Artículos

2.6: Diferenciación implícita


En las secciones anteriores aprendimos a encontrar la derivada, ( frac {dy} {dx} ), o (y ^ prime ), cuando (y ) se da explícitamente en función de (x ). Es decir, si conocemos (y = f (x) ) para alguna función (f ), podemos encontrar (y ^ prime ). Por ejemplo, dado (y = 3x ^ 2-7 ), podemos encontrar fácilmente (y ^ prime = 6x ). (Aquí declaramos explícitamente cómo se relacionan (x ) y (y ). Sabiendo (x ), podemos encontrar directamente (y ).)

A veces, la relación entre (y ) y (x ) no es explícita; más bien, es implícito. Por ejemplo, podríamos saber que (x ^ 2-y = 4 ). Esta igualdad define una relación entre (x ) y (y ); si conocemos (x ), podríamos calcular (y ). ¿Todavía podemos encontrar (y ^ prime )? En este caso, seguro; resolvemos (y ) para obtener (y = x ^ 2-4 ) (por lo tanto, ahora sabemos (y ) explícitamente) y luego diferenciamos para obtener (y ^ prime = 2x ).

A veces el implícito la relación entre (x ) y (y ) es complicada. Supongamos que se nos da ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ). En la figura 2.19 se muestra una gráfica de esta función implícita. En este caso, no hay absolutamente ninguna forma de resolver (y ) en términos de funciones elementales. Sin embargo, lo sorprendente es que todavía podemos encontrar (y ^ prime ) mediante un proceso conocido como diferenciación implícita.

La diferenciación implícita es una técnica basada en la regla de la cadena que se usa para encontrar una derivada cuando la relación entre las variables se da implícitamente en lugar de explícitamente (resuelta para una variable en términos de la otra).

Comenzamos revisando la regla de la cadena. Sean (f ) y (g ) funciones de (x ). Entonces [ frac {d} {dx} Big (f (g (x)) Big) = f ^ prime (g (x)) cdot g '(x). ] Supongamos ahora que ( y = g (x) ). Podemos reescribir lo anterior como [ frac {d} {dx} Big (f (y)) Big) = f ^ prime (y)) cdot y ^ prime, quad text {o} quad frac {d} {dx} Big (f (y)) Big) = f ^ prime (y) cdot frac {dy} {dx}. label {2.1} tag {2.1} ] Estas ecuaciones parecen extrañas; el concepto clave para aprender aquí es que podemos encontrar (y ^ prime ) incluso si no sabemos exactamente cómo se relacionan (y ) y (x ).

Demostramos este proceso en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 67: Uso de la diferenciación implícita

Encuentra (y ^ prime ) dado que ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ).

Solución

Comenzamos tomando la derivada de ambos lados (manteniendo así la igualdad). Tenemos:

[ frac {d} {dx} Big ( sin (y) + y ^ 3 Big) = frac {d} {dx} Big (6-x ^ 3 Big). ]

El lado derecho es fácil; devuelve (- 3x ^ 2 ).

El lado izquierdo requiere más consideración. Tomamos la derivada término por término. Usando la técnica derivada de la Ecuación 2.1 anterior, podemos ver que [ frac {d} {dx} Big ( sin y Big) = cos y cdot y ^ prime. ]

Aplicamos el mismo proceso al término (y ^ 3 ).

[ frac {d} {dx} Big (y ^ 3 Big) = frac {d} {dx} Big ((y) ^ 3 Big) = 3 (y) ^ 2 cdot y ^ principal .]

Poniendo esto junto con el lado derecho, tenemos

[ cos (y) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime = -3x ^ 2. ]

Ahora resuelva para (y ^ prime ).

[ begin {align *} cos (y) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime & = -3x ^ 2. big ( cos y + 3y ^ 2 big) y ^ prime & = -3x ^ 2 y ^ prime & = frac {-3x ^ 2} { cos y + 3y ^ 2} end {align *} ]

Esta ecuación para (y ^ prime ) probablemente parece inusual ya que contiene términos (x ) y (y ). ¿Cómo se va a utilizar? Nos ocuparemos de eso a continuación.

Las funciones implícitas son generalmente más difíciles de manejar que las funciones explícitas. Con una función explícita, dado un valor (x ), tenemos una fórmula explícita para calcular el valor (y ) correspondiente. Con una función implícita, a menudo uno tiene que encontrar valores de (x ) y (y ) al mismo tiempo que satisfacen la ecuación. Es mucho más fácil demostrar que un punto dado satisface la ecuación que encontrarlo.

Por ejemplo, podemos afirmar fácilmente que el punto (( sqrt [3] {6}, 0) ) se encuentra en la gráfica de la función implícita ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ). Conectando (0 ) para (y ), vemos que el lado izquierdo es (0 ). Configurando (x = sqrt [3] 6 ), vemos que el lado derecho también es (0 ); la ecuación está satisfecha. El siguiente ejemplo encuentra la ecuación de la recta tangente a esta función en este punto.

Ejemplo 68: Uso de la diferenciación implícita para encontrar una recta tangente

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva de la función definida implícitamente ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ) en el punto (( sqrt [3] 6,0) ).

Solución

En el Ejemplo 67 encontramos que [y ^ prime = frac {-3x ^ 2} { cos y + 3y ^ 2}. ] Hallamos la pendiente de la recta tangente en el punto (( sqrt [ 3] 6,0) ) sustituyendo ( sqrt [3] 6 ) por (x ) y (0 ) por (y ). Por lo tanto, en el punto (( sqrt [3] 6,0) ), tenemos la pendiente como [y ^ prime = frac {-3 ( sqrt [3] {6}) ^ 2} { cos 0 + 3 cdot0 ^ 2} = frac {-3 sqrt [3] {36}} {1} approx -9,91. ]

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la función definida implícitamente ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ) en el punto (( sqrt [3] {6}, 0) ) es [y = -3 sqrt [3] {36} (x- sqrt [3] {6}) + 0 approx -9.91x + 18. ] La curva y esta línea tangente se muestran en la Figura 2.20.

Esto sugiere un método general para la diferenciación implícita. Para los pasos siguientes, suponga que (y ) es una función de (x ).

  1. Calcula la derivada de cada término de la ecuación. Trate los términos (x ) como si fueran normales. Al tomar las derivadas de los términos (y ), se aplican las reglas habituales, excepto que, debido a la regla de la cadena, necesitamos multiplicar cada término por (y ^ prime ).
  2. Obtenga todos los términos (y ^ prime ) en un lado del signo igual y coloque los términos restantes en el otro lado.
  3. Factoriza (y ^ prime ); resuelve (y ^ prime ) dividiendo.

Nota práctica: Cuando se trabaja a mano, puede ser beneficioso utilizar el símbolo ( frac {dy} {dx} ) en lugar de (y ^ prime ), ya que este último se puede confundir fácilmente con (y ) o (y ^ 1 ).

Ejemplo 69: Uso de la diferenciación implícita

Dada la función definida implícitamente (y ^ 3 + x ^ 2y ^ 4 = 1 + 2x ), encuentre (y ^ prime ).

Solución

Tomaremos las derivadas implícitas término por término. La derivada de (y ^ 3 ) es (3y ^ 2y ^ prime ).

El segundo término, (x ^ 2y ^ 4 ), es un poco complicado. Requiere la regla del producto, ya que es el producto de dos funciones de (x ): (x ^ 2 ) y (y ^ 4 ). Su derivada es (x ^ 2 (4y ^ 3y ^ prime) + 2xy ^ 4 ). La primera parte de esta expresión requiere (y ^ prime ) porque estamos tomando la derivada de un término (y ). La segunda parte no lo requiere porque estamos tomando la derivada de (x ^ 2 ).

La derivada del lado derecho se encuentra fácilmente como (2 ). En total, obtenemos:

[3y ^ 2y ^ prime + 4x ^ 2y ^ 3y ^ prime + 2xy ^ 4 = 2. ]

Mueva los términos de modo que el lado izquierdo esté formado solo por los términos (y ^ prime ) y el lado derecho esté formado por todos los demás términos:

[3y ^ 2y ^ prime + 4x ^ 2y ^ 3y ^ prime = 2-2xy ^ 4. ]

Factoriza (y ^ prime ) del lado izquierdo y resuelve para obtener

[y ^ prime = frac {2-2xy ^ 4} {3y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 3}. ]

Para confirmar la validez de nuestro trabajo, encontremos la ecuación de una recta tangente a esta función en un punto. Es fácil confirmar que el punto ((0,1) ) se encuentra en la gráfica de esta función. En este punto, (y ^ prime = 2/3 ). Entonces, la ecuación de la recta tangente es (y = 2/3 (x-0) +1 ). La función y su línea tangente se grafican en la Figura 2.21.

