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3.1: Introducción a las funciones lineales - Matemáticas

3.1: Introducción a las funciones lineales - Matemáticas


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Imagínese colocar una planta en el suelo un día y descubrir que ha duplicado su altura solo unos días después. Estos miembros de la familia de las gramíneas son las plantas de más rápido crecimiento en el mundo. Se ha observado que una especie de bambú crece casi 1.5 pulgadas cada hora.1 En un período de veinticuatro horas, esta planta de bambú crece aproximadamente 36 pulgadas, ¡o unos increíbles 3 pies! Una tasa de cambio constante, como el ciclo de crecimiento de esta planta de bambú, es una función lineal.


Figura ( PageIndex {1} ): Un bosque de bambú en China (crédito: "JFXie" / Flickr)

Recuerde de Funciones y notación de función que una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Las funciones lineales son un tipo específico de función que se puede utilizar para modelar muchas aplicaciones del mundo real, como el crecimiento de las plantas a lo largo del tiempo. En este capítulo, exploraremos las funciones lineales, sus gráficas y cómo relacionarlas con los datos.

1 www.guinnessworldrecords.com/...growing-plant/


Introducción a la programación lineal

Programación lineal suena muy difícil, pero es solo una forma ingeniosa de usar las matemáticas para descubrir la mejor manera de hacer las cosas, por ejemplo, cuántas cosas hacer o comprar. Por lo general, implica un sistema de desigualdades lineales, llamada limitaciones, pero al final, queremos maximizar algo (como las ganancias) o minimizar algo (como el costo). Lo que sea que estemos maximizando o minimizando se llama función objetiva.

La programación lineal se desarrolló durante la Segunda Guerra Mundial para resolver problemas logísticos militares. Hoy en día, se utiliza mucho en los negocios para minimizar los costos y maximizar las ganancias.

Antes de comenzar la programación lineal, revisemos Graficar desigualdades lineales con dos variables.


¿Qué hace que una ecuación sea lineal?

Más precisamente, una ecuación lineal es aquella que depende solo de constantes y una variable elevada a la primera potencia. Por ejemplo, (y = 6x + 2 ) es lineal porque no tiene cuadrados, cubos, raíces cuadradas, senos, etc. Las ecuaciones lineales siempre se pueden manipular para que tomen esta forma:

No siempre verá ecuaciones lineales escritas exactamente así, pero tenga en cuenta que podemos manipular ecuaciones para ponerlas en una forma particular si es necesario.

Las ecuaciones lineales a menudo se escriben con más de una variable, generalmente xey. Tales ecuaciones tendrán muchas combinaciones posibles de xey que funcionan. Cuando esos puntos (conocidos como pares de coordenadas) se trazan en un eje x-y, formarán una línea recta. Echemos un vistazo a esto gráficamente a continuación. Las dos ecuaciones dibujadas son lineales. Tenga en cuenta que una tiene la forma (y = 3 ) (depende solo de una constante, 3), y la otra ecuación es (y = 0,75x - 0,5 ) (un término lineal y una constante).

¿Cómo sé si una ecuación es lineal?

¿La ecuación (o función) incluye términos al cuadrado? ¿Qué tal otros términos con exponentes distintos de 1 (o, técnicamente, cero)? Si la función no tiene términos con un orden superior a 1 (una forma elegante de decir exponente), ¡entonces es lineal!

¿Qué pasa si tiene una función de registro o trigonométrica, etc.?

Estos no son términos lineales. Simplemente, no son constantes (números regulares) o variables con un exponente de 1, por lo que la función no es lineal. Si pudiéramos escribir sin (x) o log (x) como algo lineal como (2x + 3 ), ¡entonces haríamos eso en lugar de usar funciones no lineales complicadas como seno y logaritmo! Por supuesto, si aún no ha cubierto estos conceptos en su clase, ni siquiera se preocupe.

Entonces, ¿cómo resuelvo una ecuación lineal?

Algunas ecuaciones lineales son realmente fáciles de resolver. ¿Qué hay de este?

Es una ecuación lineal, ¡y ya está resuelta para y! Eso es fácil. no hay nada que hacer. Pero este ejemplo bastante trivial nos muestra que las ecuaciones lineales pueden ser bastante simples y también nos muestra nuestro objetivo: reescribir la ecuación para que la variable que estamos resolviendo esté en un lado y todo lo demás esté en el otro lado.

Dando un pequeño paso adelante:

Con esta ecuación simplemente tenemos que restar 2 de ambos lados para poner nuestra ecuación en forma resuelta, con y = 2. Resolver cualquier ecuación lineal es solo una cuestión de realizar operaciones en ambos lados del signo igual hasta que la ecuación esté en la forma deseada (generalmente resuelta para una sola variable, como X o Y). Los pasos se muestran en detalle a continuación:

¿Qué pasa con las ecuaciones más complicadas?

Afortunadamente, con las ecuaciones lineales, los pasos son siempre relativamente sencillos. No hay una única forma de hacerlo y, con el tiempo, podrá pensar en una ecuación lineal sin tener que anotar cada paso. Pruebe el siguiente enfoque para resolver las ecuaciones y vea si funciona para usted:

  1. Recopilar términos semejantes: esto significa reunir todas las x juntas, todas las y juntas y todos los números regulares (conocidos como constantes) y sumarlos por separado. Por ejemplo, la expresión (4x + 2y + 3x-5 + 10 ) se convierte en (7x + 2y + 5 ). Recuerde que puede sumar, restar, multiplicar o dividir siempre que lo haga para ambas cosas lados de una ecuación.
  2. Aísle la variable que desea resolver: si el problema le pide que resuelva para y, debe obtener y en un lado del signo igual y todas las demás cosas en el otro lado. Aquí es donde puede ir de (2y - 6 = 4 ) a (2y = 10 ).
  3. Elimine cualquier coeficiente restante en esa variable; si su respuesta después del paso 2 se ve como (5y = 7x - 10 ), simplemente divida ambos lados entre 5 para obtener (y = frac <7x> <5> - frac <10> <2> ).
  4. Verifique su respuesta: ¿Su respuesta parece tener sentido? ¿Puedes insertar tu respuesta en la ecuación original y hacer que aún funcione?

