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2.6: Resolver desigualdades lineales


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Grafica las desigualdades en la recta numérica
  • Resolver desigualdades lineales
  • Traducir palabras a una desigualdad y resolver
  • Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Traducir del álgebra al inglés: (15> x ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Traducir a una expresión algebraica: (15 ) es menor que (x ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Grafica las desigualdades en la recta numérica

¿Qué número haría verdadera la desigualdad (x> 3 )? ¿Estás pensando, " (x ) podría ser cuatro"? Eso es correcto, pero (x ) también podría ser 6, o 37, o incluso 3.001. Cualquier número mayor que tres es una solución a la desigualdad (x> 3 ). Mostramos todas las soluciones de la desigualdad (x> 3 ) en la recta numérica sombreando todos los números a la derecha de tres, para mostrar que todos los números mayores que tres son soluciones. Debido a que el número tres en sí mismo no es una solución, colocamos un paréntesis abierto en tres.

También podemos representar desigualdades usando notación de intervalos. No hay un extremo superior para la solución de esta desigualdad. En notación de intervalo, expresamos (x> 3 ) como ((3, infty) ). El símbolo ( infty ) se lee como "infinito. " No es un número real. La figura ( PageIndex {1} ) muestra tanto la recta numérica como la notación de intervalo.

Usamos el símbolo del paréntesis izquierdo, (, para mostrar que el punto final de la desigualdad no está incluido. El símbolo del paréntesis izquierdo, [, muestra que el punto final está incluido.

La desigualdad (x leq 1 ) significa todos los números menores o iguales a uno. Aquí tenemos que demostrar que uno también es una solución. Lo hacemos poniendo un corchete en (x = 1 ). Luego sombreamos todos los números a la izquierda de uno, para mostrar que todos los números menores que uno son soluciones (Figura ( PageIndex {2} )). No hay un extremo inferior para esos números. Escribimos (x leq 1x leq 1 ) en notación de intervalo como ((- infty, 1] ). El símbolo (- infty ) se lee como "infinito negativo".

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Grafica cada desigualdad en la recta numérica y escribe en notación de intervalo.

  1. (x geq −3 )
  2. (x <2,5 )
  3. (x leq - frac {3} {5} )
Respuesta

(x geq -3 )
Sombrea a la derecha de (- 3 ) y coloca un corchete en (- 3 ).
Escribe en notación de intervalo. ([-3, infty) )

(x <2,5 )
Sombree a la izquierda de 2.5 y ponga un paréntesis en 2.5.
Escribe en notación de intervalo. ((- infty, 2.5) )

(x leq - dfrac {3} {5} )
Sombrea a la izquierda de (- frac {3} {5} ) y coloca un corchete en (- frac {3} {5} ).
Escribe en notación de intervalo. ( bigg (- infty, dfrac {3} {5} bigg] )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Grafica cada desigualdad en la recta numérica y escribe en notación de intervalo:

  1. (x> 2 )
  2. (x leq −1,5 )
  3. (x geq frac {3} {4} ).
Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Grafica cada desigualdad en la recta numérica y escribe en notación de intervalo:

  1. (x leq −4 )
  2. (x geq 0.5 )
  3. (x <- frac {2} {3} ).
Respuesta

¿Qué números son mayores que dos pero menores que cinco? ¿Estás pensando decir, (2.5, espacio 3, espacio 3 frac {2} {3}, espacio 4, espacio 4, espacio 99 )? Podemos representar todos los números entre dos y cinco con la desigualdad (2 Figura.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Grafica cada desigualdad en la recta numérica y escribe en notación de intervalo.

Ⓐ (- 3

Respuesta

(- 3
Sombrea entre (- 3 ) y 4.
Pon un paréntesis en (- 3 ) y 4.
Escribe en notación de intervalo.( (-3,4) )

(-6 leq x <-1 )
Sombrea entre (- 6 ) y −1.
Ponga un corchete en (- 6 ), y
un paréntesis en −1.
Escribe en notación de intervalo.( [-6,1) )

(0 leq x leq 2.5 )
Sombree entre 0 y 2.5.
Ponga un paréntesis en 0 y en 2,5.
Escribe en notación de intervalo.( [0, 2.5] )

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Grafica cada desigualdad en la recta numérica y escribe en notación de intervalo:

Ⓐ (- 2

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Grafica cada desigualdad en la recta numérica y escribe en notación de intervalo:

Ⓐ (- 6

Respuesta

Resolver desigualdades lineales

Una desigualdad lineal es muy parecida a una ecuación lineal, pero el signo igual se reemplaza por un signo de desigualdad. A desigualdad lineal es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las formas, (ax + b c ) o ( ax + b geq c ).

