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3.1: Números complejos - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Expresa las raíces cuadradas de números negativos como múltiplos de (i ).
  • Trace números complejos en el plano complejo.
  • Suma y resta números complejos.
  • Multiplica y divide números complejos.

El estudio de las matemáticas se construye continuamente sobre sí mismo. Los enteros negativos, por ejemplo, llenan un vacío dejado por el conjunto de enteros positivos. El conjunto de números racionales, a su vez, llena un vacío dejado por el conjunto de números enteros. El conjunto de números reales llena un vacío dejado por el conjunto de números racionales. No es sorprendente que el conjunto de números reales también tenga vacíos. Por ejemplo, todavía no tenemos solución para ecuaciones como

[x ^ 2 + 4 = 0 ]

Nuestras mejores estimaciones pueden ser +2 o –2. Pero si probamos +2 en esta ecuación, no funciona. Si probamos –2, no funciona. Si queremos tener una solución para esta ecuación, tendremos que ir más lejos de lo que hemos hecho hasta ahora. Después de todo, hasta este punto hemos descrito la raíz cuadrada de un número negativo como indefinida. En esta sección, exploraremos este sistema numérico y cómo trabajar con él.

Expresar raíces cuadradas de números negativos como múltiplos de I

Sabemos cómo encontrar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De manera similar, podemos encontrar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor del radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario. El número imaginario i se define como la raíz cuadrada de menos 1.

[ sqrt {-1} = i ]

Entonces, usando las propiedades de los radicales,

[i ^ 2 = ( sqrt {-1}) ^ 2 = −1 ]

Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como múltiplo de i. Considere la raíz cuadrada de –25.

[ begin {align} sqrt {-25} & = sqrt {25 { cdot} (-1)} & = sqrt {25} sqrt {-1} & = 5i end {alinear}]

Usamos 5I y no −5I porque la raíz principal de 25 es la raíz positiva.

A Número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe (a + bi ) donde (a ) es la parte real y (bi ) es la parte imaginaria. Por ejemplo, (5 + 2i ) es un número complejo. También lo es (3 + 4 sqrt {3} i ).

Los números imaginarios se distinguen de los números reales porque un número imaginario al cuadrado produce un número real negativo. Recuerde, cuando se eleva al cuadrado un número real positivo, el resultado es un número real positivo y cuando se eleva al cuadrado un número real negativo, nuevamente, el resultado es un número real positivo. Los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios.

Números imaginarios y complejos

Un número complejo es un número de la forma (a + bi ) donde

  • (a ) es la parte real del número complejo.
  • (bi ) es la parte imaginaria del número complejo.

Si (b = 0 ), entonces (a + bi ) es un número real. Si (a = 0 ) y (b ) no es igual a 0, el número complejo se llama número imaginario. Un número imaginario es una raíz par de un número negativo.

Forma estándar

Dado un número imaginario, expreselo en forma estándar.

  1. Escribe ( sqrt {−a} ) como ( sqrt {a} sqrt {−1} ).
  2. Expresa ( sqrt {−1} ) como (I).
  3. Escriba ( sqrt {a} { cdot} i ) en la forma más simple.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Expresar un número imaginario en forma estándar

Exprese ( sqrt {−9} ) en forma estándar.

Solución

[ sqrt {−9} = sqrt {9} sqrt {−1} = 3i nonumber ]

En forma estándar, esto es (0 + 3i ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Exprese ( sqrt {−24} ) en forma estándar.

Respuesta

( sqrt {−24} = 0 + 2i sqrt {6} )

Trazar un número complejo en el plano complejo

No podemos trazar números complejos en una recta numérica como lo haríamos con números reales. Sin embargo, todavía podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo, necesitamos abordar los dos componentes del número. Usamos el plano complejo, que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa el componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos en el plano, expresados ​​como pares ordenados ((a, b) ), donde (a ) representa la coordenada del eje horizontal y (b ) representa la coordenada del eje vertical.

Consideremos el número (- 2 + 3i ). La parte real del número complejo es − 2 y la parte imaginaria es (3i ). Trazamos el par ordenado ((- 2,3) ) para representar el número complejo (- 2 + 3i ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} )

Plano complejo

En el plano complejo, el eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

Cómo ...

Dado un número complejo, represente sus componentes en el plano complejo.

  1. Determina la parte real y la parte imaginaria del número complejo.
  2. Muévase a lo largo del eje horizontal para mostrar la parte real del número.
  3. Muévase paralelo al eje vertical para mostrar la parte imaginaria del número.
  4. Trace el punto.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Trazar un número complejo en el plano complejo

Grafique el número complejo (3−4i ) en el plano complejo.

