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5.10: Teorema de Stokes - Matemáticas

5.10: Teorema de Stokes - Matemáticas


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Objetivos de aprendizaje

  • Explica el significado del teorema de Stokes.
  • Utilice el teorema de Stokes para evaluar una integral de línea.
  • Utilice el teorema de Stokes para calcular una integral de superficie.
  • Usa el teorema de Stokes para calcular un rizo.

En esta sección, estudiamos el teorema de Stokes, una generalización de dimensiones superiores del teorema de Green. Este teorema, como el Teorema fundamental para integrales de línea y el teorema de Green, es una generalización del Teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores. El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie vectorial sobre la superficie (S ) en el espacio con una integral de línea alrededor del límite de (S ). Por lo tanto, al igual que los teoremas anteriores, el teorema de Stokes puede usarse para reducir una integral sobre un objeto geométrico (S ) a una integral sobre el límite de (S ). Además de permitirnos traducir entre integrales de línea e integrales de superficie, el teorema de Stokes conecta los conceptos de rizo y circulación. Además, el teorema tiene aplicaciones en mecánica de fluidos y electromagnetismo. Usamos el teorema de Stokes para derivar la ley de Faraday, un resultado importante que involucra campos eléctricos.

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo de (curl , vecs {F} ) a través de la superficie (S ) conociendo información solo sobre los valores de ( vecs {F} ) a lo largo del límite de (S). A la inversa, podemos calcular la integral de línea del campo vectorial ( vecs {F} ) a lo largo del límite de la superficie (S ) traduciendo a una integral doble de la curva de ( vecs {F} ) sobre (S).

Sea (S ) una superficie lisa orientada con un vector normal unitario ( vecs {N} ). Además, suponga que el límite de (S ) es una curva cerrada simple (C ). La orientación de (S ) induce la orientación positiva de (C ) si, al caminar en la dirección positiva alrededor de (C ) con la cabeza apuntando en la dirección de ( vecs {N} ) , la superficie siempre está a su izquierda. Con esta definición en su lugar, podemos afirmar Teorema de Stokes.

Teorema ( PageIndex {1} ): Teorema de Stokes

Sea (S ) una superficie orientada suave a trozos con un límite que es una curva cerrada simple (C ) con orientación positiva (Figura ( PageIndex {1} )). Si ( vecs {F} ) es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene (S ), entonces

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs S. label {Stokes1} ]

Suponga que la superficie (S ) es una región plana en el plano (xy ) - con orientación hacia arriba. Entonces el vector normal unitario es ( vecs {k} ) y la integral de superficie

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} ]

es en realidad la integral doble

[ iint_S curl , vecs {F} cdot vecs {k} , dA. ]

En este caso especial, el teorema de Stokes da

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot vecs {k} , dA. ]

Sin embargo, esta es la forma de flujo del teorema de Green, que nos muestra que el teorema de Green es un caso especial del teorema de Stokes. El teorema de Green solo puede manejar superficies en un plano, pero el teorema de Stokes puede manejar superficies en un plano o en el espacio.

La prueba completa del teorema de Stokes está más allá del alcance de este texto. Observamos una explicación intuitiva de la verdad del teorema y luego vemos la prueba del teorema en el caso especial de que la superficie (S ) es una porción de una gráfica de una función, y (S ), el límite de (S ) y ( vecs {F} ) son bastante dóciles.

Prueba

Primero, miramos una demostración informal del teorema. Esta demostración no es rigurosa, pero está destinada a dar una idea general de por qué el teorema es verdadero. Sea (S ) una superficie y sea (D ) una pequeña parte de la superficie de modo que (D ) no comparta ningún punto con el límite de (S ). Elegimos que (D ) sea lo suficientemente pequeño como para que pueda aproximarse mediante un cuadrado orientado (E ). Deje que (D ) herede su orientación de (S ), y dé a (E ) la misma orientación. Este cuadrado tiene cuatro lados; denotarlos (E_l, , E_r, , E_u ) y (E_d ) para los lados izquierdo, derecho, arriba y abajo, respectivamente. En el cuadrado, podemos usar la forma de flujo del teorema de Green:

[ int_ {E_l + E_d + E_r + E_u} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_E curl , vecs {F} cdot vecs {N} , d vecs { S} = iint_E curl , vecs {F} cdot d vecs {S}. ]

Para aproximar el flujo sobre toda la superficie, agregamos los valores del flujo en los cuadrados pequeños que se aproximan a las partes pequeñas de la superficie (Figura ( PageIndex {2} )).

Según el teorema de Green, el flujo a través de cada cuadrado aproximado es una integral de línea sobre su límite. Sea (F ) un cuadrado aproximado con una orientación heredada de (S ) y con un lado derecho (E_l ) (entonces (F ) está a la izquierda de (E )). Sea (F_r ) el lado derecho de (F ); luego, (E_l = - F_r ). En otras palabras, el lado derecho de (F ) es la misma curva que el lado izquierdo de (E ), simplemente orientado en la dirección opuesta. Por lo tanto,

[ int_ {E_l} vecs F cdot d vecs r = - int_ {F_r} vecs F cdot d vecs r. sin número]

A medida que sumamos todos los flujos sobre todos los cuadrados aproximándose a la superficie (S ), las integrales de línea

[ int_ {E_l} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

y

[ int_ {F_r} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

se anulan entre sí. Lo mismo ocurre con las integrales de línea sobre los otros tres lados de (E ). Estas tres integrales de línea se cancelan con la integral de línea del lado inferior del cuadrado sobre (E ), la integral de línea sobre el lado izquierdo del cuadrado a la derecha de (E ) y la integral de línea sobre el lado superior del cuadrado debajo de (E ) (Figura ( PageIndex {3} )). Después de que ocurra toda esta cancelación en todos los cuadrados aproximados, las únicas integrales de línea que sobreviven son las integrales de línea sobre los lados que se aproximan al límite de (S ). Por lo tanto, la suma de todos los flujos (que, según el teorema de Green, es la suma de todas las integrales de línea alrededor de los límites de los cuadrados aproximados) se puede aproximar mediante una integral de línea sobre el límite de (S ). En el límite, a medida que las áreas de los cuadrados aproximados van a cero, esta aproximación se acerca arbitrariamente al flujo.

Veamos ahora una demostración rigurosa del teorema en el caso especial de que (S ) es la gráfica de la función (z = f (x, y) ), donde (x ) y (y ) varían sobre una región acotada y simplemente conectada (D ) de área finita (Figura ( PageIndex {4} )). Además, suponga que (f ) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden. Sea (C ) el límite de (S ) y (C ') el límite de (D ). Entonces, (D ) es la "sombra" de (S ) en el plano y (C ') es la "sombra" de (C ). Suponga que (S ) está orientado hacia arriba. La orientación en sentido antihorario de (C ) es positiva, al igual que la orientación en sentido antihorario de (C '). Sea ( vecs F (x, y, z) = langle P, Q, R rangle ) un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.

Tomamos la parametrización estándar de (S ,: , x = x, , y = y, , z = g (x, y) ). Los vectores tangentes son ( vecs t_x = langle 1,0, g_x rangle ) y ( vecs t_y = langle 0,1, g_y rangle ), y por lo tanto ( vecs t_x times vecs t_y = langle -g_x, , -g_y, , 1 rangle ).

