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4.8: Continuidad en equipos compactos. Continuidad uniforme

4.8: Continuidad en equipos compactos. Continuidad uniforme


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I. Algunos teoremas importantes adicionales se aplican a funciones que son continuas en un conjunto compacto (ver §6).

Teorema ( PageIndex {1} )

Si una función (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho), ) es relativamente continua en un conjunto compacto (B subseteq A, ) entonces (f [B] ) es un conjunto compacto en ( left (T, rho ^ { prime} right). ) Brevemente,

[ text {la imagen continua de un conjunto compacto es compacta.} ]

Prueba

Para mostrar que (f [B] ) es compacto, tomamos cualquier secuencia ( left {y_ {m} right } subseteq f [B] ) y probamos que se agrupa en algún (q en FB]).

Como (y_ {m} in f [B], y_ {m} = f left (x_ {m} right) ) para algunos (x_ {m} ) en (B. ) Nosotros elija un (x_ {m} in B ) para cada (y_ {m}, ) obteniendo así una secuencia ( left {x_ {m} right } subseteq B ) con

[f left (x_ {m} right) = y_ {m}, quad m = 1,2, ldots ]

Ahora, por la supuesta compacidad de (B, ) la secuencia ( left {x_ {m} right } ) debe agruparse en algún (p in B. ) Por lo tanto, tiene una subsecuencia ( x_ {m_ {k}} rightarrow p. ) Como (p en B, ) la función (f ) es relativamente continua en (p ) sobre (B ) (por suposición). Por lo tanto, según el criterio secuencial ((§ 2), x_ {m_ {k}} rightarrow p ) implica (f left (x_ {m_ {k}} right) rightarrow f (p); ) es decir,

[y_ {m_ {k}} rightarrow f (p) in f [B]. ]

Por tanto, (q = f (p) ) es el punto de agrupación deseado de ( left {y_ {m} right }. Square )

Este teorema se puede utilizar para demostrar la compacidad de varios conjuntos.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

(1) Un segmento de línea cerrada (L [ overline {a}, overline {b}] ) en (E ^ {n} left (^ {*} text {y en otros espacios normativos} derecha) ) es compacto, porque, por definición,

[L [ overline {a}, overline {b}] = { overline {a} + t vec {u} | 0 leq t leq 1 }, text {donde} vec {u} = overline {b} - overline {a}. ]

Por lo tanto, (L [ overline {a}, overline {b}] ) es la imagen del intervalo compacto ([0,1] subseteq E ^ {1} ) debajo del mapa ( operatorname { } f: E ^ {1} rightarrow E ^ {n}, ) dada por (f (t) = overline {a} + t vec {u}, ) que es continua por el Teorema 3 de § 3. (¿Por qué?)

(2) El elipsoide sólido cerrado en (E ^ {3}, )

[ left {(x, y, z) | frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} + frac {z ^ {2}} {c ^ {2}} leq 1 right }, ]

es compacto, siendo la imagen de un globo compacto bajo un mapa continuo adecuado. Los detalles se dejan al lector como ejercicio.

lema ( PageIndex {1} )

Cada conjunto compacto no vacío (F subseteq E ^ {1} ) tiene un máximo y un mínimo.

Prueba

Según los teoremas 2 y 3 de §6, (F ) es cerrado y acotado. Por tanto, (F ) tiene un mínimo y un superior en (E ^ {1} ) (según el axioma de completitud), digamos, (p = inf F ) y (q = sup F. ) Queda por demostrar que (p, q en F. )

Suponga lo contrario, digamos, (q notin F. ) Entonces, por propiedades de suprema, cada globo (G_ {q} ( delta) = (q- delta, q + delta) ) contiene algo de ( x in B ) (específicamente, (q- delta

[( forall delta> 0) quad F cap G _ { neg q} ( delta) neq juego vacío; ]

es decir, (F ) agrupa en (q ) y por lo tanto debe contener (q ) (estando cerrado). Sin embargo, dado que (q notin F, ) esta es la contradicción deseada y se demuestra el lema. (cuadrado)

El siguiente teorema tiene muchas aplicaciones importantes en el análisis.

Teorema ( PageIndex {2} )

(Weierstrass).

(i) Si una función (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) es relativamente continua en un conjunto compacto (B subseteq A, ) entonces (f ) está acotado en (B; ) es decir, (f [B] ) está acotado.

(ii) Si, además, (B neq emptyset ) y (f ) es real ( left (f: A rightarrow E ^ {1} right), ) entonces (f [B] ) tiene un máximo y un mínimo; es decir, f alcanza un valor mayor y menor en algunos puntos de (B ).

Prueba

De hecho, según el teorema (1, f [B] ) es compacto, por lo que está acotado, como se afirma en ((i) ).

