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2.5: Funciones uno a uno e inversas - Matemáticas

2.5: Funciones uno a uno e inversas - Matemáticas


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[m] _Marecek_Bookshelves / Algebra / Book: _Intermediate_Algebra_ (OpenStax) /10:_Exponential_and_Logarithmic_Functions/10.02:_Finding_Composite_and_Inverse_Functions
[ar] _Estanterías / Álgebra / Libro: _Álgebra_intermedia_ (Arnold) /08:_Funciones_exponenciales_y_logarítmicas/8.04:_Función_inversa
Estanterías_Abramson / Precálculo / Libro: _Precalculus_ (OpenStax) /01:_Functions/1.06:_Inversos_Functions
Estanterías_Abramson / Precálculo / Libro: _Precálculo_ (OpenStax) /03:_Funciones_polinomiales_y_racionales/3.08:_Funciones_inversas_y_radicales

Objetivos de aprendizaje

  • Comprende el concepto de función uno a uno.
  • Determina las condiciones para cuando una función tiene una inversa.
  • Utilice la prueba de la línea horizontal para reconocer cuándo una función es uno a uno.
  • Encuentra la inversa de una función dada.
  • Dibuja la gráfica de una función inversa.
  • Evaluar funciones trigonométricas inversas.

Funciones uno a uno

Algunas funciones tienen un valor de salida dado que corresponde a dos o más valores de entrada. Por ejemplo, en un menú puede haber cinco elementos diferentes que cuestan $ 7,99. Si el dominio de una función son todos los elementos enumerados en el menú y el rango son los precios de los elementos, entonces hay cinco valores de entrada diferentes que dan como resultado el mismo valor de salida de $ 7,99.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): determinar si una relación es una función uno a uno

¿El área de un círculo es función de su radio? En caso afirmativo, ¿la función es uno a uno?

Solución

Un círculo de radio (r ) tiene una medida de área única dada por (A = { pi} r ^ 2 ), por lo que para cualquier entrada, (r ), solo hay una salida, (A ). El área es una función del radio (r ).

Si la función es uno a uno, cada valor de salida para el área debe corresponder a un valor de entrada único, el radio.

  • Para cualquier radio dado, solo es posible un valor para el área. Cualquier medida de área (A ) viene dada por la fórmula (A = { pi} r ^ 2 ).
  • Para cualquier área dada, solo se puede producir un valor para el radio. No es posible que un círculo con un radio diferente tenga la misma área. Cualquier medida de radio (r ) viene dada por la fórmula (r = pm sqrt { frac {A} { pi}} ). Debido a que las áreas y los radios son números positivos, hay exactamente una solución: ( sqrt { frac {A} { pi}} ).

Cada radio corresponde a un solo área y cada área está asociada con un solo radio.
Entonces, el área de un círculo es una función uno a uno del radio del círculo.

Pruébelo ( PageIndex {1} )

En un banco, se realiza una impresión al final del día, en la que se enumeran cada número de cuenta bancaria y su saldo.

una. ¿Es el saldo final una función del número de cuenta bancaria?

B. ¿El saldo final es una función uno a uno del número de cuenta bancaria?

Respuesta
una. sí, porque cada cuenta bancaria tiene un saldo único en un momento dado;
B. no, porque cada cuenta bancaria corresponde a un solo saldo, pero cada saldo no corresponde a una sola cuenta bancaria (el mismo saldo puede pertenecer a dos cuentas diferentes).

Definición: funciones uno a uno

A función uno a uno es un tipo particular de función en el que para cada valor de salida (y ) hay exactamente un valor de entrada (x ) que está asociado con él. En otras palabras, una función es uno a uno si cada salida (y ) corresponde exactamente a una entrada (x ).

Es más fácil comprender esta definición al observar los diagramas de mapeo y los gráficos de algunas funciones de ejemplo.

[ar] Ejemplo ( PageIndex {2} ): Definición de funciones 1-1

Considere las dos funciones (h ) y (k ) definidas de acuerdo con los diagramas de mapeo en Figura 1. En Figura 1(a), hay dos valores en el dominio que están mapeados en 3 en el rango. Por tanto, la función (h ) no es uno a uno. Por otro lado, en Figura 1(b), para cada salida en el rango de (k ), solo hay una entrada en el dominio que se asigna a ella. Por lo tanto, (k ) es una función uno a uno.

Figura 2. Los diagramas de mapeo ayudan a determinar si una función es uno a uno.

Identificar 1-1 funciones gráficamente

Al examinar una gráfica de una función, si una línea horizontal (que representa un valor único para (y )), interseca la gráfica de una función en más de un lugar, entonces para cada punto de intersección, tiene un valor diferente de (x ) asociado con el mismo valor de (y ). Por lo tanto, el valor (y ) NO corresponde exactamente a una entrada, y la gráfica NO es la de una función uno a uno. Esta idea es la idea detrás de la prueba de línea horizontal.

Cómo: Utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si un gráfico determinado representa una función 1-1.

  1. Confirme que la gráfica es una función usando la prueba de la línea vertical. (una función 1-1 deber ser una función)
  2. Inspeccione el gráfico para ver si alguna línea horizontal dibujada se cruzaría con la curva más de una vez.
  3. Si existe una línea de este tipo, entonces la función no es uno a uno, pero si cada línea horizontal interseca el gráfico en un punto como máximo, entonces la función representada por el gráfico es doce y cincuenta y nueve de la noche.

[m] Ejemplo ( PageIndex {3} ): HLT

Determine (a) si cada gráfica es la gráfica de una función y, de ser así, (b) si es uno a uno.

Solución:

[m] Pruébelo ( PageIndex {3} ): HLT

Determine (a) si cada gráfica es la gráfica de una función y, de ser así, (b) si es uno a uno.

Respuesta
  1. No es una función, por lo que no es una función uno a uno
  2. Función uno a uno

Nota: 1-1 atributos de función [ar]

De la prueba de la línea horizontal se deduce que si (f ) es una función estrictamente creciente, entonces (f ) es uno a uno. Asimismo, cada función estrictamente decreciente también es uno a uno.

Atributo uno a uno confirmado algebraicamente

Definición algebraica: funciones uno a uno

Si una función (f ) es uno a uno y (a ) y (b ) están en el dominio de (f ) entonces

si (a ne b ) entonces (f (a) ne f (b) )Dos valores (x ) diferentes siempre producen valores (y ) diferentes
si (f (a) = f (b) ) entonces (a = b )Ningún valor de (y ) corresponde a más de un valor de (x )

[c] Ejemplo ( PageIndex {4} ): Confirme 1-1 algebraicamente

Muestre algebraicamente que (f (x) = (x + 2) ^ 2 ) no es uno a uno

Solución

( begin {array} {ccc}
qquad text {Si} f (a) & = & f (b) text {entonces ...} qquad
(a + 2) ^ 2 & = & (b + 2) ^ 2
sqrt {(a + 2) ^ 2} & = & pm sqrt {(b + 2) ^ 2}
a + 2 = b + 2 & o & a + 2 = - (b + 2)
a = b & o & a = -b-4
end {matriz} )

Dado que hemos demostrado que cuando (f (a) = f (b) ) no siempre tenemos el resultado de que (a = b ), entonces podemos concluir que (f ) no es uno a- uno.

Implicaciones del atributo uno a uno al resolver ecuaciones

Una de las ramificaciones de ser una función uno a uno (f ) es que al resolver una ecuación (f (u) = f (v) ), esta ecuación se puede resolver de manera más simple simplemente resolviendo ( u = v ). Esto se hace comúnmente cuando se deben resolver ecuaciones logarítmicas o exponenciales. Otra implicación de esta propiedad ya la hemos visto cuando encontramos raíces extrañas cuando las ecuaciones de raíz cuadrada se resuelven elevando al cuadrado. Esto se debe a que las soluciones a (g (x) = x ^ 2 ) no son necesariamente las soluciones a (f (x) = sqrt (x) ) porque (g ) no es un uno a -una función.

