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8.1: Medición de ángulos


Un ángulo es una medida del tamaño de la abertura de dos líneas que se cruzan. La VÉRTICE es el punto de intersección, mientras que las líneas que forman la abertura se llaman LADOS.

El ángulo se puede llamar por

3 letras con el vértice en el medio: ( angle ABC ) o solo por el vértice ( angle B ) o por un número o letra colocada dentro del ángulo.

Hay 360 grados en un círculo. Los ángulos se miden en grados.

A Ángulo recto es de 90 grados o 1/4 de un círculo. A Ángulo recto tendrá el siguiente aspecto.

Un Ángulo agudo es un ángulo de menos de 90 grados. Los siguientes son ejemplos de ángulos agudos

Un Ángulo obtuso es un ángulo superior a 90 grados e inferior a 180 grados. Los siguientes son ejemplos de ángulos obtusos.

A Ángulo recto es un ángulo igual a 180 grados.

Ángulos verticales

Cuando dos líneas rectas se cruzan, forman cuatro ángulos.

Digamos que ( angle A ) es de 65 grados, ( angle B ) es de 115 grados, ( angle C ) es de 65 grados y ( angle D ) es de 115 grados

¿Notaste que los ángulos opuestos tienen la misma medida? Los ángulos opuestos también se llaman Ángulos verticales. Cuando dos líneas rectas se cruzan o se cruzan, el Ángulos verticales están siempre igual. Un ángulo recto es de 180 grados.

Los ángulos W y X forman una línea recta, sumados juntos miden 180 grados.

También se les conoce como Ángulos adyacentes. Los ángulos adyacentes suman 180 grados. Los ángulos adyacentes también son

  • ( ángulo Y ) y ( ángulo Z ),
  • ( ángulo W ) y ( ángulo Y )
  • ( ángulo X ) y ( ángulo Z ).

Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180 grados.

Las líneas Z e Y son paralelas entre sí. La línea P que cruza ambas líneas se llama Transversal.

( angle C ) y ( angle F ) se llaman Alternar angulos interiores; Son iguales en medida.

( angle D ) y ( angle E ) también se llaman Alternar angulos interiores.

Con el ángulo de 70 grados, ( angle P ) será igual a 110 grados, su total es igual a 180 grados.

  • ( angle P ) y ( angle Q ) son ángeles opuestos, por lo que equivalen a 110 grados porque los ángulos verticales son iguales entre sí.
  • ( angle P ) y ( angle T ) y los ángulos correspondientes para que ambos sean iguales a 110 grados.
  • ( angle W ) es igual a 70 grados porque ( angle T ) más ( angle W ) debe ser igual a un total de 180 grados.

8.1: Medición de ángulos

En matemática, la palabra "trigonometría" se obtiene de las dos palabras griegas donde "trigon" y "metron", que significa "medir los lados de un triángulo". Entonces, las funciones trigonométricas expresan la relación entre un ángulo de un triángulo rectángulo y las razones de sus dos lados, las funciones trigonométricas también se conocen como funciones de ángulo. Generalmente, el seno, el coseno y la tangente se utilizan en las matemáticas modernas en comparación con la cosecante, la secante y la cotangente. Ahora, cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene una función inversa correspondiente conocida como función trigonométrica inversa.

Hay una serie de ecuaciones e identidades trigonométricas que denotan la relación entre las funciones y ayudan a encontrar los ángulos. En este artículo, estudiaremos el concepto de triángulo, razones trigonométricas y funciones junto con varios ángulos y grados de medición.

Concepto básico de triángulo

  • Un triángulo tiene 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos.
  • La suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es siempre igual a 180 °, se conoce como la propiedad de suma de ángulos de un triángulo.
  • La diferencia entre la longitud de dos lados es siempre menor que la del tercer lado.
  • El área del triángulo es 1/2 × base × altura
  • Un triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto. Un ángulo recto es un ángulo de tamaño de 90 °.
  • Un triángulo obtuso: tiene un ángulo obtuso. Un ángulo obtuso es un ángulo de tamaño superior a 90 ° pero inferior a 180 °.
  • Un triángulo agudo: tiene ángulos agudos menores a 90 ° pero mayores a 0 °.

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos lados (distintos de la hipotenusa) de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado del lado hipotenusa. O en otras palabras, la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y es opuesto al ángulo de 90 °.

hipotenusa 2 = perpendicular 2 + base 2

O bien c 2 = a 2 + b 2

Donde a es el lado perpendicular, b es la base y c es el lado de la hipotenusa

Nota: el teorema de Pitágoras solo se aplica a triángulos rectángulos.

Prueba del teorema de Pitágoras:

Dado: Un triángulo rectángulo ABC, cuyo ángulo recto está en B.



Demostrar: AC 2 = AB 2 + BC 2

Construcción: Construya una línea desde el ángulo B a la línea AC de manera que forme un ángulo de 90 ° con AC.

Prueba:

Como sabemos eso, △ ADB

△ ABC

Por lo tanto, AD / AB = AB / AC (lados correspondientes de triángulos similares)

O, AB 2 = AD × AC …………… (1)

Además, △ BDC

△ ABC

Por lo tanto, CD / BC = BC / AC (lados correspondientes de triángulos similares)

O, BC 2 = CD × AC …………… (2)

Al sumar las ecuaciones (1) y (2) obtenemos,

AB 2 + BC 2 = AD × AC + CD × AC

AB 2 + BC 2 = AC (AD + CD)

Dado que, AD + CD = AC

Entonces, AC 2 = AB 2 + BC 2

Por lo tanto probado

Relaciones trigonométricas

En trigonometría, hay 6 razones que se utilizan para encontrar los ángulos, se conocen como funciones trigonométricas. Y estas seis funciones trigonométricas son seno, coseno, secante, co-secante, tangente y co-tangente.

Las funciones trigonométricas se extraen utilizando el teorema de Pitágoras y los triángulos rectángulos. Las razones trigonométricas son:

sin θ = P / H

cos θ = B / H

tan θ = P / B = sin θ / cos θ



cot θ = 1 / tan θ = cos θ / sin θ = B / P

cosec θ = 1 / sin θ = H / P

seg θ = 1 / cos θ = H / B

La identidad pitagórica son aquellas identidades que se utilizan para mostrar el teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas.