Observe cómo nuestra función se ve muy diferente a otras funciones que hemos visto. Por un lado, falla la prueba de la línea vertical. Estas funciones son importantes en muchas áreas de las matemáticas, por lo que también es importante desarrollar herramientas para manejarlas.

Ejemplo 70: Uso de la diferenciación implícita

Dada la función definida implícitamente ( sin (x ^ 2y ^ 2) + y ^ 3 = x + y ), encuentre (y ^ prime ).

Solución

Al diferenciar término por término, encontramos la mayor dificultad en el primer término. Requiere tanto las Reglas de Cadena como de Producto.

[ begin {align *} frac {d} {dx} Big ( sin (x ^ 2y ^ 2) Big) & = cos (x ^ 2y ^ 2) cdot frac {d} { dx} Big (x ^ 2y ^ 2 Big) & = cos (x ^ 2y ^ 2) cdot big (x ^ 2 (2yy ^ prime) + 2xy ^ 2 big) & = 2 (x ^ 2yy ^ prime + xy ^ 2) cos (x ^ 2y ^ 2). end {alinear *} ]

Dejamos las derivadas de los otros términos al lector. Después de tomar las derivadas de ambos lados, tenemos

[2 (x ^ 2yy ^ prime + xy ^ 2) cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2y ^ prime = 1 + y ^ prime. ]

Ahora debemos tener cuidado de resolver correctamente (y ^ prime ), particularmente debido al producto de la izquierda. Es mejor multiplicar el producto. Haciendo esto, obtenemos

[2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) y ^ prime + 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2y ^ prime = 1 + y ^ prime. ]

Desde aquí, podemos movernos de forma segura entre los términos para obtener lo siguiente:

[2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime - y ^ prime = 1 - 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2). ]

Entonces podemos resolver (y ^ prime ) para obtener

[y ^ prime = frac {1 - 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2)} {2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2-1}. ]

En la figura 2.22 se muestra una gráfica de esta función implícita. Es fácil verificar que los puntos ((0,0) ), ((0,1) ) y ((0, -1) ) se encuentran todos en la gráfica. Podemos encontrar las pendientes de las rectas tangentes en cada uno de estos puntos usando nuestra fórmula para (y ^ prime ).

En ((0,0) ), la pendiente es (- 1 ).

En ((0,1) ), la pendiente es (1/2 ).

En ((0, -1) ), la pendiente también es (1/2 ).

Las rectas tangentes se han agregado a la gráfica de la función en la Figura 2.23.

Unas cuantas curvas "famosas" tienen ecuaciones que se dan implícitamente. Podemos usar la diferenciación implícita para encontrar la pendiente en varios puntos de esas curvas. Investigamos dos de esas curvas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 71: Encontrar pendientes de rectas tangentes a un círculo

Encuentra la pendiente de la recta tangente al círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) en el punto ((1/2, sqrt {3} / 2) ).

Solución

Tomando derivadas, obtenemos (2x + 2yy ^ prime = 0 ). Resolver para (y ^ prime ) da: [y ^ prime = frac {-x} {y}. ]

Ésta es una fórmula inteligente. Recuerda que la pendiente de la recta que pasa por el origen y el punto ((x, y) ) del círculo será (y / x ). Hemos encontrado que la pendiente de la recta tangente al círculo en ese punto es el recíproco opuesto de (y / x ), es decir, (- x / y ). Por tanto, estas dos líneas son siempre perpendiculares.

En el punto ((1/2, sqrt {3} / 2) ), tenemos la pendiente de la recta tangente como

[y ^ prime = frac {-1/2} { sqrt {3} / 2} = frac {-1} { sqrt {3}} approx -0.577. ]

En la figura 2.24 se muestra una gráfica del círculo y su línea tangente en ((1/2, sqrt {3} / 2) ), junto con una línea fina de trazos desde el origen que es perpendicular a la línea tangente. (Resulta que todas las líneas normales de un círculo pasan por el centro del círculo).

Esta sección ha mostrado cómo encontrar las derivadas de funciones definidas implícitamente, cuyos gráficos incluyen una amplia variedad de formas interesantes e inusuales. La diferenciación implícita también se puede utilizar para ampliar nuestra comprensión de la diferenciación "regular".

Un agujero en nuestra comprensión actual de las derivadas es este: ¿cuál es la derivada de la función raíz cuadrada? Es decir, [ frac {d} {dx} big ( sqrt {x} big) = frac {d} {dx} big (x ^ {1/2} big) = text { ?} ]

Aludimos a una posible solución, ya que podemos escribir la función raíz cuadrada como una función de potencia con una potencia racional (o fraccionaria). Entonces estamos tentados a aplicar la regla de la potencia y obtener [ frac {d} {dx} big (x ^ {1/2} big) = frac12x ^ {- 1/2} = frac {1} {2 sqrt {x}}. ]

El problema con esto es que la regla de potencia se definió inicialmente solo para potencias enteras positivas, (n> 0 ). Si bien no justificamos esto en ese momento, generalmente la regla de la potencia se prueba usando algo llamado Teorema del binomio, que trata solo con números enteros positivos. La regla del cociente nos permitió extender la regla de la potencia a potencias enteras negativas. La diferenciación implícita nos permite extender la regla del poder a los poderes racionales, como se muestra a continuación.

Sea (y = x ^ {m / n} ), donde (m ) y (n ) son números enteros sin factores comunes (entonces (m = 2 ) y (n = 5 ) está bien, pero (m = 2 ) y (n = 4 ) no). Podemos reescribir esta función explícita implícitamente como (y ^ n = x ^ m ). Ahora aplique la diferenciación implícita.

[ begin {align *} y & = x ^ {m / n} y ^ n & = x ^ m frac {d} {dx} big (y ^ n big) & = frac {d} {dx} grande (x ^ m grande) n cdot y ^ {n-1} cdot y ^ prime & = m cdot x ^ {m-1} y ^ prime & = frac {m} {n} frac {x ^ {m-1}} {y ^ {n-1}} quad text {(ahora sustituya (x ^ {m / n} ) para (y ))} & = frac {m} {n} frac {x ^ {m-1}} {(x ^ {m / n}) ^ {n-1}} quad text {(aplica mucho álgebra)} & = frac {m} nx ^ {(mn) / n} & = frac {m} nx ^ {m / n -1}. end {alinear*}]

La derivación anterior es la clave para la prueba que extiende la regla de la potencia a las potencias racionales. Usando límites, podemos extender esto una vez más para incluir todas poderes, incluidos los poderes irracionales (¡incluso trascendentales!), dando el siguiente teorema.

Teorema 21: Regla de potencia para la diferenciación

Sea (f (x) = x ^ n ), donde (n neq 0 ) es un número real. Entonces (f ) es una función diferenciable y (f ^ prime (x) = n cdot x ^ {n-1} ).

Este teorema nos permite decir que la derivada de (x ^ pi ) es ( pi x ^ { pi -1} ).

Ahora aplicamos esta versión final de la regla de la potencia en el siguiente ejemplo, la segunda investigación de una curva "famosa".

Ejemplo 72: Uso de la regla de la potencia

Encuentra la pendiente de (x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = 8 ) en el punto ((8,8) ).

Solución

Esta es una curva particularmente interesante llamada astroide. Es la forma trazada por un punto en el borde de un círculo que está rodando dentro de un círculo más grande, como se muestra en la Figura 2.25.

Para encontrar la pendiente del astroide en el punto ((8,8) ), tomamos la derivada implícitamente.

[ begin {align *} frac23x ^ {- 1/3} + frac23y ^ {- 1/3} y ^ prime & = 0 frac23y ^ {- 1/3} y ^ prime & = - frac23x ^ {- 1/3} y ^ prime & = - frac {x ^ {- 1/3}} {y ^ {- 1/3}} y ^ prime & = - frac {y ^ {1/3}} {x ^ {1/3}} = - sqrt [3] { frac {y} x}. end {alinear *} ]

Reemplazando (x = 8 ) y (y = 8 ), obtenemos una pendiente de (- 1 ). El astroide, con su línea tangente en ((8,8) ), se muestra en la figura 2.26.

