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6.6: Funciones hiperbólicas - Matemáticas


El funciones hiperbólicas son un conjunto de funciones que tienen muchas aplicaciones en matemáticas, física e ingeniería. Entre muchas otras aplicaciones, se utilizan para describir la formación de anillos de satélites alrededor de planetas, para describir la forma de una cuerda que cuelga de dos puntos y tienen aplicación a la teoría de la relatividad especial. Esta sección define las funciones hiperbólicas y describe muchas de sus propiedades, especialmente su utilidad para el cálculo.

Estas funciones a veces se denominan "funciones trigonométricas hiperbólicas", ya que hay muchas, muchas conexiones entre ellas y las funciones trigonométricas estándar. La figura ( PageIndex {1} ) demuestra una de esas conexiones. Así como el coseno y el seno se utilizan para definir puntos en el círculo definido por (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico se utilizan para definir puntos en la hipérbola (x ^ 2-y ^ 2 = 1 ).

Figura ( PageIndex {1} ): Usar funciones trigonométricas para definir puntos en un círculo y funciones hiperbólicas para definir puntos en una hipérbola. El área de las regiones sombreadas se incluye en ellos.

Empezamos por su definición.

Definición ( PageIndex {1} ): Funciones hiperbólicas

  1. ( cosh x = frac {e ^ x + e ^ {- x}} 2 )
  2. ( sinh x = frac {e ^ x-e ^ {- x}} 2 )
  3. ( tanh x = frac { sinh x} { cosh x} )
  4. ( text {sech} x = frac {1} { cosh x} )
  5. ( text {csch} x = frac {1} { sinh x} )
  6. ( coth x = frac { cosh x} { sinh x} )

Estas funciones hiperbólicas se grafican en la Figura ( PageIndex {2} ). En las gráficas de ( cosh x ) y ( sinh x ), las gráficas de (e ^ x / 2 ) y (e ^ {- x} / 2 ) se incluyen con líneas discontinuas. Cuando (x ) se vuelve "grande", ( cosh x ) y ( sinh x ) cada uno actúa como (e ^ x / 2 ); cuando (x ) es un número negativo grande, ( cosh x ) actúa como (e ^ {- x} / 2 ) mientras que $ sinh x $ actúa como (- e ^ {- x} / 2 ).

Observe que los dominios de ( tanh x ) y ( text {sech} x ) son ((- infty, infty) ), mientras que tanto ( coth x ) como ( text {csch} x ) tienen asíntotas verticales en (x = 0 ). También observe los rangos de estas funciones, especialmente ( tanh x ): cuando (x a infty ), tanto ( sinh x ) como ( cosh x ) se acercan a (e ^ { -x} / 2 ), por lo tanto ( tanh x ) se acerca a (1 ).

El siguiente ejemplo explora algunas de las propiedades de estas funciones que tienen un parecido notable con las propiedades de sus contrapartes trigonométricas.

Nota de pronunciación: "cosh" rima con "gosh", "sinh" rima con "pellizcar" y "tanh" rima con "ranch".

Figura ( PageIndex {2} ): Gráficos de las funciones hiperbólicas.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): exploración de propiedades de funciones hiperbólicas

Utilice Definición ( PageIndex {1} ) para reescribir las siguientes expresiones.

  1. ( cosh ^ 2 x- sinh ^ 2x )
  2. ( tanh ^ 2 x + text {sech} ^ 2 x )
  3. (2 cosh x sinh x )
  4. ( frac {d} {dx} grande ( cosh x grande) )
  5. ( frac {d} {dx} grande ( sinh x grande) )
  6. ( frac {d} {dx} grande ( tanh x grande) )

