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2.4: Aritmética de divisibilidad - Matemáticas


Pensando en voz alta

Si un maestro pudo compartir 6 manzanas entre 6 niños y 8 naranjas entre 4 niñas por igual, ¿es posible que el maestro comparta las 14 frutas con los 10 niños por igual?

Teorema: Teorema de divisibilidad I (BÁSICO)

Sea (a, b, c in mathbb {Z} ) tal que (a + b = c ). Si (d in mathbb {Z _ +} ) divide dos cualesquiera de (a, b ) y (c ), entonces (d ) divide al tercero.

Prueba:

Prueba:(por casos)

Caso 1: Suponga (d mid a ) y (d mid b ). Demostraremos que (d mid c ).

Dado que (d mid a ) y (d mid b ), (a = dm ) y (b = dk ), para algunos (m, k in mathbb {Z} ).

Considere, (c = a + b = dm + dk = d (m + k). )

Desde ((m + k) in mathbb {Z} ), (d mid c ).

Caso 2: Suponga (d mid a ) y (d mid c ). Demostraremos que (d mid b ).

Dado que (d mid a ) y (d mid c ), (a = dm ) y (c = dk ), para algunos (m, k in mathbb {Z} ).

Considere, (b = c-a = d (k-m). )

Desde ((k - m) in mathbb {Z} ), (d mid b ).

Caso 3: Suponga (d mid b ) y (d mid c ). Demostraremos que (d mid a ).

Desde (d mid b ) y (d mid c ), (b = dm ) y (c = dk ), con (m, k in mathbb {Z} ) .

Considere, (a = c-b = d (k-m). )

Desde ((k - m) in mathbb {Z} ), (d mid a ).

Habiendo examinado todos los casos posibles, dado a + b = c, entonces si (d in mathbb {Z _ +} ) divide dos cualesquiera de (a, b ) y (c ), entonces (d ) divide el tercero. ( Caja)

Teorema: teorema de divisibilidad II (MÚLTIPLE)

Sea (a, b, c in mathbb {Z} ) tal que (a mid b ). Entonces (a mid bc ).

Prueba:

Sea (a, b, c in mathbb {Z} ) tal que (a mid b ).

Demostraremos que (a mid bc ).

Considere que dado que a | b, b = ak, (k in mathbb {Z} ).

Considere además bc = a (ck).

Dado que (ck in mathbb {Z} ), a | bc. ( Box )

Teorema: aritmética de divisibilidad

Sea (a, b, c, d en mathbb {Z} ). Luego

  1. si (a mid b ) y (a mid c ) entonces (a mid (b + c) ).
  2. si (a mid b ) y (a mid c ) entonces (a mid (bc) ).
  3. si (a mid b ) y (c mid d ) entonces ((ac) mid (bd) ).
Prueba:

Prueba de 1:

Sea (a, b, c, d en mathbb {Z} ).

Demostraremos que si (a mid b ) y (a mid c ) entonces (a mid (b + c) ).

Desde (a | b, b = ak, k in mathbb {Z} ) y desde (a | c, c = am, , m in mathbb {Z} ).

Considere, (b + c = a (k + m) ).

Dado que (k + m in mathbb {Z} ), (a | (b + c) ). ( Box )

Prueba de 2:

Sea (a, b, c, d en mathbb {Z} ).

Demostraremos que si (a mid b ) y (a mid c ) entonces (a mid (bc) ).

Desde (a | b, b = ak, k in mathbb {Z} ) y desde (a | c, c = am, , m in mathbb {Z} ).

Considere (bc = a (akm). )

Desde (akm in mathbb {Z} ), (a | (bc) ). ( Box )

Prueba de 3:

Sea (a, b, c, d en mathbb {Z} ).

Demostraremos que si (a mid b ) y (c mid d ) entonces ((ac) mid (bd) ).

Desde (a | b, b = ak, k in mathbb {Z} ) y desde (a | c, c = am, , m in mathbb {Z} ).

Considere (bd = (ak) (cm) = ac (km). )

Desde (km in mathbb {Z} ), ((ac) | (bd) ). ( Box )

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Sea (a, b, c, d in mathbb {Z} ) tal que (a mid b ) y (c mid d ). ¿Es siempre cierto que ((a + c) mid (b + d) )?

En otras palabras, si un maestro pudo compartir 6 manzanas entre 6 niños y 8 naranjas entre 4 niñas por igual, ¿es posible que el maestro comparta las 14 frutas con los 10 niños por igual?