Funciones e inversas uno a uno

Veamos una función uno a uno, (f ), representada por los pares ordenados ( {(0,5), (1,6), (2,7), (3,8) } ). Para cada valor de (x ), (f ) suma (5 ) para obtener el valor de (y ). Para "deshacer" la suma de (5 ), restamos (5 ) de cada valor de (y ) y volvemos al valor de (x ) original. Podemos llamar a esto "tomar la inversa de (f )" y nombrar la función (f ^ {- 1} ).

ADVERTENCIA: notación

(f ^ {- 1} ) hace no significa ( frac {1} {f} )

El exponente −1 es solo una notación en este contexto. Cuando se aplica a una función, representa el inverso de la función, no el recíproco de la función.

[ar] Nota: Funciones uno a uno e inversos

Una función debe ser uno a uno para tener una inversa.

Considere la función (h ) en el Ejemplo 2. (h ) no es uno a uno. Si invertimos las flechas en el diagrama de mapeo para una función que no sea uno a uno como (h ) en la Figura 2 (a), entonces la relación resultante no será una función, porque 3 se mapearía tanto en 1 como en 2 Por el contrario, si invertimos las flechas para una función uno a uno como (k ) en la Figura 2 (a) o (f ) en el ejemplo anterior, entonces la relación resultante ES una función que deshace la efecto de la función original. Por lo tanto, para que una función tenga una inversa, debe ser una función uno a uno y, a la inversa, cada función uno a uno tiene una función inversa.

Funciones inversas

Verificación de funciones inversas

Cuando comenzamos nuestra discusión sobre una función inversa, hablamos sobre cómo la función inversa "deshace" lo que la función original le hizo a un valor en su dominio para volver al valor (x ) original. Esto se muestra esquemáticamente a continuación.

Poniendo estos conceptos en forma algebraica, llegamos a la definición de una función inversa

[ar] Definición: Funciones inversas [ar]

(f ^ {- 1} (f (x)) = x ), para todos (x ) en el dominio de (f )

(f left (f ^ {- 1} (x) right) = x ), para todos (x ) en el dominio de (f ^ {- 1} )

Podemos usar esta propiedad para verificar que dos funciones sean inversas entre sí.

[m] Pruébelo ( PageIndex {6a} )

  1. Verifique que las funciones sean funciones inversas. (f (x) = 4 x-3 ) y (g (x) = frac {x + 3} {4} ).
  2. Verifique que las funciones sean funciones inversas. (f (x) = 2 x + 6 ) y (g (x) = frac {x-6} {2} )
Respuesta

1. (g (f (x)) = x ), y (f (g (x)) = x ), por lo que son inversas.
2. (g (f (x)) = x, ) y (f (g (x)) = x, ) entonces son inversas.

Pruébelo ( PageIndex {6b} )

Muestre que (f (x) = frac {x + 5} {3} ) y (f ^ {- 1} (x) = 3x − 5 ) son inversas.

Respuesta

1. (f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} ( frac {x + 5} {3}) = 3 ( frac {x + 5} {3}) - 5 = (x − 5) + 5 = x )
2. (f (f ^ {- 1} (x)) = f (3x − 5) = frac {(3x − 5) +5} {3} = frac {3x} {3} = x )

Observe que las operaciones inversas están en orden inverso a las operaciones de la función original.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Verificar inversos de funciones racionales

Demuestre que (f (x) = frac {1} {x + 1} ) y (f ^ {- 1} (x) = frac {1} {x} −1 ) son inversas, por (x ≠ 0, −1 ).

Solución

Debemos demostrar que (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) para todo (x ) en el dominio de (f )

[ begin {align *} f ^ {- 1} (f (x)) & = f ^ {- 1} left ( dfrac {1} {x + 1} right) [4pt] & = dfrac {1} { dfrac {1} {x + 1}} - 1 [4pt] & = (x + 1) −1 [4pt] & = x && text {para todos} x ne 1 text {- el dominio de} f end {align *} ]

y (f (f ^ {- 1} (x)) = x ) para todo (x ) en el dominio de (f ^ {- 1} ).

[ begin {align *} f (f ^ {- 1} (x)) & = f ( dfrac {1} {x − 1}) [4pt] & = dfrac {1} { left ( dfrac {1} {x − 1} right) +1} [4pt] & = dfrac {1} { dfrac {1} {x}} [4pt] & = x && text {para todos} x ne 0 text {- el dominio de} f ^ {- 1} end {align *} ]

Por lo tanto, (f (x) = dfrac {1} {x + 1} ) y (f ^ {- 1} (x) = dfrac {1} {x} −1 ) son inversas.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): verificar inversos para funciones de potencia

Si (f (x) = x ^ 3 ) (la función del cubo) y (g (x) = frac {1} {3} x ), es (g = f ^ {- 1} )?

Solución

[f (g (x)) = dfrac {x ^ 3} {27} { neq} x ]

No, las funciones no son inversas.
Análisis

La inversa correcta del cubo es, por supuesto, la raíz cúbica ( sqrt [3] {x} = x ^ { frac {1} {3}} ), es decir, un tercio es un exponente , no un multiplicador.

Pruébelo ( PageIndex {8} )

  1. Si (f (x) = x ^ 3−4 ) y (g (x) = sqrt [3] {x + 4} ), ¿es (g = f ^ {- 1} )?
  2. Si (f (x) = (x − 1) ^ 3 ) y (g (x) = sqrt [3] {x} +1 ), es (g = f ^ {- 1} )?
Respuesta

1. sí
2. sí

Inversiones de pares ordenados

[m] Definición: Inversa de una función definida por pares ordenados.

Si (f (x) ) es una función uno a uno cuyos pares ordenados son de la forma ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} (x) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

En el siguiente ejemplo encontraremos la inversa de una función definida por pares ordenados.

[m] Ejemplo ( PageIndex {9} ): inverso de pares ordenados

Encuentra la inversa de la función ( {(0,3), (1,5), (2,7), (3,9) } ). Determina el dominio y el rango de la función inversa.

Solución:

Esta función es uno a uno ya que cada valor (x ) - se empareja con exactamente un valor (y ) -.

Para encontrar la inversa, invertimos los valores de (x ) y los valores de (y ) en los pares ordenados de la función.

( begin {array} {ll} { text {Función}} & { {(0,3), (1,5), (2,7), (3,9) }} { text {Función inversa}} & { {(3,0), (5,1), (7,2), (9,3) }} { text {Dominio de la función inversa}} & { {3, 5, 7, 9 }} { text {Rango de función inversa}} & { {0, 1, 2, 3 }} end {array} )

[m] Pruébelo ( PageIndex {9} )

  1. Encuentra la inversa de ( {(0,4), (1,7), (2,10), (3,13) } ). Determina el dominio y el rango de la función inversa.
  2. Encuentra la inversa de ( {(- 1,4), (- 2,1), (- 3,0), (- 4,2) } ). Determina el dominio y el rango de la función inversa.
Respuesta

1. Función inversa: ( {(4,0), (7,1), (10,2), (13,3) } ). Dominio: ( {4,7,10,13 } ). Rango: ( {0,1,2,3 } ).
2. Función inversa: ( {(4, -1), (1, -2), (0, -3), (2, -4) } ). Dominio: ( {0,1,2,4 } ). Rango: ( {- 4, -3, -2, -1 } ).