Diferenciación implícita y segunda derivada

Podemos usar la diferenciación implícita para encontrar derivadas de orden superior. En teoría, esto es simple: primero encuentra ( frac {dy} {dx} ), luego toma su derivada con respecto a (x ). En la práctica, no es difícil, pero a menudo requiere un poco de álgebra. Demostramos esto con un ejemplo.

Ejemplo 73: Encontrar la segunda derivada

Dado (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), encuentre ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = y ^ { prime prime} ).

Solución

Encontramos que (y ^ prime = frac {dy} {dx} = -x / y ) en el Ejemplo 71. Para encontrar (y ^ { prime prime} ), aplicamos la diferenciación implícita a (y ^ prime ).

[ begin {align *} y ^ { prime prime} & = frac {d} {dx} big (y ^ prime big) & = frac {d} {dx} left (- frac xy right) qquad text {(Ahora usa la regla del cociente.)} & = - frac {y (1) - x (y ^ prime)} {y ^ 2} end {alinear*}]

reemplace (y ^ prime ) con (- x / y ):

[ begin {align *} & = - frac {yx (-x / y)} {y ^ 2} & = - frac {y + x ^ 2 / y} {y ^ 2}. fin {alinear *} ]

Si bien esta no es una expresión particularmente simple, es utilizable. Podemos ver que (y ^ { prime prime}> 0 ) cuando (y <0 ) y (y ^ { prime prime} <0 ) cuando (y> 0 ). En la sección 3.4, veremos cómo esto se relaciona con la forma del gráfico.

Diferenciación logarítmica

Considere la función (y = x ^ x ); está graficado en la Figura 2.27. Está bien definido para (x> 0 ) y nos podría interesar encontrar ecuaciones de rectas tangentes y normales a su gráfica. ¿Cómo tomamos su derivada?

La función no es una función de potencia: tiene una "potencia" de (x ), no una constante. No es una función exponencial: tiene una "base" de (x ), no una constante .

Una técnica de diferenciación conocida como diferenciación logarítmica se vuelve útil aquí. El principio básico es este: tome el logaritmo natural de ambos lados de una ecuación (y = f (x) ), luego use la diferenciación implícita para encontrar (y ^ prime ). Demostramos esto en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 74: Uso de diferenciación logarítmica

Dado (y = x ^ x ), use la diferenciación logarítmica para encontrar (y ^ prime ).

Solución

Como se sugirió anteriormente, comenzamos tomando el logaritmo natural de ambos lados y luego aplicamos la diferenciación implícita.

[ begin {align *} y & = x ^ x ln (y) & = ln (x ^ x) text {(aplicar la regla del logaritmo)} ln (y) & = x ln x text {(ahora usa la diferenciación implícita)} frac {d} {dx} Big ( ln (y) Big) & = frac {d} {dx} Big (x ln x Big) frac {y ^ prime} {y} & = ln x + x cdot frac1x frac {y ^ prime} {y} & = ln x + 1 y ^ prime & = y big ( ln x + 1 big) text {(sustituto (y = x ^ x ))} y ^ prime & = x ^ x big ( ln x +1 grande). end {alinear *} ]

Para "probar" nuestra respuesta, usémosla para encontrar la ecuación de la recta tangente en (x = 1,5 ). El punto en la gráfica por el que debe pasar nuestra recta tangente es ((1,5, 1,5 ^ {1,5} ) approx (1.5, 1.837) ). Usando la ecuación para (y ^ prime ), encontramos la pendiente como

[y ^ prime = 1.5 ^ {1.5} big ( ln 1.5 + 1 big) approx 1.837 (1.405) approx 2.582. ]

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es (y = 1,6833 (x-1,5) +1,837 ). La figura 2.28 grafica (y = x ^ x ) junto con esta recta tangente.

La diferenciación implícita resulta útil ya que nos permite encontrar las tasas de cambio instantáneas de una variedad de funciones. En particular, extendió la regla de la potencia a exponentes racionales, que luego extendimos a todos los números reales. En la siguiente sección, se utilizará la diferenciación implícita para encontrar las derivadas de inverso funciones, como (y = sin ^ {- 1} x ).


2.6: Diferenciación implícita

COLEGIO COMUNITARIO DE BRONX

de la Universidad de la Ciudad de Nueva York

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTADORA

PROGRAMA: MTH 31 - Geometría analítica y cálculo I (4 créditos / 6 horas semanales)

PRERREQUISITO: MTH 30 o equivalente y, si es necesario, ENG 2 y RDL 2

TEXTO: Cálculo (8ª edición) por James Stewart, Cengage Learning. ISBN 978-1285740621

Los estudiantes que no necesitan MTH 33 pueden usar

Cálculo de variable única (8ª edición) por James Stewart, Cengage Learning ISBN 978-1305266636

Este curso es un Curso Pathways Core B (Razonamiento matemático y cuantitativo):
Un curso en esta área debe cumplir con todos los siguientes resultados de aprendizaje. Un estudiante:

a) Interpretar y hacer inferencias apropiadas a partir de representaciones cuantitativas, como fórmulas, gráficos o tablas.

b) Usar métodos algebraicos, numéricos, gráficos o estadísticos para sacar conclusiones precisas y resolver problemas matemáticos.

c) Representar problemas cuantitativos expresados ​​en lenguaje natural en un formato matemático adecuado.

d) Comunicar eficazmente análisis cuantitativos o soluciones a problemas matemáticos en forma escrita u oral.

e) Evaluar la razonabilidad de las soluciones a los problemas utilizando una variedad de medios, incluida la estimación informada.

f) Aplicar métodos matemáticos a problemas en otros campos de estudio.

Resultados de aprendizaje del curso (a los que se contribuyó con los resultados de aprendizaje de Pathways)

Al completar con éxito este curso, el estudiante podrá:

1. Evalúe los límites en un valor y en el infinito utilizando las leyes de límites y el Teorema de contracción (a, b, c, e)

2. Diferenciar funciones algebraicas y trigonométricas incluyendo el uso de la definición de límite Producto, Cociente y Reglas de cadena y diferenciación implícita (a, b)

3. Utilice la diferenciación para calcular tasas de cambio instantáneas y rectas tangentes (c, d, e, f)

4. Calcular máximos y mínimos de funciones utilizando el cálculo para resolver problemas de optimización & # 8232 que surgen en aplicaciones y otros campos de estudio & # 8232 (b, c, d, e, f)

5. Modelar y resolver problemas de tasas relacionados (b, c, d, f)

6. Aplicar métodos de cálculo al bosquejo de curvas (a, b, e)

7. Funciones antidiferenciadas algebraicas y trigonométricas (a, b)

8. Integrales aproximadas por sumas de Riemann (b, d, e)

9. Evaluar integrales elementales, incluso mediante el uso de sustitución y el Teorema fundamental del cálculo (b, d, e)

10. Calcular integrales definidas geométricamente o usando el cálculo para determinar áreas encerradas por curvas (a, b, c, d, f)

