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37: Factorizar el máximo común divisor (MCD) - Matemáticas


37: Factorizar el máximo común divisor (MCD) - Matemáticas

37: Factorizar el máximo común divisor (MCD) - Matemáticas

Cuando estudiamos fracciones, aprendemos que el máximo común divisor (MCD) de dos números es el número más grande que se divide uniformemente en ambos números. Por ejemplo, [látex] 4 [/ látex] es el MCD de [látex] 16 [/ látex] y [látex] 20 [/ látex] porque es el número más grande que se divide uniformemente en ambos [látex] 16 [/ látex ] y [látex] 20 [/ látex] El MCD de polinomios funciona de la misma manera: [látex] 4x [/ látex] es el MCD de [látex] 16x [/ látex] y [látex] 20^ <2> [/ latex] porque es el polinomio más grande que se divide uniformemente en [latex] 16x [/ latex] y [latex] 20^ <2> [/ látex].

Al factorizar una expresión polinomial, nuestro primer paso debería ser verificar si hay un MCD. Busque el MCD de los coeficientes y luego busque el MCD de las variables.

Una nota general: Máximo factor común

El máximo común divisor (GCF) de polinomios es el polinomio más grande que se divide uniformemente en los polinomios.

Cómo: Dada una expresión polinomial, factoriza el máximo común denominador.

  1. Identifica el MCD de los coeficientes.
  2. Identifica el MCD de las variables.
  3. Combine para encontrar el MCD de la expresión.
  4. Determina por qué se debe multiplicar el MCD para obtener cada término de la expresión.
  5. Escribe la expresión factorizada como el producto del MCD y la suma de los términos por los que necesitamos multiplicar.

Ejemplo 1: Factorizar el máximo común divisor

Solución

Primero, encuentre el MCD de la expresión. El MCD de [látex] 6,45 [/ látex] y [látex] 21 [/ látex] es [látex] 3 [/ látex]. El MCD de [látex]^<3>,^ <2> [/ latex], y [latex] x [/ latex] es [latex] x [/ latex]. (Tenga en cuenta que el MCD de un conjunto de expresiones en la forma [látex]^[/ latex] siempre será el exponente de menor grado). Y el MCD de [latex]^<3>,^ <2> [/ latex], y [latex] y [/ latex] es [latex] y [/ latex]. Combine estos para encontrar el MCD del polinomio, [látex] 3xy [/ látex].

A continuación, determine por qué se debe multiplicar el MCD para obtener cada término del polinomio. Encontramos que [látex] 3xy left (2^<2>^ <2> right) = 6^<3>^ <3>, 3xy left (15xy right) = 45^<2>^ <2> [/ latex] y [latex] 3xy left (7 right) = 21xy [/ latex].

Finalmente, escribe la expresión factorizada como el producto del MCD y la suma de los términos por los que necesitamos multiplicar.

Análisis de la solución

Después de factorizar, podemos verificar nuestro trabajo multiplicando. Utilice la propiedad distributiva para confirmar que [látex] left (3xy right) left (2^<2>^ <2> + 15xy + 7 right) = 6^<3>^<3>+45^<2>^ <2> + 21xy [/ látex].

Pruébelo 1

Factoriza [látex] x left (^ <2> -a right) +6 left (^ <2> -a right) [/ latex] sacando el GCF.


Recursos matemáticos de PCC SLC

El proceso utilizado para determinar la forma factorizada de un polinomio dado depende de la naturaleza del polinomio. Por ejemplo, las estrategias utilizadas para los trinomios (polinomios con tres términos) son completamente diferentes a las estrategias utilizadas para los binomios (polinomios con dos términos).

Una cosa que es común a todas las factorizaciones es que el primer paso es identificar el máximo factor común (MCD) de los términos en el polinomio y, si el MCD no es (1 ), proceda a factorizar el MCD.

