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2.7: Resolver aplicaciones con desigualdades lineales


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

Nota

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Escribe como una desigualdad: X tiene al menos 30.
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 2.7.34.
  2. Resuelve (8−3y <41 ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 2.7.22.

Resuelva aplicaciones con desigualdades lineales

Muchas situaciones de la vida real nos obligan a resolver desigualdades. Por ejemplo, ¿cuántos galones de gasolina se pueden poner en el automóvil por $ 20? ¿Es asequible el alquiler de un apartamento? ¿Hay suficiente tiempo antes de la clase para ir a almorzar, comer y regresar? ¿Cuánto dinero debería costar el regalo de vacaciones de cada miembro de la familia sin exceder el presupuesto?

El método que usaremos para resolver aplicaciones con desigualdades lineales es muy parecido al que usamos cuando resolvimos aplicaciones con ecuaciones. Leeremos el problema y nos aseguraremos de que se entiendan todas las palabras. A continuación, identificaremos lo que buscamos y asignaremos una variable para representarlo. Reexpresaremos el problema en una oración para que sea más fácil traducirlo en una desigualdad. Luego, resolveremos la desigualdad.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Emma consiguió un nuevo trabajo y tendrá que mudarse. Su ingreso mensual será de $ 5.265. Para calificar para alquilar un apartamento, los ingresos mensuales de Emma deben ser al menos tres veces más altos que el alquiler. ¿Cuál es el alquiler más alto para el que calificará Emma?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Lea} text {el problema.}} & {} { textbf {Paso 2. Identifique} text {lo que estamos buscando. }} & { text {el alquiler más alto para el que Emma calificará}} { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} {} & { text { Sea r = rent}} { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & {} { textbf {Paso 4. Traduzca} text {en una desigualdad.}} & {} {} & { text {Los ingresos mensuales de Emma deben ser al menos}} { text {Primero escribe una oración que dé la información}} & { text {tres veces el alquiler.}} { text { para encontrarlo.}} & {} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad.}} & {5265 geq 3r} { text {Recuerda,} a> x text {tiene el mismo significado}} & {1755 geq r} { text {as} x

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Alan está cargando un palé con cajas que pesan 45 libras cada una. La paleta no puede soportar de manera segura más de 900 libras. ¿Cuántas cajas puede cargar con seguridad en el palet?

Respuesta

No puede haber más de 20 cajas.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

El ascensor del edificio de apartamentos de Yehire tiene un letrero que dice que el peso máximo es de 2,100 libras. Si el peso promedio de una persona es de 150 libras, ¿cuántas personas pueden viajar con seguridad en el elevador?

Respuesta

Un máximo de 14 personas pueden viajar con seguridad en el ascensor.

A veces, una aplicación requiere que la solución sea un número entero, pero la solución algebraica de la desigualdad no es un número entero. En ese caso, debemos redondear la solución algebraica a un número entero. El contexto de la aplicación determinará si redondeamos hacia arriba o hacia abajo. Para verificar aplicaciones como esta, redondearemos nuestra respuesta a un número con el que sea fácil de calcular y nos aseguraremos de que ese número haga que la desigualdad sea verdadera.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Dawn ganó una mini-subvención de $ 4,000 para comprar tabletas para su salón de clases. Las tabletas que le gustaría comprar cuestan $ 254.12 cada una, incluidos impuestos y envío. ¿Cuál es el número máximo de tabletas que puede comprar Dawn?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Identifique} text {lo que estamos buscando.}} & { text {la cantidad máxima de tabletas que Dawn puede comprar}} { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} {} & { text {Sea n = el número de tabletas.}} { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & {} { textbf {Paso 4. Traduce.} text {escribe una oración que}} & {} { text {proporcione la información para encontrarla.}} & {$ 254.12 text {multiplicado por la cantidad de tabletas no}} {} & { text {más de $ 4000.}} { text {Traducir a una desigualdad.}} & {254.12n leq 4000} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad.}} & {n leq 15.74} { text {Pero n debe ser un número entero de tabletas,}} & {} { text {así que redondea a 15.}} & {n leq 15} { textbf {Paso 6. Verifica} text {la respuesta en el problema}} & {} { text {y haz seguro que tiene sentido.}} & {} { text {Redondear el precio a $ 250,}} & {} { text {15 tabletas costarían $ 3750, mientras que}} & {} { text {16 tabletas serían $ 4000. Entonces, a}} & {} { text {máximo de 15 tabletas a $ 254.12}} & {} { text {parece razonable.}} & {} { textbf {Paso 7. Respuesta} text {la respuesta en el problema} } & { text {la pregunta con un}} { text {oración completa.}} & { text {Dawn puede comprar un máximo de 15 tabletas.}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Angie tiene $ 20 para gastar en cajas de jugo para el picnic preescolar de su hijo. Cada paquete de cajas de jugo cuesta $ 2.63. ¿Cuál es el número máximo de paquetes que puede comprar?

Respuesta

siete paquetes

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Daniel quiere sorprender a su novia con una fiesta de cumpleaños en su restaurante favorito. Costará $ 42,75 por persona para la cena, incluida la propina y los impuestos. Su presupuesto para la fiesta es de $ 500. ¿Cuál es el número máximo de personas que Daniel puede tener en la fiesta?

Respuesta

11 personas

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Pete trabaja en una tienda de informática. Su paga semanal será una cantidad fija, $ 925 o $ 500 más el 12% de sus ventas totales. ¿Cuánto deberían ser sus ventas totales para que su opción de pago variable exceda la cantidad fija de $ 925?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Identifique} text {lo que estamos buscando.}} & { text {las ventas totales necesarias para su pago variable}} {} & { text {opción para exceder la cantidad fija de $ 925}} { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} {} & { text {Let s = las ventas totales.}} { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & {} { textbf {Paso 4. Traduzca.} text {escriba una oración que}} & { } { text {proporciona la información para encontrarlo.}} & {$ 500 text {más el 12% de las ventas totales es más de $ 925.}} { text {Traducir a una desigualdad. Recuerde} } & {500 + 0.12s> 925} { text {convierte el porcentaje a decimal.}} & {} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad.}} & {0.12s> 425} {} & {s> 3541. overline {66}} { textbf {Paso 6. Verifique} text {la respuesta en el problema}} & {} { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} { text {Redondear el precio a $ 250,}} & {} { text {15 tabletas costarían $ 3750, while}} & {} { text {Si redondeamos th e ventas totales hasta}} & {} { text { $ 4000, vemos que}} & {} { text {500 + 0.12 (4000) = 980, que es más}} & {} { text {que $ 925.}} & {} { textbf {Paso 7. Responda} text {la pregunta con una oración completa.}} & { text {Las ventas totales deben ser más que $ 3541.67}} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Tiffany acaba de graduarse de la universidad y su nuevo trabajo le pagará $ 20000 por año más el 2% de todas las ventas. Quiere ganar al menos $ 100.000 al año. ¿Con qué ventas totales podrá lograr su objetivo?

Respuesta

al menos $ 4000000

Ejercicio ( PageIndex {9} )

A Christian se le ha ofrecido un nuevo trabajo que paga $ 24000 al año más el 3% de las ventas. ¿Por qué ventas totales pagaría este nuevo trabajo más que su trabajo actual, que paga $ 60000?

Respuesta

al menos $ 1200000

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Sergio y Lizeth tienen un presupuesto vacacional muy ajustado. Planean alquilar un automóvil de una empresa que cobra $ 75 por semana más $ 0.25 por milla. ¿Cuántas millas pueden viajar y aún mantenerse dentro de su presupuesto de $ 200?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Identifica} text {lo que estamos buscando.}} & { text {la cantidad de millas que Sergio y Lizeth pueden viajar}} { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} {} & { text {Sea m = el número de millas.}} { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & {} { textbf {Paso 4. Traducir.} text {escribir una oración que}} & { text { $ 75 más 0.25 veces la cantidad de millas es}} { text {da la información para encontrarlo.}} & { text {menor o igual que $ 200.}} { text {Traducir a una desigualdad.}} & {75 + 25m leq 200} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad.}} & {0.25m leq 125} {} & {m leq 500 text {miles}} { textbf {Paso 6. Verifique} text {la respuesta en el problema}} & {} { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} { text {Sí, 75 + 0.25 (500) = 200.}} & {} { textbf {Paso 7. Responda} text {la pregunta con una oración completa.}} & { Text {Sergio y Lizeth pueden viajar 500 millas}} {} & { text {y aún se quedan dentro del presupuesto.}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

El plan telefónico de Taleisha le cuesta $ 28,80 al mes más $ 0,20 por mensaje de texto. ¿Cuántos mensajes de texto puede usar y mantener su factura telefónica mensual no más de $ 50?

Respuesta

no más de 106 mensajes de texto

Ejercicio ( PageIndex {12} )

La factura de calefacción de Rameen es de $ 5.42 por mes más $ 1.08 por termia. ¿Cuántas termias puede usar Rameen si quiere que su factura de calefacción sea un máximo de $ 87.50?

Respuesta

no más de 76 termias

Un objetivo común de la mayoría de las empresas es obtener beneficios. Lucro es el dinero que queda cuando se han restado los gastos del dinero ganado. En el siguiente ejemplo, encontraremos la cantidad de trabajos que un pequeño empresario necesita hacer cada mes para hacer una cierta cantidad de lucro.

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Elliot tiene un negocio de mantenimiento de jardines. Sus gastos mensuales son $ 1,100. Si cobra $ 60 por trabajo, ¿cuántos trabajos debe hacer para obtener una ganancia de al menos $ 4,000 al mes?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Identifique} text {lo que estamos buscando.}} & { text {la cantidad de trabajos que Elliot necesita}} { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} { text {Elija una variable para representarlo}} & { text {Sea j = el número de trabajos.}} { textbf {Paso 4. Traduce.} text {escribe una oración que}} & { text { $ 60 veces el número de trabajos menos $ 1,100 es al menos $ 4,000.}} { text {da la información para encontrarlo.}} & { text {menor o igual que $ 200.}} { text {Traducir a una desigualdad.}} & {60j - 1100 geq 4000} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad.}} & {60j geq 5100} {} & {j geq 85 text {jobs}} { textbf {Paso 6. Verifica} text {la respuesta en el problema}} & {} { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} { text {Si Elliot hiciera 90 trabajos, su beneficio sería}} & {} { text {60 (90) −1,100, o $ 4,300. Esto es}} & {} { text {más de $ 4,000.}} & {} { textbf {Paso 7 . Responda} text {la pregunta con una oración completa.}} & { text {Elliot debe tener al menos 85 trabajos.}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Caleb tiene un negocio de cuidado de mascotas. Cobra $ 32 por hora. Sus gastos mensuales son $ 2272. ¿Cuántas horas debe trabajar para obtener una ganancia de al menos $ 800 al mes?