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} = iint_D [- (R_y - Q_z) z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, sin número]

donde todas las derivadas parciales se evalúan en ((x, y, g (x, y)) ), lo que hace que el integrando dependa solo de (x ) y (y ). Suponga que ( langle x (t), , y (t) rangle, , a leq t leq b ) es una parametrización de (C '). Entonces, una parametrización de (C ) es ( langle x (t), , y (t), , g (x (t), , y (t)) rangle, , a leq t leq b ). Armado con estas parametrizaciones, la regla de la cadena y el teorema de Green, y teniendo en cuenta que (P ), (Q ) y (R ) son todas funciones de (x ) y (y ) , podemos evaluar la integral de línea

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_a ^ b (Px '(t) + Qy' (t) + Rz '(t)) , dt [4pt] & = int_a ^ b left [Px '(t) + Qy' (t) + R left ( dfrac { partial z} { partial x} dfrac {dx} {dt } + dfrac { parcial z} { parcial y} dfrac {dy} {dt} right) right] dt [4pt] & = int_a ^ b left [ left (P + R dfrac { z parcial} { parcial x} derecha) x '(t) + izquierda (Q + R dfrac { parcial z} { parcial y} derecha) y' (t) derecha] dt [4pt] & = int_ {C '} left (P + R dfrac { Partical z} { Partical x} right) , dx + left (Q + R dfrac { Partical z } { y parcial} derecha) , dy [4pt] & = iint_D izquierda [ dfrac { parcial} { parcial x} izquierda (Q + R dfrac { parcial z} { y parcial} derecha) - dfrac { parcial} { y parcial} izquierda (P + R dfrac { z parcial} { parcial x} derecha) derecha] , dA [4pt] & = iint_D left ( dfrac { parcial Q} { parcial x} + dfrac { parcial Q} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial x} + dfrac { parcial R} { parciales x} dfrac { parciales z} { parciales y} + dfrac { parciales R} { parciales z} dfrac { parciales z} { parciales x} dfrac { parcial z} { parcial y} + R dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial x parcial y} derecha) - izquierda ( dfrac { parcial P} { parcial y} + dfrac { P parcial} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial y} + dfrac { parcial R} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial y} dfrac { Partical z} { Particular x} + R dfrac { Particular ^ 2 z} { Particular y Particular x} right) end {align *} ]

Según el teorema de Clairaut,

[ dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial x parcial y} = dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial y parcial x} sin número ]

Por lo tanto, cuatro de los términos desaparecen de esta integral doble y nos quedamos con

[ iint_D [- (R_y - Q_z) Z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, nonumber ]

que es igual

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S}. sin número]

(Caja)

Hemos demostrado que el teorema de Stokes es verdadero en el caso de una función con un dominio que es una región simplemente conectada de área finita. Podemos confirmar rápidamente este teorema para otro caso importante: cuando el campo vectorial ( vecs {F} ) es un campo conservador. Si ( vecs {F} ) es conservador, el rizo de ( vecs {F} ) es cero, entonces

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} = 0. ]

Dado que el límite de (S ) es una curva cerrada, la integral

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

también es cero.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Verificación del teorema de Stokes para un caso específico

Verifique que el teorema de Stokes sea verdadero para el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = langle -z, x, 0 rangle ) y la superficie (S ), donde (S ) es el hemisferio, orientado hacia afuera, con parametrización ( vecs r ( phi, theta) = langle sin phi , cos theta, , sin phi , sin theta, , cos phi rangle, , 0 leq theta leq pi, , 0 leq phi leq pi ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

Solución

Sea (C ) el límite de (S ). Tenga en cuenta que (C ) es un círculo de radio 1, centrado en el origen, sentado en el plano (y = 0 ). Este círculo tiene la parametrización ( langle cos t, , 0, , sin t rangle, , 0 leq t leq 2 pi ). la ecuación para integrales de superficie escalar

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ {2 pi} langle - sin t, , cos t, , 0 rangle cdot langle - sin t, , 0, , cos t rangle , dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} sin ^ 2 t , dt [ 4pt] & = pi. end {alinear *} ]

Por la ecuación para integrales de línea vectorial,

[ begin {align *} iint_S , curl , vecs {F} cdot d vecs S & = iint_D curl , vecs {F} ( vecs r ( phi, theta)) cdot ( vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta}) , dA [4pt] & = iint_D langle 0, -1, 1 rangle cdot langle cos theta , sin ^ 2 phi, , sin theta , sin ^ 2 phi, , sin phi , cos phi rangle , dA [4pt] & = int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi} ( sin phi , cos phi - sin theta , sin ^ 2 phi) , d phi d theta [4pt] & = dfrac { pi} {2} int_0 ^ { pi} sin theta , d theta [4pt] & = pi. end {align *} ]

Por lo tanto, hemos verificado el teorema de Stokes para este ejemplo.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Verifique que el teorema de Stokes sea verdadero para el campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = langle y, x, -z rangle ) y la superficie (S ), donde (S ) es la porción orientada hacia arriba de la gráfica de (f (x, y) = x ^ 2 y ) sobre un triángulo en el plano (xy ) - con vértices ((0,0), , ( 2,0) ) y ((0,2) ).

Pista

Calcule la integral doble y la integral de línea por separado.

Respuesta

Ambas integrales dan (- dfrac {136} {45} ):

Interpretación de Curl

Además de traducir entre integrales de línea e integrales de flujo, el teorema de Stokes se puede utilizar para justificar la interpretación física de curl que hemos aprendido. Aquí investigamos la relación entre rizo y circulación, y usamos el teorema de Stokes para enunciar la ley de Faraday, una ley importante en electricidad y magnetismo que relaciona el rizo de un campo eléctrico con la tasa de cambio de un campo magnético.

Recuerde que si (C ) es una curva cerrada y ( vecs {F} ) es un campo vectorial definido en (C ), entonces la circulación de ( vecs {F} ) alrededor de ( C ) es integral de línea

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

Si ( vecs {F} ) representa el campo de velocidad de un fluido en el espacio, entonces la circulación mide la tendencia del fluido a moverse en la dirección de (C ).

Sea ( vecs {F} ) un campo vectorial continuo y sea (D _ { tau} ) un pequeño disco de radio (r ) con centro (P_0 ) (Figura ( PageIndex {7} )). Si (D _ { tau} ) es lo suficientemente pequeño, entonces ((curl , vecs {F}) (P) approx (curl , vecs F) (P_0) ) para todos los puntos ( P ) en (D _ { tau} ) porque el rizo es continuo. Sea (C _ { tau} ) el círculo límite de (D _ { tau} ): Según el teorema de Stokes,

[ int_ {C _ { tau}} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_ {D _ { tau}} curl , vecs {F} cdot vecs {N} , d vecs S approx iint_ {D _ { tau}} (rizo , vecs {F}) (P_0) cdot vecs {N} (P_0) , d vecs S. ]

La cantidad ((curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ) es constante, y por lo tanto

[ iint_ {D _ { tau}} (curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) , d vecs S = pi r ^ 2 [(curl , vecs F ) (P_0) cdot vecs N (P_0)]. sin número]

Por lo tanto

[ int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r approx pi r ^ 2 [(curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0)], sin número]

y la aproximación se acerca arbitrariamente a medida que el radio se reduce a cero. Por tanto, el teorema de Stokes implica que