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + tan 2 θ = sin 2 θ

1 + cuna 2 θ = cosec 2 θ


seg θ = 1 / cos θ

cot θ = 1 / tan θ

sin θ = 1 / cosec θ

cos θ = 1 / seg θ

tan θ = 1 / cot θ

Las identidades de cofunción indican la relación entre sin, cos, tan, cot, sec y cosec. El valor de una función trigonométrica de un ángulo es igual al valor de la cofunción del complemento. Debe recordar esto & # 8216que un complemento se define como dos ángulos cuya suma es 90 ° & # 8217.

sin (90 - θ) = cos θ

cos (90 - θ) = sin θ

bronceado (90 - θ) = cot θ

cuna (90 - θ) = tan θ

sec (90 - θ) = cosec θ

cosec (90 - θ) = seg θ

sin (x + y) = sinx acogedor + cosx siny

cos (x + y) = cosx acogedor - sinx siny

tan (x + y) =

sin (x - y) = sinx acogedor - cosx siny

cos (x - y) = cosx acogedor + sinx siny

tan (x - y) =

cuna (x + y) =

cuna (x & # 8211 y) =


Doble, significa cuando el tamaño del ángulo es el doble del anterior.

sin (2x) = 2 sinx cosx =

cos (2x) = cos2x - sin2x =

cos (2x) = 2 cos2x - 1 = 1-2 sin2x

bronceado (2x) =

seg (2x) =

sin 3x = 3 sinx - 4 sin3x

cos 3x = 4 cos3x-3 cos x

tan 3x =

sinx + siny =



sinx & # 8211 siny =

cosx + acogedor =

cosx & # 8211 acogedor =

Medición de ángulos

El ángulo es una medida de rotación de un rayo dado desde su punto inicial. El rayo original se conoce como el lado inicial del ángulo y la posición final del rayo después de la rotación se conoce como el lado terminal. El punto de rotación se conoce como vértice. Si la dirección de rotación es en sentido antihorario, entonces se dice que el ángulo es & # 8216 + & # 8217ive y si la dirección de rotación es en sentido horario, entonces el ángulo es & # 8216 - & # 8216ive. En trigonometría, el valor del ángulo varía de 0 a 360.

Medida de grados:

En general, podemos medir un ángulo determinando la cantidad de rotación que toma desde el lado inicial hasta el lado terminal. Entonces, podemos medir un ángulo usando grados. Una medida de un grado (1 °) equivale a una rotación de 1/360 de una revolución completa. Aquí, una revolución se usa para medir un ángulo que se crea cuando el lado inicial gira alrededor de su vértice hasta que alcanza nuevamente su posición inicial.

Cuando medimos un ángulo, es conveniente marcar grados en la circunferencia de un círculo. Por lo tanto, en una revolución completa, el ángulo es de 360 ​​°, en media revolución, el ángulo es de 180 °, en un cuarto de revolución, el ángulo es de 90 °, y así sucesivamente.


un grado = rotación de (1/360) de una revolución completa

1 ° = 60 minutos

1° = 60′

1 minuto = 60 segundos

1′ = 60”

Medida en radianes:

También podemos medir un ángulo usando radianes. Una medida en radianes es la razón entre la longitud de un arco circular y el radio del arco. Dado que radianes es la razón entre una longitud y la longitud, el resultado es un número puro que no necesita ningún símbolo de unidad.

1 radianes = 1 c

1 radianes = Ángulo subtendido por un arco de longitud unitaria en el punto central del círculo.

1 unidad de longitud de arco = 1 radianes

2 unidades de longitud de arco = 2 radianes

2π unidad de longitud del arco (revolución completa) = 2π radianes

1 revolución completa = 360 ° = 2π c

360 ° = 2π radianes

En un círculo, si el radio del círculo es r, una longitud de arco l subtiende un ángulo θ en el centro, entonces θ (en radianes) = l / ro l = rθ. Donde l = longitud del arco y r = radio del círculo.

Relación entre grados y radianes:

Como sabemos, un círculo subtiende en su centro un ángulo cuya medida es tanto de 2π radianes como de 360 ​​°.

entonces 1 radianes = 180 ° / π = 57 ° 16 & # 8242 (aprox.)

también, 1 ° = π / 180 = 0.0174 (aprox)

Ángulo en radianes = Ángulo en grados x π / 180

o

Ángulo en grados = Ángulo en radianes x π / 180

Problemas de muestra

Pregunta 1. Convierta 90 grados a radianes.

Dado, 90 °, es decir, el ángulo

Como sabemos eso,

Ángulo en radianes = Ángulo en grados x (π / 180)

= 90 x (π / 180)

= π / 2

Por tanto, 90 ° es igual a π / 2 en radianes.

Pregunta 2. Convierta π / 6 en grados.

Pregunta 3. Convierta 15 grados a radianes.

Usando la fórmula anterior,

obtenemos, 15 x π / 180

= π / 12

Pregunta 4. Si cos x = -4/5 y x se encuentra en el tercer cuadrante, encuentre el valor de sin x, tan x.

Dado que cos x = -4/5 y se encuentra en el tercer cuadrante

Entonces, usando la identidad sin 2 θ + cos 2 θ = 1, obtenemos

sin 2 θ = 1 & # 8211 cos 2 θ

sin 2 x = 1 & # 8211 (-4/5) 2

= 1 – (16/25)

= (25 – 16)/25

= 9/25

sin x = ± 3/5

Se da que x se encuentra en el tercer cuadrante
Entonces, sin x = -3/5

Ahora encontramos tan x

Entonces, como sabemos que tan x = sin x / cos x

Entonces, tan x = -3/5 /-4/5 = 3/4

Pregunta 5. Halla el valor de sen 21 π / 2

Según la pregunta tenemos que encontrar el valor del pecado 21 π / 2

sin 21π / 2 = sin (10π + π / 2) = sin π / 2 = 1

Pregunta 6. A triángulo rectángulo ABC, rectángulo en B, hipotenusa AC = 10 cm, base BC = 2 cm y perpendicular AB = 5 cm y si ∠ACB = θ, entonces encuentra el valor de todas las razones trigonométricas.