Veamos algunos ejemplos de resolución de ecuaciones lineales.

Una cosa a tener en cuenta es que no puedes siempre Resuelve la ecuación a algo definido como y = 5. Está perfectamente bien tener y = x + 5, y solo significa que y depende de x. De hecho, hay exactamente un valor de y para cada valor de x, todos los cuales forman puntos que se encuentran en una línea recta (como mostré al principio).

Ejemplo 1:

Si sustituye 2 por y en el problema original, obtiene 9 = 9, ¡así que está bien!

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Envolviéndolo todo

Recuerde que las ecuaciones lineales son intrínsecamente simples, ¡no intente pensar demasiado en las cosas! Consisten solo en términos lineales (como 3x, 2y, y / 2, etc.) y constantes. Si se queda atascado tratando de simplificar o resolver un problema, recuerde hacerlo paso a paso. Recopile términos semejantes combinando todas sus variables por separado, luego aísle la variable que desea resolver y, finalmente, realice las operaciones matemáticas adicionales necesarias para que se quede solo con & quoty = & quot o & quotx = & quot en un lado de la ecuación.


Matemáticas

Foothill ofrece una gama completa de clases de matemáticas, que incluyen opciones en línea, en el campus, híbridas y de apoyo adicional. Comuníquese con la División de Consejería si tiene preguntas sobre sus planes académicos y profesionales individuales.

Opciones de soporte adicionales

MATEMÁTICAS 180 RAZONAMIENTO CUANTITATIVO. Los estudiantes podrán aplicar el razonamiento matemático en su vida personal, profesional y académica, investigar nuevos contextos, desarrollar y proponer posibles soluciones, discutir y analizar planes propuestos y tomar decisiones. Los estudiantes aprenderán a valorar el proceso colaborativo de explicar, investigar, comparar y evaluar una variedad de perspectivas y enfoques. A través de la inmersión en lecciones contextualizadas, los estudiantes practicarán el pensamiento cuantitativo a medida que desarrollan habilidades en la comunicación, el pensamiento crítico y creativo y la computación. Aumentarán su conocimiento y comprensión de sí mismos, de los demás y del mundo a través del estudio de contextos culturalmente relevantes, como las finanzas personales, la salud y el bienestar, la pertenencia a la sociedad y el medio ambiente. Más información del instructor.

MATEMÁTICAS 248A APOYO JUSTO A TIEMPO PARA EL PRECÁCULO I. Un enfoque justo a tiempo para los prerrequisitos básicos de habilidades, competencias y conceptos necesarios en Precálculo I. Destinado a estudiantes con especialización en ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas que están matriculados simultáneamente en MATH 48A en Foothill College. Los temas incluyen: una revisión de las habilidades computacionales desarrolladas en álgebra inicial e intermedia, incluyendo factorización, gráficas de ecuaciones lineales, resolución de ecuaciones de valor absoluto y desigualdades, análisis de funciones, incluidas funciones cuadráticas.

MATEMÁTICAS 217/17 ESTADÍSTICAS INTEGRADAS I y II. La secuencia Statway de dos platos. Cubre conceptos y métodos de estadística con énfasis en el análisis de datos. Los temas incluyen métodos para recopilar datos, estadística descriptiva gráfica y numérica, correlación, regresión lineal simple, conceptos básicos de probabilidad, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para medias y proporciones, pruebas de chi-cuadrado y ANOVA. Los problemas de aplicación se tomarán de los campos de los negocios, la economía, la medicina, la ingeniería, la educación, la psicología, la sociología y de situaciones culturalmente diversas. Más información del instructor.

MATEMÁTICAS 10 MPS: ESTADÍSTICAS DE PRIMARIA con SOPORTE EXTRA. Una introducción a los métodos modernos de estadística descriptiva, incluida la recopilación y presentación de medidas de datos de distribución de probabilidad de distribución de muestreo de tendencia central y dispersión, prueba de hipótesis e inferencia estadística, regresión lineal y análisis de correlación de varianza, uso de microcomputadoras para cálculos estadísticos. Ilustraciones tomadas de los campos de los negocios, la economía, la medicina, la ingeniería, la educación, la psicología, la sociología, las ciencias sociales, las ciencias de la vida y las ciencias de la salud. Más información del instructor.

Estadísticas

MATEMÁTICAS 217/17 ESTADÍSTICAS INTEGRADAS I y II. La secuencia Statway de dos platos. Cubre conceptos y métodos de estadística con énfasis en el análisis de datos. Los temas incluyen métodos para recopilar datos, estadística descriptiva gráfica y numérica, correlación, regresión lineal simple, conceptos básicos de probabilidad, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para medias y proporciones, pruebas de chi-cuadrado y ANOVA. Los problemas de aplicación se tomarán de los campos de los negocios, la economía, la medicina, la ingeniería, la educación, la psicología, la sociología y de situaciones culturalmente diversas. Más información del instructor.

MATEMÁTICAS 10 ESTADÍSTICAS DE PRIMARIA. Una introducción a los métodos modernos de estadística descriptiva, incluida la recopilación y presentación de medidas de datos de distribución de probabilidad de distribución de muestreo de tendencia central y dispersión, prueba de hipótesis e inferencia estadística, regresión lineal y análisis de correlación de varianza, uso de microcomputadoras para cálculos estadísticos. Ilustraciones tomadas de los campos de los negocios, la economía, la medicina, la ingeniería, la educación, la psicología, la sociología, las ciencias sociales, las ciencias de la vida y las ciencias de la salud. Ofrecido en el campus, en línea e híbrido . Video del instructor.

