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3.4: Resolver aplicaciones de mezclas - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Resolver problemas verbales de monedas
  • Resolver problemas verbales de boletos y sellos
  • Resolver problemas verbales de mezclas
  • Use el modelo mixto para resolver problemas de inversión usando interés simple

Nota

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Multiplicar: (14 (0,25) ).
    Si pasó por alto este problema, revise el ejercicio 1.8.19.
  2. Resuelve: (0.25x + 0.10 (x + 4) = 2.5 ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 2.4.22.
  3. La cantidad de monedas de diez centavos es tres más que la cantidad de monedas de veinticinco centavos. Sea q represente el número de cuartos. Escribe una expresión para el número de monedas de diez centavos.
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.3.43.

Resolver problemas de palabras con monedas

En problemas de mezcla, tendremos dos o más elementos con diferentes valores para combinar. El modelo de mezcla es utilizado por tenderos y bartenders para asegurarse de establecer precios justos para los productos que venden. Muchos otros profesionales, como químicos, banqueros de inversión y paisajistas también utilizan el modelo mixto.

Nota

Realización de la actividad de Matemáticas manipulativas Laboratorio de monedas le ayudará a desarrollar una mejor comprensión de los problemas de palabras mixtas.

Comenzaremos mirando una aplicación con la que todos están familiarizados: ¡dinero!

Imagina que sacamos un puñado de monedas de un bolsillo o bolso y las colocamos sobre un escritorio. ¿Cómo determinaríamos el valor de esa pila de monedas? Si podemos formar un plan paso a paso para encontrar el valor total de las monedas, nos ayudará a medida que empecemos a resolver problemas de palabras sobre monedas.

Entonces, ¿qué haríamos? Para poner orden en el lío de monedas, podríamos separar las monedas en montones según su valor. Las monedas de veinticinco centavos irían con veinticinco centavos, diez centavos con diez centavos, cinco centavos con cinco centavos, etc. Para obtener el valor total de todas las monedas, sumaríamos el valor total de cada pila.

¿Cómo determinaríamos el valor de cada pila? Piense en la pila de diez centavos: ¿cuánto vale? Si contamos el número de monedas de diez centavos, sabremos cuántos tenemos: el número de monedas de diez centavos.

Pero esto no nos dice el valor de todas las monedas de diez centavos. Digamos que contamos 17 monedas de diez centavos, ¿cuánto valen? Cada centavo vale $ 0.10, ese es el valor de una moneda de diez centavos. Para encontrar el valor total de la pila de 17 monedas de diez centavos, multiplique 17 por $ 0.10 para obtener $ 1.70. Este es el valor total de las 17 monedas de diez centavos. Este método conduce al siguiente modelo.

VALOR TOTAL DE MONEDAS

Para el mismo tipo de moneda, el valor total de una cantidad de monedas se encuentra usando el modelo

[número valor de cdot = total valor de espacio ]

donde
número es la cantidad de monedas

valor es el valor de cada moneda

valor total es el valor total de todas las monedas

El número de monedas de diez centavos multiplicado por el valor de cada moneda de diez centavos es igual al valor total de las monedas de diez centavos.

[ begin {alineado} text {número.} cdot text {valor} & = text {valor total} 17 cdot $ 0.10 & = $ 1.70 end {alineado} ]

Podríamos continuar este proceso para cada tipo de moneda, y luego sabríamos el valor total de cada tipo de moneda. Para obtener el valor total de todos las monedas, sume el valor total de cada tipo de moneda.

Veamos un caso específico. Suponga que hay 14 monedas de 25 centavos, 17 monedas de diez centavos, 21 monedas de cinco centavos y 39 monedas de un centavo.

Tabla ( PageIndex {1} )

El valor total de todas las monedas es $ 6.64.

¡Observe cómo la tabla ayuda a organizar toda la información! Veamos cómo usamos este método para resolver un problema de palabras con monedas.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Adalberto tiene 2,25 dólares en monedas de diez y cinco centavos en el bolsillo. Tiene nueve monedas de cinco centavos más que monedas de diez centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

Solución

Paso 1. Leer el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.

Determina los tipos de monedas involucradas.
Piense en la estrategia que usamos para encontrar el valor del puñado de monedas. Lo primero que necesitamos es notar qué tipos de monedas están involucradas. Adalberto tiene monedas de diez y cinco centavos. Crea una tabla para organizar la información. Vea el cuadro a continuación.

  • Etiquete las columnas como "tipo", "número", "valor", "valor total".
  • Enumere los tipos de monedas.
  • Escribe el valor de cada tipo de moneda.
  • Escribe el valor total de todas las monedas.

Podemos resolver este problema todo en centavos o en dólares. Aquí lo haremos en dólares y pondremos el signo de dólar ($) en la tabla como recordatorio.
El valor de una moneda de diez centavos es $ 0.10 y el valor de una moneda de cinco centavos es $ 0.05. El valor total de todas las monedas es $ 2.25. La siguiente tabla muestra esta información.

Paso 2. Identificar Qué estamos buscando.

Se nos pide que encontremos la cantidad de monedas de diez y cinco centavos que tiene Adalberto.

Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

Usa expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbelas en la tabla.

Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.

A continuación contamos el número de cada tipo de moneda. En este problema no podemos contar cada tipo de moneda, eso es lo que está buscando, pero tenemos una pista. Hay nueve monedas de cinco centavos más que de diez centavos. La cantidad de monedas de cinco centavos es nueve más que la cantidad de monedas de diez centavos.

[ begin {alineado} text {Let} d & = text {número de monedas de diez centavos. } d + 9 & = text {número de monedas de cinco centavos} end {alineado} ]

Complete la columna "número" en la tabla para ayudar a organizar todo.

¡Ahora tenemos toda la información que necesitamos del problema!

Multiplicamos el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda. Si bien no conocemos el número real, tenemos una expresión para representarlo.

Y entonces ahora multiplica ( text {número} cdot text {valor} = text {valor total} ). Vea cómo se hace esto en la siguiente tabla.

Observe que hicimos que el encabezado de la tabla muestre el modelo.

Paso 4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil volver a plantear el problema en una oración. Traduce la oración en inglés a una ecuación algebraica.

Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.

Paso 5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.

Ahora resuelve esta ecuación.
Distribuir.
Combina términos semejantes.
Resta 0.45 de cada lado.
Dividir.
Entonces hay 12 monedas de diez centavos.
El número de monedas de cinco centavos es d + 9d + 9.
21

Paso 6. Verificar la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.

¿Esto lo comprueba?

[ begin {array} {llll} {12 text {dimes}} & {12 (0.10)} & {=} & {1.20} {21 text {nickels}} & {21 (0.05)} & {=} & { underline {1.05}} {} & {} & {} & {$ 2.25 checkmark} end {array} ]

Paso 7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

Adalberto tiene doce monedas de diez centavos y veintiún monedas de cinco centavos.

Si esto fuera un ejercicio de tarea, nuestro trabajo podría verse así.

Pruébelo ( PageIndex {1} )

Michaela tiene $ 2.05 en monedas de diez y cinco centavos en su bolso de cambio. Tiene siete monedas de diez centavos más que monedas de cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

Respuesta

9 monedas de cinco centavos, 16 monedas de diez centavos

Pruébelo ( PageIndex {2} )

Liliana tiene $ 2.10 en monedas de cinco centavos y veinticinco centavos en su mochila. Tiene 12 monedas de cinco centavos más que monedas de veinticinco centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

Respuesta

17 monedas de cinco centavos, 5 cuartos

RESOLVER PROBLEMAS DE PALABRAS DE MONEDAS.

  1. Leer el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
    • Determina los tipos de monedas involucradas.
    • Crea una tabla para organizar la información.
    • Etiquete las columnas como "tipo", "número", "valor", "valor total".
    • Enumere los tipos de monedas.
    • Escribe el valor de cada tipo de moneda.
    • Escribe el valor total de todas las monedas.
  2. Identificar Qué estamos buscando.
  3. Nombre Qué estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
    • Usa expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbelas en la tabla.
    • Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
  4. Traducir en una ecuación.
    Puede ser útil volver a plantear el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en una ecuación.
    Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.
  5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

María tiene $ 2.43 en monedas de veinticinco centavos y centavos en su billetera. Tiene el doble de monedas de un centavo que de veinticinco centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

Solución

Paso 1. Leer el problema.

Determina los tipos de monedas involucradas.

Sabemos que María tiene monedas de veinticinco centavos.

Crea una tabla para organizar la información.

  • Paso 2. Identificar Qué estás buscando.

    • Estamos buscando la cantidad de monedas de veinticinco centavos y monedas de un centavo.

    Paso 3. Nombre. Representa la cantidad de monedas de veinticinco centavos y monedas de un centavo usando variables.

    • Multiplica el "número" y el "valor" para obtener el "valor total" de cada tipo de moneda.

      Paso 4. Traducir. Escribe la ecuación sumando el "valor total" de todos los tipos de monedas.

      ( begin {array} {ll} { textbf {Step5. Resuelve} text {la ecuación.}} & {0.25q + 0.01 (2q) = 2.43} { text {Multiplica.}} & { 0.25q + 0.02q = 2.43} { text {Combinar términos semejantes.}} & {0.27q = 2.43} { text {Dividir por 0.27}} & {q = 9 text {cuartos}} { text {La cantidad de centavos es 2q.}} & {2q} {} & {2 cdot 9} {} & {18 text {centavos}} { textbf {Paso 6 . Compruebe} text {la respuesta en el problema.}} & {} { text {María tiene 9 monedas de veinticinco centavos y 18 centavos. Muere esto}} & {} { text {hace} $ 2.43? } & {} end {matriz} )
      ( begin {array} {llll} {9 text {cuartos}} & {9 (0.25)} & {=} & {2.25} {18 text {centavos}} & {18 (0.01 )} & {=} & { underline {0.18}} & {} { text {Total}} & {} & {} & {$ 2.43 checkmark} end {array} )
      ( begin {array} {ll} { textbf {Paso 7. Responde} text {la pregunta.}} & { text {María tiene nueve cuartos y dieciocho centavos.}} end {array} )

Pruébelo ( PageIndex {3} )

Sumanta tiene $ 4.20 en cinco y diez centavos en su alcancía. Tiene el doble de monedas de cinco centavos que de diez centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

Respuesta

42 monedas de cinco centavos, 21 monedas de diez centavos

Pruébelo ( PageIndex {4} )

Alison tiene tres veces más monedas de diez centavos que monedas de veinticinco centavos en su bolso. Ella tiene $ 9.35 en total. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

Respuesta

51 monedas de diez centavos, 17 monedas de veinticinco centavos

En el siguiente ejemplo, mostraremos solo la tabla completa; recuerde los pasos que seguimos para completar la tabla.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Danny tiene 2,14 dólares en centavos y cinco centavos en su alcancía. La cantidad de monedas de cinco centavos es dos más que diez veces la cantidad de monedas de un centavo. ¿Cuántas monedas de cinco centavos y cuántas monedas de un centavo tiene Danny?