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Sean (a ) y (b ) enteros positivos tales que (7 | (a + 2b + 5) ) y (7 | (b − 9) ). Demuestre que (7 | (a + b). )

Solución

Sea (a, b ∈ ℤ + s.t.7 ∣ (a + 2b + 5) ) y (7 ∣ (b-9). )

Considere (a + 2b + 5 = 7 (m), m ∈ ℤ. )

Considere además (b-9 = 7 (k), k in ℤ. )

Luego considere (a + 2b + 5 - (b-9) = 7m-7k. )

(a + b + 14 = 7 (m-k). )

(una + segundo = 7 (m-k-2), m-k-2 en ℤ. )

Por lo tanto, (7 | (a + b). □ )


Reglas de divisibilidad para 2, 5 y 10 (números de 4 dígitos) (A)

Maestro s Puede usar hojas de trabajo de matemáticas como pruebas, tareas de práctica o herramientas de enseñanza (por ejemplo, en el trabajo en grupo, como andamiaje o en un centro de aprendizaje) Padres pueden trabajar con sus hijos para darles práctica adicional, ayudarlos a aprender una nueva habilidad matemática o mantener sus habilidades frescas durante las vacaciones escolares. Estudiantes Puede usar hojas de trabajo de matemáticas para dominar una habilidad matemática a través de la práctica, en un grupo de estudio o como tutoría entre compañeros.

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Reglas de Divisibilidad de 2, 5 y 10 (Números de 4 Dígitos) (A) Página 1 Reglas de Divisibilidad de 2, 5 y 10 (Números de 4 Dígitos) (A) Página 2

Divisibilidad

Esta es una lección completa con explicaciones y ejercicios sobre el concepto de divisibilidad y sobre factores, divisores y múltiplos, para matemáticas de cuarto grado. La lección también repasa las reglas de divisibilidad para 2, 5 y 10.

Por ejemplo, 18 & divide 3 = 6. Entonces, 18 es divisible por 3. También, 18 es divisible por 6, porque podemos escribir la otra división 18 y dividir 6 = 3. Entonces, 18 es divisible por 6 y 3.

Decimos que 6 y 3 son divisores o factores de 18.

67 y divide 4 = 16, R3. Hay un resto, por lo que 67 es no divisible por 4.

1. Divide y determina si los números son divisibles por el número dado.

2. Responda las preguntas. Es posible que necesite una división larga.

una. 98 es divisible por 4

B. ¿Es 603 divisible por 7?

C. ¿Es 3 un factor de 1256?

Entonces, como 6 & times 7 = 42, 6 y 7 son factoresde 42.

Decimos 42 es múltiplo de 6, porque 42 es un número multiplicado por 6, es decir, 7 y multiplicado por 6.

Aquí hay un hecho de multiplicación: 8 y por 9 = 72. Entonces, 8 es un ____________________ de 72,
y también lo es 9. Además, 72 es un ____________________ de 8, y también 72 es
a ____________________ de 9. Y, 72 es ____________________ por 8
y también por 9.

una. ¿Es 5 un factor de 55?

B. 8 es divisor de 45

C. ¿36 es múltiplo de 6?

D. ¿34 es múltiplo de 7?

mi. 7 es un factor de 46?

F. 63 es múltiplo de 9?

Múltiplos de 6 son todos esos números que obtenemos cuando multiplicamos 6 por otros números.
Por ejemplo, podemos multiplicar 0 y por 6, 7 y por 6, 11 y por 6, 109 y por 6, y así sucesivamente, y los números resultantes son todos múltiplos de seis.

De hecho, el patrón de conteo de saltos de 6 nos da una lista de múltiplos de 6:

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, etc.

5. una. Haz una lista de múltiplos de 11, comenzando en 0 y al menos hasta 154.

B. Haz una lista de múltiplos de 111, comenzando en 0. ¡Hazla tan larga como puedas en este espacio!

Los números que son divisibles por 2 se llaman incluso números.
Los números que NO son divisibles por 2 se llaman impar números.

Los números pares terminan en 0, 2, 4, 6 u 8. Cada segundo número es par.

Los números que terminan en 0 y 5 son divisibles entre 5.

6. Marque con & ldquox & rdquo si los números son divisibles entre 2 o 5.

Los números que terminan en 0 son divisibles por 10.

7. Marque un & ldquox & rdquo si los números son divisibles por 2, 5 o 10.

8. una. Escribe una lista de números divisibles por 2, del 0 al 60.

Esta es también una lista de ______________________________ de 2.

B. En la lista anterior, subrayar aquellos números que son divisibles por 4.
¿Que notaste?

C. En la lista anterior, color aquellos números que son divisibles por 6.
¿Que notaste?

D. ¿Qué números son divisibles entre 4 y 6?

9. una. Escribe una lista de números divisibles por 3, del 0 al 60.

Esta es también una lista de ______________________________ de 3.

B. En la lista anterior, subrayar aquellos números que son divisibles por 6.
¿Que notaste?

C. En la lista anterior, color aquellos números que son divisibles por 9.
¿Que notaste?


10. Utilice las listas que hizo en (7) y (8). Encuentra números que sean divisibles por ambas cosas 2 y 9.

11. ¿Qué número es un factor de cada número?

12. Veinte es un múltiplo de 4. También es un múltiplo de 5. También es un múltiplo de cuatro
otros números. ¿Cuáles?

¿Quién soy?
(Pista: tengo menos de 50 años).

Dividido por 9, dejo un resto de 6.
Dividido por 4, dejo un resto de 1.
Dividido por 10, dejo un resto de 3.

¿Quién soy?
(Pista: tengo menos de 100.)

Soy un múltiplo de 3, 4, 5 y 6.
Soy un factor de 120.
Dividido por 7, dejo un resto de 4.