Solución

  1. [ begin {align} cosh ^ 2x- sinh ^ 2x & = left ( frac {e ^ x + e ^ {- x}} 2 right) ^ 2 - left ( frac {e ^ xe ^ {- x}} 2 right) ^ 2 & = frac {e ^ {2x} + 2e ^ xe ^ {- x} + e ^ {- 2x}} 4 - frac {e ^ { 2x} -2e ^ xe ^ {- x} + e ^ {- 2x}} 4 & = frac44 = 1. End {align} ] Entonces ( cosh ^ 2 x- sinh ^ 2x = 1 ).
  2. [ begin {align} tanh ^ 2 x + text {sech} ^ 2 x & = frac { sinh ^ 2x} { cosh ^ 2 x} + frac {1} { cosh ^ 2 x} & = frac { sinh ^ 2x + 1} { cosh ^ 2 x} qquad text {Ahora usa la identidad del # 1.} & = frac { cosh ^ 2 x} { cosh ^ 2 x} = 1. end {align} ] Entonces ( tanh ^ 2 x + text {sech} ^ 2 x = 1 ).
  3. [ begin {align} 2 cosh x sinh x & = 2 left ( frac {e ^ x + e ^ {- x}} 2 right) left ( frac {e ^ xe ^ {- x}} 2 right) & = 2 cdot frac {e ^ {2x} - e ^ {- 2x}} 4 & = frac {e ^ {2x} - e ^ {- 2x} } 2 = sinh (2x). end {align} ] Entonces (2 cosh x sinh x = sinh (2x) ).
  4. [ begin {align} frac {d} {dx} big ( cosh x big) & = frac {d} {dx} left ( frac {e ^ x + e ^ {- x} } 2 right) & = frac {e ^ xe ^ {- x}} 2 & = sinh x. end {align} ] Entonces ( frac {d} {dx} big ( cosh x big) = sinh x. )
  5. [ begin {align} frac {d} {dx} big ( sinh x big) & = frac {d} {dx} left ( frac {e ^ xe ^ {- x}} 2 right) & = frac {e ^ x + e ^ {- x}} 2 & = cosh x. end {align} ] Entonces ( frac {d} {dx} big ( sinh x big) = cosh x. )
  6. [ begin {align} frac {d} {dx} big ( tanh x big) & = frac {d} {dx} left ( frac { sinh x} { cosh x} derecha) & = frac { cosh x cosh x - sinh x sinh x} { cosh ^ 2 x} & = frac {1} { cosh ^ 2 x} & = text {sech} ^ 2 x. end {align} ] Entonces ( frac {d} {dx} big ( tanh x big) = text {sech} ^ 2 x. )

La siguiente idea clave resume muchas de las identidades importantes relacionadas con las funciones hiperbólicas. Cada uno puede verificarse consultando la Definición ( PageIndex {1} ).

Idea clave 16: Propiedades útiles de funciones hiperbólicas

Identidades Básicas

  1. ( cosh ^ 2x- sinh ^ 2x = 1 )
  2. ( tanh ^ 2x + text {sech} ^ 2x = 1 )
  3. ( coth ^ 2x- text {csch} ^ 2x = 1 )
  4. ( cosh 2x = cosh ^ 2x + sinh ^ 2x )
  5. ( sinh 2x = 2 sinh x cosh x )
  6. ( cosh ^ 2x = frac { cosh 2x + 1} {2} )
  7. ( sinh ^ 2x = frac { cosh 2x-1} {2} )

Derivados

  1. ( frac {d} {dx} grande ( cosh x grande) = sinh x )
  2. ( frac {d} {dx} grande ( sinh x grande) = cosh x )
  3. ( frac {d} {dx} big ( tanh x big) = text {sech} ^ 2 x )
  4. ( frac {d} {dx} big ( text {sech} x big) = - text {sech} x tanh x )
  5. ( frac {d} {dx} big ( text {csch} x big) = - text {csch} x coth x )
  6. ( frac {d} {dx} big ( coth x big) = - text {csch} ^ 2x )

Integrales

  1. ( int cosh x dx = sinh x + C )
  2. ( int sinh x dx = cosh x + C )
  3. ( int tanh x dx = ln ( cosh x) + C )
  4. ( int coth x dx = ln | sinh x , | + C )

Practicamos usando la Idea Clave 16

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas

Evalúa las siguientes derivadas e integrales.