Por ejemplo, podemos ver que (2 ) es un factor de ambos términos de la expresión (2x + 10 text <,> ) por lo que el primer paso para factorizar (2x + 10 ) es "tomar out "el factor de (2 text <.> ) (Nota al margen: el autor prefiere la frase" eliminar el factor "sobre la frase" factorizar el factor "usando la palabra" factor "como verbo y un sustantivo en la misma oración simplemente parece incorrecto).

Determinar el MCD para factores variables es bastante sencillo. Sigue una estrategia.

  1. Cualquier variable que aparece en cada término está en el MCD y solo las variables que ocurren en cada término están en el MCD.
  2. El exponente de cualquier variable dada en el MCD es el exponente más pequeño que ocurre en la variable en cualquier término dado. Al tomar esta determinación, debemos reconocer que una expresión como " (x )" puede considerarse que tiene un exponente de (1 text <.> )
Ejemplo 4.2.1.

Determinar el máximo factor común de las expresiones.

El máximo común divisor (también llamado máximo común divisor) de (12 text <,> ) (30 text <,> ) y (24 ) es (6 text <.> )

La variable (x ) aparece en las tres expresiones, por lo que aparece en el MCD. El exponente más pequeño que ocurre en (x ) es (5 text <,> ) por lo que es su exponente en el MCD.

La variable (y ) aparece en las tres expresiones, por lo que aparece en el MCD. El exponente más pequeño que ocurre en (y ) es (1 text <,> ) por lo que es su exponente en el MCD.

La variable (z ) no aparece en al menos una de las expresiones, por lo que no aparece en el MCD.

En resumen, el MCD es (6x ^ 5y text <.> )

Puede utilizar la figura 4.2.2 para practicar la determinación del máximo factor común de varias expresiones.

Exploración 4.2.1.

Determinemos y saquemos el MCD de la expresión

Las variables que ocurren en los tres términos son (x ) y (y text <.> ) El exponente más pequeño en (x ) es (3 ) y el exponente más pequeño en (y ) es (el oculto) (1 text <,> ) entonces el MCD es (x ^ 3y text <.> ) Sacando el MCD tenemos

El proceso de pensamiento que utilicé para determinar el factor ((y ^ 2z ^ 7 + x-x ^ 4z) ) se describe a continuación.

  1. Saqué tres factores de (x ) y un factor de (y ) del primer término, (x ^ 3y ^ 3z ^ 7 text <.> ) Entonces, lo que quedó atrás no fueron factores de (x text <,> ) dos factores de (y text <,> ) y los siete factores de (z text <.> )
  2. Saqué tres factores de (x ) y un factor de (y ) del término medio, (x ^ 4y text <,> ) así que todo lo que quedó atrás fue un solo factor de ( x text <.> )
  3. Saqué tres factores de (x ) y un factor de (y ) del último término, (x ^ 7yz text <,> ) así que dejé cuatro factores (x ) y el único factor de (z text <.> )

Una de las mejores cosas de los problemas de factores es que siempre puede verificar su respuesta mediante expansión. Es decir, puedes confirmar la igualdad

Cuando se trata de determinar el MCD de los coeficientes de los términos, los números suelen ser lo suficientemente pequeños como para que pueda "averiguarlo". Recuerde que su objetivo es determinar el mayor número entero que se divide uniformemente en cada coeficiente. Cuando decimos "dividir uniformemente" queremos decir que no queda resto después de realizar la división. Una vez que crea que ha determinado el MCD, sáquelo (junto con los factores variables relevantes) y asegúrese de que no queden factores comunes para cada uno de los coeficientes.

Hay algunas herramientas que puede utilizar para ayudarlo a determinar si ciertos números enteros se dividen uniformemente en un número entero determinado.

Cada una de las siguientes declaraciones son declaraciones "si y sólo si" que encuentro más fáciles de recordar si se expresan simplemente en forma afirmativa. Por ejemplo, en lugar de decir "un número entero es divisible por (2 ) si y solo si termina en un dígito par" Yo digo ", cualquier número entero que termine en un dígito par es divisible por (2 text <. > ) "Además de esa regla, tenemos lo siguiente.