DESIGUALDAD LINEAL

Una desigualdad lineal es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las siguientes formas donde (a, , b, ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ):

[ begin {array} {llll} {ax + b c,} & {ax + b geq c.} nonumber end {array} ]

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, pudimos usar las propiedades de la igualdad para sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados y aún así mantener la igualdad. Propiedades similares son válidas para las desigualdades.

Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún mantener la desigualdad. Por ejemplo:

Observe que el signo de desigualdad se mantuvo igual.

Esto nos lleva a las propiedades de suma y resta de la desigualdad.

PROPIEDAD DE SUBTRACCIÓN Y SUBTRACCIÓN DE LA DESIGUALDAD

Para cualquier número (a, , b, ) y (c, ) si (a

[ begin {matriz} {ll} {a + c b + c} & {a − c> b − c} nonumber end {matriz} ]

Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún mantener la desigualdad

¿Qué le sucede a una desigualdad cuando dividimos o multiplicamos ambos lados por una constante?

Primero multipliquemos y dividamos ambos lados por un número positivo.

Los signos de desigualdad se mantuvieron iguales.

¿La desigualdad permanece igual cuando dividimos o multiplicamos por un número negativo?

Observe que cuando completamos los signos de desigualdad, los signos de desigualdad invirtieron su dirección.

Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad permanece igual. Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.

Esto nos da la propiedad de desigualdad de multiplicación y división.

Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por (a ):

  • número positivo, la desigualdad permanece igual.
  • número negativo, la desigualdad se invierte.

A veces, al resolver una desigualdad, como en el siguiente ejemplo, la variable termina a la derecha. Podemos reescribir la desigualdad al revés para obtener la variable de la izquierda.

[x> a text {tiene el mismo significado que} a

Piense en ello como "Si Xander es más alto que Andy, entonces Andy es más bajo que Xander".

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo:

Ⓐ (p− frac {3} {4} geq frac {1} {6} ) ⓑ (9c> 72 ) ⓒ (24 leq frac {3} {8} m )

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo:

Ⓐ (r− frac {1} {3} leq frac {7} {12} ) ⓑ (12d leq 60 ) ⓒ (- 24 < frac {4} {3} n )

Respuesta

Tenga cuidado al multiplicar o dividir por un número negativo; recuerde invertir el signo de desigualdad.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Ⓐ (- frac {1} {3} m geq frac {6} {5} ) ⓑ ( frac {n} {- 2} geq 8 )

Respuesta

Divide ambos lados de la desigualdad entre (- frac {1} {3} ).
Dado que (- frac {1} {3} ) es negativo, la desigualdad se invierte.
Simplificar.
Grafica la solución en la recta numérica.
Escribe la solución en notación de intervalo.

Multiplica ambos lados de la desigualdad por (- 2 ).
Dado que (- 2 ) es negativo, la desigualdad se invierte.
Simplificar.
Grafica la solución en la recta numérica.
Escribe la solución en notación de intervalo.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo:

Ⓐ (- 8q <32 ) ⓑ ( frac {k} {- 12} leq 15 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Resuelve cada desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo:

Ⓐ (- 7r leq −70 ) ⓑ ( frac {u} {- 4} geq −16 ).

Respuesta

La mayoría de las desigualdades requieren más de un paso para resolverse. Seguimos los mismos pasos que usamos en la estrategia general para resolver ecuaciones lineales, pero asegúrese de prestar mucha atención cuando multiplicamos o dividimos para aislar la variable.

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Resuelve la desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: (3q geq 7q − 23 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Resuelve la desigualdad, grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: (6x <10x + 19 ).

Respuesta

Al resolver desigualdades, suele ser más fácil recopilar las variables del lado donde el coeficiente de la variable es mayor. Esto elimina los coeficientes negativos y, por lo tanto, no tenemos que multiplicar o dividir por un negativo, lo que significa que no tenemos que recordar invertir el signo de desigualdad.