Respuesta

al menos 96 horas

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Felicity tiene un negocio de caligrafía. Cobra $ 2.50 por invitación de boda. Sus gastos mensuales son de $ 650. ¿Cuántas invitaciones debe escribir para obtener una ganancia de al menos $ 2800 por mes?

Respuesta

al menos 1380 invitaciones

¡A veces la vida se complica! Hay muchas situaciones en las que varias cantidades contribuyen al gasto total. Debemos asegurarnos de tener en cuenta todos los gastos individuales cuando resolvemos problemas como este.

Ejercicio ( PageIndex {16} )

La mejor amiga de Brenda va a celebrar una boda en el destino y el evento durará 3 días. Brenda tiene un ahorro de $ 500 y puede ganar $ 15 por hora cuidando niños. Ella espera pagar $ 350 por pasaje aéreo, $ 375 por comida y entretenimiento y $ 60 por noche por su parte de la habitación de hotel. ¿Cuántas horas debe cuidar a los niños para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Identifica} text {lo que estamos buscando.}} & { text {la cantidad de horas que Brenda debe cuidar a los niños}} { textbf { Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & { Text {Sea h = la cantidad de horas.}} { textbf {Paso 4. Traduce.} text {escribe una oración que}} & {} { text {proporcione la información para encontrarla.}} & {} {} & { text {Los gastos deben ser menores o iguales a}} {} & { text {los ingresos. El costo del pasaje aéreo más el}} {} & { text {costo de la comida y el entretenimiento y el}} {} & { text {la factura del hotel debe ser menor o igual que los ahorros}} {} & { text {más la cantidad ganada por cuidar niños.}} { text {Traducir a una desigualdad. }} & { $ 350 + $ 375 + $ 60 (3) leq $ 500 + $ 15h} { textbf {Paso 5. Resuelve} text {la desigualdad.}} & {905 leq 500 + 15h} {} & {405 leq 15h} {} & {27 leq h} {} & {h geq 27} { textbf {Paso 6. Verificar} text {la respuesta en el problema}} & {} { tex t {y asegúrate de que tenga sentido.}} & {} { text {Sustituimos 27 en la desigualdad.}} & {} {905 leq 500 + 15h} & {} {905 leq 500 + 15 (27)} & {} {905 leq 905} & {} { textbf {Paso 7. Responda} text {la pregunta con una oración completa.}} & { text {Brenda debe cuidar niños al menos 27 horas.}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Malik está planeando un viaje de vacaciones de verano de 6 días. Tiene ahorros de $ 840 y gana $ 45 por hora por tutoría. El viaje le costará $ 525 por pasaje aéreo, $ 780 por comida y turismo, y $ 95 por noche para el hotel. ¿Cuántas horas debe ser tutor para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta

al menos 23 horas

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Josué quiere hacer un viaje por carretera de 10 días la próxima primavera. Le costará $ 180 por gasolina, $ 450 por comida y $ 49 por noche por un motel. Tiene $ 520 en ahorros y puede ganar $ 30 por cada camino de entrada quitando nieve. ¿Cuántos caminos de entrada debe excavar para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta

al menos 20 entradas de vehículos

Conceptos clave

  • Resolver desigualdades
    1. Leer el problema.
    2. Identificar Qué estamos buscando.
    3. Nombre Qué estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
    4. Traducir. Escribe una oración que dé la información para encontrarla. Traducir en una desigualdad.
    5. Resolver la desigualdad.
    6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

Hoja de trabajo 16: Resolver desigualdades lineales [Sección 2.7] Mi abuelo me dijo una vez que había dos tipos de personas: las que hacen el trabajo y las que me dijeron que intentara estar en el primer grupo que había mucha menos competencia. -Indira Gandhi Este icono indica ejercicios que se centran en conceptos que a menudo son fuente de errores. Unc estos conceptos le ayudarán a evitar errores comunes. Conceptos clave 1. Elija la opción que produce una declaración verdadera. una. En notación de intervalo, siempre se usan con -e o o. I. paréntesis ii. corchetes b. En la notación de intervalo, los números siempre se colocan primero. ii. positivo i. negativo iii. más pequeño Al resolver una desigualdad, obtienes un enunciado falso como 1 & gt 2, la solución es i. (-2,7) C. ii. 0 iii. el conjunto vacío o Ø d. Al resolver una desigualdad, obtienes un enunciado verdadero como 2 1, la solución es i. (4,2) ii. 0 iii. el conjunto vacío o C 2. Para cada gráfico (Figuras I-VI), elija la notación de intervalo correcta (a-g). Notación de intervalo de gráfico Figura I: d. la. B)

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Transcripción de imágenescerca

Hoja de trabajo 16: Resolver desigualdades lineales [Sección 2.7] Mi abuelo me dijo una vez que había dos tipos de personas: las que hacen el trabajo y las que me dijeron que intentara estar en el primer grupo que había mucha menos competencia. -Indira Gandhi Este icono indica ejercicios que se centran en conceptos que a menudo son fuente de errores. Unc estos conceptos le ayudarán a evitar errores comunes. Conceptos clave 1. Elija la opción que produce una declaración verdadera. una. En notación de intervalo, siempre se usan con -e o o. I. paréntesis ii. corchetes b. En la notación de intervalo, los números siempre se colocan primero. ii. positivo i. negativo iii. más pequeño Al resolver una desigualdad, obtienes un enunciado falso como 1 & gt 2, la solución es i. (-2,7) C. ii. 0 iii. el conjunto vacío o Ø d. Al resolver una desigualdad, obtienes un enunciado verdadero como 2 1, la solución es i. (4,2) ii. 0 iii. el conjunto vacío o C 2. Para cada gráfico (Figuras I-VI), elija la notación de intervalo correcta (a-g). Notación de intervalo de gráfico Figura I: d. la. B)


4.2 Resolver aplicaciones con sistemas de ecuaciones

La suma de dos veces un número y nueve es 31. Calcula el número.
Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 2.15.

Los gemelos Jon y Ron ganaron juntos $ 96,000 el año pasado. Ron ganó $ 8000 más de tres veces lo que ganó Jon. ¿Cuánto ganó cada uno de los gemelos?
Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 2.19.

Un tren expreso y un tren local salen de Pittsburgh para viajar a Washington, D.C. El tren expreso puede hacer el viaje en cuatro horas y el tren local tarda cinco horas. La velocidad del tren expreso es 12 millas por hora más rápida que la velocidad del tren local. Calcula la velocidad de ambos trenes.
Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 2.43.

Resolver aplicaciones de traducción directa

Los sistemas de ecuaciones lineales son muy útiles para resolver aplicaciones. Algunas personas encuentran más fácil establecer problemas de palabras con dos variables que hacerlo con una sola variable. Para resolver una aplicación, primero traduciremos las palabras a un sistema de ecuaciones lineales. Luego, decidiremos el método más conveniente para usar y luego resolveremos el sistema.

Cómo

Resolver aplicaciones con sistemas de ecuaciones.

  1. Paso 1. Leer el problema. Asegúrese de que se comprendan todas las palabras e ideas.
  2. Paso 2. Identificar Qué estamos buscando.
  3. Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Elija variables para representar esas cantidades.
  4. Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones.
  5. Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones utilizando buenas técnicas de álgebra.
  6. Paso 6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  7. Paso 7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

Resolvimos problemas numéricos con una variable antes. Veamos qué tan diferente funciona con dos variables.

Ejemplo 4.14

La suma de dos números es cero. Un número es nueve menos que el otro. Encuentra los números.

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. Buscamos dos números.
Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Sea n = n = el primer número.
m = m = el segundo número
Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. La suma de dos números es cero.
Un número es nueve menos que el otro.
El sistema es:
Paso 5. Resuelve el sistema de
ecuaciones. Usaremos sustitución
ya que se resuelve la segunda ecuación
por norte.
Sustituir metro - 9 para norte en la primera ecuación.
Resolver metro.
Sustituya m = 9 2 m = 9 2 en la segunda ecuación
y luego resolver para norte.
Paso 6. Verificar la respuesta en el problema. ¿Tienen sentido estos números en
¿el problema? Dejaremos esto a
¡usted!
Paso 7. Respuesta la pregunta. Los números son 9 2 9 2 y - 9 2. - 9 2.

La suma de dos números es 10. Un número es 4 menos que el otro. Encuentra los números.

Ejemplo 4.15

A Heather se le han ofrecido dos opciones por su salario como entrenadora en el gimnasio. La opción A le pagaría $ 25,000 más $ 15 por cada sesión de entrenamiento. La opción B le pagaría $ 10,000 + $ 40 $ 10,000 + $ 40 por cada sesión de entrenamiento. ¿Cuántas sesiones de formación igualarían las opciones salariales?

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. Estamos buscando el número de
sesiones de entrenamiento que harían
la paga igual.
Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Sea s = s = el salario de Heather.
n = n = el número de sesiones de entrenamiento
Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. La opción A le pagaría $ 25,000
más $ 15 por cada entrenamiento
sesión.
La opción B le pagaría $ 10,000
+ $ 40 por cada sesión de entrenamiento.
Se muestra el sistema.
Paso 5. Resuelve el sistema de ecuaciones.
Usaremos sustitución.
Sustituir 25.000 +15norte por s en el segundo
ecuación.
Resolver norte.
Paso 6. Verificar la respuesta. ¿Son razonables 600 sesiones de formación al año?
¿Son las dos opciones iguales cuando norte = 600?
Paso 7. Respuesta la pregunta. Las opciones salariales serían iguales para 600 entrenamientos
sesiones.

A Geraldine le han ofrecido puestos dos compañías de seguros. La primera empresa paga un salario de $ 12.000 más una comisión de $ 100 por cada póliza vendida. El segundo paga un salario de 20.000 dólares más una comisión de 50 dólares por cada póliza vendida. ¿Cuántas pólizas deberían venderse para que el pago total sea el mismo?

Kenneth actualmente vende trajes para la empresa A con un salario de $ 22,000 más una comisión de $ 10 por cada traje vendido. La Compañía B le ofrece un puesto con un salario de $ 28,000 más una comisión de $ 4 por cada traje vendido. ¿Cuántos trajes necesitaría vender Kenneth para que las opciones fueran iguales?