Solución

La parte real del número complejo es 3 y la parte imaginaria es (- 4i ). Trazamos el par ordenado ((3, −4) ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Grafique el número complejo (- 4 − i ) en el plano complejo.

Respuesta

Sumar y restar números complejos

Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas con números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y combinamos las partes imaginarias.

Números complejos: suma y resta

Sumar números complejos:

[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i ]

Restar números complejos:

[(a + bi) - (c + di) = (a − c) + (b − d) i ]

Cómo...

Dados dos números complejos, encuentra la suma o la diferencia.

  1. Identifica las partes reales e imaginarias de cada número.
  2. Suma o resta las partes reales.
  3. Suma o resta las partes imaginarias.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Agregar números complejos

Suma (3−4i ) y (2 + 5i ).

Solución

Agregamos las partes reales y agregamos las partes imaginarias.

[ begin {align *} (a + bi) + (c + di) & = (a + c) + (b + d) i (3−4i) + (2 + 5i) & = (3 +2) + (- 4 + 5) i & = 5 + i end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Reste (2 + 5i ) de (3–4i ).

Respuesta

((3−4i) - (2 + 5i) = 1−9i )

Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes real e imaginaria por separado.

Multiplicar números complejos por un número real

Comencemos por multiplicar un número complejo por un número real. Distribuimos el número real como lo haríamos con un binomio. Así por ejemplo,

Cómo...

Dado un número complejo y un número real, multiplique para encontrar el producto.

  1. Usa la propiedad distributiva.
  2. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): multiplicar un número complejo por un número real

Halla el producto (4 (2 + 5i). )

Solución

Distribuya el 4.

[ begin {align *} 4 (2 + 5i) & = (4⋅2) + (4⋅5i) & = 8 + 20i end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra el producto (- 4 (2 + 6i) ).

Respuesta

(- 8−24i )

Multiplicar números complejos juntos

Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos usar la propiedad distributiva o el método FOIL. Recuerde que FOIL es un acrónimo de multiplicar los términos Primero, Externo, Interno y Último juntos. Usando la propiedad distributiva o el método FOIL, obtenemos

[(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi ^ 2 nonumber ]

Como (i ^ 2 = −1 ), tenemos

[(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci − bd nonumber ]

Para simplificar, combinamos las partes reales y combinamos las partes imaginarias.

[(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i nonumber ]

Cómo...

Dados dos números complejos, multiplica para encontrar el producto.

  1. Utilice la propiedad distributiva o el método FOIL.
  2. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): multiplicar un número complejo por un número complejo

Multiplica ((4 + 3i) (2−5i) ).

Solución

Utilice ((a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i )

[ begin {align *} (4 + 3i) (2−5i) & = (4⋅2−3⋅ (−5)) + (4⋅ (−5) + 3⋅2) i & = (8 + 15) + (- 20 + 6) i & = 23−14i end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Multiplica ((3−4i) (2 + 3i) ).

Respuesta

(18 + i )

División de números complejos

La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir por un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción debe tener un denominador de número real. Necesitamos encontrar un término por el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que eliminará la porción imaginaria del denominador para que terminemos con un número real como denominador. Este término se llama complejo conjugado del denominador, que se encuentra cambiando el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el conjugado complejo de (a + bi ) es (a − bi ).

Tenga en cuenta que los conjugados complejos tienen una relación recíproca: el conjugado complejo de (a + bi ) es (a − bi ) y el conjugado complejo de (a − bi ) es (a + bi ). Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugados complejos entre sí.

Supongamos que queremos dividir (c + di ) entre (a + bi ), donde ni a ni (b ) son iguales a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego encontramos el complejo conjugado del denominador y multiplicamos.

[ dfrac {c + di} {a + bi} , text {donde $ a { neq} 0 $ y $ b { neq} 0 $} nonumber ]

Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

[ dfrac {(c + di)} {(a + bi)} { cdot} dfrac {(a − bi)} {(a − bi)} = dfrac {(c + di) (a− bi)} {(a + bi) (a − bi)} nonumber ]

Aplicar la propiedad distributiva.

[= dfrac {ca − cbi + adi − bdi ^ 2} {a ^ 2 − abi + abi − b ^ 2i ^ 2} nonumber ]

Simplifica, recordando que (i ^ 2 = −1 ).

[= dfrac {ca − cbi + adi − bd (−1)} {a ^ 2 − abi + abi − b ^ 2 (−1)} = dfrac {(ca + bd) + (ad− cb) i} {a ^ 2 + b ^ 2} nonumber ]

Definición: el conjugado complejo

La complejo conjugado de un número complejo (a + bi ) es (a − bi ). Se encuentra cambiando el signo de la parte imaginaria del número complejo. La parte real del número no se modifica.

  • Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado complejo, el resultado es un número real.
  • Cuando se agrega un número complejo a su conjugado complejo, el resultado es un número real.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar conjugados complejos

Encuentra el conjugado complejo de cada número.

  1. (2 + i sqrt {5} )
  2. (- frac {1} {2} i )

Solución

una. El número ya tiene la forma (a + bi ). El conjugado complejo es (a − bi ) o (2 − i sqrt {5} ).
B. Podemos reescribir este número en la forma (a + bi ) como (0− frac {1} {2} i ). El conjugado complejo es (a − bi ) o (0+ frac {1} {2} i ). Esto se puede escribir simplemente como ( frac {1} {2} i ).

Análisis

Aunque hemos visto que podemos encontrar el conjugado complejo de un número imaginario, en la práctica generalmente encontramos los conjugados complejos de sólo números complejos con un componente tanto real como imaginario. Para obtener un número real a partir de un número imaginario, simplemente podemos multiplicar por (i ).

Cómo...

Dados dos números complejos, divida uno por otro.

  1. Escribe el problema de división como fracción.
  2. Determina el conjugado complejo del denominador.
  3. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el complejo conjugado del denominador.
  4. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): División de números complejos

Divida ((2 + 5i) ) entre ((4 − i) ).

Solución

Comenzamos escribiendo el problema como una fracción.

[ dfrac {(2 + 5i)} {(4 − i)} nonumber ]

Luego multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.

[ dfrac {(2 + 5i)} {(4 − i)} { cdot} dfrac {(4 + i)} {(4 + i)} nonumber ]

Para multiplicar dos números complejos, expandimos el producto como lo haríamos con polinomios (el proceso comúnmente llamado FOIL).

[ begin {align} dfrac {(2 + 5i)} {(4 − i)} { cdot} dfrac {(4 + i)} {(4 + i)} & = dfrac {8+ 2i + 20i + 5i ^ 2} {16 + 4i − 4i − i ^ 2} & = dfrac {8 + 2i + 20i + 5 (−1)} {16 + 4i − 4i - (- 1)} & text {porque $ i ^ 2 = -1 $} & = dfrac {3 + 22i} {17} & = dfrac {3} {17} + dfrac {22} {17} i & text {Separar partes reales e imaginarias.} end {align} ]

Tenga en cuenta que esto expresa el cociente en forma estándar.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): sustitución de un número complejo en una función polinomial

Sea (f (x) = x ^ 2−5x + 2 ). Evalúa (f (3 + i) ).

Solución

Sustituye (x = 3 + i ) en la función (f (x) = x ^ 2−5x + 2 ) y simplifica.

[ begin {align *} f (3 + i) & = (3 + i) ^ 2 - 5 (3 + i) + 2 ; qquad text {Sustituye 3 + i por x} & = (3 + 6i + i ^ 2) - (15 + 5i) + 2 ; qquad text {Multiplicar} & = 9 + 6i + (- 1) -15-5i + 2 ; qquad text {Sustituye -1 por} i ^ 2 & = -5 + i ; qquad text {Combinar términos semejantes} end {align *} ]

Análisis

Escribimos (f (3 + i) = - 5 + i ). Observe que la entrada es (3 + i ) y la salida es (- 5 + i ).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Sea (f (x) = 2x ^ 2−3x ). Evalúa (f (8 − i) ).

Respuesta

(102−29i )

Ejemplo ( PageIndex {9} ): sustitución de un número imaginario en una función racional

Sea (f (x) = frac {2 + x} {x + 3} ). Evalúe (f (10i) ).

Solución

Sustituye (x = 10i ) y simplifica.

[ begin {align *} & dfrac {2 + 10i} {10i + 3} & text {Sustituye $ x $ por $ 10i $.} & dfrac {2 + 10i} {3 + 10i} & text {Reescribe el denominador en forma estándar.} & dfrac {2 + 10i} {3 + 10i} { cdot} dfrac {3–10i} {3–10i} & text {Multiplica el numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.} & dfrac {6–20i + 30i – 100i ^ 2} {9–30i + 30i – 100i ^ 2} & text {Multiplica usando la propiedad distributiva o FOIL método.} & dfrac {6–20i + 30i – 100 (–1)} {9–30i + 30i – 100 (–1)} & text {Sustituye –1 por $ i ^ 2 $.} & dfrac {106 + 10i} {109} & text {Simplificar.} & dfrac {106} {109} + dfrac {10} {109} & text {Separa las partes real e imaginaria. } end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Sea (f (x) = frac {x + 1} {x − 4} ). Evalúa (f (−i) ).