Dado que en el triángulo ABC

Hipotenusa AC = 10 cm

Base BC = 2 cm

AB perpendicular = 5 cm

Como sabemos que

sin θ = P / H = 5/10 = 1/2

cos θ = B / H = 2/10 = 1/5

tan θ = P / B = 5/2

cuna θ = B / P = 2/5

cosec θ = H / P = 10/5 = 2

seg θ = H / B = 10/2 = 5

Pregunta 7. Encuentre el valor de cot θ si sin θ = 10 y cos θ = 5.

Dado que sin θ = 10 y cos θ = 5

Tenemos que encontrar la cuna θ

Como sabemos que cot θ = cosθ / sinθ

cuna θ = 5/10

cuna θ = 1/5

Pregunta 8. Encuentre el valor de cosec θ si sin θ = 10.

Dado que sin θ = 10

Tenemos que encontrar cosec θ

Como sabemos que cosec θ = 1 / sinθ

Entonces, cosec θ = 1/10

Pregunta 9. A triángulo rectángulo ABC, rectángulo en B, hipotenusa AC = 20 cm, base BC = 5 cm y perpendicular AB = 10 cm y si ∠ACB = θ, entonces encuentra el valor tanθ y cos θ.

Dado que en el triángulo ABC

Hipotenusa AC = 20 cm

Base BC = 5 cm

AB perpendicular = 10 cm

Como sabemos que

sin θ = P / H = 10/20 = 1/2

cos θ = B / H = 5/20 = 1/4

tan θ = P / B = 10/5 = 2

Pregunta 10. Encuentre el valor de tan θ si sin θ = 30 y cos θ = 5.

Dado que sin θ = 30 y cos θ = 5

Tenemos que encontrar tan θ

Como sabemos que tan θ = sinθ / cosθ

tan θ = 30/5 = 6


Imagen 1/12 a 12/12 Inclinación del techo
Paso 7/12

Tabla de grados de inclinación del techo
1-12 4,76 y grados
2-12 9.46 y grados
3-12 14.04 y grados
4-12 18,43 y grados
5-12 22,62 y grados
6-12 26,57 grados
7-12 30,26 y grados
8-12 33,69 y grados
9-12 36,87 grados
10-12 39.81 & grados
11-12 42,51 y grados
12-12 45 y grados

Esta es nuestra calculadora de inclinación que convertirá la inclinación en ángulo o de ángulo en inclinación para cálculos de pendiente de techo de medio grado. Ingrese cualquier paso o fracción de paso para encontrar el ángulo. Ingrese cualquier ángulo o fracción de ángulo para encontrar el paso.


Resumen de la lección 14

Cuando dos líneas se cruzan, los ángulos verticales son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, sus medidas suman 180 ^ circ. Por ejemplo, en esta figura los ángulos 1 y 3 son iguales, los ángulos 2 y 4 son iguales, los ángulos 1 y 4 son suplementarios y los ángulos 2 y 3 son suplementarios.

Cuando dos líneas paralelas son cortadas por otra línea, llamada transversal, dos pares de Alternar angulos interiores son creados. ("Interior" significa en el interior, o entre, las dos líneas paralelas). Por ejemplo, en esta figura los ángulos 3 y 5 son ángulos interiores alternos y los ángulos 4 y 6 también son ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos son iguales porque una rotación de 180 ^ circ alrededor del punto medio del segmento que une sus vértices lleva cada ángulo al otro. Imagina un punto M a medio camino entre las dos intersecciones. ¿Puedes ver cómo al girar 180 ^ circ alrededor de M, el ángulo 3 se convierte en el ángulo 5?

Usando lo que sabemos sobre ángulos verticales, ángulos adyacentes y ángulos alternos internos, podemos encontrar las medidas de cualquiera de los ocho ángulos creados por una transversal si conocemos solo uno de ellos. Por ejemplo, comenzando con el hecho de que el ángulo 1 es 70 ^ circ usamos ángulos verticales para ver que el ángulo 3 es 70 ^ circ, luego usamos ángulos alternos internos para ver que el ángulo 5 es 70 ^ circ, luego usamos el hecho de que el ángulo 5 es suplementario al ángulo 8 para ver que el ángulo 8 es 110 ^ circ ya que 180 -70 = 110. Resulta que solo hay dos medidas diferentes. En este ejemplo, los ángulos 1, 3, 5 y 7 miden 70 ^ circ, y los ángulos 2, 4, 6 y 8 miden 110 ^ circ.


Hallar el ángulo de elevación

El ángulo enmarcado por la línea de visión y la horizontal (línea desde el observador y el punto vertical del objeto) se conoce como ángulo de elevación. Puede estimarse a partir de los valores conocidos de altura y distancia del objeto. En otras palabras, los ángulos de elevación o inclinación son ángulos por encima de la horizontal. Como mirar desde el nivel del suelo hacia la parte superior de un asta de bandera. Utilice esta calculadora en línea para encontrar el ángulo de elevación ingresando los valores de altura y distancia del objeto.


Cómo leer una cinta métrica

Gino Colucci es coautor (a) de este artículo. Gino Colucci es especialista en mejoras para el hogar y propietario de Crackerjacks Handyman Services (no es un contratista autorizado) en Chandler, Arizona. Crackerjacks Handyman Services ofrece una solución eficaz y económica para las necesidades de reparación y mantenimiento comerciales y residenciales, y se especializa en proyectos más pequeños. Crackerjacks Handyman Services tiene un seguro de responsabilidad civil y todos los técnicos pasan por una verificación de antecedentes.

Hay 7 referencias citadas en este artículo, que se pueden encontrar en la parte inferior de la página.