A medida que resuelve cada aplicación, recuerde analizar qué método para resolver el sistema de ecuaciones sería más conveniente.

Ejemplo 4.16

Traduzca a un sistema de ecuaciones y luego resuelva:

Cuando Jenna pasó 10 minutos en el entrenador elíptico y luego hizo un entrenamiento de circuito durante 20 minutos, su aplicación de fitness dice que quemó 278 calorías. Cuando pasó 20 minutos en la bicicleta elíptica y 30 minutos entrenando en circuito, quemó 473 calorías. ¿Cuántas calorías quema por cada minuto en la bicicleta elíptica? ¿Cuántas calorías por cada minuto de circuito de entrenamiento?

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. Estamos buscando el número de
calorías quemadas cada minuto en el
entrenador elíptico y cada minuto de
entrenamiento de circuito.
Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Sea e = e = número de calorías quemadas por
minuto en la bicicleta elíptica.
c = c = número de calorías quemadas por
minuto durante el entrenamiento en circuito
Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. 10 minutos en elíptica y circuito
entrenamiento durante 20 minutos, quemado
278 calorías
20 minutos en elíptica y
30 minutos de entrenamiento en circuito quemados
473 calorías
El sistema es:
Paso 5. Resuelve el sistema de ecuaciones.
Multiplica la primera ecuación por −2 para obtener
coeficientes opuestos de mi.
Simplifica y suma las ecuaciones.
Resolver C.
Sustituir C = 8,3 en uno de los
ecuaciones originales para resolver mi.
Paso 6. Verificar la respuesta en el problema. Revisa las matemáticas por tu cuenta.
Paso 7. Respuesta la pregunta. Jenna quema 8,3 calorías por minuto
entrenamiento en circuito y 11,2 calorías por
minuto mientras está en el entrenador elíptico.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Mark fue al gimnasio e hizo 40 minutos de Bikram hot yoga y 10 minutos de saltos. Quemó 510 calorías. La próxima vez que fue al gimnasio, hizo 30 minutos de Bikram hot yoga y 20 minutos de saltos quemando 470 calorías. ¿Cuántas calorías se quemaron por cada minuto de yoga? ¿Cuántas calorías se quemaron por cada minuto de saltos?

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Erin pasó 30 minutos en la máquina de remo y 20 minutos levantando pesas en el gimnasio y quemó 430 calorías. Durante su siguiente visita al gimnasio, pasó 50 minutos en la máquina de remo y 10 minutos levantando pesas y quemó 600 calorías. ¿Cuántas calorías quemó por cada minuto en la máquina de remo? ¿Cuántas calorías quemó por cada minuto de levantamiento de pesas?

Resolver aplicaciones de geometría

Ahora resolveremos aplicaciones de geometría utilizando sistemas de ecuaciones lineales. Necesitaremos agregar ángulos complementarios y ángulos complementarios a nuestra lista de algunas propiedades de los ángulos.

Las medidas de dos ángulos complementarios suman 90 grados. Las medidas de dos ángulos suplementarios suman 180 grados.

Ángulos complementarios y suplementarios

Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas de sus ángulos es 90 grados.

Dos ángulos son suplementarios si la suma de las medidas de sus ángulos es 180 grados.

Si dos ángulos son complementarios, decimos que un ángulo es el complemento del otro.

Si dos ángulos son suplementarios, decimos que un ángulo es el complemento del otro.

Ejemplo 4.17

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve.

La diferencia de dos ángulos complementarios es de 26 grados. Encuentra la medida de los ángulos.

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. Buscamos la medida de cada ángulo.
Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Sea x = la medida del primer ángulo. y = la medida del segundo ángulo Sea x = la medida del primer ángulo. y = la medida del segundo ángulo
Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. Los ángulos son complementarios.
x + y = 90 x + y = 90
La diferencia de los dos ángulos es de 26 grados.
x - y = 26 x - y = 26
Se muestra el sistema.
Paso 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por eliminación.
Sustituya x = 58 x = 58 en la primera ecuación. x = 58 x + y = 90 58 + y = 90 y = 32 x = 58 x + y = 90 58 + y = 90 y = 32
Paso 6. Verificar la respuesta en el problema.
58 + 32 = 90 ✓ 58 − 32 = 26 ✓ 58 + 32 = 90 ✓ 58 − 32 = 26 ✓
Paso 7. Respuesta la pregunta. Las medidas de los ángulos son 58 y 32 grados.

Traduzca a un sistema de ecuaciones y luego resuelva:

La diferencia de dos ángulos complementarios es de 20 grados. Encuentra la medida de los ángulos.

Traduzca a un sistema de ecuaciones y luego resuelva:

La diferencia de dos ángulos complementarios es de 80 grados. Encuentra la medida de los ángulos.

En el siguiente ejemplo, recordamos que las medidas de los ángulos suplementarios suman 180.

Ejemplo 4.18

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Dos ángulos son suplementarios. La medida del ángulo mayor es doce grados menos que cinco veces la medida del ángulo menor. Calcula las medidas de ambos ángulos.

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estamos buscando. Buscamos medida de cada
ángulo.
Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Sea x = x = la medida del primer ángulo.
y = y = la medida del segundo ángulo
Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. Los ángulos son suplementarios.
El ángulo mayor es doce menos que cinco
veces el ángulo más pequeño.
Se muestra el sistema:
Paso 5. Resuelve el sistema de sustitución de ecuaciones.
Sustituir 5X - 12 para y en la primera ecuación.
Resolver X.


Sustituye 32 por X en el segundo
ecuación, luego resuelve para y.

Paso 6. Verificar la respuesta en el problema.
Paso 7. Respuesta la pregunta. Las medidas de los ángulos son 148 y 32 grados.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Dos ángulos son suplementarios. La medida del ángulo más grande es 12 grados más que tres veces el ángulo más pequeño. Encuentra la medida de los ángulos.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Dos ángulos son suplementarios. La medida del ángulo mayor es menor que el doble de la medida del ángulo menor. Encuentra la medida de los ángulos.

Recuerda que los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 grados. ¿Qué nos dice eso sobre los otros dos ángulos? En el siguiente ejemplo encontraremos las medidas de los otros dos ángulos.

Ejemplo 4.19

La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es diez más que tres veces la medida del otro ángulo pequeño. Calcula las medidas de ambos ángulos.

Solución

Dibujaremos y etiquetaremos una figura.

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando. Buscamos las medidas de los ángulos.
Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Sea a = a = la medida del primer ángulo.
b = b = la medida del segundo ángulo
Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es diez más que tres veces la medida del otro ángulo pequeño.
La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180.


Se muestra el sistema.
Paso 5. Resuelve el sistema de ecuaciones. Usaremos sustitución ya que la primera ecuación se resuelve para a.
Sustituye 3 b + 10 3 b + 10 por a en la segunda ecuación.
Resolver B.
Sustituye b = 20 b = 20 en la primera ecuación y luego resuelve para una.
Paso 6. Verificar la respuesta en el problema. ¡Te lo dejamos a ti!
Paso 7. Respuesta la pregunta. Las medidas de los ángulos pequeños son 20 y 70 grados.

La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es 2 más que 3 veces la medida del otro ángulo pequeño. Calcula la medida de ambos ángulos.

La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es 18 menos que el doble de la medida del otro ángulo pequeño. Calcula la medida de ambos ángulos.

A menudo, al resolver aplicaciones de geometría, es útil hacer un dibujo para visualizar la situación.

Ejemplo 4.20

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Randall tiene 125 pies de cerca para encerrar la parte de su patio trasero adyacente a su casa. Solo necesitará cercar alrededor de tres lados, porque el cuarto lado será la pared de la casa. Quiere que el largo del patio cercado (paralelo a la pared de la casa) sea 5 pies más de cuatro veces más largo que el ancho. Encuentra la longitud y la anchura.

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando. Buscamos el largo y el ancho.
Paso 3. Nombre Qué estamos buscando. Sea L = L = la longitud del patio cercado.
W = W = el ancho del patio cercado
Paso 4. Traducir en un sistema de ecuaciones. Una longitud y dos anchos equivalen a 125.
La longitud será de 5 pies más que
cuatro veces el ancho.
Se muestra el sistema.

Paso 5. Resuelve El sistema de ecuaciones
por sustitución.
Sustituir L = 4W + 5 en el primero
ecuación, luego resuelve para W.
Sustituye 20 por W en el segundo
ecuación, luego resuelve para L.
Paso 6. Verificar la respuesta en el
problema.
Paso 7. Respuesta la ecuacion. La longitud es de 85 pies y el ancho es de 20 pies.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Mario quiere poner una cerca alrededor de la piscina en su patio trasero. Dado que un lado es adyacente a la casa, solo necesitará cercar tres lados. Hay dos lados largos y el lado más corto es paralelo a la casa. Necesita 155 pies de cerca para cerrar la piscina. La longitud del lado largo es 10 pies menos que el doble del ancho. Encuentre la longitud y el ancho del área de la piscina que se va a cerrar.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Alexis quiere construir un parque para perros rectangular en su jardín junto a la cerca de su vecino. Ella usará 136 pies de cerca para encerrar completamente el corredor para perros rectangular. La longitud del perro que corre a lo largo de la cerca del vecino será de 16 pies menos que el doble del ancho. Calcula la longitud y el ancho del recorrido para perros.

Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

Usamos una tabla para organizar la información en problemas de movimiento uniforme cuando los presentamos anteriormente. Continuaremos usando la tabla aquí. La ecuación básica fue D = r t D = r t donde D es la distancia recorrida, r es la tasa, y t es la hora.

Nuestro primer ejemplo de una aplicación de movimiento uniforme será para una situación similar a algunas que ya hemos visto, pero ahora podemos usar dos variables y dos ecuaciones.

Ejemplo 4.21

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Joni salió de St. Louis por la interestatal, conduciendo hacia el oeste hacia Denver a una velocidad de 65 millas por hora. Media hora después, Kelly salió de St. Louis por la misma ruta que Joni, conduciendo a 78 millas por hora. ¿Cuánto tardará Kelly en alcanzar a Joni?

Solución

Un diagrama es útil para ayudarnos a visualizar la situación.

Identificar y nombrar Qué estamos buscando. Un gráfico nos ayudará a organizar los datos. Conocemos las tasas tanto de Joni como de Kelly, por lo que las ingresamos en el gráfico. Estamos buscando la cantidad de tiempo que Kelly, k, y Joni, j, cada uno conducirá.

Traducir en un sistema de ecuaciones.