[(curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) = lim_ {r rightarrow 0 ^ +} dfrac {1} { pi r ^ 2} int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r. sin número]

Esta ecuación relaciona el rizo de un campo vectorial con la circulación. Dado que el área del disco es ( pi r ^ 2 ), esta ecuación dice que podemos ver el rizo (en el límite) como la circulación por unidad de área. Recuerde que si ( vecs F ) es el campo de velocidad de un fluido, entonces la circulación [ oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r = oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot vecs T , ds ] es una medida de la tendencia del fluido a moverse (C _ { tau} ): La razón de esto es que ( vecs F cdot vecs T ) es un componente de ( vecs F ) en la dirección de ( vecs T ), y cuanto más cerca esté la dirección de ( vecs F ) de ( vecs T ), el mayor es el valor de ( vecs F cdot vecs T ) (recuerde que si ( vecs a ) y ( vecs b ) son vectores y ( vecs b ) es fijo, entonces el producto escalar ( vecs a cdot vecs b ) es máximo cuando ( vecs a ) apunta en la misma dirección que ( vecs b )). Por lo tanto, si ( vecs F ) es el campo de velocidad de un fluido, entonces (curl , vecs F cdot vecs N ) es una medida de cómo el fluido gira alrededor del eje ( vecs N ). El efecto del rizo es mayor sobre el eje que apunta en la dirección de ( vecs N ), porque en este caso (curl , vecs F cdot vecs N ) es lo más grande posible.

Para ver este efecto de una manera más concreta, imagine colocar una pequeña rueda de paletas en el punto (P_0 ) (Figura ( PageIndex {8} )). La rueda de paletas alcanza su velocidad máxima cuando el eje de la rueda apunta en la dirección del rizo ( vecs F ). Esto justifica la interpretación del rizo que hemos aprendido: rizo es una medida de la rotación en el campo vectorial alrededor del eje que apunta en la dirección del vector normal ( vecs N ), y el teorema de Stokes justifica esta interpretación.

Ahora que hemos aprendido sobre el teorema de Stokes, podemos discutir aplicaciones en el área del electromagnetismo. En particular, examinamos cómo podemos usar el teorema de Stokes para traducir entre dos formas equivalentes de la ley de Faraday. Antes de enunciar las dos formas de la ley de Faraday, necesitamos algunos antecedentes de terminología.

Sea (C ) una curva cerrada que modela un alambre delgado. En el contexto de los campos eléctricos, el cable puede moverse con el tiempo, por lo que escribimos (C (t) ) para representar el cable. En un momento dado (t ), la curva (C (t) ) puede ser diferente de la curva original (C ) debido al movimiento del alambre, pero asumimos que (C (t) ) es una curva cerrada para todos los tiempos (t ). Sea (D (t) ) una superficie con (C (t) ) como su límite, y oriente (C (t) ) de modo que (D (t) ) tenga una orientación positiva. Suponga que (C (t) ) está en un campo magnético ( vecs B (t) ) que también puede cambiar con el tiempo. En otras palabras, ( vecs {B} ) tiene la forma

[ vecs B (x, y, z) = langle P (x, y, z), , Q (x, y, z), , R (x, y, z) rangle, ]

donde (P ), (Q ) y (R ) pueden variar continuamente con el tiempo. Podemos producir corriente a lo largo del cable cambiando el campo ( vecs B (t) ) (esto es una consecuencia de la ley de Ampere). El flujo ( displaystyle phi (t) = iint_ {D (t)} vecs B (t) cdot d vecs S ) crea un campo eléctrico ( vecs E (t) ) que funciona. La forma integral de la ley de Faraday establece que

[Trabajo = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = - dfrac { parcial phi} { parcial t}. ]

En otras palabras, el trabajo realizado por ( vecs {E} ) es la integral de línea alrededor del límite, que también es igual a la tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo. La forma diferencial de la ley de Faraday establece que

[rizo , vecs {E} = - dfrac { parcial vecs B} { parcial t}. ]

Usando el teorema de Stokes, podemos demostrar que la forma diferencial de la ley de Faraday es una consecuencia de la forma integral. Por el teorema de Stokes, podemos convertir la integral de línea en la forma integral en integral de superficie

[- dfrac { parcial phi} { parcial t} = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = iint_ {D (t)} curl , vecs E (t) cdot d vecs S. ]

Dado que [ phi (t) = iint_ {D (t)} B (t) cdot d vecs S, ] entonces, siempre que la integración de la superficie no varíe con el tiempo, también tenemos

[- dfrac { parcial phi} { parcial t} = iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { parcial vecs B} { parcial t} cdot d vecs S. ]

Por lo tanto,

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { parcial vecs B} { parcial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S. ]

Para derivar la forma diferencial de la ley de Faraday, nos gustaría llegar a la conclusión de que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ): En general, la ecuación

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { parcial vecs B} { parcial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S ]

no es suficiente concluir que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ): Los símbolos integrales no se "cancelan" simplemente, dejando la igualdad de los integrandos. Para ver por qué el símbolo integral no se cancela en general, considera las dos integrales de una sola variable ( displaystyle int_0 ^ 1 x , dx ) y ( displaystyle int_0 ^ 1 f (x) , dx ), donde

[f (x) = begin {cases} 1, & text {if} 0 leq x leq 1/2 0, & text {if} 1/2 leq x leq 1. finalizar {casos} ]

Ambas integrales son iguales a ( dfrac {1} {2} ), entonces ( displaystyle int_0 ^ 1 x , dx = int_0 ^ 1 f (x) , dx ).

Sin embargo, (x neq f (x) ). De manera análoga, con nuestra ecuación [ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S, ] no podemos simplemente concluir que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ) solo porque sus integrales son iguales. Sin embargo, en nuestro contexto, la ecuación

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { parcial vecs B} { parcial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S ]

es cierto para ninguna región, por pequeña que sea (esto contrasta con las integrales de una sola variable que acabamos de discutir). Si ( vecs F ) y ( vecs G ) son campos vectoriales tridimensionales tales que

[ iint_S vecs F cdot d vecs S = iint_S vecs G cdot d vecs S ]

para cualquier superficie (S ), entonces es posible demostrar que ( vecs F = vecs G ) reduciendo el área de (S ) a cero tomando un límite (cuanto menor sea el área de (S ), cuanto más cerca esté el valor de ( displaystyle iint_S vecs F cdot d vecs S ) al valor de ( vecs F ) en un punto dentro de (S )). Por lo tanto, podemos hacer que el área (D (t) ) se reduzca a cero tomando un límite y obteniendo la forma diferencial de la ley de Faraday:

[rizo , vecs E = - dfrac { parcial vecs B} { parcial t}. ]

En el contexto de los campos eléctricos, la ondulación del campo eléctrico se puede interpretar como el negativo de la tasa de cambio del campo magnético correspondiente con respecto al tiempo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la ley de Faraday

Calcule la curva del campo eléctrico ( vecs {E} ) si el campo magnético correspondiente es un campo constante ( vecs B (t) = langle 1, -4, 2 rangle ).

Solución

Dado que el campo magnético no cambia con respecto al tiempo, (- dfrac { partial vecs B} { partial t} = vecs 0 ). Por lo tanto, según la ley de Faraday, la curvatura del campo eléctrico también es cero.