Esta lección se tomó del libro Math Mammoth Division 2 de Maria Miller y se publicó en www.HomeschoolMath.net con el permiso del autor. Copyright y copia de Maria Miller.

Mamut de Matemáticas División 2

Un texto de trabajo de autoaprendizaje para 4º grado que cubre la división larga, la búsqueda de partes fraccionarias con división, problemas de palabras, resto, promedio y divisibilidad.


Pruebas de divisibilidad básicas Matemáticas

Este artículo le ayudará a aprender sobre las pruebas de divisibilidad para los números del 2 al 11.

Prueba de divisibilidad para 2:

Si, el último dígito de un número dado es divisible por 2, entonces el número dado también es divisible por 2.

Ejemplo: Queremos probar si 278956 es divisible por 2. Podemos ver que su último dígito, que es 6, es divisible por 2. Significa que el número 278956 también es divisible por 2. Puede considerar tomar diferentes ejemplos y verificar esta prueba.

Prueba de divisibilidad para 3:

Supongamos que se nos da un número grande y queremos verificar si ese número dado en particular es divisible por 3. Sumamos todos los dígitos del número. Si la suma de todos los dígitos es divisible por 3, entonces el número en sí también es divisible por 3.

Ejemplo: Queremos comprobar si 12789 es divisible por 3 o no. Sumamos todos los dígitos de 12789 (1 + 2 + 7 + 8 + 9 = 27). La suma de dígitos que es igual a 27 es divisible por 3. Significa que el número dado en sí, que es 12789, también es divisible por 3. Puedes verificar esta prueba considerando diferentes ejemplos.

Prueba de divisibilidad para 4:

Supongamos que se nos da un número grande y queremos verificar si ese número dado en particular es divisible por 4. Verificamos los dos últimos dígitos del número. Si los dos últimos dígitos del número son divisibles por 4, significa que el número en sí también es divisible por 4.

Ejemplo: Queremos comprobar si 128920 es divisible por 4 o no. Simplemente verificamos los dos últimos dígitos de 128920, los dos últimos dígitos suman 20, que es divisible por 4. Significa que el número en sí, que es 128920, también es divisible por 4. Puedes verificar esta prueba considerando diferentes ejemplos.

Prueba de divisibilidad para 5:

Suponga que se nos da un número grande y queremos verificar si ese número dado en particular es divisible por 5. Si el último dígito es 0 o 5, entonces el número dado es divisible por 5.

Ejemplo: Queremos comprobar si 154780 es divisible por 5 o no. Solo verificamos el último dígito del número. Es 0, lo que significa que el número dado 154780 es divisible por 5.

Prueba de divisibilidad para 6:

Supongamos que se nos da un número grande y queremos verificar si ese número dado en particular es divisible por 6. Un número dado es divisible por 6 solo si el número es divisible por 2 y 3. Por lo tanto, aplicamos pruebas de divisibilidad de ambos. 2 y 3 en un número dado.

Ejemplo: Queremos comprobar si 154872 es divisible por 6 o no. Aplicamos pruebas de divisibilidad de 2 y 3 en este número.

Según la prueba de divisibilidad de 2, el último dígito es divisible por 2, lo que significa que el número 154872 también es divisible por 2.

Según la prueba de divisibilidad de 3, la suma de dígitos (1 + 5 + 4 + 8 + 7 + 2 = 27) es divisible por 3, lo que significa que el número 154872 también es divisible por 3.

Porque, el número es divisible por 2 y 3. Significa que el número también es divisible por 6.

Prueba de divisibilidad para 7:

Supongamos que se nos da un número grande y queremos verificar si ese número dado en particular es divisible por 7. Simplemente multiplicamos el último dígito del número por 2 y luego restamos el resultado del resto del número. Seguimos repitiendo el proceso hasta que obtenemos un número del que podemos decir directamente que es divisible o no divisible por 7. Será más claro a través de un ejemplo.

Ejemplo: Queremos comprobar si 2401 es divisible por 7 o no. Multiplicamos su último dígito por 2.

El último dígito es 1. Multiplicándolo por 2. Obtenemos (1 x 2 = 2). Restamos el resultado del resto del número que es 240.

Repetimos el proceso nuevamente. Multiplicamos el último dígito por 2 y luego restamos el resultado del resto del número.

Multiplicando el último dígito por 2, obtenemos (8 x 2 = 16). Restando el resultado del resto del número, obtenemos (23 - 16 = 7).

Ahora, estamos seguros de que 7 es divisible por 7. Significa que el número desde donde comenzamos (2401) también es divisible por 7.

Supongamos que al final obtenemos un número 13. Entonces, estaríamos seguros de que no es divisible por 7. Significaría que el número desde donde comenzamos tampoco sería divisible por 7.

Prueba de divisibilidad para 8:

Supongamos que se nos da un número grande y queremos verificar si ese número en particular es divisible por 8. Verificamos los últimos tres dígitos del número. Si los últimos tres dígitos del número son divisibles por 8, significa que el número en sí también es divisible por 8.

