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3.3: Triángulos que no son triángulos rectángulos


Preguntas de enfoque

Las siguientes preguntas están destinadas a orientar nuestro estudio del material de esta sección. Después de estudiar esta sección, debemos comprender los conceptos motivados por estas preguntas y ser capaces de escribir respuestas precisas y coherentes a estas preguntas.

  • ¿Qué es la ley de los senos?
  • ¿Qué información necesitamos sobre un triángulo para aplicar la Ley de los senos?
  • ¿Qué entendemos por el caso ambiguo de la Ley de los senos? ¿Por qué es ambiguo?
  • ¿Qué es la ley de los cosenos?
  • ¿Qué información necesitamos sobre un triángulo para aplicar la Ley de los cosenos?

En la Sección 3.2, aprendimos cómo usar las funciones trigonométricas y se nos dio información sobre un triángulo rectángulo para determinar otras partes de ese triángulo rectángulo. Por supuesto, hay muchos triángulos sin ángulos rectos (estos triángulos se llaman triángulos oblicuos). Nuestra siguiente tarea es desarrollar métodos para relacionar lados y ángulos de triángulos oblicuos. En esta sección, desarrollaremos dos de estos métodos, la Ley de los senos y la Ley de los cosenos. En la siguiente sección, aprenderemos cómo usar estos métodos en aplicaciones.

Al igual que con los triángulos rectángulos, querremos algo de notación estándar cuando trabajemos con triángulos generales. Nuestra notación será similar a la que usamos para los triángulos rectángulos. En particular, a menudo dejaremos que las longitudes de los tres lados de un triángulo sean (a ), (b ) y (c ). Los ángulos opuestos a los lados de longitud (a ), (b ) y (c ) se etiquetarán como ( alpha ), ( beta ) y ( gamma ) respectivamente (Figura ( PageIndex {1} )).

A veces etiquetaremos los vértices del triángulo como A, B y C como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

Figura ( PageIndex {1} ): Etiquetado estándar para un triángulo

Actividad inicial

Antes de enunciar la Ley de los senos y la Ley de los cosenos, usaremos dos aplicaciones de Geogebra para explorar las relaciones entre las partes de un triángulo. En cada una de estas aplicaciones, se dibuja un triángulo. Las longitudes de los lados del triángulo y la medida de cada uno de los ángulos se muestran. El tamaño y la forma del triángulo se pueden cambiar arrastrando uno (o todos) de los puntos que forman los vértices del triángulo.

1. Abra la aplicación Geogebra llamada La ley de los senos en http://gvsu.edu/s/01B

  1. Experimente moviendo los vértices del triángulo y observando lo que sucede con las longitudes y los ángulos y los cálculos que se muestran en la parte inferior izquierda de la pantalla.
  2. Utilice un triángulo en particular y verifique los cálculos que se muestran en la parte inferior izquierda de la pantalla. Redondea tus resultados a la milésima más cercana como se hace en la aplicación.
  3. Escribe una ecuación (o ecuaciones) que ilustra esta aplicación. Esto será parte de la Ley de los senos.

2. Abra la aplicación Geogebra llamada La ley de los cosenos en http://gvsu.edu/s/01C

  1. Experimente moviendo los vértices del triángulo y observando lo que sucede con las longitudes y los ángulos y los cálculos que se muestran en la parte inferior izquierda de la pantalla.
  2. Utilice un triángulo en particular y verifique los cálculos que se muestran en la parte inferior izquierda de la pantalla. Redondea tus resultados a la milésima más cercana como se hace en la aplicación.
  3. Escribe una ecuación que esté ilustrando esta aplicación. Esto será parte de la Ley de los cosenos.

La ley de los senos

La primera parte de la actividad inicial estaba destinada a ilustrar la Ley de los senos. A continuación se presenta una declaración formal de la Ley de los senos.

Ley de los senos

En un triángulo, si (a ), (b ) y (c ) son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos ( alpha ), ( beta ) y ( gamma ), respectivamente, luego

[ dfrac { sin ( alpha)} {a} = dfrac { sin ( beta)} {b} = dfrac { sin ( gamma)} {c} ]

Esto es equivalente a

[ dfrac {a} { sin ( alpha)} = dfrac {b} { sin ( beta)} = dfrac {c} { sin ( gamma)} ]

Tenga en cuenta que la Ley de los senos en realidad tiene tres ecuaciones condensadas en una sola línea. Las tres ecuaciones son:

[ dfrac { sin ( alpha)} {a} = dfrac { sin ( beta)} {b} ] [ dfrac { sin ( alpha)} {a} = dfrac { sin ( gamma)} {c} ] [ dfrac { sin ( beta)} {b} = dfrac { sin ( gamma)} {c} ]

La clave para usar la Ley de los senos es que cada ecuación involucra 4 cantidades, y si conocemos 3 de estas cantidades, podemos usar la Ley de los senos para determinar la cuarta. Estas 4 cantidades son en realidad dos pares diferentes, donde un elemento de un par es un ángulo y el otro elemento de ese par es la longitud del lado opuesto a ese ángulo. En la Figura ( PageIndex {2} ), ( theta ) y (x ) forman uno de esos pares, y ( phi ) y (y ) son otro de esos pares. Podemos escribir la Ley de los senos de la siguiente manera:

Figura ( PageIndex {2} ): Diagrama de la ley de los senos

Ley de los senos

En un triángulo, si (x ) es la longitud del lado opuesto al ángulo ( theta ) y (y ) es la longitud del lado opuesto al ángulo ( phi ), entonces

[ dfrac {x} { sin ( theta)} = dfrac {y} { sin ( phi)} ] o [ dfrac { sin ( theta)} {x} = dfrac { sin ( phi)} {y}. label {lawofsines} ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la ley de los senos

Suponga que las medidas de dos ángulos de un triángulo son (25 ^ circ ) y (51.3 ^ circ ) y que el lado opuesto al ángulo (25 ^ circ ) mide 12 pies de largo. Usaremos la Ley de los senos para determinar las otras tres partes del triángulo. (Recuerde que a menudo decimos que estamos “resolviendo el triángulo”). El primer paso es dibujar un diagrama razonablemente preciso del triángulo y etiquetar las partes. Esto se muestra en el siguiente diagrama.

Notamos que conocemos los valores de la longitud de un lado y sus ángulos opuestos ( (a ) y ( alpha )). Como también conocemos el valor de ( beta ), podemos usar la Ley de los senos para determinar (b ). Esto se hace de la siguiente manera:

[ dfrac {a} { sin ( alpha)} = dfrac {b} { sin ( beta)} ] [b = dfrac {a sin ( beta)} { sin ( alpha)} ] [b = dfrac {12 sin (51.3 ^ circ)} { sin (25 ^ circ)} ] [b approx 22.160 ]

Entonces vemos que el lado opuesto al ángulo (51.3 ^ circ ) mide aproximadamente 22.160 pies de largo. Aún necesitamos determinar ( gamma ) y (c ). Usaremos el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a (180 ^ circ ) para determinar ( gamma ).
Ahora que conocemos ( gamma ), podemos usar la Ley de los senos nuevamente para determinar (c ). Para hacer esto, resolvemos la siguiente ecuación para (c ).