Análisis

Una consecuencia de la ley de Faraday es que la curvatura del campo eléctrico correspondiente a un campo magnético constante es siempre cero.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Calcula la curva del campo eléctrico ( vecs {E} ) si el campo magnético correspondiente es ( vecs B (t) = langle tx, , ty, , -2tz rangle, , 0 leq t < infty. )

Pista
  • Utilice la forma diferencial de la ley de Faraday.
  • Observe que la curvatura del campo eléctrico no cambia con el tiempo, aunque el campo magnético sí cambia con el tiempo.
Respuesta

(curl , vecs {E} = langle x, , y, , -2z rangle )

Conceptos clave

  • El teorema de Stokes relaciona una integral de flujo sobre una superficie con una integral de línea alrededor del límite de la superficie. El teorema de Stokes es una versión dimensional superior del teorema de Green y, por tanto, es otra versión del teorema fundamental del cálculo en dimensiones superiores.
  • El teorema de Stokes se puede utilizar para transformar una integral de superficie difícil en una integral de línea más fácil, o una integral de línea difícil en una integral de superficie más fácil.
  • Mediante el teorema de Stokes, las integrales de línea se pueden evaluar utilizando la superficie más simple con límite (C ).
  • La ley de Faraday relaciona la curvatura de un campo eléctrico con la tasa de cambio del campo magnético correspondiente. El teorema de Stokes se puede utilizar para derivar la ley de Faraday.

Ecuaciones clave

  • Teorema de Stokes

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} nonumber ]

Glosario

Teorema de Stokes
relaciona la integral de flujo sobre una superficie (S ) con una integral de línea alrededor del límite (C ) de la superficie (S )
independiente de la superficie
Las integrales de flujo de los campos vectoriales de rizo son independientes de la superficie si su evaluación no depende de la superficie, sino solo del límite de la superficie.

Interpretación geométrica del teorema de Stokes & # 39

En primer lugar, ¿podría alguien explicar mi malentendido del siguiente ejemplo del teorema de Stokes?

Ejemplo (Lee, SM, p. 414): Sea $ M $ una variedad suave y suponga que $ gamma: [a, b] to M $ es una incrustación suave, de modo que $ S = gamma ([a, b]) $ es una subvariedad 1 incrustada con límite en $ M $. Si le damos a $ S $ la orientación tal que $ gamma $ conserva la orientación, entonces, para cualquier función suave $ f en C ^ infty (M) $, el teorema de Stokes dice que $ int_ gamma df = int _ <[a, b]> gamma ^ *= int_gl = int _ < parcial S> f = f ( gamma (b)) - f ( gamma (a)). $

Q1: ¿Cuál es la diferencia entre $ S $ y $ gamma $ en acción? ¿No es $ gamma $ significa $ gamma ([a, b]) $ en la primera integral?

P2: ¿Cuál es la interpretación geométrica del teorema de Stokes?

Por segunda pregunta no me refiero a la interpretación de tipo cálculo y física. No me refiero a explicar también la cohomología de De Rham (formas exactas y cerradas). Solo quiero saber cómo es posible que la integración sobre toda la variedad pueda calcularse simplemente integrando sobre su límite.

Quizás la respuesta de Q2 radica en la siguiente pregunta:

Q3: ¿Qué significa $ int_ gamma df $? ¿Es una especie de medida la longitud de $ gamma $? Si es así, ¿por qué su valor no depende de ninguna curva con los mismos puntos finales de $ gamma $?

Lo siento si mis preguntas se relacionan con la prueba del teorema de alguna manera.


Programa tentativo

5 Examen 1 el jueves, 22 de febrero durante tiempo de clase regular.

Capítulo IV.10 Problemas 1 (cada segunda función), 4, 5, 7, 9b, 10, 14
Capítulo IV.12 Problemas 2, 5c, 7
vence el 2/26

Capítulo IV.12 Problemas 11

Capítulo V.3 Problemas 2, 3
Capítulo V.6 Problemas 1acegioq, 2, 4, 7ac
vencimiento el 3/5

Capítulo V.10 Problemas 2bdf, 3aceg, 5cgiq, 7bd
Capítulo V.13 Problemas 3, 10, 14
vence el 3/12

Capítulo VI.3 Problemas 1acef, 3,5acegik, 6acg, 9
vence el 19 de marzo

Capítulo VI.7 Problemas 1ad, 2a, 6, 7ace, 8, 11, 13, 15, 17, 18, 22, 24
problemas extra,
vencimiento el 2 de abril

10 Examen 2 el jueves, 5 de abril durante el horario regular de clases

Capítulo VII.4 Problemas 1, 3, 4
problemas extra,
vencimiento el 9 de abril

Capítulo IV.15 Problemas 12, 13

Capítulo VII.8 Problemas 2, 4
vence el 16 de abril

Capítulo VII.12 Problemas 1, 2, 3, 5 acegil (resuelva el problema 5a con y sin usar el teorema de Green, resuelva todas las otras partes del problema 5 con el uso del teorema de Green)

Final el jueves, 5/10, 12:25 a 2:25 pm en Ag 125 (si está en la conferencia de las 11 am) y Biochem 1125 (para la conferencia de la 1 pm)


Contenido

  • 1 Funciones de más de una variable
    • 1.1 Introducción
    • 1.2 Límites y continuidad
    • 1.3 Derivadas parciales
    • 1.4 Diferenciabilidad, diferenciales y aproximación lineal local
    • 1.5 Regla de la cadena
    • 1.6 Derivadas y gradientes direccionales
    • 1.7 Extremo relativo de funciones de dos variables
    • 1.8 Extremo absoluto de funciones de más de una variable
    • 1.9 Superficies paramétricas
    • 2.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    • 2.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    • 2.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    • 2.4 Aplicaciones de integrales dobles
    • 2.5 Integrales triples
    • 2.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas
    • 2.7 Integrales triples en coordenadas esféricas
    • 2.8 Aplicaciones de las integrales triples
    • 3.1 Campos escalares y vectoriales
    • 3.2 Divergencia y rizo
    • 3.3 Campos vectoriales conservadores
    • 3.4 Integrales de línea de campos escalares
    • 3.5 Integrales de línea de campos vectoriales
    • 3.6 Teorema fundamental de las integrales de línea
    • 3.7 Teorema de Green
    • 3.8 Integrales de superficie de campos escalares
    • 3.9 Integrales de superficie de campos vectoriales
    • 3.10 Teorema de Stokes y teorema de divergencia de Gauss
    2 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

    Una restricción física de estas variables es que deben ser positivas. Por lo tanto, el dominio es <(l, w, h) ∈R 3: l & ampgt 0, w & ampgt 0, h & ampgt 0>.

    Ejemplo 1.1.3 Seaf (x, y) = x 2 + √ 3 xy. Encuentre f (2, −4), f (1,0), f (t, t 2) yf (2y 2, 4 y).

    Solución: por sustitución, obtenemos

    2(−4) = 4−2 = 2
    1(0) = 1

    Tenga en cuenta que el dominio de es todo el plano x.

    Ejemplo 1.1.4 Identifique y dibuje el dominio de (x, y) = √ 1 x 2 −y

    Solución: Para que la expresión sea un número real, el radicando en el denominador debe ser positivo. Es decir, x 2 & ampgt y. Por tanto, el dominio es

    La parábola = x 2 divide el plano en dos, todos los puntos sobre él o sobre él, y todos los puntos debajo de él. El punto (0, −1), que es un punto debajo de la parábola, satisface y & amplt x 2. Por lo tanto, el dominio incluye todos los puntos debajo de la parábola. La parábola que tiene una curva discontinua indica que los puntos en ella no son parte del dominio.