  • Si (3 ) se divide uniformemente en la suma de los dígitos, entonces (3 ) se divide uniformemente en el número original. Por ejemplo, sé que (3 ) se divide uniformemente en (11,874 ) porque (1 + 1 + 8 + 7 + 4 = 21 ) y (3 ) se divide uniformemente en (21 text < .> ) A la inversa, sé que (3 ) no se divide uniformemente en (2,437 ) porque (2 + 4 + 3 + 7 = 16 ) y (3 ) no se divide uniformemente en (16 texto <.> )
  • Si (4 ) se divide uniformemente en los dos últimos dígitos del número, entonces se divide uniformemente en el número completo. Por ejemplo, (4 ) divide uniformemente en (1,302,824 ) pero (4 ) no divide uniformemente en (226,734 text <.> )
  • Los números que terminan en (0 ) o (5 ) son divisibles por (5 text <.> )
  • Si (9 ) se divide uniformemente en la suma de los dígitos, entonces (9 ) se divide uniformemente en el número original. Por ejemplo, sé que (9 ) se divide uniformemente en (41,274 ) porque (4 + 1 + 2 + 7 + 4 = 18 ) y (9 ) se divide uniformemente en (18 text < .> ) A la inversa, sé que (9 ) no se divide uniformemente en (11,874 ) porque (1 + 1 + 8 + 7 + 4 = 21 ) y (9 ) no divide uniformemente en (21 text <.> )

Si bien existen trucos para otros números, la mayoría de las personas los encuentran demasiado engorrosos para recordarlos. Si es bueno recordando las reglas, puede intentar buscarlas en línea.

Cuando el primer término del polinomio tiene un coeficiente negativo, tendemos a factorizar el signo negativo junto con el MCD. Por ejemplo, sería estándar factorizar (- 12x ^ 2y + 24x ^ 2 + 18x ^ 3 ) de la siguiente manera.

Una nota final. Un error muy común es escribir muy pocos términos al factorizar una expresión donde el MCD resulta ser un término de la expresión original. Por ejemplo, considere el polinomio (6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x text <.> ) Ojalá reconozca que el MCD de los términos es (2x text <.> ) Con eso, un error común es escribir

Una forma de reconocer que no puede ser correcto es expandir la factorización propuesta.

Oh, oh, nos falta un término, ¿dónde está " (+ 2x )"? ¡Olvidamos reservarle un lugar! Siempre que saque el MCD, la expresión dejada entre paréntesis debe tener tantos términos como el polinomio original. En este caso, olvidamos un término de (+ 1 ) de modo que el último término de la expansión es (+ 2x text <.> ) Es decir:


Primero encontraremos la factorización prima de 18 y 37. Después, calcularemos los factores de 18 y 37 y encontraremos el mayor factor común.

Paso 1: Factorización prima de 18

Los factores primos de 18 son 2, 3. Factorización prima de 18 en forma exponencial es:

Paso 2: Factorización prima de 37

Los factores primos de 37 son 37. Factorización prima de 37 en forma exponencial es:

Paso 3: factores de 18

Lista de factores enteros positivos de 18 que dividen a 18 sin resto.

Paso 4: Factores de 37

Lista de factores enteros positivos de 37 que divide a 18 sin resto.

Paso final: mayor número de factor común

Encontramos los factores y la factorización prima de 18 y 37. El mayor número de factor común es el GCF número.
Entonces el máximo común denominador 18 y 37 es 1.


La factorización prima y la enumeración de factores para encontrar el MCD pueden volverse tediosos rápidamente a medida que los números aumentan. El algoritmo de Euclid para encontrar el GCF es uno de varios algoritmos más eficientes para encontrar el GCF.