Para hacer el sistema de ecuaciones, debemos reconocer que Kelly y Joni recorrerán la misma distancia. Entonces,

Además, como Kelly se fue más tarde, su tiempo será 1 2 1 2 hora menos que el tiempo de Joni. Entonces,

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Mitchell salió de Detroit por la interestatal conduciendo hacia el sur hacia Orlando a una velocidad de 60 millas por hora. Clark salió de Detroit 1 hora más tarde viajando a una velocidad de 75 millas por hora, siguiendo la misma ruta que Mitchell. ¿Cuánto tiempo tardará Clark en atrapar a Mitchell?

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Charlie salió de la casa de su madre viajando a una velocidad promedio de 36 millas por hora. Su hermana Sally partió 15 minutos (1 4 horas) (1 4 horas) más tarde recorriendo la misma ruta a una velocidad promedio de 42 millas por hora. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que Sally alcance a Charlie?

Muchas aplicaciones del movimiento uniforme en el mundo real surgen debido a los efectos de las corrientes (de agua o de aire) sobre la velocidad real de un vehículo. Los vuelos en avión a campo traviesa en los Estados Unidos generalmente toman más tiempo hacia el oeste que hacia el este debido a las corrientes de viento predominantes.

Echemos un vistazo a un barco que viaja por un río. Dependiendo de la dirección en la que vaya el barco, la corriente del agua lo ralentiza o lo acelera.

Las siguientes imágenes muestran cómo la corriente de un río afecta la velocidad a la que realmente viaja un barco. Llamaremos a la velocidad del barco en aguas tranquilas B y la velocidad de la corriente del río C.

El barco va río abajo, en la misma dirección que la corriente del río. La corriente ayuda a empujar el barco, por lo que la velocidad real del barco es más rápida que su velocidad en aguas tranquilas. La velocidad real a la que se mueve el barco es b + c. b + c.

Ahora, el barco va río arriba, frente a la corriente del río. La corriente va en contra del barco, por lo que la velocidad real del barco es más lenta que su velocidad en aguas tranquilas. La velocidad real del barco es b - c. b - c.

Pondremos algunos números a esta situación en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.22

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve.

Un crucero fluvial navegó 60 millas río abajo durante 4 horas y luego tomó 5 horas navegando río arriba para regresar al muelle. Calcula la rapidez del barco en aguas tranquilas y la rapidez de la corriente del río.

Solución

Leer el problema. Este es un problema de movimiento uniforme y un
La imagen nos ayudará a visualizar la situación.
Identificar Qué estamos buscando. Buscamos la velocidad del barco
en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.
Nombre Qué estamos buscando. Sea s = s = la velocidad del barco en aguas tranquilas.
c = c = la tasa de la corriente
Un cuadro nos ayudará a organizar la información.
El barco va río abajo y luego río arriba.
Yendo río abajo, la corriente ayuda al
barco, por lo que la tarifa real del barco es s + C.
Yendo río arriba, la corriente ralentiza el barco
y entonces la tasa real es sC.
Aguas abajo se necesitan 4 horas.
Aguas arriba se necesitan 5 horas.
En cada sentido, la distancia es de 60 millas.
Traducir en un sistema de ecuaciones.
Dado que la tasa multiplicada por el tiempo es la distancia, podemos
escribe el sistema de ecuaciones.
Resolver el sistema de ecuaciones.
Distribuir para poner ambas ecuaciones en estándar
forma, luego resuelva por eliminación.
Multiplica la ecuación superior por 5 y la
ecuación inferior por 4.
Suma las ecuaciones, luego resuelve para s.
Sustituir s = 13,5 en el original
ecuaciones.
Cheque la respuesta en el problema.
La tasa de aguas abajo sería
13,5 + 1,5 = 15 13,5 + 1,5 = 15 mph.
En 4 horas el barco viajaría
15 · 4 = 60 15 · 4 = 60 millas.
La tasa de aguas arriba sería
13,5 - 1,5 = 12 13,5 - 1,5 = 12 mph.
En 5 horas el barco viajaría
12 · 5 = 60 12 · 5 = 60 millas.
Respuesta la pregunta. La velocidad del barco es de 13,5 mph y
la velocidad de la corriente es de 1,5 mph.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Un crucero en barco por el río Mississippi navegó 120 millas río arriba durante 12 horas y luego tardó 10 horas en regresar al muelle. Encuentre la rapidez del bote fluvial en aguas tranquilas y la rapidez de la corriente fluvial.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Jason remó su canoa 24 millas río arriba durante 4 horas. Le tomó 3 horas remar de regreso. Calcula la velocidad de la canoa en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente del río.

Las corrientes de viento afectan la velocidad de los aviones de la misma manera que las corrientes de agua afectan la velocidad de los barcos. Veremos esto en el siguiente ejemplo. Una corriente de viento en la misma dirección en la que vuela el avión se llama viento de cola. Una corriente de viento que sopla en contra de la dirección del avión se llama viento en contra.

Ejemplo 4.23

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Un jet privado puede volar 1.095 millas en tres horas con viento de cola, pero solo 987 millas en tres horas con viento en contra. Encuentre la velocidad del chorro en aire en calma y la velocidad del viento.

Solución

Leer el problema. Este es un problema de movimiento uniforme y un
la imagen nos ayudará a visualizar.
Identificar Qué estamos buscando. Buscamos la velocidad del jet
en el aire quieto y la velocidad del viento.
Nombre Qué estamos buscando. Sea j = j = la velocidad del chorro en aire en calma.
w = w = la velocidad del viento.
Un cuadro nos ayudará a organizar la información.
El avión realiza dos viajes, uno con viento de cola.
y uno con viento en contra.
En un viento de cola, el viento ayuda al jet y así
la tasa es j + w.
En un viento en contra, el viento frena el jet y
entonces la tasa es jw.
Cada viaje dura 3 horas.
Con viento de cola, el jet vuela 1.095 millas.
Con viento en contra, el jet vuela 987 millas.
Traducir en un sistema de ecuaciones.
Dado que la tasa multiplicada por el tiempo es la distancia, obtenemos el
sistema de ecuaciones.
Resolver el sistema de ecuaciones.
Distribuya, luego resuelva por eliminación.
Suma y resuelve j.
Sustituir j = 347 en uno de los originales
ecuaciones, luego resuelva para w.
Cheque la respuesta en el problema.
Con el viento de cola, la tasa real de
jet sería
347 + 18 = 365 347 + 18 = 365 mph.
En 3 horas el jet viajaría
365 · 3 = 1,095 365 · 3 = 1,095 millas
Entrando en el viento en contra, el jet real
la tasa sería
347 - 18 = 329 347 - 18 = 329 mph.
En 3 horas el jet viajaría
329 · 3 = 987 329 · 3 = 987 millas.
Respuesta la pregunta. La velocidad del jet es 347 mph y el
la velocidad del viento es de 18 mph.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Un pequeño jet puede volar 1325 millas en 5 horas con viento de cola, pero solo 1,035 millas en 5 horas con viento en contra. Encuentre la velocidad del chorro en aire en calma y la velocidad del viento.

Traduce a un sistema de ecuaciones y luego resuelve:

Un jet comercial puede volar 1,728 millas en 4 horas con viento de cola, pero solo 1,536 millas en 4 horas con viento en contra. Encuentre la velocidad del chorro en aire en calma y la velocidad del viento.

Medios de comunicación

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con sistemas de ecuaciones.

Sección 4.2 Ejercicios

La práctica hace la perfección

Aplicaciones de traducción directa

En los siguientes ejercicios, traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva.

La suma de dos números es 15. Un número es 3 menos que el otro. Encuentra los números.

La suma de dos números es 30. Un número es 4 menos que el otro. Encuentra los números.

La suma de dos números es −16. Un número es 20 menos que el otro. Encuentra los números.

La suma de dos números es 65. Su diferencia es 25. Halla los números.

La suma de dos números es 37. Su diferencia es 9. Halla los números.

A Maxim le han ofrecido puestos dos empresas de automóviles. La primera empresa paga un salario de $ 10,000 más una comisión de $ 1000 por cada automóvil vendido. El segundo paga un salario de 20.000 dólares más una comisión de 500 dólares por cada coche vendido. ¿Cuántos coches se necesitarían vender para que el pago total fuera igual?

A Jackie le han ofrecido puestos dos empresas de cable. La primera empresa paga un salario de $ 14.000 más una comisión de $ 100 por cada paquete de cable vendido. El segundo paga un salario de 20.000 dólares más una comisión de 25 dólares por cada paquete de cable vendido. ¿Cuántos paquetes de cable deberían venderse para que el pago total sea igual?

Actualmente, Amara vende televisores para la empresa A con un salario de 17.000 dólares más una comisión de 100 dólares por cada televisor que vende. La Compañía B le ofrece un puesto con un salario de $ 29,000 más una comisión de $ 20 por cada televisor que vende. ¿Cómo necesitaría vender Amara los televisores para que las opciones fueran iguales?

Mitchell actualmente vende estufas para la empresa A con un salario de $ 12,000 más una comisión de $ 150 por cada estufa que vende. La empresa B le ofrece un puesto con un salario de $ 24,000 más una comisión de $ 50 por cada estufa que vende. ¿Cuántas estufas necesitaría vender Mitchell para que las opciones fueran iguales?

Dos contenedores de gasolina contienen un total de cincuenta galones. El recipiente grande puede contener diez galones menos del doble del recipiente pequeño. ¿Cuántos galones tiene cada recipiente?

June necesita 48 galones de ponche para una fiesta y tiene dos refrigeradores diferentes para llevarlo adentro. El refrigerador más grande es cinco veces más grande que el refrigerador más pequeño. ¿Cuántos galones puede contener cada enfriador?

Shelly pasó 10 minutos trotando y 20 minutos en bicicleta y quemó 300 calorías. Al día siguiente, Shelly cambió de horario, hizo 20 minutos de jogging y 10 minutos de ciclismo y quemó la misma cantidad de calorías. ¿Cuántas calorías se quemaron por cada minuto de trote y cuántas por cada minuto de ciclismo?

Drew quemó 1800 calorías el viernes jugando una hora de baloncesto y piragüismo durante dos horas. El sábado pasó dos horas jugando baloncesto y tres horas en canoa y quemó 3200 calorías. ¿Cuántas calorías quemó por hora cuando jugaba baloncesto? ¿Cuántas calorías quemó por hora al navegar en canoa?

Troy y Lisa estaban comprando útiles escolares. Cada uno compró diferentes cantidades del mismo portátil y memoria USB. Troy compró cuatro portátiles y cinco memorias USB por 116 dólares. Lisa compró dos cuadernos y tres inmersiones de pulgar por $ 68. Encuentre el costo de cada computadora portátil y cada unidad de memoria USB.