[ dfrac {a} { sin ( alpha)} = dfrac {c} { sin ( gamma)} ]

Debemos verificar que el resultado sea (c approx 27.587 ) pies. Para verificar nuestros resultados, debemos verificar que para este triángulo, [ dfrac { sin ( alpha)} {a} = dfrac { sin ( beta)} {b} = dfrac { sin ( gamma)} {c} approx 0.035. ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Suponga que las medidas de dos ángulos de un triángulo son (15 ^ circ ) y (135 ^ circ ) y que el lado que es común a estos dos ángulos mide (71 ) pulgadas de largo. A continuación se muestra un diagrama razonablemente preciso para este triángulo.

Determina las longitudes de los otros dos lados del triángulo y la medida del tercer ángulo. Insinuación: Primero introduzca una notación apropiada, determine la medida del tercer ángulo y luego use la Ley de los senos.

Respuesta

Primero notamos que el tercer ángulo en el triángulo es (30 ^ circ ) ya que la suma de los dos ángulos dados es (150 ^ circ ). Dejemos que x sea la longitud del lado opuesto al ángulo (15 ^ circ ) y sea (y ) la longitud del lado opuesto al ángulo (135 ^ circ ). Entonces vemos que

[ dfrac {x} { sin (15 ^ circ)} = dfrac {71} { sin (30 ^ circ)} ]
[x = dfrac {71 sin (15 ^ circ)} { sin (30 ^ circ)} ]
[x aprox 36.752 ]

[ dfrac {y} { sin (135 ^ circ)} = dfrac {71} { sin (30 ^ circ)} ]
[y = dfrac {71 sin (135 ^ circ)} { sin (30 ^ circ)} ]
[y aproximadamente 100.409 ]

Entonces, la longitud del lado opuesto al ángulo (15 ^ circ ) es aproximadamente (36.75 ) pulgadas, y la longitud del lado opuesto al ángulo (135 ^ circ ) es aproximadamente (100.41 ) pulgadas.

Usar la ley de los senos para determinar un ángulo

Como hemos dicho, una ecuación para la Ley de los senos involucra cuatro cantidades, dos ángulos y las longitudes de los dos lados opuestos a estos ángulos. En los ejemplos que hemos visto, se han dado dos ángulos y un lado. Luego usamos la Ley de los senos para determinar la longitud del otro lado.

Podemos encontrarnos con una ligera complicación cuando queremos determinar un ángulo usando la Ley de los senos. Esto puede ocurrir cuando se nos dan las longitudes de dos lados y la medida de un ángulo opuesto a uno de estos lados. El problema es que hay dos ángulos diferentes entre (0 ^ circ ) y (180 ^ circ ) que son soluciones de una ecuación de la forma ( sin ( theta) = ) "un número entre (0 ) y (1 ) ".
Por ejemplo, considere la ecuación ( sin ( theta) = 0.7 ). Podemos usar la función de seno inverso para determinar una solución de esta ecuación, que es [ theta_ {1} = sin ^ {- 1} (0.7) approx 44.427 ^ circ. ]

La función seno inversa nos da la solución que está entre (0 ^ circ ) y (90 ^ circ ), es decir, la solución en el primer cuadrante. Hay una segunda solución para esta ecuación en el segundo cuadrante, es decir, entre (90 ^ circ ) y (180 ^ circ ). Esta segunda solución es ( theta_ {2} = 180 ^ circ - theta_ {1} ). Entonces, en este caso, [ theta_ {2} = 180 ^ circ - sin ^ {- 1} (0.7) approx 135.573 ^ circ. ]
Las siguientes dos verificaciones de progreso serán actividades guiadas a través de ejemplos en los que necesitaremos usar la Ley de los senos para determinar un ángulo.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Suponga que un triángulo tiene un lado de longitud (2 ) pies que es un lado adyacente para un ángulo de (40 ^ circ ). ¿Es posible que el lado opuesto al ángulo (40 ^ circ ) tenga una longitud de (1.7 ) pies?

Para intentar responder a esto, primero dibujamos un diagrama razonablemente preciso de la situación como se muestra a continuación.

La línea horizontal no es un lado del triángulo (todavía). Por ahora, solo lo usamos como uno de los lados del ángulo (40 ^ circ ). Además, no hemos dibujado el lado opuesto al ángulo (40 ^ circ ) ya que solo por observación, parece que podría haber dos formas posibles de dibujar un lado de 3 pies de largo. Ahora llegamos a los detalles.

  • Sea ( theta ) el ángulo opuesto al lado de 2 pies de largo. Usa la ley de los senos para determinar ( sin ( theta) ).
  • Usa la función de seno inverso para determinar una solución (redondeada a la décima de grado más cercana) para ( theta ). Llame a esta solución ( theta_ {1} ).
  • Sea ( theta_ {2} = 180 ^ circ - theta_ {1} ) Explique por qué (o verifique que) ( theta_ {2} ) también es una solución de la ecuación del inciso (1).

Esto significa que podría haber dos triángulos que satisfagan las condiciones del problema.

  • Determina el tercer ángulo y el tercer lado cuando el ángulo opuesto al lado de longitud (2 ) es ( theta_ {1} ).
  • Determina el tercer ángulo y el tercer lado cuando el ángulo opuesto al lado de longitud (2 ) es ( theta_ {2} ).
Respuesta

1. El lado opuesto al ángulo de (40 ^ circ ) tiene una longitud de (1.7 ) pies. Entonces obtenemos

[ dfrac { sin ( theta)} {2} = dfrac { sin (40 ^ circ)} {1.7} ]
[ sin ( theta) = dfrac {2 sin (40 ^ circ)} {1.7} approx 0.75622 ]
2. Vemos que

[ theta_ {1} = sin ^ {- 1} ( dfrac {2 sin (40 ^ circ)} {1.7}) approx 49.132 ^ circ ]

3. ( theta_ {2} = 180 ^ circ - theta_ {1} approx 130.868 ^ circ ). Usando ángulos de referencia en lugar de arcos de referencia, ( theta_ {1} ) es el ángulo de referencia para ( theta_ {2} ), que está en el segundo cuadrante. Por lo tanto, ( sin ( theta_ {2}) = sin ( theta_ {1}) )

4. El tercer ángulo ( alpha ) se puede determinar usando la suma de los ángulos de un triángulo.

[ alpha + theta_ {1} + 40 ^ circ = 180 ^ circ ]

[ alpha approx 180 ^ circ - 40 ^ circ - 49.132 ^ circ ]

[ alpha approx 90.868 ^ circ ]

Usamos la Ley de los senos para determinar la longitud (x ) del lado opuesto a ( alpha ). El triángulo resultante se muestra a la derecha.