Ejemplo: Queremos comprobar si 128160 es divisible por 8 o no. Solo verificamos los últimos tres dígitos de 128160, los últimos tres dígitos suman 160, que es divisible entre 8. Significa que el número dado en sí, que es 128160, también es divisible entre 8. Puede verificar esta prueba considerando diferentes ejemplos.

Prueba de divisibilidad para 9:

Supongamos que se nos da un número grande y queremos verificar si ese número dado en particular es divisible por 9. Sumamos todos los dígitos de un número dado. Si, la suma de todos los dígitos es divisible por 9, entonces el número dado también es divisible por 9.

Ejemplo: Queremos comprobar si 12789 es divisible por 9 o no. Sumamos todos los dígitos de 12789 (1 + 2 + 7 + 8 + 9 = 27). La suma de dígitos que es igual a 27 es divisible por 9. Significa que el número en sí, que es 12789, también es divisible por 9. Puedes verificar esta prueba considerando diferentes ejemplos.

Prueba de divisibilidad para 10:

El número dado es divisible por 10 si el último dígito de un número dado es 0. Por ejemplo, se nos da un número 48750 y queremos verificar si es divisible por 10 o no. Solo verificamos el último dígito del número. Es cero, lo que significa que 48750 es divisible por 10. Si no es cero, entonces el número dado no sería divisible por 10.

Prueba de divisibilidad para 11:

Simplemente comprenda la prueba de divisibilidad de 11 con un ejemplo. Supongamos que queremos comprobar si el número 14641 es divisible por 11 o no.

Paso 1: Comenzamos desde el dígito más a la izquierda y sumamos los dígitos saltando un dígito a la vez mientras nos movemos hacia la dirección correcta.

El dígito más a la izquierda es 1. Tomamos 1 en consideración. Ahora saltamos un dígito que es 4. El siguiente dígito es 6. Tomamos en consideración el 6. Saltamos el siguiente, que es 4. Consideramos el siguiente, que es 1.

Sumamos todos los dígitos que se consideraron: (1 + 6 + 1 = 8). La suma es igual a 8.

Paso 2: Sumamos todos los dígitos que se omitieron en el paso 1. La suma es (4 + 4 = 8).

Paso 3: Restamos la suma calculada en el paso 2 de la suma calculada en el paso 1. Obtenemos (8 - 8 = 0).

Ahora, sabemos que 0 es divisible por 11, lo que significa que el número 14641 desde donde comenzamos, también es divisible por 11.

Por ejemplo, en el paso 3, obtenemos un resultado igual a 22. Sabemos que 22 es divisible por 11. Significaría que el número que comenzamos también sería divisible por 11.

Por ejemplo, en el paso 3. obtenemos un resultado igual a 7. Sabemos que 7 no es divisible por 11. Significaría que el número que comenzamos no sería divisible por 11.


Divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9. Para números grandes, esta regla se puede aplicar nuevamente al resultado. Además, la iteración final dará como resultado un 9.

A.) 2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18, 1 + 8 = 9, entonces 9 | 2.880.

B.) 3,564,213: 3 + 5 + 6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 24, 2 + 4 = 6, entonces 9 lo hace NO dividir 3,564,213.

La prueba de la regla de divisibilidad de 9 es esencialmente la misma que la prueba de la regla de divisibilidad de 3.

Para cualquier entero x escrito comonorte· · · a3a2 a1a0 probaremos que si 9 | (a0 + un1+ un2+ un3 . + unnorte), luego 9 | xy viceversa.

A continuación, si dejamos que s sea la suma de sus dígitos, entonces

Si dejamos bk = 10 k - 1, luego bk = 9. 9 (9 ocurre k veces) y bk= 9 (1… 1) y podemos reescribir la ecuación anterior como

De ello se deduce que todos los números bk son divisibles por 9, por lo que los números ak× bk también son divisibles por 9. Por lo tanto, la suma de todos los números ak× bk (que es x-s) también es divisible por 9.

Dado que x-s es divisible por 9, si x es divisible por 9, entonces también lo es sy viceversa.


Prueba de divisibilidad por cualquier prima

Primero reescribe el número original como 10t + u donde u representa el dígito roto y t es el otro número nuevo. Entonces, el número original es 10t + u. El número creado al restar & quot (p-n) × u ​​& quot, donde (p-n) = 2, del otro número da t-2u. La afirmación de la prueba es que si 7 | (t-2u) entonces 7 | (10t + u). Entonces, manipulando la ecuación multiplicando por números relativamente primos a 10 y sumando múltiplos de 7 (los cuales no cambian la divisibilidad):

7 | 10 (t-2u) o 7 | (10t-20u) si y solo si

Por lo tanto 7 | (t-2u) si y solo si 7 | (10t + u) y viceversa.

Vuelva a escribir el número original como 10t + u, donde u representa el dígito roto y t es el otro número nuevo. Entonces el número original es 10t + u. El número creado al restar & quot (p-n) × u ​​& quot, donde (p-n) = 1, del otro número da t-u. La afirmación de la prueba es que si 11 | (t-u) entonces 11 | (10t + u). Entonces, nuevamente, manipulando la ecuación multiplicando por números relativamente primos hasta 10 y sumando múltiplos de 11:

11 | 10 (t-u) o 11 | (10t-10u) si y solo si

Por lo tanto, 11 | (t-u) si y solo si 11 | (10t + u) y viceversa.