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Determina los tipos de monedas involucradas.centavos y cinco centavos
Crea una tabla.
Escribe el valor de cada tipo de moneda.Los centavos valen $ 0.01.
Las monedas de cinco centavos valen $ 0.05.
Paso 2. Identificar Qué estamos buscando.la cantidad de centavos y cinco centavos
Paso 3. Nombre. Representa el número de cada tipo de moneda usando variables.
La cantidad de monedas de cinco centavos se define en términos de la cantidad de monedas de un centavo, así que comience con monedas de un centavo.Sea (p = ) número de centavos.
La cantidad de monedas de cinco centavos es dos más que diez veces la cantidad de monedas de un centavo.Y sea (10p + 2 = ) número de monedas de cinco centavos.
Multiplica el número y el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
Paso 4. Traducir. Escribe la ecuación sumando el valor total de todos los tipos de monedas.
Paso 5. Resuelve la ecuacion.
¿Cuántas monedas de cinco centavos?
Paso 6. Verificar la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido
Danny tiene cuatro centavos y 42 monedas de cinco centavos.
¿El valor total es $ 2,14?
( begin {array} {rll} {4 (0.01) +42 (0.05)} & { stackrel {?} {=}} & {2.14} {2.14} & {=} & {2.14 checkmark } end {matriz} )
Paso 7. Respuesta la pregunta.Danny tiene cuatro centavos y 42 monedas de cinco centavos.

Pruébelo ( PageIndex {5} )

Jesse tiene $ 6.55 en monedas de veinticinco centavos y cinco en el bolsillo. La cantidad de monedas de cinco centavos es cinco más que dos veces la cantidad de monedas de veinticinco centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos y cuántas monedas de veinticinco centavos tiene Jesse?

Respuesta

41 monedas de cinco centavos, 18 cuartos

Pruébelo ( PageIndex {6} )

Elane tiene un total de $ 7.00 en monedas de diez y cinco centavos en su tarro de monedas. La cantidad de monedas de diez centavos que tiene Elane es siete menos que tres veces la cantidad de monedas de cinco centavos. ¿Cuántas de cada moneda tiene Elane?

Respuesta

22 monedas de cinco centavos, 59 monedas de diez centavos

Resolver problemas de palabras con boletos y sellos

Los problemas relacionados con billetes o sellos son muy parecidos a los problemas con las monedas. Cada tipo de billete y sello tiene un valor, al igual que cada tipo de moneda. Entonces, para resolver estos problemas, seguiremos los mismos pasos que usamos para resolver los problemas de monedas.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

En un concierto de la escuela, el valor total de las entradas vendidas fue de $ 1,506. Los boletos para estudiantes se vendieron por $ 6 cada uno y los boletos para adultos se vendieron por $ 9 cada uno. La cantidad de entradas para adultos vendidas fue cinco menos que tres veces la cantidad de entradas para estudiantes vendidas. ¿Cuántas entradas para estudiantes y cuántas entradas para adultos se vendieron?

Solución

Paso 1. Leer el problema.

  • Determine los tipos de tickets involucrados. Hay boletos para estudiantes y boletos para adultos.
  • Crea una tabla para organizar la información.

Paso 2. Identificar Qué estamos buscando.

  • Estamos buscando la cantidad de boletos para estudiantes y adultos.

Paso 3. Nombre. Representa el número de cada tipo de ticket usando variables.

Sabemos que la cantidad de entradas para adultos vendidas fue cinco menos que tres veces la cantidad de entradas para estudiantes vendidas.

  • Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de boleto.

    Paso 4. Traducir. Escribe la ecuación sumando los valores totales de cada tipo de boleto.

    [6 s + 9 (3 s-5) = 1506 nonumber ]

    Paso 5. Resuelve la ecuacion.

    [ begin {array} {rcl} {6 s + 27 s-45} & {=} & {1506} {33 s-45} & {=} & {1506} {33 s} & {=} & {1551} {s} & {=} & {47 text {boletos para estudiantes}} { text {Número de boletos para adultos}} & {=} & {3s-5} {} & {=} & {3 (47) -5} { text {Entonces había}} & {136} & { text {entradas para adultos}} end {array} nonumber ]

    Paso 6. Verificar la respuesta.

    Había 47 boletos para estudiantes a $ 6 cada uno y 136 boletos para adultos a $ 9 cada uno. ¿Es el valor total $ 1,506? Encontramos el valor total de cada tipo de boleto multiplicando el número de boletos por su valor y luego sumamos para obtener el valor total de todos los boletos vendidos.

    [ begin {array} {lll} {47 cdot 6} & {=} & {282} {136 cdot 9} & {=} & { underline {1224}} {} & { } & {1506 marca de verificación} end {matriz} nonumber ]

    Paso 7. Respuesta la pregunta. Vendieron 47 boletos para estudiantes y 136 boletos para adultos.

Pruébelo ( PageIndex {7} )

El primer día de un torneo de waterpolo, el valor total de las entradas vendidas fue de $ 17.610. Los pases de un día se vendieron por $ 20 y los pases de torneo por $ 30. La cantidad de pases de torneo vendidos fue 37 más que la cantidad de pases diarios vendidos. ¿Cuántos pases diarios y cuántos pases de torneo se vendieron?

Respuesta

330 pases diarios, 367 pases de torneo

Pruébelo ( PageIndex {8} )

En el cine, el valor total de las entradas vendidas fue de $ 2.612,50. Los boletos para adultos se vendieron por $ 10 cada uno y los boletos para adultos mayores / niños se vendieron por $ 7.50 cada uno. El número de boletos para adultos mayores / niños vendidos fue 25 menos del doble del número de boletos para adultos vendidos. ¿Cuántas entradas para personas mayores / niños y cuántas entradas para adultos se vendieron?

Respuesta

112 entradas para adultos, 199 entradas para personas mayores / niños

Hemos aprendido cómo encontrar el número total de boletos cuando el número de un tipo de boleto se basa en el número del otro tipo. A continuación, veremos un ejemplo en el que conocemos el número total de entradas y tenemos que averiguar cómo se relacionan los dos tipos de entradas.

Suponga que Bianca vendió un total de 100 boletos. Cada boleto era un boleto para adultos o un boleto para niños. Si vendió 20 boletos para niños, ¿cuántos boletos para adultos vendió?

  • ¿Dijiste "80"? ¿Cómo te diste cuenta de eso? ¿Restaste 20 de 100?

Si vendió 45 boletos para niños, ¿cuántos boletos para adultos vendió?

  • ¿Dijiste "55"? ¿Cómo lo encontraste? ¿Restando 45 de 100?

¿Y si vendiera 75 entradas para niños? ¿Cuántas entradas para adultos vendió?

  • La cantidad de boletos para adultos debe ser de 100 a 75. Vendió 25 entradas para adultos.

Ahora, suponga que Bianca vendió X entradas para niños. Entonces, ¿cuántas entradas para adultos vendió? Para averiguarlo, seguiríamos la misma lógica que usamos anteriormente. En cada caso, restamos la cantidad de boletos para niños de 100 para obtener la cantidad de boletos para adultos. Ahora hacemos lo mismo con X.

Hemos resumido esto a continuación.

Tabla ( PageIndex {2} )

Podemos aplicar estas técnicas a otros ejemplos.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Galen vendió 810 boletos para el carnaval de su iglesia por un total de $ 2,820. Los boletos para niños cuestan $ 3 cada uno y los boletos para adultos cuestan $ 5 cada uno. ¿Cuántas entradas para niños y cuántas entradas para adultos vendió?

Solución

Paso 1. Hay entradas para niños y entradas para adultos.

  • Crea una tabla para organizar la información.
  • Paso 2. Identificar Qué estamos buscando.

    • Buscamos el número de entradas para niños y adultos.

    Paso 3. Nombre. Representa el número de cada tipo de ticket usando variables.

    • Sabemos que el número total de entradas vendidas fue de 810.
    • Esto significa que el número de entradas para niños más el número de entradas para adultos debe sumar 810.
    • Sea (c ) el número de boletos para niños.

    • Entonces (810 − c ) es la cantidad de boletos para adultos.
    • Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de boleto.

    Paso 4. Traducir.

    Escribe la ecuación sumando los valores totales de cada tipo de boleto.

    Paso 5. Resuelve la ecuacion.

    [ begin {align *} 3 c + 5 (810-c) & = 2,820 3 c + 4,050-5 c & = 2,820 - 2 c & = - 1,230 c & = 615 text { boletos para niños} end {align *} ]

    Cuantos adultos?

    [ begin {array} {c} {810-c} {810-615} {195 text {entradas para adultos}} end {array} nonumber ]

    Paso 6. Verificar la respuesta. Había 615 boletos para niños a $ 3 cada uno y 195 boletos para adultos a $ 5 cada uno. ¿El valor total es de $ 2,820?

    [ begin {array} {rrl} {615 cdot 3} & {=} & {1845} {195 cdot 5} & {=} & { underline {975}} {} & { } & {2,820 checkmark} end {array} nonumber ]

    Paso 7.Galen vendió 615 entradas para niños y 195 entradas para adultos.

    Pruébelo ( PageIndex {9} )

    Durante su turno en la taquilla del museo, Leah vendió 115 boletos por un total de $ 1,163. Los boletos para adultos cuestan $ 12 y los boletos para estudiantes cuestan $ 5. ¿Cuántas entradas para adultos y cuántas entradas para estudiantes vendió Leah?

    Respuesta

    84 entradas para adultos, 31 entradas para estudiantes

    Pruébelo ( PageIndex {10} )

    Un barco de observación de ballenas tenía 40 pasajeros que pagaban a bordo. El total recaudado de los boletos fue de $ 1,196. Los pasajeros con tarifa completa pagaron $ 32 cada uno y los pasajeros con tarifa reducida pagaron $ 26 cada uno. ¿Cuántos pasajeros con tarifa completa y cuántos pasajeros con tarifa reducida había en el barco?

    Respuesta

    26 tarifa completa, 14 tarifa reducida

    Ahora, haremos uno en el que completamos la tabla de una vez.

    Ejemplo ( PageIndex {6} )

    Monica pagó $ 8,36 por estampillas. El número de sellos de 41 centavos fue cuatro más que el doble del número de sellos de dos centavos. ¿Cuántos sellos de 41 centavos y cuántos sellos de dos centavos compró Mónica?

    Solución

    Los tipos de sellos son sellos de 41 centavos y sellos de dos centavos. ¡Sus nombres también dan valor!

    "El número de sellos de 41 centavos fue cuatro más que el doble del número de sellos de dos centavos".