    Ejemplo 1.1.5 Identifique y bosqueje el dominio de (x, y) = sin− 1 (x − 1).

    Solución: La función de seno inverso se define solo para valores en el intervalo [- 1, 1]. Por lo tanto, - 16 x− 16 1, o que 0 6 x 6 2. Por lo tanto, el dominio es

    1.1. INTRODUCCION 3

    Gráficamente, el dominio consta de puntos entre las líneas x = 0 y x = 2, incluidas estas líneas.

    Figura 1.2: Dominio desactivado (x, y) = sin− 1 (x − 1)

    Ejemplo 1.1.6 Identifique el dominio de g (x, y, z) = ln (1 − x 2 −y 2 −z 2).

    Solución: El logaritmo natural se define solo para valores positivos. Por lo tanto, 1 − x 2 −y 2 −z 2 & ampgt0 o esox 2 + y 2 + z 2 & amplt1. Por tanto, el dominio es

    Gráficamente, el dominio es el conjunto de puntos dentro de la esfera unitaria centrados en el origen, excluyendo la esfera misma.

    Gráficas de funciones de dos variables

    Suponga que f es una función de dos variables xandy. La gráfica de es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en el espacio tridimensional tal que (x, y) ∈domfandz = f (x, y).

    Ejemplo 1.1.7 Dibuje la gráfica de las siguientes funciones.

    1. f (x, y) = 2− 2 x − y. Solución: La gráfica de apagado es la gráfica de la ecuación z = 2− 2 x − y, que es un plano con el vector normal 〈2, 1, 1〉.

    Figura 1.3: Grafica off (x, y) = 2− 2 x − y

    1.1. INTRODUCCION 5

    Ejemplo 1.1.8 Dibuje un mapa de contorno de (x, y) = y 2 −x 2 forz = −10, −5, 0, 5 y 10.

    Solución: Las secciones transversales de la superficie con los planosz = −10, −5, 0, 5 y 10, y un mapa de contorno se muestran a continuación.

    k = 10: y 2 −x 2 = 10 k = 5: y 2 −x 2 = 5 k = 0: x 2 −y 2 = 0 k = −5: x 2 −y 2 = 5 k = −10: x 2 −y 2 = 10

    Figura 1.6: Curvas de nivel desactivadas (x, y) = y 2 −x 2

    Ejemplo 1.1.9 La superficie f (x, y) = sen 2 x + 14 y 2 tiene la siguiente gráfica.

    Figura 1.7: Grafica off (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    Las siguientes son las secciones transversales de la superficie con varios planos horizontales.

    Figura 1.8: Secciones transversales off (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    6 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

    A continuación, se muestra una gráfica de contorno de la superficie.

    Figura 1.9: Gráfico de contorno desactivado (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    Para funciones de tres variables, no es fácil visualizar sus gráficos, ya que los gráficos se ubicarán en un espacio de cuatro dimensiones. Pero sus superficies de nivel se obtienen considerando varios valores para k∈R tales que f (x, y, z) = k, y es de esperar que estos nos den una idea geométrica de la función.

    Ejemplo 1.1.10 Seaf (x, y, z) = x + y + z. Las superficies de nivel son ecuaciones de la forma

    que son planos con vector normal 〈1, 1, 1〉. A continuación se ilustran las superficies niveladas fuera de (x, y, z).

    Figura 1.10: Superficies niveladas (x, y, z) = x + y + z

    Observación: Un conjunto de curvas de nivel nos da una idea de qué tan rápido cambia el valor de la función.

    Ejemplo 1.1.11 A continuación se muestra un mapa de contorno para f (x, y) = 4x 2 + y 2, donde las curvas de nivel f (x, y) = k se toman en incrementos iguales de k. Observe que la pregunta se vuelve más grande, también lo hace la traza elíptica y las curvas de nivel se acercan. Sof (x, y) cambia más rápidamente en los puntos (x, y) en el mapa de contorno donde las curvas de nivel están más juntas.

    8 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

    x 2 + y 2 −z 11. f (x, y, z) = xzcos− 1 (y 2 −1) 12. f (x, y, z) = cos− 1 (x − 1) sin− 1 ( y 2 −1)

    V. Dibuje la gráfica de las siguientes funciones.

    VI. Dibuje un mapa de contorno para las siguientes superficies.

    1.2 Límites y continuidad

    Recuerde que nos han presentado los límites y la continuidad de las funciones de una sola variable. Extendemos estos conceptos a funciones de dos o más variables.

    Investiguemos los valores de (x, y) = 3 x

    2 y x 2 + y 2 cuando (x, y) se aproxima a (0,0). La mesa de abajo

    muestra los valores de (x, y) correspondientes a los valores xyy en la primera columna y la primera fila, respectivamente.

    Tabla 1.1: Valores desactivados (x, y) = 3 x 2 yx 2 + y 2 cuando (x, y) se aproxima a (0,0) x y - 0. 05 - 0. 01 - 0. 001 0 0. 001 0. 01 0. 05 - 0. 050 - 0. 07500 - 0. 02885 - 0. 00300 0 0. 00300 0. 02885 0. 07500 - 0. 010 - 0. 00577 - 0. 01500 - 0. 00297 0 0 . 00297 0. 01500 0. 00577 - 0. 001 - 0. 00006 - 0. 00030 - 0. 00150 0 0. 00150 0. 00030 0. 00006 0. 000 0 0 0 indefinido 0 0 0 0. 001 - 0. 00006 - 0. 00030 - 0. 00150 0 0. 00150 0. 00030 0. 00006 0. 010 - 0. 00577 - 0. 01500 - 0. 00297 0 0. 00297 0. 01500 0. 00577 0. 050 - 0. 07500 - 0. 02885 - 0. 00300 0 0. 00300 0. 02885 0. 07500

    A medida que (x, y) se acerca a (0,0), parece que f (x, y) se acerca a 0. Como se verá más adelante, esta observación es correcta. Diremos que, como (x, y) → (0,0), el límite de (x, y) es 0. Escribimos esto como

    1.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD 9

    Definición. Sea una función de dos variables cuyo dominio es un subconjunto abierto de R2 que contiene puntos arbitrariamente cercanos a (a, b). Thelimit of f(x,y) as (x,y) approaches (a,b) isL, written as lim (x,y)→(a,b) f(x,y) =L,

    if for every small numberε &gt0, there is a corresponding small numberδ &gt0 such that

    Remark. In the definition, by “Dcontains points arbitrarily close to (a,b)”, we mean for any δ &gt0, there is at least one point (x,y)∈Dsuch that 0&lt

    Example 1.2.1.Prove that lim (x,y)→(1,−1) (3x+ 2y) = 1.

    Solution: Letf(x,y) = 3x+ 2y, andL= 1. For any small numberε &gt0 we choose, we want to find a small numberδ &gt0, such that

    whenever the distance between (x,y) and (1,−1) is less thanδ. Note that| 3 x+ 2y− 1 |=|3(x−1) + 2(y+ 1)| 63 |x− 1 |+ 2|y+ 1|, and we want this to be less thanε. Also, notice that

    Thus, | 3 x+ 2y− 1 |≤ 3 |x− 1 |+ 2|y+ 1|&lt 3 δ+ 2δ= 5δ.