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Resuelve la desigualdad (8p + 3 (p − 12)> 7p − 28 ), grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta
(8p + 3 (p − 12)> 7p − 28 )
Simplifique cada lado tanto como sea posible.
Distribuir. (8p + 3p − 36> 7p − 28 )
Combina términos semejantes. (11p − 36> 7p − 28 )
Reste (7p ) de ambos lados para recolectar el
variables de la izquierda, ya que (11> 7 ).
(11p − 36−7p> 7p − 28−7p )
Simplificar. (4p − 36> −28 )
Agrega (36 ) a ambos lados para recolectar el
constantes a la derecha.
(4p − 36 + 36> −28 + 36 )
Simplificar. (4p> 8 )
Divide ambos lados de la desigualdad por
(4 ); la desigualdad permanece igual.
( dfrac {4p} {4}> dfrac {8} {4} )
Simplificar. (p> 2 )
Grafica la solución en la recta numérica.
Escribe la solución en notación de intervalo. ((2, infty) )

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Resuelve la desigualdad (9y + 2 (y + 6)> 5y − 24 ), grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Resuelve la desigualdad (6u + 8 (u − 1)> 10u + 32 ), grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

Así como algunas ecuaciones son identidades y otras son contradicciones, las desigualdades también pueden ser identidades o contradicciones. Reconocemos estas formas cuando solo nos quedan constantes al resolver la desigualdad. Si el resultado es una afirmación verdadera, tenemos una identidad. Si el resultado es una afirmación falsa, tenemos una contradicción.

Ejemplo ( PageIndex {19} )

Resuelve la desigualdad (8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x ), grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta
Simplifique cada lado tanto como sea posible. (8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x )
Distribuir. (8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x )
Combina términos semejantes. (10x − 10 <10x + 36 )
Reste ({ color {red} {10x}} ) de ambos lados para recopilar las variables de la izquierda. (10x − 10 , { color {rojo} {- , 10x}} <10x + 36 , { color {rojo} {- , 10x}} )
Simplificar.(−10<36)
Las (x ) se han ido, y tenemos un verdadero
declaración.
La desigualdad es una identidad.
La solución son todos los números reales.
Grafica la solución en la recta numérica.
Escribe la solución en notación de intervalo. ((- infty, infty) )

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Resuelve la desigualdad (4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b ), grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Resuelve la desigualdad (9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h ), grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

Podemos borrar fracciones en desigualdades de la misma forma que lo hicimos en ecuaciones. Nuevamente, tenga cuidado con los signos al multiplicar o dividir por un negativo.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Resuelve la desigualdad ( frac {1} {3} a− frac {1} {8} a> frac {5} {24} a + frac {3} {4} ), grafica la solución en el recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta
( frac {1} {3} a− frac {1} {8} a> frac {5} {24} a + frac {3} {4} )
Multiplica ambos lados por el LCD, 24,
para borrar las fracciones.
({ color {rojo} {24}} left ( dfrac {1} {3} a− dfrac {1} {8} a right)> , { color {rojo} {24}} left ( dfrac {5} {24} a + dfrac {3} {4} right) )
Simplificar. (8a - 3a> 5a + 18 )
Combina términos semejantes. (5a> 5a + 18 )
Resta (5a ) de ambos lados para recolectar el
variables de la izquierda.
(5a , { color {rojo} {- , 5a}}> 5a , { color {rojo} {- , 5a}} + 18 )
Simplificar.(0 > 18 )
La afirmación es falsa.La desigualdad es una contradicción.
No hay solución.
Grafica la solución en la recta numérica.
Escribe la solución en notación de intervalo.No hay solución.

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Resuelve la desigualdad ( frac {1} {4} x− frac {1} {12} x> frac {1} {6} x + frac {7} {8} ), grafica la solución en el recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Resuelve la desigualdad ( frac {2} {5} z− frac {1} {3} z < frac {1} {15} z− frac {3} {5} ), grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

Traducir a una desigualdad y resolver

Para traducir oraciones en inglés en desigualdades, necesitamos reconocer las frases que indican la desigualdad. Algunas palabras son fáciles, como "más que" y "menos que". Pero otros no son tan obvios. Mesa muestra algunas frases comunes que indican desigualdades.