    [ begin {array} {l} { text {Let} x = text {número de} 2 text {sellos de centavos. }} {2 x + 4 = text {número de} 41- text {sellos de centavos}} end {matriz} nonumber ]

    [ begin {array} {lr} { text {Escribe la ecuación a partir de los valores totales.}} & {0.41 (2x + 4) + 0.02x = 8.36} {} & {0.82x + 1.64 + 0.02 x = 8.36} {} & {0.84x + 1.64 = 8.36} { text {Resuelve la ecuación.}} & {0.84x = 6.72} {} & {x = 8} { text {Monica compró ocho estampillas de dos centavos.}} & {} { text {Encuentra la cantidad de estampillas de 41 centavos que compró}} & {2x + 4 text {for} x = 8} { text {evaluando}} & {2x + 4} {} & {2 (8) + 4} {} & {20} end {array} nonumber ]

    Cheque.

    [ begin {array} {rll} {8 (0.02) + 20 (0.41)} & { stackrel {?} {=}} & {8.36} {0.16 + 8.20} & { stackrel {?} {=}} & {8.36} {8.36} & {=} & {8.46 checkmark} end {array} ]
    [ begin {array} {ll} {} & { text {Monica compró ocho sellos de dos centavos y 20}} {} & { text {sellos de 41 centavos}} end {array} sin número]

    Pruébelo ( PageIndex {11} )

    Eric pagó $ 13,36 por estampillas. El número de sellos de 41 centavos fue ocho más que el doble del número de sellos de dos centavos. ¿Cuántas estampillas de 41 centavos y cuántas estampillas de dos centavos compró Eric?

    Respuesta

    32 a $ 0,41, 12 a $ 0,02

    Pruébelo ( PageIndex {12} )

    Kailee pagó $ 12,66 por estampillas. El número de sellos de 41 centavos fue cuatro menos que tres veces el número de sellos de 20 centavos. ¿Cuántos sellos de 41 centavos y cuántos sellos de 20 centavos compró Kailee?

    Respuesta

    26 a $ 0,41, 10 a $ 0,20

    Resolver problemas verbales de mezclas

    Ahora resolveremos algunas aplicaciones más generales del modelo de mezcla. Los tenderos y los camareros utilizan el modelo de mezcla para establecer un precio justo para un producto elaborado a partir de la mezcla de dos o más ingredientes. Los planificadores financieros usan el modelo mixto cuando invierten dinero en una variedad de cuentas y desean encontrar la tasa de interés general. Los diseñadores de paisajes usan el modelo de mezcla cuando tienen una variedad de plantas y un presupuesto fijo, y los coordinadores de eventos hacen lo mismo al elegir entremeses y entradas para un banquete.

    Nuestro primer problema verbal de mezcla será hacer una mezcla de frutos secos con pasas y nueces.

    Ejemplo ( PageIndex {7} )

    Henning está mezclando pasas y nueces para hacer 10 libras de mezcla de frutos secos. Las pasas cuestan $ 2 la libra y las nueces cuestan $ 6 la libra. Si Henning quiere que el costo de la mezcla de frutos secos sea de $ 5.20 la libra, ¿cuántas libras de pasas y cuántas libras de nueces debería usar?

    Solución

    Como antes, completamos un cuadro para organizar nuestra información.

    Las 10 libras de mezcla de frutos secos provendrán de mezclar pasas y nueces.

    [ begin {array} {l} { text {Let} x = text {cantidad de libras de pasas. }} {10-x = text {cantidad de libras de nueces}} end {matriz} nonumber ]

    Ingresamos el precio por libra para cada artículo.

    Multiplicamos el número por el valor para obtener el valor total.

    Observe que la última línea de la tabla proporciona la información de la cantidad total de la mezcla.

    Sabemos que el valor de las pasas más el valor de las nueces será el valor de la mezcla de frutos secos.

    Escribe la ecuación a partir de los valores totales.
    Resuelve la ecuación.
    Calcula la cantidad de libras de nueces.
    8 libras de nueces
    Cheque.
    ( begin {matriz} {rll} {2 ($ 2) + 8 ($ 6)} & { stackrel {?} {=}} & {10 ($ 5,20)} {$ 4 + $ 48} & { stackrel {?} {=}} & {$ 52} {$ 52} & {=} & {$ 52 checkmark} end {array} )
    Henning mezcló dos libras de pasas con ocho libras de nueces.

    Pruébelo ( PageIndex {13} )

    Orlando está mezclando nueces y cuadritos de cereal para hacer una mezcla de fiesta. Las nueces se venden a $ 7 la libra y los cuadrados de cereal se venden a $ 4 la libra. Orlando quiere hacer 30 libras de mezcla para fiestas a un costo de $ 6.50 la libra, ¿cuántas libras de nueces y cuántas libras de cuadrados de cereal debería usar?

    Respuesta

    5 libras de cereales cuadrados, 25 libras de nueces

    Pruébelo ( PageIndex {14} )

    Becca quiere mezclar jugo de frutas y refrescos para hacer un ponche. Puede comprar jugo de frutas por $ 3 el galón y refrescos por $ 4 el galón. Si quiere hacer 28 galones de ponche a un costo de $ 3.25 el galón, ¿cuántos galones de jugo de frutas y cuántos galones de refresco debería comprar?

    Respuesta

    21 galones de ponche de frutas, 7 galones de refresco

    También podemos usar el modelo de mezcla para resolver problemas de inversión usando interés simple. Hemos utilizado la fórmula de interés simple, (I = Prt ), donde (t ) representa el número de años. Cuando solo necesitamos encontrar el interés de un año, (t = 1 ), entonces (I = Pr ).

    Ejemplo ( PageIndex {8} )

    Stacey tiene $ 20,000 para invertir en dos cuentas bancarias diferentes. Una cuenta paga intereses al 3% anual y la otra cuenta paga intereses al 5% anual. ¿Cuánto debería invertir en cada cuenta si quiere ganar 4.5% de interés por año sobre el monto total?

    Solución

    Rellenaremos una tabla para organizar nuestra información. Usaremos la fórmula de interés simple para encontrar el interés ganado en las diferentes cuentas.

    El interés de la inversión mixta provendrá de sumar el interés de la cuenta que gana el 3% y el interés de la cuenta que gana el 5% para obtener el interés total sobre los $ 20.000.

    [ begin {alineado} text {Let} x & = text {monto invertido en} 3 \% 20,000-x & = text {monto invertido en} 5 \% end {alineado} ]

    La cantidad invertida es la principal para cada cuenta.

    Ingresamos la tasa de interés para cada cuenta.

    Multiplicamos la cantidad invertida por la tasa para obtener el interés.

    Observe que la cantidad total invertida, 20.000, es la suma de la cantidad invertida al 3% y la cantidad invertida al 5%. Y el interés total, (0.045 (20,000) ), es la suma del interés ganado en la cuenta del 3% y el interés ganado en la cuenta del 5%.

    Al igual que con las otras aplicaciones de mezclas, la última columna de la tabla nos da la ecuación a resolver.

    Escribe la ecuación a partir del interés ganado.

    Resuelve la ecuación.

    ( begin {array} {rll} {0.03x + 0.05 (20000-x)} & {=} & {0.045 (20000)} {0.03x + 1000 - 0.05x} & {=} & {900} {-0.02x} & {=} & {- 100} {x} & {=} & {5000} { text {cantidad invertida al 3%}} end {array} )

    Encuentre la cantidad invertida al 5%.

    Cheque.
    ( begin {array} {rll} {0.03x + 0.05 (15000 + x)} & { stackrel {?} {=}} & {0.045 (20000)} {150 + 750} & { stackrel {?} {=}} & {900} {900} & {=} & {900 checkmark} end {array} )

    Stacey debería invertir $ 5,000 en la cuenta que
    gana el 3% y $ 15.000 en la cuenta que gana el 5%.

    Pruébelo ( PageIndex {15} )

    Remy tiene $ 14,000 para invertir en dos fondos mutuos. Un fondo paga intereses al 4% anual y el otro fondo paga intereses al 7% anual. ¿Cuánto debería invertir en cada fondo si quiere ganar un interés del 6,1% sobre el importe total?

    Respuesta

    $ 4,200 al 4%, $ 9,800 al 7%

    Pruébelo ( PageIndex {16} )

    Marco tiene $ 8,000 para ahorrar para la educación universitaria de su hija. Quiere dividirlo entre una cuenta que paga 3.2% de interés anual y otra cuenta que paga 8% de interés anual. ¿Cuánto debería invertir en cada cuenta si quiere que el interés sobre la inversión total sea del 6,5%?

    Respuesta

    $ 2,500 al 3.2%, $ 5,500 al 8%

    Conceptos clave

    • Valor total de monedas Para el mismo tipo de moneda, el valor total de una cantidad de monedas se calcula utilizando el modelo.
      número · valor = valor total donde número es el número de monedas y valor es el valor de cada moneda; valor total es el valor total de todas las monedas
    • Estrategia de resolución de problemas: problemas de palabras con monedas
      1. Leer el problema. Haz que se entiendan todas las palabras e ideas. Determina los tipos de monedas involucradas.
        • Crea una tabla para organizar la información.
        • Etiquete el tipo de columnas, número, valor, valor total.
        • Enumere los tipos de monedas.
        • Escribe el valor de cada tipo de moneda.
        • Escribe el valor total de todas las monedas.
      2. Identificar Qué estamos buscando.
      3. Nombre Qué estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
        Usa expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbelas en la tabla.
        Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
      4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil volver a plantear el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en una ecuación.
        Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.
      5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
      6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
      7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

    Glosario

    problemas de mezcla
    Los problemas de mezcla combinan dos o más elementos con valores diferentes.

    Aplicaciones nacionales 3/4 de las matemáticas

    En este Curso, y en las Unidades que lo componen, se hará hincapié en el desarrollo de habilidades y la aplicación de esas habilidades. Los alumnos son requerido para pasar las 3 unidades y el final Prueba de valor agregado con el fin de lograr un premio de curso.

    El objetivo general de esta unidad es desarrollar las habilidades numéricas y de manejo de información de los alumnos para resolver problemas sencillos de la vida real que involucran números, dinero, tiempo y medición. Los alumnos también interpretarán datos gráficos y utilizarán su conocimiento y comprensión de la probabilidad para identificar soluciones a problemas sencillos de la vida real que involucran dinero, tiempo y medición.

    Aplicaciones de las matemáticas: gestión de las finanzas y la estadística

    El objetivo general de esta Unidad es desarrollar habilidades que se centren en el uso de ideas y estrategias matemáticas que se puedan aplicar a la gestión de finanzas y estadísticas en contextos sencillos de la vida real. Esto incluye el uso de habilidades en la elaboración de presupuestos, así como habilidades en la organización y presentación de datos, para explicar soluciones y / o sacar conclusiones.

    Aplicaciones de las matemáticas: geometría y medidas

    El objetivo general de esta unidad es desarrollar habilidades que se centren en el uso de ideas y estrategias matemáticas que se puedan aplicar a la geometría y la medición en contextos sencillos de la vida real. Esto incluye el uso de habilidades para interpretar y utilizar formas, espacios y medidas para determinar y explicar soluciones.