[ dfrac {x} { sin ( alpha)} = dfrac {1.7} { sin ^ (40 ^ circ)} ]

[x = dfrac {1.7 sin ( alpha)} { sin (40 ^ circ)} ]

[x approx 2.644 space ft ]

5. Usando el mismo procedimiento que hicimos en la parte (4), obtenemos

[ theta_ {2} aproximadamente 130.868 ^ circ ]

[ theta_ {2} approx 9.132 ^ circ ]

[x_ {2} approx 0.420 space ft ]

El triángulo se muestra a la derecha.

Hay ocasiones en las que la Ley de los senos mostrará que no hay triángulos que cumplan determinadas condiciones. A menudo vemos esto cuando una ecuación de la Ley de los senos produce una ecuación de la forma [ sin ( theta) = p ]

donde (p ) es un número real pero no está entre 0 y 1. Por ejemplo, cambiando las condiciones en la Verificación de progreso 3.15 para que queramos un triángulo que tenga un lado de 2 pies de longitud que sea un lado adyacente para un ángulo de (40 ^ circ ) y el lado opuesto al ángulo (40 ^ circ ) debe tener una longitud de 1 pie. Como en la Verificación de progreso 3.15, hacemos que ( theta ) sea el ángulo opuesto al lado de 2 pies de longitud y usamos la ley de los senos para obtener

[ dfrac { sin ( theta)} {2} = dfrac { sin (40 ^ circ)} {1} ]

[ sin ( theta) = dfrac {2 sin (40 ^ circ)} {1} approx 1.2856 ]

No existe tal ángulo ( theta ) y esto muestra que no hay ningún triángulo que cumpla con las condiciones especificadas. El diagrama de la derecha ilustra la situación.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Suponga que un triángulo tiene un lado de longitud (2 ) pies que es un lado adyacente para un ángulo de (40 ^ circ ). ¿Es posible que el lado opuesto al ángulo (40 ^ circ ) tenga una longitud de (3 ) pies?

Respuesta

La única diferencia entre esto y Progress Check 3.15 está en la longitud del lado opuesto al ángulo (40 ^ circ ). Podemos usar el mismo diagrama. Por observación, parece que es probable que solo haya una forma de dibujar un lado de longitud (3 ) pies. Ahora llegamos a los detalles.

Sea ( theta ) el ángulo opuesto al lado de longitud (2 ) pies. Usa la ley de los senos para determinar ( sin ( theta) ). Usa la función de seno inverso para determinar una solución (redondeada a la décima de grado más cercana) para ( theta ). Llame a esta solución ( theta_ {1} ).

Esto significa que podría haber dos triángulos que satisfagan las condiciones del problema.

Determina el tercer ángulo y el tercer lado cuando el ángulo opuesto al lado de longitud 2 es ( theta_ {1} ). Determina el tercer ángulo y el tercer lado cuando el ángulo opuesto al lado de longitud (2 ) es ( theta_ {2} ). Ahora determina la suma (40 ^ circ + theta_ {2} ) y explica por qué esto no es posible en un triángulo.
  • Sea ( theta_ {2} = 180 ^ circ - theta_ {1} )
  • Explica por qué (o verifica que) ( theta_ {2} ) también es una solución de la ecuación del inciso (1).

Ley de los cosenos

Hemos visto cómo se puede utilizar la Ley de los senos para determinar información sobre los lados y los ángulos de los triángulos oblicuos. Sin embargo, para usar la Ley de Dado (Ecuación ref {ley de sendas}) necesitamos conocer tres piezas de información. Necesitamos conocer un ángulo y la longitud de su lado opuesto, y además, necesitamos conocer otro ángulo o la longitud de otro lado. Si tenemos tres piezas de información diferentes, como las longitudes de dos lados y el ángulo incluido entre ellos o las longitudes de los tres lados, entonces necesitamos un método diferente para determinar las otras piezas de información sobre el triángulo. Aquí es donde la Ley de los cosenos es útil.

Primero exploramos la Ley de los cosenos en la actividad inicial de esta sección. A continuación se encuentra la declaración formal habitual de la Ley de los cosenos. La prueba de la Ley de los cosenos se incluye al final de esta sección.

Ley de los cosenos

En un triángulo, si (a ), (b ) y (c ) son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos ( alpha ), ( beta ) y ( gamma ), respectivamente, luego

[c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - 2ab cos ( gamma) ]

[b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} - 2ac cos ( beta) ]

[a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - 2bc cos ( alpha) ]

Al igual que con la Ley de los senos, hay tres ecuaciones en la Ley de los senos. Sin embargo, podemos recordar esto con una sola ecuación, ya que la clave para usar la Ley de los cosenos es que esta ley involucra 4 cantidades. Estas 4 cantidades son las longitudes de los tres lados y la medida de uno de los ángulos del triángulo como se muestra en la Figura 3.14.

Figura ( PageIndex {3} ): Diagrama de la ley de los cosenos

En este diagrama, son las longitudes de los tres lados y ( theta ) es el ángulo entre los lados (x ) y (y ). Theta también se puede considerar como el ángulo de lados opuestos. Entonces podemos escribir la Ley de los cosenos de la siguiente manera:

Ley de los cosenos

En un triángulo, si (x ), (y ) y (z ) son las longitudes de los lados de un triángulo y ( theta ) es el ángulo entre los lados (x ) y (y ) como en la Figura ( PageIndex {3} ), luego

[z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} - 2xy cos ( theta). ]

La idea es que si conoce 3 de estas 4 cantidades, puede usar la Ley de los cosenos para determinar la cuarta cantidad. La ley de los cosenos involucra las longitudes de los tres lados de un triángulo y un ángulo. Se afirma que:

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo es la suma de los cuadrados de los dos lados del ángulo menos dos veces el producto de los dos lados del ángulo y el coseno del ángulo.

Exploraremos el uso de la Ley de los cosenos en la próxima verificación de progreso.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Dos lados de un triángulo tienen una longitud de (2.5 ) metros y (3.5 ) metros, y el ángulo formado por estos dos lados tiene una medida de (60 ^ circ ). Determina las otras partes del triángulo.

El primer paso es dibujar un diagrama razonablemente preciso del triángulo y etiquetar las partes. Esto se muestra en el diagrama siguiente.