Nancy compró siete libras de naranjas y tres libras de plátanos por $ 17. Más tarde, su esposo compró tres libras de naranjas y seis libras de plátanos por $ 12. ¿Cuál fue el costo por libra de las naranjas y los plátanos?

Andrea está comprando camisetas y suéteres nuevos. Puede comprar 3 camisas y 2 suéteres por $ 114 o puede comprar 2 camisas y 4 suéteres por $ 164. ¿Cuánto cuesta una camisa? ¿Cuánto cuesta un suéter?

Peter está comprando material de oficina. Puede comprar 3 paquetes de papel y 4 engrapadoras por $ 40 o puede comprar 5 paquetes de papel y 6 engrapadoras por $ 62. ¿Cuánto cuesta un paquete de papel? ¿Cuánto cuesta una grapadora?

La cantidad total de sodio en 2 salchichas y 3 tazas de requesón es de 4720 mg. La cantidad total de sodio en 5 perros calientes y 2 tazas de requesón es 6300 mg. ¿Cuánto sodio hay en un hot dog? ¿Cuánto sodio hay en una taza de requesón?

La cantidad total de calorías en 2 perros calientes y 3 tazas de requesón es de 960 calorías. La cantidad total de calorías en 5 perros calientes y 2 tazas de requesón es 1190 calorías. ¿Cuántas calorías tiene un hot dog? ¿Cuántas calorías hay en una taza de requesón?

Molly está haciendo agua con infusión de fresa. Por cada onza de jugo de fresa, usa tres veces más onzas de agua que de jugo. ¿Cuántas onzas de jugo de fresa y cuántas onzas de agua necesita para hacer 64 onzas de agua con infusión de fresa?

Owen está haciendo limonada con concentrado. La cantidad de litros de agua que necesita es 4 veces la cantidad de litros de concentrado. ¿Cuántos litros de agua y cuántos litros de concentrado necesita Owen para hacer 100 litros de limonada?

Resolver aplicaciones de geometría

En los siguientes ejercicios, traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva.

La diferencia de dos ángulos complementarios es de 55 grados. Encuentra la medida de los ángulos.

La diferencia de dos ángulos complementarios es de 17 grados. Encuentra la medida de los ángulos.

Dos ángulos son complementarios. La medida del ángulo mayor es doce menos que el doble de la medida del ángulo menor. Calcula las medidas de ambos ángulos.

Dos ángulos son complementarios. La medida del ángulo mayor es diez veces más que cuatro veces la medida del ángulo menor. Calcula las medidas de ambos ángulos.

La diferencia de dos ángulos suplementarios es de 8 grados. Encuentra la medida de los ángulos.

La diferencia de dos ángulos suplementarios es de 88 grados. Encuentra la medida de los ángulos.

Dos ángulos son suplementarios. La medida del ángulo mayor es cuatro más de tres veces la medida del ángulo menor. Calcula las medidas de ambos ángulos.

Dos ángulos son suplementarios. La medida del ángulo mayor es cinco veces menor que cuatro veces la medida del ángulo menor. Calcula las medidas de ambos ángulos.

La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es 14 más de 3 veces la medida del otro ángulo pequeño. Calcula la medida de ambos ángulos.

La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es 26 más de 3 veces la medida del otro ángulo pequeño. Calcula la medida de ambos ángulos.

La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es 15 menos que el doble de la medida del otro ángulo pequeño. Calcula la medida de ambos ángulos.

La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es 45 menos que el doble de la medida del otro ángulo pequeño. Calcula la medida de ambos ángulos.

Wayne está colgando una cadena de luces de 45 pies de largo alrededor de los tres lados de su patio, que está adyacente a su casa. La longitud de su patio, el lado a lo largo de la casa, es cinco pies más largo que el doble de su ancho. Calcula el largo y el ancho del patio.

Darrin está colgando 200 pies de guirnalda navideña en los tres lados de la cerca que encierran su patio delantero. El largo es cinco pies menos que tres veces el ancho. Calcula la longitud y el ancho de la cerca.

Un marco alrededor de un retrato familiar tiene un perímetro de 90 pulgadas. El largo es quince menos del doble del ancho. Encuentra la longitud y el ancho del marco.

El perímetro de un área de juegos para niños pequeños es de 100 pies. La longitud es diez veces más que el triple de la anchura. Calcula el largo y el ancho del área de juego.

Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

En los siguientes ejercicios, traduzca a un sistema de ecuaciones y resuelva.

Sarah salió de Minneapolis en dirección este por la interestatal a una velocidad de 60 mph. Su hermana la siguió por la misma ruta, saliendo dos horas más tarde y conduciendo a una velocidad de 70 mph. ¿Cuánto tiempo tardará la hermana de Sarah en alcanzar a Sarah?

Los compañeros de cuarto de la universidad, John y David, conducían a su casa en el mismo pueblo durante las vacaciones. John condujo a 55 mph y David, que partió una hora más tarde, condujo a 60 mph. ¿Cuánto tiempo le tomará a David alcanzar a John?

Al final de las vacaciones de primavera, Lucy salió de la playa y condujo de regreso a casa, conduciendo a una velocidad de 40 mph. La amiga de Lucy se fue de la playa a casa 30 minutos (media hora) más tarde y condujo 50 mph. ¿Cuánto tiempo le tomó a la amiga de Lucy alcanzar a Lucy?

Felecia salió de su casa para visitar a su hija conduciendo a 45 mph. Su esposo esperó a que llegara el cuidador de perros y se fue de la casa veinte minutos (1/3 de hora) más tarde. Manejó 55 mph para alcanzar a Felecia. ¿Cuánto tiempo antes de que la alcance?

La familia Jones tomó un paseo en canoa de 12 millas por el río Indian en dos horas. Después del almuerzo, el viaje de regreso río arriba tomó tres horas. Calcula la velocidad de la canoa en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

Un bote a motor viaja 60 millas río abajo en tres horas, pero tarda cinco horas en regresar río arriba. Calcula la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

Un bote a motor viajó 18 millas río abajo en dos horas, pero regresando río arriba, tomó 4.5 4.5 horas debido a la corriente. Encuentre la velocidad del bote a motor en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

Un barco de crucero por el río navegó 80 millas por el río Mississippi durante cuatro horas. Tardó cinco horas en regresar. Calcula la velocidad del barco de crucero en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

Un pequeño jet puede volar 1072 millas en 4 horas con viento de cola, pero solo 848 millas en 4 horas con viento en contra. Encuentre la velocidad del chorro en aire en calma y la velocidad del viento.

Un pequeño jet puede volar 1435 millas en 5 horas con viento de cola, pero solo 1,215 millas en 5 horas con viento en contra. Encuentre la velocidad del chorro en aire en calma y la velocidad del viento.

Un jet comercial puede volar 868 millas en 2 horas con viento de cola, pero solo 792 millas en 2 horas con viento en contra. Encuentre la velocidad del chorro en aire en calma y la velocidad del viento.

Un avión comercial puede volar 1320 millas en 3 horas con viento de cola, pero solo 1170 millas en 3 horas con viento en contra. Encuentre la velocidad del chorro en aire en calma y la velocidad del viento.

Ejercicios de escritura

Escriba un problema de aplicación similar al ejemplo 4.14. Luego, traduce a un sistema de ecuaciones y resuélvelo.

Escriba un problema de movimiento uniforme similar al ejemplo 4.15 que se relacione con el lugar donde vive con sus amigos o familiares. Luego, traduce a un sistema de ecuaciones y resuélvelo.

Autochequeo

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Ⓑ Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?

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  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Algebra intermedia 2e
    • Fecha de publicación: 6 de mayo de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/4-2-solve-applications-with-systems-of-equations

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    Resolver desigualdades lineales

    La gráfica de una desigualdad lineal en una variable es una recta numérica. Utilice un círculo abierto para & lt y & gt y un círculo cerrado para ≤ y ≥.

    Las desigualdades que tienen la misma solución se denominan equivalentes. Hay propiedades de las desigualdades así como también hay propiedades de la igualdad. Todas las propiedades a continuación también son válidas para desigualdades que involucran ≥ y ≤.

    La propiedad de suma de la desigualdad dice que sumar el mismo número a cada lado de la desigualdad produce una desigualdad equivalente

    La propiedad de resta de la desigualdad nos dice que restar el mismo número de ambos lados de una desigualdad da una desigualdad equivalente.

    La propiedad de multiplicación de la desigualdad nos dice que la multiplicación en ambos lados de una desigualdad con una numero positivo produce una desigualdad equivalente.

    La multiplicación en cada lado de una desigualdad con un número negativo por otro lado no produce una desigualdad equivalente a menos que también invirtamos la dirección del símbolo de desigualdad.

    Lo mismo ocurre con la propiedad de división de la desigualdad.

    La división de ambos lados de una desigualdad con un número positivo produce una desigualdad equivalente.

    Y la división en ambos lados de una desigualdad con un número negativo produce una desigualdad equivalente si se invierte el símbolo de desigualdad.

    Para resolver una desigualdad de varios pasos, haga lo mismo que hizo al resolver ecuaciones de varios pasos. Tome una cosa a la vez, preferiblemente comenzando por aislar la variable de las constantes. Al resolver desigualdades de varios pasos, es importante no olvidar invertir el signo de desigualdad al multiplicar o dividir con números negativos.


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    2.7: Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

    Ahora necesitamos discutir la sección que la mayoría de los estudiantes odian. Necesitamos hablar de aplicaciones a ecuaciones lineales. O, en otras palabras, ahora comenzaremos a ver problemas de cuentos o problemas de palabras. A lo largo de la historia, los estudiantes los han odiado. Sin embargo, creo que la razón principal de esto es que los estudiantes realmente no saben cómo trabajarlos. Una vez que entienda cómo trabajar con ellos, probablemente encontrará que no son tan malos como pueden parecer en ocasiones. Entonces, comenzaremos esta sección con un proceso para aplicaciones de trabajo.

    Proceso para historias de trabajo / problemas de palabras

    1. LEA EL PROBLEMA.
    2. LEER EL PROBLEMA OTRA VEZ. Bien, esto puede ser un poco exagerado aquí. Sin embargo, el objetivo de estos dos primeros pasos es que debe leer el problema. Este paso es el MÁS importante, pero también es el paso que la mayoría de la gente no realiza correctamente.