    Todos los niveles de los cursos de Matemáticas estudiados en S3 / 4 se asignan 4 períodos por semana.

    Metodología

    Utilizamos una amplia variedad de enfoques y recursos de enseñanza para involucrar a los alumnos por completo en la experiencia de aprendizaje. Se fomenta el trabajo individual, en parejas y en grupo mediante el uso de:

    • Actividades de escritorio claras, rompecabezas, dominó, juegos de bucle, estaciones estelares, Mathletts y juegos de equipo
    • Varios recursos de Smartboard para usar con toda una clase o en equipos
    • Recursos prácticos para enseñar tiempo, dinero, medida y forma
    • TI Nspire, calculadoras gráficas y software de gráficos
    • Una variedad de estrategias de aprendizaje cooperativo

    Evaluación

    Los alumnos son evaluados continuamente a lo largo del curso utilizando varios métodos de evaluación formativa, incluida la evaluación del profesor, la autoevaluación y la de sus compañeros. Regularmente se utilizan minipizarras individuales para alumnos. La evaluación es para el aprendizaje Las metodologías se utilizan a diario, incluidas las intenciones de aprendizaje claras, el semáforo y los próximos pasos. Los iniciadores de revisión de lecciones se utilizan con regularidad para permitir que los alumnos reconozcan áreas que pueden requerir más atención.

    A lo largo de S3 / 4, cuando estén listos, los alumnos realizarán evaluaciones de aritmética, gestión de finanzas y estadísticas y geometría y medidas. Finalmente, para lograr el Nivel 4 del Curso de Aplicaciones de las Matemáticas, deberán aprobar la Prueba de Valor Agregado.

    Home Study se publica quincenalmente a través de Microsoft Teams u hojas de trabajo que proporcionan ejercicios adicionales para ayudar a consolidar el trabajo en clase.

    Los alumnos deben seguir usando su Cuaderno de aritmética de forma regular.

    Las clases de Matemáticas después de clases son los lunes y martes de 3.30 & # 8211 4.30 p. M. Para alumnos de S3 - S6 en todos los niveles de estudio.

    Grabación e informes

    Los profesores llevan sus propios registros del estudio en casa de los alumnos, pero los puntajes de las evaluaciones se registran en una hoja de cálculo departamental. Los alumnos reciben comentarios sobre las tareas y evaluaciones de Home Study durante la clase. Después de cada evaluación, evaluarán su progreso y tomarán nota de los temas que necesitan consolidar. También hay seguimiento de S4, noche de padres e informes completos. Consulte el calendario escolar para conocer estas fechas.


    3.4: Resolver aplicaciones de mezclas - Matemáticas

    & quot; Mezcla & quot; Problemas de palabras (Página 1 de 2)

    Los problemas de mezcla implican crear una mezcla a partir de dos o más cosas y luego determinar alguna cantidad (porcentaje, precio, etc.) de la mezcla resultante. Por ejemplo:

    Su escuela llevará a cabo un evento "familiar" este fin de semana. Los estudiantes han estado pre-vendiendo boletos para el evento, los boletos para adultos cuestan $ 5.00 y los boletos para niños (para niños menores de seis años) cuestan $ 2.50. Según la experiencia pasada, se espera que asistan al evento unas 13.000 personas. Pero este es el primer año en el que se han reducido los precios de las entradas para los niños más pequeños, por lo que realmente no sabe cuántas entradas para niños y cuántas entradas para adultos puede esperar vender. Su jefe quiere que calcule los ingresos esperados por entradas. Decide utilizar la información de los boletos pre-vendidos para estimar la proporción de adultos a niños y calcular los ingresos esperados a partir de esta información.

    Consulta con los vendedores de boletos de sus estudiantes y descubre que no han estado llevando un registro de cuántos boletos para niños han vendido. Los boletos son idénticos, hasta que el vendedor de boletos hace un agujero en el boleto, lo que indica que es un boleto para niños. Pero no recuerdan cuántos agujeros han hecho. Solo saben que vendieron 548 boletos por $ 2460. ¿Cuántos ingresos puede esperar de cada una de las entradas para niños y adultos?

    Para resolver esto, necesitamos calcular la proporción de boletos que ya se han vendido. Si trabajamos metódicamente, podemos encontrar la respuesta.

    Dejar A representar el número de entradas para adultos vendidas previamente, y C Representar los boletos para niños pre-vendidos. Luego A + C = 548. Además, dado que cada boleto de adulto cuesta $ 5.00, entonces ($ 5.00)A representa los ingresos generados por las entradas para adultos vendidas previamente de la misma manera, ($ 2,50)C representa los ingresos generados por las entradas para niños. Entonces el ingreso total hasta ahora viene dado por ($ 5.00)A + ($2.50)C = $ 2460. Pero solo podemos resolver una ecuación con una variable, no con dos. Así que mira de nuevo esa primera ecuación. Si A + C = 548, entonces A = 548 y ndash C (o C = 548 y ndash A no importa qué variable resuelva). Organizando esta información en una cuadrícula, obtenemos:

    De la última columna, obtenemos ($ total de las entradas para adultos) más ($ total de las entradas para niños) es (el total de $ hasta ahora), o, como ecuación:

    ($ 5.00) (548 y ndash C) + ($2.50)C = $2460
    $ 2740 y ndash ($ 5.00)C + ($2.50)C = $2460
    $ 2740 y ndash ($ 2.50)C = $2460
    & ndash ($ 2,50)C = & ndash $ 280
    C = & ndash $ 280 /& ndash $ 2.50 = 112

    Luego se vendieron por adelantado 112 boletos para niños, por lo que A = 548 & ndash 112 = Se vendieron 436 entradas para adultos. (Con & quot A & quot y & quot C & quot para nuestras variables, en lugar de & quot X & quot y & quot y & quot, fue útil, porque las variables sugerían lo que representaban. Supimos al instante que & quot C = 112 & quot significa & quot; 112 entradas para niños & quot. Esta es una técnica útil.)

    Ahora tenemos que averiguar cuántas entradas para adultos y niños podemos esperar vender en total. Dado que 436 de las 548 entradas vendidas previamente eran entradas para adultos, podemos esperar 436 /548 , o alrededor del 79,6%, del total de entradas vendidas para adultos. Dado que esperamos unas 13.000 personas, esto equivale a unas 10.343 entradas para adultos. (Por cierto, puede encontrar este valor utilizando proporciones). Las 2657 entradas restantes serán entradas para niños. Luego, los ingresos totales esperados por boletos ascienden a $ 58,357.50, de los cuales ($ 5.00) (10,343) = $51,715 vendrá de boletos para adultos y ($ 2.50) (2.657) = $6,642.50 provendrá de boletos para niños.

    Probemos con otro. Esta vez, suponga que trabaja en un laboratorio. Necesita una solución ácida al 15% para una determinada prueba, pero su proveedor solo envía una solución al 10% y una solución al 30%. En lugar de pagar el alto recargo para que el proveedor haga una solución al 15%, usted decide mezclar una solución al 10% con una solución al 30%, para hacer su propia solución al 15%. Necesita 10 litros de la solución ácida al 15%. ¿Cuántos litros de solución al 10% y solución al 30% debería utilizar?

    Dejar X representar el número de litros de solución al 10% y dejar y representa la cantidad de litros de solución al 30%. (El etiquetado de las variables es, en este caso, muy importante, porque & quot X & quot y & quot y & quot no sugieren en absoluto lo que representan. Si no etiquetamos, no podremos interpretar nuestra respuesta al final.) Para problemas de mezcla, a menudo es muy útil hacer una cuadrícula:

      litros sol'nporcentaje de ácidolitros totales de ácido
      10% sol'nX0.100.10X
      30% sol'ny0.300.30y
      mezclaX + y = 100.15(0.15)(10) = 1.5

    Ya que X + y = 10, entonces X = 10 y ndash y . Usando esto, podemos sustituir X en nuestra cuadrícula y elimine una de las variables: Copyright & copy Elizabeth Stapel 1999-2011 Todos los derechos reservados

      litros sol'nporcentaje de ácidolitros de ácido
      10% sol'n10 y ndash y0.100.10 (10 y ndash y)
      30% sol'ny0.300.30 y
      mezclaX + y = 100.15(0.15)(10) = 1.5

    Cuando el problema está configurado de esta manera, generalmente puede usar la última columna para escribir su ecuación: Los litros de ácido de la solución al 10%, más los litros de ácido en la solución al 30%, se suman a los litros de ácido en la solución al 15%. Luego:

    0.10 (10 y ndash y) + 0.30y = 1.5
    1 y ndash 0.10y + 0.30y = 1.5
    1 + 0.20y = 1.5
    0.20y = 0.5
    y = 0.5 /0.20 = 2.5

    Entonces necesitamos 2,5 litros de la solución al 30% , y X = 10 y ndash y = 10 & ndash 2.5 = 7.5 litros de la solución al 10% . (Si lo piensa bien, esto tiene sentido. El quince por ciento está más cerca del 10% que del 30%, por lo que deberíamos necesitar más solución al 10% en nuestra combinación).


    Problema de mezcla de ecuaciones diferenciales

    Un tanque grande se llena hasta su capacidad con 100 galones de agua pura. La salmuera que contiene 3 libras de sal por galón se bombea al tanque a una velocidad de 4 gal / min. La solución bien mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 5 gal / min. Calcula la cantidad de sal después de 30 minutos.

    Tomé el siguiente enfoque aparentemente incorrecto para resolverlo:

    Primero calculé que la cantidad total de líquido en el tanque era $ 100 + 4t-5t $ con $ t $ indicando el tiempo en minutos.

    Luego observé que la cantidad de sal que entraba era $ frac <3 text> < texto> $. Determiné que la cantidad de sal que salía era $ frac < text frac < texto> < texto>> <100-t> $.

    Para calcular la cantidad total de sal, simplemente tomé la cantidad de sal entrante y resté la sal saliente, introduje un valor de 30 por $ t $ y llegué a 87,85 libras de sal a los 30 minutos. Sin embargo, la respuesta correcta en la sección de respuestas es de 209,97 libras.


    Ecuaciones de primer grado, desigualdades y aplicaciones

    Las ecuaciones & emsp & emsp son de primer grado cuando se pueden escribir en la forma ax + b = c, donde x es una variable y a, byc son constantes conocidas y a a! = 0. Discutimos las técnicas para resolver ecuaciones de primer grado en la Sección 3.4 y nuevamente en la Sección 3.5 cuando se trata de fórmulas. Además, encontrar las soluciones a las proporciones discutidas en las Secciones 6.6 y 6.7 involucró resolver ecuaciones de primer grado.