El algoritmo de Euclides es un algoritmo que involucra una división larga que se basa en el principio de que el MCD de dos números no cambia si el número más grande se reemplaza con su diferencia con el número más pequeño. Entonces, GCF (18, 34) es lo mismo que GCF (34-18, 18) o GCF (16, 18). No entraremos en detalles para demostrar por qué funciona el algoritmo euclidiano, pero para usar el algoritmo para encontrar el GCF, siga estos pasos:

  1. Divida el número más grande por el número más pequeño. Si el resto es 0, el divisor es el MCD. Si no, continua al siguiente paso.
  2. Divida el número más pequeño (el divisor anterior) por el resto. Si el nuevo resto es 0, el divisor es el MCD.
  3. Continúe el proceso de dividir el divisor anterior por el resto hasta que no quede resto. El divisor que da como resultado un resto de 0 es el MCD de los dos números originales.

Tenga en cuenta que el cociente realmente no importa para este algoritmo, y no estamos completando el problema de división larga original real.

Después de dividir 4 veces, el resto es 0 y el último divisor es 6. Por lo tanto, según el algoritmo, GCF (114, 288) = 6. Esto se puede probar dividiendo 114 y 288 por 6:

19 y 48 no comparten ningún factor común, lo que confirma que 6 es el MCD de 114 y 288.

Este algoritmo también se puede utilizar para encontrar el MCD de más de 2 números al encontrar el MCD entre los dos primeros números y luego calcular el MCD del resultado y el siguiente número. Esto se puede escribir como:


Calculadora de factor común más grande

Proporcione números separados por una coma "," y haga clic en el botón "Calcular" para encontrar el MCD.

¿Cuál es el máximo común divisor (MCD)?

En matemáticas, el máximo común divisor (MCD), también conocido como el máximo común divisor, de dos (o más) números enteros distintos de cero a y B, es el número entero positivo más grande por el que se pueden dividir ambos números enteros. Comúnmente se denota como GCF (a, b). Por ejemplo, GCF (32, 256) = 32.

Método de factorización prima

Hay varias formas de encontrar el máximo factor común de números enteros dados. Uno de estos implica calcular las factorizaciones primas de cada número entero, determinar qué factores tienen en común y multiplicar estos factores para encontrar el MCD. Consulte el ejemplo siguiente.

EX: MCD (16, 88, 104)
16 = 2 × 2 × 2 × 2
88 = 2 × 2 × 2 × 11
104 = 2 × 2 × 2 × 13
MCD (16, 88, 104) = 2 & # 215 2 & # 215 2 = 8

La factorización prima solo es eficiente para valores enteros más pequeños. Valores mayores harían que la factorización prima de cada uno y la determinación de los factores comunes fueran mucho más tediosas.

Algoritmo euclidiano

Otro método utilizado para determinar el GCF implica el uso del algoritmo euclidiano. Este método es mucho más eficiente que el uso de factorización prima. El algoritmo euclidiano utiliza un algoritmo de división combinado con la observación de que el MCD de dos números enteros también puede dividir su diferencia. El algoritmo es como sigue:

MCD (a, a) = a
MCD (a, b) = MCD (a-b, b), cuando a> b
MCD (a, b) = MCD (a, b-a), cuando b> a

  1. Dados dos enteros positivos, a yb, donde a Es mas grande que B, reste el número menor B del número mayor a, para llegar al resultado C.
  2. Continuar restando B desde a hasta el resultado C es más pequeña que B.
  3. Utilizar B como el nuevo número grande y reste el resultado final C, repitiendo el mismo proceso que en el Paso 2 hasta que el resto sea 0.
  4. Una vez que el resto es 0, el MCD es el resto del paso anterior al resultado cero.

En el ejemplo anterior, se puede ver que GCF (268442, 178296) = 2. Si hubiera más enteros presentes, se realizaría el mismo proceso para encontrar el MCD del entero posterior y el MCD de los dos enteros anteriores. En referencia al ejemplo anterior, si en cambio el valor deseado fuera GCF (268442, 178296, 66888), después de haber encontrado que GCF (268442, 178296) es 2, el siguiente paso sería calcular GCF (66888, 2). En este caso particular, está claro que el GCF también sería 2, dando el resultado de GCF (268442, 178296, 66888) = 2.


El máximo común divisor (GCF) para un polinomio es el monomio más grande que es un factor de (divide) cada término del polinomio.