Vuelva a escribir el número original como 10t + u donde u representa el dígito roto y t es el otro número nuevo. Entonces el número original es 10t + u. El número creado al sumar & quotn × u & quot, donde n = 4, del otro número da t + 4u. La afirmación de la prueba esta vez es que si 13 | (t + 4u) entonces 13 | (10t + u). Entonces, manipulando la ecuación multiplicando por números relativamente primos hasta 10 y restando múltiplos de 13:

13 | 10 (t + 4u) o 13 | (10t + 40u) si y solo si

Por lo tanto 13 | (t + 4u) si y solo si 13 | (10t + u) y viceversa.

. Como puede ver, la prueba se vuelve repetitiva y se puede adaptar fácilmente a otros números primos.


Proyectos de matemáticas profundas

Proyectos de matemáticas profundas son proyectos abiertos que puede ampliar si continúa haciendo nuevas preguntas. Los problemas suelen tener múltiples soluciones y / o vías de solución. Las actividades son autodiferenciadoras. Los estudiantes pueden entrar y salir de ellos en puntos que se adapten a su nivel de comprensión. Los niveles de grado son sugerencias aproximadas, porque los estudiantes pueden pensar en los problemas y las preguntas en muchos niveles.

Consejos para usar los proyectos

  • Se paciente. Esta es una nueva forma de pensar sobre las matemáticas para la mayoría de los niños y adultos. ¡Se necesita tiempo para acostumbrarse!
  • ¡Únase al espíritu de aventura con su estudiante o hijo! Prepárate para lo inesperado. Disfruta perdiéndote y encontrando el camino de regreso.
  • ¡Haz tu propia diversión! Cree historias, personajes y / o dibujos que combinen con los problemas de matemáticas. Si los comparte conmigo, es posible que pueda publicar algunos de ellos en esta página.
  • Romperlo. No es necesario que realice la actividad de una vez. Si se empantana después de unos días (¡o semanas!), Vuelva a hacerlo más adelante en el año escolar.
  • No se preocupe por terminar. ¡Estos proyectos son desafiantes! Es mejor dedicar tiempo a profundizar en una o dos preguntas que apresurarse a completar todo. Esta es una de esas situaciones en las que "se trata más del viaje que del destino".

Cada actividad es una descarga gratuita. ¡Simplemente haga clic en el título del proyecto!

Los estudiantes resuelven problemas y exploran patrones que involucran propiedades de suma y resta. Los patrones pueden conducir a nuevas estrategias de cálculo e incluso descubrimientos sobre números pares e impares, fracciones, números negativos, etc.

La tabla de multiplicar es un tesoro de patrones que esperan ser descubiertos. Los estudiantes desarrollan el sentido numérico, el álgebra, el razonamiento y las habilidades de comunicación a medida que hacen y prueban predicciones sobre estos patrones.

Los estudiantes exploran las propiedades de los números y las conexiones entre la multiplicación y la división a medida que "saltar" de un número a otro utilizando sólo dos operaciones.

Los estudiantes hacen dibujos que muestran múltiples formas creativas de representar fracciones simples. A medida que buscan muchas formas de hacer un todo, incluso pueden comenzar a descubrir estrategias para sumar y restar fracciones, con y sin los mismos denominadores.

Los estudiantes crean y comparan una variedad de polígonos que tienen un área de 4. Exploran las conexiones entre el perímetro del área.

Los estudiantes usan visualizaciones para descubrir atajos para agregar cadenas largas de números que siguen patrones.

Los estudiantes exploran propiedades y patrones en divisibilidad y residuos mientras imaginan diferentes formas de compartir canicas entre grupos de personas.


Cómo saber si un número es divisible por 3

Vamos a & rsquos ahora hablar sobre cómo probar si un número es divisible por 3. El punta rápida y sucia comprobar la divisibilidad por 3 es ver si la suma de todos los dígitos del número es divisible por 3. Si es así, el número en sí también debe ser divisible por 3. Por ejemplo, ¿1.529 es divisible por 3? Bueno, la suma de los dígitos de 1529 es 1 + 5 + 2 + 9 = 17. Dado que 17 no es divisible por 3, podemos concluir que 1,529 tampoco es divisible por 3. ¿Qué tal 1,530? Bueno, esta vez la suma es 1 + 5 + 3 + 0 = 9. Dado que 9 es divisible por 3, sabemos que 1,530 también es divisible por 3.


DIVISIÓN

Descripción: Este es un taller en línea que permite a los estudiantes trabajar en problemas de división larga paso a paso, con indicaciones e instrucciones de la computadora para cada paso del camino. El programa es personalizable.