    & emsp & emsp Este tema es uno de los más básicos e importantes para cualquier estudiante principiante de álgebra y se presenta nuevamente aquí para un refuerzo positivo y como preparación para resolver una variedad de aplicaciones en las secciones 7.3, 7.4 y 7.5.

    & emsp & emspHay exactamente una solución para una ecuación de primer grado en una variable. Esta afirmación puede probarse mediante el método de la contradicción. La prueba no se da aquí. Las ecuaciones que tienen más de una solución se analizarán en los capítulos 8, 9 y 10.

    & emsp y emspResuelve las siguientes ecuaciones.

    & emsp y emsp1. 3x + 14 = x-2 (x + 1) & emsp & emsp Escriba la ecuación.
    & emsp & emsp & emsp 3x + 14 = x-2x-2 & emsp & emsp Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

    & emsp & emsp & emsp- 8/3 = x & emsp & emsp Divida ambos lados entre 6 y reduzca.

    & emsp & emsp & emsp x = 8 & emsp & emsp Divida ambos lados entre 3 y reduzca.

    & emsp & emsp Dado que (3x) / 4 = 3/4 * x / 1 = 3 / 4x, podríamos resolver una ecuación como (3x) / 4 = 6 en un paso multiplicando ambos lados por 4/3, el recíproco de 3 / 4, como sigue:

    & emsp & emsp El ejemplo 3 también se puede resolver multiplicando primero por 4 en lugar de sumar +7 primero. En este procedimiento, sin embargo, debemos asegurarnos de multiplicar cada término por 4 en ambos lados de la ecuación.

    & emsp & emsp & emsp x = 8 & emsp & emsp Divida ambos lados entre 3 y reduzca.

    & emsp & emsp Esta última técnica tiene la ventaja de dejar solo coeficientes y constantes enteros. Si hay más de una fracción, entonces cada término debe multiplicarse por el MCM de los denominadores de las fracciones.

    Veamos cómo nuestro solucionador matemático resuelve este y otros problemas similares. Haga clic en el botón "Resolver similar" para ver más ejemplos.

    & emsp & emsp & emsp (2x) / 5 * 20 + 1/4 * 20 = - (1/2) * 20 & emsp & emsp Multiplica cada término por 20 el MCM de 5, 4 y 2.

    7.2 & emsp & emsp La recta numérica real y las desigualdades de primer grado

    & emsp y emspHemos discutido los números enteros, que incluyen los números enteros y sus opuestos,

    & emsp & emspand fracciones formadas usando números enteros en el numerador y denominador sin denominador igual a 0. El nombre formal de tales fracciones es números racionales. Un número racional es cualquier número que se pueda escribir en la forma

    & emsp & emsp a / b & emsp & emsp donde ayb son números enteros y b! = 0

    & emsp & emsp En forma decimal, todos los números racionales se pueden escribir como decimales repetidos. Por ejemplo,

    & emsp & emsp Otras formas de números racionales son raíces cuadradas de números cuadrados perfectos. Por ejemplo, dado que 5 ^ 2 = 25, la raíz cuadrada de 25 es 5 (Raíz escrita (25) = 5). También,

    El símbolo & radic se llama signo radical y el número debajo del signo radical se llama radicando.

    No todas las raíces son números enteros o racionales. Los números como raíz (5), raíz (7), raíz (39) y -raíz (10) se denominan números irracionales. En forma decimal, todos los números irracionales se pueden escribir como decimales no repetidos. Otros ejemplos de números irracionales son

    & emsp & emsp root (2) = 1.4142136. & emsp & emsp (raíz cuadrada de 2)
    & emsp & emsp root (3,4) = 1.5874011. & emsp & emsp (raíz cúbica de 4)
    & emsp & emsp PI = 3.14159265358979. & emsp & emsp (pi, relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo)

    & emsp & emsp E = 2.718281828459045. & emsp & emsp (base de logaritmos naturales)

    & emsp & emspLos números irracionales son tan importantes como los números racionales y tan útiles para resolver ecuaciones, como veremos en el Capítulo 10. Las rectas numéricas tienen puntos que corresponden tanto a números irracionales como a números racionales (ver Figura 7.1).

    & emsp y emsp

    & emsp & emspConsidere un círculo con un diámetro de 1 unidad, rodando sobre una línea. Si el círculo toca la línea en el punto 0, ¿en qué punto de la línea el mismo punto del círculo volverá a tocar la línea?
    & emsp & emsp El punto estará en PI en la recta numérica porque PI es la circunferencia del círculo. (Ver figura 7.2.)

    & emsp & emsp Juntos, los números racionales y los números irracionales forman los números reales. Es decir, todo número racional y todo número irracional es también un número real. Las propiedades de los números reales bajo suma y multiplicación se enumeran a continuación, Figura 7.2 en la página 181.

    & emsp y emsp

    & emsp y emspPropiedades de los números reales

    & emsp & emsp Para números reales a, byc,

    Adición Propiedad Multiplicación
    a + b es un número real cierre a * b es un número real
    a + b = b + a conmutativo a * b = b * a
    a + (b + c) = (a + b) + c de asociación a * (b * c) = (a * b) * c
    a + 0 = a identidad a * 1 = a
    a + (- a) = 0 inverso a * 1 / a = 1 (a! = 0)

    & emsp & emsp Propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac

    & emsp & emspLas líneas numéricas ahora se llaman líneas de números reales porque por cada número real hay un punto correspondiente en una línea, y por cada punto en una línea hay un número real correspondiente.

    & emsp & emsp Ahora estamos interesados ​​en resolver desigualdades de primer grado y graficar sus soluciones en una recta numérica real. Una desigualdad que se puede escribir en la forma ac + b o ax + b & lt = c donde x es una variable y a, byc son constantes y a! = 0 se llama desigualdad de primer grado.
    Resolver una desigualdad como 2x + 1 & lt 7 es similar a resolver una ecuación de primer grado. El objetivo es encontrar una desigualdad equivalente (una con las mismas soluciones) que sea más simple en forma.

    & emsp & emspEl sombreado indica todos los números reales menores que 3. El círculo abierto alrededor de 3 indica que 3 no está incluido en el gráfico.

    & emsp & emsp La diferencia importante entre resolver ecuaciones y resolver desigualdades implica multiplicar o dividir por números negativos. Multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad & ldquoless than & rdquo se convierte en & ldquogreater que & rdquo y viceversa. Por ejemplo (las flechas señalan dónde se invierten las desigualdades)

    & emsp & emsp Resolver una desigualdad de primer grado depende del siguiente axioma:

    & emsp y emsp1. Si se suma una constante distinta de cero a ambos lados de una desigualdad, la nueva desigualdad es equivalente a la desigualdad original.

    & emsp y emsp2. Si ambos lados de una desigualdad se multiplican por (o se dividen por) una constante positiva, la nueva desigualdad del mismo sentido es equivalente a la desigualdad original.

    & emsp y emsp3. Si ambos lados de una desigualdad se multiplican por (o se dividen por) una constante negativa, la nueva desigualdad del sentido opuesto es equivalente a la desigualdad original.

    & emsp y emspResuelve las siguientes desigualdades y representa gráficamente las soluciones.

    & emsp y emsp& emsp & emsp & emsp (Nota: el punto sólido significa que -1 está incluido).

    Veamos cómo nuestro solucionador de desigualdades resuelve este y otros problemas similares. Haga clic en el botón "Resolver similar" para ver más ejemplos.


    Problemas de mezcla - Concepto

    Algunos problemas verbales que usan sistemas de ecuaciones implican mezclar dos cantidades con diferentes precios. Resolver problemas de mezcla, conocimiento de la resolución de sistemas de ecuaciones. es necesario. La mayoría de las veces, estos problemas tendrán dos variables, pero los problemas más avanzados tienen sistemas de ecuaciones con tres variables. Otros tipos de problemas de palabras que usan sistemas de ecuaciones incluyen problemas de palabras de calificación y problemas de palabras de trabajo.

    Muy bien, chicos, los problemas verbales pueden ser algunos de los problemas más intimidantes con los que te encontrarás en tu tarea de matemáticas y yo soy profesor de matemáticas, así que sé que muchos estudiantes tienden a omitirlos. Por favor, no se los salte. Les prometo que si lo intentan, pueden hacerlo. Hay un cierto tipo de problema de palabras que vamos a ver hoy y es en el que usted está mirando la cantidad de costo y la cantidad de cantidades que entran en una mezcla. Es realmente relevante para cualquier persona que se dedique a cualquier tipo de venta de productos, ya sea como un artículo de comida, como una marca de café mixto donde se combina como colombiano con brasileño o algo así y tiene que averiguar cuánto vender. . O tal vez si estás haciendo un maquillaje similar y tienes un producto que es realmente caro y que usas como la mitad de tus ingredientes, los otros ingredientes son realmente baratos y quieres descubrir cómo, cómo averiguar cuál es el precio de su artículo de venta debería ser.
    Ahí es donde vas a usar este tipo de problema. Aquí hay una especie de fórmula que podría ayudarlo cuando pase por esto. Lo que vas a hacer es tener 2 cantidades o ingredientes que se van a mezclar para darte tu mezcla. Entonces tiene la cantidad o la cantidad de su primer artículo multiplicado por su precio más la cantidad de su segundo artículo multiplicado por su precio, que será igual a la cantidad de la mezcla multiplicada por el precio de la mezcla. Tiene sentido cuando lo estás mirando ahora, pero apuesto a que cuando comienzas a ver algunos problemas, es posible que te confundas un poco. Así que por favor escriba esto en algún lugar donde pueda consultarlo cuando esté haciendo su tarea o viendo los próximos videos de Brightstorm.


    Resolver problemas multiplicando y dividiendo fracciones y números mixtos

    Ejemplo 1: Si se necesitan 5/6 yardas de tela para hacer un vestido, ¿cuántas yardas se necesitarán para hacer 8 vestidos?

    Análisis: Para resolver este problema, convertiremos el número entero en una fracción impropia. Luego multiplicaremos las dos fracciones.

    Respuesta: Se necesitarán 6 y 2/3 yardas de tela para hacer 8 vestidos.

    Ejemplo 2: Renee tenía una caja de pastelitos, de los cuales le dio la mitad a su amigo Juan. Juan le dio 3/4 de su parte a su amiga Elena. ¿Qué fracción de la caja original de cupcakes recibió Elena?

    Análisis: Para resolver este problema, multiplicaremos estas dos fracciones.

    Respuesta: Elena obtuvo 3/8 de la caja original de cupcakes.

    Ejemplo 3: El aula de matemáticas de Nina mide 6 y 4/5 metros de largo y 1 y 3/8 metros de ancho. ¿Cuál es el área del aula?

    Análisis: Para resolver este problema, multiplicaremos estos números mixtos. Pero primero debemos convertir cada número mixto en una fracción impropia.

    Respuesta: El área del aula es de 9 y 7/20 metros cuadrados.