Si más (B neq emptyset ) y (f ) es real, entonces (f [B] ) es un conjunto compacto no vacío en (E ^ {1}, ) así que por Lema ( 1, ) tiene un máximo y un mínimo en (E ^ {1}. ) Así todo está probado. (cuadrado)

Nota 1. Este y los otros teoremas de esta sección son válidos, en particular, si (B ) es un intervalo cerrado en (E ^ {n} ) o un globo cerrado en (E ^ {n} left (^ { *} text {o} C ^ {n} right) ) (porque estos conjuntos son compactos - vea los ejemplos en §6). Sin embargo, esto puede fallar si (B ) no es compacto, por ejemplo, si (B = ( overline {a}, overline {b}). ) Para un contraejemplo, vea el problema 11 en el capítulo 3, §13.

Teorema ( PageIndex {3} )

Si una función (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho) ), es relativamente continua en un conjunto compacto (B subseteq A ) y es uno a uno en (B ) (es decir, cuando está restringido a (B )), entonces su inverso, (f ^ {- 1} ), es continuo en (f [B ] ).

Prueba

Para mostrar que (f ^ {- 1} ) es continuo en cada punto (q en f [B] ), aplicamos el criterio secuencial (Teorema 1 en §2). Por lo tanto, fijamos una secuencia ( left {y_ {m} right } subseteq f [B], y_ {m} rightarrow q in f [B] ), y demostramos que (f ^ { -1} left (y_ {m} right) rightarrow f ^ {- 1} (q) ).

Deje (f ^ {- 1} left (y_ {m} right) = x_ {m} ) y (f ^ {- 1} (q) = p ) de modo que

[y_ {m} = f left (x_ {m} right), q = f (p), text {y} x_ {m}, p in B. ]

Tenemos que demostrar que (x_ {m} rightarrow p ), es decir, que

[( forall varepsilon> 0) ( existe k) ( forall m> k) quad rho left (x_ {m}, p right) < varepsilon. ]

Buscando una contradicción, suponga que esto falla, es decir, su negación se mantiene. Entonces (ver Capítulo 1, §§1–3) hay un ( epsilon> 0 ) tal que

[( forall k) left ( existe m_ {k}> k right) quad rho left (x_ {m_ {k}}, p right) geq varepsilon, ]

donde escribimos “ (m_ {k} )” para “ (m )” para enfatizar que (m_ {k} ) puede ser diferente para diferentes (k ). Así por (1), fijamos algunos (m_ {k} ) para cada (k ) de modo que (1) se cumple, eligiendo paso a paso,

[m_ {k + 1}> m_ {k}, quad k = 1,2, ldots ]

Entonces el (x_ {m_ {k}} ) forma una subsecuencia de ( {x_ {m} } ), y el correspondiente (y_ {m_ {k}} = f (x_ {m_ {k }}) ) forman una subsecuencia de ( left {y_ {m} right } ). De ahora en adelante, por brevedad, dejemos que ( left {x_ {m} right } ) y ( left {y_ {m} right } ) denoten estas dos subsecuencias. Luego, como antes, (x_ {m} in B, y_ {m} = f left (x_ {m} right) in f [B] ), y (y_ {m} rightarrow q, q = f (p) ). Además, por (1),

[( forall m) quad rho left (x_ {m}, p right) geq varepsilon left (x_ {m} text {significa} x_ {m_ {k}} right) . ]

Ahora, como ( left {x_ {m} right } subseteq B ) y (B ) es compacto, ( left {x_ {m} right } ) tiene un (sub ) subsecuencia

[x_ {m_ {i}} rightarrow p ^ { prime} text {para algunos} p ^ { prime} in B. ]

Como (f ) es relativamente continua en (B ), esto implica

[f left (x_ {m_ {i}} right) = y_ {m_ {i}} rightarrow f left (p ^ { prime} right) ]

Sin embargo, la subsecuencia ( left {y_ {m_ {i}} right } ) debe tener el mismo límite que ( left {y_ {m} right } ), es decir, ( f (p) ). Así (f left (p ^ { prime} right) = f (p) ) de donde (p = p ^ { prime} ) (para (f ) es uno a uno en ( B )), entonces (x_ {m_ {i}} rightarrow p ^ { prime} = p ).

Sin embargo, esto contradice (2) y, por lo tanto, la prueba está completa. (cuadrado)

Ejemplo ( PageIndex {2} )

(3) Para una (n in N, ) fija (f: [0, + infty) rightarrow E ^ {1} ) por

[f (x) = x ^ {n}. ]

Entonces (f ) es uno a uno (estrictamente creciente) y continuo (siendo un monomio; ver §3). Por lo tanto, según el teorema 3, (f ^ {- 1} ) (la enésima función raíz) es relativamente continua en cada intervalo

[f = [a ^ {n}, b ^ {n}]. ]

por tanto en ([0, + infty). )

Vea también el Ejemplo (a) en §6 y el Problema 1 a continuación.