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Cuando se trata de construcción y artesanía, tomar medidas precisas puede marcar la diferencia entre un excelente producto terminado y uno insatisfactorio. Afortunadamente, con el enfoque adecuado, usar una cinta métrica puede ser una forma rápida y fácil de obtener la información que necesita sobre su proyecto. Saber cómo usar y leer tanto una medida retráctil como una cinta métrica tradicional estilo cinta puede ser un activo importante para cualquiera que trabaje con sus manos, ¡así que aprenda hoy y comience a medir!


8.1: Medición de ángulos

Postulados y teoremas de amp

Capítulo 2 Un sistema geométrico

Postulado 2-1 A través de dos puntos cualesquiera hay exactamente una línea.

Postulado 2-2 A través de tres puntos cualesquiera que no estén en la misma línea, hay exactamente un plano.

Postulado 2-3 Una línea contiene al menos dos puntos.

Postulado 2-4 Un plano contiene al menos tres puntos que no están en la misma línea.

Postulado 2-5 Si dos puntos se encuentran en un plano, entonces toda la línea que contiene esos dos puntos se encuentra en ese plano.

Postulado 2-6 Si dos planos se cruzan, entonces su intersección es una línea.

Teorema 2-1 Si hay una línea y un punto que no están en la línea, entonces hay exactamente un plano que los contiene.

Teorema 2-2 Si dos rectas se cruzan, entonces exactamente un plano contiene ambas rectas.

Capítulo 3 Medición

Postulado 3-1 Postulado de la regla Los puntos de cualquier recta se pueden emparejar con números reales de modo que dados dos puntos cualesquiera P
y Q en la línea, P corresponde a cero y Q corresponde a un número positivo.

Postulado 3-2 Postulado de la distancia Para dos puntos cualesquiera en una línea y una unidad de medida dada, hay un único positivo
número llamado la medida de la distancia entre los dos puntos.

Postulado 3-3 Postulado de la suma de segmentos Si la línea PQR, entonces PQ + RQ = PR

Teorema 3-1 Cada segmento tiene exactamente un punto medio.

Teorema 3-2 La congruencia de segmentos es reflexiva, simétrica y transitiva.

Teorema 3-3 Teorema del punto medio Si M es el punto medio de la línea PQ, entonces la línea PM es congruente con la línea MQ

Teorema 3-4 Teorema de la bisectriz Si ​​la línea PQ se biseca en el punto M, entonces la línea PM es congruente con la línea MQ

Capítulo 4 Ángulos y perpendiculares

Postulado 4-1 Postulado de la medida de ángulos Para cada ángulo hay un número positivo único entre 0 y 180 llamado
la medida en grados del ángulo

Postulado 4-2 Postulado del transportador Dado cualquier rayo en el borde de un semiplano, g para cada número positivo r entre 0
y 180 hay exactamente un rayo en el semiplano tal que la medida en grados del ángulo formado por
los dos rayos es r.

Postulado 4-3 Postulado de la suma de ángulos Si R está en el exterior del ángulo PQS, entonces la medida del ángulo PQR + el
medida del ángulo RQS = la medida del ángulo PQS

Postulado 4-4 Suplemento de postulado Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son ángulos suplementarios.

Teorema 4-1 La congruencia de ángulos es reflexiva, simétrica y transitiva.

Teorema 4-2 Si dos ángulos son suplementarios al mismo ángulo, entonces son congruentes.

Teorema 4-3 Si dos ángulos son suplementarios a dos ángulos congruentes, entonces los dos ángulos son congruentes con cada uno
otro.

Teorema 4-4 Si dos ángulos son complementarios del mismo ángulo, entonces son congruentes entre sí.

Teorema 4-5 Si dos ángulos son complementarios a dos ángulos congruentes, entonces los dos ángulos son congruentes con cada uno
otro.

Teorema 4-6 Si dos ángulos son ángulos rectos, entonces los ángulos son congruentes.

Teorema 4-7 Si un ángulo en un par lineal es un ángulo recto, entonces el otro ángulo es un ángulo recto.

Teorema 4-8 Si dos ángulos son congruentes y suplementarios, entonces cada ángulo es un ángulo recto.

Teorema 4-9 Si dos rectas que se intersecan forman un ángulo recto, entonces forman cuatro ángulos rectos.

Teorema 4-10 Si dos ángulos son verticales, entonces son congruentes.

Teorema 4-11 Si dos rectas son perpendiculares, entonces forman cuatro ángulos rectos.

Teorema 4-12 Si un punto está en una línea en un plano dado, entonces hay exactamente una línea en ese plano perpendicular a la
línea dada en el punto dado.

Teorema 4-13 Dos rectas que se intersecan son perpendiculares si y solo si forman ángulos adyacentes congruentes.

Teorema 4-14 Área de un triángulo Si un triángulo tiene un área de A unidades cuadradas, una base de B unidades y un correspondiente
altitud de h unidades, luego A = 1 / 2bh.

Capítulo 5 Paralelos

Postulado 5-1 Postulado paralelo Si hay una línea y un punto que no está en una línea, entonces hay exactamente una línea que atraviesa el
punto que es paralelo a la línea dada.

Teorema 5-1 Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente.

Teorema 5-2 Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente.

Teorema 5-3 Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos interiores consecutivos es
suplementario.

Teorema 5-4 Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente.

Teorema 5-5 En un plano, si una línea es perpendicular a una de dos líneas paralelas, entonces es perpendicular a la otra.

Teorema 5-6 En un plano, si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que un par de ángulos alternos internos son congruentes,
entonces las dos líneas son paralelas.

Teorema 5-7 En un plano, si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces
las dos líneas son paralelas.

Teorema 5-8 En un plano, si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que un par de ángulos interiores consecutivos es
suplementario, entonces las líneas son paralelas.

Teorema 5-9 En un plano, si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que un par de ángulos alternos externos son congruentes,
entonces las líneas son paralelas.

Teorema 5-10 En un plano, si dos líneas son perpendiculares a la misma línea, entonces las dos líneas son paralelas.

Teorema 5-11 Dos rectas tienen la misma pendiente si y solo si son paralelas y no verticales.

Teorema 5-12 Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es -1.

Capítulo 6 Triángulos

Postulado 6-1 SSS Si cada lado de un triángulo es congruente con el lado correspondiente de otro triángulo, entonces el
los triángulos son congruentes.