    Ejemplo 4: Una barra de chocolate mide 3/4 de pulgada de largo. Si se divide en piezas de 3/8 de pulgada de largo, ¿cuántas piezas son?

    Análisis: Para resolver este problema, dividiremos la primera fracción por la segunda.

    Ejemplo 5: Un electricista tiene un trozo de cable de 4 y 3/8 centímetros de largo. Divide el alambre en trozos de 1 y 2/3 centímetros de largo. ¿Cuántas piezas tiene ella?

    Análisis: Para resolver este problema, dividiremos el primer número mixto por el segundo.

    Respuesta: El electricista tiene 2 y 5/8 piezas de alambre.

    Ejemplo 6: Un almacén tiene 1 y 3/10 metros de cinta. Si dividen la cinta en trozos de 5/8 metros de largo, ¿cuántos trozos tendrán?

    Análisis: Para resolver este problema, dividiremos el primer número mixto por el segundo. Primero, convertiremos cada número mixto en una fracción impropia.

    Respuesta: El almacén tendrá 2 y 2/25 piezas de cinta.

    Resumen: En esta lección aprendimos cómo resolver problemas de palabras que involucran multiplicación y división de fracciones y números mixtos.

    Ejercicios

    Instrucciones: Reste los números mixtos en cada ejercicio a continuación. Asegúrese de simplificar su resultado, si es necesario. Haga clic una vez en un CUADRO DE RESPUESTAS y escriba su respuesta y luego haga clic en ENTRAR. Después de hacer clic en ENTRAR, aparecerá un mensaje en el CUADRO DE RESULTADOS para indicar si su respuesta es correcta o incorrecta. Para empezar de nuevo, haga clic en BORRAR.

    Nota: Para escribir el número mixto cuatro y dos tercios, ingrese 4, un espacio y luego 2/3 en el formulario.


    Nuestro proceso

    1. Estamos apuntando a conseguir X (o cualquier letra que use la pregunta) en el lado izquierdo del signo igual, por sí mismo.
    2. Resolvemos ecuaciones por equilibrio: hagamos lo que hagamos con un lado de una ecuación, debemos hacer lo mismo con el otro lado. Entonces, si sumamos 4 al lado izquierdo, también debemos agregar 4 al lado derecho. Si multiplicamos en el lado izquierdo por 2, multiplicamos en el lado derecho por 2 también.

    Ejemplo 1

    Necesitamos & quot; deshacernos & quot del -6 en el lado izquierdo para que nos quedemos con X sólo en el lado izquierdo.

    Lo opuesto a restar 6 es sumar 6.

    Si sumamos 6 a ambos lados, quitaremos el -6 de la izquierda.

    Entonces el valor de X debe ser 16 para que la ecuación sea verdadera.

    COMPRUEBE la pregunta original:

    Ejemplo 2

    Esta vez estamos respondiendo

    Podríamos hacer esto en nuestras cabezas fácilmente (¿verdad?), Pero si el problema es más complicado, necesitamos saber qué hacer.

    A la izquierda, multiplicamos nuestra cantidad desconocida por 5. Usaremos & quotX& quot por esta cantidad.

    Lo opuesto a multiplicar por 5 es dividir por 5. Entonces dividimos ambos lados por 5:

    COMPROBAR: 5 & times 7 = 35. Está bien.

    [Estas comprobaciones parecen tontas con ejemplos sencillos, pero es una muy buena idea para verificar sus soluciones para todos los problemas de ecuaciones que hace. Significa que puede dejar el problema sintiéndose bien porque tiene la respuesta correcta y, además, aprende más sobre cómo funciona la solución.]

    Ejemplo 3

    Esta vez necesitamos hacer 2 pasos para resolver la ecuación. Notamos que hay un 4 en la parte inferior de la fracción.

    Esto equivale a dividir por 4. Lo opuesto a dividir por 4 es multiplicar por 4. Así que lo hacemos primero:

    Cancelar los 4 de la izquierda da:

    En el paso intermedio cancelamos los 4, por lo que no nos queda ninguna fracción.

    Ahora necesitamos dividir ambos lados entre 3, ya que tenemos un & quot3 & times & quot en el lado izquierdo de la ecuación.

    Algunos países (como EE. UU.) Dejarán la respuesta como fracción simple (28/3), mientras que la práctica en otros países (como el Reino Unido y Australia) es expresar la respuesta como numeral mixto.

    Sustituyendo nuestra respuesta en el lado izquierdo da:

    Cancelar los 3 (que nos da 1) y el 28 con el 4 nos da 7:

    El lado derecho de la pregunta era 7, por lo que estamos seguros de que nuestra respuesta es correcta.

    Ejemplo 4

    Resuelve 5 y menos (X + 2) = 5X

    Primero, expandimos el soporte.

    Ahora reconocemos que es más fácil obtener todos los Xestá en el lado derecho, agregando X a ambos lados:

    Ahora divido ambos lados entre 6 y cambio los lados:

    Verificamos nuestra respuesta en ambos lados de la ecuación. Si funciona, debe ser la respuesta correcta.

    Ejemplo 5

    Resuelve 5X & menos 2 (X & menos 5) = 4X

    Restar "3x" de ambos lados e intercambiar lados da:

    LHS = `5 xx 10 - 2 (10 - 5) = 50 - 10 = 40`

    DERECHA = `4 xx 10 = 40` = IZQUIERDA.

    Ejemplo 6

    Si puedes, resuelve la ecuación

    & menos (7 & menos X) + 5 = X + 7

    & menos7 + X + 5 = X + 7

    Sustraer X de ambos lados:

    Simplifica el lado izquierdo:

    Esto no es posible, por lo que concluimos que no hay valores posibles para X.

    [Había un indicio en la pregunta de que podría estar pasando algo gracioso. Siempre tenga en cuenta que una ecuación puede no tener soluciones. Además, hay ocasiones en las que obtiene soluciones que no pueden funcionar, por lo que debe descartarlas. Encontramos estos ejemplos más adelante en Ecuaciones con radicales.]


    30 Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

    1. Escribe como una desigualdad: X tiene al menos 30.
      Si pasó por alto este problema, revise (Figura).
    2. Resolver
      Si pasó por alto este problema, revise (Figura).

    Resuelva aplicaciones con desigualdades lineales

    Muchas situaciones de la vida real nos obligan a resolver desigualdades. De hecho, las aplicaciones de la desigualdad son tan comunes que a menudo ni siquiera nos damos cuenta de que estamos haciendo álgebra. Por ejemplo, ¿por cuántos galones de gasolina se pueden poner en el automóvil? ¿20? ¿Es asequible el alquiler de un apartamento? ¿Hay suficiente tiempo antes de la clase para ir a almorzar, comer y regresar? ¿Cuánto dinero debería costar el regalo navideño de cada miembro de la familia sin exceder el presupuesto?

    El método que usaremos para resolver aplicaciones con desigualdades lineales es muy parecido al que usamos cuando resolvimos aplicaciones con ecuaciones. Leeremos el problema y nos aseguraremos de que se entiendan todas las palabras. A continuación, identificaremos lo que buscamos y asignaremos una variable para representarlo. Reexpresaremos el problema en una oración para que sea más fácil traducirlo en una desigualdad. Luego, resolveremos la desigualdad.

    Emma consiguió un nuevo trabajo y tendrá que mudarse. Su ingreso mensual será de 5.265 libras esterlinas. Para calificar para alquilar un apartamento, los ingresos mensuales de Emma deben ser al menos tres veces más altos que el alquiler. ¿Cuál es el alquiler más alto para el que calificará Emma?

    Paso 1. Leer el problema.
    Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. el alquiler más alto para el que Emma calificará
    Paso 3. Nombre Qué estamos buscando.
    Elija una variable para representar esa cantidad.

    Dejar la renta.
    Paso 4. Traducir en una desigualdad.
    Primero escribe una oración que proporcione la información para encontrarla.

    Los ingresos mensuales de Emma deben ser al menos tres veces el alquiler.
    Paso 5. Resuelve la desigualdad.

    Recordar, tiene el mismo significado que .
    Paso 6. Verificar la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    Un alquiler máximo de 1.755 libras esterlinas parece razonable para un ingreso de 5.625 libras esterlinas.
    Paso 7. Respuesta la pregunta con una oración completa. El alquiler máximo es de 1.755 €.

    Alan está cargando un palé con cajas que pesan 45 libras cada una. La paleta no puede soportar de manera segura más de 900 libras. ¿Cuántas cajas puede cargar con seguridad en el palet?

    No puede haber más de 20 cajas.

    El ascensor del edificio de apartamentos de Yehire tiene un letrero que dice que el peso máximo es de 2,100 libras. Si el peso promedio de una persona es de 150 libras, ¿cuántas personas pueden viajar con seguridad en el elevador?

    Un máximo de 14 personas pueden viajar con seguridad en el ascensor.

    A veces, una aplicación requiere que la solución sea un número entero, pero la solución algebraica de la desigualdad no es un número entero. En ese caso, debemos redondear la solución algebraica a un número entero. El contexto de la aplicación determinará si redondeamos hacia arriba o hacia abajo. Para verificar aplicaciones como esta, redondearemos nuestra respuesta a un número con el que sea fácil de calcular y nos aseguraremos de que ese número haga que la desigualdad sea verdadera.

    Dawn ganó una mini subvención de 4.000 libras esterlinas para comprar tabletas para su salón de clases. Las tabletas que le gustaría comprar cuestan 254,12 euros cada una, incluidos impuestos y envío. ¿Cuál es el número máximo de tabletas que puede comprar Dawn?

    Paso 1. Leer el problema.
    Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. la cantidad máxima de tabletas que Dawn puede comprar
    Paso 3. Nombre Qué estamos buscando.
    Elija una variable para representar esa cantidad.

    Dejar el número de tabletas.
    Paso 4. Traducir. Escribe una oración que dé la información para encontrarla.
    Traducir en una desigualdad.
    ? 254,12 veces el número de tabletas no es más de? 4.000.
    Paso 5. Resuelve la desigualdad.

    Pero debe ser un número entero de comprimidos, por lo que se redondea a 15.

    Paso 6. Verificar la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    Si se redondea el precio a 250 euros, 15 tabletas costarían 3750 euros.
    mientras que 16 tabletas serían 4.000 libras esterlinas. Por tanto, un máximo de 15 comprimidos en
    ? 254.12 parece razonable.
    Paso 7. Respuesta la pregunta con una oración completa. Dawn puede comprar un máximo de 15 comprimidos.

    Angie tiene 20 libras esterlinas para gastar en cajas de jugo para el picnic preescolar de su hijo. Cada paquete de cajas de jugo cuesta 2,63 €. ¿Cuál es el número máximo de paquetes que puede comprar?