(>) ( geq )(<) ( leq )
es mayor que

Es mas que

Es mas grande que

excede

es mayor o igual a

Por lo menos

es nada menos que

es el mínimo

es menos que

es más pequeña que

tiene menos de

es mas bajo que

es menor o igual que

es como máximo

no es más que

es el máximo

Ejemplo ( PageIndex {25} )

Traduce y resuelve. Luego grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

[ text {Veintisiete menos que} x text {es al menos} 48. nonumber ]

Respuesta
Traducir. (x - 27 geq 48 )
Resuelve: suma 27 a ambos lados. (x - 27 , { color {rojo} {+ , 27}} geq 48 , { color {rojo} {+ , 27}} )
Simplificar. (x geq 75 )
Grafica en la recta numérica.
Escribe en notación de intervalo. ([75, infty) )

Ejemplo ( PageIndex {26} )

Traduce y resuelve. Luego grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

[ text {Diecinueve menos que} p text {no es menos que} 47. nonumber ]

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {27} )

Traduce y resuelve. Luego grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

[ text {Cuatro más que} a text {es como máximo} 15. nonumber ]

Respuesta

Resuelva aplicaciones con desigualdades lineales

Muchas situaciones de la vida real nos obligan a resolver desigualdades. El método que usaremos para resolver aplicaciones con desigualdades lineales es muy parecido al que usamos cuando resolvimos aplicaciones con ecuaciones.

Leeremos el problema y nos aseguraremos de que se entiendan todas las palabras. A continuación, identificaremos lo que buscamos y asignaremos una variable para representarlo. Reexpresaremos el problema en una oración para que sea más fácil traducirlo en una desigualdad. Luego, resolveremos la desigualdad.

A veces, una aplicación requiere que la solución sea un número entero, pero la solución algebraica de la desigualdad no es un número entero. En ese caso, debemos redondear la solución algebraica a un número entero. El contexto de la aplicación determinará si redondeamos hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo ( PageIndex {28} )

Dawn ganó una mini-subvención de $ 4,000 para comprar tabletas para su salón de clases. Las tabletas que le gustaría comprar cuestan $ 254.12 cada una, incluidos impuestos y envío. ¿Cuál es el número máximo de tabletas que puede comprar Dawn?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Lee} text {el problema.}} & {} { textbf {Paso 2. Identifica} text {lo que estás buscando. }} & { text {la cantidad máxima de tabletas que Dawn puede comprar}} { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que está buscando.}} & {} {} & {} {} & { text {Let} n = text {la cantidad de tabletas.}} { text {Elija una variable para representar eso}} & {} { text {cantidad.}} & {} { textbf {Paso 4. Traduce.} text {Escribe una oración que proporcione la información}} & {} { text {para encontrarla.}} & {$ 254.12 text {multiplicado por el número de tabletas es}} {} & { text {no más de} $ 4,000.} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 254.12n leq 4000} { text {Traducir a una desigualdad.}} & {} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad.}} & {} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio n leq 15.74} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio n leq 15} { text {Pero} n text {debe ser un número entero de}} & {} { text {tabletas, así que redondee a} 15.} & {} { textbf {Paso 6. Verifique} text {la respuesta en el problema}} & {} { text {y asegúrese de que sense.}} & {} {} & {} {} & {} { space space space text {Redondeando el precio a} $ 250, 15} & {} { space space space text {tabletas costarían} $ 3,750, text {mientras que} 16} & {} { space space space text {tabletas costarían} $ 4,000. text {Entonces a}} & {} { space space space text {máximo de 15 tabletas a} $ 254.12} & {} { space space space text {parece razonable.}} & {} { textbf {Paso 7. Responda} text {la pregunta con una oración completa.}} & { Text {Dawn puede comprar un máximo de 15 tabletas.}} end {array} )

Ejemplo ( PageIndex {29} )

Angie tiene $ 20 para gastar en cajas de jugo para el picnic preescolar de su hijo. Cada paquete de cajas de jugo cuesta $ 2.63. ¿Cuál es el número máximo de paquetes que puede comprar?

Respuesta

Angie puede comprar 7 paquetes de jugo.

Ejemplo ( PageIndex {30} )

Daniel quiere sorprender a su novia con una fiesta de cumpleaños en su restaurante favorito. Costará $ 42,75 por persona para la cena, incluida la propina y los impuestos. Su presupuesto para la fiesta es de $ 500. ¿Cuál es el número máximo de personas que Daniel puede tener en la fiesta?