SECCIÓN TEMA EJERCICIOS SUGERIDOS

Capítulo 1: Funciones y límites

1.4 Los problemas de la tangente y la velocidad 49/1, 3, 5, 7

1.5 El límite de una función 59 / 1-5, 12-14, 17, 23-28

1.6 Cálculo de límites usando leyes de límites 70/1, 3-23 impares

1.8 Continuidad 91/3, 7, 9, 15-21 impar, 25, 33, 37, 39, 41, 44, 45,

Revisar 96 / 1-11 impares, 17, 23, 27, 29

2.1 Derivadas 113/1, 3, 7, 21-31 impares, 39-47 impares, 53, 57, 59

2.2 La derivada como función 125/1, 3, 4, 7, 19, 20, 21, 25-33 impar, 39-51 impar

2.3 Fórmulas de diferenciación 140 / 1-43 impar, 51, 53, 69, 77

2.4 Derivadas de funciones trigonométricas 150 / 1-17 impar, 25, 29, 39-49 impar

2.5 La regla de la cadena 158 / 1-45 impar, 47, 51, 55, 69, 71

2.6 Diferenciación implícita 166 / 1-19 impar, 25, 27, 31, 35, 43, 45

2.7 Tasas de cambio en lo natural y 178 / 1-9 impar, 15, 18

2.8 Tasas relacionadas 185/1, 3, 9, 10, 11, 13-33 impares

2.9 Aproximaciones lineales y diferenciales 192/1, 3, 5, 7-25 impar, 31

Revisar 196/ 3, 5, 11, 13-37, 45, 51, 59, 61, 75, 77, 79, 82

Capítulo 3: Aplicaciones de la diferenciación

3.1 Valores máximos y mínimos 211/3, 5, 15-27 impares, 29-55 impares

3.2 El teorema del valor medio 219/1, 11, 13, 17, 21

3.3 Cómo las derivadas afectan la forma de un gráfico 227/1, 5, 7, 8, 9-17 impar, 33-41 impar

3.4 Límites en el infinito Asíntotas horizontales 241/3, 9-29 impar, 37, 41

3.5 Resumen del boceto de curvas 250 / 1-35 impares

3.7 Problemas de optimización 256/3, 5, 7, 11, 17, 21, 27, 31

3.8 Método de Newton 276/5, 7, 13-19 impar, 29

3.9 Antiderivadas 282 / 1-41 impares, 43, 45, 47

Revisar 286 / 1-27 impares, 38, 41, 46, 49, 55, 57

4.1 Áreas y distancia 303/1, 3, 5, 13, 15, 21, 25

4.2 La integral definida 316/3, 5, 9, 17, 21-25 impar, 31, 33, 37

4.3 El teorema fundamental del cálculo 327/3, 7-35 impar, 45, 51, 53

4.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto 336 / 1-11 impar, 19-41 impar, 55, 57


Ahorre tiempo con tareas listas para usar creadas por expertos en la materia específicamente para este libro de texto. Puede personalizar y programar cualquiera de las asignaciones que desee utilizar.

Los recursos de instrucción y aprendizaje adicionales están disponibles con el libro de texto y pueden incluir bancos de pruebas, presentaciones de diapositivas, simulaciones en línea, videos y documentos.

Vista previa del paquete de cursos

Ahorre tiempo con tareas listas para usar creadas por expertos en la materia específicamente para este libro de texto. Puede personalizar y programar cualquiera de las asignaciones que desee utilizar.

Vista previa del paquete de cursos

Ahorre tiempo con tareas listas para usar creadas por expertos en la materia específicamente para este libro de texto. Puede personalizar y programar cualquiera de las asignaciones que desee utilizar.

Vista previa del paquete de cursos

Ahorre tiempo con tareas listas para usar creadas por expertos en la materia específicamente para este libro de texto. Puede personalizar y programar cualquiera de las asignaciones que desee utilizar.

Vista previa del paquete de cursos

Ahorre tiempo con tareas listas para usar creadas por expertos en la materia específicamente para este libro de texto. Puede personalizar y programar cualquiera de las asignaciones que desee utilizar.

El acceso depende del uso de este libro de texto en el aula del instructor.