    Daniel quiere sorprender a su novia con una fiesta de cumpleaños en su restaurante favorito. Tendrá un costo de 42,75 £ por persona para la cena, incluida la propina y los impuestos. Su presupuesto para la fiesta es de 500 libras esterlinas. ¿Cuál es el número máximo de personas que Daniel puede tener en la fiesta?

    Pete trabaja en una tienda de informática. Su paga semanal será una cantidad fija, 925 libras esterlinas o 500 libras esterlinas más el 12% de sus ventas totales. ¿Cuánto deberían ser sus ventas totales para que su opción de pago variable exceda la cantidad fija de? 925?

    Paso 1. Leer el problema.
    Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. las ventas totales necesarias para que su opción de pago variable supere la cantidad fija de 925?
    Paso 3. Nombre Qué estamos buscando.
    Elija una variable para representar esa cantidad.

    Dejar las ventas totales.
    Paso 4. Traducir. Escribe una oración que dé la información para encontrarla.
    Traducir en una desigualdad. Recuerda
    convierte el porcentaje a decimal.

    Paso 5. Resuelve la desigualdad.
    Paso 6. Verificar la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    Si redondeamos las ventas totales a 4.000 euros, vemos que
    , que es más de? 925.
    Paso 7. Respuesta la pregunta con una oración completa. Las ventas totales deben ser superiores a 3.541,67 euros.

    Tiffany acaba de graduarse de la universidad y su nuevo trabajo le pagará 20.000 euros al año más el 2% de todas las ventas. Quiere ganar al menos 100.000 euros al año. ¿Con qué ventas totales podrá lograr su objetivo?

    A Christian se le ha ofrecido un nuevo trabajo que paga 24.000 libras esterlinas al año más el 3% de las ventas. ¿Por qué ventas totales pagaría este nuevo trabajo más que su trabajo actual, que paga 60.000?

    Sergio y Lizeth tienen un presupuesto de vacaciones muy ajustado. Piensan alquilar un coche de una empresa que cobra 75 libras esterlinas por semana más 0,25 libras esterlinas por milla. ¿Cuántas millas pueden viajar y aún mantenerse dentro de su presupuesto de 200?

    Paso 1. Leer el problema.
    Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. la cantidad de millas que pueden recorrer Sergio y Lizeth
    Paso 3. Nombre Qué estamos buscando.
    Elija una variable para representar esa cantidad.

    Dejar el número de millas.
    Paso 4. Traducir. Escribe una oración que dé la información para encontrarla.

    Traducir en una desigualdad.
    ? 75 más 0,25 veces el número de millas es menor o igual a? 200.

    Paso 5. Resuelve la desigualdad.
    Paso 6. Verificar la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    Sí, .
    Paso 7. Escribe una oración que responde a la pregunta. Sergio y Lizeth pueden viajar 500 millas y aún mantenerse dentro del presupuesto.

    El plan telefónico de Taleisha le cuesta 28,80 euros al mes más 0,20 euros por mensaje de texto. ¿Cuántos mensajes de texto puede usar y mantener su factura telefónica mensual no más de 50?

    no más de 106 mensajes de texto

    La factura de calefacción de Rameen es de 5,42 libras esterlinas al mes más 1,08 libras esterlinas por termia. ¿Cuántas termias puede usar Rameen si quiere que su factura de calefacción sea un máximo de 87,50?

    Un objetivo común de la mayoría de las empresas es obtener beneficios. Ganancia es el dinero que queda cuando se han restado los gastos del dinero ganado. En el siguiente ejemplo, encontraremos la cantidad de trabajos que un pequeño empresario necesita hacer cada mes para obtener una cierta cantidad de ganancias.

    Elliot tiene un negocio de mantenimiento de jardines. Sus gastos mensuales son 1.100 libras esterlinas. Si cobra 60 libras por trabajo, ¿cuántos trabajos debe realizar para obtener una ganancia de al menos 4.000 libras al mes?

    Paso 1. Leer el problema.
    Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. la cantidad de trabajos que necesita Elliot
    Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Elija una variable para representarla. Dejar el número de trabajos.
    Paso 4. Traducir Escribe una oración que dé la información para encontrarla. ? 60 veces el número de puestos de trabajo menos? 1.100 es al menos? 4.000.
    Traducir en una desigualdad.
    Paso 5. Resuelve la desigualdad.
    Paso 6. Verificar la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    Si Elliot hiciera 90 trabajos, su beneficio sería , o . Esto es mas que .
    Paso 7. Escribe una frase que responda a la pregunta. Elliot debe tener al menos 85 trabajos.

    Caleb tiene un negocio de cuidado de mascotas. Cobra 32 libras por hora. Sus gastos mensuales son 2.272 libras esterlinas. ¿Cuántas horas debe trabajar para obtener una ganancia de al menos? 800 por mes?

    Felicity tiene un negocio de caligrafía. Cobra 2,50 euros por invitación de boda. Sus gastos mensuales son 650 libras esterlinas. ¿Cuántas invitaciones debe escribir para obtener una ganancia de al menos 2.800 por mes?

    al menos 1.380 invitaciones

    ¡A veces la vida se complica! Hay muchas situaciones en las que varias cantidades contribuyen al gasto total. Debemos asegurarnos de tener en cuenta todos los gastos individuales cuando resolvemos problemas como este.

    La mejor amiga de Brenda va a celebrar una boda en el destino y el evento durará 3 días. Brenda tiene un ahorro de 500 libras esterlinas y puede ganar 15 libras la hora cuidando niños. Espera pagar 350 libras esterlinas de pasaje aéreo, 375 libras esterlinas por comida y entretenimiento y 60 libras la noche por su parte de la habitación de hotel. ¿Cuántas horas debe cuidar a los niños para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

    Paso 1. Leer el problema.
    Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. la cantidad de horas que Brenda debe cuidar a los niños
    Paso 3. Nombre Qué estamos buscando.
    Elija una variable para representar esa cantidad.

    Dejar el número de horas.
    Paso 4. Traducir.
    Escribe una oración que dé la información para encontrarla.


    Traducir en una desigualdad.
    Los gastos deben ser menores o iguales a los ingresos.
    El costo del pasaje aéreo más el costo de la comida y el entretenimiento y
    la factura del hotel debe ser menor o igual al ahorro más
    la cantidad ganada cuidando niños.
    Paso 5. Resuelve la desigualdad.
    Paso 6. Verificar la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    Sustituimos 27 en la desigualdad.
    Paso 7. Escribe una oración que responde a la pregunta. Brenda debe cuidar a los niños por lo menos 27 horas.

    Malik está planeando un viaje de vacaciones de verano de 6 días. Tiene ahorros de 840 libras esterlinas y gana 45 libras esterlinas por hora por tutoría. El viaje le costará 525 libras esterlinas por pasaje aéreo, 780 libras esterlinas por comida y turismo y 95 libras por noche de hotel. ¿Cuántas horas debe ser tutor para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

    Josué quiere hacer un viaje por carretera de 10 días la próxima primavera. Le costará 180 libras la gasolina, 450 libras la comida y 49 libras la noche en un motel. Tiene 520 libras esterlinas en ahorros y puede ganar 30 libras esterlinas por cada camino de entrada quitando nieve. ¿Cuántos caminos de entrada debe excavar para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

    Conceptos clave

    • Resolver desigualdades
      1. Leer el problema.
      2. Identificar Qué estamos buscando.
      3. Nombre Qué estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
      4. Traducir. Escribe una oración que dé la información para encontrarla. Traducir en una desigualdad.
      5. Resolver la desigualdad.
      6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
      7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

    Ejercicios de sección

    La práctica hace la perfección

    Resuelva aplicaciones con desigualdades lineales

    En los siguientes ejercicios, resuelve.

    Mona está planeando la fiesta de cumpleaños de su hijo y tiene un presupuesto de 285 libras esterlinas. La zona de diversión cobra 19 euros por niño. ¿Cuántos hijos puede tener en la fiesta y mantenerse dentro de su presupuesto?

    Carlos está buscando apartamentos con tres de sus amigos. Quieren que el alquiler mensual no supere los 2360 libras esterlinas. Si los compañeros de cuarto dividen el alquiler en partes iguales entre los cuatro, ¿cuál es el alquiler máximo que pagará cada uno?

    Un taxi acuático tiene una carga máxima de 1.800 libras. Si el peso promedio de una persona es de 150 libras, ¿cuántas personas pueden viajar con seguridad en el taxi acuático?

    Marcela se está inscribiendo para sus clases universitarias, que cuestan 105 libras esterlinas por unidad. ¿Cuántas unidades puede tomar para tener un costo máximo de 1365?

    Arleen recibió una tarjeta de regalo de 20 libras esterlinas para la cafetería. Su bebida helada favorita cuesta 3,79 €. ¿Cuál es la cantidad máxima de bebidas que puede comprar con la tarjeta de regalo?

    A Teegan le gusta jugar al golf. Ha presupuestado 60 libras esterlinas el próximo mes para el campo de prácticas. Le cuesta 10,55 libras esterlinas por un balde de pelotas cada vez que va. ¿Cuál es el número máximo de veces que puede ir al campo de prácticas el próximo mes?

    Joni vende delantales de cocina en línea por 32,50 euros cada uno. ¿Cuántos delantales debe vender el próximo mes si quiere ganar al menos 1000?

    Ryan cobra a sus vecinos 17,50 euros por lavar el coche. ¿Cuántos coches debe lavar el próximo verano si su objetivo es ganar al menos? 1.500?

    A Keshad le pagan 2.400 libras esterlinas al mes más el 6% de sus ventas. Su hermano gana 3.300 libras al mes. ¿Por qué monto de las ventas totales será mayor el salario mensual de Keshad que el salario mensual de su hermano?

    Kimuyen necesita ganar 4.150 libras esterlinas al mes para poder pagar todos sus gastos. Su trabajo le paga 3475 libras esterlinas al mes más el 4% de sus ventas totales. ¿Cuál es el mínimo que deben tener las ventas totales de Kimuyen para que pueda pagar todos sus gastos?

    A Andre se le ha ofrecido un trabajo de nivel de entrada. La empresa le ofreció 48.000 libras esterlinas al año más el 3,5% de sus ventas totales. Andre sabe que el salario medio por este trabajo es de 62.000 libras esterlinas. ¿Cuáles deberían ser las ventas totales de Andre para que su salario sea al menos tan alto como el salario promedio por este trabajo?

    Nataly está considerando dos ofertas de trabajo. El primer trabajo le pagaría 83.000 euros al año. El segundo le pagaría 66.500 libras esterlinas más el 15% de sus ventas totales. ¿Cuáles deberían ser sus ventas totales para que su salario en la segunda oferta sea más alto que en la primera?

    La factura del agua de Jake es de 24,80 libras al mes más 2,20 libras por ccf (cien pies cúbicos) de agua. ¿Cuál es la cantidad máxima de ccf que Jake puede usar si quiere que su factura no sea más de? 60?

