLAVE )

4.5 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas (Notas / E01-03a /, WS /CLAVE )

5 Introducción: Funciones trigonométricas (Notas)

5.2 Aplicaciones de ángulos (Notas / E01-04 /, WS /CLAVE)

5.3 Funciones de disparo circular (Notas / E03 / E04-05 / E10-11 /, WS /CLAVE )

5.3 DESARROLLO DEL VIDEO DEL CÍRCULO DE LA UNIDAD

5.3B Uso de la práctica del círculo unitario (WS / KEY)

5.3D Cuestionario para llevar a casa con dos pistas, CLAVE

5.4B Cómo dibujar una sinusoide (notas) DEBE LEER

TEST 5.1-5.4 Video de discusión de la prueba

5.5 Aplicaciones de las sinusoides (Notas / E01a-e / E01e-02 / E03 / E04 /, WS /CLAVE )

5.5B Xtra Practice ( WS )

5.6 Las otras funciones de disparo (Notes / E01-02 / E03-04 / E05-06 / E07 /, WS /CLAVE )

5.6B Xtra Practice con funciones de activación (WS / KEY)

DISCUSIÓN DE PRUEBA 5.1-5.6 2018 (VIDEO)

5.7B seno inverso y coseno amperio (WS /CLAVE )

5.8 Resolución de problemas con trigonometría (notas, WS /CLAVE )

6 Introducción: Trigonometría analítica (Notas)

6.2B Trig Proofs Xtra Practice (WS)

6.3 Identidades compuestas (Notes / KEY / E01-05 / E06-09 /, WS /CLAVE )

6.4 Otras identidades (Notes / KEY / E01-04 / E05-06 /, WS /CLAVE ) Práctica Xtra WS /CLAVE

6.5 La ley de los senos (Notas / CLAVE /, WS /CLAVE )

6.6 La ley de los cosenos y el área amp (Notas / CLAVE /, WS /CLAVE )

7 Introducción: Vectores polares, paramétricos y de amplificación (Notas)

7.1 Coordenadas polares (notas, WS )

7.2 Gráficas de ecuaciones polares (notas, WS )

7.3 Curvas planas y ecuaciones paramétricas (notas, WS )

8 Introducción: Introducción al cálculo (Notas)

8.2 ¡El Cool Link Integral (Notes /, WS) AQUÍ!

8.3 Secuencias y series de amplificadores (notas, WS)

9 Introducción: Secciones transversales de un cono de doble napa (Notas)

9.2 Parábolas, elipses e hipérbolas (notas, WS)

Las matemáticas no son una marcha cuidadosa por una carretera bien despejada, sino un viaje a un extraño desierto, donde los exploradores a menudo se pierden. El rigor debería ser una señal para el historiador de que los mapas se han hecho y los verdaderos exploradores se han ido a otra parte .-- W.S. Anglin

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Cómo aplicar las reglas de diferenciación

Una vez que comprenda que la diferenciación es el proceso de encontrar la función de la pendiente, la aplicación real de las reglas es sencilla.

Primero, alguna estrategia general. Las reglas se aplican a cada término dentro de una función por separado. Luego se suman los resultados de la diferenciación de cada término, teniendo cuidado de preservar los signos. [Por ejemplo, la suma de 3x y 2x 2 negativo es 3x menos 2x 2.].

No olvide que un término como & quotx & quot tiene un coeficiente de uno positivo. Los coeficientes y las señales deben llevarse correctamente en todas las operaciones, especialmente en la diferenciación.

Las reglas de diferenciación son acumulativas, en el sentido de que cuantas más partes tiene una función, más reglas deben aplicarse. Comencemos aquí con algunos ejemplos específicos, y luego las reglas generales se presentarán en forma de tabla.

Tome la función simple: y = C, y sea C una constante, como 15. La derivada de cualquier término constante es 0, de acuerdo con nuestra primera regla. Esto tiene sentido ya que la pendiente se define como el cambio en la variable y para un cambio dado en la variable x. Suponga que x va de 10 a 11 y sigue siendo igual a 15 en esta función y no cambia, por lo tanto, la pendiente es 0. Tenga en cuenta que esta función graficas como una línea horizontal.

Ahora, agregue otro término para formar la función lineal y = 2x + 15. La siguiente regla establece que cuando la x es la potencia de uno, la pendiente es el coeficiente de esa x. Esto sigue teniendo sentido, ya que un cambio en x se multiplica por 2 para determinar el cambio resultante en y. Agregamos esto a la derivada de la constante, que es 0 según nuestra regla anterior, y la pendiente de la función total es 2.