  • Capítulo DT: Pruebas de diagnóstico
    • DT.A: Álgebra (46)
    • DT.B: Geometría analítica (13)
    • DT.C: Funciones (20)
    • DT.D: Trigonometría (14)
    • QP.1: Definición y representaciones de funciones (13)
    • QP.2: Trabajar con representaciones de funciones (14)
    • QP.3: Notación de funciones (13)
    • QP.4: Dominio y rango de una función (12)
    • QP.5: Resolución de ecuaciones lineales (14)
    • QP.6: Funciones lineales (15)
    • QP.7: Parábolas (13)
    • QP.8: Factorizar ecuaciones cuadráticas y encontrar X-intercepciones de una función cuadrática (12)
    • QP.9: Polinomios (17)
    • QP.10: Más sobre factorización de polinomios (12)
    • QP.11: Encontrar raíces (14)
    • QP.12: División de polinomios (14)
    • QP.13: Funciones racionales (19)
    • QP.14: Funciones raíz (15)
    • QP.15: Racionalización del numerador o denominador (11)
    • QP.16: Funciones exponenciales (13)
    • QP.17: Funciones logarítmicas (15)
    • QP.18: Funciones trigonométricas y el círculo unitario (15)
    • QP.19: Gráficas de funciones trigonométricas (15)
    • QP.20: Identidades trigonométricas (18)
    • QP.21: Funciones especiales (12)
    • QP.22: Combinaciones algebraicas de funciones (14)
    • QP.23: Composición de funciones (13)
    • QP.24: Transformaciones de funciones (12)
    • QP.25: Funciones inversas (17)
    • 1.1: Cuatro formas de representar una función (113)
    • 1.2: Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales (51)
    • 1.3: Nuevas funciones a partir de funciones antiguas (108)
    • 1.4: Los problemas de la tangente y la velocidad (26)
    • 1.5: El límite de una función (82)
    • 1.6: Cálculo de límites utilizando las leyes de límites (99)
    • 1.7: La definición precisa de un límite (50)
    • 1.8: Continuidad (77)
    • 1: Verificación de conceptos
    • 1: Cuestionario de verdadero-falso (27)
    • 1: Ejercicios de repaso
    • 1: Principios de resolución de problemas (11)
    • 1: Problemas adicionales
    • 1: Preguntas justo a tiempo
    • 2.1: Derivados y tasas de variación (104)
    • 2.2: La derivada como función (101)
    • 2.3: Fórmulas de diferenciación (177)
    • 2.4: Derivadas de funciones trigonométricas (96)
    • 2.5: La regla de la cadena (126)
    • 2.6: Diferenciación implícita (97)
    • 2.7: Tasas de cambio en las ciencias naturales y sociales (62)
    • 2.8: Tipos relacionados (79)
    • 2.9: Aproximaciones lineales y diferenciales (69)
    • 2: Verificación de conceptos
    • 2: Cuestionario de verdadero-falso (15)
    • 2: Ejercicios de repaso (1)
    • 2: Problemas Plus (11)
    • 2: Problemas adicionales
    • 2: Preguntas justo a tiempo
    • 3.1: Valores máximos y mínimos (125)
    • 3.2: El teorema del valor medio (53)
    • 3.3: Qué nos dicen las derivadas sobre la forma de un gráfico (110)
    • 3.4: Límites en las asíntotas horizontales infinitas (85)
    • 3.5: Resumen del boceto de curvas (83)
    • 3.6: Graficar con cálculo y tecnología (36)
    • 3.7: Problemas de optimización (103)
    • 3.8: Método de Newton (77)
    • 3.9: Antiderivadas (126)
    • 3: Verificación de conceptos
    • 3: Cuestionario de Verdadero-Falso (20)
    • 3: Ejercicios de repaso
    • 3: Problemas Plus (7)
    • 3: Problemas adicionales
    • 3: Preguntas justo a tiempo
    • 4.1: Problemas de área y distancia (55)
    • 4.2: La integral definida (125)
    • 4.3: El teorema fundamental del cálculo (136)
    • 4.4: Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto (102)
    • 4.5: La regla de sustitución (133)
    • 4: Verificación de conceptos
    • 4: Cuestionario de verdadero-falso (16)
    • 4: Ejercicios de repaso
    • 4: Problemas Plus (6)
    • 4: Problemas adicionales
    • 4: Preguntas justo a tiempo
    • 5.1: Áreas entre curvas (69)
    • 5.2: Volúmenes (99)
    • 5.3: Volúmenes por conchas cilíndricas (64)
    • 5.4: Trabajo (45)
    • 5.5: Valor medio de una función (36)
    • 5: Verificación de conceptos
    • 5: Prueba de Verdadero-Falso
    • 5: Ejercicios de repaso
    • 5: Problemas Plus (3)
    • 5: Problemas adicionales
    • 5: Preguntas justo a tiempo
    • 6.1: Funciones inversas (36)
    • 6.2: Funciones exponenciales y sus derivadas (81)
    • 6.2 *: La función logarítmica natural (41)
    • 6.3: Funciones logarítmicas (40)
    • 6.3 *: La función exponencial natural (62)
    • 6.4: Derivadas de funciones logarítmicas (89)
    • 6.4 *: Funciones logarítmicas y exponenciales generales (37)
    • 6.5: Crecimiento exponencial y decadencia (36)
    • 6.6: Funciones trigonométricas inversas (38)
    • 6.7: Funciones hiperbólicas (57)
    • 6.8: Formas indeterminadas y regla de l'Hospital (96)
    • 6: Verificación de conceptos
    • 6: Cuestionario de Verdadero-Falso (7)
    • 6: Ejercicios de repaso
    • 6: Problemas Plus (1)
    • 6: Problemas adicionales
    • 6: Preguntas justo a tiempo
    • 7.1: Integración por partes (93)
    • 7.2: Integrales trigonométricas (89)
    • 7.3: Sustitución trigonométrica (57)
    • 7.4: Integración de funciones racionales por fracciones parciales (84)
    • 7.5: Estrategia de integración (87)
    • 7.6: Integración mediante tablas y tecnología (62)
    • 7.7: Integración aproximada (67)
    • 7.8: Integrales impropias (105)
    • 7: Verificación de conceptos
    • 7: Cuestionario de verdadero-falso (13)
    • 7: Ejercicios de repaso
    • 7: Problemas Plus (3)
    • 7: Problemas adicionales (33)
    • 7: Preguntas justo a tiempo
    • 8.1: Longitud del arco (48)
    • 8.2: Área de una superficie de revolución (44)
    • 8.3: Aplicaciones a la física y la ingeniería (53)
    • 8.4: Aplicaciones a la economía y la biología (29)
    • 8.5: Probabilidad (33)
    • 8: Verificación de conceptos
    • 8: Prueba de Verdadero-Falso
    • 8: Ejercicios de repaso
    • 8: Problemas Plus (2)
    • 8: Problemas adicionales (11)
    • 8: Preguntas justo a tiempo
    • 9.1: Modelado con ecuaciones diferenciales (29)
    • 9.2: Campos de dirección y método de Euler (42)
    • 9.3: Ecuaciones separables (60)
    • 9.4: Modelos de crecimiento de la población (35)
    • 9.5: Ecuaciones lineales (50)
    • 9.6: Sistemas depredador-presa (23)
    • 9: Verificación de conceptos
    • 9: Cuestionario de Verdadero-Falso (7)
    • 9: Ejercicios de repaso
    • 9: Problemas Plus (2)
    • 9: Problemas adicionales (5)
    • 9: Preguntas justo a tiempo
    • 10.1: Curvas definidas por ecuaciones paramétricas (50)
    • 10.2: Cálculo con curvas paramétricas (71)
    • 10.3: Coordenadas polares (75)
    • 10.4: Cálculo en coordenadas polares (60)
    • 10.5: Secciones cónicas (74)
    • 10.6: Secciones cónicas en coordenadas polares (34)
    • 10: Verificación de conceptos
    • 10: Cuestionario de Verdadero-Falso (10)
    • 10: Ejercicios de repaso
    • 10: Problemas Plus (1)
    • 10: Problemas extra (33)
    • 10: Preguntas justo a tiempo
    • 11.1: Secuencias (86)
    • 11.2: Serie (97)
    • 11.3: Prueba integral y estimaciones de sumas (51)
    • 11.4: Las pruebas de comparación (53)
    • 11.5: Serie alterna y convergencia absoluta (59)
    • 11.6: Las pruebas de razón y raíz (46)
    • 11.7: Serie de estrategias para las pruebas (50)
    • 11.8: Serie Power (56)
    • 11.9: Representaciones de funciones como series de potencias (46)
    • 11.10: Serie Taylor y Maclaurin (79)
    • 11.11: Aplicaciones de los polinomios de Taylor (45)
    • 11: Verificación de conceptos
    • 11: Cuestionario de Verdadero-Falso (20)
    • 11: Ejercicios de repaso
    • 11: Problemas Plus (2)
    • 11: Problemas extra (15)
    • 11: Preguntas justo a tiempo
    • 12.1: Sistemas de coordenadas tridimensionales (51)
    • 12.2: Vectores (51)
    • 12.3: El producto escalar (66)
    • 12.4: El producto cruzado (57)
    • 12.5: Ecuaciones de líneas y planos (76)
    • 12.6: Cilindros y superficies cuádricas (69)
    • 12: Verificación de conceptos
    • 12: Cuestionario de Verdadero-Falso (22)
    • 12: Ejercicios de repaso
    • 12: Problemas Plus (2)
    • 12: Problemas extra (12)
    • 12: Preguntas justo a tiempo
    • 13.1: Funciones vectoriales y curvas espaciales (48)
    • 13.2: Derivadas e integrales de funciones vectoriales (55)
    • 13.3: Longitud y curvatura del arco (58)
    • 13.4: Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración (47)
    • 13: Verificación de conceptos
    • 13: Cuestionario de verdadero-falso (14)
    • 13: Ejercicios de repaso
    • 13: Problemas Plus (1)
    • 13: Problemas extra (5)
    • 13: Preguntas justo a tiempo
    • 14.1: Funciones de varias variables (75)
    • 14.2: Límites y continuidad (50)
    • 14.3: Derivados parciales (94)
    • 14.4: Planos tangentes y aproximación lineal (45)
    • 14.5: La regla de la cadena (65)
    • 14.6: Derivadas direccionales y vector de gradiente (78)
    • 14.7: Valores máximos y mínimos (65)
    • 14.8: Multiplicadores de Lagrange (54)
    • 14: Verificación de conceptos
    • 14: Cuestionario de verdadero-falso (12)
    • 14: Ejercicios de repaso
    • 14: Problemas Plus (3)
    • 14: Problemas extra (19)
    • 14: Preguntas justo a tiempo
    • 15.1: Integrales dobles sobre rectángulos (78)
    • 15.2: Integrales dobles sobre regiones generales (81)
    • 15.3: Integrales dobles en coordenadas polares (52)
    • 15.4: Aplicaciones de integrales dobles (48)
    • 15.5: Superficie (23)
    • 15.6: Integrales triples (65)
    • 15.7: Integrales triples en coordenadas cilíndricas (44)
    • 15.8: Integrales triples en coordenadas esféricas (64)
    • 15.9: Cambio de variables en integrales múltiples (39)
    • 15: Verificación de conceptos
    • 15: Cuestionario de Verdadero-Falso (9)
    • 15: Ejercicios de repaso
    • 15: Problemas Plus (2)
    • 15: Problemas extra (4)
    • 15: Preguntas justo a tiempo
    • 16.1: Campos vectoriales (41)
    • 16.2: Integrales de línea (61)
    • 16.3: El teorema fundamental de las integrales de línea (50)
    • 16.4: Teorema de Green (44)
    • 16.5: Curl y divergencia (53)
    • 16.6: Superficies paramétricas y sus áreas (74)
    • 16.7: Integrales de superficie (62)
    • 16.8: Teorema de Stokes (34)
    • 16.9: El teorema de la divergencia (41)
    • 16.10: Resumen
    • 16: Verificación de conceptos
    • 16: Cuestionario de Verdadero-Falso (13)
    • 16: Ejercicios de repaso
    • 16: Problemas Plus (2)
    • 16: Problemas extra (9)
    • 16: Preguntas justo a tiempo
    • 17.1: Ecuaciones lineales de segundo orden
    • 17.2: Ecuaciones lineales no homogéneas
    • 17.3: Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
    • 17.4: Soluciones en serie
    • 17: Verificación de conceptos
    • 17: Prueba de Verdadero-Falso
    • 17: Ejercicios de repaso
    • 17: Problemas adicionales
    • 17: Preguntas justo a tiempo
    • A.A: Números, desigualdades y valores absolutos (71)
    • A.B: Coordenadas de geometría y líneas (61)
    • A.C: Gráficas de ecuaciones de segundo grado (40)
    • A.D: Trigonometría (83)
    • A.E: Notación Sigma (49)
    • A.F: pruebas de teoremas
    • A.G: Respuestas a ejercicios con números impares

    Stewart Calculus sienta las bases para los estudiantes en STEM al enfatizar la resolución de problemas y presentar conceptos con una claridad y precisión incomparables. Seleccionados y guiados por James Stewart, Daniel Clegg y Saleem Watson continúan con su legado.

    Conociendo a los nuevos autores de Stewart Calculus

    Acercándose a la nueva edición de Stewart Calculus

    Actualizaciones de la plataforma WebAssign

    • El nuevo libro electrónico MindTap Reader ahora compatible con HTML5 (no basado en flasheo) incluye recursos multimedia integrados para una experiencia de estudio más integrada y proporciona acceso móvil
    • La nueva experiencia de usuario para estudiantes permite el aprendizaje en todos los niveles con una interfaz de estudiante moderna y actualizada

    Funciones de WebAssign

    • Léelo Los enlaces debajo de cada pregunta saltan rápidamente a la sección correspondiente de un completo e interactivo libro electronico que permite a los estudiantes resaltar y tomar notas mientras leen.
    • Paquetes de cursos con asignaciones listas para usar fueron creadas por expertos en la materia específicamente para este libro de texto para ahorrarle tiempo y se puede personalizar fácilmente para cumplir con sus objetivos de enseñanza.
    • Míralo Los enlaces brindan instrucciones paso a paso con videos cortos y atractivos que son ideales para estudiantes visuales.
    • All questions contain detailed solutions to the problem, available to students at your discretion.
    • Select questions contain student feedback designed to help guide them to the correct answer.
    • Lecture videos are available as a textbook resource.