Respuesta

Daniel puede tener 11 personas en la fiesta.

Ejemplo ( PageIndex {31} )

El plan telefónico de Taleisha le cuesta $ 28,80 al mes más $ 0,20 por mensaje de texto. ¿Cuántos mensajes de texto puede enviar / recibir y mantener su factura telefónica mensual no más de $ 50?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Lee} text {el problema.}} & {} { textbf {Paso 2. Identifica} text {lo que estás buscando. }} & { text {la cantidad de mensajes de texto que Taleisha puede enviar}} { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estás buscando.}} & {} {} & {} {} & { text {Let} t = text {la cantidad de mensajes de texto.}} { text {Elija una variable para representar eso}} & {} { text {cantidad.}} & {} { textbf {Paso 4. Traducir} text {Escribe una oración que}} & {} { text {proporcione la información para encontrarla.}} & {$ 28.80 text {plus} $ 0.20 text {multiplicado por el número de}} {} & { text {mensajes de texto es menor o igual a} $ 50.} {} & {28.80 + 0.20t leq 50} { space space space text {Traducir a una desigualdad.}} & {} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad.}} & {} {} & { space space space espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 0.2t leq 21.2} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio space space space t leq 106 text {mensajes de texto}} {} & {} { textbf {Paso 6. Marque} text {la respuesta en el problema}} & {} { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} {} & {} {} & {} { space space space text {Sí,} 28.80 + 0.20 (106) = 50.} & {} { textbf {Paso 7. Escribe} text {una oración que responda a la pregunta.}} & {} {} & { text {Taleisha no puede enviar / recibir más de }} {} & {106 text {mensajes de texto para mantener su factura no}} {} & { text {más de} $ 50.} end {array} )

Ejemplo ( PageIndex {32} )

Sergio y Lizeth tienen un presupuesto vacacional muy ajustado. Planean alquilar un automóvil de una empresa que cobra $ 75 por semana más $ 0.25 por milla. ¿Cuántas millas pueden viajar durante la semana y aún mantenerse dentro de su presupuesto de $ 200?

Respuesta

Sergio y Lizeth no pueden viajar más de 500 millas.

Ejemplo ( PageIndex {33} )

La factura de calefacción de Rameen es de $ 5.42 por mes más $ 1.08 por termia. ¿Cuántas termias puede usar Rameen si quiere que su factura de calefacción sea un máximo de $ 87.50?

Respuesta

La factura de calefacción de Rameen es de $ 5.42 por mes más $ 1.08 por termia. ¿Cuántas termias puede usar Rameen si quiere que su factura de calefacción sea un máximo de $ 87.50?

La ganancia es el dinero que queda cuando los costos se han restado de los ingresos. En el siguiente ejemplo, encontraremos la cantidad de trabajos que una pequeña empresaria necesita hacer cada mes para obtener una cierta cantidad de ganancias.

Ejemplo ( PageIndex {34} )

Felicity tiene un negocio de caligrafía. Cobra $ 2.50 por invitación de boda. Sus gastos mensuales son de $ 650. ¿Cuántas invitaciones debe escribir para obtener una ganancia de al menos $ 2,800 por mes?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Identifica} text {lo que estás buscando.}} & { text {la cantidad de invitaciones que Felicity necesita escribir}} { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estás buscando.}} & { Text {Let} j = text {el número de invitaciones.}} {} & {} { space space space text {Elija una variable para representarla.}} & {} { textbf {Paso 4. Traduzca.} text {Escriba una oración que}} & {} { text {proporcione la información para encontrarlo.}} & {$ 2.50 text {multiplicado por la cantidad de invitaciones}} {} & { text {minus} $ 650 text {es al menos} $ 2,800.} {} & { space space space 2.50j − 650 geq 2,800} { space space space text {Traducir a una desigualdad.}} & {} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad. }} & {} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 2.5j geq 3,450} { } & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio j geq 1,380 text { invitaciones}} { tex tbf {Paso 6. Verifique} text {la respuesta en el problema}} & {} { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} {} & {} {} & {} { space space space text {Si Felicity escribiera} 1400 text {invitaciones, ella}} & {} { space space space text {la ganancia sería} 2.50 (1400) −650, text {o}} & {} { space space space $ 2,850. Text {Esto es más de} $ 2800.} & {} { textbf {Paso 7. Escribe} text {una oración que responde a la pregunta.}} & { text {Felicity debe escribir al menos} 1,380 text {invitaciones.}} end {array} )

Ejemplo ( PageIndex {35} )

Caleb tiene un negocio de cuidado de mascotas. Cobra $ 32 por hora. Sus gastos mensuales son $ 2,272. ¿Cuántas horas debe trabajar para obtener una ganancia de al menos $ 800 al mes?