Inversiones de gráficos

Dado que cada punto en la gráfica de una función (f (x) ) es una imagen especular de un punto en la gráfica de (f ^ {- 1} (x) ), decimos que las gráficas son imágenes especulares de entre sí a través de la línea (y = x ). Usaremos este concepto para graficar la inversa de una función en el siguiente ejemplo.

Acabamos de notar que si (f (x) ) es una función uno a uno cuyos pares ordenados son de la forma ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} (x) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

Entonces, si un punto ((a, b) ) está en la gráfica de una función (f (x) ), entonces el par ordenado ((b, a) ) está en la gráfica de (f ^ {- 1} (x) ). Ver la figura 10.1.43.

La distancia entre dos pares ((a, b) ) y ((b, a) ) se corta a la mitad por la línea (y = x ). Entonces decimos que los puntos son imágenes especulares entre sí a través de la línea (y = x ).

Figura 10

[m] Ejemplo ( PageIndex {10} ): Gráfico inverso

Grafique, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno que se muestra.

Solución:

Podemos usar puntos en la gráfica para encontrar puntos en la gráfica inversa. Algunos puntos en la gráfica son: ((- 5, −3), (- 3, −1), (- 1,0), (0,2), (3,4) ).

Entonces, la función inversa contendrá los puntos: ((- 3, −5), (- 1, −3), (0, −1), (2,0), (4,3) ).

Observe cómo la gráfica de la función original y la gráfica de las funciones inversas son imágenes en espejo a través de la línea (y = x ).

[m] Pruébelo ( PageIndex {10} )

Grafique, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno.

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {11} ): encontrar la inversa de una función usando la reflexión sobre la línea de identidad

Dada la gráfica de (f (x) ) en la Figura ( PageIndex {11} ), dibuje una gráfica de (f ^ {- 1} (x) ).


Figura ( PageIndex {11} )

Esta es una función uno a uno, por lo que podremos dibujar una inversa. Note que la gráfica que se muestra tiene un dominio aparente de ((0, infty) ) y un rango de ((- infty, infty) ), por lo que la inversa tendrá un dominio de ((- infty , infty) ) y rango de ((0, infty) ).

Solución. Si reflejamos este gráfico sobre la línea (y = x ), el punto ((1,0) ) se refleja en ((0,1) ) y el punto ((4,2) ) se refleja en ((2,4) ). Dibujar el inverso en los mismos ejes que el gráfico original da la Figura ( PageIndex {10} ).

La función y su inversa,
mostrando una reflexión sobre la línea de identidad

Pruébelo ( PageIndex {11} )

Dada la función (f (x) = tfrac {2} {x-3} +4 ), dibuja gráficas de las funciones (f ) y (f ^ {- 1} )

Respuesta

Cómo: Dada la gráfica de una función, evalúa su inversa en puntos específicos.

  1. Encuentra la coordenada (x ) deseada de (f ^ {- 1} ) en el eje y de la gráfica dada de (f ).
  2. Lee la coordenada (y ) correspondiente de (f ^ {- 1} ) en el eje x de la gráfica dada de (f ).

Ejemplo ( PageIndex {12} ): evaluar una función y su inverso a partir de un gráfico en puntos específicos

En la Figura ( PageIndex {12} ) se da una función (g (x) ).
Encuentra (g (3) ) y (g ^ {- 1} (3) ).

Figura ( PageIndex {12} ): Gráfico de (g (x) )

Solución. Para evaluar (g (3) ), encontramos 3 en el eje xy encontramos el valor de salida correspondiente en el eje y. El punto ((3,1) ) nos dice que (g (3) = 1 ).

Para evaluar (g ^ {- 1} (3) ), recuerde que, por definición, (g ^ {- 1} (3) ) significa el valor de (x ) para el cual (g (x) = 3 ). Al buscar el valor de salida 3 en el eje vertical, encontramos el punto ((5,3) ) en la gráfica, lo que significa (g (5) = 3 ), entonces, por definición, (g ^ {-1} (3) = 5. ) Vea la figura ( PageIndex {6} ).

Pruébelo ( PageIndex {12} )

Usando la gráfica de la Figura ( PageIndex {12} ), (a) encuentre (g ^ {- 1} (1) ) y (b) estime (g ^ {- 1} (4) ).

Respuesta

(a) 3 ( qquad ) (b) 5.6

Fórmulas para inversos

Hemos encontrado inversas de función definidas por pares ordenados y de una gráfica. Ahora veremos cómo encontrar una inversa usando una ecuación algebraica. El método usa la idea de que si (f (x) ) es una función uno a uno con pares ordenados ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} (x ) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

Si invertimos (x ) y (y ) en la función y luego resolvemos (y ), obtenemos nuestro función inversa.

Resumimos los pasos a continuación.

Cómo: encontrar la inversa de una función uno a uno.

  1. Asegúrese de que (f ) sea uno a uno. Si (f ) no es uno a uno, NO tiene inversa. (Alternativamente, se podría encontrar la inversa propuesta y luego sería necesario confirmar que las dos son funciones y, de hecho, inversas).
  2. Sustituye (y ) por (f (x) ).
  3. Intercambie las variables (x ) y (y ).
  4. Resuelve para (y ).
  5. Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).

Inversiones de funciones lineales

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Inversiones de una función lineal

Encuentra la inversa de (f (x) = 4 x + 7 ).

Solución:

Paso 1. Sustituye (y ) por (f (x) ).Reemplaza (f (x) ) con (y ). ( begin {alineado} f (x) & = 4 x + 7 y & = 4 x + 7 end {alineado} )
Paso 2: Intercambia las variables (x ) y (y ).Reemplaza (x ) con (y ) y luego (y ) con (x ). (x = 4y + 7 )
Paso 3: Resuelve para (y ).

Resta (7 ) de cada lado.

Dividir por (4 ).

(x-7 = 4 y )
( frac {x-7} {4} = y )
Paso 4: Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).Reemplaza (y ) con (f ^ {- 1} (x) ). ( frac {x-7} {4} = f ^ {- 1} (x) )
Paso 5: Verifique que las funciones sean inversas.

Muestra (f ^ {- 1} (f (x)) = x )

y (f left (f ^ {- 1} (x) right) = x )

( begin {alineado} f ^ {- 1} (f (x)) & stackrel {?} {=} x f ^ {- 1} (4x + 7) & stackrel {?} {= } x frac {(4x + 7) -7} {4} & stackrel {?} {=} x frac {4x} {4} & stackrel {?} {=} x x & = x f (f ^ {- 1} (x)) & stackrel {?} {=} x f left ( frac {x-7} {4} right) & stackrel {?} {=} x 4 left ( frac {x-7} {4} right) + 7 & stackrel {?} {=} x x-7 + 7 & stackrel {? } {=} x x & = x end {alineado} )
Tabla 10.1.7

[m] Pruébelo ( PageIndex {13} )

  1. Encuentra la inversa de la función (f (x) = 5x-3 ).
  2. Encuentra la inversa de la función (f (x) = 8 x + 5 ).
Respuesta

1. (f ^ {- 1} (x) = frac {x + 3} {5} )
2. (f ^ {- 1} (x) = frac {x-5} {8} )

Inversiones de funciones de potencia impares

[ar] Ejemplo ( PageIndex {14a} )

Esta vez encontraremos la inversa de (f (x) = 2x ^ 5 + 3 ).

Paso 1: Una verificación del gráfico muestra que f es uno a uno (esto queda para que el lector lo verifique).

PASO 2: Escribe la fórmula en forma de ecuación xy: (y = 2x ^ 5 + 3 ).

PASO 3: Intercambia x e y: (x = 2y ^ 5 + 3 ).

PASO 4: Resuelve para y:

(x = 2y ^ 5 + 3 ).