II. Continuidad uniforme. Si (f ) es relativamente continua en (B ), entonces, por definición,

[( forall varepsilon> 0) ( forall p in B) ( existe delta> 0) left ( forall x in B cap G_ {p} ( delta) right) quad rho ^ { prime} (f (x), f (p)) < varepsilon. ]

Aquí, en general, ( delta ) depende tanto de ( epsilon ) como de (p ) (vea el problema 4 en §1); es decir, dado ( epsilon> 0 ), algunos valores de ( delta ) pueden ajustarse a una p dada pero fallar (3) para otros puntos.

Sin embargo, puede ocurrir que uno y el mismo ( delta ) (dependiendo de ( epsilon ) solamente) satisfaga (3) para todos (p en B ) simultáneamente, de modo que tengamos el más fuerte fórmula

[( forall varepsilon> 0) ( existe delta> 0) ( forall p, x in B | rho (x, p) < delta) quad rho ^ { prime} (f (x), f (p)) < varepsilon. ]

Definición

Si (4) es verdadera, decimos que (f ) es uniformemente continua en (B ).

Claramente, esto implica (3), pero lo contrario falla.

Teorema ( PageIndex {4} )

Si una función (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho) ), es relativamente continua en un conjunto compacto (B subset A ), entonces (f ) también es uniformemente continua en (B ).

Prueba

(por contradicción). Suponga que (f ) es relativamente continuo en (B ), pero (4) falla. Entonces hay un ( epsilon> 0 ) tal que

[( forall delta> 0) ( existe p, x en B) quad rho (x, p) < delta, text {y} text {todavía} rho ^ { prime} (f (x), f (p)) geq varepsilon; ]

aquí (p ) y (x ) en ( delta ). Arreglamos tal ( epsilon ) y dejamos

[ delta = 1, frac {1} {2}, ldots, frac {1} {m}, dots ]

Entonces, para cada ( delta ) (es decir, cada (m )), obtenemos dos puntos (x_ {m}, p_ {m} in B ) con

[ rho left (x_ {m}, p_ {m} right) < frac {1} {m} ]

y

[ rho ^ { prime} left (f left (x_ {m} right), f left (p_ {m} right) right) geq varepsilon, quad m = 1,2 , ldots ]

Así obtenemos dos secuencias, ( left {x_ {m} right } ) y ( left {p_ {m} right } ), en (B ). Como (B ) es compacto, ( left {x_ {m} right } ) tiene una subsecuencia (x_ {m_ {k}} rightarrow q (q in B) ). Para simplificar, sea ( left {x_ {m} right } ) él mismo; por lo tanto

[x_ {m} rightarrow q, quad q in B. ]

Por tanto, por (5), se sigue fácilmente que también (p_ {m} rightarrow q ) (porque ( rho left (x_ {m}, p_ {m} right) rightarrow 0 ). la continuidad relativa supuesta de (f ) en (B ), se sigue que

[f left (x_ {m} right) rightarrow f (q) text {y} f left (p_ {m} right) rightarrow f (q) text {in} left (T , rho ^ { prime} right). ]

Esto, a su vez, implica que ( rho ^ { prime} left (f left (x_ {m} right), f left (p_ {m} right) right) rightarrow 0 ) , lo cual es imposible, en vista de (6). Esta contradicción completa la prueba. (cuadrado)

Ejemplo ( PageIndex {1} )

(a) Una función (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho) ), ic llamada mapa de contracción (en (A )) iff

[ rho (x, y) geq rho ^ { prime} (f (x), f (y)) text {para todos} x, y en A. ]

Cualquier mapa de este tipo es uniformemente continuo en A. De hecho, dado ( varepsilon> 0 ), simplemente tomamos ( delta = varepsilon ). Entonces ( forall x, p in A )

[ rho (x, p) < delta text {implica} rho ^ { prime} (f (x), f (p)) leq rho (x, p) < delta = varepsilon , ]

como se requiere en (3).

(b) Como caso especial, considere el mapa de valor absoluto (mapa de normas) dado por

[f ( overline {x}) = | overline {x} | text {on} E ^ {n} left (^ {*} text {u otro espacio normado} right). ]

Es uniformemente continuo en (E ^ {n} ) porque

[| | overline {x} | - | overline {p} | | leq | overline {x} - overline {p} | , text {es decir,} rho ^ { prime} (f ( overline {x}), f ( overline {p})) leq rho ( overline {x}, overline {p}) , ]

lo que muestra que (f ) es un mapa de contracción, por lo que se aplica el ejemplo (a).

(c) Otros ejemplos de mapas de contracción son

(1) mapas de constantes (ver §1, Ejemplo (a)) y

(2) mapas de proyección (ver la demostración del Teorema 3 en §3).