    El plan telefónico de Kiyoshi cuesta 17,50 libras esterlinas al mes más 0,15 libras esterlinas por mensaje de texto. ¿Cuál es el número máximo de mensajes de texto que Kiyoshi puede usar para que la factura del teléfono no supere los 56,50?

    El plan de TV de Marlon cuesta 49,99 € al mes más 5,49 € por película de estreno. ¿Cuántas películas de estreno puede ver si quiere mantener su factura mensual en un máximo de? 100?

    Kellen quiere alquilar una sala de banquetes en un restaurante para el baby shower de su prima. El restaurante cobra 350 libras esterlinas por la sala de banquetes más 32,50 libras esterlinas por persona para el almuerzo. ¿Cuántas personas puede tener Kellen en la ducha si quiere que el costo máximo sea? 1.500?

    Moshde tiene un negocio de peluquería desde su casa. Cobra 45 libras por un corte de pelo y un peinado. Sus gastos mensuales son? 960. Quiere poder depositar al menos 1.200 libras esterlinas al mes en el pedido de su cuenta de ahorros para abrir su propio salón. ¿Cuántos "estilos de corte y amplificación" debe hacer para ahorrar al menos 1.200 por mes?

    Noe instala y configura software en equipos domésticos. Cobra 125 libras por trabajo. Sus gastos mensuales son 1.600 libras esterlinas. ¿Cuántos puestos de trabajo debe realizar para obtener una ganancia de al menos 2.400?

    Katherine es chef personal. Cobra 115 libras por comida para cuatro personas. Sus gastos mensuales son 3.150 libras esterlinas. ¿Cuántas comidas para cuatro personas debe vender para obtener una ganancia de al menos 1.900?

    Melissa fabrica collares y los vende en línea. Cobra 88 euros por collar. Sus gastos mensuales son 3745? ¿Cuántos collares debe vender si quiere obtener una ganancia de al menos 1.650?

    Cinco funcionarios del gobierno estudiantil quieren ir a la convención estatal. Les costará 110 libras esterlinas para registrarse, 375 libras esterlinas para transporte y comida, y 42 libras esterlinas por persona para el hotel. Hay £ 450 presupuestados para la convención en la cuenta de ahorros del gobierno estudiantil. Pueden ganar el resto del dinero que necesitan haciendo un lavado de autos. Si cobran 5 euros por coche, ¿cuántos coches deben lavar para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

    Cesar está planeando un viaje de 4 días para visitar a su amigo en una universidad en otro estado. Le costará 198 libras por pasaje aéreo, 56 libras por transporte local y 45 libras por día para comida. Tiene ahorros de 189 libras esterlinas y puede ganar 35 libras esterlinas por cada césped que corta. ¿Cuántos céspedes debe cortar para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

    Alonzo trabaja como detallista de automóviles. Cobra 175 libras por coche. Planea mudarse de la casa de sus padres y alquilar su primer apartamento. Tendrá que pagar 120 libras esterlinas por las tarifas de solicitud, 950 libras esterlinas por el depósito de seguridad y el primer y último mes de alquiler a 1.140 libras esterlinas mensuales. Tiene 1.810 libras esterlinas en ahorros. ¿Cuántos coches debe detallar para tener suficiente dinero para alquilar el apartamento?

    Eun-Kyung trabaja como tutora y gana 60 libras esterlinas por hora. Tiene ahorros de 792 libras esterlinas. Está planeando una fiesta de aniversario para sus padres. Le gustaría invitar a 40 personas. La fiesta le costará 1.520 libras esterlinas para comida y bebida y 150 libras para el fotógrafo. Ella también tendrá un favor para cada uno de los invitados, y cada favor tendrá un costo de £ 7.50. ¿Cuántas horas debe enseñar para tener suficiente dinero para la fiesta?

    Matemáticas cotidianas

    Carga máxima en un escenario En 2014, el escenario de una escuela secundaria se derrumbó en Fullerton, California, cuando 250 estudiantes subieron al escenario para el final de una producción musical. Dos docenas de estudiantes resultaron heridos. El escenario podría soportar un máximo de 12,750 libras. Si se supone que el peso promedio de un estudiante es de 140 libras, ¿cuál es el número máximo de estudiantes que podrían estar en el escenario con seguridad?

    Peso máximo en un barco En 2004, un taxi acuático se hundió en el puerto de Baltimore y cinco personas se ahogaron. El taxi acuático tenía una capacidad máxima de 3500 libras (25 personas con un peso promedio de 140 libras). El peso promedio de las 25 personas en el taxi acuático cuando se hundió era de 168 libras por persona. ¿Cuál debería haber sido el número máximo de personas de este peso?

    Presupuesto de boda Adele y Walter encontraron el lugar perfecto para la recepción de su boda. El costo es de 9.850 libras esterlinas para un máximo de 100 invitados, más 38 dólares por cada invitado adicional. ¿Cuántos invitados pueden asistir si Adele y Walter quieren que el costo total no supere los? 12,500?

    Presupuesto de ducha Penny está planeando un baby shower para su nuera. El restaurante cobra 950 libras esterlinas por hasta 25 personas, más 31,95 libras esterlinas por cada huésped adicional. ¿Cuántos invitados pueden asistir si Penny quiere que el costo total no supere los? 1,500?

    Ejercicios de escritura

    Encuentre la factura de teléfono del último mes y el salario por hora que le pagan en su trabajo. (Si no tiene un trabajo, use el salario por hora que realmente le pagarían si tuviera un trabajo). Calcule la cantidad de horas de trabajo que le tomaría ganar al menos suficiente dinero para pagar su factura telefónica escribiendo un desigualdad apropiada y luego resolverla.

    Averigüe cuántas unidades le quedan, después de este período, para lograr su meta universitaria y calcule la cantidad de unidades que puede tomar en cada período universitario. Calcula la cantidad de términos que te tomará alcanzar tu meta universitaria escribiendo una desigualdad apropiada y luego resolviéndola.

    Autocomprobación

    Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Ⓑ ¿Qué le dice esta lista de verificación sobre su dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomará para mejorar?

    Ejercicios de repaso del capítulo 3

    3.1 Uso de una estrategia de resolución de problemas

    Aborde los problemas verbales con una actitud positiva

    En los siguientes ejercicios, reflexione sobre su enfoque de los problemas planteados.

    ¿Cómo ha cambiado su actitud hacia la resolución de problemas planteados como resultado de trabajar en este capítulo? Explicar.

    ¿Le ayudó la estrategia de resolución de problemas a resolver los problemas de palabras de este capítulo? Explicar.

    Utilice una estrategia de resolución de problemas para problemas de palabras

    En los siguientes ejercicios, resuelva usando la estrategia de resolución de problemas para problemas de palabras. Recuerde escribir una oración completa para responder cada pregunta.

    Tres cuartas partes de las personas en un concierto son niños. Si hay 87 niños, ¿cuál es el número total de personas en el concierto?

    Hay nueve saxofonistas en la banda. El número de saxofonistas es uno menos del doble del número de tuba. Calcula el número de jugadores de tuba.

    Resolver problemas numéricos

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada problema verbal de números.

    La suma de un número y tres es cuarenta y uno. Encuentra el número.

    El doble de la diferencia de un número y diez es cincuenta y cuatro. Encuentra el número.

    Un número es nueve menos que otro. Su suma es veintisiete menos. Encuentra los números.

    Un número es once más que otro. Si su suma se incrementa en diecisiete, el resultado es 90. Halla los números.

    Un número es dos más que cuatro veces otro. Su suma es Encuentra los números.

    La suma de dos enteros consecutivos es Encuentra los números.

    Encuentre tres enteros consecutivos cuya suma sea

    Encuentra tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 234.

    Encuentra tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 51.

    Koji tiene 5.502 libras esterlinas en su cuenta de ahorros. Esto es 30 libras menos de seis veces la cantidad en su cuenta corriente. ¿Cuánto dinero tiene Koji en su cuenta corriente?


    ¿Cómo resolver problemas de mezcla o aligación de aptitud?

    Puede resolver fácilmente todo tipo de preguntas de Aptitud basadas en Aligación o Mezcla practicando los ejercicios de tipo objetivo que se detallan a continuación, también obtenga métodos abreviados para resolver problemas de Aligación de Aptitud o Mezcla.

    Ejercicio :: Aligación o mezcla - Preguntas generales

    Se llena un recipiente con líquido, 3 partes de los cuales son agua y 5 partes de jarabe. ¿Qué cantidad de la mezcla debe extraerse y reemplazarse con agua para que la mezcla sea mitad agua y mitad almíbar?

    Suponga que el recipiente contiene inicialmente 8 litros de líquido.

    Dejar X litros de este líquido se sustituyen por agua.

    Cantidad de agua en nueva mezcla = 3 - 3X + X litros
    8

    Cantidad de almíbar en nueva mezcla = 5 - 5X litros
    8

    3 - 3X + X = 5 - 5X
    8 8

    5X + 24 = 40 - 5X

    Entonces, parte de la mezcla reemplazada = 8 X 1 = 1 .
    5 8 5

    Té por valor de Rs. 126 por kg y Rs. 135 por kg se mezclan con una tercera variedad en la proporción 1: 1: 2. Si la mezcla vale Rs. 153 por kg, el precio de la tercera variedad por kg será:

    Dado que la primera y la segunda variedad se mezclan en proporciones iguales.

    Entonces, su precio promedio = Rs. 126 + 135 = Rs. 130,50
    2

    Entonces, la mezcla se forma mezclando dos variedades, una a Rs. 130,50 por kg y el otro en, digamos, Rs. X por kg en la proporción 2: 2, es decir., 1: 1. Tenemos que encontrar X.

    Por la regla de la aligación, tenemos:

    Costo de 1 kg de 1er tipo Costo de 1 kg de té de 2do tipo
    Rs. 130,50 Precio medio
    Rs. 153
    Rs. X
    (X - 153) 22.50

    Una lata contiene una mezcla de dos líquidos A y B es la proporción 7: 5. Cuando se extraen 9 litros de mezcla y la lata se llena con B, la proporción de A y B se convierte en 7: 9. ¿Cuántos litros de líquido A estaba contenido por la lata inicialmente?

    Suponga que la lata contiene inicialmente 7X y 5X de las mezclas A y B respectivamente.

    Cantidad de A en la mezcla que queda = 7X - 7 x 9 litros = 7X - 21 litros.
    12 4

    Cantidad de B en la mezcla que queda = 5X - 5 x 9 litros = 5X - 15 litros.
    12 4

    28X - 21 = 7
    20X + 21 9

    252X - 189 = 140X + 147

    Entonces, la lata contenía 21 litros de A.

    Un vendedor de leche tiene 2 latas de leche. El primero contiene un 25% de agua y el resto leche. El segundo contiene 50% de agua. ¿Cuánta leche debe mezclar de cada uno de los recipientes para obtener 12 litros de leche de manera que la proporción de agua a leche sea de 3: 5?