Ahora, suponga que la variable se lleva a una potencia superior. Entonces podemos formar una función no lineal típica como y = 5x 3 + 10. La regla de la potencia combinada con la regla del coeficiente se usa de la siguiente manera: extraiga el coeficiente, multiplíquelo por la potencia de x, luego multiplique ese término por x, llevado a la potencia de n - 1. Por lo tanto, la derivada de 5x 3 es igual a (5) (3) (x) (3 - 1) simplifica para obtener 15x 2. Agregue a la derivada de la constante que es 0, y la derivada total es 15x 2.

Tenga en cuenta que aún no conocemos la pendiente, sino la fórmula de la pendiente. Para una x dada, como x = 1, podemos calcular la pendiente como 15. En términos más sencillos, cuando x es igual a 1, la función (y = 5x 3 + 10) tiene una pendiente de 15.

Estas reglas cubren todos los polinomios, y ahora agregamos algunas reglas para tratar con otros tipos de funciones no lineales. No es tan obvio por qué la aplicación del resto de las reglas todavía da como resultado la búsqueda de una función para la pendiente, y en una clase de cálculo regular se lo probaría a sí mismo repetidamente. Aquí, queremos centrarnos en la aplicación económica del cálculo, así que aceptaremos la palabra de Newton de que las reglas funcionan, memorizaremos algunas y seguiremos con la economía. El paso más importante para el resto de las reglas es identificar correctamente la forma, o cómo se combinan los términos, y luego la aplicación de la regla es sencilla.

Para funciones que son sumas o diferencias de términos, podemos formalizar la estrategia anterior de la siguiente manera:

Si y = f (x) + g (x), entonces dy / dx = f '(x) + g '(x). Aquí tienes la oportunidad de practicar la lectura de los símbolos. Lea esta regla como: si y es igual a la suma de dos términos o funciones, los cuales dependen de x, entonces la función de la pendiente es igual a la suma de las derivadas de los dos términos. Si la función total es f menos g, entonces la derivada es la derivada del término f menos la derivada del término g.

La regla del producto se aplica a funciones que son el producto de dos términos, que dependen de x, por ejemplo, y = (x - 3) (2x 2 - 1). El enfoque más sencillo sería multiplicar los dos términos y luego tomar la derivada del polinomio resultante de acuerdo con las reglas anteriores. O tiene la opción de aplicar la siguiente regla.

Dado y = f (x) g (x) dy / dx = f'g + g'f. Lea esto de la siguiente manera: la derivada de y con respecto ax es la derivada del término f multiplicado por el término g, más la derivada del término g multiplicado por el término f. Para aplicarlo al problema anterior, observe que f (x) = (x - 3) y g (x) = (2x 2 - 1) f '(x) = 1 y g' (x) = 4x. Entonces dy / dx = (1) (2x 2-1) + (4x) (x - 3). Simplifica y dy / dx = 2x 2-1 + 4x 2-12x, o 6x 2-12x - 1.

La regla del cociente se aplica de manera similar a funciones donde los términos fyg son un cociente. Suponga que tiene la función y = (x + 3) / (- x 2). Entonces sigue esta regla:

Dado y = f (x) / g (x), dy / dx = (f'g - g'f) / g 2. Nuevamente, identifique f = (x + 3) y g = -x 2 f '(x) = 1 y g' (x) = - 2 y g 2 = x 4. Luego sustituya en: dy / dx = [(1) (- x 2) - (- 2) (x + 3)] / x 4. Simplifica a dy / dx = (-x 2 + 2x + 6) / x 4.

Ahora, combinemos reglas por tipo de función y su correspondiente graficas.


Matemáticas: Preguntas de práctica sobre funciones

1. A: La función f asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. En consecuencia, si x está en el dominio x ≥ 3, entonces el valor de f está en el rango f (x) ≥ 0. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A. Por otro lado, la opción B es incorrecta porque f no está definida para algunos valores positivos de x, como x = 1. La opción C es incorrecta porque el rango de f es f (x) ≥ 0, no f (3). Finalmente, la opción D es incorrecta porque el valor de f (3) está definido ya que x = 3 está en el dominio de f.

2. C: Para evaluar g (2), sustituya 2 por cada aparición de x en la ecuación g (x) = 3x + x + 5. Luego, simplifique el resultado usando el orden de operaciones:
g (2) = 3 (2) + (2) + 5
= 6 + 2 + 5
= 13

3. D: El área de la superficie vendrá dada por la expresión S (4). Para calcular este valor, sustituya 4 por r en la ecuación S (r) = 4πr 2. Luego simplifica el resultado usando el orden de operaciones:
S (4) = 4π (4) 2
= 4π & # 8211 16
= 64 π Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es 64π.