¡Verificar!

(d) Defina (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por

[f (x) = sin x ]

Por trigonometría elemental, (| sin x | leq | x | ). Entonces ( left ( forall x, p in E ^ {1} right) )

[ begin {alineado} | f (x) - f (p) | & = | sin x - sin p | & = 2 left | sin frac {1} {2} (x - p) cdot cos frac {1} {2} (x + p) right | & leq 2 left | sin frac {1} {2} (x - p) right | & leq 2 cdot frac {1} {2} | x - p | = | x - p | end {alineado}, ]

y (f ) es un mapa de contracciones nuevamente. Por tanto, la función seno es uniformemente continua en (E ^ {1} ); de manera similar para la función coseno.

(e) Dado ( conjunto vacío neq A subseteq (S, rho), ) define (f: S rightarrow E ^ {1} ) por

[
f (x) = rho (x, A) text {donde} rho (x, A) = inf _ {y in A} rho (x, y)
]

Es fácil demostrar que

[
( forall x, p in S) quad rho (x, A) leq rho (x, p) + rho (p, A)
]

es decir.,

[
f (x) leq rho (p, x) + f (p), text {o} f (x) - f (p) leq rho (p, x)
]

De manera similar, (f (p) - f (x) leq rho (p, x). ) Así

[
| f (x) - f (p) | leq rho (p, x)
]

es decir, (f ) es uniformemente continua (siendo un mapa de contracción).

(f) El mapa de identidad (f: (S, rho) rightarrow (S, rho), ) dado por

[
f (x) = x
]

es uniformemente continua en (S ) ya que

[
rho (f (x), f (p)) = rho (x, p) text {(¡un mapa de contracciones!)}
]

Sin embargo, incluso la continuidad relativa podría fallar si la métrica en el espacio de dominio (S ) no fuera la misma que en (S ) cuando se considera como el espacio de rango (por ejemplo, make ( rho ^ { prime} ) discreto!)

(g) Defina (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por

[
f (x) = a + b x quad (b neq 0).
]

Luego

[
left ( forall x, p in E ^ {1} right) quad | f (x) - f (p) | = | b | | x - p |;
]

es decir.,

[
rho (f (x), f (p)) = | b | rho (x, p).
]

Por lo tanto, dado ( varepsilon> 0, ) tome ( delta = varepsilon / | b |. ) Entonces

[
rho (x, p) < delta Longrightarrow rho (f (x), f (p)) = | b | rho (x, p) <| b | delta = varepsilon,
]

demostrando continuidad uniforme.

(h) Deje

[
f (x) = frac {1} {x} quad text {en} B = (0, + infty).
]

Entonces (f ) es continua en (B, ) pero no de manera uniforme. De hecho, podemos probar la negación de ((4), ) es decir

[
( existe varepsilon> 0) ( forall delta> 0) ( existe x, p in B) quad rho (x, p) < delta text {y} rho ^ { prime} (f (x), f (p)) geq varepsilon.
]

Tome ( varepsilon = 1 ) y cualquier ( delta> 0. ) Buscamos (x, p ) tal que

[
| x - p | < delta text {y} | f (x) - f (p) | geq varepsilon,
]

es decir.,

[
left | frac {1} {x} - frac {1} {p} right | geq 1,
]

Esto se logra tomando

[
p = min left ( delta, frac {1} {2} right), x = frac {p} {2}. quad ( text {¡Verificar!})
]

Por lo tanto, ((4) ) falla en (B = (0, + infty), ) pero se mantiene en ([a, + infty) ) para cualquier (a> 0 ).
(¡Verificar!)


Topología Primavera 2020

El contenido de los cursos de primer año del programa de Licenciatura en Matemáticas. En particular, se espera que cada alumno esté familiarizado con la noción de continuidad para funciones desde / hacia espacios euclidianos y con el contenido de los teoremas básicos correspondientes (Bolzano, Weierstrass, etc.). Además, es absolutamente esencial cierto grado de madurez científica para escribir pruebas rigurosas (y seguirlas cuando se presenten en clase).

Contenido

Una introducción a la topología, es decir, el dominio de las matemáticas que estudia cómo definir la noción de continuidad en una estructura matemática y cómo utilizarla para estudiar y clasificar estas estructuras.

Los temas cubiertos incluyen: espacios topológicos y métricos, continuidad, conectividad, compacidad, espacios de producto, axiomas de separación, espacios de cociente, homotopía, grupo fundamental, espacios de cobertura.