Nota: El MCD debe ser un factor de TODOS término en el polinomio.

Eche un vistazo al siguiente diagrama:

Antes de comenzar, puede resultarle útil repasar la lección Dividir monomios. Necesitarás dividir monomios para factorizar polinomios.

Echemos un vistazo a un par de ejemplos.


Álgebra: mayores factores comunes

El máximo común divisor (MCD) de un polinomio es el monomio más grande que se divide uniformemente en cada término. Es muy similar al máximo factor común que calculó, excepto que los MCD polinomiales generalmente contienen una o más variables.

A continuación, se explica cómo calcular el MCD de un polinomio:

Predicar con el ejemplo

Factorización es el proceso de devolver un producto polinomial a sus piezas originales sin multiplicar, llamado factores. La técnica más simple para factorizar implica identificar un polinomio máximo común divisor, el monomio más grande que se divide uniformemente en cada uno de los términos del polinomio.

  1. Encuentra el MCD de los coeficientes del polinomio. Este será el coeficiente del MCD del polinomio.
  2. Identificar potencias variables comunes. Mira las variables en cada término del polinomio. El MCD debe contener la mayor potencia posible de cada variable. Aquí está el truco: cada término debe contener la variable elevada a al menos ese exponente.
  3. Multiplicar. El producto de los pasos 1 y 2 anteriores es el MCD del polinomio.

Una vez que haya encontrado el MCD del polinomio, puede factorizar ese polinomio. Simplemente escriba el MCD seguido de un par de paréntesis. Dentro de esos paréntesis, debe enumerar lo que queda de cada término polinomial una vez que lo divide por el MCD. En otras palabras, los paréntesis muestran el polinomio con el MCD "succionado".

Ejemplo 1: Factoriza el polinomio 6X 2 y 3 - 12xy 2 .

Solución: Empiece por encontrar el MCD del polinomio. Su coeficiente será 6, el MCD de 6 y 12. Para determinar su parte variable, pregúntese: "¿Cuál es el número máximo de cada variable que está contenida en cada término?" (Si eso no funciona, pregúntate: "¿Por qué traté de descifrar el álgebra, de todos modos? ¡Me está chupando las ganas de vivir!" Y agita los brazos en el aire. No te ayudará a resolver el problema. problema, pero definitivamente te sentirás mejor.) Mira las x, el primer término está al cuadrado, por lo que tiene dos, pero el segundo término solo tiene uno. Por lo tanto, el número más grande contenido por ambos es 1, y el MCD contendrá x elevado a 1.

Por otro lado, ambos términos contienen al menos dos y's, por lo que el GCF también contendrá un y 2. Junte las tres piezas para obtener un MCD de 6xy 2. Ahora, divida cada término por el MCD.

No es necesario utilizar una división larga para obtener esas respuestas. Empiece por dividir los coeficientes. En el primer término, 6 6 = 1, y en el segundo, -12 6 = -2. Luego, aplica la ley exponencial que establece X a X B = X a - B a cada término. (Reste la potencia del denominador de la potencia del numerador para cada variable coincidente). Por ejemplo, en el primer término, obtendrá X 2 - 1 = X 1 = X y y 3-2 = y 1 = y.

Tienes problemas

Problema 1: Factoriza el polinomio 9X 5 y 2 + 3X 4 y 3 - 6X 3 y 7 .

Ya casi terminas. La forma factorizada del polinomio original será igual al MCD multiplicado por la forma dividida de los términos que acaba de calcular. Simplemente escriba la forma dividida de los términos entre paréntesis y multiplique toda esa cantidad por el MCD.

Es fácil verificar su respuesta. Solo distribuye los 6xy 2 término a través del paréntesis, y debería terminar con el problema original.

Extraído de The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 por W. Michael Kelley. Todos los derechos reservados, incluido el derecho de reproducción total o parcial en cualquier forma. Usado por acuerdo con Libros Alfa, miembro de Penguin Group (USA) Inc.


Ver el vídeo: GCF to Factor a Polynomial (Noviembre 2021).