  1. ( frac {d} {dx} grande ( cosh 2x grande) )
  2. ( int text {sech} ^ 2 (7t-3) dt )
  3. ( int_0 ^ { ln 2} cosh x dx )

Solución

  1. Usando la regla de la cadena directamente, tenemos ( frac {d} {dx} big ( cosh 2x big) = 2 sinh 2x ).
    Solo para demostrar que funciona, usemos también la identidad básica que se encuentra en la idea clave 16: ( cosh 2x = cosh ^ 2x + sinh ^ 2x ).
    [ begin {align} frac {d} {dx} big ( cosh 2x big) = frac {d} {dx} big ( cosh ^ 2x + sinh ^ 2x big) & = 2 cosh x sinh x + 2 sinh x cosh x & = 4 cosh x sinh x. end {align} ] Usando otra identidad básica, podemos ver que (4 cosh x sinh x = 2 sinh 2x ). Obtenemos la misma respuesta de cualquier manera.
  2. Empleamos sustitución, con (u = 7t-3 ) y (du = 7dt ). Aplicando las ideas clave 10 y 16 tenemos:
    $$ int text {sech} ^ 2 (7t-3) dt = frac17 tanh (7t-3) + C. $$
  3. $$ int_0 ^ { ln 2} cosh x dx = sinh x Big | _0 ^ { ln 2} = sinh ( ln 2) - sinh 0 = sinh ( ln 2). $$
    Podemos simplificar esta última expresión como ( sinh x ) se basa en exponenciales:
    $$ sinh ( ln 2) = frac {e ^ { ln 2} -e ^ {- ln 2}} 2 = frac {2-1 / 2} {2} = frac34. $$

Funciones hiperbólicas inversas

Así como las funciones trigonométricas inversas son útiles en ciertas integraciones, las funciones hiperbólicas inversas son útiles con otras. La Figura 16 muestra las restricciones en los dominios para hacer cada función uno a uno y los dominios resultantes y rangos de sus funciones inversas. Sus gráficos se muestran en la Figura ( PageIndex {3} )

Debido a que las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales, sus inversas se pueden expresar en términos de logaritmos como se muestra en la Idea clave 17. A menudo es más conveniente referirse a ( sinh ^ {- 1} x ) que a ( ln big (x + sqrt {x ^ 2 + 1} big) ), especialmente cuando uno está trabajando en teoría y no necesita calcular valores reales. Por otro lado, cuando se necesitan cálculos, la tecnología suele ser útil, pero muchas calculadoras portátiles carecen de un botón textit {conveniente} ( sinh ^ {- 1} x ). (A menudo se puede acceder a él mediante un sistema de menús, pero no de forma conveniente). En tal situación, la representación logarítmica es útil. No se anima al lector a memorizarlos, sino a saber que existen y a saber cómo utilizarlos cuando sea necesario.

Tabla ( PageIndex {1} ): Gráficas de ( cosh x ), ( sinh x ) y sus inversas.

Figura ( PageIndex {3} ): Gráficos de las funciones hiperbólicas y sus inversas.

Las siguientes ideas clave dan las derivadas e integrales relacionadas con las funciones hiperbólicas inversas. En la Idea clave 19, se dan las representaciones de funciones logarítmicas e hiperbólicas inversas de la antiderivada, basadas en la Idea clave 17. De nuevo, estas últimas funciones suelen ser más útiles que las primeras. Observe cómo las funciones hiperbólicas inversas se pueden usar para resolver integrales que usamos la sustitución trigonométrica para resolver en la sección 6.4.

IDEA 17: Definiciones logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas.

  1. ( cosh ^ {- 1} x = ln grande (x + sqrt {x ^ 2-1} grande); x geq1 )
  2. ( tanh ^ {- 1} x = frac12 ln left ( frac {1 + x} {1-x} right); | x | <1 )
  3. ( text {sech} ^ {- 1} x = ln left ( frac {1+ sqrt {1-x ^ 2}} x right); 0
  4. ( sinh ^ {- 1} x = ln big (x + sqrt {x ^ 2 + 1} big) )
  5. ( coth ^ {- 1} x = frac12 ln left ( frac {x + 1} {x-1} right); | x |> 1 )
  6. ( text {csch} ^ {- 1} x = ln left ( frac1x + frac { sqrt {1 + x ^ 2}} {| x |} right); x neq0 )

Idea clave 18: Derivadas que involucran funciones hiperbólicas inversas

  1. ( frac {d} {dx} grande ( cosh ^ {- 1} x grande) = frac {1} { sqrt {x ^ 2-1}}; x> 1 )
  2. ( frac {d} {dx} grande ( sinh ^ {- 1} x grande) = frac {1} { sqrt {x ^ 2 + 1}} )
  3. ( frac {d} {dx} grande ( tanh ^ {- 1} x grande) = frac {1} {1-x ^ 2}; | x | <1 )
  4. ( frac {d} {dx} big ( text {sech} ^ {- 1} x big) = frac {-1} {x sqrt {1-x ^ 2}}; 0
  5. ( frac {d} {dx} big ( text {csch} ^ {- 1} x big) = frac {-1} {| x | sqrt {1 + x ^ 2}}; x neq0 )
  6. ( frac {d} {dx} grande ( coth ^ {- 1} x grande) = frac {1} {1-x ^ 2}; | x |> 1 )