( rightarrow x − 3 = 2y ^ 5 )

( flecha derecha frac {x − 3} {2} = y ^ 5 )

( flecha derecha sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} = y )

Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} )

Nuevamente, observe que la gráfica de (f ^ {- 1} (x) = sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} ) es un reflejo de la gráfica de (f (x ) = 2x ^ 5 + 3 ) a lo largo de la línea y = x (ver Figura 10).

Ejemplo ( PageIndex {14b} ): encontrar la inversa de una función cúbica

Encuentra la inversa de la función (f (x) = 5x ^ 3 + 1 ).

Solución

Esta es una transformación de la función básica del juego de herramientas cúbico y, según nuestro conocimiento de esa función, sabemos que es uno a uno. Resolviendo la inversa cambiando (x ) y (y ) y resolviendo para (y ).

(y = 5x ^ 3 + 1 )

(x = 5y ^ 3 + 1 )

(x − 1 = 5y ^ 3 )

( dfrac {x − 1} {5} = y ^ 3 )

(f ^ {- 1} (x) = sqrt [3] { dfrac {x − 1} {5}} )

Análisis

Mira la gráfica de (f ) y (f ^ {- 1} ). Observe que una gráfica es el reflejo de la otra sobre la línea (y = x ). Este es siempre el caso al graficar una función y su función inversa.

Además, dado que el método implicaba intercambiar (x ) y (y ), observe los puntos correspondientes. Si ((a, b) ) está en la gráfica de (f ), entonces ((b, a) ) está en la gráfica de (f ^ {- 1} ). Dado que ((0,1) ) está en la gráfica de (f ), entonces ((1,0) ) está en la gráfica de (f ^ {- 1} ). De manera similar, como ((1,6) ) está en la gráfica de (f ), entonces ((6,1) ) está en la gráfica de (f ^ {- 1} ) (Figura ( PageIndex {9} )).

Pruébelo ( PageIndex {14} )

Encuentra la función inversa de (f (x) = sqrt [3] {x + 4} ).

Respuesta

(f ^ {- 1} (x) = x ^ 3−4 )

Dominio y rango de funciones inversas

Observe que los pares ordenados de (f ) y (f ^ {- 1} ) tienen sus valores (x ) - y (y ) - valores invertidos. Por lo tanto, podemos determinar indirectamente el dominio y rango de una función y su inversa.

[m] Nota: dominio y rango de (f ) y (f ^ {- 1} )

El dominio de (f ) es el rango de (f ^ {- 1} ) y el dominio de (f ^ {- 1} ) es el rango de (f ).

Cómo: Dada una función, encuentra el dominio y el rango de su inverso.

  1. Si la función es uno a uno, escriba el rango de la función original como el dominio de la inversa y escriba el dominio de la función original como el rango de la inversa.
  2. Si es necesario restringir el dominio de la función original para convertirlo en uno a uno, entonces este dominio restringido se convierte en el rango de la función inversa.

Inversiones de funciones radicales

[m] Ejemplo ( PageIndex {15} ): Inversa de funciones radicales

Encuentra la inversa de (f (x) = sqrt [5] {2 x-3} ).

Solución:

(f (x) = sqrt [5] {2 x-3} )

Sustituye (y ) por (f (x) ).

(y = sqrt [5] {2 x-3} )

Intercambie las variables (x ) y (y ).

(x = sqrt [5] {2 y-3} )

Resuelve para (y ).

( begin {alineado} (x) ^ {5} & = ( sqrt [5] {2 y-3}) ^ {5} x ^ {5} & = 2 y-3 x ^ {5} +3 & = 2 y frac {x ^ {5} +3} {2} & = y end {alineado} )

Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +3} {2} )

Verifique que las funciones sean inversas.

( begin {matriz} {rr} {f ^ {- 1} (f (x)) stackrel {?} {=} x} & {f left (f ^ {- 1} (x) right ) stackrel {?} {=} x} {f ^ {- 1} ( sqrt [5] {2x-3}) stackrel {?} {=} x} & {f left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right)} stackrel {?} {=} x { frac {( sqrt [5] {2x-3}) ^ {5} +3} {2} stackrel {?} {=} X} & { sqrt [5] {2 left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right) -3} stackrel {?} {=} x} { frac {2x-3 + 3} {2} stackrel {?} {=} x} & { sqrt [5] {x ^ {5} + 3-3} stackrel {?} {=} x} { frac {2x} {2} stackrel {?} {=} x} & { sqrt [5] {x ^ {5}} stackrel {?} {= } x} {x = x} & {x = x} end {matriz} )

[m] Pruébelo ( PageIndex {15} )

  1. Encuentra la inversa de la función (f (x) = sqrt [5] {3 x-2} ).
  2. Encuentra la inversa de la función (f (x) = sqrt [4] {6 x-7} ).
Respuesta

1. (f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +2} {3} )
2. (f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {4} +7} {6} )

Si queremos encontrar la inversa de una función radical, necesitaremos restringir el dominio de la respuesta si el rango de la función original es limitado.

Ejemplo ( PageIndex {16} ): Resolver para encontrar un inverso con raíces cuadradas

Encuentra la inversa de la función (f (x) = 2 + sqrt {x − 4} ).

Solución

[ begin {align} y & = 2 + sqrt {x-4} x & = 2 + sqrt {y-4} (x-2) ^ 2 & = y-4 xy & = (x -2) ^ 2 + 4 end {align} ]

Entonces (f ^ {- 1} (x) = (x − 2) ^ 2 + 4 ).

El dominio de (f ) es ( left [4, infty right) ). Observe que el rango de (f ) es ( left [2, infty right) ), por lo que esto significa que el dominio de la función inversa (f ^ {- 1} ) también es ( left [2, infty right) )

Análisis

La fórmula que encontramos para (f ^ {- 1} (x) ) parece que sería válida para todos los (x ) reales. Sin embargo, (f ^ {- 1} ) en sí mismo debe tener una inversa (es decir, (f )) por lo que tenemos que restringir el dominio de (f ^ {- 1} ) a ( left [ 2, infty right) ) para hacer de (f ^ {- 1} ) una función uno a uno. Este dominio de (f ^ {- 1} ) es exactamente el rango de (f ).

Pruébelo ( PageIndex {16} )

¿Cuál es la inversa de la función (f (x) = 2- sqrt {x} )? Enuncie los dominios tanto de la función como de la función inversa.

Respuesta

(f ^ {- 1} (x) = (2 − x) ^ 2 ); dominio de (f ): ( left [0, infty right) ); dominio de (f ^ {- 1} ): ( left (- infty, 2 right] )

Ejemplo ( PageIndex {17} ): encontrar la inversa de una función de raíz cuadrada

Encuentra la inversa de la función (f (x) = sqrt {x − 4} ).

Solución

Tenga en cuenta que la función original tiene un rango (f (x) ≥0 ). Reemplaza (f (x) ) con (y ), luego resuelve para (x ).

(y = sqrt {x − 4} ) Reemplaza (f (x) ) con (y ).

(x = sqrt {y − 4} ) Intercambia (x ) y (y ).

(x = sqrt {y − 4} ) Cuadra cada lado.

(x ^ 2 = y − 4 ) Suma 4.

(x ^ 2 + 4 = y ) Cambiar el nombre de la función (f ^ {- 1} (x) ).

(f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 + 4 )

Recuerde que el dominio de esta función debe limitarse al rango de la función original.

(f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 + 4 ), (x≥0 )

Análisis

Observe en la Figura ( PageIndex {17} ) que la inversa es un reflejo de la función original sobre la línea (y = x ). Debido a que la función original solo tiene salidas no negativas, la función inversa solo tiene entradas no negativas.

Pruébelo ( PageIndex {17} )

¿Cuál es la inversa de la función (f (x) = sqrt {2x + 3} )? Indique el dominio y el rango tanto de la función como de la función inversa.