Respuesta

(- frac {3} {17} + frac {5i} {17} )

Simplificando los poderes de (i )

Las potencias de (i ) son cíclicas. Veamos lo que sucede cuando subimos I al aumento de poderes.

[ begin {align *} i ^ 1 & = i [4pt] i ^ 2 & = - 1 [4pt] i ^ 3 & = i ^ 2⋅i = −1⋅i = −i [4pt ] i ^ 4 & = i ^ 3⋅i = −i⋅i = −i ^ 2 = - (- 1) = 1 [4pt] i ^ 5 & = i ^ 4⋅i = 1⋅i = i end {alinear*}]

Podemos ver que cuando llegamos a la quinta potencia de (i ), es igual a la primera potencia. A medida que continuamos multiplicando (i ) por sí mismo para aumentar las potencias, veremos un ciclo de 4. Examinemos las siguientes 4 potencias de (i ).

[ begin {align *} i ^ 6 & = i ^ 5⋅i = i⋅i = i ^ 2 = −1 [4pt] i ^ 7 & = i ^ 6⋅i = i ^ 2⋅i = i ^ 3 = −i [4pt] i ^ 8 & = i ^ 7⋅i = i ^ 3⋅i = i ^ 4 = 1 [4pt] i ^ 9 & = i ^ 8⋅i = i ^ 4⋅ i = i ^ 5 = i end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Simplificar las potencias de (i )

Evalúe (i ^ {35} ).

Solución

Dado que (i ^ 4 = 1 ), podemos simplificar el problema factorizando tantos factores de i ^ 4 como sea posible. Para hacerlo, primero determine cuántas veces 4 entra en 35: (35 = 4⋅8 + 3 ).

[i ^ {35} = i ^ {4⋅8 + 3} = i ^ {4⋅8} ⋅i ^ {3} = (i ^ 4) ^ 8⋅i ^ 3 = 1 ^ 8⋅i ^ 3 = i ^ 3 = −i nonumber ]

Preguntas y Respuestas

¿Podemos escribir (i ^ 35 ) de otras formas útiles?

Como vimos en el Ejemplo ( PageIndex {10} ), redujimos (i ^ {35} ) a (i ^ 3 ) dividiendo el exponente entre 4 y usando el resto para encontrar la forma simplificada. Pero quizás otra factorización de (i ^ {35} ) pueda ser más útil. La tabla ( PageIndex {1} ) muestra algunas otras factorizaciones posibles.

Table ( PageIndex {1} ): Cada uno de estos eventualmente dará como resultado la respuesta que obtuvimos anteriormente, pero puede requerir varios pasos más que nuestro método anterior.
Factorización de (i ^ {35} ) (i ^ {34} { cdot} i ) (i ^ {33} { cdot} i ^ 2 ) (i ^ {31} { cdot} i ^ 4 ) (i ^ {19} { cdot} i ^ {16} )
Forma reducida ( grande (i ^ 2 grande) ^ {17} { cdot} i ) (i ^ {33} { cdot} (- 1) ) (i ^ {31} { cdot} 1 ) (i ^ {19} { cdot} big (i ^ 4 big) ^ 4 )
Forma simplificada ((- 1) ^ {17} { cdot} i ) (- yo ^ {33} ) (i ^ {31} ) (i ^ {19} )

Conceptos clave

  • La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir como un múltiplo de (i ).
  • Para trazar un número complejo, usamos dos rectas numéricas, cruzadas para formar el plano complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.
  • Los números complejos se pueden sumar y restar combinando las partes reales y combinando las partes imaginarias.
  • Los números complejos se pueden multiplicar y dividir.
  • Para multiplicar números complejos, distribuya como en los polinomios.
  • Para dividir números complejos, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador para eliminar el número complejo del denominador.
  • Las potencias de (i ) son cíclicas y se repiten cada cuatro.