Idea clave 19: Integrales que involucran funciones hiperbólicas inversas

  1. ( int frac {1} { sqrt {x ^ 2-a ^ 2}} dx ) (= qquad cosh ^ {- 1} left ( frac xa right) + C; 0
  2. ( int frac {1} { sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}} dx ) (= qquad sinh ^ {- 1} left ( frac xa right) + C; a> 0 ) ( qquad = ln Big | x + sqrt {x ^ 2 + a ^ 2} Big | + C )
  3. ( int frac {1} {a ^ 2-x ^ 2} dx ) (= qquad left { begin {array} {ccc} frac1a tanh ^ {- 1} left ( frac xa right) + C & & x ^ 2
  4. ( int frac {1} {x sqrt {a ^ 2-x ^ 2}} dx ) (= qquad - frac1a text {sech} ^ {- 1} left ( frac xa right) + C; 0
  5. ( int frac {1} {x sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}} dx ) (= qquad - frac1a text {csch} ^ {- 1} left | frac xa right | + C; x neq 0, a> 0 ) ( quad = frac1a ln left | frac {x} {a + sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}} derecha | + C )

Practicamos usando las fórmulas derivada e integral en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Derivadas e integrales que involucran funciones hiperbólicas inversas

Evalúe lo siguiente.

  1. ( frac {d} {dx} left [ cosh ^ {- 1} left ( frac {3x-2} {5} right) right] )
  2. ( int frac {1} {x ^ 2-1} dx )
  3. ( int frac {1} { sqrt {9x ^ 2 + 10}} dx )

Solución

  1. Al aplicar la Idea clave 18 con la regla de la cadena se obtiene:
    $$ frac {d} {dx} left [ cosh ^ {- 1} left ( frac {3x-2} 5 right) right] = frac {1} { sqrt { left ( frac {3x-2} 5 right) ^ 2-1}} cdot frac35. $$
  2. Multiplicar el numerador y el denominador por ((- 1) ) da: ( int frac {1} {x ^ 2-1} dx = int frac {-1} {1-x ^ 2} dx ). La segunda integral se puede resolver con una aplicación directa del elemento # 3 de la Idea clave 19, con (a = 1 ). Por lo tanto, [ begin {align} int frac {1} {x ^ 2-1} dx & = - int frac {1} {1-x ^ 2} dx & = left { begin {matriz} {ccc} - tanh ^ {- 1} left (x right) + C & & x ^ 2 <1 - coth ^ {- 1} left (x derecha) + C & & 1 Debemos notar que este problema exacto se resolvió al comienzo de la Sección 6.5. En ese ejemplo, la respuesta se dio como ( frac12 ln | x-1 | - frac12 ln | x + 1 | + C. ) Note que esto es equivalente a la respuesta dada en la Ecuación ( PageIndex { 29} ), como ( ln (a / b) = ln a - ln b ).

  3. Esto requiere una sustitución, luego se puede aplicar el ítem # 2 de la Idea clave 19.

    Sea (u = 3x ), por lo tanto (du = 3dx ). Tenemos
    [ int frac {1} { sqrt {9x ^ 2 + 10}} dx = frac13 int frac {1} { sqrt {u ^ 2 + 10}} du. ]
    Note (a ^ 2 = 10 ), por lo tanto (a = sqrt {10}. ) Ahora aplique la regla de la integral.
    [ begin {align} & = frac13 sinh ^ {- 1} left ( frac {3x} { sqrt {10}} right) + C & = frac13 ln Big | 3x + sqrt {9x ^ 2 + 10} Big | + C. end {align} ]

Esta sección cubre mucho terreno. Se introdujeron nuevas funciones, junto con algunas de sus identidades fundamentales, sus derivadas y antiderivadas, sus inversas y las derivadas y antiderivadas de estas inversas. Se presentaron cuatro ideas clave, cada una de las cuales incluía bastante información.