Respuesta
(f (x) = sqrt {2x + 3} )Dominio de (f ): ( left [- tfrac {3} {2}, infty right) )Rango de (f ): ( left [0, infty right) )
(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ 2−3} {2} ), (x≥0 )Rango de (f ^ {- 1} ): ( left [0, infty right) )Dominio de (f ^ {- 1} ): ( left [- tfrac {3} {2}, infty right) )

Inversiones de funciones racionales

[ar] Ejemplo ( PageIndex {18} )

Encuentra la inversa de (f (x) = frac {5} {7 + x} ).

Paso 1: Una verificación del gráfico muestra que f es uno a uno (esto queda para que el lector lo verifique).

PASO 2: Escribe la fórmula en forma de ecuación xy: (y = frac {5} {7 + x} ).

PASO 3: Intercambia x e y: (x = frac {5} {7 + y} ).

PASO 4: Resuelve para y:

(x = frac {5} {7 + y} )

( flecha derecha x (7 + y) = 5 )

( flecha derecha 7 + y = frac {5} {x} )

(y = frac {5} {x} −7 = frac {5 - 7x} {x} )

Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = frac {5 - 7x} {x} )

Ejemplo ( PageIndex {19} ): Resolver para encontrar una función inversa

Encuentra la inversa de la función (f (x) = frac {2} {x − 3} +4 ).

Solución

[ begin {align} y & = dfrac {2} {x − 3 + 4} & text {Establece una ecuación.}
x & = dfrac {2} {y − 3 + 4} & text {Cambiar variables.}
x − 4 & = dfrac {2} {y − 3} & text {Resta 4 de ambos lados.} y − 3 & = dfrac {2} {x − 4} & text {Multiplica ambos lados por y −3 y dividir por x − 4.} y & = dfrac {2} {x − 4} +3 & text {Suma 3 en ambos lados.} End {align} ]

Entonces (f ^ {- 1} (x) = frac {2} {x − 4} +3 ).

Dominio de (f ): ((- infty, 3] cup [3, infty) )Rango de (f ): ((- infty, 4] cup [4, infty) )
Rango de (f ^ {- 1} ): ((- infty, 4] cup [4, infty) )Dominio de (f ^ {- 1} ): ((- infty, 3] cup [3, infty) )

[ar] Ejemplo ( PageIndex {20} )

Este ejemplo es un poco más complicado: encuentre la inversa de la función (f (x) = frac {5x + 2} {x − 3} ).

Paso 1: Una verificación del gráfico muestra que f es uno a uno (esto queda para que el lector lo verifique).

PASO 2: Escribe la fórmula en forma de ecuación xy: (y = frac {5x + 2} {x − 3} ).

PASO 3: Intercambia x e y: (x = frac {5y + 2} {y − 3} ).

PASO 4: Resuelve para y:

(x = frac {5y + 2} {y − 3} )

( rightarrow x (y − 3) = 5y + 2 )

( rightarrow xy − 3x = 5y + 2 )

Esta ecuación es lineal en y. Aísle los términos que contienen la variable y en un lado de la ecuación, factorice y luego divida por el coeficiente de y.

(xy − 3x = 5y + 2 )

(xy − 5y = 3x + 2 )

(y (x − 5) = 3x + 2 )

(y = frac {3x + 2} {x − 5} )

Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = frac {3x + 2} {x − 5} ).

Inversa de una cuadrática restringida a un dominio

[ar] Ejemplo ( PageIndex {21} )

De acuerdo con la prueba de la línea horizontal, la función (h (x) = x ^ 2 ) ciertamente no es uno a uno. Sin embargo, si solo consideramos la mitad derecha o la mitad izquierda de la función (es decir, restringimos el dominio al intervalo ([0, infty) ) o ((- infty, 0] )), entonces la función sería uno a uno y, por lo tanto, tendría una inversa (Figura 21(a) muestra la mitad izquierda). Por ejemplo, suponga que (f ) es la función (f (x) = x ^ 2 ), (x le 0 )

En este caso, el procedimiento aún funciona, siempre que llevemos la condición de dominio en todos los pasos, de la siguiente manera:

Paso 1: El gráfico en Figura 21(a) pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que (f ) es uno a uno.

Paso 2: Escribe la fórmula en (xy ) - forma de ecuación: (y = x ^ 2 ), (x le 0 )

Paso 3: Intercambia (x ) y (y ): (x = y ^ 2 ), (y le 0 )

Observe cómo (x ) y (y ) también deben intercambiarse en la condición de dominio.

Paso 4: Resolver para (y ): (y = pm sqrt {x} ), (y le 0 )

Ahora hay dos opciones para (y ), una positiva y otra negativa, pero la condición (y le 0 ) nos dice que la opción negativa es la correcta. Por lo tanto, la última declaración es equivalente a

(y = - sqrt {x} ).

Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = - sqrt {x} ). La gráfica de (f ^ {- 1} ) se muestra en Figura 21(b), y las gráficas de f y (f ^ {- 1} ) se muestran en Figura 21(c) como reflexiones a lo largo de la línea y = x.

Ejemplo ( PageIndex {22} ): Restringir el dominio para encontrar la inversa de una función polinomial

Encuentra la función inversa de (f ):

  1. (f (x) = {(x − 4)} ^ 2 ), (x≥4 )
  2. (f (x) = {(x − 4)} ^ 2 ), (x≤4 )

Solución

La función original (f (x) = {(x − 4)} ^ 2 ) no es uno a uno, pero la función está restringida a un dominio de (x≥4 ) o (x≤ 4 ) en el que es uno a uno (Figura ( PageIndex {6} )).

Para encontrar la inversa, comience reemplazando (f (x) ) con la variable simple (y ).

(y = {(x − 4)} ^ 2 ) Intercambia (x ) y (y ).

(x = {(y − 4)} ^ 2 ) Saca la raíz cuadrada.

( pm sqrt {x} = y − 4 ) Suma (4 ) a ambos lados.

(4 pm sqrt {x} = y )

Esta no es una función como está escrita. Necesitamos examinar las restricciones en el dominio de la función original para determinar la inversa. Como invertimos los roles de (x ) y (y ) para el (f (x) ) original, miramos el dominio: los valores que (x ) podría asumir. Cuando invertimos los roles de (x ) y (y ), esto nos dio los valores que (y ) podría asumir. Para esta función, (x≥4 ), entonces para la inversa, deberíamos tener (y≥4 ), que es lo que da nuestra función inversa.

  1. El dominio de la función original estaba restringido a (x≥4 ), por lo que las salidas de la inversa deben ser las mismas, (f (x) ≥4 ), y debemos usar el caso +:

    (f ^ {- 1} (x) = 4 + sqrt {x} )

  2. El dominio de la función original estaba restringido a (x≤4 ), por lo que las salidas de la inversa deben ser las mismas, (f (x) ≤4 ), y debemos usar el caso -:

    (f ^ {- 1} (x) = 4− sqrt {x} )

Análisis

En los gráficos de la Figura ( PageIndex {22} ), vemos la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa. Observe que juntas las gráficas muestran simetría sobre la línea (y = x ). El par de coordenadas ((4,0) ) está en el gráfico de f y el par de coordenadas ((0, 4) ) está en el gráfico de (f ^ {- 1} ). Para cualquier par de coordenadas, si ((a, b) ) está en la gráfica de (f ), entonces ((b, a) ) está en la gráfica de (f ^ {- 1} ). Finalmente, observe que la gráfica de (f ) se interseca con la gráfica de (f ^ {- 1} ) en la línea (y = x ). Los puntos de intersección para las gráficas de (f ) y (f ^ {- 1} ) siempre estarán en la línea (y = x ).