    WebAssign Question Types

    • Explore It (EI) modules help students visualize the course's complex topics through hands-on exploration and interactive simulation.
    • Master It Tutorials (MI) show how to solve a similar problem in multiple steps by providing direction along with derivation so students understand the concepts and reasoning behind the problem solving.
    • Video Examples (VE) ask students to watch a section level video segment and then answer a question related to that video. Consider assigning the video example as review prior to class or as a lesson review prior to a quiz or test.
    • Just In Time (JIT) problems are ideal for students who need to remediate their algebra and trigonometry skills. They are carefully selected prerequisite review problems tied to specific calculus problems and assignable at the section level.
    • QuickPrep (QP) questions review the concepts of linear functions to help improve student readiness for calculus. Assign any of these QuickPrep modules early in the course or whenever the review is most needed.
    • Active Examples (AE) guide students through the process needed to master a concept.

    Pi and Phi in the Great Pyramid of Egypt

    Another interesting relationship between Pi and Phi is related to the geometry of the Great Pyramid of Giza. This relationship connects dimensions of the Great Pyramid to both Pi and Phi, but it is not known with certainty whether this was an intentional aspect of its design, whether its design was based on Pi or Phi but not both, or whether it is a simple coincidence. It relates to the fact that 4 divided by square root of phi is almost exactly equal to Pi:

    The square root of Phi (1.6180339887…) = 1.2720196495…

    4 divided by 1.2720196495… = 3.14460551103…

    The difference of these two numbers is less than a 10th of a percent.

    See the Phi, Pi and the Great Pyramid page for more details.


    We derive explicit and new implicit finite-difference formulae for derivatives of arbitrary order with any order of accuracy by the plane wave theory where the finite-difference coefficients are obtained from the Taylor series expansion. The implicit finite-difference formulae are derived from fractional expansion of derivatives which form tridiagonal matrix equations. Our results demonstrate that the accuracy of a (2norte + 2)th-order implicit formula is nearly equivalent to that of a (6norte + 2)th-order explicit formula for the first-order derivative, and (2norte + 2)th-order implicit formula is nearly equivalent to (4norte + 2)th-order explicit formula for the second-order derivative. In general, an implicit method is computationally more expensive than an explicit method, due to the requirement of solving large matrix equations. However, the new implicit method only involves solving tridiagonal matrix equations, which is fairly inexpensive. Furthermore, taking advantage of the fact that many repeated calculations of derivatives are performed by the same difference formula, several parts can be precomputed resulting in a fast algorithm. We further demonstrate that a (2norte + 2)th-order implicit formulation requires nearly the same memory and computation as a (2N + 4)th-order explicit formulation but attains the accuracy achieved by a (6norte + 2)th-order explicit formulation for the first-order derivative and that of a (4norte + 2)th-order explicit method for the second-order derivative when additional cost of visiting arrays is not considered. This means that a high-order explicit method may be replaced by an implicit method of the same order resulting in a much improved performance. Our analysis of efficiency and numerical modelling results for acoustic and elastic wave propagation validates the effectiveness and practicality of the implicit finite-difference method.

    Many scientific and engineering problems involve numerically solving partial differential equations. A variety of differ- ence techniques, such as the finite-difference (FD), the pseudospectral (PS) and the finite-element (FM) methods, have been developed. However, because of the straightforward implementation, requiring small memory and computation time, the FD is the most popular and has been widely utilized in seismic modelling (Kelly et al 1976, Dablain 1986, Virieux 1986, Igel et al 1995, Etgen and O'Brien 2007, Bansal and Sen 2008) and migration (Claerbout 1985, Larner and Beasley 1987, Li 1991, Ristow and Ruhl 1994, Zhang et al 2000, Fei and Liner 2008). In order to improve the efficiency, the accuracy and the stability of a FDM in numerical modelling, several variants of FD methods have been developed.

    A conventional FD needs a fixed number of grid points per wavelength in any one layer. In fact, a coarse mesh can be used in the high-velocity layer for its large wavelength. Therefore, variable grid schemes are proposed to significantly reduce computational time and memory requirements. When there is an abrupt transition from the adaptive region of a coarse mesh to a much finer mesh, large amplitude artificial reflections from the adaptive zone may occur. To overcome these problems, the scheme of interpolating the field variables in the adaptive region has been developed (Wang and Schuster 1996, Hayashi and Burns 1999). Other advanced methods include the PS-2 method for regular grids (Zahradník and Priolo 1995) and a simple case of so-called rectangular irregular grids. This method is developed further and applied to both nonplanar topography and internal discontinuities (Opršal and Zahradník 1999).

    To save computational cost, besides optimizing mesh sizes according to the local parameters, different temporal sampling in different parts of the numerical grid is introduced by Falk et al ( 1996). Since the method is restricted to ratios of time steps between the different domains of 2norte, a new method is proposed to handle any positive integer ratio and does not depend on the time-step ratio by Tessmer ( 2000).

    To improve the modelling accuracy of the first-order elastic and viscoelastic wave equations, staggered-grid FD schemes that involve defining different components of one physical parameter at different staggered points are usually applied to compute the derivatives in the equations (Virieux 1986, Levander 1988, Robertsson et al 1994, Graves 1996). However, boundary conditions of the elastic wave field at a free surface, i.e. the high-contrast discontinuity between vacuum and rock, must be defined in the FD algorithm (Robertsson 1996, Graves 1996, Opršal and Zahradník 1999, Saenger and Bohlen 2004). To avoid this problem, a rotated staggered-grid technique (Gold et al 1997, Saenger et al 2000) is presented where high contrast discontinuities can be incorporated without using explicit boundary conditions and without averaging elastic moduli. A velocity–stress rotated staggered-grid algorithm is used to simulate seismic waves in an elastic and viscoelastic model with 3D topography of the free surface (Saenger and Bohlen 2004). The accuracy for modelling Rayleigh waves utilizing the standard staggered-grid and the rotated staggered-grid method is also investigated by Bohlen and Saenger ( 2006).

    A conventional method uses FD operators with low-order accuracy to calculate space derivatives therefore, it needs small processor memory and less computation time, but leads to low accuracy results. High-order FD schemes are developed to improve the accuracy of the conventional finite-difference method. The FD scheme with any order accuracy has been derived for the first-order derivatives and used to solve the wave equations (Dablain 1986, Fornberg 1987, Crase 1990, Visbal and Gaitonde 2001, Hestholm 2007). The FD coefficients are determined by the Taylor series expansion (Dablain 1986) or by an optimization (Fornberg 1987). Using the Taylor series expansion also, the FD method with any even-order accuracy is presented for any order derivatives (Liu et al 1998) and utilized to simulate wave propagation in two-phase anisotropic media (Liu and Wei 2008).

    However, most of these methods make use of the explicit finite-difference method (EFDM). Some development on the implicit finite-difference method (IFDM) has also been reported in the literature. To yield good modelling results, implicit finite-difference formulae are skilfully derived for the elastic wave equation (Emerman et al 1982). These formulae express the value of a variable at some point at a future time in terms of the value of the variable at that point and at its neighbouring points at present time, past times and future times. An IFDM for time derivatives has also been implemented in seismic migration algorithms (Ristow and Ruhl 1997, Shan 2007, Zhang and Zhang 2007).

    Here, we focus on the space derivative calculation by a FDM. In our formulation, an EFDM directly calculates the derivative value at some point in terms of the function values at that point and at its neighbouring points. However, an IFDM expresses the derivative value at some point in terms of the function values at that point and at its neighbouring points and the derivative values at its neighbouring points. For example, a compact finite-difference method (CFDM) is one such IFDM (Lele 1992). In areas other than geophysics and seismology, several variants of the IFDM have been widely studied (Ekaterinaris 1999, Meitz and Fasel 2000, Lee and Seo 2002, Nihei and Ishii 2003). Zhang and Chen ( 2006) proposed a new numerical method, named the traction image method, to accurately and efficiently implement the traction-free boundary conditions in finite-difference simulation in the presence of surface topography. In this method, the physical traction-free boundary conditions provide a constraint on the derivatives of the velocity components along the free surface, which leads to a solution to calculate the derivative of the velocity components by a compact scheme.