  1. Usa la ley de los cosenos para determinar la longitud del lado opuesto al ángulo (60 ^ circ ). ((C)). Ahora conocemos un ángulo ( (60 ^ circ )) y la longitud de su lado opuesto. Podemos usar la ley de los senos para determinar los otros dos ángulos. Sin embargo, recuerde que debemos tener cuidado al usar la Ley de los senos para determinar un ángulo, ya que la ecuación puede producir dos ángulos.
  2. Utilice la ley de los senos para determinar ( sin ( alpha) ). Determine los dos valores posibles para ( alpha ) y explique por qué uno de ellos no es posible.
  3. Usa el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es (180 ^ circ ) para determinar el ángulo ( beta ).
  4. Utilice la Ley de los senos para comprobar los resultados.
Respuesta

1. Usando la ley de los cosenos, obtenemos

[c ^ {2} = 3,5 ^ {2} + 2,5 ^ {2} - 2 (3,5) (2,5) cos (60 ^ circ) = 9,75 ]

Entonces (c = sqrt {9.75} approx 3.12250 space ft )
2. Usando la ley de los senos, obtenemos

[ dfrac { sin ( alpha)} {2.5} = dfrac { sin (60 ^ circ)} {c} ]

[ sin ( alpha) = dfrac {2.5 sin (60 ^ circ)} {c} approx 0.69338 ]

De esto, obtenemos ( alpha approx 43.898 ^ circ ) o ( alpha approx 136.102 ^ circ ). Sin embargo, dado que el ángulo dado en (60 ^ circ ), el segundo valor no es posible ya que (136.102 ^ circ + 60 ^ circ <180 ^ circ ). Entonces ( alpha approx 43.898 ^ circ ).

Dado que la suma de los ángulos de un triángulo debe ser (180 ^ circ ), tenemos [60 ^ circ + 43.898 ^ circ + beta = 180 ^ circ ] [ beta approx 76.102 ^ circ ]

Con los valores que hemos determinado, podemos verificar nuestro trabajo mostrando que [ dfrac { sin (60 ^ circ)} {c} = dfrac { sin ( alpha)} {2.5} = dfrac { beta} {3.5} aproximadamente 0.27735. ]

Usamos la Ley de los senos para determinar dos ángulos en la Verificación de progreso 3.17 y vimos que teníamos que tener cuidado ya que la ecuación de la Ley de los senos a menudo produce dos ángulos posibles. Podemos evitar esta situación utilizando la Ley de los cosenos para determinar los ángulos. Esto se debe a que una ecuación de la forma ( cos ( theta) = p ), donde p es un número real entre (0 ) y (1 ) tiene solo una solución para ( theta ) entre (0 ^ circ ) y (180 ^ circ ). La idea es resolver una ecuación de la Ley de los cosenos para el coseno del ángulo. En el ejercicio ( PageIndex {4} ), primero determinamos ( theta ^ {2} = 3.12250 ). Entonces podríamos haber procedido de la siguiente manera:

[2.5 ^ {2} = 3.5 ^ {2} + 3.12250 ^ {2} - 2 (3.5) (3.12250) cos ( alpha) ]
[2 (3.5) (3.12250) cos ( alpha) = 3.5 ^ {2} + 3.12250 ^ {2} - 2.5 ^ {2} ]
[ cos ( alpha) = dfrac {15,75} {21,8575} aproximadamente 0,720577 ]

Entonces podemos usar la función coseno inversa y obtener ( alpha approx 43.898 ^ circ ), que es lo que obtuvimos en el ejercicio ( PageIndex {4} ).

Ahora podemos usar el hecho de que la suma de los ángulos en un triángulo es (180 ^ circ ) para determinar ( beta ) pero para completar, también podríamos usar la Ley de los cosenos para determinar ( beta ) y luego use la suma de los ángulos del triángulo como verificación de nuestro trabajo.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Los tres lados de un triángulo tienen longitudes de (3 ) pies, (5 ) pies y (6 ) pies. Usa la ley de los cosenos para determinar cada uno de los tres ángulos.

Respuesta

El primer paso es dibujar un diagrama razonablemente preciso y etiquetar los ángulos. Usaremos el diagrama de la derecha.

Ley de los cosenos, obtenemos

[5 ^ {2} = 3 ^ {2} + 6 ^ {2} - 2 (3) (6) cos ( alpha) ] [ cos ( alpha) = dfrac {20} { 36} ] [ alpha approx 56.251 ^ circ ]

[6 ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - 2 (3) (5) cos ( beta) ] [ cos ( beta) = dfrac {-2 } {30} ] [ beta approx 98.823 ^ circ ]

[3 ^ {2} = 5 ^ {2} + 6 ^ {2} - 2 (5) (6) cos ( gamma) ] [ cos ( gamma) = dfrac {52} {60} ] [ gamma approx 29.926 ^ circ ]

Verificamos estos resultados verificando que ( alpha + beta + gamma = 180 ^ circ ).

Apéndice - Prueba de la ley de los senos

Usaremos lo que sabemos sobre triángulos rectángulos para demostrar la Ley de los senos. La idea clave es crear triángulos rectángulos a partir del diagrama de un triángulo general dibujando una altitud de longitud (h ) a partir de uno de los vértices. Primero notamos que si ( alpha ), ( beta ) y ( gamma ) son los tres ángulos de un triángulo, entonces [ alpha + beta + gamma = 180 ^ circ ]

Esto significa que como máximo uno de los tres ángulos puede ser un ángulo obtuso (entre (90 ^ circ ) y (180 ^ circ )), y por lo tanto, al menos dos de los ángulos deben ser agudos (menos que (90 ^ circ )). La figura 3.15 muestra los dos casos posibles para un triángulo general. El triángulo de la izquierda tiene tres ángulos agudos y el triángulo de la derecha tiene dos ángulos agudos ( ( alpha ) y ( beta )) y un ángulo obtuso ( gamma ).

Figura ( PageIndex {4} ): Triángulos generales

Ahora probaremos la Ley de los senos para el caso en el que los tres ángulos del triángulo son ángulos agudos. La prueba del caso en el que un ángulo del triángulo es obtuso se incluye en los ejercicios. La idea clave es crear triángulos rectángulos a partir del diagrama de un triángulo general dibujando altitudes en el triángulo como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) donde se dibuja una altitud de longitud (h ) desde el vértice de ángulo ( beta ) y una altitud de longitud (k ) se dibuja desde el vértice del ángulo ( gamma )

Figura ( PageIndex {5} ): Diagrama para la prueba de la ley de los senos

Usando los triángulos rectángulos en el diagrama de la izquierda, vemos que [ sin ( alpha) = dfrac {h} {c} ] [ sin ( gamma) = dfrac {h} {a} ]

De esto, podemos concluir que [h = c sin ( alpha) ] [h = a sin ( gamma) ]

Usando las dos ecuaciones en (1), podemos usar el hecho de que ambos lados derechos son iguales ah para concluir que [c sin ( alpha) = a sin ( gamma) ]
Ahora, dividiendo ambos lados de la última ecuación por (ac ), vemos que