Estándares CC: 4.NBT.B.4, 4.NBT.B.5, 4.NBT.B.6

División Envision - En línea

Descripción: este programa le ayudará a visualizar el concepto de división. Elija un número y haga tantos problemas de división como sea posible a partir de ese número. Utilice la práctica herramienta de dibujo para hacer grupos de estrellas. Por ejemplo, si eligieras 16, verías 16 estrellas en el escenario. Simplemente dibuje círculos alrededor de cuatro grupos de cuatro estrellas para hacer el problema 16 (dividido por el símbolo) 4 = 4. Vea cuánto tiempo le lleva dividir 16 entre tantos números como sea posible que dividan uniformemente. Imprima su certificado cuando haya terminado. Vea el video instructivo para obtener más información.

Estándares CC: 3.OA.A.1, 3.OA.A.2, 3.OA.B.6, 3.OA.C.7

Descripción: Drag & # 039N & # 039 Drop Math es un taller en línea en el que los estudiantes pueden completar fácilmente problemas de suma, resta (con reagrupación), multiplicación y división de varios dígitos, utilizando números grandes y pequeños que se pueden arrastrar. El taller es totalmente personalizable y brinda retroalimentación inmediata. Este es uno de los diez programas más populares en mrnussbaum.com

Estándares CC: 2.NBT.B.5, 2.NBT.B.6, 2.NBT.B.7, 2.NBT.B.8, 3.OA.A.4, 3.OA.C.7 , 3.NBT.A.2, 3.NBT.A.3

Juegos divertidos de la división - De ComputerMice

Descripción: ¿Necesitas practicar las operaciones de división? Fun Division Games de Computer Mice es la solución perfecta. Puede practicar la fluidez de la división jugando cualquiera de los 15 juegos integrados, incluidos juegos de práctica de tiro, juegos de ninja para bebés, juegos de rueda giratoria y muchos más. Busque en nuestra sección de juegos, matemáticas y artes del lenguaje pronto más juegos de Computer Mice.

Descripción: Math Machine es una herramienta VISUAL para enseñar suma, resta, multiplicación, fracciones, división o valor posicional. ¡Los estudiantes reciben el poder de girar ruedas que determinan los números en los problemas! Vea el video instructivo para obtener más información.

Estándares CC: 1.OA.A.1, 1.OA.A.2, 1.OA.B.3, 1.OA.C.5, 1.OA.C.6, 2.OA.A.1 , 2.OA.B.2, 2.OA.C.3, 2.OA.C.4, 2.NBT.A.1, 2.NBT.B.5, 3.OA.A.1, 3 .OA.A.2, 3.OA.C.7, 3.NF.A.3

Descripción: Primero elija su habilidad para practicar (suma, resta, multiplicación o división). Luego, elija los números que desea practicar. Por último, indique si permite o no números negativos. Por ejemplo, si desea practicar sumar 1, 2 y 3, haga clic en la burbuja 1, la burbuja 2 y la burbuja 3. Por último, establezca la cuenta regresiva en la cantidad de segundos que desee y vea cuántos problemas puede resolver correctamente, o, establezca una meta de logro, ¡y vea cuánto tiempo le lleva alcanzar su meta! Si alcanza su objetivo, puede imprimir su propio certificado de logros.

Estándares CC: K.OA.A.5, 1.OA.C.6, 2.OA.B.2, 3.OA.C.7, 6.NS.C.6.A, 7.NS.A .1

The Ultimate Teacher & # 039s Lounge - Juego en línea

Descripción: ¿Por qué esperar hasta la Semana de agradecimiento al maestro para honrar a su maestro? Utilice sus increíbles habilidades con las tarjetas de memoria flash para ganar tantas "neuronas" como sea posible. Utilice la tecla "tabulador" para pasar de una tarjeta flash a otra. Luego, gaste sus "neuronas" en la tienda Teacher's Lounge y obtenga un jacuzzi, una pista de baile, una pantalla grande, una máquina de palomitas de maíz y mucho más para hacer que el salón de su maestro sea el mejor de la historia.

Estándares CC: 1.OA.C.6, 2.OA.B.2, 3.OA.C.7, K.OA.A.5

Tae Kwon Donuts - Juego en línea

Descripción: Durante muchos años, Tae Kwon Donuts y Subninjas han luchado entre sí. ¡Ahora, los subninjas han recurrido al secuestro de los Munchquins de Tae Kwon Donuts! ¡Debes usar tus habilidades de suma, resta, multiplicación y división para números positivos y negativos para identificar el eslabón débil entre filas de horribles subninjas para salvar la futura generación de Tae Kwon Donuts! ¡Debes atacar al subninja con el problema matemático que arroja una respuesta diferente al resto! Usa las flechas del teclado para mover tu Tae Kwon Donut y la barra espaciadora para atacar. ¡A medida que avanza por las habitaciones del castillo, obtendrá sus cinturones de colores y nuevos modos de ataque! También puedes obtener una contraseña para volver a cualquier habitación del castillo.

Convertirse en Lord Voldemath - Juego en línea

Descripción: Este juego permite a los estudiantes practicar de forma personalizada con "tablas" específicas, además de la resta, la multiplicación y la división. Los estudiantes luchan contra "magos" para resolver los problemas más rápido en cada una de las cinco rondas de 90 segundos. Si el estudiante tiene una puntuación más alta que el asistente, él o ella pasa a la siguiente ronda y gana un nuevo "poder". A los estudiantes les ENCANTA este juego que sirve como un gran refuerzo matemático rápido.