    In this paper, we derive both explicit and implicit finite-difference formulae with even-order accuracy for any order derivative. Further, we develop a practical IFDM and demonstrate its efficiency and applicability with some numerical results.


    4.5 Substitution Method

    From the Fundamental Theorem, we see that differentiation and integration are as inverse process to each other. If we reverse the rule of differentiation, we will get a method to integrate a function.

    Theorem 4.7 (The Substitution Rule) If (u=g(x)) is a differentiable function whose range is an interval (I) and (f) is continuous on (I) , then [ int f(g(x))g'(x)mathrmx=int f(u)mathrmu. ]

    For a definite integral, we also need to substitute limits of integration when applying the substitution rule.

    Theorem 4.8 (The Substitution Rule for Definite Integral) If (g'(x)) is continuous on ([a, b]) and (f(x)) is continuous on the range of (u=g(x)) , ([g(a), g(b)]) , then [ int_a^bf(g(x))g'(x)mathrmx=int_^f(u)mathrmu. ]

    Applying the chain rule to functions with symmetries will simplify the calculation.

    Proposition 4.1 Suppose that (f) is a continuous function on ([-a, a]) .

    1. If (f) is an odd function, that is (f(-x)=-f(x)) , then [displaystyle int_<-a>^af(x)mathrmx =0.]
    2. If (f) is an even function, that is (f(-x)=f(x)) , then [displaystyle int_<-a>^af(x)mathrmx =2int_0^af(x)mathrmx.]

    Exercise 4.31 Evaluate the following integral. [ displaystyle int xsqrtmathrm x. ]

    Nota: You may also try the substitution (u=sqrt) .

    Exercise 4.32 Evaluate the following integral. [ displaystyle int frac>mathrm x. ]

    Here, I would like to show you another way. Let (u=sqrt<1-x^3>) . Then (u^2=1-x^3) and (mathrmx=frac<2umathrmu><-3x^2>) . Therefore, [ egin int frac>mathrm x=&int fracfrac<2umathrmu><-3x^2> =& -frac23int mathrmu =&-frac23u+C =&-frac23sqrt<1-x^3>+C end ]

    Exercise 4.33 Evaluate the following integral. [ displaystyle int(sin hetacos^2 heta)mathrm heta. ]

    Let (u=cos heta) . Then (mathrm heta=fracu><-sin theta>) . Therefore, [ egin int (sin hetacos^2 heta)mathrm heta=&int((sin heta) u^2) fracu><-sin heta> =& -int u^2 mathrmu =&-frac13u^3+C =&-frac13cos^2 heta+C end ]

    Exercise 4.34 Evaluate the following integral. [ displaystyle intsec^2 t an tmathrm t. ]

    Let (u= an t) . Then (mathrmt=fracu>) . Therefore, [ egin intsec^2 t an tmathrm t=&int umathrmu =&frac12u^2+C =&frac12 an^2t+C end ]

    Exercise 4.35 Evaluate the following integral. [ displaystyle int sqrt[3] <2x+1>mathrm x. ]

    Exercise 4.36 Evaluate the following integral. [ displaystyle int (3x-2)^5 mathrm t. ]

    One way is to use the binomial formula the expand the integrand and then integrate.

    Here we use a substitution to make the calculation easier.

    Exercise 4.37 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_1^4 frac)>>mathrm x. ]

    Nota: To avoid the mistake of forgetting substitute the integral limits, it will be better to find the indefinite integral first.

    Exercise 4.38 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_1^2 fracmathrm x. ]

    Exercise 4.39 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_0^ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta. ]

    There are different ways to find this integral.

    One way is to let (u=sin(2 heta)) . Then (mathrm u=2cos(2 heta)mathrm heta) and [ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta=frac12umathrmu ] Therefore, [ egin int_0^ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta =&int_^frac12umathrmu =&frac12 int_<0>^ <1>umathrmu =&frac14 u^2|_<0>^<1>=frac14. final ]

    Exercise 4.40 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x. ]

    Note that the function (f(x)=x^3+xsec^2x) is an odd function, that is (f(-x)=-f(x)) . If we let (u=-x) ,then (mathrmx=-mathrmu) and
    [ egin int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=&-int_<2>^<-2>((-u)^3+(-u)sec^2(-u))mathrm u =&-int_<-2>^<2>(u^3+usec^2u)mathrm u =&-int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x end ] Add to both sides the definite integral, we get [ 2int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=0. ] Therefore, [ int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=0. ]


    2.6: Implicit Differentiation

    This page will be updated as the semester progresses.

    Appendix D (Trigonometry) Completed notes
    Section 1.1 (Vectors) Completed notes
    Section 1.2 (The dot product) Completed notes
    Section 1.3 (Vector functions) Completed notes
    Section 2.2 (The limit of a function) Completed notes
    Section 2.3 (Calculating limits using the limit laws) Completed notes
    Section 2.5 (Continuity) Completed notes
    Section 2.6 (Limits at infinity horizontal asymptotes) Completed notes
    Section 2.7 (Tangents, velocities, and the other rates of change) Completed notes
    Section 3.1 (Derivatives) Completed notes
    Section 3.2 (Differentiation formulas) Partially completed notes
    Section 3.4 (Derivatives of trigonometric functions) Completed notes
    Review for Test 1

    Section 3.5 (The chain rule) Completed notes
    Section 3.6 (Implicit differentiation) Completed notes
    Section 3.7 (Derivatives of vector functions) Completed notes
    Section 3.8 (Higher derivatives) Completed notes
    Section 3.9 (Slopes and tangents to parametric curves) Completed notes
    Section 3.10 (Related rates) Completed notes
    Section 3.11 (Differentials linear and quadratic approximations) Completed notes
    Section 4.1 (Exponential functions and their derivatives) Completed notes
    Section 4.2 (Inverse functions) Completed notes
    Section 4.3 (Logarithmic functions) Completed notes
    Review for Test 2

    Section 4.4 (Derivatives of logarithmic functions) Completed notes
    Section 4.5 (Exponential growth and decay) Completed notes
    Section 4.6 (Inverse trigonometric functions) Completed notes
    Section 4.8 (L'Hospital's Rule) Completed notes
    Section 5.1 (What does f' say about f?) Completed notes
    Section 5.2 (Maximum and minimum values) Completed notes
    Section 5.3 (Derivatives and the shapes of curves) Completed notes
    Section 5.5 (Applied maximum and minimum problems) Completed notes
    Section 5.7 (Antiderivatives) Completed notes
    Section 6.1 (Sigma notation) Completed notes
    Section 6.2 (Area) Completed notes
    Section 6.3 (Definite integral) Completed notes
    Section 6.4 (The fundamental theorem of calculus) Completed notes


    3 THE PURPOSE OF FREE WILL

    The prevalent endorsement of the belief in free will raises an important fundamental question – Why would anyone believe in free will? If one believes in free will – then what is free will meant for?

    One group of scholars views free will beliefs as a mechanism that allows the self to pursue self-enhancing desired states and goals and seek own wants and needs (Hume, 1748 Edwards, 1754 ). Put more simply – free will is only worth having if it enables the individual to get what she or he wants (Dennett, 2003 ).

    A second view often referred to as the “action-control perspective” argues that the concept of free will has evolved to allow the self to coexist with others in society as to override inherent immediate biological urges that mainly focus on the self (Kant, 1797/1967 ) thus allowing for prospection, long-term planning, action control, and coordination with others in society (Baumeister, 2005 , 2008a ). The belief in free will could have possibly evolved so that people would be able to a deal with a world of increasingly complicated choices and complex societal interactions that require coordination and inhibition of self (Baumeister, 2008a Laurene, Rakos, Tisak, Robichaud, & Horvath, 2011 Rakos et al., 2008 ).

    The close conceptual relationship that free will holds with moral responsibility supports the view that free will is a notion embedded in societal considerations. The concept of free will may be regarded by societies and religions as a solution to the predicament of laypersons that associate determinism with inevitability, reduced accountability, and thus lower action control over socially undesirable behaviors. Based on the idea of free will as a social tool, the belief that a person could make different free choices in a given situation is considered essential to legal, moral, and political judgments (Juth & Lorentzon, 2010 Searle, 2007 ). More broadly, society often regards it appropriate to adjust legal and moral judgments based on the assessment of whether a wrongdoer acted out of his or her own free will (Greene & Cohen, 2004 Roskies, 2006 ). In order to legally hold a person accountable and bring a person to trial, it is now commonly expected that it be proven that the person could have done otherwise, meaning that there were no external influences coercing the person to act in this way (e.g., having a gun to the person's head) or that the person did not merely act out of uncontrollable urges (e.g., temporary insanity Burns & Bechara, 2007 ). Similarly, a contract between two people is only considered valid if the two sides have entered the contract out of their own free will, meaning that both sides were free from any coercion (Cohen, 1933 ).