MATEMÁTICAS 10 MPS: ESTADÍSTICAS DE PRIMARIA con SOPORTE EXTRA. Una introducción a los métodos modernos de estadística descriptiva, incluida la recopilación y presentación de medidas de datos de distribución de probabilidad de distribución de muestreo de tendencia central y dispersión, prueba de hipótesis e inferencia estadística, regresión lineal y análisis de correlación de varianza, uso de microcomputadoras para cálculos estadísticos. Ilustraciones tomadas de los campos de los negocios, la economía, la medicina, la ingeniería, la educación, la psicología, la sociología, las ciencias sociales, las ciencias de la vida y las ciencias de la salud. Más información del instructor.

Secuencia STEM

MATEMÁTICAS 48A PRECALCULO I. Introducción a funciones y familias de funciones, incluidas funciones lineales, cuadráticas, funciones de potencia y radicales, funciones de valor absoluto, funciones definidas por partes, transformaciones de estas funciones, composición de estas funciones y su uso en la resolución de problemas de aplicación. Ofrecido en el campus e híbrido .

MATH 248A SOPORTE JUSTO A TIEMPO PARA MATH 48A. Un enfoque justo a tiempo para las habilidades, competencias y conceptos prerrequisitos básicos necesarios en Precálculo I. Destinado a estudiantes con especialización en ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas que están matriculados simultáneamente en MATH 48A en Foothill College. Los temas incluyen: una revisión de las habilidades computacionales desarrolladas en álgebra inicial e intermedia, incluyendo factorización, gráficas de ecuaciones lineales, resolución de ecuaciones de valor absoluto y desigualdades, análisis de funciones, incluidas funciones cuadráticas.

MATEMÁTICAS 12 CÁLCULO PARA ECONOMÍA EMPRESARIAL Y AMP. Estudio de las técnicas de cálculo diferencial e integral, con énfasis en la aplicación de estas técnicas a problemas de la economía y la empresa. Ofrecido en el campus, en línea e híbrido .

MATEMÁTICAS 48B PRECÁCULO II. Este curso es una continuación de los temas de MATH 48A. Los temas incluyen funciones polinomiales, racionales, exponenciales y logarítmicas, transformaciones de estas funciones y su uso en la resolución de problemas de aplicación.

MATEMÁTICAS 48C PRECALCULO III. Este curso es una continuación de los temas de MATH 48B. Los temas incluyen las seis funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, ecuaciones trigonométricas, triángulos rectángulos, triángulos oblicuos, vectores, ecuaciones paramétricas y aplicaciones con varias funciones.

MATEMÁTICAS 1A CÁLCULO. Introducción al cálculo diferencial, incluidos límites, derivadas y sus aplicaciones al boceto de curvas, familias de funciones y optimización. Ofrecido en el campus y en línea.

MATEMÁTICAS 1B CÁLCULO. Introducción al cálculo integral incluyendo integrales definidas e indefinidas, el primer y segundo teoremas fundamentales y sus aplicaciones a la geometría, física y la solución de ecuaciones diferenciales elementales. Ofrecido en el campus y en línea .

CÁLCULO DE MATEMÁTICAS 1C. Introducción a funciones de más de una variable, incluyendo vectores, diferenciación parcial, gradiente, diagramas de contorno y optimización. Los temas adicionales incluyen series infinitas, convergencia y series de Taylor.

MATEMÁTICAS 1D CÁLCULO. Introducción a la integración de funciones de más de una variable, incluidas integrales dobles, triples, de flujo y de línea. Los temas adicionales incluyen coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, parametrización, campos vectoriales, independencia de trayectoria, divergencia y curvatura.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE MATEMÁTICAS 2A. Ecuaciones diferenciales y temas seleccionados de análisis matemático.

MATEMÁTICAS 2B ÁLGEBRA LINEAL. Un primer curso de Álgebra Lineal, que incluye sistemas de ecuaciones lineales, matrices, transformaciones lineales, determinantes, espacios y subespacios vectoriales abstractos, autovalores y autovectores, espacios de productos internos y ortogonalidad, y aplicaciones seleccionadas de estos temas.

MATEMÁTICAS 22 MATEMÁTICAS DISCRETAS. Teoría de conjuntos, lógica, álgebra booleana, métodos de prueba, inducción matemática, teoría de números, probabilidad discreta, combinatoria, funciones, relaciones, recursividad, eficiencias de algoritmos, gráficos, árboles.

Temas especiales

MATEMÁTICAS 42 MATEMÁTICAS PARA PROFESORES DE ESCUELA PRIMARIA. Se centra en el desarrollo de habilidades de razonamiento cuantitativo a través de exploraciones integradas y en profundidad de temas matemáticos, incluidos los sistemas y subsistemas de números reales. El énfasis está en la comprensión y el análisis de conceptos matemáticos y aplicaciones del razonamiento lógico.

MATEMÁTICAS 44 MATEMÁTICAS PARA LAS ARTES LIBERALES. Un estudio de modelos matemáticos y otras herramientas para introducir al no especialista en los métodos de razonamiento cuantitativo. Resolución de problemas por el método de Polya con investigación analítica, numérica, gráfica y verbal. Seleccionar, construir y utilizar modelos matemáticos. Interpretación de resultados cuantitativos en contexto cualitativo. Énfasis en el razonamiento deductivo y la lógica formal, modelos algebraicos, exponenciales, logarítmicos y trigonométricos de probabilidad y el análisis de datos de distribución normal y temas seleccionados de matemáticas discretas, matemáticas finitas y estadística. Más información del instructor.