[ dfrac { sin ( alpha)} {a} = dfrac { sin ( gamma)} {c} ]

Ahora usamos un argumento similar usando el triángulo de la derecha en la Figura ( PageIndex {5} ). Vemos que [ sin ( alpha) = dfrac {k} {b} ] [ sin ( beta) = dfrac {k} {a} ]

De esto, obtenemos [k = b sin ( alpha) ] [k = a sin ( beta) ] y entonces [b sin ( alpha) = a sin ( beta) ] [ dfrac { sin ( alpha)} {a} = dfrac { sin ( beta)} {b} ]

Ahora podemos usar las ecuaciones (2) y (3) para completar la demostración de la Ley de los senos,

que es [ dfrac { sin ( alpha)} {a} = = dfrac { sin ( beta)} {b} = dfrac { sin ( gamma)} {c}. ]

Apéndice - Prueba de la ley de los cosenos

Al igual que con la Ley de los senos, usaremos resultados sobre triángulos rectángulos para demostrar la Ley de los cosenos. También usaremos la fórmula de la distancia. Comenzaremos con un triángulo general con (a ), (b ) y (c ) que representan las longitudes de los lados opuestos a los ángulos ( alpha ), ( beta ) y ( gamma ), respectivamente. Colocaremos el ángulo ( gamma ) en la posición estándar en el sistema de coordenadas como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

En este diagrama, el ángulo ( gamma ) se muestra como un ángulo obtuso, pero la prueba sería la misma si ( gamma ) fuera un ángulo agudo. Hemos etiquetado el vértice del ángulo ( alpha ) como (A ) con coordenadas ((x, y) ) y hemos dibujado una línea desde (A ) perpendicular a (x ) -eje. Entonces, de las definiciones de las funciones trigonométricas en la Sección 3.1, vemos que

[ cos ( gamma) = dfrac {x} {b} ] [x = b cos ( gamma) ]

[ sin ( gamma) = dfrac {y} {b} ] [y = b sin ( gamma) ]


Figura ( PageIndex {6} ): Diagrama de la ley de los cosenos

Ahora usamos la fórmula de la distancia con los puntos (A ) y el vértice del ángulo ( beta ), que tiene coordenadas ((a, 0) ). Esto da

[c = sqrt {(x - a) ^ {2} + (y - 0) ^ {2}} ]
[c ^ {2} = (x - a) ^ {2} + y ^ {2} ]
[c ^ {2} = x ^ {2} - 2ax + a ^ {2} + y ^ {2} ]

Ahora sustituimos los valores por (x ) y (y ) en la ecuación (4) y obtenemos

[c ^ {2} = b ^ {2} cos ^ {2} ( gamma) - 2ab cos ( gamma) + a ^ {2} + b ^ {2} sin ^ {2} ( gama)]
[c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} cos ^ {2} ( gamma) + b ^ {2} sin ^ {2} ( gamma) - 2ab cos ( gama)]
[c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} ( cos ^ {2} ( gamma) + sin ^ {2} ( gamma)) - 2ab cos ( gamma) ]

Ahora podemos usar la última ecuación y el hecho de que (cos ^ {2} ( gamma) + sin ^ {2} ( gamma) = 1 ) para concluir que

[c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos ( gamma) ]

Esto prueba una de las ecuaciones de la Ley de los cosenos. Las otras dos ecuaciones se pueden probar de la misma manera colocando cada uno de los otros dos ángulos en posición estándar.

Resumen

En esta sección, estudiamos los siguientes conceptos e ideas importantes:

La Ley de los senos y la Ley de los cosenos se pueden utilizar para determinar las longitudes de los lados de un triángulo y la medida de los ángulos de un triángulo.

La Ley de los senos establece que si q es la longitud del lado opuesto al ángulo ( theta ) y (p ) es la longitud del lado opuesto al ángulo ( theta ), entonces [ dfrac { sin ( theta)} {q} = dfrac { sin ( phi)} {p} ]

La Ley de los cosenos establece que si (p ), (q ) y (r ) son las longitudes de los lados de un triángulo y ( theta ) son los ángulos opuestos al lado (q ), entonces

[q ^ {2} = p ^ {2} + r ^ {2} - 2pr cos ( theta). ]

Cada una de las ecuaciones de la Ley de los senos y la Ley de los cosenos implica cuatro variables. Entonces, si conocemos los valores de tres de las variables, entonces podemos usar la ecuación apropiada para resolver la cuarta variable.


Triangulos

Hay algunas reglas que se aplican a todos los diferentes tipos de triángulos. A continuación se muestran las cuatro reglas más importantes. Nota: Los triángulos en las figuras representan alguna triángulo.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 °.
X° + y° + z° = 180°

La longitud del lado más largo de un triángulo debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados del triángulo, pero mayor que la diferencia de longitudes.
(ABantes de Cristo) & lt C.A. & lt (AB + antes de Cristo)

El lado más largo de un triángulo está opuesto al ángulo más grande y el lado más corto está opuesto al ángulo más pequeño.
∠B es el ángulo más grande así que C.A. es el lado más largo.
AB es el lado más corto así que ∠C es el ángulo más pequeño.

Si extiende un lado del triángulo, el Angulo exterior formado será igual a la suma de los otros dos ángulos interiores del triángulo.
X° + z° = norte°

Ejemplo

Encuentra el valor de y.

Solución

Empiece con el triángulo de la derecha. Usando ángulos exteriores,
X° + 120 ° = 150 °, entonces X° = 30°.

Los arcos en la parte superior del triángulo significan que los ángulos son congruentes. Desde X° = 30 °, su ángulo congruente también es 30 °.

A partir de aquí, hay dos métodos para encontrar el valor de y.

Un método consiste en utilizar ángulos exteriores. y° + 30 ° = 120 °, entonces y° = 90°.

El otro método consiste en encontrar primero el otro ángulo desconocido. Dado que el ángulo desconocido forma un ángulo recto con el ángulo de 120 °, su medida es 60 °.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 °.
Entonces 60 ° + 30 ° + y° = 180°.
De nuevo, y° = 90°.


¿Es un triángulo de lados 3, 4, 6 un triángulo rectángulo?

Para comprobar si los lados son un triángulo rectángulo, compruebe si la suma de los cuadrados de los dos lados más pequeños es igual a la longitud del cuadrado del lado más largo.

En otras palabras, verifique si funciona con el teorema de Pitágoras:

Dado que # 25 # no es # 36 #, el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Un triángulo con lados de #color (rojo) (3, 4 y 6 # es #color (azul) (NO # a Triángulo rectángulo.

Explicación:

#" "#
Se nos dan tres lados de un triángulo # 3, 4 y 6 #.

Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Para determinar si los tres lados dados forman un triángulo rectángulo, usamos el Teorema de Pitágoras para verificar.

Dibuja un triángulo, digamos #A, B, C # con las magnitudes dadas.

Tenga en cuenta que el lado más largo (BC) tiene una magnitud de # 6 # unidades.

Por tanto, esta debe ser la Hipotenusa, si el triángulo ABC es un triángulo rectángulo.

¿El ángulo # / _ CAB # forma un ángulo recto de # 90 ^ @ #?

Verifica eso usando la relación entre la hipotenusa y los otros dos catetos del triángulo.

Si # (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 = (BC) ^ 2 #, entonces sabemos que # BC # es el Hipotenusa y el triángulo # ABC # es un triángulo rectángulo.


CÓMO SABER SI UN TRIÁNGULO ES UN TRIÁNGULO DERECHO CON LADOS DADOS

Cómo saber si un triángulo es un triángulo rectángulo con lados dados: & # xa0

Si ayb son medidas de los lados más cortos de un triángulo, c es la medida & # xa0 del lado más largo y c 2 = a 2 & # xa0 + b 2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Si c 2 & # xa0 ≠ & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2, entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Veamos algunos problemas de ejemplo basados ​​en el concepto anterior.

Determina si las siguientes medidas laterales forman triángulos rectángulos.

Dado que la medida del lado más largo es 29, sea c = 29, a = 20 y b = 21.

Luego, determine si & # xa0 c 2 & # xa0 = & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2

Dado que & # xa0 c 2 & # xa0 = & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2, el triángulo es un triángulo rectángulo.

Determina si las siguientes medidas laterales forman triángulos rectángulos.

Dado que la medida del lado más largo es 12, sea c = 12, a = 10 y b = 8.

Luego, determine si & # xa0 c 2 & # xa0 = & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2

Dado que & # xa0 c 2 & # xa0 & # xa0 ≠ & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2, el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Determina si las siguientes medidas laterales forman triángulos rectángulos.

Dado que la medida del lado más largo es 50, sea c = 50, a = 30 y b = 40.

Luego, determine si & # xa0 c 2 & # xa0 = & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2

Dado que & # xa0 c 2 & # xa0 = & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2, el triángulo es un triángulo rectángulo.

Determina si las siguientes medidas laterales forman triángulos rectángulos.

Dado que la medida del lado más largo es 18, sea c = 18, a = 6 y b = 12.

Luego, determine si & # xa0 c 2 & # xa0 = & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2

Dado que & # xa0 c 2 & # xa0 & # xa0 ≠ & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2, el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Determina si las siguientes medidas laterales forman triángulos rectángulos.

Dado que la medida del lado más largo es 36, sea c = 36, a = 24 y b = 30.

Luego, determine si & # xa0 c 2 & # xa0 = & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2

Dado que & # xa0 c 2 & # xa0 & # xa0 ≠ & # xa0 a 2 & # xa0 + b 2, el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Después de haber repasado todo lo anterior, esperamos que los estudiantes hayan entendido "Cómo saber si un triángulo es un triángulo rectángulo con lados dados". & # Xa0

Aparte de las cosas dadas arriba, si quieres saber más sobre "Cómo saber si un triángulo es un triángulo rectángulo con lados dados", haz clic aquí & # xa0

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Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

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Comentarios (43)

¿Cuál es la solución a la última pregunta?
pensé que debería ser (E)
si 2 lados son 9, entonces el tercer lado está entre 0 y 18, por lo que el perímetro máximo es 9 + 9 + 17 = 35, ¡por eso (E) no es posible!
¿Cómo es la respuesta A.

No dice en ninguna parte que los lados iguales sean 9. (E) es posible si los lados son 30, 30, 9. (A) no es posible porque los otros lados tendrían que ser 3 y 3 para hacer el perímetro 15 , pero los lados de 3, 3, 9 rompen la regla de desigualdad del triángulo.

otra forma de resolver, aunque requiere tiempo y cuidado, es encontrar el rango del perímetro. aquí hay 2 posibilidades: [9, a, a], [9,9, a]. aplique el teorema de la desigualdad, [9, a, a] tenga P = 9 + 2a & gt 18, [9,9, a] tenga 18 & lt P = 18 + a 18. Es el único requisito para satisfacer el problema. Entonces A es la respuesta.


3.3: Triángulos que no son triángulos rectángulos

Ingrese 3 longitudes de lados de triángulos (A, B y C), luego haga clic en "ENTER". Esta calculadora determinará si esos 3 lados formarán un triángulo equilátero, isóceles, agudo, recto u obtuso o No triángulo en absoluto.

Sin usar la calculadora
Cuando se le dan 3 lados de un triángulo, para determinar si el triángulo es agudo, recto u obtuso:

2) Suma los cuadrados de los 2 lados más cortos.

3) Compara esta suma con el cuadrado del tercer lado.

if sum > 3rd side²   Acute Triangle

if sum = 3rd side²   Right Triangle

sum of the squares of the short sides = 25 + 36 = 61

3, 4 and 5 Squaring each side = 9, 16 and 25

sum of the squares of the short sides = 9 + 16 = 25

3, 7 and 9 Squaring each side = 9, 49 and 81

sum of the squares of the short sides = 9 + 49 = 58

58 For determining if the 3 sides can even form a triangle, the triangle inequality theorem states that the longest side must be shorter than the sum of the other 2 sides.


Linking Vertex Attributes

The vertex shader allows us to specify any input we want in the form of vertex attributes and while this allows for great flexibility, it does mean we have to manually specify what part of our input data goes to which vertex attribute in the vertex shader. This means we have to specify how OpenGL should interpret the vertex data before rendering.

Our vertex buffer data is formatted as follows:

  • The position data is stored as 32-bit (4 byte) floating point values.
  • Each position is composed of 3 of those values.
  • There is no space (or other values) between each set of 3 values. The values are tightly packed in the array.
  • The first value in the data is at the beginning of the buffer.