Postulado 6-2 SAS Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes con los lados correspondientes y
incluido el ángulo de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Postulado 6-3 ASA Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con los ángulos correspondientes y
lado incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema 6-1 Teorema de la suma de ángulos La suma de las medidas en grados de los ángulos de un triángulo es 180.

Teorema 6-2 Si un triángulo es un triángulo rectángulo, entonces los ángulos agudos son complementarios.

Teorema 6-3 Si un triángulo es equiangular, entonces la medida en grados de cada ángulo es 60.

Teorema 6-4 Teorema del ángulo exterior Si un ángulo es un ángulo exterior de un triángulo, entonces su medida es igual a la suma
de las medidas de los dos ángulos interiores remotos.

Teorema 6-5 Teorema de desigualdad Para cualquier número ayb, a & gt b si y solo si hay un número positivo c tal que
a = b + c.

Teorema 6-6 Si un ángulo es un ángulo exterior de un triángulo, entonces su medida es mayor que la medida de cualquiera de los
Angulo interior.

Teorema 6-7 La congruencia de triángulos es reflexiva, simétrica y transitiva.

Teorema 6-8 AAS Si dos ángulos y un lado no incluido de un triángulo son congruentes con los ángulos correspondientes
y el lado no incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Capítulo 7 Más sobre triángulos

Postulado 7-1 HL Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con los lados correspondientes de otro
triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema 7-1 Teorema del triángulo isósceles Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces el ángulo opuesto a esos lados
son congruentes.

Teorema 7-2 Un triángulo es equilátero si y solo si es equiangular.

Teorema 7-3 Cada ángulo de un triángulo equilátero tiene una medida en grados de 60.

Teorema 7-4 Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a esos ángulos son congruentes.

Teorema 7-5 HA Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con el correspondiente
hipotenusa y ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema 7-6 LL Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes con los catetos correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces
los triángulos son congruentes.

Teorema 7-7 LA Si un cateto y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con el cateto correspondiente y el ángulo agudo
ángulo de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema 7-8 Si las medidas de dos lados de un triángulo son desiguales, entonces las medidas de los ángulos opuestos a las
los lados son desiguales en el mismo orden.

Teorema 7-9 Si la medida de dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces las medidas de los lados opuestos a las
los ángulos son desiguales en el mismo orden.

Teorema 7-10 Un segmento es el segmento más corto desde un punto a una línea si y solo si es el segmento perpendicular a
la línea.

Teorema 7-11 Un segmento es el segmento más corto desde un punto a un plano si y solo si es un segmento perpendicular a
el avión.

Teorema 7-12 Desigualdad del triángulo La suma de las medidas de dos lados cualesquiera de otro triángulo y la medida del
los ángulos incluidos son desiguales, entonces las medidas del tercer lado son desiguales en el mismo orden.

Teorema 7-13 Teorema de Hidge Si dos lados de un triángulo son congruentes con dos lados de otro triángulo y la
las medidas de los ángulos incluidos son desiguales, entonces las medidas de los terceros lados son iguales en el mismo
pedido.

Teorema 7-14 Inverso del teorema de la bisagra Si dos lados de un triángulo son congruentes con dos lados de otro
triángulo y las medidas de los terceros lados son desiguales, entonces se incluyen las medidas de los ángulos
entre los pares de lados congruentes son desiguales en el mismo orden.

Capítulo 8 Polígonos

Teorema 8-1 Si un polígono convexo tiene norte lados, y S es la suma de las medidas en grados de sus ángulos,
luego S = (norte - 2)180.

Teorema 8-2 Si un polígono es convexo, entonces la suma de las medidas en grados de los ángulos exteriores, uno en cada vértice,
es 360.

Teorema 8-3 Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces una diagonal lo separa en dos triángulos congruentes.

Teorema 8-4 Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus ángulos opuestos son congruentes.

Teorema 8-5 Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus lados opuestos son congruentes.

Teorema 8-6 Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus diagonales se bisecan entre sí.

Teorema 8-7 Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema 8-8 Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema 8-9 Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan entre sí, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema 8-10 Si un cuadrilátero es un rectángulo, entonces sus diagonales son congruentes.

Teorema 8-11 Si un cuadrilátero es un rombo, entonces cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos.

Teorema 8-12 Si un cuadrilátero es un rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares.

Teorema 8-13 Si un trapezoide es isósceles, entonces cada par de ángulos de base es congruente.

Teorema 8-14 Si un trapezoide es isósceles, entonces su diagonal es congruente.

Teorema 8-15 Si un cuadrilátero es un trapezoide, entonces la mediana es paralela a las bases y su medida es la mitad de la
suma de las medidas de las bases.

Teorema 8-16 Si un segmento es un apotema de un polígono regular, entonces es perpendicular a un lado del polígono en el
punto de tangencia con el círculo inscrito.

Capítulo 9 Similitud

Postulado 9-1 AA Semejanza Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos correspondientes de otro
triángulo, entonces los triángulos son similares.

Teorema 9-1 Igualdad de productos cruzados Para cualquier número ayc, y cualquier número distinto de cero byd, a / b = c / d si
y solo si ad = bc

Teorema 9-2 Propiedades de suma y resta de proporciones

a / b = c / d si y solo si a + b / b = c + d / d
a / b = c / d si y solo si a-b / b = c-d / d

Teorema 9-3 Propiedad de sumatoria de proporciones a / b = c / d si y solo si a / b = a + c / b + do c / d a + c / b + d

Teorema 9-4 Semejanza SSS Si hay una correspondencia entre los dos triángulos de modo que las medidas de sus
los lados correspondientes son proporcionales, entonces los dos triángulos son similares.

Teorema 9-5 Semejanza SAS Si las medidas de dos lados de un triángulo son proporcionales a las medidas de dos
lados correspondientes de otro triángulo, y los ángulos incluidos son congruentes, entonces los triángulos son
similar

Teorema 9-6 Si una línea es paralela a un lado de un triángulo e interseca los otros dos lados, entonces separa los lados
en segmentos de longitudes proporcionales.