Ejemplo ( PageIndex {23} ): encontrar la inversa de una función cuadrática cuando no se especifica la restricción

Restrinja el dominio y luego encuentre la inversa de

(f (x) = {(x − 2)} ^ 2−3 ).

Solución

Podemos ver que esta es una parábola con vértice en ((2, –3) ) que se abre hacia arriba. Debido a que la gráfica disminuirá en un lado del vértice y aumentará en el otro lado, podemos restringir esta función a un dominio en el que será uno a uno limitando el dominio a (x≥2 ).

Para encontrar la inversa, usaremos la forma de vértice de la cuadrática. Comenzamos reemplazando (f (x) ) con una variable simple, (y ), luego resolvemos para (x ).

(y = {(x − 2)} ^ 2−3 ) Intercambia (x ) y (y ).

(x = {(y − 2)} ^ 2−3 ) Suma 3 a ambos lados.

(x + 3 = {(y − 2)} ^ 2 ) Saca la raíz cuadrada.

( pm sqrt {x + 3} = y − 2 ) Suma 2 a ambos lados.

(2 pm sqrt {x + 3} = y ) Cambie el nombre de la función.

(f ^ {- 1} (x) = 2 pm sqrt {x + 3} )

Ahora necesitamos determinar qué caso usar. Debido a que restringimos nuestra función original a un dominio de (x≥2 ), las salidas de la inversa deberían ser las mismas, diciéndonos que utilicemos el caso +

(f ^ {- 1} (x) = 2 + sqrt {x + 3} )

Si la cuadrática no se hubiera dado en forma de vértice, el primer paso sería reescribirla en forma de vértice. De esta forma podemos observar fácilmente las coordenadas del vértice para ayudarnos a restringir el dominio.

Análisis

Observe que decidimos restringir arbitrariamente el dominio en (x≥2 ). We could just as easily have opted to restrict the domain to (x≤2), in which case (f^{−1}(x)=2−sqrt{x+3}). Observe the original function graphed on the same set of axes as its inverse function in Figure (PageIndex{23}). Notice that both graphs show symmetry about the line (y=x). The coordinate pair ((2, −3)) is on the graph of (f) and the coordinate pair ((−3, 2)) is on the graph of (f^{−1}). Observe from the graph of both functions on the same set of axes that

domain of (f=) range of (f^{–1}=[2,infty))

y

domain of (f^{–1}=) range of (f=[–3,infty)).

Finally, observe that the graph of (f) intersects the graph of (f^{−1}) along the line (y=x).

Figure (PageIndex{23})

Try It (PageIndex{24})

Find the inverse of the function (f(x)=x^2+1), on the domain (x≥0).

Respuesta

(f^{−1}(x)=sqrt{x−1})


Can more than one formula from a piecewise function be applied to a value in the domain?

Si. If (f=f^{-1}), then (f(f(x))=x), and we can think of several functions that have this property. The identity function does, and so does the reciprocal function, because

[dfrac{1}{frac{1}{x}}=x]

Any function (f(x)=c−x), where (c) is a constant, is also equal to its own inverse.

Conceptos clave

  • Horizontal Line Test: If every horizontal line, intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function.
  • Inverse of a Function Defined by Ordered Pairs: If (f(x)) is a one-to-one function whose ordered pairs are of the form ((x,y)), then its inverse function (f^{−1}(x)) is the set of ordered pairs ((y,x)).
  • Inverse Functions: For every (x) in the domain of one-to-one function (f) and (f^{−1}),

    (f^{-1}(f(x))=x)
    (fleft(f^{-1}(x) ight)=x)

  • How to Find the Inverse of a One-to-One Function:
    1. Substitute (y) for (f(x)).
    2. Interchange the variables (x) and (y).
    3. Solve for (y).
    4. Substitute (f^{−1}(x)) for (y).
    5. Verify that the functions are inverses.

Glosario

one-to-one function
A function is one-to-one if each value in the range has exactly one element in the domain. For each ordered pair in the function, each (y)-value is matched with only one (x)-value.

Inverse Functions: One to One

Not all functions have inverse functions. The graph of inverse functions are reflections over the line y = x. This means that each x-value must be matched to one and only one y-value. Functions that meet this criteria are called one-to one functions .

A function is said to be one-to-one if each x-value corresponds to exactly one y-value.

A function f has an inverse function, f -1 , if and only if f is one-to-one.

A quick test for a one-to-one function is the horizontal line test. If a horizontal line intersects the graph of the function in more than one place, the functions is NOT one-to-one.

A function f is one-to-one and has an inverse function if and only if no horizontal line intersects the graph of f at more than one point.

Let's use this characteristic to determine if a function has an inverse.

Step 1: Sketch the graph of the function.

Step 2: Apply the Horizontal Line Test.

Visualize multiple horizontal lines and look for places where the graph is intersected more than once.

No horizontal line intersects the graph in more than one place and thus the function has an inverse.

Example 2: Sketch the graph represented by the points and determine if it has an inverse function.


Functions and Their Inverses

The above properties of increasing and decreasing show that exponential functions are $1-1,$ and therefore have inverses (which will be discussed in Part 2).

 The función exponencial natural is known as $y=e^x,$ where $e$ is Euler’s irrational number: $2.71828cdots$

Ejemplo. Solve the following exponential equations:

1. $2^x4^ <3x+1>= frac<2>> $
Solución: One strategy is to express both sides in terms of the same base, namely $b=2,$ so that the properties of exponents can be used. empezar & 2^x (2^2)^ <3x+1>= frac<2><(2^3)^<1/2>> & Rightarrow 2^ = 2^ <1-(3/2)> & Rightarrow 2^ <7x+2>= 2^ <-(1/2)>end Now, we have that $f(7x+2) = fleft( -frac<1> <2> ight),$ where $f(x) = 2^x,$ and because exponential functions are $1-1,$ we can conclude that $7x+2 = -frac<1><2>.$
Therefore, $x = -frac<5><14>.$
2. $ 3x(e^x) + x^2 (e^x) = 0 $
Solución. First notice that $xcdot e^x$ is a common factor. empezar (x)(e^x)(3+x) = 0 Rightarrow x=0, e^x = 0, or 3+x = 0. end But $e^x eq 0$ for any $x in mathbb.$ Consequently, the second equation yields no solution. Therefore, our only solutions are $x=0$ and $x=-3.$
3. $ 5^<2x>=3 $
Solución. Here, we cannot use the strategy applied above, since there is no common base between $5$ and $3.$ So, we will now explore the inverses of exponential functions, which will present us with a strategy to solve such problems!

Part 2. Logarithmic Functions (the inverses of exponential functions!)

In other words:
$log_b x= $ "la exponent $(y)$ that we raise the base $b$ to in order to obtain $x$"

Exercise. Find $log_2 8$

We will verify that $f(x) = log_b x$ and $g(x)=b^x$ are inverses by using the Cancellation Property:
empezar f(g(x)) &= log_b(g(x)) &= log_b(b^x) &= x & quad since log_b(b^x) = k Leftrightarrow b^k = b^x Leftrightarrow k=x & quad extrm < (by the 1-1 property)>end Similarly, egin g(f(x)) &= b^ &= b^ &= x end since $log_b(x) = $ "the exponent such that when $b$ is raised to it, it returns the value $x$" by definition.
i.e. $log_b(x) = k Leftrightarrow b^ = b^k =x.$

Graphically, we can see that they are inverses because the functions reflect about the line $y=x.$ Consider $f(x)= log_2(x)$ (in blue) and $g(x)=2^x$ (in red), whose graphs are given below:

Notice that the domain of $y=b^x$ is the entire real line, which is now the range of $y= log_b x.$ Similarly, the range of $y =b^x$ is equal to the domain of $y = log_b x,$ which is the interval $(0,infty).$ This shows that while $y=0$ was a horizontal asymptote for $g(x)=b^x, x=0$ is now a vertical asymptote for $f(x)=log_b x.$

Part 3. Two Important Logarithms

1. $b=10$
We usually write $log x$ to mean $log_ <10>x.$ (i.e. the convention is to not write the base of ten)
2. $b=e$
We usually write $ln x$ to mean $log_e x.$ "$ln$" stands for "natural logarithm" (so try not to say it like "lawn", though many do)
To add confusion, mathematicians at higher levels often solo consider the natural logarithm, and so write $log x$ to mean base $e$ instead of base $10.$ Hopefully the base will be clear from context in these situations.