With this knowledge we can tell OpenGL how it should interpret the vertex data (per vertex attribute) using glVertexAttribPointer :

The function glVertexAttribPointer has quite a few parameters so let's carefully walk through them:

  • The first parameter specifies which vertex attribute we want to configure. Remember that we specified the location of the position vertex attribute in the vertex shader with layout (location = 0) . This sets the location of the vertex attribute to 0 and since we want to pass data to this vertex attribute, we pass in 0 .
  • The next argument specifies the size of the vertex attribute. The vertex attribute is a vec3 so it is composed of 3 values.
  • The third argument specifies the type of the data which is GL_FLOAT (a vec* in GLSL consists of floating point values).
  • The next argument specifies if we want the data to be normalized. If we're inputting integer data types (int, byte) and we've set this to GL_TRUE , the integer data is normalized to 0 (or -1 for signed data) and 1 when converted to float. This is not relevant for us so we'll leave this at GL_FALSE .
  • The fifth argument is known as the stride and tells us the space between consecutive vertex attributes. Since the next set of position data is located exactly 3 times the size of a float away we specify that value as the stride. Note that since we know that the array is tightly packed (there is no space between the next vertex attribute value) we could've also specified the stride as 0 to let OpenGL determine the stride (this only works when values are tightly packed). Whenever we have more vertex attributes we have to carefully define the spacing between each vertex attribute but we'll get to see more examples of that later on.
  • The last parameter is of type void* and thus requires that weird cast. This is the offset of where the position data begins in the buffer. Since the position data is at the start of the data array this value is just 0 . We will explore this parameter in more detail later on

Now that we specified how OpenGL should interpret the vertex data we should also enable the vertex attribute with glEnable VertexAttribArray giving the vertex attribute location as its argument vertex attributes are disabled by default. From that point on we have everything set up: we initialized the vertex data in a buffer using a vertex buffer object, set up a vertex and fragment shader and told OpenGL how to link the vertex data to the vertex shader's vertex attributes. Drawing an object in OpenGL would now look something like this:

We have to repeat this process every time we want to draw an object. It may not look like that much, but imagine if we have over 5 vertex attributes and perhaps 100s of different objects (which is not uncommon). Binding the appropriate buffer objects and configuring all vertex attributes for each of those objects quickly becomes a cumbersome process. What if there was some way we could store all these state configurations into an object and simply bind this object to restore its state?

Vertex Array Object

A vertex array object (also known as VAO ) can be bound just like a vertex buffer object and any subsequent vertex attribute calls from that point on will be stored inside the VAO. This has the advantage that when configuring vertex attribute pointers you only have to make those calls once and whenever we want to draw the object, we can just bind the corresponding VAO. This makes switching between different vertex data and attribute configurations as easy as binding a different VAO. All the state we just set is stored inside the VAO.

Core OpenGL requiere that we use a VAO so it knows what to do with our vertex inputs. If we fail to bind a VAO, OpenGL will most likely refuse to draw anything.

A vertex array object stores the following:

  • Calls to glEnable VertexAttribArray or glDisableVertexAttribArray .
  • Vertex attribute configurations via glVertexAttribPointer .
  • Vertex buffer objects associated with vertex attributes by calls to glVertexAttribPointer .

The process to generate a VAO looks similar to that of a VBO:

To use a VAO all you have to do is bind the VAO using glBindVertexArray . From that point on we should bind/configure the corresponding VBO(s) and attribute pointer(s) and then unbind the VAO for later use. As soon as we want to draw an object, we simply bind the VAO with the preferred settings before drawing the object and that is it. In code this would look a bit like this:

And that is it! Everything we did the last few million pages led up to this moment, a VAO that stores our vertex attribute configuration and which VBO to use. Usually when you have multiple objects you want to draw, you first generate/configure all the VAOs (and thus the required VBO and attribute pointers) and store those for later use. The moment we want to draw one of our objects, we take the corresponding VAO, bind it, then draw the object and unbind the VAO again.

The triangle we've all been waiting for

To draw our objects of choice, OpenGL provides us with the glDrawArrays function that draws primitives using the currently active shader, the previously defined vertex attribute configuration and with the VBO's vertex data (indirectly bound via the VAO).

The glDrawArrays function takes as its first argument the OpenGL primitive type we would like to draw. Since I said at the start we wanted to draw a triangle, and I don't like lying to you, we pass in GL_TRIANGLES . The second argument specifies the starting index of the vertex array we'd like to draw we just leave this at 0 . The last argument specifies how many vertices we want to draw, which is 3 (we only render 1 triangle from our data, which is exactly 3 vertices long).

Now try to compile the code and work your way backwards if any errors popped up. As soon as your application compiles, you should see the following result:

The source code for the complete program can be found here .

If your output does not look the same you probably did something wrong along the way so check the complete source code and see if you missed anything.


The Take-Aways

Remembering the rules for 30-60-90 triangles will help you to shortcut your way through a variety of math problems . But do keep in mind that, while knowing these rules is a handy tool to keep in your belt, you can still solve most problems without them.

Keep track of the rules of $x$, $x√3$, $2x$ and 30-60-90 in whatever way makes sense to you and try to keep them straight if you can, but don't panic if your mind blanks out when it's crunch time. Either way, you've got this.

And, if you need more practice, go ahead and check out this 30-60-90 triangle quiz . Happy test-taking!

Have friends who also need help with test prep? Share this article!

Courtney scored in the 99th percentile on the SAT in high school and went on to graduate from Stanford University with a degree in Cultural and Social Anthropology. She is passionate about bringing education and the tools to succeed to students from all backgrounds and walks of life, as she believes open education is one of the great societal equalizers. She has years of tutoring experience and writes creative works in her free time.


3.3: Triangles that are Not Right Triangles

This section describes the Triangle Count or Clustering Coefficient algorithm in the Neo4j Labs Graph Algorithms library.

This is documentation for the Graph Algorithms Library, which has been deprecated by the Graph Data Science Library (GDS).

Triangle counting is a community detection graph algorithm that is used to determine the number of triangles passing through each node in the graph. A triangle is a set of three nodes, where each node has a relationship to all other nodes.

The Triangle Counting / Cluster Coefficient algorithm was developed by the Neo4j Labs team and is not officially supported.

9.3.3.1. History and explanation

Triangle counting gained popularity in social network analysis, where it is used to detect communities and measure the cohesiveness of those communities. It can also be used to determine the stability of a graph, and is often used as part of the computation of network indices, such as the clustering coefficient.

There are two types of clustering coefficient:

The transitivity coefficient of a graph is sometimes used, which is three times the number of triangles divided by the number of triples in the graph. For more information, see "Finding, Counting and Listing all Triangles in Large Graphs, An Experimental Study".

9.3.3.2. Use-cases - when to use the Triangle Counting / Clustering Coefficient algorithm

  • Triangle count and clustering coefficient have been shown to be useful as features for classifying a given website as spam, or non-spam, content. This is described in "Efficient Semi-streaming Algorithms for Local Triangle Counting in Massive Graphs".
  • Clustering coefficient has been used to investigate the community structure of Facebook’s social graph, where they found dense neighbourhoods of users in an otherwise sparse global graph. Find this study in "The Anatomy of the Facebook Social Graph".
  • Clustering coefficient has been proposed to help explore thematic structure of the web, and detect communities of pages with a common topic based on the reciprocal links between them. For more information, see Curvature of co-links uncovers hidden thematic layers in the World Wide Web.

9.3.3.3. Triangle Counting / Clustering Coefficient algorithm sample

The following will create a sample graph:

The following will return a stream of triples, with nodeId for each triangle:

We can see that there are KNOWS triangles containing "Will, Michael, and Chris", "Will, Mark, and Michael", and "Michael, Karin, and Chris". This means that everybody in the triangle knows each other.