MATH 67 MATEMÁTICAS MEJORADAS APRENDIENDO CON MATEMÁTICA. Una introducción al software matemático Mathematica y su uso como herramienta de cálculo y visualización en matemáticas y estadística. Uso de Mathematica para resolver problemas tomados de álgebra y estadística a través de álgebra lineal y ecuaciones diferenciales. Se proporciona acceso a Mathematica sin costo adicional.

MATEMÁTICAS 70R ESTUDIO INDEPENDIENTE EN MATEMÁTICAS. Brinda una oportunidad para que el estudiante expanda sus estudios en Matemáticas más allá del salón de clases al completar un proyecto o una tarea arreglada por acuerdo entre el estudiante y el instructor.

MATEMÁTICAS 105 ÁLGEBRA INTERMEDIA. Funciones y expresiones cuadráticas, polinomiales, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas con énfasis en gráficas y aplicaciones. Ofrecido en el campus, en línea e híbrido.


Álgebra lineal y estadística

El álgebra lineal es una herramienta valiosa en otras ramas de las matemáticas, especialmente la estadística.

Por lo general, se espera que los estudiantes que estudian estadística hayan visto al menos un semestre de álgebra lineal (o álgebra aplicada) a nivel de pregrado.

Es importante considerar el impacto del álgebra lineal, dada la relación fundamental que ambos campos tienen con el campo del aprendizaje automático aplicado.

Algunas huellas digitales claras de álgebra lineal en estadísticas y métodos estadísticos incluyen:

  • Uso de notación vectorial y matricial, especialmente con estadísticas multivariadas.
  • Soluciones a mínimos cuadrados y mínimos cuadrados ponderados, como para la regresión lineal.
  • Estimaciones de media y varianza de matrices de datos.
  • La matriz de covarianza que juega un papel clave en las distribuciones gaussianas multinomiales.
  • Análisis de componentes principales para la reducción de datos que reúne muchos de estos elementos.

Como puede ver, las estadísticas modernas y el análisis de datos, al menos en lo que respecta a los intereses de un profesional del aprendizaje automático, dependen de la comprensión y las herramientas del álgebra lineal.


3.1: Introducción a las funciones lineales - Matemáticas

Para esta clase, puede elegir uno de los proyectos a continuación. El objetivo es explorar en profundidad un tema del curso. Cada proyecto es para un equipo de 4-6 estudiantes. Para los primeros cuatro proyectos, al menos dos miembros del equipo deben tener experiencia en programación.

Juegos lineales

Solo cuatro de cada diez estudiantes de secundaria se sienten involucrados en la clase (Gallup, 2015) y la mitad de los estudiantes se sienten aburridos y cansados. Especialmente preocupado por esta tendencia es la asignatura de matemáticas. Una idea muy reciente para resolver este problema es la gamificación de las matemáticas. Siguiendo este enfoque, desarrollamos tres juegos de computadora que enseñan matemáticas a estudiantes de secundaria y universitarios en un entorno divertido y abierto. Aquí nos enfocamos en el Álgebra Lineal cuyo dominio es esencial para casi todas las ciencias básicas. Para enfocarnos en el lado algorítmico en lugar de cálculos complicados, reemplazamos los números reales por un sistema numérico más simple que en estos juegos está representado por piezas en un tablero de Go.
Echa un vistazo a estos juegos y leer "Las matemáticas detrás de estos juegos".

Proyecto 1: Escribe una versión del juego Llevarse todos los premios donde la entrada es una matriz aleatoria y el jugador tiene que reducir por filas la matriz y luego ingresar un vector o clave de solución correcta. A continuación, se puede encontrar una versión en Python del juego original.
Proyecto 2: Escribe una versión del juego Laberinto de Matrix.
Proyecto 3: Escribe tu propio juego inspirado en el álgebra lineal sobre el campo con tres números.

    , fuente como .zip (versión Python de Qirong Li)
  • Archivos Figma y Github para la versión en línea de Llevarse todos los premios disponible a pedido - reglas
Algoritmo de reducción de filas

La reducción de filas es un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Suele entenderse como una secuencia de operaciones realizadas sobre la correspondiente matriz de coeficientes. Este método también se puede utilizar para encontrar el rango de una matriz, para calcular el determinante de una matriz y para calcular el inverso de una matriz cuadrada invertible. Los matemáticos chinos lo conocían desde el 179 d.C.

Proyecto 4: Describa en detalle (con pruebas) el algoritmo de reducción de filas de la clase y cómo se puede usar para encontrar el determinante de una matriz. Luego, escriba su propio programa para el algoritmo de reducción de filas. La entrada debe ser una matriz aumentada y la salida el conjunto de soluciones. Además, escriba un programa que encuentre el determinante de una matriz utilizando el algoritmo de reducción de filas.

Ajuste de curvas

El ajuste de curvas es el proceso de construir una curva, o función matemática, que tiene el mejor ajuste a una serie de puntos de datos. El ajuste de curvas puede implicar interpolación, donde se requiere un ajuste exacto a los datos, o suavizado, en el que se construye una función suave que se ajusta aproximadamente a los datos. Un tema relacionado es el análisis de regresión, que se centra más en cuestiones estadísticas relativas al ajuste de curvas. La curva aproximada se puede construir usando un método de mínimos cuadrados de Álgebra lineal.

Proyecto 5: Configure su propio problema de ajuste de curvas y resuélvalo. Por ejemplo, podría mirar los datos climáticos en Hannover o hacer un predictor para el resultado de nuestro examen final basado en los exámenes parciales utilizando datos de cursos anteriores.