Estándares CC: K.OA.A.5, 1.OA.C.6, 2.OA.B.2, 3.OA.C.7

Descripción: Este juego de ritmo superrápido requiere que los estudiantes pasen esquiando por las puertas que completan una ecuación, pero para evitar aquellas que hacen que la ecuación sea incorrecta. Por ejemplo, si un estudiante elige x 8 para practicar, esquiaría a través de las puertas que muestran 2 y 16, pero alrededor de las puertas que muestran 4 y 30. El juego es personalizable y permite a los jugadores elegir la operación y los números específicos.

World Cup Math - Juego en línea

Descripción: Este tiroteo de fútbol en línea requiere que los estudiantes elijan un equipo y luchen contra otros en una ronda de 16 usando sus habilidades de suma, resta, multiplicación o división.

Derrota al monstruo de las matemáticas mayas: juego de matemáticas en línea

Descripción: Este es un juego divertido en el que los estudiantes usan sus habilidades de suma, resta, multiplicación o división para frustrar al horrible monstruo de las matemáticas mayas y tener la oportunidad de explorar una habitación llena de oro y riquezas.

Derrota al monstruo de las matemáticas mayas - Juego de matemáticas online - En español

Descripción: Este es un juego divertido en el que los estudiantes usan sus habilidades de suma, resta, multiplicación o división para frustrar al horrible monstruo de las matemáticas mayas y tener la oportunidad de explorar una habitación llena de oro y riquezas.

Factor Family Reunion - Juego en línea

Descripción: The Factors está teniendo una reunión familiar y USTED la está organizando. Es su trabajo asegurarse de que cada miembro de la familia de factores esté sentado en la mesa correcta, ¡o lo escuchará de ellos! Simplemente arrastre y suelte cada factor en su tabla correcta. Si puede conseguirlos todos, puede imprimir un retrato de todos en su reunión.


Introducción a la aritmética modular

Los números van de $ 1 $ a $ 12 $, pero cuando llegas a "$ 13 $ en punto", en realidad se convierte en $ 1 $ en punto de nuevo (piensa en cómo funciona la numeración del reloj de $ 24 $ por hora). Entonces $ 13 $ se convierte en $ 1 $, $ 14 $ se convierte en $ 2 $, y así sucesivamente.

Esto puede continuar, así que cuando llegas a "$ 25 $ en punto '', en realidad estás de vuelta a donde está $ 1 $ en punto en la esfera del reloj (y también donde estaba también $ 13 $ en punto).

Entonces, en este mundo de los relojes, solo le importa dónde se encuentra en relación con los números de $ 1 $ a $ 12 $. En este mundo, se piensa que $ 1, 13, 25, 37, ldots $ son lo mismo, al igual que $ 2, 14, 26, 38, ldots $, etc.

Lo que estamos diciendo es "$ 13 = 1 + $ algún múltiplo de $ 12 $", y "$ 38 = 2 + $ algún múltiplo de $ 12 $", o, alternativamente, "el resto cuando divide $ 13 $ por $ 12 $ es $ 1 $ "y" el resto cuando divide $ 38 $ entre 12 es 2 ''. La forma en que escribimos esto matemáticamente es $ 13 equiv 1 text 12 $, $ 38 equiv 2 text 12 $, y así Esto se lee como "$ 13 $ es congruente con $ 1 $ mod (o módulo) $ 12 $" y "$ 38 $ es congruente con $ 2 text 12 $".

Pero no tiene que trabajar solo en el mod $ 12 $ (ese es el término técnico). Por ejemplo, podría trabajar con el mod $ 7 $, o el mod $ 46 $ en su lugar si quisiera (solo piense en relojes numerados desde $ 1 $ a $ 7 $ y $ 1 $ a $ 46 $ respectivamente cada vez que pase el número más grande, se restablece a $ 1 $ de nuevo).

Volvamos a la esfera del reloj normal con los números de $ 1 $ a $ 12 $ por un momento. Los matemáticos generalmente prefieren poner un $ donde normalmente estarían los $ 12 $, por lo que normalmente escribiría (por ejemplo) $ 24 equiv 0 text 12 $ en lugar de $ 24 equiv 12 text 12 $, aunque ambos son correctos. Es decir, pensamos en una esfera de reloj normal numerada de $ a $ 11 $. Esto tiene sentido: normalmente diríamos que $ 24 $ deja un resto de $ cuando dividimos entre $ 12 $, en lugar de decir que deja un resto de $ 12 $ cuando dividimos entre $ 12 $.

Seamos un poco más formales. En general, si está trabajando en el mod $ n $ (donde $ n $ es cualquier número entero), escribimos $ a equiv b text n $ si $ a $ y $ b $ dejan el mismo resto cuando los divide por $ n $. Esto es lo mismo que decir que escribimos $ a equiv b text n $ si $ n $ divide $ a-b $. (Mire lo que hicimos anteriormente para ver que esta definición se ajusta a nuestros ejemplos anteriores).