Respuesta

Caleb debe trabajar al menos 96 horas.

Ejemplo ( PageIndex {36} )

Elliot tiene un negocio de mantenimiento de jardines. Sus gastos mensuales son $ 1,100. Si cobra $ 60 por trabajo, ¿cuántos trabajos debe hacer para obtener una ganancia de al menos $ 4,000 al mes?

Respuesta

Elliot debe tener al menos 85 trabajos.

Hay muchas situaciones en las que varias cantidades contribuyen al gasto total. Debemos asegurarnos de tener en cuenta todos los gastos individuales cuando resolvemos problemas como este.

Ejemplo ( PageIndex {37} )

Malik está planeando un viaje de vacaciones de verano de seis días. Tiene ahorros de $ 840 y gana $ 45 por hora por tutoría. El viaje le costará $ 525 por pasaje aéreo, $ 780 por comida y turismo, y $ 95 por noche para el hotel. ¿Cuántas horas debe ser tutor para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta

( begin {array} {ll} {} & {} { textbf {Paso 1. Identifica} text {lo que estás buscando.}} & { text {la cantidad de horas que Malik debe enseñar} } { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que está buscando.}} & {} {} & {} {} & { text {Let} h = text {el número de horas.}} { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio texto {Elija una variable para representar eso}} & {} { espacio espacio espacio espacio espacio space space text {cantidad.}} & {} { textbf {Paso 4.} text {Escribe una oración que}} & {} { text {proporcione la información para encontrarla.} } & {} {} & { text {Los gastos deben ser menores o iguales que}} {} & { text {los ingresos. El costo del pasaje aéreo más el}} {} & { text {costo de comida y turismo y el hotel}} {} & { text {factura debe ser menor que los ahorros más la}} ​​ {} & { text {cantidad ganada por tutoría.}} {} & {} {} & {} {} & {} {} & {} { space space space space space space space text {Traducir a una desigualdad .}} & {525 + 780 + 95 (6) leq 840 + 45h} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la inequa lity.}} & {} {} & {} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 1,875 leq 840 + 45h} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 1,035 leq 45h} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 23 leq h} {} & { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio space space space h geq 23} {} & {} {} & {} { textbf {Paso 6. Verifica} text {la respuesta en el problema}} & {} { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} { text {Sustituimos 23 en la desigualdad.}} & {} {} & {} {} & {} { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 1,875 leq 840 + 45h} & {} { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 1,875 leq 840 +45 (23)} & {} { espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 1,875 leq 1875} & {} { textbf {Paso 7. Escribe} text {una oración que responda a la pregunta.}} & { text {Malik debe ser tutor al menos} 23 text {horas.}} end {array} )

Ejemplo ( PageIndex {38} )

La mejor amiga de Brenda va a celebrar una boda en el destino y el evento durará tres días. Brenda tiene un ahorro de $ 500 y puede ganar $ 15 por hora cuidando niños. Ella espera pagar $ 350 por pasaje aéreo, $ 375 por comida y entretenimiento y $ 60 por noche por su parte de la habitación de hotel. ¿Cuántas horas debe cuidar a los niños para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta

Brenda debe cuidar a los niños por lo menos 27 horas.

Ejemplo ( PageIndex {39} )

Josué quiere hacer un viaje por carretera de 10 noches con amigos la próxima primavera. Le costará $ 180 por gasolina, $ 450 por comida y $ 49 por noche para compartir una habitación de motel. Tiene $ 520 en ahorros y puede ganar $ 30 por cada camino de entrada quitando nieve. ¿Cuántos caminos de entrada debe excavar para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta

Josué debe palear al menos 20 entradas de vehículos.

Conceptos clave


Ver el vídeo: Desigualdades lineales y (Noviembre 2021).