Contenido del libro de texto

1. Alcance de la toxicología
2. Evaluación de riesgos
3. Metas y biotransformación
4. Toxicocinética
5. Toxicidad hematovascular y vascular
6. Dermatotoxicidad
7. Neurotoxicidad
8. Hepatotoxicidad
9. Nefrotoxicidad
10. Técnicas in vivo e in vitro
11. Toxicidad pulmonar
12. Toxicidad reproductiva
13. Geno toxicidad
14. Carcinogenicidad

* Fuente de la foto: (CC BY-SA 2.5 http://en.wikipedia.org/wiki/Hep_G2#mediaviewer/File:HepG2.jpg)


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Capítulos 33 y # 8211 47 Estructura y función animal & # 8221 mediante & # 8220 Preservar la biodiversidad & # 8221

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Contenido Volumen 3

Capítulo 33: El cuerpo animal: forma y función básicas
Capítulo 34: Nutrición animal y sistema digestivo
Capítulo 35: El sistema nervioso
Capítulo 36: Sistemas sensoriales
Capítulo 37: El sistema endocrino
Capítulo 38: El sistema musculoesquelético
Capítulo 39: El sistema respiratorio
Capítulo 40: El sistema circulatorio
Capítulo 41: Regulación y excreción osmótica
Capítulo 42: El sistema inmunológico
Capítulo 43: Reproducción y desarrollo animal
Capítulo 44: Ecología y biosfera
Capítulo 45: Ecología de poblaciones y comunidades
Capítulo 46: Ecosistemas
Capítulo 47: Biología de la conservación y biodiversidad
Más Resúmenes de capítulos, preguntas de repaso, preguntas de pensamiento crítico, claves de respuestas, términos clave por capítulo, enlaces de aprendizaje complementarios integrados.

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Terminología y algunos resultados auxiliares

Notación

Se supone que todos los espacios topológicos considerados son Tikhonov.

Decimos que una familia ( mathcal ) de conjuntos tiene pedido ( le n ) si cada subfamilia ( mathcal subconjunto mathcal ) de cardinalidad (n + 2 ) tiene una intersección vacía (en otra terminología, la familia ( mathcal ) es punto- ((n + 1) )). La familia ( mathcal ) posee orden finito si tiene orden ( le n ) para algunos (n in omega ).

La familia ( mathcal ) de subconjuntos de un espacio X es (T_0 ) -separando si, para cada par de puntos distintos X, y de X, hay (U in mathcal ) que contiene exactamente uno de los puntos X, y.

Para un espacio localmente compacto X, ( alpha (X) ) denota la compactación de un punto de X. Denotamos el punto en el infinito de esta compactificación por ( infty _X ).

Espacios funcionales

Dado un espacio compacto K, por C(K) denotamos el espacio de Banach de funciones continuas de valor real en K, equipado con la norma supremum estándar.

Espacios dispersos

Un espacio X es disperso si ningún subconjunto no vacío (A subseteq X ) es denso en sí mismo.

Por un espacio disperso K, por Altura de Cantor-Bendixson ht(X) de K nos referimos al ordinal mínimo ( alpha ) tal que la derivada de Cantor-Bendixson (K ^ <( alpha)> ) del espacio K esta vacio. La altura de Cantor-Bendixson de un espacio disperso compacto es siempre un ordinal no límite.

Un mapa sobreyectivo (f: X rightarrow Y ) entre espacios topológicos se dice que es irreducible si no hay un subconjunto cerrado adecuado de X mapas en Y. Si X es compacto, por Kuratowski – Zorn Lemma, para cualquier mapa sobreyectivo (f: X rightarrow Y ), hay un subconjunto cerrado (C subseteq X ) tal que la restricción (f upharpoonright C ) irreducible.

Los siguientes hechos relacionados con mapas continuos de espacios compactos dispersos son bien conocidos, cf. la demostración de la Proposición 8.5.3 y el Ejercicio 8.5.10 (C) en [16].

Proposición 2.1

Dejar K sea ​​un espacio compacto disperso y sea ( varphi: K rightarrow L ) una sobreyección continua. Entonces, para cada ( alpha ) ordinal, tenemos (L ^ <( alpha)> subseteq varphi (K ^ <( alpha)>) ). En particular, (ht (L) le ht (K) ).

Proposición 2.2

Dejar K ser un espacio compacto disperso y sea ( varphi: K rightarrow L ) una sobreyección continua irreductible. Entonces (L '= varphi (K') ) y ( varphi upharpoonright (K < setminus> K ') ) es una biyección sobre (L < setminus> L' ).

Espacios compactos de Eberlein y Corson

Un espacio K es un Eberlein espacio compacto si K es homeomorfo a un subconjunto débilmente compacto de un espacio de Banach. De manera equivalente, un espacio compacto K es un Eberlein compactum si K se puede incrustar en el siguiente subespacio del producto ( mathbb ^ Gamma ):

Si K es homeomórfico a un subconjunto débilmente compacto de un espacio de Hilbert, entonces decimos que K es un uniforme Eberlein espacio compacto. Todos los compacta metrizables son Eberlein uniforme.