Part 3. Properties of Logarithms

I. $log_b b^x = x $
ii. $ log_b 1 =0 $
iii. $log_b b = 1 $
Convince yourself that these are true by simply using the definition of logarithms!

In summary, we have that: $ underbrace_< ext> qquad qquad means qquad qquad underbrace_< ext>$ Recall the basic properties of functions of the form $y=b^x$, where $b$ is a constant positive real number:

1. $ b^r cdot b^s = b^ $
2. $ b^r div b^s = b^ $
3. $(b^r)^s = b^ $
As previously discussed, switching $x$ and $y$ gives the inverse function $y = log_b x.$ Below are more properties of this function. (It may be useful for you to make note of how these properties are related to those of exponential functions, given above.)
1. $ log_b(rcdot s) = log_b r + log_b s $
2. $ log_b(frac) = log_b r - log_b s $
3. $log_b(r) = fracqquad $ ("change of base" formula)

Below is the proof of (1). The rest will be left to you as an exercise!

Call $x=log_b r,$ $y=log_b s,$ and $z = log_b(rcdot s).$ We need to show that $z=x+y.$
Well, by definition of logarithms, we have the following: egin x &= log_b r Leftrightarrow b^x = r y &= log_b s Leftrightarrow b^y = s z &= log_b(rcdot s) Leftrightarrow b^z = rcdot s. final Therefore, $b^z = rcdot s = b^x b^y = b^ $ (by property 1 of exponents above)
$Rightarrow b^z = b^ $
$Rightarrow z = x+y $ (by $1-1$ property of exponential functions)
$Rightarrow log_b(rcdot s) = log_b r + log_b s $ as desired.

Mini-Lecture.

Ejemplo. Solve the following equations for $x$:

For $x= 7:$
We show: LHS (left hand side) = RHS (right hand side) of the original equation. $ ext = log_3 (7+29) - 2 log_3 (7-1) = log_3 left( frac<36> <6^2> ight) = log_3 ( 1) = 0 = ext< RHS>.$ The important thing to note is that when we first substituted $x=7,$ both logarithmic functions were defined!

For $x=-4:$
$ ext = log_3 (-4 +29) - 2 log_3 (-4-1) = log_3 left( 25 ight) - 2 log_3 ( -5).$ But $log_3(-5)$ is undefined! Therefore, $x=-4$ is not a valid solution!


Definition of One-to-One Functions - Problem 2

Carl taught upper-level math in several schools and currently runs his own tutoring company. He bets that no one can beat his love for intensive outdoor activities!

Determining if a set of points is a function and if a set of points is one-to-one. So behind me I have a set of points. Function f is the set of points and I want to determine if this is a function. So to determine whether it's function, for every x there’s only one y. Let’s go through that and what we have is in ascending order our values -1, 0, 1 and 2. There is no repeated x values so f for every x there is only one y, this has to be a function.

Is this one-to-one? So we already have the function part for every x there’s only one y. The other part we are concerned with is, for every y is there only one x? So going through this, the first thing I see is the last two points where we have the same y value going to two different x values. So here we have the y value 2 corresponding to the x value 1 and 2.

So that tells me this is not a function, for one y value we have two x’s. So what I actually want to do is just change this up to make it a one-to-one function. So I know that this point is a parabola. So what that means is I have to change this 2 value, to something that is not represented in our y’s.

So we have 1 0, 1 2, if I change this to 3, that y value is not represented, so that means for every y 3 there is only that 1 x value of 2. Checking to see if we have any other over lap. So we have our y value 3, 2, 1, 0, 1, there’s also some overlap in these two points.

The y value of 1 corresponds to -2 as x and also 0. So we need to change one of those to a value that’s not represented as well. If we change it to say one of them, to a negative, then we have two different y values with no x value overlap.

So as this function was not one-to-one but with some minor tweaks, which you're probably not going to be able to do in normal application just changing the values. But we are also able to make this into what could be a one-to-function.


6.1 Inverse Sine and Cosine

Let's first remind ourselves of some facts regarding inverse functions. Intuitively, an inverse function is designed to somehow "go backwards." That is, if F is a function and F(a) = b, then the inverse function of F (denoted by F - 1 ) has the property that F - 1 (b) = a. Not all functions have an inverse. Only those functions that are one-to-one have an inverse. A function is one-to-one means that distinct elements of the domain must have different function values. That is, if F(X 1 ) = F(X 2 ), luego X 1 = X 2 . In graphing terms, a function is one-to-one if every horizontal line cuts the graph in at most one point (horizontal line test). If a function has an inverse, then the graph of the inverse is obtained by reflecting the graph of the function through the line y = X. For those functions that are not one-to-one we can often restrict the domain to create a one-to-one function which then has an inverse.

Let's see an example of restricting the domain of a function to create a one-to-one function. We use the quadratic function F(X) = X 2 which should be very familiar to you. In the diagram, we see the graph of F(X) = X 2 fails the horizontal line test since there is at least one line that cuts the graph twice.


If we restrict the domain to X ≥ 0 then the resulting function is one-to-one and has an inverse. The picture shows the graph of F(X) = X 2 , X ≥ 0


The graph of the inverse function is obtained by reflecting the graph of the function across the line y = X. The formula for the inverse is obtained as follows.

Replace F(X) con y y = X 2
Replace each X con y and vice-versa X = y 2
Solve for y X = y
Replace y con F -1 (X) F -1 (X) = √X
The inverse function is the familiar square root function.
Note that the domain of the inverse function is the range of the function and that the range of the inverse function is the domain of the function.

The standard method used to find inverses is outlined in the following table.

Let's get back to the task at hand, namely coming up with inverse functions for sine and cosine. The diagram shows how the graph of the sine function fails the horizontal line test and so is not one-to-one. To create an inverse we must first restrict the domain of the sine function. We look for the largest interval in the domain where sine is one-to-one and this presents our first problem. The accepted standard is to restrict the sine to the interval −/2 ≤ X ≤ /2. The graph is shown below. The graph of the inverse is obtained by reflecting the graph about the line y = X. The domain of the inverse is 𕒵 ≤ X ≤ 1 and the range of the inverse is −/2 ≤ y ≤ /2. The picture shows the graph, domain, and range of the inverse. As for finding a formula for the inverse, this is one of those cases where it is not possible. We simply name the inverse as sin -1 with the condition that sin -1 (s) = t if sin(t) = s, 𕒵 ≤ s ≤ 1, −/2 ≤ t ≤ /2.

Intuitively, what the inverse sine does in practice is return the angle whose sine is the given value. Indeed, you might read sin -1 (X) as "the angle whose sine is X?" For example, sin -1 (0.5) returns the angle whose sine is 0.5, namely the first quadrant angle /6. Similarly, sin -1 (𕒴.5) returns the angle whose sine is 𕒴.5, namely the fourth quadrant angle −/6. Note that if then the angle that is returned, , is a first quadrant angle. Likewise, if then the angle that is returned, sin -1 (s), is a fourth quadrant angle with negative measure.

While we use the notation sin -1 for the inverse sine function, there are other notations you might see. The most common ones are arcsin and asin. We shall use both sin -1 and asin. Typically, we use asin in the interactive exercises and demonstrations because of ease of typing and for computer recognition of the function.