No considere que esta sección contiene una fuente de información para memorizar, sino más bien una referencia para la resolución de problemas en el futuro. La Idea clave 19 contiene quizás la información más útil. Conocer las formas de integración ayuda a evaluar y comprender cómo utilizar la respuesta hiperbólica inversa y la respuesta logarítmica.

La siguiente sección toma un breve descanso de la demostración de nuevas técnicas de integración. En cambio, demuestra una técnica de evaluación de límites que devuelven formas indeterminadas. Esta técnica será útil en la sección 6.8, donde surgirán límites en la evaluación de ciertas integrales definidas.


PyMOTW

Si encuentra útil esta información, considere la posibilidad de obtener una copia de mi libro, La biblioteca estándar de Python por ejemplo.

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Ejemplos de

La salida de todos los programas de ejemplo de PyMOTW se ha generado con Python 2.7.8, a menos que se indique lo contrario. Es posible que algunas de las funciones descritas aquí no estén disponibles en versiones anteriores de Python.

Si está buscando ejemplos que funcionen con Python 3, consulte la sección PyMOTW-3 del sitio.

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Símbolos de operaciones matemáticas

La mayoría de los operadores matemáticos BÁSICOS son los que no requieren introducción. Los operadores de suma, resta, multiplicación y división son los que se usan comúnmente como se muestra a continuación:

Símbolo Tipo de procedimiento Ejemplo de uso Orden de operación
+ Adición c = a + b Último
- Sustracción c = a - b Último
- Negación c = -a Último
* Multiplicación c = a * b Segundo
/ División c = a / b Segundo


BASIC también puede utilizar otros dos operadores para División entera. La división de enteros devuelve solo valores de números enteros. MODIFICACIÓN división del resto devuelve un valor solo si una división entera no puede dividir un número exactamente. Devuelve 0 si un valor es exactamente divisible.

Símbolo Tipo de procedimiento Ejemplo de uso Orden de operación
División entera c = a b Segundo
MODIFICACIÓN División restante c = a MOD b Segundo

Es un error dividir por cero o tomar el resto módulo cero.


También hay un operador para exponencial cálculos. El operador exponencial se usa para elevar el valor de un número a un exponente designado de sí mismo. En QB, los valores de retorno exponenciales son valores DOBLES. La función SQR puede devolver la raíz cuadrada de un número. Por otro raíces exponenciales el operador se puede usar con fracciones como (1/3) para designar la raíz cúbica de un número.

Símbolo Procedimiento Ejemplo de uso Orden de operación
^ Exponente c = a ^ (1/2) Primero
SQR Raíz cuadrada c = SQR (a ^ 2 + b ^ 2) Primero

Notas

  • Las fracciones de exponentes deben encerrarse entre corchetes () para que se consideren una raíz en lugar de una división.
  • Los valores exponenciales negativos deben estar entre corchetes () en QB64.

Cálculo multivariable

11.2 Integración múltiple

Un caso trivial de una integral doble se puede obtener del producto de dos integrales ordinarias, digamos

Dado que la variable en una integral definida es solo una tonto variable, su nombre se puede cambiar libremente, digamos de X a y, en la primera igualdad de arriba. Claramente es necesario que las variables ficticias tengan nombres diferentes cuando ocurren en una integral múltiple. Una integral doble también puede involucrar una función no separable f (x, y). Para funciones con buen comportamiento, las integraciones se pueden realizar en cualquier orden. Por lo tanto

Para funciones con buen comportamiento, las integraciones anteriores se pueden realizar en cualquier orden.

Más desafiantes son los casos en los que los límites de la integración son en sí mismos funciones de X y y, por ejemplo

Si la función f (x, y) es continua, cualquiera de las integrales anteriores se puede transformar en la otra invirtiendo las relaciones funcionales para los límites de x = g (y) a y = h (x). Esto se conoce como Teorema de Fubini. Las evaluaciones alternativas de la integral se representan en la Figura 11.2.

Figura 11.2. Evaluación de la integral doble ∬ f (x, y) dxdy. A la izquierda, las tiras horizontales están integradas sobre X entre g 1 (y) y g 2 (y) y luego se suman y. A la derecha, las tiras verticales están integradas sobre y primero. Según el teorema de Fubini, los métodos alternativos dan el mismo resultado.