    Hence, by takingδ=ε 5 ,we have

    Therefore, lim (x,y)→(1,−1) (3x+ 2y) = 1.

    Remark.If the limit off(x,y) as (x,y) approaches (a,b) exists, then that limit is unique.

    Recall that on the real number line, one can approach a number from two directions, from the right and from the left. On thexy-plane, there are infinitely many ways one can approach a point (a,b). Hence, we extend the notion of one-sided limits for functions of one variable. Instead, we

    1.2. LIMITS AND CONTINUITY 11

    Example 1.2.3.Show that lim (x,y)→(0,0)

    x 2 −y 2 x 2 +y 2 does not exist.

    Solution: Let us consider the limit off(x,y) = x

    2 −y 2 x 2 +y 2 along thex-axis (y = 0), which passes

    through the origin. The limit is

    Also, let us consider the limit off(x,y) along they-axis (x= 0). The limit is

    Since the limits along different curves are not equal, then

    x 2 −y 2 x 2 +y 2 does not exist.

    Example 1.2.4.Show that lim (x,y)→(0,0)

    xy 2 x 2 +y 4 does not exist.

    Solution: LetC 1 be the liney=x. Luego

    LetC 2 be the parabolax=y 2. Then

    Since the limits along different curves are distinct, lim (x,y)→(0,0)

    xy 2 x 2 +y 4 does not exist.

    Example 1.2.5.Determine lim (x,y)→(0,0)

    Solution: LetC 1 be a non-vertical line through the origin. That is,C 1 : y=mx, for somem∈R. Luego

    3 x 2 (mx) x 2 +m 2 x 2 = limx→ 0

    Along the curvesC 2 :y=x 2 ,C 3 :x=y 2 ,C 4 :y=x 3 ,C 5 :x=y 3 , it can easily be verified that the limits of the function as (x,y)→(0,0) are also zero.

    The above computations seem to indicate that the limit is zero. However, this is not enough to say that the limit is zero. We need to prove that it is so by definition.


    5.10: Stokes' Theorem - Mathematics

    Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu

    Office Hours: Tue 3:00-4:00 p.m., Wed 2:00-3:00 p.m., or by appointment.

    Prerequisite: MATH 2433 (Calculus and Analytic Geometry III).

    Course catalog description: Vector calculus functions of several variables partial derivatives gradients, extreme values and differentials of multivariate functions multiple integrals line and surface integrals (F, Sp, Su)

    Texto: J. Stewart, Calculus, 6th edition, Brooks/Cole, 2007. The course will cover major parts of chapters 15-17.

    Check out the OU Math Blog! It is REALLY interesting!

    The OU Math Club will meet on Wednesday, September 16, in PHSC 1105, at 5 p.m. - yours truly will give a talk titled Physics and Math for lazy people: From the non-existence of Godzilla to the energy of a nuclear explosion there will be pizza, az always! -->

    1. Click on the following link: http://eval.ou.edu (or you can cut and paste this address into your web browser).
    2. Type your OUNet ID (4+4) and your password into the login form and click Log In. This is the same login information that you would use to check your OU email or log into Desire to Learn.
    3. After your login information has been authenticated, you will see a list of all your A&S courses for Spring 2008. Click the Available link next to each course to evaluate it.
    4. When you are finished evaluating the course, click Submit Evaluation at the bottom of the evaluation form to save it.
    5. You will then be returned to the course list page. From here you can evaluate another course or log out.
    • Homework 1 (problems given on Aug 25, 27, Sep 1, 3), due Sep 8 (Tue).
    • Homework 2 (problems given on Sep 8, 10, 15, 17), due Sep 22 (Tue).
    • Homework 3 (problems given on Sep 22, 24, 29, Oct 1), due Oct 8 (Thu).
    • Homework 4 (problems given on Oct 6, 8, 13), due Oct 15 (Thu).
    • Homework 5 (problems given on Oct 15, 20, 27, 29), due Nov 3 (Tue).
    • Homework 6 (problems given on Nov 3, 5, 10, 12), due Nov 17 (Tue).
    • Homework 7 (problems given on Nov 17, 19, 24), due in class on Dec 1 (Tue).

      Lecture 1 (Tue, Aug 25):Funciones de varias variables: functions of two variables, independent variables, dependent variable, domain, range, graph, level curves, examples functions of three or more variables (Sec. 15.1).
      Homework: Ejercicios 15.1/13 (hint), 16, 18, 27, 26, 42, 66.

    Attendance: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also expected. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Periodically I will collect it to be graded (these days will be announced in advance). Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about beforehand and can document independently of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

    Homework: It is absolutely essential to solve a large number of problems on a regular basis!
    Homework will be assigned and due every class period. You should be prepared to present any of the homework problems due on a given day. Periodically I will collect it to be graded (these days will be announced in advance).
    You are allowed (and encouraged) to work in small groups. However, each of you will need to prepare individual solutions written in your own words - this is the solamente way to achieve real understanding! Please write the problems in the same order in which they are given in the assignment.
    All homework should be written on a 8.5"×11" paper with your name clearly written, and should be stapled. No late homework will be accepted!

    Exams: There will be three in-class midterms and a (comprehensive) final.
    Tentative dates for the midterms are September 24 (Thursday), October 27 (Tuesday), December 3 (Thursday).
    The final is scheduled for December 14 (Monday), 1:30-3:30 p.m.
    All tests must be taken at the scheduled times, except in extraordinary circumstances.
    Please do not arrange travel plans that prevent you from taking any of the exams at the scheduled time.

    Grading: Your grade will be determined by your performance on the following coursework:

    Coursework Peso
    Homework 10%
    Exam 1 20%
    Exam 2 20%
    Exam 3 20%
    Final Exam 30%

    Academic calendar for Fall 2009.

    Course schedule for Fall 2009.

    Policy on W/I Grades : Through October 2 (Friday), you can withdraw from the course with an automatic "W". In addition, from October 5 (Monday) to December 11 (Friday), you may withdraw and receive a "W" or "F" according to your standing in the class. Dropping after November 30 (Monday) requires a petition to the Dean. (Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.) Please check the dates!

    The grade of "I" (Incomplete) is no intended to serve as a benign substitute for the grade of "F". I only give the "I" grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

    Academic Misconduct: All cases of suspected academic misconduct will be referred to the Dean of the College of Arts and Sciences for prosecution under the University's Academic Misconduct Code. The penalties can be quite severe. ¡No lo hagas!
    For details on the University's policies concerning academic integrity see the A Student's Guide to Academic Integrity. For information on your rights to appeal charges of academic misconduct consult the Rights and Responsibilities Under the Academic Misconduct Code. Students are also bound by the provisions of the OU Student Code.

    Students With Disabilities: The University of Oklahoma is committed to providing reasonable accommodation for all students with disabilities. Students with disabilities who require accommodations in this course are requested to speak with the instructor as early in the semester as possible. Students with disabilities must be registered with the Office of Disability Services prior to receiving accommodations in this course. The Office of Disability Services is located in Goddard Health Center, Suite 166: phone 405-325-3852 or TDD only 405-325-4173.