    Debe leer el problema con mucho cuidado y tantas veces como sea necesario. Solo habrá terminado con este paso cuando haya entendido completamente lo que el problema le pide que haga. Esto incluye identificar toda la información proporcionada e identificar lo que se le pide que busque.

    Una vez más, no se puede enfatizar lo suficiente como para leer detenidamente el problema. A veces, una sola palabra puede cambiar completamente la forma en que se resuelve el problema. Si simplemente le echa un vistazo al problema, es posible que se pierda esa palabra tan importante.

    Empecemos con un par de ejemplos bastante básicos para ilustrar el proceso. Tenga en cuenta también que en este punto se supone que es capaz de resolver ecuaciones lineales bastante simples y, por lo tanto, no se darán muchos detalles para la etapa de solución real. El punto de esta sección está más en la configuración de la ecuación que en la resolución de la ecuación.

    Bien, comencemos definiendo (p ) como la puntuación mínima requerida en el tercer examen.

    Ahora, recordemos cómo se establecen las calificaciones. Dado que no hay pesos ni nada en las calificaciones, la calificación se establecerá calculando primero el siguiente porcentaje.

    Como usamos la escala estándar, si el porcentaje de calificación es 0.9 o más, el estudiante obtendrá una A. Asimismo, si el porcentaje de calificación está entre 0.8 y 0.9, el estudiante obtendrá una B.

    Sabemos que el total de puntos posibles es 350 y el alumno tiene un total de puntos (incluido el tercer examen) de,

    [4 + 8 + 7 + 7 + 9 + 78 + 83 + p = 196 + p ]

    El porcentaje más pequeño posible para una A es 0.9 y, por lo tanto, si (p ) es la puntuación mínima requerida en el tercer examen para una A, tendremos la siguiente ecuación.

    Esta es una ecuación lineal que necesitaremos resolver para (p ).

    [196 + p = 0.9 left (<350> right) = 315 hspace <0.25in> , , , , Rightarrow hspace <0.25in> , , , p = 315 - 196 = 119 ]

    Entonces, la puntuación mínima requerida en el tercer examen es 119. Esto es un problema ya que el examen solo vale 100 puntos. En otras palabras, el estudiante no obtendrá una A en la clase de Álgebra.

    Ahora, verifiquemos si el estudiante obtendrá una B. En este caso, el porcentaje mínimo es 0.8. Entonces, para encontrar la puntuación mínima requerida en el tercer examen para una B, tendremos que resolver,

    [196 + p = 0.8 left (<350> right) = 280 hspace <0.25in> , , , , Rightarrow hspace <0.25in> , , , p = 280 - 196 = 84 ]

    Entonces, es posible que el estudiante obtenga una B en la clase. Todo lo que el estudiante deberá hacer es obtener al menos 84 en el tercer examen.

    Primero definiremos (x ) como la altura del conjunto de estantes. Esto significa que 4 (x ) es el ancho del conjunto de estantes. En este caso, definitivamente necesitamos esbozar una figura para poder configurar correctamente la ecuación. Aquí lo tienes,

    Ahora sabemos que hay 72 pies de madera para usar y asumiremos que se usará toda. Entonces, podemos configurar la siguiente ecuación de palabras.

    A menudo es una buena idea poner primero la ecuación en palabras antes de escribir la ecuación como hicimos aquí. En este punto, podemos ver en la figura que hay dos piezas verticales cada una tiene una longitud de (x ). Además, hay 4 piezas horizontales, cada una con una longitud de 4 (x ). Entonces, la ecuación es entonces,

    [empezar4 left (<4x> right) + 2 left (x right) & = 72 16x + 2x & = 72 18x & = 72 x & = 4 end]

    Entonces, parece que la altura del conjunto de estantes debería ser de 4 pies. Sin embargo, tenga en cuenta que en realidad no hemos respondido a la pregunta. El problema nos pidió que encontráramos las dimensiones. Esto significa que también necesitamos el ancho del juego de estantes. El ancho es 4 (4) = 16 pies. Por lo tanto, las dimensiones deberán ser de 4 x 16 pies.

    Problemas de precios

    Los siguientes problemas tratan de algunos principios básicos de fijación de precios.

    Primero, definamos (p ) como el costo que la tienda pagó por la calculadora. El margen de ganancia de las tiendas en la calculadora es del 15%. Esto significa que se ha agregado 0.15 (p ) al precio original ( (p )) para obtener la cantidad por la que se vende la calculadora. En otras palabras, tenemos la siguiente ecuación

    que necesitamos resolver para (p ). Hacer esto da,

    [1.15p = 78.50 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> p = frac << 78.50 >> << 1.15 >> = 68.26087 ]

    La tienda pagó 68,26 dólares por la calculadora. Tenga en cuenta que, dado que se trata de dinero, redondeamos la respuesta a dos decimales.

    Este problema es prácticamente el opuesto al ejemplo anterior. Comencemos por definir (p ) como el precio de la camisa antes de la venta. Se ha rebajado en un 35%. Esto significa que se ha restado 0.35 (p ) del precio original. Por lo tanto, la ecuación (y la solución) es,

    [empezarp - 0.35p & = 15.00 0.65p & = 15.00 p & = frac << 15.00 >> << 0.65 >> = 23.0769 end]

    Entonces, con el redondeo, parece que la camisa se vendió originalmente por $ 23.08.

    Problemas de distancia / velocidad

    Estos son algunos de los problemas estándar en los que la mayoría de la gente piensa cuando piensa en problemas verbales de álgebra. La fórmula estándar que usaremos aquí es

    Todos los problemas que haremos en este conjunto de ejemplos utilizarán esto en un grado u otro y, a menudo, más de una vez, como veremos.

    Representemos (t ) la cantidad de tiempo que los autos viajan antes de encontrarse. Ahora, necesitamos dibujar una figura para este. Esta cifra nos ayudará a escribir la ecuación que necesitaremos resolver.

    En esta figura podemos ver que la distancia que recorre el automóvil A más la distancia que recorre el automóvil B debe ser igual a la distancia total que separa los dos automóviles, 500 millas.

    Aquí está la palabra ecuación para este problema en dos formas separadas.

    Usamos la fórmula estándar aquí dos veces, una para cada automóvil. Sabemos que la distancia que recorre un automóvil es la tasa del automóvil multiplicada por el tiempo que recorre el automóvil. En este caso, sabemos que el automóvil A viaja a 100 mph durante (t ) horas y que el automóvil B también viaja a 70 mph durante (t ) horas. Conectarlos a la ecuación de palabras y resolverlos nos da,

    Por lo tanto, viajarán aproximadamente 2.94 horas antes de reunirse.

    Para este problema vamos a tener que tener cuidado con el tiempo que recorre cada coche. Sea (t ) la cantidad de tiempo que viaja el automóvil que viaja más lento. Ahora, dado que el automóvil más rápido arranca 1 hora después que el automóvil más lento, solo viajará durante (t - 1 ) horas.

    Ahora, dado que estamos repitiendo el problema desde arriba, la figura y la ecuación de palabras seguirán siendo idénticas y no nos molestaremos en repetirlas aquí. La única diferencia es lo que sustituimos por el tiempo recorrido por el coche más rápido. En lugar de (t ) como usamos en el ejemplo anterior, usaremos (t - 1 ) ya que viaja una hora menos que el auto más lento.

    Aquí está la ecuación y la solución para este ejemplo.

    [empezar100 izquierda ( right) + 70t & = 500 100t - 100 + 70t & = 500 170t & = 600 t & = frac <<600>> <<170>> = 3.529412 < mbox > final]

    En este caso, el automóvil más lento viajará durante 3.53 horas antes de reunirse, mientras que el automóvil más rápido viajará durante 2.53 horas (1 hora menos que el automóvil más lento).

    Empecemos dejando que (r ) sea la velocidad del barco de la derecha (el barco más lento). Esto significa que el bote de la izquierda (el bote más rápido) se mueve a una velocidad de 2 (r ). Aquí está la figura de esta situación.

    De la figura, parece que tenemos la siguiente ecuación de palabras.

    Al conectar la fórmula estándar para la distancia da,

    Para este problema, sabemos que el tiempo de cada uno es de 5 horas y sabemos que la velocidad del barco A es 2 (r ) y la velocidad del barco B es (r ). Conectando estos en la ecuación de trabajo y resolviendo da,

    [empezar100 + izquierda (r derecha) izquierda (5 derecha) & = izquierda (<2r> derecha) izquierda (5 derecha) 100 + 5r & = 10r 100 & = 5r 20 & = r end]

    Entonces, el bote más lento se mueve a 20 mph y el bote más rápido se mueve a 40 mph (dos veces más rápido).

    Problemas de trabajo / ritmo

    Estos problemas son en realidad variantes de los problemas de distancia / velocidad que acabamos de terminar de trabajar. La ecuación estándar que se necesitará para estos problemas es,

    Como puede ver, esta fórmula es muy similar a la fórmula que usamos anteriormente.

    Sea (t ) el tiempo que les toma a ambas máquinas, trabajando juntas, llenar un lote de sobres. La palabra ecuación para este problema es,

    Sabemos que el tiempo dedicado a trabajar es (t ) sin embargo, no conocemos la tasa de trabajo de cada máquina. Para obtenerlos, necesitaremos usar la información inicial proporcionada sobre cuánto tiempo le toma a cada máquina hacer el trabajo individualmente. Podemos usar la siguiente ecuación para obtener estas tasas.

    Comencemos con la Máquina A.

    Al colocar estas cantidades en la ecuación principal anterior, se obtiene la siguiente ecuación que debemos resolver.

    Entonces, parece que las dos máquinas, trabajando juntas, necesitarán 1.875 horas para llenar un lote de sobres.

    Sea (t ) la cantidad de tiempo que le tomaría a John limpiar el complejo de oficinas por sí mismo. La ecuación de palabras básica para este problema es,

    Esta vez sabemos que el tiempo que pasamos trabajando juntos es de 3,5 horas. Ahora necesitamos encontrar las tasas de trabajo de cada persona. Empezaremos por Mary.

    Ahora encontraremos la tasa de trabajo de John. Sin embargo, tenga en cuenta que, dado que no sabemos cuánto tiempo le llevará hacer el trabajo por sí mismo, no vamos a poder obtener un solo número para esto. Eso no es un problema, como veremos en un segundo.

    Observe que hemos logrado obtener la tasa de trabajo de John en términos del tiempo que le tomaría hacer el trabajo él mismo. Esto significa que una vez que resolvamos la ecuación anterior, tendremos la respuesta que queremos. Entonces, conectemos la ecuación del trabajo y resolvamos el tiempo que le tomaría a John hacer el trabajo por sí mismo.