Como ilustración, hagamos la doble integración sobre el área involucrada en la representación geométrica de funciones hiperbólicas (ver Figura 4.17). Refiriéndose a la Figura 11.3, es claramente más fácil hacer primero la X-integración sobre franjas horizontales entre la línea recta y la hipérbola rectangular. Entonces, el área está dada por

Figura 11.3. Integración sobre el área A de la media luna sombreada. Esto da una representación geométrica de funciones hiperbólicas: y 0 = sinh (2 A), x 0 = cosh (2 A).

Esto se reduce a una integración sobre y:

Como x 0 = 1 + y 0 2, obtenemos A = 1 2 arcsinh y 0. Por tanto, podemos expresar las funciones hiperbólicas en términos del área sombreada A:

Problema 11.2.1

Para probar el teorema de Fubini, vuelva a realizar la integración sobre el área sombreada de la figura 11.3 utilizando franjas verticales en lugar de horizontales.


Analogías circulares

Mirando hacia atrás en las funciones trigonométricas circulares tradicionales, toman como entrada el ángulo subtendido por el arco en el centro del círculo. De manera similar, las funciones hiperbólicas toman un valor real llamado ángulo hiperbólico como argumento. Para comprender los ángulos hiperbólicos, primero debemos pensar en los ángulos tradicionales de una manera ligeramente diferente.

Si un arco de un círculo unitario subtiende un ángulo de $ theta $ radianes, entonces el área del sector correspondiente es $ frac < theta> <2 pi> times pi $ o $ frac < theta> <2> $. En otras palabras, el ángulo es igual al doble del área del sector.

De manera análoga a esto, un ángulo hiperbólico es el doble del área del correspondiente sector hiperbólico (que, como su contraparte circular, es simplemente la región encerrada por rayos desde el origen hasta dos puntos en la hipérbola). Esto significa que si elige un punto ($ cosh t $, $ sinh t $) en la hipérbola unitaria, el segmento de línea que une el punto con el origen crea un sector de área $ frac<2> $ con el eje xy la hipérbola.

Sector hiperbólico y su relación con el ángulo hiperbólico. El cargador original fue Olympic en la Wikipedia ucraniana. CC BY-SA 3.0, a través de Wikimedia Commons.

El punto principal a tener en cuenta aquí es visualizar ángulos hiperbólicos con la ayuda de áreas, no como una figura creada por dos rayos como podría imaginarse en ángulos normales. A partir de esto, también surge que los ángulos hiperbólicos son ilimitados, ya que el área del sector sigue aumentando a medida que el punto se aleja cada vez más del origen, lo que no es el caso de los ángulos circulares.


6.6: Funciones hiperbólicas - Matemáticas

Aplicaciones de funciones hiperbólicas

Las funciones trigonométricas están íntimamente relacionadas con la geometría del triángulo. Funciones como seno y coseno a menudo se introducen como longitudes de arista de triángulos rectángulos y ángulos. Las funciones hiperbólicas ocurren en la teoría de triángulos en espacios hiperbólicos.

Lobachevsky (1829) y J. Bolyai (1832) reconocieron independientemente que Euclides y un quinto postulado de Poss & # 8212 diciendo que para una línea dada y un punto que no está en la línea, hay exactamente una línea paralela a la primera & # 8212 podría cambiarse y seguir siendo una línea consistente. geometría. En la geometría hiperbólica, se permite que más de una línea sea paralela a la primera (lo que significa que las líneas paralelas nunca se encontrarán con la primera, por más que se extiendan). Traducido a triángulos, esto significa que la suma de los tres ángulos es siempre menor que.

Se puede realizar una representación particularmente agradable de la geometría hiperbólica en el disco unitario de números complejos (el modelo de disco de Poincar & # 233). En este modelo, los puntos son números complejos en el disco unitario y las líneas son arcos de círculos que se encuentran con el límite del círculo unitario ortogonal o diámetros del círculo unitario.

La distancia entre dos puntos (es decir, números complejos) y en el disco de Poincar & # 233 es:

La característica atractiva del modelo de disco de Poincar & # 233 es que los ángulos hiperbólicos concuerdan con los ángulos euclidianos. Formalmente, el ángulo en un punto de dos líneas hiperbólicas y se describe mediante la fórmula:

A continuación, los valores de los tres ángulos de un triángulo hiperbólico en los vértices, y se indican mediante, y. La longitud hiperbólica de los tres bordes opuestos a los ángulos se denota, y.