    5.10: Stokes' Theorem - Mathematics

    Programa de estudios [PDF updated 1/22/07 4:00 PM]
    Lectures: Tue/Thu 11:00 AM--12:15 PM, 301 Snow Hall
    Instructor: Jeremy Martin

    Office: 541 Snow Hall
    Office hours during finals week: Thursday 5/17, 1:00--4:30 PM, or by appointment
    KU course line number: 63722
    Libro de texto: Vector Calculus, 3rd edn., by Susan Jane Colley

    Announcements

    • Final grades have been posted on Enroll & Pay. (5/20/07) is now available. (5/14/07)
    • Mi office hours on Tuesday 5/8 and Thursday 5/10 will be from 2:30--3:30 PM, instead of the usual 1:30--2:30. (5/4/07)
    • I have scheduled two review sessions during final exam week see below for dates, times and details. (5/4/07)
    • The due date on HW #12 has been postponed from Tuesday 5/8 to Thursday 5/10. (5/1/07)
    • The due date on HW #11 has been postponed from Tuesday 5/1 to Thursday 5/3. (5/1/07) is now available. (4/5/07)
    • I will hold an office hour on Wednesday 2/28, 11 AM - noon. My regular office hour on Thursday 3/1 is cancelled. (2/26/07) is now available. (2/26/07)
    • I have posted some hints on HW #4. (2/19/07)
    • My office hours on Thursday 2/8 will be 2:30--3:30 PM (instead of the usual 1:30--2:30). (2/6/07)
    • My office hours during the week of 1/29 - 2/2 will be normal. (1/29/07)
    • My office hours on Tuesday 1/23 and Thursday 1/25 are cancelled. Instead, I will hold office hours from 10:00--11:00 AM on Wednesday 1/24 and Friday 1/26, and by appointment. (1/22/07)
    • The syllabus is now available. (1/18/07)
    • Both sections of Math 223 are full or almost full. If you want to take the course but you are unable to enroll, contact me immediately. (1/17/07)

    Schedule

    The following is an approximate schedule for the topics to be covered in each lecture. Future days are subject to change.

    Homework Assignments

    Homework is due at 5:00 PM every Tuesday (except days after midterm tests), starting January 30. This makes a total of 12 homework assignments your two lowest scores (including assignments not turned in) will be dropped. Only turn in the required problems. Not every problem will necessarily be graded, but part of your homework score will be for doing all the assigned problems. The homework is worth 20% of your grade. You can turn in homework in class, leave it in my mailbox in the Math Department office, 405 Snow, or bring it to my office, 541 Snow (if I am not around, you can leave it in the wall box or slip it under my door). Your homework should be as neat and legible as if it were typed, and all sheets should be stapled together.

    Turn in only the problems marked "Required". The problems marked "Practice" are mostly drill-type problems and/or similar to one of the required problems, and are not to be turned in.

    Each week, I'll choose four or five problems from the "Required" list to be graded for correctness and clarity. About three-quarters of your homework grade will be based on those problems the remaining one-quarter will be based on completeness -- that is, making at least a reasonable attempt to solve each of the required problems.

    Homework turned in late will not be accepted.
    Additional problems may be added up to one week before the due date.

    Tests

    There will be a 30-minute prueba in class on Tuesday, February 6, worth 10% of your grade. The quiz will cover material from Chapter 1 of the textbook. This is intended partly as a diagnostic, to give you some idea of how you're doing before the first drop date.

    There will be two in-class tests en Thursday, March 1 y Thursday, April 12. Each test is worth 20% of your final grade. Some or all of the Tuesday before each test will be devoted to a review session.

    • Date/time: Thursday, March 1, in class
    • The mean score was 111/200 and the median was 112/200. Approximate letter grades are as follows:
      • A: 144--200
      • B: 112--143
      • C: 80--111
      • D: 60--79
      • F: <60
      • Date/time: Thursday, April 12, in class
      • The mean score was 147/200 and the median was 159/200. Approximate letter grades are as follows:
        • A: 180--200
        • B: 160--179
        • C: 140--159
        • D: 110--139
        • F: <110

        Final Exam

        The final exam is scheduled for Friday, May 18, 10:30 AM--1:00 PM, Snow 301. The exam will cover the entire semester's worth of material, with emphasis on the material not covered on the two midterm tests (starting approximately with Section 5.4). The exam is worth 30% of your final grade.

        Here is a review handout, including lists of practice problems.

        • Tuesday, May 15, 1:00--2:30 PM, Snow 306. ("If you were writing a Math 223 final exam, what would you put on it?")
        • Wednesday, May 16, 12:30--2:00 PM, Snow 306. (This will be a Q&A session: you bring the Q's, I'll supply the A's.)

        The average score on the final exam was 209/300 (70%) and the median was 213/300 (71%). Contact the instructor for more information.

        Enlaces


        Last updated Sun 5/27/07 7:00 AM


        Analysis in Vector Spaces

        The first time I encountered analysis was in graduate school taking a course in real analysis. Such a course would teach students, as one friend put it, “how to write a proof.” That was quite true. From this book I found that what I was really taught might better be called scalar analysis because we worked only with scalar functions. It didn’t occur to me that the same analysis techniques of scalars would apply to vector functions. There is much more to analysis than scalars, as this book can attest.

        For those of us who seek to expand our experiences, and to learn analysis on vector spaces, this book is a good start. The format is “classic analysis textbook”: definitions lemmas and proofs and theorems (sometimes built from lemmas) and proofs. If that appeals to you, you won’t be disappointed.

        The authors begin with a review of sets, numbers, and functions. The discussion is basic but it familiarizes the reader to the authors’ notation and is well worth the time. We then explore real numbers, convergent sequences, and linear transformations. It is with linear transformations that we begin to get to vector spaces and functions in vector spaces. I won’t go through the many sections because MAA provides the table of contents, please see the link above.

        The book covers all its topics thoroughly and with examples that beautifully illustrate the ideas. For example, the authors define and explain rigid motion, trajectories, and the Frenet formulas (unit tangent vector, unit principal normal vector, and binormal vector) so that we can explore curvature and torsion. As with much of the book, the discussion is theoretical within the text, but the problems provide the reader with concrete insights. The problems take the material to a higher level.

        If you haven’t studied these topics in vector spaces before, this book will serve you well.

        David S. Mazel received his Ph. D. from Georgia Tech in electrical engineering and is a practicing engineer in Washington, DC. His research interests are in the dynamics of billiards, signal processing, and cellular automata.


        Exercises 6.5

        Ex 6.5.1 Let $ds f(x) = x^2$. Find a value $cin (-1,2)$ so that $f'(c)$ equals the slope between the endpoints of $f(x)$ on $[-1,2]$. (answer)

        Ex 6.5.2 Verify that $f(x) = x/(x+2)$ satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval $[1,4]$ and then find all of the values, $c$, that satisfy the conclusion of the theorem. (answer)

        Ex 6.5.3 Verify that $f(x) = 3x/(x+7)$ satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval $[-2 , 6]$ and then find all of the values, $c$, that satisfy the conclusion of the theorem.

        Ex 6.5.4 Let $f(x) = an x $. Show that $f(pi ) = f(2pi)=0$ but there is no number $cin (pi,2pi)$ such that $f'(c) =0$. Why does this not contradict Rolle's theorem?

        Ex 6.5.5 Let $ds f(x) = (x-3)^<-2>$. Show that there is no value $cin (1,4)$ such that $f'(c) = (f(4)-f(1))/(4-1)$. Why is this not a contradiction of the Mean Value Theorem?