Hasta ahora, solo hemos hablado de notación. Ahora hagamos algunos cálculos matemáticos y veamos cómo las congruencias (lo que describimos anteriormente) pueden aclarar un poco las cosas.

A continuación se muestran algunas propiedades útiles. Podemos sumar congruencias. Es decir, si $ a equiv b text n $ y $ c equiv d text n $, entonces $ a + c equiv (b + d) text n $. ¿Por qué es esto? Bueno, $ a equiv b text n $ significa que $ a = b + k n $, donde $ k $ es un número entero. De manera similar, $ c equiv d text n $ significa que $ c = d + l n $, donde $ l $ es un número entero. Entonces $ a + c = (b + kn) + (d + ln) = (b + d) + (k + l) n $, entonces $ a + c equiv (b + d) text n PS Por ejemplo, $ 17 equiv 4 text 13 $ y $ 42 equiv 3 text 13 $, entonces $ 17 + 42 equiv 4 + 3 equiv 7 text 13 $. Tenga en cuenta que las dos congruencias que estamos agregando son mod $ n $, y también lo es la respuesta: no agregamos los módulos.

Ahora demuestra que si $ a equiv b text n $ y $ c equiv d text n $ entonces $ a-c equiv (b-d) text n $. Además, demuestre que podemos hacer algo similar para la multiplicación: si $ a equiv b text n $ y $ c equiv d text n $, entonces $ ac equiv bd text n $. Puede probar esto de la misma manera que usamos anteriormente para la suma. Nuevamente, las dos congruencias que estamos multiplicando son mod $ n $, y también lo es la respuesta: no multiplicamos los módulos. ¿Puedes dar un ejemplo para refutar la afirmación de que $ a equiv b text n $ y $ c equiv d text m $ significan que $ ac equiv bd text mn PS

La división es un poco más complicada: hay que tener mucho cuidado. He aquí un ejemplo de por qué. $ 10 equiv 2 text 8 $. Pero si "dividimos ambos lados entre 2", tendríamos $ 5 equiv 1 text 8 $, ¡lo cual es claramente una tontería! To get a true congruence, we'd have to divide the $8$ by $2$ as well: $5equiv 1 ext < mod >4$ is fine. ¿Por qué? Well, $aequiv b ext < mod >n$ means that $a=b+k n$ for some integer $n$. But now this is a normal equation, and if we're going to divide $a$ by something, then we have to divide all of the right-hand side by $2$ as well, including $k n$. In general, it's best not to divide congruences instead, think about what they really mean (rather than using the shorthand) and work from there.

Things are quite special if we work mod $p$, where $p$ is prime, because then each number that isn't 0 mod $p$ has what we call an inverse (or a multiplicative inverse , if we're being fancy). What that means is that for each $a otequiv 0 ext < mod >p$, there is a $b$ such that $a bequiv 1 ext < mod >p$.

Let's think about an example. We'll work mod $7$. Then really the only non-zero things are $1, 2, 3, 4, 5$ and $6$ (because every other whole number is equivalent to one of them or $). So let's find inverses for them. Well, $1$ is pretty easy: $1 imes 1equiv 1 ext < mod >7$. What about $2$? $2 imes 4equiv 1 ext < mod >7$. So $4$ is the inverse of $2$. In fact, we can also see from this that $2$ is the inverse of $4$ - so that's saved us some work! $3 imes 5equiv 1 ext < mod >7$, so $3$ and $5$ are inverses. And finally, $6 imes 6equiv 1 ext < mod >7$, so $6$ is the inverse of itself. So yes, each of the non-zero elements mod $7$ has an inverse. Try some primes out yourself: $11$ and $13$ are fairly small! If you're feeling confident, see whether you can discover which numbers have inverses mod $4$, or mod $6$, or mod $8$. What about mod $15$? Do you notice any patterns?

To prove this, things are going to get a tiny bit more tricky, so I'm going to save the proof for the end and first give an example of using congruences to do useful mathematics.

$ a_n10^n+a_10^+ldots+10a_1+a_0equiv a_n+a_+ldots+a_1+a_0 ext < mod >3 $ So if our number is divisible by $3$ (that is, if $a_n10^n+a_10^+ldots+10a_1+a_0equiv 0 ext < mod >3$), then certainly so is the sum of its digits, and vice versa, as we wanted! The congruence notation hasn't really done any of the maths for us, but it's hopefully made it a bit easier to write out the proof clearly. See whether you can use the notation to prove any of the other divisibility tests in that article.

Now for the proof I promised you earlier. We're going to show that if $a$ and $n$ have no common factors, then $a$ has a multiplicative inverse mod $n$ (reminder: that means a number $b$ such that $a imes bequiv 1 ext < mod >n$). In particular, if $n$ is prime, then its only factor apart from 1 is itself, so saying "$a$ and $n$ share no common factors'' is just the same as saying "$a$ isn't divisible by $n


Ver el vídeo: 4S ARITMÉTICA TEMA: DIVISIBILIDAD I (Noviembre 2021).