  • Lay, D. et al: Álgebra lineal y sus aplicaciones, navegar Capítulo 6.6, luego lee Capítulo 6
  • Wikipedia - Ajuste de curvas
  • Wikipedia - Método de mínimos cuadrados
  • Conjuntos de datos disponibles a pedido
Flujo en redes

Las transiciones o los flujos en las redes se pueden analizar escribiendo la información en una matriz. Encontrar el estado estable del sistema equivale a encontrar un vector propio de esta matriz. Este método tiene muchas aplicaciones. De esta forma se puede, por ejemplo, estudiar tipos de cambio de divisas, colas o filas de clientes que llegan a un aeropuerto o crecimientos poblacionales de determinadas especies animales. El algoritmo conocido como PageRank, que se propuso originalmente para el motor de búsqueda de Internet Google, se basa en esta idea.

Proyecto 6: Lea la información a continuación. Luego cree su propia red con flujos y encuentre el estado estable del sistema. Elija una red y un flujo significativos (red de amigos, sandbox de Internet) y explique su resultado.


Características

Personalice el aprendizaje con MyMathLab

MyMathLab es un programa en línea de tareas, tutoriales y evaluación diseñado para trabajar con este texto para involucrar a los estudiantes y mejorar los resultados. MyMathLab incluye ejercicios algorítmicos asignables, el libro electrónico completo, figuras interactivas, herramientas para personalizar el aprendizaje y más.

  • Ejercicios de tarea online proporcionar retroalimentación y apoyo instantáneos. Este sistema funciona particularmente bien para habilidades basadas en computación. Los instructores tienen la flexibilidad de usar ejercicios calificados por computadora, calificados por humanos en línea o en papel para ayudar a desarrollar habilidades más basadas en conceptos.
  • ¡NUEVO! EBook interactivo utiliza Wolfram CDF Player (el reproductor gratuito de Mathematica). Los estudiantes pueden interactuar con figuras y experimentar con matrices al observar numerosos ejemplos.
  • ¡NUEVO! Figuras interactivas dar vida a la geometría del álgebra lineal. Con el Wolfram CDF Player, los estudiantes pueden manipular figuras y experimentar con matrices mirando numerosos ejemplos. Estas cifras están disponibles en el libro electrónico y como archivos separados (para facilitar su uso durante la conferencia).
  • Recursos de enseñanza y aprendizaje incluidos en el sitio web complementario también se incluyen en MyMathLab.
  • Introducción temprana de conceptos clave: Las ideas fundamentales del álgebra lineal se introducen en las primeras siete conferencias, en el marco concreto de R n , luego examinado gradualmente desde diferentes puntos de vista. Más tarde, las generalizaciones de estos conceptos aparecen como extensiones naturales de ideas familiares.
  • Transformaciones lineales Forme un "hilo" que se teje en la tela del texto. Su uso realza el sabor geométrico del texto. En el Capítulo 1, por ejemplo, las transformaciones lineales proporcionan una vista gráfica y dinámica de la multiplicación matriz-vector.
  • Problemas de ortogonalidad y mínimos cuadrados reciben tratamientos más completos que los que se encuentran comúnmente en los textos iniciales porque la ortogonalidad juega un papel tan importante en los cálculos por computadora y el álgebra lineal numérica y porque los sistemas lineales inconsistentes surgen con tanta frecuencia en el trabajo práctico.
  • Los valores propios aparecen bastante temprano en el texto, en los Capítulos 5 y 7. Debido a que este material se distribuye durante varias semanas, los estudiantes tienen más tiempo para absorber y repasar estos conceptos críticos. Los valores propios están motivados y aplicados a sistemas dinámicos discretos y continuos, que aparecen en las Secciones 1.10, 4.8 y 4.9, y en cinco secciones del Capítulo 5.
  • Una visión moderna de la multiplicación de matrices se presenta, con definiciones y pruebas que se centran en las columnas de una matriz en lugar de en las entradas de la matriz.
  • Centrarse en la visualización de conceptos a lo largo del libro ayuda a los estudiantes a comprender los conceptos. Cada concepto principal del curso recibe una interpretación geométrica porque muchos estudiantes aprenden mejor cuando pueden visualizar una idea.
  • Notas numéricas proporcionar una inclinación realista al texto. A los estudiantes se les recuerda con frecuencia los problemas que surgen en las aplicaciones de la vida real del álgebra lineal.
  • Aplicaciones son variadas y relevantes. Algunas aplicaciones aparecen en sus propias secciones, otras se tratan en ejemplos y ejercicios. Cada capítulo se abre con una viñeta introductoria que establece el estado para algunas aplicaciones del álgebra lineal y proporciona una motivación para desarrollar las matemáticas que siguen.
  • Los conjuntos de ejercicios están meticulosamente construidos y constan de los siguientes elementos. Cada sección presenta una abundante oferta de ejercicios, que van desde cálculos de rutina hasta preguntas conceptuales y aplicaciones. Las preguntas innovadoras señalan las dificultades conceptuales que los autores han encontrado en los trabajos de los estudiantes a lo largo de los años.
    • Algunos cuidadosamente seleccionados Problemas de práctica aparecen justo antes de cada conjunto de ejercicios. Las soluciones completas siguen el conjunto de ejercicios. Estos problemas se centran en posibles puntos problemáticos en el conjunto de ejercicios o proporcionan un "calentamiento" para los ejercicios, y las soluciones a menudo contienen sugerencias o advertencias útiles sobre la tarea.
    • Preguntas de verdadero / falso aparecen justo después de los ejercicios computacionales y animan a los estudiantes a leer el texto y pensar críticamente.
    • ¡NUEVO! Problemas de práctica conceptual y sus soluciones en la mayoría de las secciones proporcionan ejemplos basados ​​en pruebas o conceptos para que los estudiantes los revisen.
    • [M] ejercicios aparecen en cada sección. Para ser resuelto con la ayuda de un programa [M] atrix como MATLAB ™, Maple®, Mathematica®, MathCad®, Derive® o calculadoras programables con capacidades matriciales, como la TI-83 Plus®, TI-86®, TI-89 ® y HP-48G ®. Los datos para estos ejercicios se proporcionan en la Web.
    • Revisar hojas y practicar exámenes provienen directamente de los cursos que los autores han impartido a lo largo de los años.
    • Las aplicaciones incluyen 7 Estudios de caso, que amplían los temas introducidos al principio de cada capítulo, y 20 Proyectos de aplicación.
    • Descargable Introducción a la tecnología Los manuales sirven como una "guía de inicio rápido" para los estudiantes.
    • Archivos de información para 900 ejercicios numéricos en el texto, así como estudios de caso y proyectos de aplicación. Los archivos están disponibles para calculadoras MATLAB, Mathematica, Maple y TI.
    • Proyectos para Mathematica, MATLAB y Maple invite a los estudiantes a descubrir ideas matemáticas y numéricas básicas en álgebra lineal.