La regla del coseno y la segunda regla del coseno para triángulos hiperbólicos son:

La regla del seno para triángulos hiperbólicos es:

Para un triángulo de ángulo recto, la versión hiperbólica del teorema de Pitágoras se sigue de las fórmulas anteriores (el ángulo recto se toma en el vértice):

Usando la expansión de la serie a escalas pequeñas, la geometría hiperbólica es aproximada por la familiar geometría euclidiana. Las fórmulas del coseno y las fórmulas del seno para triángulos hiperbólicos con un ángulo recto en el vértice se convierten en:

El círculo inscrito tiene el radio:

El círculo circunscrito tiene el radio:

Como funciones racionales de la función exponencial, las funciones hiperbólicas aparecen prácticamente en todas partes en las ciencias cuantitativas. Es imposible enumerar sus numerosas aplicaciones en la enseñanza, la ciencia, la ingeniería y el arte.


Considere las funciones trigonométricas o circulares. La ecuación del círculo unitario en el uv -sistema de coordenadas es tu 2 + v 2 = 1.
Para cualquier número real X , tenemos cos 2 X + pecado 2 X = 1 entonces el punto (cos X , pecado X ) yace en el círculo tu 2 + v 2 = 1. Ahora
considere las funciones hiperbólicas. Para cualquier número real x , tenemos cosh 2 x senh 2 x = 1 entonces el punto (cosh X , sinh X )
se encuentra en la curva tu 2 v 2 = 1, que es una hipérbola. Esto explica el nombre hiperbólico funciones.

Claramente, las propiedades anteriores de sinh y cosh son similares a las de las funciones trigonométricas sin y cos. Por ejemplo,
las propiedades senh 0 = 0, cosh 0 = 1 y cosh 2 X Sinh 2 X = 1 son similares a las propiedades sin 0 = 0, cos 0 = 1 y
cos 2 x + pecado 2 x = 1 respectivamente. Esta similitud ha llevado a nombrarlos como hiperbólicos. seno e hiperbólico coseno
respectivamente.

Las 4 funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de sinh y cosh, por lo que también son hiperbólico funciones y
se definen en términos de sinh y cosh de la misma manera que las 4 funciones trigonométricas tan, cot, sec y csc
se definen en términos de pecado y porque esto explica sus nombres.


Espacios de Einstein Gyrovector

3.6 Gyrolines - Las líneas hiperbólicas

Los puntos hiperbólicos se llaman giropuntos y, en completa analogía, las líneas hiperbólicas se denominan girolinas. Así, por ejemplo, A y B en la figura 3.1 son puntos en el plano euclidiano ℝ 2. Están unidos por una línea con un punto. PAG mintiendo entre A y B, y con el punto medio METROA, B Entre A y B. A diferencia de, A y B en la Fig. 3.2 son giroscopios en el plano hiperbólico ℝ c 2. Están unidos por una gyroline con un gyropoint PAG mintiendo entre A y B y con el gyromidpoint METROA, B Entre A y B. En general, cuando C → ∞ un plano hiperbólico ℝ c 2 tiende al plano euclidiano ℝ 2, un giropunto tiende a un punto correspondiente y una girolina tiende a una línea correspondiente.

Dejar A, B ∈ ℝ c n dos giropuntos distintos de un espacio de girovector de Einstein (ℝ c n, ⊕, ⊗), que se muestra en la figura 3.2, y sea t ∈ ℝ un parámetro real. Luego, en completa analogía con la línea euclidiana (3.41), que se muestra en la figura 3.1, la gráfica del conjunto de todos los giroscopios

t ∈ ℝ, en el espacio del vector giroscópico de Einstein (ℝ c n, ⊕, ⊗) es una cuerda de la bola ℝ c n. Esta cuerda es una línea geodésica del modelo de bola cartesiana-Beltrami-Klein de geometría hiperbólica, que se muestra en la figura 3.2 para norte = 2. Las coordenadas cartesianas que faltan para el disco hiperbólico de la figura 3.2 se muestran en la figura 3.4.

El gyromidpoint METROA, B de los giroscopios A y B se obtiene de (3.45) seleccionando t = 1/2,

se muestra en la Fig. 3.2. La segunda identidad en (3.46) se deriva de (3.37), lo que indica la capacidad de la coadición de Einstein para capturar analogías con resultados clásicos.