Un espacio compacto K es Corson compacto si, para algún conjunto ( Gamma ), K es homeomorfo a un subconjunto del ( Sigma ) -producto de líneas reales

Claramente, la clase de espacios compactos Corson contiene todo Eberlein compacta.

Espacios ( sigma _(X))

Dado un conjunto ( Gamma ) y (n en omega ), por ( sigma _( Gamma) ) denotamos el subespacio del producto (2 ^ Gamma ) que consta de todas las funciones características de conjuntos de cardinalidad ( le n ). El espacio ( sigma _( Gamma) ) es Eberlein uniforme y disperso de altura (n + 1 ).

Para (A in [ Gamma] ^ < le n> ), denotamos el vecindario abierto estándar ( < chi _B in sigma _( Gamma): A subconjunto B > ) de ( chi _A ) en ( sigma _( Gamma) ) por (V_ ).

Para simplificar la notación diremos que un espacio compacto K pertenece a la clase ( mathcal _n ) si K se puede incrustar en el espacio ( sigma _( Gamma) ) para algún conjunto ( Gamma ). Denotaremos la unión ( bigcup _ mathcal _n ) por ( mathcal _ <& lt omega> ). Trivialmente, si un espacio compacto K pertenece a cualquiera de las clases anteriores, entonces cada subconjunto cerrado de K también está en la misma clase. También se puede verificar fácilmente que la clase ( mathcal _ <& lt omega> ) se conserva tomando productos finitos, cf. [1, pág. 148].

Proposición 2.3

Para un espacio compacto K y (n in omega ), las siguientes condiciones son equivalentes:

K tiene un (T_0 ) -punto de separación-norte familia de subconjuntos clopen

K pertenece a la clase ( mathcal _n ).

Prueba

((ii) ( Rightarrow ) (i)) Suponga que K es un subespacio del espacio ( sigma _( Gamma) ) para algún conjunto ( Gamma ). Para ( gamma in Gamma ), sea (U_ gamma = ). Se puede verificar fácilmente que la familia () es un (T_0 ) -punto de separación-norte familia de subconjuntos clopen de K. (cuadrado )

Lema 2.4

Dejar K ser un subconjunto compacto infinito de ( sigma _( Gamma) ) para algunos conjuntos ( Gamma ) y (n in omega ). Luego K se puede incrustar en ( sigma _( kappa) ), donde ( kappa ) es el peso w(K) de K.

Prueba

Se sigue de la demostración del Lema 2.3 y del hecho bien conocido de que, para un espacio compacto infinito, la cardinalidad de la familia de subconjuntos abiertos de K está delimitado por w(K). (cuadrado )

Lema 2.5

Sea ( Gamma ) un conjunto infinito. Entonces, para cualquier (n, k in omega, k ge 1 ), la unión discreta de k copias de ( sigma _( Gamma) ) se inserta en ( sigma _( Gamma) ).

Prueba

Sea (X = > ) ser un conjunto disjunto con ( Gamma ). Para (f in sigma _( Gamma) ) y (i & lt k ) permitan que (f_i: Gamma cup X rightarrow 2 ) se defina por

Uno puede verificar fácilmente que, si asignamos a una función F de I-ésima copia de ( sigma _( Gamma) ), la función (f_i ), entonces obtendremos una incrustación de la unión discreta de k copias de ( sigma _( Gamma) ) en ( sigma _( Gamma cup X) ), una copia de ( sigma _( Gamma) ). (cuadrado )

Teorema 2.6

(Argyros y Godefroy) Cada Eberlein compactum K de peso (& lt omega _ omega ) y de altura finita pertenece a la clase ( mathcal _ <& lt omega> ).

Ejemplo 2.7

(Bell y Marciszewski [4]) Existe un Eberlein compactum K de peso ( omega _ omega ) y altura 3 que no pertenece a ( mathcal _ <& lt omega> ).

Conjuntos Luzin y sus variantes

Por lo general, un subconjunto L de línea real ( mathbb ) se llama Conjunto de luzin Si X es incontable y, para cada escaso subconjunto A de ( mathbb ) la intersección (A cap L ) es contable. Sea ( kappa le lambda ) números cardinales incontables. Diremos que un subconjunto L de un espacio polaco X es un (( lambda, kappa) ) -Conjunto de luzin Si X tiene la cardinalidad ( lambda ), y, para cada escaso subconjunto A de X la intersección (A cap L ) tiene la cardinalidad menor que ( kappa ). En esta terminología, la existencia de un conjunto Luzin en ( mathbb ) es equivalente a la existencia de un conjunto (( omega _1, omega _1) ) -Luzin.