    Nuevo en esta edición

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    • Ejercicios algorítmicos más asignables le permite crear asignaciones de tarea que satisfagan mejor las necesidades de los estudiantes.
    • EBook interactivo utiliza Wolfram CDF Player (el reproductor gratuito de Mathematica). Los estudiantes pueden interactuar con figuras y experimentar con matrices al observar numerosos ejemplos.
    • Figuras interactivas dar vida a la geometría del álgebra lineal. Con el Wolfram CDF Player, los estudiantes pueden manipular figuras y experimentar con matrices mirando numerosos ejemplos. Estas cifras están disponibles en el libro electrónico y como archivos separados (para facilitar su uso durante la conferencia).
    • Ejercicios y proyectos tecnológicos en formato MATLAB, Maple, Mathematica y TI se han actualizado para reflejar los cambios en esos sistemas. Y todos los recursos se han reorganizado para facilitar su localización y uso por parte de instructores y estudiantes.
    • Más del 25% de la los ejercicios son nuevos o actualizados, especialmente ejercicios computacionales. Estos están diseñados de una manera que refleja la esencia de cada una de las secciones que siguen, desarrollando la confianza de los estudiantes mientras los desafía a practicar y generalizar las nuevas ideas que han encontrado.
    • Problemas de práctica conceptual y sus soluciones en la mayoría de las secciones brindan soporte adicional para el aprendizaje basado en pruebas o conceptos. También se ha agregado orientación adicional a algunas de las demostraciones de teoremas en el cuerpo del texto.

    3.1: Introducción a las funciones lineales - Matemáticas

    Fractales: Belleza útil
    (Introducción general a la geometría fractal)

    "Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza no es suave, ni los rayos viajan en línea recta".

    Edyta Patrzalek , Instituto Stan Ackermans,
    IPO, Centro de Interacción Usuario-Sistema, Universidad Tecnológica de Eindhoven

    Fractales es una nueva rama de las matemáticas y el arte. Quizás esta es la razón por la que la mayoría de las personas reconocen los fractales solo como imágenes bonitas útiles como fondos en la pantalla de la computadora o patrones originales de postales. Pero, ¿qué son realmente?

    La mayoría de los sistemas físicos de la naturaleza y muchos artefactos humanos no son formas geométricas regulares de la geometría estándar derivada de Euclides. La geometría fractal ofrece formas casi ilimitadas de describir, medir y predecir estos fenómenos naturales. Pero, ¿es posible definir el mundo entero usando ecuaciones matemáticas?

    Este artículo describe cómo se crearon los cuatro fractales más famosos y explica las propiedades fractales más importantes, que hacen que los fractales sean útiles para diferentes dominios de la ciencia.

    Mucha gente está fascinada con las bellas imágenes denominadas fractales. Extendiéndose más allá de la percepción típica de las matemáticas como un cuerpo de fórmulas complicadas y aburridas, la geometría fractal mezcla el arte con las matemáticas para demostrar que las ecuaciones son más que una simple colección de números. Lo que hace que los fractales sean aún más interesantes es que son las mejores descripciones matemáticas existentes.
    de muchas formas naturales, como costas, montañas o partes de organismos vivos.

    Aunque la geometría fractal está estrechamente relacionada con las técnicas informáticas, algunas personas habían trabajado en fractales mucho antes de la invención de las computadoras. Esas personas eran cartógrafos británicos, que encontraron el problema de medir la longitud de la costa británica. La línea de costa medida en un mapa a gran escala era aproximadamente la mitad de la longitud de la línea de costa medida en un mapa detallado. Cuanto más de cerca miraban, más detallada y más larga se volvía la costa. No se dieron cuenta de que habían descubierto una de las principales propiedades de los fractales.

    Dos de las propiedades más importantes de los fractales son la autosimilitud y la dimensión no entera.

    ¿Qué significa auto-semejanza? Si observa detenidamente una hoja de helecho, notará que cada hoja pequeña, parte de la más grande, tiene la misma forma que toda la hoja del helecho. Se puede decir que la hoja de helecho se asemeja a sí misma. Lo mismo ocurre con los fractales: puedes ampliarlos muchas veces y después de cada paso verás la misma forma, que es característica de ese fractal en particular.