Teorema 9-7 Si una línea interseca dos lados de un triángulo y separa los lados en segmentos de longitudes proporcionales,
entonces la línea es paralela al tercer lado.

Teorema 9-8 Si un segmento tiene como puntos finales los puntos medios de dos lados de un triángulo, entonces es paralelo al tercero.
lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado.

Teorema 9-9 Si tres rectas paralelas intersecan dos transversales, entonces dividen la transversal proporcionalmente.

Teorema 9-10 Si tres rectas paralelas cortan segmentos congruentes en una transversal, entonces cortan congruentes
segmentos en cualquier transversal.

Teorema 9-11 Si dos triángulos son similares, entonces las medidas de los perímetros correspondientes son proporcionales a la
Medidas de lados correspondientes.

Teorema 9-12 Si dos triángulos son similares, entonces las medidas de las altitudes correspondientes son proporcionales a la
Medidas de lados correspondientes.

Teorema 9-13 Si dos triángulos son similares, entonces las medidas de las bisectrices de los ángulos correspondientes de los triángulos son
proporcional a las medidas de los lados correspondientes.

Teorema 9-14 Si dos triángulos son similares, entonces las medidas de las medianas correspondientes son proporcionales a la
Medidas de lados correspondientes.

Teorema 9-15 Si una dilatación con centro C y un factor de escala k mapas A sobre mi y B sobre D, luego ED = k(AB)

Capítulo 10 Triángulos rectángulos

Teorema 10-1 Si la altitud se dibuja desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces la
dos triángulos formados son similares al triángulo dado y entre sí.

Teorema 10-2 La medida de la altitud trazada desde el ángulo recto hasta la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la
media geométrica entre las medidas de los dos segmentos de la hipotenusa.

Teorema 10-3 Si la altitud se extrae de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces la medida de un cateto del triángulo es
la media geométrica entre la medida de la hipotenusa y la medida del segmento de la
hipotenusa adyacente a esa pierna.

Thorem 10-4 El teorema de Pitágoras Si un triángulo es un triángulo rectángulo, entonces la suma de los cuadrados de las medidas
de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.

Teorema 10-5 Inverso del teorema de Pitágoras Si la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un
triángulo es igual al cuadrado de la medida del lado más largo, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Teorema 10-6 45-45-90 Teorema En un triángulo 45-45-90 la medida de la hipotenusa es la raíz cuadrada de 2 veces
la medida de una pierna.

Teorema 10-7 30-60-90 Teorema En un triángulo 30-60-90 la medida de la hipotenusa es 2 veces la medida de la
cateto más corto y la medida del cateto más largo es la raíz cuadrada de tres veces la medida del
pierna más corta.

Capítulo 11 Cirlces

Postulado 11-1 Postulado de la suma de arco Si Q es un punto en el arco PQR, entonces la medida del arco PQ + la medida del arco
QR = la medida del arco PQR.

Teorema 11-1 Todos los radios de un círculo son congruentes.

Teorema 11-2 En un círculo de en círculos congruentes, dos ángulos centrales son congruentes si y solo si sus arcos menores son
congruente.

Teorema 11-3 En un círculo o en círculos congruentes, dos arcos menores son congruentes si y solo si sus acordes correspondientes
son congruentes.

Teorema 11-4 En un círculo, si un diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces biseca la cuerda y su arco.

Teorema 11-5 En un círculo o en círculos congruentes, dos cuerdas son congruentes si y solo si son equidistantes del
centrar.

Teorema 11-6 Si un ángulo está inscrito en un círculo, entonces la medida del ángulo es igual a la mitad de la medida de su
arco interceptado.

Teorema 11-7 Si dos ángulos inscritos de un círculo o círculos congruentes interceptan arcos congruentes, entonces los ángulos son
congruente.

Teorema 11-8 Si un ángulo está inscrito en un semicírculo, entonces el ángulo es un ángulo recto.

Teorema 11-9 Si una línea es tangente a un círculo, entonces es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.

Teorema 11-10 En un plano, si una línea es perpendicular al radio de un círculo en su punto final en el círculo, entonces la línea es una
tangente.

Theorem 11-11 If two segments from the same exterior point are tangent to a circle, then they are congruent.

Theorem 11-12 If two secants intersect in the interior of a circle, then the measures of an angle formed is one-half the
sum of the measures of the arcs intercepted by the angle and its vertical angle.

Theorem 11-13 If two secants intersect in the exterior of a circle, then the measure of an angle formed is one-half the
positive difference of the measures of the intercepted arcs.

Theorem 11-14 If a secant and a tangent intersect at the point of tangency, then the measure of each angle formed is
one-half the measure of its intercepted arc.

Theorem 11-15 If a secant and a tangent, or two tangents, intersect in the exterior of a circle, then the measure of the
angle formed is one-half the positive difference of the measures of the intercepted arcs.

Theorem 11-16 If two chords intersect in a circle, then the product of the measures of the segments of one chord equals
the product of the measures of the segments of the other chord.

Theorem 11-17 If two secant segments are drawn to a circle from an exterior point, then the product of the measures of
one secant segment and its external secant segment equals the product of the measures of the other
secant segments and its external secant segment.

Theorem 11-18 If a tangent segment and a secant segment are drawn to a circle from an exterior point, then the square
of the measure of the tangent segment equals the product of the measures of the secant segment and its
external secant segment.

Theorem 11-19 General Equation of a Circle The equation of a circle with center at (h, k) and radius measuring r units
is (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Theorem 11-20 Circumference of a Circle If a circle has an area of A square units and a radius of r units,
then C = 2 pi (r).

Theorem 11-21 Area of a Circle If a circle has an area of A square units and a radius of r units, then A = pi(r) 2 .

Chapter 12 Area and Volume

Postulate 12-1 Volume Postulate For any solid region and a given unit of measure, there is a unique positive number
called the measure of the volume of the region.

Postulate 12-2 If two solid regions are congruent, then they have equal volumes.

Postulate 12-3 Volume Addition Postulate If a solid region is separated into nonoverlapping regions, then the sum of
the volumes of these equals the volume of the given region.