    Entonces, parece que a John le tomaría 11.67 horas limpiar el complejo por sí mismo.

    Problemas de mezcla

    Este es el último tipo de problemas que veremos en esta sección. Vamos a buscar mezclar soluciones de diferentes porcentajes para obtener un nuevo porcentaje. La solución consistirá en un líquido secundario mezclado con agua. El líquido secundario puede ser, por ejemplo, alcohol o ácido.

    La ecuación estándar que usaremos aquí será la siguiente.

    Tenga en cuenta también que el porcentaje debe ser un decimal. Entonces, si tenemos una solución al 80%, necesitaremos usar 0.80.

    Bien, sea (x ) la cantidad de solución al 50% que necesitamos. Esto significa que habrá (x + 10 ) galones de la solución al 40% una vez que hayamos terminado de mezclar los dos.

    Aquí está la ecuación de trabajo básica para este problema.

    Ahora, conecte los volúmenes y resuelva para (x ).

    Entonces, necesitamos 5 galones de la solución al 50% para obtener una solución al 40%.

    Sea (x ) la cantidad de agua que necesitamos agregar a la solución al 40%. Ahora, tampoco sabemos qué cantidad de la solución al 40% necesitaremos. Sin embargo, dado que conocemos el volumen final (75 litros), sabremos que necesitaremos (75 - x ) litros de la solución al 40%.

    Aquí está la palabra ecuación para este problema.

    Observe que en el primer término usamos la "Cantidad de ácido en el agua". Esto puede parecerle un poco extraño porque no debería haber ningún ácido en el agua. Sin embargo, esto es exactamente lo que queremos. La ecuación básica nos dice que miremos cuánto líquido secundario hay en el agua. Entonces, esta es la redacción correcta. Cuando ingresemos los porcentajes y volúmenes, pensaremos en el agua como una solución al 0%, ya que de hecho es lo que es. Entonces, la nueva ecuación de palabras es,

    No se entusiasme con el cero en el primer trimestre. Esto está bien y no será un problema. Ahora conectemos los volúmenes y despejemos (x ).

    [empezar left (0 right) left (x right) + left (<0.4> right) left (<75 - x> right) & = left (<0.15> right) left (< 75> right) 30 - 0.4x & = 11.25 18.75 & = 0.4x x & = frac << 18.75 >> << 0.4 >> = 46.875 < mbox > end]

    Entonces, necesitamos agregar 46.875 litros de agua a 28.125 litros de una solución al 40% para obtener 75 litros de una solución al 15%.


    2.7: Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

    En nuestro primer ejemplo, mostraremos cómo escribir y graficar un sistema de desigualdades lineales que modela la cantidad de ventas necesarias para obtener una cantidad específica de dinero.

    Ejemplo

    Cathy está vendiendo conos de helado en una recaudación de fondos de la escuela. Está vendiendo dos tamaños: pequeño (que tiene [látex] 1 [/ látex] cucharada) y grande (que tiene [látex] 2 [/ látex] cucharadas). Sabe que puede sacar un máximo de [látex] 70 [/ látex] bolas de helado de su suministro. Cobra [látex] $ 3 [/ látex] por un cono pequeño y [látex] $ 5 [/ látex] por un cono grande.

    Cathy quiere ganar al menos [látex] $ 120 [/ látex] para devolver a la escuela. Escribe y representa gráficamente un sistema de desigualdades que modele esta situación.

    Primero, identifique las variables. Hay dos variables: el número de conos pequeños y el número de conos grandes.

    Escribe la primera ecuación: el número máximo de cucharadas que puede dar. Las cucharadas que tiene disponibles [látex] (70) [/ látex] deben ser mayores o iguales al número de cucharadas para los conos pequeños (s) y los conos grandes [látex] (2 [/ látex]l) ella vende.

    Escribe la segunda ecuación: la cantidad de dinero que recauda. Quiere la cantidad total de dinero que gana con los conos pequeños [látex] (3s) [/ látex] y conos grandes [látex] (5l) [/ latex] debe costar al menos [latex] $ 120 [/ latex].

    Ahora grafique el sistema. Las variables X y y han sido reemplazados por s y l grafico s a lo largo de X-eje, y l a lo largo de y-eje.

    Primero grafica la región [látex]s + 2l ≤ 70 [/ látex]. Grafique la línea del límite y luego pruebe los puntos individuales para ver qué región sombrear. Solo sombreamos las regiones que también satisfacen [látex] x & gt = 0, y & gt = 0 [/ látex]. El gráfico se muestra a continuación.

    Ahora grafique la región [látex] 3s + 5l ge120 [/ látex] Grafique la línea límite y luego pruebe puntos individuales para ver qué región sombrear. El gráfico se muestra a continuación.

    Graficando las regiones juntas, encontrará lo siguiente:

    Y representado como la región superpuesta, tiene:

    Respuesta

    La región en violeta es la solución. Siempre que la combinación de conos pequeños y conos grandes que vende Cathy pueda mapearse en la región púrpura, habrá ganado al menos [látex] $ 120 [/ látex] y no habrá usado más de [látex] 70 [/ látex] cucharadas. de helado.

    En un ejemplo anterior para encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales, presentamos las ecuaciones de costos e ingresos de un fabricante:

    La ecuación de costo se muestra en azul en el gráfico a continuación, y la ecuación de ingresos está graficada en naranja. El punto en el que las dos líneas se cruzan se llama punto de equilibrio, aprendimos que esta es la solución al sistema de ecuaciones lineales que en este caso comprenden las ecuaciones de costos e ingresos. Observe cómo las líneas que se muestran solo representan donde [látex] x ge0, y ge0 [/ látex]. Es fácil olvidarse de incluir esta parte en el gráfico.

    La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa las cantidades por las que la empresa obtiene beneficios. La región de la izquierda representa las cantidades por las que la empresa sufre pérdidas.

    En el siguiente ejemplo, verá cómo la información que aprendió sobre sistemas de desigualdades lineales se puede aplicar para responder preguntas sobre costos e ingresos.

    Observe cómo la región sombreada en azul entre las ecuaciones de Costo e Ingresos se denomina Beneficio. Este es el & # 8220sweet spot & # 8221 que la compañía quiere lograr donde producen suficientes cuadros de bicicleta a un costo mínimo suficiente para ganar dinero. ¡No quieren que salga más dinero del que entra!

    Ejemplo

    Defina la región de ganancias para el negocio de fabricación de patinetas utilizando desigualdades, dado el sistema de ecuaciones lineales:

    Sabemos que gráficamente, las soluciones a desigualdades lineales son regiones enteras, y aprendimos cómo graficar sistemas de desigualdades lineales anteriormente en este módulo. Con base en el siguiente gráfico y las ecuaciones que definen el costo y los ingresos, podemos usar desigualdades para definir la región para la cual el fabricante de patinetas obtendrá ganancias. Una vez más, no sólo se incluye la región para [látex] x ge0, y ge0 [/ látex].

    Comencemos con la ecuación de ingresos. Sabemos que el punto de equilibrio está en [látex] (50.000, 77.500) [/ látex] y la región de beneficios es el área azul. Si elegimos un punto en la región y lo probamos como lo hicimos para encontrar regiones de solución a desigualdades, sabremos qué tipo de signo de desigualdad usar.

    Dejemos que & # 8217s pruebe el punto [látex] left (65,00,100,000 right) [/ látex] en ambas ecuaciones para determinar qué signo de desigualdad usar.

    Necesitamos usar & gt porque [látex] 100,000 [/ látex] es mayor que [látex] 90,250 [/ látex]

    La desigualdad de costos que asegurará que la empresa obtenga ganancias & # 8211 no solo el punto de equilibrio & # 8211 es [látex] y & gt0.85x + 35,000 [/ látex]

    Ahora pruebe el punto en la ecuación de ingresos:

    Necesitamos usar & lt porque [látex] 100,000 [/ látex] es menos que [látex] 100,750 [/ látex]

    La desigualdad de ingresos que garantizará que la empresa obtenga beneficios & # 8211 no solo el punto de equilibrio & # 8211 es [látex] y & lt1.55x [/ látex]

    Los sistemas de desigualdades que definen la región de beneficios para el fabricante de bicicletas:

    Respuesta

    El costo para producir [látex] 50.000 [/ látex] unidades es [látex] $ 77.500 [/ látex], y los ingresos de las ventas de [látex] 50.000 [/ látex] unidades son [látex] $ 77.500 [/ látex]. Para obtener ganancias, la empresa debe producir y vender más de 50.000 unidades de [látex] [/ látex]. El sistema de desigualdades lineales que representa la cantidad de unidades que la empresa debe producir para obtener una ganancia es:

    En el siguiente video, verá un ejemplo de cómo encontrar el punto de equilibrio para una pequeña empresa de sno-cone.

    Y aquí hay un ejemplo de video más de cómo resolver una aplicación usando un sistema de desigualdades lineales.

    Hemos visto que los sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades pueden ayudar a definir comportamientos de mercado que son muy útiles para las empresas. La intersección de las ecuaciones de costos e ingresos proporciona el punto de equilibrio y también ayuda a definir la región para la cual una empresa obtendrá ganancias.


    Empecemos

    A (3) Funciones lineales, ecuaciones y desigualdades. El estudiante aplica los estándares de procesos matemáticos cuando usa gráficas de funciones lineales, características clave y transformaciones relacionadas para representar de múltiples formas y resolver, con y sin tecnología, ecuaciones, desigualdades y sistemas de ecuaciones. Se espera que el estudiante:

    A (3) (D) graficar el conjunto solución de desigualdades lineales en dos variables en el plano de coordenadas

    A (5) Funciones lineales, ecuaciones y desigualdades. El estudiante aplica los estándares del proceso matemático para resolver, con y sin tecnología, ecuaciones lineales y evaluar la razonabilidad de sus soluciones. Se espera que el estudiante:

    A (5) (B) resolver desigualdades lineales en una variable, incluidas aquellas para las que es necesaria la aplicación de la propiedad distributiva y para las que se incluyen variables en ambos lados

    Objetivo (s) de recursos

    El estudiante representará desigualdades lineales usando ecuaciones, tablas y gráficas. El estudiante resolverá desigualdades lineales usando gráficas o propiedades de igualdad y determinará si un punto dado es una solución a una desigualdad lineal.

    Preguntas Esenciales

    ¿Cómo saber cuándo usar una línea continua o discontinua al graficar una desigualdad?

    ¿Cómo saber si debe sombrear por encima o por debajo de la línea al graficar una desigualdad?