    La dimensión no entera es más difícil de explicar. La geometría clásica trata con objetos de dimensiones enteras: puntos de dimensión cero, líneas y curvas unidimensionales, figuras planas bidimensionales como cuadrados y círculos, y sólidos tridimensionales como cubos y esferas. Sin embargo, muchos fenómenos naturales se describen mejor utilizando una dimensión entre dos números enteros. Entonces, mientras que una línea recta tiene una dimensión de uno, una curva fractal tendrá una dimensión entre uno y dos, dependiendo de cuánto espacio ocupa al girar y curvarse. The more the flat fractal fills a plane, the closer it approaches two dimensions. Likewise, a "hilly fractal scene" will reach a dimension somewhere between two and three. So a fractal landscape made up of a large hill covered with tiny mounds would be close to the second dimension, while a rough surface composed of many medium-sized hills would be close to the third dimension.

    There are a lot of different types of fractals. In this paper I will present two of the most popular types: complex number fractals and Iterated Function System (IFS) fractals.

    Before describing this type of fractal, I decided to explain briefly the theory of complex numbers.

    A complex number consists of a real number added to an imaginary number. It is common to refer to a complex number as a "point" on the complex plane. If the complex number is , the coordinates of the point are a (horizontal - real axis) and b (vertical - imaginary axis).
    The unit of imaginary numbers: .

    Two leading researchers in the field of complex number fractals are Gaston Maurice Julia and Benoit Mandelbrot.

    Gaston Maurice Julia was born at the end of 19th century in Algeria. He spent his life studying the iteration of polynomials and rational functions. Around the 1920s, after publishing his paper on the iteration of a rational function, Julia became famous. However, after his death, he was forgotten.

    In the 1970s, the work of Gaston Maurice Julia was revived and popularized by the Polish-born Benoit Mandelbrot. Inspired by Julia s work, and with the aid of computer graphics, IBM employee Mandelbrot was able to show the first pictures of the most beautiful fractals known today.

    The Mandelbrot set is the set of points on a complex plain. To build the Mandelbrot set, we have to use an algorithm based on the recursive formula:

    separating the points of the complex plane into two categories:

    The image below shows a portion of the complex plane. The points of the Mandelbrot set have been colored black.

    It is also possible to assign a color to the points outside the Mandelbrot set. Their colors depend on how many iterations have been required to determine that they are outside the Mandelbrot set.

    To create the Mandelbrot set we have to pick a point ( C ) on the complex plane. The complex number corresponding with this point has the form:

    After calculating the value of previous expression:

    using zero as the value of , we obtain C as the result. The next step consists of assigning the result to and repeating the calculation: now the result is the complex number . Then we have to assign the value to and repeat the process again and again.

    This process can be represented as the "migration" of the initial point C across the plane. What happens to the point when we repeatedly iterate the function? Will it remain near to the origin or will it go away from it, increasing its distance from the origin without limit? In the first case, we say that C belongs to the Mandelbrot set (it is one of the black points in the image) otherwise, we say that it goes to infinity and we assign a color to C depending on the speed at which the point "escapes" from the origin.

    We can take a look at the algorithm from a different point of view. Let us imagine that all the points on the plane are attracted by both: infinity and the Mandelbrot set. That makes it easy to understand why:

    • points far from the Mandelbrot set rapidly move towards infinity,
    • points close to the Mandelbrot set slowly escape to infinity,
    • points inside the Mandelbrot set never escape to infinity.

    Julia sets are strictly connected with the Mandelbrot set. The iterative function that is used to produce them is the same as for the Mandelbrot set. The only difference is the way this formula is used. In order to draw a picture of the Mandelbrot set, we iterate the formula for each point C of the complex plane, always starting with . If we want to make a picture of a Julia set, C must be constant during the whole generation process, while the value of varies. The value of C determines the shape of the Julia set in other words, each point of the complex plane is associated with a particular Julia set.

    We have to pick a point C ) on the complex plane. The following algorithm determines whether or not a point on complex plane Z ) belongs to the Julia set associated with C , and determines the color that should be assigned to it. To see if Z belongs to the set, we have to iterate the function using . What happens to the initial point Z when the formula is iterated? Will it remain near to the origin or will it go away from it, increasing its distance from the origin without limit? In the first case, it belongs to the Julia set otherwise it goes to infinity and we assign a color to Z depending on the speed the point "escapes" from the origin. To produce an image of the whole Julia set associated with C, we must repeat this process for all the points Z whose coordinates are included in this range:

    The most important relationship between Julia sets and Mandelbrot set is that while the Mandelbrot set is connected (it is a single piece), a Julia set is connected only if it is associated with a point inside the Mandelbrot set. For example: the Julia set associated with is connected the Julia set associated with is not connected (see picture below).

    Iterated Function System (IFS) fractals are created on the basis of simple plane transformations: scaling, dislocation and the plane axes rotation. Creating an IFS fractal consists of following steps:

    1. defining a set of plane transformations,
    2. drawing an initial pattern on the plane (any pattern),
    3. transforming the initial pattern using the transformations defined in first step,
    4. transforming the new picture (combination of initial and transformed patterns) using the same set of transformations,
    5. repeating the fourth step as many times as possible (in theory, this procedure can be repeated an infinite number of times).

    The most famous ISF fractals are the Sierpinski Triangle and the Koch Snowflake.

    This is the fractal we can get by taking the midpoints of each side of an equilateral triangle and connecting them. The iterations should be repeated an infinite number of times. The pictures below present four initial steps of the construction of the Sierpinski Triangle:

    Using this fractal as an example, we can prove that the fractal dimension is not an integer.

    First of all we have to find out how the "size" of an object behaves when its linear dimension increases. In one dimension we can consider a line segment. If the linear dimension of the line segment is doubled, then the length (characteristic size) of the line has doubled also. In two dimensions, if the linear dimensions of a square for example is doubled then the characteristic size, the area, increases by a factor of 4 . In three dimensions, if the linear dimension of a box is doubled then the volume increases by a factor of 8 .