        Ex 6.5.6 Describe all functions with derivative $ds x^2+47x-5$. (answer)

        Ex 6.5.7 Describe all functions with derivative $sin(2x)$. (answer)

        Ex 6.5.8 Show that the equation $ds 6x^4 -7x+1 =0$ does not have more than two distinct real roots.

        Ex 6.5.9 Let $f$ be differentiable on $R$. Suppose that $f'(x) eq 0$ for every $x$. Prove that $f$ has at most one real root.

        Ex 6.5.10 Prove that for all real $x$ and $y$ $|cos x -cos y | leq |x-y|$. State and prove an analogous result involving sine.


        Programa de estudios

        Multivariable calculus is a fundamental pillar for many other things:

        It extends single variable calculus to higher dimensions. You will see that the structures are much richer than in single variable and that the fundamental theorem of calculus generalizes to higher dimensions.
        It provides vocabulary for understanding fundamental processes and phenomena. Examples are planetary motion, economics, waves, heat, finance, epidemiology, quantum mechanics or optimization.
        It teaches important background needed in social sciences, life sciences and economics. But it is rigorous enough that it is also suited for students in core sciences like physics, mathematics or computer science.
        It builds tools for describing geometrical objects like curves, surfaces, solids and intuition which is needed in other fields like linear algebra or data analysis. Geometry is currently extremely hot: tomography methods in medicine, computer games, google earth, social network analysis all use geometry.
        It relates to culture and history. The quest for answering questions like "where do we come from", "what will future bring us", "how can we optimize quantities" all use calculus. They were the motor to develop it. Euler, the inventor graph theory for example knew geometry and calculus well. The history of calculus contains fascinating stories, starting from Archimedes, 2300 years ago up to the modern times, where new branches of multivariable calculus are developed to understand the structure of nature.
        It develops problem solving methods. Examples are optimization problems with and without constraints (which is the bread and butter for exconomics), geometric problems, computations with scalar and vector fields, area and volume computations.
        It makes you acquainted with a powerful computer algebra system which allows you to see the mathematics from a different perspective. Such systems are more and more needed for visualization, experimentation and to build laboratories for your own research. No programming experience is required however. We will provide templates and get you started with a workshop.
        It prepares you for further study in other fields. Not only in mathematics and its applications, but also in seemingly unrelated fields like game theory, probability theory, discrete mathematics, sociology, or number theory, where similar structures and problems appear, even in a discrete setting. Without geometric intuition and paradigms learned in calculus, it is rather hard to work in those fields.
        It improves thinking skills, problem solving skills, visualization skills as well as computing skills. You will see the power of logical thinking and deduction and why mathematics is timeless.


        CALCULUS AND OPTIMIZATION

        1. Generalities on functions in R^n, Tangential and Normal vectors
        2. Eigenvalues and Eigenvectors
        3. Derivatives and Directional Derivatives
        4. Differentiation and the Chain Rule
        5. The Taylor expansion
        6. Implicit Function Theorem
        7. Fubini’s Theorem
        8. Exact differentials, Multiple Integration and the role of the Jacobian
        9. Green’s Theorem and Line Integrals
        10. Stokes’ Theorem

        ● Local/Global Minima/Maxima
        ● Karush-Kuhn-Tucker conditions
        ● Convexity (necessary/sufficient conditions)
        ● Mean Value Theorems
        ● Optimization methods for unconstrained/constrained problems
        ○ Gradient methods and Projected Gradient method
        ○ Linesearch procedures
        ○ Conjugate Gradient methods and Quasi Newton methods
        ○ Active set methods
        ○ Penalty/Barrier methods
        ○ Lagrangian and Augmented Lagrangian methods
        ○ Quadratic Programming
        ○ Applications with Rayleigh quotient

        Afternotes by the teacher. In addition, for some subjects in the program the students can consider the following textbooks.

        M.S.BAZARAA, H.D.SHERALI, C.M.SHETTY (1993) "Nonlinear Programming - Theory and Algorithms (2nd edition", John Wiley & Sons.

        D.P.BERTSEKAS (1982) "Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods", Academic Press.

        D.P.BERTSEKAS (1995) "Nonlinear Programming", Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, USA.

        R.WALTER (1976) "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill.

        C.H.Edwards, “Advanced Calculus of Several Variables”, Dover Publications, 2003

        B.T.M. Apostol “Calculus: Multivariable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability, vol. II, Second Edition”, John Wiley and Sons, Inc., 1973

        J.Nocedal, S.J.Wright, “Numerical Optimization, Second Edition”, Springer, 2006.

        S.Boyd, L.Vandenberghe “Convex Optimization”, Cambridge University Press, 2009.

        • Course with sustainable contents
        • University credits of sustainability: 3
        • Lecture notes, material for reference or for self-assessment available online or as e-book
        • E-learning, moodle platforms
        • Use of open-source software
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        The Data Controller is: Ca' Foscari University of Venice - Dorsoduro 3246, 30123 Venice (Italy) - www.unive.it.

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        Furthermore, with the introduction of HTML5, various forms of local storage and similar technologies are available, such as web beacons, tracking pixels and transparent GIFs, which can be used to collect information on user behaviour and choices and on the use of the services.

        In this document, to simplify, we will use the term “cookie” to refer to cookies and all similar technologies.

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        Ca’ Foscari University of Venice, as Data Controller pursuant to art. 13 of Regulation (EU) 2016/679 in the privacy policy published here, must inform users who may access institutional and/or official pages of Ca’ Foscari on the social networking platforms used by the University (e.g. Facebook, Instagram) or on other channels. The University and each social network provider (“SN Provider”) are joint Data Controllers of statistical data processed by the SN Provider, in accordance with the provisions set forth in Case C-210/16: Judgment of the Court (Grand Chamber) of 5 June 2018 of the European Union.

        The tools made available by social networking platforms for the visualisation of statistics (e.g. Facebook Insights) provide anonymised and aggregated data. The Data Controller nominated in the above-mentioned policy, despite being a joint Data Controller with the SN Provider, cannot access user details, as outlined in the information published by the SN Provider regarding the use of statistical data (e.g. Facebook’s Page Insights Controller Addendum).

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        You can exercise your rights towards the Data Controller at any time, pursuant to articles 15-22 of the Regulation (EU) 2016/679, and in particular the rights of access, rectification, completion and, in the cases allowed, the right to data portability, in addition to the right to erasure, restriction of processing or to object to the processing of data for legitimate reasons and to oppose the automated decision-making process, including profiling, by contacting the Data Controller at the above address or by sending an email to the appointed DPO at [email protected]

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        Updating the Policy

        Ca' Foscari University of Venice shall keep this information constantly updated and shall ensure that the updated policy is published on the websites concerned.


        Ver el vídeo: Teorema de Stokes (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Cesare

    Por supuesto. Esto fue y conmigo. Podemos comunicarnos sobre este tema.

  2. Fahey

    Te pido disculpas, pero, en mi opinión, no tienes razón. estoy seguro Lo sugiero para discutir. Escríbeme por PM, hablamos.

  3. Dilkree

    Está usted equivocado. Entra lo hablamos.

  4. Talrajas

    Bien hecho, tu idea es maravillosa

  5. Oba

    En mi opinión, no tienes razón. Estoy seguro. Puedo probarlo. Escríbeme en PM, nos comunicaremos.

  6. Wolfcot

    Lo siento, esta opción no me queda bien.



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