7.6: Diagonalización de matrices (2 times 2 ) y aplicaciones - Matemáticas

Sea (A = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} in mathbb {F} ^ {2 times 2} ), y recuerde que podemos definir un operador lineal (T in mathcal {L} ( mathbb {F} ^ {2}) ) en ( mathbb {F} ^ {2} ) estableciendo (T (v) = A v ) para cada (v = begin {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {F} ^ 2 ).

Un método para encontrar la información propia de (T ) es analizar las soluciones de la ecuación matricial (A v = lambda v ) para ( lambda in mathbb {F} ) y ( v in mathbb {F} ^ {2} ). En particular, usando la definición de autovector y autovalor, (v ) es un autovector asociado al autovalor ( lambda ) si y solo si (A v = T (v) = lambda v ).

Un método más simple involucra la ecuación matricial equivalente ((A - lambda I) v = 0 ), donde (I ) denota el mapa de identidad en ( mathbb {F} ^ {2} ). En particular, (0 neq v in mathbb {F} ^ {2} ) es un vector propio para (T ) asociado al valor propio ( lambda in mathbb {F} ) si y solo si el sistema de ecuaciones lineales

begin {ecuación}
izquierda.
begin {array} {rrrrr}
(a - lambda) v_ {1} & + & b v_ {2} & = & 0
c v_ {1} & + & (d - lambda) v_ {2} & = & 0
end {matriz}
right } label {7.6.1}
end {ecuación}

tiene una solución no trivial. Además, System ref {7.6.1} tiene una solución no trivial si y solo si el polinomio (p ( lambda) = (a - lambda) (d - lambda) - bc ) se evalúa como cero. (Consulte el ejercicio de redacción de pruebas 12 en Ejercicios para el capítulo 7.)

En otras palabras, los valores propios para (T ) son exactamente los ( lambda in mathbb {F} ) para los cuales (p ( lambda) = 0 ), y los vectores propios para (T ) asociados a un valor propio ( lambda ) son exactamente los vectores distintos de cero (v = begin {bmatrix} v_ {1} v_ {2} end {bmatrix} in mathbb {F} ^ 2 ) que satisfacen System ref {7.6.1}.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Sea (A = begin {bmatrix} -2 & -1 5 & 2 end {bmatrix} ). Entonces (p ( lambda) = (-2 - lambda) (2 - lambda) - (-1) (5) = lambda ^ {2} + 1 ), que es igual a cero exactamente cuando ( lambda = pm i ). Además, si ( lambda = i ), entonces el Sistema (7.6.1) se convierte en

[
izquierda.
begin {matriz} {rrrrr}
(-2 - i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0
5 v_ {1} & + & (2 - i) v_ {2} & = & 0
end {matriz}
derecho},
]

que se satisface con cualquier vector (v = begin {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {C} ^ 2 ) tal que (v_ {2} = (-2 - i) v_ {1} ). De manera similar, si ( lambda = -i ), entonces el Sistema ref {7.6.1} se convierte en

[
izquierda.
begin {matriz} {rrrrr}
(-2 + i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0
5 v_ {1} & + & (2 + i) v_ {2} & = & 0
end {matriz}
derecho},
]

que se satisface con cualquier vector (v = begin {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {C} ^ 2 ) tal que (v_ {2} = (-2 + i) v_ {1} ).

De ello se deduce que, dado (A = begin {bmatrix} -2 & -1 5 & 2 end {bmatrix} ), el operador lineal en ( mathbb {C} ^ {2} ) definido by (T (v) = A v ) tiene autovalores ( lambda = pm i ), con autovectores asociados como se describe arriba.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Toma la rotación (R_ theta: mathbb {R} ^ 2 a mathbb {R} ^ 2 ) por un ángulo ( theta in [0,2 pi) ) dado por la matriz

begin {ecuación *}
R_ theta = begin {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {bmatrix}
end {ecuación *}

Luego obtenemos los autovalores resolviendo la ecuación polinomial

begin {ecuación *}
begin {split}
p ( lambda) & = ( cos theta - lambda) ^ 2 + sin ^ 2 theta
& = lambda ^ 2-2 lambda cos theta + 1 = 0,
end {split}
end {ecuación *}

donde hemos utilizado el hecho de que ( sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 ). Resolviendo para ( lambda ) en ( mathbb {C} ), obtenemos

begin {ecuación *}
lambda = cos theta pm sqrt { cos ^ 2 theta -1} = cos theta pm sqrt {- sin ^ 2 theta}
= cos theta pm i sin theta = e ^ { pm i theta}.
end {ecuación *}

Vemos que, como operador sobre el espacio vectorial real ( mathbb {R} ^ 2 ), el operador (R_ theta ) solo tiene valores propios cuando ( theta = 0 ) o ( theta = pi ). Sin embargo, si interpretamos el vector ( begin {bmatrix} x_1 x_2 end {bmatrix} in mathbb {R} ^ 2 ) como un número complejo (z = x_1 + ix_2 ), entonces (z ) es un vector propio si (R_ theta: mathbb {C} to mathbb {C} ) maps (z mapsto lambda z = e ^ { pm i theta} z ) . Además, de la sección 2.3, sabemos que la multiplicación por (e ^ { pm i theta} ) corresponde a la rotación por el ángulo ( pm theta ).

Ver el vídeo: Diagonalización de matrices 2 (Julio 2022).