    This relationship between dimension D , linear scaling L and the result of size increasing S can be generalized and written as:

    Rearranging of this formula gives an expression for dimension depending on how the size changes as a function of linear scaling:

    In the examples above the value of D is an integer - 1 , 2 , or 3 - depending on the dimension of the geometry. This relationship holds for all Euclidean shapes. How about fractals?

    Looking at the picture of the first step in building the Sierpinski Triangle, we can notice that if the linear dimension of the basis triangle ( L ) is doubled, then the area of whole fractal (blue triangles) increases by a factor of three ( S ).

    Using the pattern given above, we can calculate a dimension for the Sierpinski Triangle:

    The result of this calculation proves the non-integer fractal dimension.

    To construct the Koch Snowflake, we have to begin with an equilateral triangle with sides of length, for example, 1 . In the middle of each side, we will add a new triangle one-third the size and repeat this process for an infinite number of iterations. The length of the boundary is -infinity. However, the area remains less than the area of a circle drawn around the original triangle. That means that an infinitely long line surrounds a finite area. The end construction of a Koch Snowflake resembles the coastline of a shore.

    Four steps of Koch Snowflake construction:

    Fractal geometry has permeated many area of science, such as astrophysics, biological sciences, and has become one of the most important techniques in computer graphics.

    Nobody really knows how many stars actually glitter in our skies, but have you ever wondered how they were formed and ultimately found their home in the Universe? Astrophysicists believe that the key to this problem is the fractal nature of interstellar gas. Fractal distributions are hierarchical, like smoke trails or billowy clouds in the sky. Turbulence shapes both the clouds in the sky and the clouds in space, giving them an irregular but repetitive pattern that would be impossible to describe without the help of fractal geometry.

    Biologists have traditionally modeled nature using Euclidean representations of natural objects or series. They represented heartbeats as sine waves, conifer trees as cones, animal habitats as simple areas, and cell membranes as curves or simple surfaces. However, scientists have come to recognize that many natural constructs are better characterized using fractal geometry. Biological systems and processes are typically characterized by many levels of substructure, with the same general pattern repeated in an ever-decreasing cascade.

    Scientists discovered that the basic architecture of a chromosome is tree-like every chromosome consists of many 'mini-chromosomes', and therefore can be treated as fractal. For a human chromosome, for example, a fractal dimension D equals 2,34 (between the plane and the space dimension).

    Self-similarity has been found also in DNA sequences. In the opinion of some biologists fractal properties of DNA can be used to resolve evolutionary relationships in animals.

    Perhaps in the future biologists will use the fractal geometry to create comprehensive models of the patterns and processes observed in nature.

    The biggest use of fractals in everyday live is in computer science. Many image compression schemes use fractal algorithms to compress computer graphics files to less than a quarter of their original size.

    Computer graphic artists use many fractal forms to create textured landscapes and other intricate models.

    It is possible to create all sorts of realistic "fractal forgeries" images of natural scenes, such as lunar landscapes, mountain ranges and coastlines. We can see them in many special effects in Hollywood movies and also in television advertisements. The "Genesis effect" in the film "Star Trek II - The Wrath of Khan" was created using fractal landscape algorithms, and in "Return of the Jedi" fractals were used to create the geography of a moon, and to draw the outline of the dreaded "Death Star". But fractal signals can also be used to model natural objects, allowing us to define mathematically our environment with a higher accuracy than ever before.

    Many scientists have found that fractal geometry is a powerful tool for uncovering secrets from a wide variety of systems and solving important problems in applied science. The list of known physical fractal systems is long and growing rapidly.

    Fractals improved our precision in describing and classifying "random" or organic objects, but maybe they are not perfect. Maybe they are just closer to our natural world, not the same as it. Some scientists still believe that true randomness does exist, and no mathematical equation will ever describe it perfectly. So far, there is no way to say who is right and who is wrong.

    Perhaps for many people fractals will never represent anything more than beautiful pictures.


    Introduction Lesson to Straight Line Graphs, Linear Functions and y=mx+c for KS3 Maths

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    Introduction Lesson to Straight Line Graphs.

    This lesson introduces the general form of all straight line graphs (y=mx+c), explaining the key features.

    PowerPoint Lesson

    • Coordinate the starter to begin with (make sure audio is turned on, as sound is embedded in slides)
    • Phase 1: generate coordinates from functions
    • Phase 2: plot the coordinates on worksheets
    • Extension: Generate and plot coordinates for two non-linear functions

    KS3 Maths Curriculum Area

    Number
    Reduce a given linear equation in two variables to the standard form y = mx + c calculate and interpret gradients and intercepts of graphs of such linear equations numerically, graphically and algebraically

    Dave Wilson is a head of maths in Bury. You can find his resources on his TES page davewilson and you can follow him on Twitter at @DLWilson_maths.


    Equations Involving One Operation

    Ejemplo 1

    Solución:

    We can check the solution as follows:

    So, our solution, x = 5, is correct.

    Ejemplo 2

    Solución:
    Check:

    So, our solution, x = 10, is correct.

    Example 3

    Solución:
    Check:

    So, our solution, X = 3, is correct.

    Example 4

    Solución:
    Check:

    So, our solution, x = 15, is correct.

    Key Terms

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    Ver el vídeo: Intro to Linear Functions (Julio 2022).


    Comentarios:

    1. Amasa

      Y por supuesto deseamos:

    2. Nikojora

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    3. Zulugor

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    4. Jujind

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    5. Tobias

      ¿Y qué?

    6. Hamid

      ¿No eres el experto?

    7. Yosu

      dependiendo de la naturaleza del trabajo

    8. Fegrel

      Creo que está equivocado. Estoy seguro. Tenemos que hablar. Escríbeme por MP, te habla.



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