The inverse cosine function is defined by first restricting the domain of the cosine function to 0 ≤ X ≤ . The process is identical to that of defining the inverse sine. The inverse cosine function is denoted as cos -1 (which we use), arccos, and acos. The details of the construction of the inverse cosine, as well as the inverse sine, are shown in the demonstration below.

Other notations you might see for the inverse cosine are arccos and acos. We shall use both cos -1 and acos. As with asin, we use acos in the interactive exercises and demonstrations because of ease of typing and for computer recognition of the function.

The following demonstration will take you through the steps of restricting the domain and obtaining the graphs of and . Just follow the instructions on each screen. After viewing the demonstration we will investigate these functions and their properties further.

Defining sin -1 (X) and cos -1 (X)

Radian Measure

Inverse Properties

The reason for restricting X to the interval [-1, 1] in two of these four identities should be clear. The symbol sin(sin -1 (2)) is undefined since sin -1 (2) cannot be defined. No angle has a sine value of 2. The other two restrictions to [-/2, /2] and [0, ] are the same restrictions used in the demonstration above in order to make sine and cosine one-to-one. The first and third identities do not hold if X is chosen outside the intervals. In each case the left side is defined but it is not X. For example, sin -1 (sin(5/6)) = = /6, not 5/6 as that is outside the required interval. One consequence of the intervals we chose is this identity.

The next demonstration illustrates the domain problem graphically. Pick one of the angles given and watch the selection of or Observe that the value returned is the value chosen when the angle is in the required interval.

To get used to thinking inversely, try this exercise without a calculator. The answers involve familiar angles and can be found just using a sketch of the angles or graphs.

It is also important to be proficient at using your calculator to find inverse values. Try the following exercise to ensure you can obtain the inverse sine or cosine of a number. First make sure that your calculator is set to radian mode. The answers you enter are to be rounded to four decimal places.


Finding inverse of a function - Example

Find the inverse of the function f(x) = 2x + 3

Given function : f(x) = 2x + 3 

In the above function f (x) to be replaced by "y"

Then, we will get  y = 2x + 3.

y = 2x + 3 has been defined by "y" in terms of "x"

Now we have to redefine y = 2x + 3਋y "x" in terms of "y"

Now, the function has been defined by "x" in terms of "y"

Hence inverse of f(x) is,   f⁻¹(x) = (x - 3)/2


How to find the inverse function of a one to one function?

If we truly have a one to one function then only one value for x matches one value for y, so then y has only one value for x.

We can denote an inverse of a function with

Hold on how do we find the inverse of a set, it's easy all you have to do is switch all the values of x for y and all the values of y for x. Sound familiar? it comes right of the definition.

Now that we understand the inverse of a set we can understand how to find the inverse of a function.

  • Step 1: Interchange f(x) with y
  • Step 2: Interchange x and y
  • Step 3: solve for y (explicit form) and covert to inverse function notation
  • Step 4: Confirm that the function is one to one with the following

What about functions with domain restrictions? Good question, remember if the graph is always increasing or decreasing then it's a one to one function and the domain restrictions can make that happen.

Ejemplo

Rick H

If you want to take your math levels to the next level by learning to program use the link in my bio.

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3 respuestas 3

Assuming the domain is Z, b is wrong.
The verbage use for b is weak for a,c.
Would it ask too much to actually prove it?
d, e, f are flat out wrong. Check your thinking.

To ask if a function is surjective (1-1) without stating its codomain is like asking how much water is needed to fill a glass without telling the size of the glass.

Whether or not something is one-to-one or onto depends on the domain and range of the functions. If it specified that you're working in the integers, then you have to look at negative and positive numbers. That means that your answer to b is wrong. Also, a function can be both one-to-one and onto. In fact, some of the ones you've marked as one-to-one are onto and vice versa. Lastly, it seems like you mixed up one to one and onto in d, e, and f. You're reasoning is correct but it has nothing to do with the functions being onto and instead shows they're not one-to-one.

To prove a function $f$ is injective (one-to-one), you must show that $f(x_1) = f(x_2) implies x_1 = x_2$ .

Your claim that the function $f: mathbb a mathbb$ defined by $f(x) = x + 2$ is injective is correct since $f(x_1) = f(x_2) implies x_1 + 2 = x_2 + 2 implies x_1 = x_2$

Your claim that the function $g: mathbb a mathbb$ defined by $g(x) = x^2 + 2$ is injective is incorrect since $g(-1) = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 1^2 + 2 = g(1)$ but $-1 eq 1$ .

To prove a function $f$ is surjective (onto), you must show that given any element $y$ in the codomain, you can produce an element $x$ in the domain such that $f(x) = y$ .

For instance, the function $f: mathbb a mathbb$ defined by $f(x) = x + 2$ is surjective since given $y in mathbb$ we can find $x = y - 2 in mathbb$ such that $f(x) = f(y - 2) = y - 2 + 2 = y$ .

The function $f: mathbb a mathbb$ defined by $g(x) = x^2 + 2$ is not surjective since $1$ is not in its range. To see this, suppose that $g(x) = x^2 + 2 = 1$ . Then $x^2 = -1$ . However, there is no integer whose square is equal to $-1$ .


Álgebra

Here are my online notes for my Algebra course that I teach here at Lamar University, although I have to admit that it’s been years since I last taught this course. At this point in my career I mostly teach Calculus and Differential Equations.

Despite the fact that these are my “class notes”, they should be accessible to anyone wanting to learn Algebra or needing a refresher for Algebra. I’ve tried to make the notes as self contained as possible and do not reference any book. However, they do assume that you’ve had some exposure to the basics of algebra at some point prior to this. While there is some review of exponents, factoring and graphing it is assumed that not a lot of review will be needed to remind you how these topics work.

Here are a couple of warnings to my students who may be here to get a copy of what happened on a day that you missed.

    Because I wanted to make this a fairly complete set of notes for anyone wanting to learn algebra have included some material that I do not usually have time to cover in class and because this changes from semester to semester it is not noted here. You will need to find one of your fellow class mates to see if there is something in these notes that wasn’t covered in class.

Here is a listing (and brief description) of the material that is in this set of notes.

Preliminaries - In this chapter we will do a quick review of some topics that are absolutely essential to being successful in an Algebra class. We review exponents (integer and rational), radicals, polynomials, factoring polynomials, rational expressions and complex numbers.


Funciones trigonométricas inversas

Inverse sine function (or arcsin funciton)

'(sin^<-1>)' (or '(arcsin)') is the inverse function of (f(x)=sin x) (restricted to (-pi/2leq xleq pi/2)).

Ejemplos. [sin^ <-1>left(frac<1><2> ight) = frac<6>,quad arcsin left(frac<-sqrt<3>><2> ight) = -frac<3>,quad arcsin(-1)=-pi/2]

Inverse cosine function (or arccos funciton)

'(cos^<-1>)' (or'(arccos)') is the inverse function of (f(x)=cos x) (restricted to (0leq xleq pi)).

Inverse tangent function (or arctangent funciton)

Domain: ((-infty,infty)) range: ((-pi/2,pi/2))

Ejemplo. If ( hetain (-pi/2,pi/2)), then (arctanleft( an heta ight) = heta). [arctanleft(frac<1>> ight)=frac<6>, arctan 1 = frac<4>]



Comentarios:

  1. Kermichil

    ¡Pura verdad!

  2. Salkree

    esta es la excelente idea

  3. Dasida

    Esta valiosa comunicación es notable

  4. Goltidal

    Bravo, la excelente respuesta.

  5. Tlanextic

    En mi opinión, estás equivocado.

  6. Rahman

    Qué palabras necesitaban ... frase genial y brillante



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