    ¿Cuáles son las similitudes y diferencias al graficar una ecuación en forma pendiente-intersección y una desigualdad en forma pendiente-intersección?


    Resolver desigualdades racionales

    Además de encontrar cuándo una función polinomial será positiva y negativa, también podemos encontrar dónde las funciones racionales son positivas y negativas.

    A función racional es una función que se puede escribir como el cociente de dos funciones polinomiales. Las funciones racionales se estudiarán con más detalle en la siguiente sección.

    Una nota general: función racional

    Una función racional es una función que se puede escribir como el cociente de dos funciones polinomiales [látex] P left (x right) text Q left (x right) [/ látex].

    Desigualdad racional

    A desigualdad racional es una desigualdad que contiene una expresión racional.

    Desigualdades como [látex] frac <3> <2x> & gt1 text <,> frac <2x>& lt4 text <,> frac <(2x-3) (x-5)>> & lt0 text <, y> frac <1> <4> - frac <2>> leq frac <3>[/ latex] son ​​desigualdades racionales ya que cada una contiene una expresión racional.

    Cuando resolvemos una desigualdad racional, usaremos las mismas técnicas que usamos para resolver desigualdades polinómicas. Sin embargo, debemos considerar cuidadosamente qué valor podría hacer que la expresión racional no esté definida y, por lo tanto, debe excluirse.

    A continuación, determinamos los puntos críticos que se utilizarán para dividir la recta numérica en intervalos. A punto crítico es un número que convierte la expresión racional en cero en indefinido.

    Evaluaremos los factores del numerador y denominador, y encontraremos el cociente en cada intervalo. Esto identificará el intervalo, o intervalos, que contiene todas las soluciones de la desigualdad racional.

    Escribimos la solución en notación de intervalo teniendo cuidado de determinar si se incluyen los puntos finales.

    Cómo: resolver una desigualdad racional

      1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha.
      2. Determine los puntos críticos: los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.
      3. Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
      4. Pruebe un valor en cada intervalo. Indique qué regiones son positivas y negativas.
      5. Determina los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalo.

      Ejemplo 4: Resolución de desigualdades RACIONALES en forma factorizada

      Como con todas las desigualdades, comenzamos resolviendo la igualdad [látex] dfrac <(x + 3) (x-4)> <(x + 1) ^ <2>> = 0 [/ látex], que tiene soluciones en x = -3, -1 y 4. Sabemos que la función solo puede cambiar de positivo a negativo en estos valores, por lo que estos dividen las entradas en 4 intervalos.
      Podríamos elegir un valor de prueba en cada intervalo y evaluar la función [látex] f left (x right) = dfrac <(x + 3) (x-4)> <(x + 1) ^ <2>> = 0 [/ látex] en cada valor de prueba para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo

      Intervalo Prueba x en intervalo f (valor de prueba) & gt 0 o & lt 0
      x & lt -3 -4 0.888 & gt 0
      -3 & lt x & lt -1 -2 -6 & lt 0
      -1 y lt x y lt 4 0 -12 & lt 0
      x & gt 4 5 0.222 & gt 0

      En una recta numérica, esto se vería así:


      A partir de nuestros valores de prueba, podemos determinar que esta función es negativa cuando [látex] -3 leq x & lt -1 [/ látex] o [látex] -1 & ltx leq 4 [/ látex], o en notación de intervalo: [látex] [ -3, -1) cup (-1,4] [/ latex]. Note que -1 no está incluido ya que causa división por cero y, por lo tanto, no está en el dominio de [latex] f (x) [ /látex].

      Ejemplo 5: Resolver una desigualdad racional que no está en forma factorizada

      Esta vez, la desigualdad racional no está en forma factorizada y no hay un cero en el lado derecho. Necesitamos restar el 5 al otro lado y obtener denominadores comunes: [látex] dfrac <2x ^ <2> + 6x + 9>-5 & gt0 dfrac <2x ^ <2> + 6x + 9>- dfrac <5 (x + 3)>& gt0 dfrac <2x ^ <2> + 6x + 9-5 (x + 3)>& gt0 dfrac <2x ^ <2> + x-6>& gt0 dfrac <(x + 2) (2x-3)>& gt0 [/ latex]

      Ahora resolveremos [látex] dfrac <(x + 2) (2x-3)>= 0 [/ latex] que tiene soluciones en [latex] x = -2, dfrac <3> <2>, -3 [/ latex]. Sabemos que la función solo puede cambiar de positivo a negativo en estos valores, por lo que estos dividen las entradas en 4 intervalos.
      Podríamos elegir un valor de prueba en cada intervalo y evaluar la función [látex] f left (x right) = dfrac <(x + 2) (2x-3)>[/ látex] en cada valor de prueba para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo

      Intervalo Prueba x en intervalo f (valor de prueba) & gt 0 o & lt 0
      x & lt -3 -4 -22 & lt 0
      -3 & lt x & lt -2 -2.5 8 & gt 0
      -2 y lt x & lt 3/2 0 -2 & lt 0
      x & gt 3/2 2 0.8 & gt 0

      A partir de nuestros valores de prueba, podemos determinar que esta función es positiva cuando [látex] -3 & ltx & lt-2 [/ látex] o [látex] x & gt dfrac <3> <2> [/ látex], o en notación de intervalo: [látex] (-3, -2) cup left ( dfrac <3> <2>, infty right) [/ latex].

      Intentalo

      Resuelve [latex] dfrac <(x-6) (x + 1)> <3x ^ <2>> & lt0 [/ latex] y escribe tu respuesta en notación de intervalo.


      Graficar soluciones para desigualdades con dos variables

      Las soluciones a las desigualdades lineales son un semiplano sombreado, delimitado por una línea continua o una línea discontinua. Este límite se incluye en la solución o no, dependiendo de la desigualdad dada. Si se nos da una desigualdad estricta, usamos una línea discontinua para indicar que el límite no está incluido. Si se nos da una desigualdad inclusiva, usamos una línea continua para indicar que está incluida. Los pasos para graficar el conjunto de soluciones para una desigualdad con dos variables se muestran en el siguiente ejemplo.

      Ejemplo 2

      Grafica el conjunto solución y & gt - 3 x + 1.

      Paso 1: Grafica el límite. Debido a la desigualdad estricta, graficaremos el límite y = - 3 x + 1 usando una línea discontinua. Podemos ver que la pendiente es m = - 3 = - 3 1 = r i s e r u n y el y-intercepto es (0, 1).

      Paso 2: Pruebe un punto que sea no en el límite. Un punto de prueba común es el origen, (0, 0). El punto de prueba nos ayuda a determinar qué mitad del plano sombrear.

      Considere el problema de sombrear por encima o por debajo de la línea de límite cuando la desigualdad está en forma pendiente-intersección. Si y & gt m x + b, sombree por encima de la línea. Si y & lt m x + b, sombree debajo de la línea. Sombree con precaución a veces el límite se da en forma estándar, en cuyo caso estas reglas no se aplican.

      Ejemplo 3

      Grafique el conjunto solución 2 x - 5 y ≥ - 10.

      Aquí el límite está definido por la línea 2 x - 5 y = - 10. Dado que la desigualdad es inclusiva, graficamos el límite usando una línea sólida. En este caso, grafique la línea de límite usando intersecciones.

      Para encontrar el X-interceptar, establecer y = 0.

      Para encontrar el y-interceptar, establecer X = 0.

      2 x - 5 (0) = - 10 2 x = - 10 x = - 5

      2 (0) - 5 y = - 10-5 y = - 10 y = 2

      A continuación, pruebe un punto que ayude a decidir qué región sombrear.

      Dado que el punto de prueba está en el conjunto de solución, sombree la mitad del plano que lo contiene.

      En este ejemplo, observe que el conjunto de soluciones consta de todos los pares ordenados por debajo de la línea límite. Esto puede parecer contradictorio porque la desigualdad original implicaba “mayor que” ≥. Esto ilustra que es una buena práctica probar realmente un punto. Resolver y y ves que el sombreado es correcto.

      2 x - 5 y ≥ - 10 2 x - 5 y - 2 x ≥ - 10-2 x - 5 y ≥ - 2 x - 10-5 y - 5 ≤ - 2 x - 10-5 R e v e r s e t h e i n e q u a l i t y. y ≤ 2 5 x + 2

      En la forma pendiente-intersección, puede ver que la región debajo de la línea de límite debe estar sombreada. Un enfoque alternativo es expresar primero el límite en forma pendiente-intersección, graficarlo y luego sombrear la región apropiada.

      Ejemplo 4

      Grafique el conjunto solución y & lt 2.

      Primero, grafica la línea límite y = 2 con una línea discontinua debido a la desigualdad estricta. A continuación, pruebe un punto.

      En este caso, sombree la región que contiene el punto de prueba.

      ¡Prueba esto! Representa gráficamente el conjunto solución 2 x - 3 y & lt 0.

      Los pasos son los mismos para desigualdades no lineales con dos variables. Grafique primero el límite y luego pruebe un punto para determinar qué región contiene las soluciones.

      Ejemplo 5

      Representa gráficamente el conjunto solución y & lt (x + 2) 2-1.

      El límite es una parábola básica desplazada 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo. Comience dibujando un límite parabólico punteado debido a la desigualdad estricta.

      0 y lt (0 + 2) 2 - 1 0 y lt 4 - 1 0 y lt 3 ✓

      En este caso, sombree la región que contiene el punto de prueba (0, 0).

      Ejemplo 6

      Grafica el conjunto solución y ≥ x 2 + 3.

      El límite es una parábola básica desplazada 3 unidades hacia arriba. Está graficado usando una curva sólida debido a la desigualdad inclusiva.

      En este caso, sombree la región que no contiene el punto de prueba (0, 0).


      Reescribir el todo como una fracción equivalente:

      2.1 Restar un entero de una fracción

      Reescribe el entero como una fracción usando 2 como denominador:

      Fracción equivalente: la fracción así generada se ve diferente pero tiene el mismo valor que el conjunto

      Denominador común: la fracción equivalente y la otra fracción involucrada en el cálculo comparten el mismo denominador

      Sumar fracciones que tienen un denominador común:

      2.2 Sumar las dos fracciones equivalentes
      Suma las dos fracciones equivalentes que ahora tienen un denominador común

      Combine los numeradores, coloque la suma o la diferencia sobre el denominador común y luego reduzca a los términos más bajos si es posible:

      Ecuación al final del paso 2:


      Ver el vídeo: APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES LINEALES 1º AÑO (Noviembre 2021).