Ya que, para cada espacio polaco X sin puntos aislados hay un isomorfismo de Borel (h: X rightarrow mathbb ) tal que (A subseteq X ) es exiguo si y solo si, h(A) es escaso en ( mathbb ), se deduce que la existencia de un conjunto (( lambda, kappa) ) -Luzin en tal X es equivalente a la existencia de un conjunto (( lambda, kappa) ) -Luzin en ( mathbb ) .

Se sabe que, para cada (n ge 1 ) la existencia de un (( omega _n, omega _1) ) -Luzin establecido en ( mathbb ) es consistente con ZFC, cf. [2, Lema 8.2.6].

Números cardinales ( mathfrak ) y ( mathrm ( mathcal ))

Recuerda que el pedido anticipado ( le ^ * ) en ( omega ^ omega ) está definido por (f le ^ * g ) if (f (n) le g (n) ) para todos menos finitamente (n in omega ). Un subconjunto A de ( omega ^ omega ) se llama ilimitado si no tiene límites con respecto a este pedido anticipado. En la Secta. 4, usaremos dos números cardinales relacionados con la estructura de la línea real

Es bien sabido que ( mathfrak le mathrm ( mathcal ) ) (cf. [2, Ch. 2]), y, para cada número natural (n ge 1 ), la declaración ( mathfrak = omega _n ) es consistente con ZFC, (cf. [17, Teorema 5.1]).

Aleksandrov duplicado ANUNCIO(K) de un espacio compacto K

Recuerda la construcción del duplicado de Aleksandrov. ANUNCIO(K) de un espacio compacto K.

(AD (K) = K times 2 ), puntos (X, 1), para (x in K ), están aislados en ANUNCIO(K) y vecindarios básicos de un punto (X, 0) tienen la forma ((U times 2) < setminus> <(x, 1) > ), donde U es un barrio abierto de X en K.

El siguiente hecho es bien conocido (cf. [10]).

Proposición 2.8

El duplicado de Aleksandrov ANUNCIO(K) de un espacio compacto Eberlein (uniforme) K es (uniforme) Eberlein compacto.

Prueba

Sin pérdida de generalidad podemos asumir que K es un subespacio de (c_0 ( Gamma) ) ( ( ell _2 ( Gamma) )), equipado con la topología puntual, para algún conjunto ( Gamma ). Te mostraremos que ANUNCIO(K) se puede incrustar en el espacio (c_0 ( Gamma cup K) ) ( ( ell _2 ( Gamma cup K) )). Para (x in K ) y (i = 0,1 ) defina una función (f_: Gamma cup K rightarrow mathbb ) como sigue:

Se puede verificar fácilmente que el mapeo ((x, i) mapsto f_) da la incrustación deseada. (cuadrado )


Universidad de Panjab M.Sc. Programa de estudios de Matemáticas 2020-21: puchd.ac.in

(ii) Secuencias y series: Secuencias convergentes (en espacios métricos). Subsecuencias. Secuencias de Cauchy. Límites superior e inferior de una secuencia de números reales. Teorema de Riemann sobre reordenamientos de series de números reales y complejos.

(iii) Continuidad: Límites de funciones (en espacios métricos). Funciones continuas. Continuidad y compacidad. Continuidad y conectividad. Funciones monotónicas.

Unidad- II:
(iv) La integral de Riemann-Stieltjes: Definición y existencia de la integral de Riemann-Stieltjes. Propiedades de la integral. Integración de funciones con valores vectoriales. Curvas rectificables.

(v) Secuencias y series de funciones: Problema de intercambio de procesos límite por secuencias de funciones. Convergencia uniforme. Convergencia y continuidad uniformes. Convergencia e integración uniformes. Convergencia y diferenciación uniformes. Familias equicontinuas de funciones, el teorema de Stone-Weierstrass.

Matemáticas 602S: Álgebra- I
Unidad- I:
Revisión de conceptos básicos de grupos con énfasis en ejercicios. Grupos de permutaciones, Permutaciones pares e impares, Clases conjugadas de permutaciones, Grupos alternos, Simplicidad de An, n & gt 4. Teorema de Cayley & # 8217s, Productos directos, Teorema fundamental para grupos abelianos finitos, Teoremas de Sylow y sus aplicaciones, Grupos simples finitos [Alcance como en los capítulos 2-4 Modern Algebra de Surjeet Singh y Qazi Zameerudin, octava edición y los capítulos 11, 24, 25 de Contemporary Abstract Algebra de Gallian, cuarta edición]

Unidad II:
Estudio de algunos grupos finitos, Grupos de orden p2, pq (p y q primos). Grupos resolubles, series normales y subnormales, series de composición, los teoremas de Schreier y Jordan Holder [Alcance como en los capítulos 6 de Álgebra moderna de Surjeet Singh y Qazi Zameerudin, octava edición y capítulo 7 de álgebra, vol. Yo de Lutero y Passi].