The following will count the number of triangles that a node is member of, and write it back. It will return the total triangle count and average clustering coefficient of the given graph:

The following will count the number of triangles that a node is member of, and return a stream with nodeId and triangleCount :

We learn that Michael is part of the most triangles, but it’s Karin and Mark who are the best at introducing their friends - all of the people who know them, know each other!

9.3.3.4. Uso de ejemplo

In graph theory, a clustering coefficient is a measure of the degree to which nodes in a graph tend to cluster together. Evidence suggests that in most real-world networks, and in particular social networks, nodes tend to create tightly knit groups characterised by a relatively high density of ties this likelihood tends to be greater than the average probability of a tie randomly established between two nodes.

We check if this holds true for Yelp’s social network of friends:

Average clustering coefficient is 0.0523, which is really low for a social network. This indicates that groups of friends are not tightly knit together, but rather sparse. We can assume that users are not on Yelp for finding and creating friends, like Facebook for example, but rather something else, like finding good restaurant recommendations.

Local triangle count and clustering coefficient of nodes can be used as features in finding influencers in social networks.

9.3.3.5. Cypher projection

If node label and relationship type are not selective enough to describe your subgraph to run the algorithm on, you can use Cypher statements to load or project subsets of your graph. This can also be used to run algorithms on a virtual graph. You can learn more in the Section 2.2, “Cypher projection” section of the manual.

Set graph:'cypher' in the config:

9.3.3.6. Sintaxis

The following will return a stream of triples with nodeId for each triangle:

The label to load from the graph. If null, load all nodes.

The relationship type to load from the graph. If null, load all nodes.

The number of concurrent threads used for running the algorithm. Also provides the default value for 'readConcurrency'.

The number of concurrent threads used for reading the graph.

The ID of node in the given triangle.

The ID of node in the given triangle.

The ID of node in the given triangle.

The following will count the number of triangles that a node is a member of, and return a stream with nodeId and triangleCount :

The label to load from the graph. If null, load all nodes.

The relationship type to load from the graph. If null, load all relationships.

The number of concurrent threads used for running the algorithm. Also provides the default value for 'readConcurrency'.


In-depth: Software rasterizer and triangle clipping

Software rasterizers can be used for occlusion culling. Some games such as Killzone 3 use this to cull objects. So I decided to write one myself.

The steps are first to transform vertices to homogenous coordinates, clip the triangles to the viewport, and then fill the triangles with interpolated parameters.

Note that the clipping process should be done in homogenous coordinates before the perspective division, otherwise lots of the extra work is needed to clip the triangles properly. This post will explain why clipping should be done before the perspective division.

Points in homogenous coordinates

In our usual Cartesian Coordinate system, we can represent any points in 3D space in the form of (X, Y, Z). While in Homogenous coordinates, a redundant component w is added, which results in a form of (X, y, z, w). Multiplying any constant (except zero) to that 4-components vector still represents the same point in homogenous coordinates.

To convert a homogenous point back to our usual Cartesian Coordinate, we would multiply a point in homogenous coordinates so that the w component is equals to one:

In the following figure, we consider the X-w plane, a point (X, y, z, w) is transformed back to the usual Cartesian Coordinates (X, Y, Z) by projecting onto the w=1 plane:

figure 1. projecting point to w=1 plane

The interesting point comes when the w component is equal to zero. Imagine the w component is getting smaller and smaller, approaching zero. The coordinates of point (x/w , y/w , z/w, 1) will getting larger and larger. Cuándo w is equal to zero, we can represent a point at infinity.

Line Segments in Homogenous coordinates

In Homogenous coordinates, we still can represent a line segment between two points P 0 = (X 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) and P 1 = (X 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) in parametric form:

Then we can get a line having the shape:

figure 2. internal line segment

The projected line on w=1 is called internal line segment in the above case.

But what if the coordinates of P 0 and P 1 having the coordinates where w 0 < 0 and w 1 > 0 ?


figure 3. external line segment

In this case, it will result in the above figure, forming an external line segment. It is because the homogenous line segment has the form L= P 0 + t * (P 1 -P 0 ), when moving the parameter from t=0 to t= 1, since w 0 < 0 and w 1 > 0, there exists a point on the homogenous line where w=0.

This point is at infinity when projected to the w=1 plane, where the projected line segment joining P 0 and P 1 passes through the point at infinity, forming an external line segment.

The figure below shows how points are transformed before and after perspective projection and divided by w:

figure 4. region mapping

The blue line shows the viewing frustum, nothing unusual for the region in front of the eye. The unusual things are the points behind the eye. After perspective transformation and projected to w=1 plane, those points are transformed in front of the eye too. So for line segment with one point in front of the eye and the other behind the eye, it would be transformed to the external line segment after the perspective division.

Triangles in Homogenous coordinates

In the last section, we know that there are internal and external line segments after the perspective division.Wwe also have internal and external triangles. The internal triangles are the one that we usually sees. The external triangles must be formed by 1 internal line segment and 2 external line segments:

figure 5. external triangle

In the above figure, the shaded area represents the external triangle formed by the points P 0 , P 1 and P 2 . These kind of external triangles may appear after the perspective projection transform. And this happens in our real world too:

Triangles clipping

To avoid the case of external triangles, lines/triangles should be clipped in homogenous coordinates before being divided by the w-component. The homogenous point (X, y, z, w) will be tested with the following inequalities:

which represent only a single point in homogenous coordinates.

S oa triangle (after clipped by inequality 1, 2, 3) having one or two vertices with w=0 will result in either a line or a point which can be discarded. Hence, after clipping, no external triangles will be produced when dividing by w-component.

To clip a triangle against a plane, the triangle may result in either 1 or 2 triangles depending on whether there are 1 or 2 vertex outside the clipping plane:

figure 6. clipping internal triangles

Then the clipped triangles can be passed to the next stage to be rasterized either by a scan line algorithm or by a half-space algorithm.

Below is the clipping result of an external triangle with 1 vertex behind the camera.

clipping external triangle in software rasterizer

Below is another rasterized result:

In this post, the math behind the clipping of triangles are explained. Clipping should be done before projecting the homogenous point to the w=1 to avoid taking special cares to clip the external triangles. In the next post, I will talk about the perspective interpolation, and the source code will be given in the next post (written in Javascript, drawing to HTML canvas).

And lastly, special thanks to Fabian Giesen for giving feedback during the draft of this post.

[This piece was reprinted from #AltDevBlogADay, a shared blog initiative started by @mike_acton devoted to giving game developers of all disciplines a place to motivate each other to write regularly about their personal game development passions.]


Ver el vídeo: Perimetros y áreas área sombreada triángulo (Noviembre 2021).