Postulate 12-4 If a right prism has a volume of V cubic units, a base with an area of B square units, and a height of h
units, then V = Bh.

Postulate 12-5 Cavalieri's Principle If two solids have the same cross-sectional area at every level, and the same
height, then they have the same volumes.

Theorem 12-1 Lateral Area of a Right Prism If a right prism has a lateral area of L square units, a heights of h units,
and each base has a perimeter of pag units, then L = ph.

Theorem 12-2 Total Surface Area of a Right Prism If the total surface area of a right prism is T square units, each base
has an area of B square units, a perimeter of pag units, and a height of h units, then T = ph + 2B.

Theorem 12-3 Lateral Area of a Right Cylinder If a right cylinder has a lateral area of L square units, a height of h
units, and the bases have radii of r units, then L = 2pi(r)(h).

Theorem 12-4 Total Surface Area of a Right Cylinder If a right cylinder has a total surface area of T square units, a
height of h units, and the bases have radii of r units, then T = 2pi(r)(h) + 2pi(r) 2 .

Theorem 12-5 Lateral Area for a Regular Pyramid If a regular pyramid has a lateral area of L square units, a slant
height of l units, and its base has a perimeter of pag units, then L = 1/2pl.

Theorem 12-6 Lateral and Total Surface Area of a Right Circular Cone If a right circular cone has a lateral area of L
square units, a total surface area of T square units, a slant height of l units, and the radius of the base is
r units, then L = pi(r)(l) + pir) 2 .

Theorem 12-7 Surface Area of a Sphere If a sphere has a surface area of A square units and a radius of r units, then
A = 4pi(r) 2 .

Theorem 12-8 Volume of a Right Cylinder If a right pyramid has a volume of V cubic units, a height of h units, and the
area of the base is B square units, then V = pi(r) 2 (h).

Theorem 12-9 Volume of a Right Pyramid If a right pyramid has a volume of V cubic units, a height of h units, and the
area of the base is B square units, then V = 1/3Bh.

Theorem 12-10 Volume of a Right Circular Cone If a right circular cone has a volume of V cubic units, a height of h
units, and the area of the base is B square units, then V = 1/3Bh.

Theorem 12-11 Volume of a Sphere If a sphere has a volume of V cubic units and a radius of r units, then
V = 4/3pi(r) 2 .

Theorem 12-12 Given two points A(X1,y1,z1) y B(X2,y2,z2) in space, the distance between A y B is given by the
following equation. AB - the square root of (X2-X1) 2 +(y2-y1) 2 +(z2+z1) 2 .

Chapter 13 Loci

Postulate 13-1 In a given rotation, if A is the preimage, PAG is the image, and W is the center of rotation, then the
measure of the angle of rotation, angle AWP, equals twice the measure of the angle between the
intersecting lines of reflection.


Area of an isosceles right triangle

Isosceles right triangle is a special right triangle, sometimes called a 45-45-90 triangle. In such triangle the legs are equal in length (as a hypotenuse always must be the longest of the right triangle sides):

One leg is a base and the other is the height - there is a right angle between them. So the area of an isosceles right triangle is:


8.1: Angle Measurement

Definition of the six trigonometric functions

We will begin by considering an angle in standard position.

Definición- An angle in standard position is an angle lying in the Cartesian plane whose vertex is at the origin and whose initial ray lies along the positive X-eje.

The following diagram depicts an angle &theta in standard position.

The rotation of an angle in standard position originates from the initial ray. Angles formed by counterclockwise rotation have positive measure, while angles formed by clockwise rotation have negative measure as pictured above. Two angles in standard position that have the same terminal ray are called coterminal. For example, the angles in the above figure are coterminal. Suppose we choose a point (X, y) &ne (0, 0) lying on the terminal ray of an angle in standard position. If we let r be the distance from the origin to the point (X, y) then,

according to the distance formula. Using the variables X, y, y r, we define the six trigonometric functions as follows,

The six trigonometric functions are read as follows:

Abbreviation Función
cos &theta cosine &theta
sin &theta sine &theta
tan &theta tangent &theta
sec &theta secant &theta
csc &theta cosecant &theta
cot &theta cotangent &theta

There are two important points to notice as you study these definitions. First, the the secant, cosecant, and cotangent functions are the reciprocals of the cosine, sine, and tangent functions, respectively. Second, there is no value for which the cosine and sine functions are undefined. This is because r is the distant from the origin to the point (X,y) &ne (0,0) on the terminal ray.

Now let's apply these definitions to a real situation. Consider the following angle in standard position:

Using the above diagram, we compute r as,

We can now find the values of the six trigonometric functions with X = &minus4, y = 3, and r = 5 as,

Radian Measure

We have not specifically discussed the angle &theta yet, but it can be measured in degrees or in radians. While you are probably comfortable with degree measure, you may be less so with radian measure. To define a radian, consider the following circle with radius r centered at the origin:

In the above picture, the angle &theta has measure 1 radian. To be specific,

Definition- La radian measure of an angle whose vertex lies at the center of a circle is the ratio of the arc length to the radius of the circle.

The radius and arc length in the above picture are equal (both equal r), so &theta = 1. Likewise, if the radius of a circle is r and the central angle intercepts an arc length of 2r, then the central angle measures 2r/r = 2 radians.

Converting between degrees and radians

The angle corresponding to one complete rotation has measure 360 ° or 2&pi radians. To convert from degrees to radians or radians to degrees we simply use the following conversion factors:

2&pi radians = 360°
or &pi radians = 180°.

For example, if we want to convert a y radians, we simply write,

On the other hand, if we want to convert y radians to X°, we simply write,

To look at a concrete example, suppose we want to convert 512° to radians. Since we are going from degrees to radians, we set the conversion up so that degrees cancel,

In general, we will work with radian measure. Unless the degree unit (°) is explicitly written, all angles are assumed to be in radians.