Revisión de conceptos básicos de anillos con énfasis en ejercicios. Polynomial rings, formal power series rings, matrix rings, the ring of Guassian Integers. [Scope as in Chapters 7, 8 and 9 of Modern Algebra by Surjeet Singh and Qazi Zameerudin, Eighth Edition , 2006].

Math 603S: Differential Equations

Unit-I:
Differential Equations Existence and uniqueness of solution of first order equations. Boundary value problems and Strum-Liouville theory. ODE in more than 2-variables. [Scope as in Chapter V of the book ‘An introduction to Ordinary Differential Equations’ by E.A.Coddington and Chapters X & XI of the book ‘Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems’ by W.E.Boyce and R.C.Diprima.]

Unit-II:
Partial differential equations of first order. Partial differential equations of higher order with constant coefficients. Partial differential equations of second order and their classification. [Scope as in Chapters I, II & III of the book ‘Elements of Partial Differential Equations’ by I.N.Sneddon].

Math 604S: Complex Analysis-I
Unit-I:
Complex plane, geometric representation of complex numbers, joint equation of circle and straight line, stereographic projection and the spherical representation of the extended complex plane. Topology on the complex plane, connected and simply connected sets. Complex valued functions and their continuity. Curves, connectivity through polygonal lines.Analytic functions, Cauchy-Riemann equations, Harmonic functions and Harmonic conjugates.Power series, exponential and trigonometric functions, arg z, log z, az and their continuous branches. (Scope as in “Foundations of Complex Analysis” by Ponnusamy S., Chapter 1, (§1.1-§ 1.5),Chapter 2 (§ 2.2, §2.3), Chapter 3, (§3.1-§3.5), Chapter 4, (§4.9).)

Unit-II:
Complex Integration, line integral, Cauchy’s theorem for a rectangle, Cauchy’s theorem in a disc, index of a point with respect to a closed curve, Cauchy’s integral formula, Higher derivatives, Morrera’s theorem, Liouville’s theorem, fundamental theorem of Algebra. The general form of Cauchy’s theorem. (Scope as in “Foundations of Complex Analysis” by Ponnusamy S., Chapter 4, (§4.1-§ 4.8), Chapter 6 (§ 6.4, §6.6).”Complex Analysis” by L/ V. Ahlfors, Chapter 4 (§1, 2, 4.1 to 4.5and §5.1)


Duality

I have already said that, given a set X with a quasi-uniformity U, seen with the induced topology, every compact saturated subset of X is closed in X –1 . This means that the cocompact topology on X is coarser than the topology of X –1 . Cuándo U es U0, the minimal compatible quasi-uniformity (see Proposition D), those two topologies coincide, as we now argue.

Proposition F. Let X be a locally compact topological space, and U be the minimal compatible quasi-uniformity U0. The topology induced by the dual quasi-uniformity U –1 on X coincides with the cocompact topology.

We expand the definition of R: R –1 [x] is the set of points y such that for every I, Si yQI luego xUI equivalently, such that for every I, Si xUI luego xQI in other words, it is the complement of QI, dónde QI is the union of the sets QI, II, y I is the collection of indices I tal que xUI. QI is compact saturated, so its complement R –1 [x] is open in the cocompact topology. This complement contains x (R –1 [x] always contains x), and is included in O. This shows that O is an open neighborhood, in the cocompact topology, of each of its points, so that O is open in the cocompact topology.

Por el contrario, deja O be any open subset of X in the cocompact topology. Its complement Q is compact saturated in X. By Lemma C, O is open in the topology induced by U –1 . ☐

We finally reach the result promised at the beginning of this post.

Theorem. Let X be a stably compact topological space. There is a unique quasi-uniformity U that induces the topology of X and such that the dual quasi-uniformity U –1 induces the cocompact topology, and this is the minimal compatible quasi-uniformity U0.

Proof. Existence is by Proposition F. In order to show uniqueness, we fix a quasi-uniformity U that induces the topology of X and such that the dual quasi-uniformity U –1 induces the cocompact topology. By Proposition D’, U contains U0, so we concentrate on showing the reverse inclusion.

Let R be any entourage of U. There is an entourage S en U tal que S o SR. For every xX, it follows that S –1 [x] × S[x] is included in R: every pair (y,z) in S –1 [x] × S[x] is such that (y,x) ∈ S and (x,z) ∈ S, so (y,z) ∈ R. S –1 [x] is an open neighborhood of x en X d since U –1 induces the cocompact topology on X, y S[x] is an open neighborhood of x en X since U induces the original topology on X. Therefore R is an open neighborhood of (x,x) in X d × X, for every xX. En otras palabras, R is an open neighborhood of (=) in X d × X. By Proposition E’, R en U0, and this finishes the proof. ☐


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Ver el vídeo: Continuidad Uniforme. Ejemplo 5 (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Muti

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