La línea geodésica (3.45) es la única girolina que pasa a través de los giroscopios. A y B. Pasa por el giropunto A Cuándo t = 0 y, debido a la ley de cancelación por la izquierda, (2.50), p. 25, pasa por el giropunto B Cuándo t = 1. Además, pasa por el punto gyromid METROA, B de A y B Cuándo t = 1/2. En consecuencia, el gyrosegmento que se une a los gyropoints A y B en la figura 3.2 se obtiene a partir de la girolina (3.45) con 0 ≤ t ≤ 1.

Cada giropunto de (3,45) con 0 & lt t & lt 1 se dice que miente entre A y B. Así, por ejemplo, el giropunto PAG en la Fig. 3.2 se encuentra entre los giroscopios A y B. Como tal, los giroscopios A, PAG, y B obedecer el igualdad de gyrotriangle según la cual

donde, en completa analogía con la geometría euclidiana,

es la función de distancia hiperbólica, llamada función de girodistancia, que mide la A a B en ℝ c n. La igualdad de giro-triangulo (3.47) afirma que la distancia entre giro a lo largo de una girolina es giroditiva.

Los giroscopios de la figura 3.2 se dibujan con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano invisible. Las coordenadas cartesianas que faltan para el disco hiperbólico de la figura 3.2 se muestran en la figura 3.4.

El concepto de girolinas se ampliará en la Secta. 7.4 al concepto de bi-girolinas de firma (metro, norte), metro, n ∈ ℕ, de tal manera que las bi-girolinas de firma (1.norte) son norte-Girolinas dimensionales.


Matemáticas IIT JEE

y = senh (x)

Dominio: ℜ Rango: ℜ

Gráfico de la función hiperbólica de Cos - y = cosh (x)

y = cosh (x)

Dominio: ℜ Rango: [1, ∞)

Gráfico de la función hiperbólica de tan - y = tanh (x)

y = tanh (x)

Dominio: ℜ Rango: (-1,1)

Gráfico de la función hiperbólica de cot - y = coth (x)

y = coth (x)

Dominio: ℜ- Rango: (-∞, -1) ∪ (1, ∞)

Gráfico de la función hiperbólica de csc - y = csch (x)

y = csch (x)

Dominio: ℜ - Rango: ℜ -

Gráfico de función hiperbólica de sec - y = sech (x)

y = sech (x)

Dominio: Abarcar : (0 ,1 ]


Cómo diferenciar funciones trigonométricas hiperbólicas

Encuentra $ displaystyle frac d left ( cosh (x ^ 2 + 9) right) $.

$ frac d left ( cosh (x ^ 2 + 9) right) = sinh (x ^ 2 + 9) cdot frac d left (x ^ 2 + 9 right) = sinh (x ^ 2 + 9) cdot 2x = 2x sinh (x ^ 2 + 9) $

$ Displaystyle frac d left ( cosh (x ^ 2 + 9) right) = 2x sinh (x ^ 2 + 9) $

Ejemplo 2

Suponga $ f (x) = x ^ 4 tanh 3x $. Encuentre $ f '(x) $.

Identifica los factores de la función.

$ begin% f '(x) & = blue <4x ^ 3> tanh 3x + x ^ 4 cdot red <3 operatorname^ 2 3x> & = 4x ^ 3 tanh 3x + 3x ^ 4 sech ^ 2 3x end $

$ begin f '(x) & = 4 azul tanh 3x + 3 azul sech ^ 2 3x & = azul left (4 tanh 3x + 3x sech ^ 2 3x right) end $

$ Displaystyle f '(x) = x ^ 3 left (4 tanh 3x + 3x sech ^ 2 3x right) $.

Ejemplo 3

Diferenciar usando la regla del cociente. Las partes en $ blue$ están relacionados con el numerador.

Ejemplo 4

Suponga $ f (x) = coth ^ 5 11x $. Encuentre $ f '(x) $.

Vuelva a escribir la función para enfatizar que la cotangente se eleva a la quinta potencia.

$ begin f '(x) & = 5 left ( coth 11x right) ^ 4 cdot frac d left ( coth 11x right) [6pt] & = 5 left ( coth 11x right) ^ 4 cdot (-11 csch ^ 2 11x) [6pt] & = -55 left ( coth 11x right) ^ 4 cdot csch ^ 2 11x end $


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