Funciones de construcción

4. B: Dado que el teatro venderá 500 boletos si cobra $ 10 por boleto, sabemos que t (10) = 500. Además, debido a la forma en que el precio del boleto afecta la venta de boletos, t debe ser una función lineal que disminuye en 50 cada vez que d aumenta por 1. Por lo tanto, el término d de la función es 50d, por lo que la función toma la forma t (d) = 50d + c. Para encontrar el valor de c, sustituye 10 por d y 500 por t (10) y resuelve para c.
t (10) = 50 (10) + c
500 = 500 + c
1000 = c
Por tanto, la función es t (d) = 50d + 1000.

5. D: El costo del viaje en taxi es la suma de dos funciones, una función constante para la primera milla y una función lineal para el resto del viaje. La función constante es c1 (d) = 4.25 ya que el costo de la primera milla es $ 4.25. Para la parte lineal, reste 1 de d para excluir la primera milla y luego multiplique el resultado por 0.70, ya que cuesta .70 por milla. El resultado es c2 (d) = 0,70 (d-1). Finalmente, escriba la función para el costo total del viaje en taxi sumando las dos funciones.
c (d) = c1 (d) + c2 (D)
= 4,25 + 0,70 (d & # 8211 1)

Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales

6. B: La longitud de un intervalo es la diferencia entre sus puntos finales. Por ejemplo, la longitud del intervalo [2, 4] es 2. Para determinar cómo crece la función dada en un intervalo de longitud 3, determine el valor de f en cada punto final de ese intervalo. Dado que las funciones exponenciales crecen en factores iguales en intervalos iguales, puede usar cualquier intervalo de longitud 3, y su respuesta se aplicará a todos esos intervalos. Por ejemplo, puede utilizar el intervalo [0,3]:

Ya que F(0) = 3 y F(3) = 24, la función crece en un factor de 24 /3= 8 durante este intervalo.

7. C: Las funciones lineales crecen por diferencias iguales (en lugar de factores iguales) en intervalos iguales. En otras palabras, si la función lineal c (f) convierte una temperatura f de Fahrenheit a Celsius, entonces los intervalos de igual longitud (en f) dan como resultado incrementos iguales en el valor de la función c (f). A partir del problema, sabemos que c (32) = 0 yc (68) = 20. Por lo tanto, podemos concluir que los intervalos de longitud 36 (como el intervalo [32,68]) dan como resultado un aumento de 20 desde 20 0 = 20. Además, dado que la longitud de [68,104] es 36, la función c (f) también aumenta en 20 durante este intervalo. Utilice esta información para calcular c (104).
c (104) = c (68) + 20 = 20 + 20 = 40
Por tanto, podemos concluir que 104 F es equivalente a 40 o C.

Funciones trigonométricas

8. B: Un arco es una parte de un círculo. En la figura, AB es la parte del círculo que comienza en el punto A y termina en B. En general, una longitud de arco s está dada por s = θR, donde R es el radio del círculo que contiene el arco y? es el ángulo subtendido por los radios dibujados a los puntos finales del arco. En un círculo unitario, la longitud de un arco es simplemente la medida del ángulo (en radianes) subtendido por el ángulo. Por lo tanto, la longitud del arco de AB es igual a la medida de ∠ AOB, por lo que su longitud es π / 3.

9. A: En un círculo unitario, las funciones trigonométricas se pueden representar considerando ángulos que comienzan en el lado positivo del eje xy se miden en sentido antihorario alrededor del círculo. Para ángulos como este, el seno del ángulo es la coordenada y del punto donde el lado del ángulo se encuentra con el círculo unitario. Dado que un lado del ángulo se encuentra con el círculo unitario en (0.6, 0.8), el valor de sin θ es 0.8.

10. B: El ángulo π / 6 está en radianes. Para convertirlo a grados, multiplique por 180 /π.
π / 6– 180 / π= 30 o
Por lo tanto, tan π / 6= bronceado 30 o. Para calcular este valor, dibuja un triángulo 30-60-90, que es un triángulo especial cuyas proporciones quizás hayas memorizado. Hacer la hipotenusa de una unidad simplifica las cosas, aunque no es necesario siempre que las proporciones sean las mismas.

Por SOH-CAH-TOA, la función tangente se define como opuesta /adyacente en un triángulo rectángulo. Por lo tanto, el valor de tan 30 o es 1/2 /√3/2. Simplifica esta fracción:
bronceado π /6= 1/2 /√3/2
= 1 /√3
= √3 /3

Alternativamente, recuerde que tan θ = (sin θ) / (cos θ). Es posible que haya memorizado el seno y el coseno de 30 ° como 1/2 y √3 / 2, respectivamente. Esta es la misma división que la anterior y da la misma respuesta.


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