    A developmental perspective argues free will to be rooted in the perception people experience in their everyday choices while growing up – even if such a perception is illusory, serving as a self-indicator regarding the ability to execute and increasing one's motivation to enter difficult choice situations (Bandura, 2006 Rakos, 2004 Wegner, 2004 ). Nichols ( 2004 ) showed that children between the ages of three and five typically endorse free will and reject determinism by making the claim that a person in a given scenario could have chosen to act differently, much more so than a physical object could have. Nichols goes on further to argue that the perception of having free will in kids is innate rather than learned – that freedom of an agent is inferred by native evidence to form the belief that humans are different than objects in their ability to act otherwise. Other studies have extended these findings by demonstrating that not only do kids at the age of five perceive people to have the capacity to choose more freely than objects do but that they also clearly distinguish between free and un-free actions by the same human agent (Chernyak, Kushnir, & Wellman, 2010 Kushnir, Wellman, & Chernyak, 2009 ).

    To summarize, the role of free will in people's beliefs could be the pursuit of own goals and desires or in the evolutionary role of free will as overcoming self to allow people to coexist with others in society. This belief could also be rooted in an innate intuitive perception developed by people while growing up to self-motivate when faced with making choices.


    2.6: Implicit Differentiation

    MATH 180: ELEMENTS OF CALCULUS I
    University of New Mexico, Spring 2015

    Instructor: Janet Vassilev
    E-mail:
    [email protected]
    Webpage:
    http://math.unm.edu/

    jvassil
    Phone: 277-2214
    Office: SMLC 324
    Office Hours:
    Monday and Friday 1-1:50
    , Wednesday 10-10:50 or by appointment.

    Prerequisite: Grade of C or better in MATH 121

    Textbook: APPLIED CALCULUS for the Managerial, Life and Social Sciences, Ninth Edition, Brooks / Cole 2014, S. T. Tan
    Hardcover for both Math 180 and Math 181: ISBN-10: 1-133-60771-3 ISBN-13: 978-1-133-60771-7
    UNM Custom Edition Softcover for Math 180 only: ISBN-10: 1-305-02608-X ISBN-13: 978-1-305-02608-7

    Calculator: Calculators will not be allowed on any of the exams. A scientific calculator may be necessary for some homework assignments or quizzes.

    Homework: Your daily homework is your most important effort in this course. It is imperative that you do all of the assigned problems, especially the hard ones, because this is how you actually learn the material. Expect 2-3 hours of homework for every hour of class meeting time (on average 6-9 hours per week). Keep all of your homework together in a folder so that if you are having trouble in the course, you can bring it with you when you go to see me or get tutoring.

    Quizzes: There will be weekly quizzes. The quiz problems will be very similar to the homework problems, if not the same. Most of the quizzes will be in-class and announced, but occasionally there may be a pop quiz. No make-up quizzes will be given, even if you have an excused absence. The two lowest quiz scores will be dropped at the end of the semester.

    Exams: There will be three in-class exams, 100 points each. You have to show all your work and use proper mathematical notation to receive full credit. A correct answer without work will receive no more than 1 point. I do not give make up exams. If you are ill or have some form of excused absence, you must contact me on or before the day of the exam in order to have your final grade calculated without this test. I typically replace the score for this exam by your average on the final.

    Final Exam: The final exam, comprehensive and worth 200 points, will be held on Monday, May 4 th between 7:30 am and 9:30 am. The location of the exam will be announced near the end of the semester.

    Important Note: Notes of any kind, 3x5 cards, books, cell phones, computers, headphones etc. are not allowed on any tests, including the Final Exam.

    Grading : To get full credit on graded work, students must address all mathematical components presented by the problem, showing all steps and calculations. The use of proper notation, well-structured procedures, and legibility will be taken into account when assigning points. Your grade will be determined based on your performance on the following:

    Grading: The grades will for the most part be assigned as follows: 90% to 100% = A 80% to 89% = B 70% to 79% = C below 70% D or F
    However, there may be a slight curve. If so, the curve will be announce for each test. There will be no extra credit. Students who withdraw after week 3 will receive the grade W. No W’s will be given to students who have not withdrawn.

    Communication: Please check your UNM e-mail regularly or make sure to forward your e-mail from that address to an account that you check at least daily. I may send you important information and updates to your UNM e-mail address. If you e-mail me, include your full name and that you are a student in my 180 class.

    Attendance: Attendance is mandatory. A student with three or more unexcused absences may be dropped from the course. Tardiness or early departure may be regarded as absence. It is the student’s responsibility to withdraw from the course if he/she stops attending. A failing grade of “F” will be assigned if the student stops attending and does not withdraw.

    Student Behavior: According to the Code of Conduct as stated in the Policies and Regulations for UNM, student activities that interfere with the rights of others to pursue their education or to conduct their University duties and responsibilities will lead to disciplinary action. This includes any activities that are disruptive to the class and any acts of academic dishonesty. Students are expected to behave in a courteous and respectful manner toward the instructor and their fellow students. Students should turn off their cell-phones before the beginning of each class, and be prepared to remain seated the entire class. Students may be dropped from a class for inappropriate behavior.

    Students with Disabilities: We accommodate students with documented disabilities. During the first two weeks of the semester, those students should inform the instructor of their particular needs.

    Help: If you are struggling, seek help immediately. In addition to your instructor's office hours, there is extra help available at:
    - The Calculus Tutoring Table, staffed by instructors every day, 3 rd floor DSH near the elevator
    - CAPS: Center for Academic Program Support, 3rd floor Zimmerman Library, 277-4560

    - MEP Engineering Annex, room 210, or call the study group at 277-8795
    - CATS: Counseling and Therapy Services, Student Health Center, 277-4537 (for test anxiety, etc.)


    Class 11th Maths - Video Tutorials in Hindi

    We warmly welcome you to our online courses. Maths is a subject that most of us don't like because it is very difficult to understand isn't it? What if learning maths becomes easy?

    Yes, I am here to help you to do maths in an easy way. I will make sure that you learn the formulas and easy tricks to solve all your maths assignments and prepare perfectly for your examinations.

    I will make sure that the dear students score great marks in their examinations and leave everyone shockingly amazed.

    In this course, you will be receiving

    1. Ebooks
    2. Live sessions
    3. Video tutorials that will be present in Hindi so that it becomes easy for you to understand
    4. Online course study materials
    5. Tips and tricks to learn the formulas
    6. Solve question papers
    7. Mock tests
    8. Doubt clearing sessions

    In this course, you will be learning about

    1. Complex numbers and every chapter related to it
    2. Quadrant arguments
    3. The principal value of an argument
    4. Cube root of unity
    5. Properties of modulus
    6. Properties of conjugate
    7. DE Moivre's theorem
    8. Questions on Nth root
    9. Questions based on complex numbers ( part 1 to part 16 )
    10. Binomial coefficient
    11. Odd terms sum And questions on it
    12. Sequences and series
    13. Arithmetic progression and questions on it
    14. Sum of arithmetic progression and questions on it
    15. Sum of n terms of G.P
    16. Chain rule
    17. Existence of limit
    18. Limits using trigonometric identities
    19. L' Hospital's rule
    20. Introduction to differentiation
    21. Parametric equations and many more chapters will be covered from the syllabus.

    class 11 maths ncert solutions, class 11 maths, class 11 maths syllabus 2020-21, cbse class 11 maths solutions, cbse class 11 maths ncert solutions, class 11th maths chapter 1, class 11th maths chapter 2, math class 11 ncert solutions, math class 11 ncert, class 11th maths syllabus 2021, class 11th maths syllabus in hindi, class 11th math in hindi, class 11th math solution in hindi pdf, class 11th math solution in pdf, class 11th math book in hindi, 11th class math formula in hindi, class 11th math solution of ncert, ncrt class 11 maths, ncert class 11 maths pdf, ncert class 11 maths syllabus 2020-21


    Ver el vídeo: 23. Diferenciación Implícita. Derivación-Derivada del Producto. (Noviembre 2021).