Domain and Range of Trigonometric Functions

We will now discuss the domain and range of each trigonometric function. Remember that elements in the domain are valid inputs, in this case angle measurements, and elements in the range are the corresponding outputs. Outputs of the trigonometric functions are simply ratios of the variables X, y, y r. To begin, let&rsquos look at the domain and range of the trigonometric functiony = cos &theta y y = sin &theta . Both of these trigonometric functions have domain all real numbers and range <y | &minus 1 &le y &le 1>. To determine the domain, we ask ourselves, "for what values of &theta are cos &theta and sin &theta defined?" To answer this, recall the definitions of cos &theta y
sin &theta,

The ratios X/r y y/r are well defined provided r &ne 0. Recall that r measures the distance from the point (X, y) &ne (0, 0) lying on the terminal side of an angle in standard position to the origin. By definition, r cannot be zero. Thus, all values of &theta are valid inputs.

To see that, <y| &minus 1 &le y &le 1> is the range of y = cos &theta y y = sin &theta, we need to inspect the ratios X/r y y/r . If we write r in terms of X y y we have,

Notice that Thus, cos &theta = X/ r and sin &theta = y/r cannot be greater than 1 or less than &minus1, depending on whether X y y are positive or negative (r = X Cuándo y = 0 and r = y Cuándo X = 0). So we conclude that the range of cos &theta and sin &theta es,

The other trigonometric functions, specifically tan &theta , sec &theta , csc &theta , and cot &theta, contain an additional statement, either X &ne 0 or y &ne 0. We will use these restrictions to determine their domain and range. We will begin with y = tan &theta = y / X . Notice that y / X is not defined when X = 0. Since X es el X-coordinate of a point lying on the terminal ray of an angle in standard position, we need to remove angles that correspond to points whose X-coordinate is zero. Points lying on the y-axis have X-coordinate equal to zero, so we must remove angles whose terminal ray lies along either the positive or negative y-eje. Two such angles are pictured below:

These two angles measure 90° (along the positive y-axis) and 270° (along the negative y-axis) corresponding to &pi/2 and 3&pi/2 radians. We also need to consider all coterminal angles by adding and subtracting multiples of 2&pi (e.g., &pi/2 + 2&pi = 5&pi/2 and &pi/2 &minus 2&pi = &minus3&pi/2 ). Therefore, we conclude that y = tan &theta has domain,

The range of tan &theta is easier to determine. Since y = tan &theta = y / X , y y y X are coordinates of a point, y can be any real number and x can be any real number except 0. Thus, the ratio y / X can be any real number, and we conclude that the range of y = tan &theta is all real numbers.

The domain of y = sec &theta = r / X is the same as the domain of y = tan &theta= y / X since X &ne 0 in both cases,

Knowing that the range of y = cos &theta = X / r is <y | &minus 1 &le y &le 1>, we can easily find the range of
y
= sec = r / X , since cos &theta and sec &theta are reciprocals of one another. Reciprocating changes the direction of inequalities in the range and we have,

To find the domain of y = csc &theta = r / y , we notice that this function is not defined when y = 0. Since y es el y-coordinate of a point lying on the terminal ray of an angle in standard position, we need to remove angles that correspond to points whose y-coordinate is zero. Points lying on the X-axis have y-coordinate equal to zero, so we must remove angles whose terminal ray lies along either the positive or negative X-eje. Two such angles are pictured below:

These two angles measure 180° along the negative X-axis and 360° along the positive X-axis corresponding to &pi and 2&pi radians, respectively. Of course we also need to consider all coterminal angles by adding and subtracting multiples of 2&pi (e.g., &pi + 2&pi = 3&pi
and &pi &minus 2&pi = &minus&pi ). Therefore, we conclude that y = csc &theta has domain,

Knowing that the range of y = sin &theta= y / r is <y | &minus 1 &le y &le 1>, we can easily find the range of

since sin &theta and csc &theta are reciprocals of one another. Thus, the range of y = csc &theta es,

The domain of y = cot &theta = X / y is the same as the domain of y = csc &theta = r / y since y &ne 0 in both cases,

Using the same argument to find the range of y = tan &theta, the range of y = cot &theta is also all real numbers. The domains and ranges of the six trigonometric functions are summarized in the following table:

In the next section we will find the trigonometric functional values of some special angles.


8.1: Angle Measurement

Configurable screen ruler for measuring in pixels, centimeters, inches, points and percent.

Screen Ruler is a lightweight and configurable ruler tool for Windows Desktop. It allows you to measure the size of elements on the screen in different units, including pixels, centimeters and inches. Measuring is possible either using a two-dimensional, rectangular ruler scale or a one-dimensional, horizontal or vertical scale. The ruler can be moved and resized precisely using either the mouse or the keyboard and custom marking lines can be added. Besides coming with a light and a dark theme, Screen Ruler also allows you to fully customize its appearance by changing all color settings.

Measure in pixels, centimeters, inches, points and percent

Two-dimensional, rectangular ruler scale

One-dimensional, horizontal or vertical ruler scale

Dark theme and option for custom coloring

Automatically measure the size of windows on screen

Add arbitrary number of custom marking lines

Auto-mark center, thirds or golden ratio

Precise moving and resizing with keyboard shortcuts

Fully portable with no installation needed

Screen Ruler requires Windows 7 or newer and .NET Framework 4.5 or higher.

From the help window (press F1 in the app):

Keyboard Actions:
Space - Switch ruler mode between horizontal, vertical and two-dimensional.
Z - Select a window to measure. Cancel with 'Esc'.
Arrow keys - Move the ruler by one pixel.
Shift + Arrow keys - Move the ruler by one medium step (defaults to 5px).
Ctrl + Arrow keys - Resize the ruler by one pixel.
Ctrl + Shift + Arrow keys - Resize the ruler by one medium step (defaults to 5px).
Alt + Arrow keys - Dock the ruler to screen boundaries.
Ctrl + C - Copy current length to clipboard.
L - Set marker at current length.
C - Remove the first custom marking line.
Esc - Exit Screen Ruler, window selection or help.
See more keyboard actions in context menu.

Mouse Actions:
Click on a position where a marker is set - Open dialog to view/ delete marker.
Double-click on ruler - Set marker at the clicked position.
Mouse wheel - Resize the ruler.
Shift + Mouse wheel - Fast resizing of the ruler (large steps).

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