Glosario

complejo conjugado
el número complejo en el que se cambia el signo de la parte imaginaria y la parte real del número se deja sin cambios; cuando se suma o se multiplica por el número complejo original, el resultado es un número real

Número complejo
la suma de un número real y un número imaginario, escrito en la forma estándar (a + bi ), donde (a ) es la parte real y (bi ) es la parte imaginaria

plano complejo
un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal se usa para representar la parte real de un número complejo y el eje vertical se usa para representar la parte imaginaria de un número complejo

número imaginario
un número en la forma bi donde (i = sqrt {−1} )


S6: Matemáticas avanzadas

Este libro de texto es parte de la reforma del plan de estudios escolar en Ruanda, es decir, cambios en lo que se enseña en las escuelas y cómo se enseña. Se espera que esto haga que lo que aprenda en la escuela sea útil para usted cuando deje la escuela. En el pasado, lo principal en la escolarización ha sido aprender conocimientos, es decir, hechos e ideas sobre cada tema. Ahora, la idea principal es que debería poder utilizar el conocimiento que aprende desarrollando habilidades o competencias. Estas habilidades o competencias incluyen la capacidad de pensar por sí mismo, poder comunicarse con los demás y explicar lo que ha aprendido, y ser creativo, es decir, desarrollar sus propias ideas no solo siguiendo las del maestro y el libro de texto. También debería poder encontrar información e ideas por sí mismo, en lugar de depender simplemente de lo que le diga el maestro o el libro de texto.

Aprendizaje basado en actividades

Este libro tiene una variedad de actividades que puede realizar, así como información para que lea. Estas actividades le presentan materiales o cosas para hacer que le ayudarán a aprender y descubrir cosas por sí mismo. Ya tienes mucho conocimiento e ideas basadas en las experiencias que has tenido y tu vida dentro de tu propia comunidad. Algunas de las actividades, por lo tanto, le piden que piense en los conocimientos y las ideas que ya tiene.

Al usar este libro, por lo tanto, es esencial que realice todas las actividades. No aprenderá correctamente a menos que realice estas actividades. Son la parte más importante del libro. De alguna manera, esto hace que aprender sea más un desafío. Es más difícil pensar por ti mismo que copiar lo que te dice el maestro, pero si aceptas este desafío, te convertirás en una mejor persona y tendrás más éxito en tu vida.

Puedes aprender mucho de otras personas de tu clase. Si tiene un problema, a menudo se puede resolver discutiéndolo con otras personas. Muchas de las actividades de este libro, por lo tanto, implican discusiones en grupos o parejas. Su maestro ayudará a organizar estos grupos y puede organizar el salón de clases para que siempre estén sentados en grupos uno frente al otro. No se puede discutir adecuadamente a menos que estén uno frente al otro.

Uno de los objetivos del plan de estudios basado en competencias es ayudarlo a descubrir las cosas por sí mismo. Algunas actividades, por lo tanto, le piden que investigue utilizando libros en la biblioteca, Internet si su escuela tiene esto u otras fuentes como periódicos y revistas. Esto significa que desarrollará las habilidades de aprendizaje por sí mismo cuando deje la escuela. Tu maestro te ayudará si tu escuela no tiene una buena biblioteca o Internet.

Para guiarlo, cada actividad en el libro está marcada con un símbolo o ícono para mostrarle qué tipo de actividad es. Los iconos son los siguientes:


¿Cómo uso el teorema de DeMoivre para resolver # z ^ 3-1 = 0 #?

Si # z ^ 3-1 = 0 #, entonces estamos buscando las raíces cúbicas de la unidad, es decir, los números tales que # z ^ 3 = 1 #.

Si está usando números complejos, entonces cada ecuación polinomial de grado # k # produce exactamente # k # solución. Entonces, esperamos encontrar tres raíces cúbicas.

El teorema de De Moivre usa el hecho de que podemos escribir cualquier número complejo como # rho e ^= rho ( cos ( theta) + i sin ( theta)) #, y establece que, si
# z = rho ( cos ( theta) + i sin ( theta)) #, entonces
# z ^ n = rho ^ n ( cos (n theta) + i sin (n theta)) #

Si observa # 1 # como un número complejo, entonces tiene # rho = 1 # y # theta = 2 pi #. Por lo tanto, buscamos tres números tales que # rho ^ 3 = 1 # y # 3 theta = 2 pi #.

Dado que # rho # es un número real, la única solución para # rho ^ 3 = 1 # es # rho = 1 #. Por otro lado, usando la periodicidad de los ángulos, tenemos que las tres soluciones para # theta # son
# theta_ <1,2,3> = frac <2k pi> <3> #, para # k = 0,1,2 #.


MATH 3364 - Introducción al análisis complejo

Capítulo 1: Números complejos
1.1 El álgebra de números complejos
1.2 Representación puntual de números complejos
1.3 Vectores y formas polares
1.4 El exponencial complejo
1.5 Poderes y raíces
1.6 Conjuntos planos
1.7 La esfera de Riemann y la proyección estereográfica

Capítulo 2: Funciones analíticas
2.1 Funciones de una variable compleja
2.2 Límites y continuidad
2.3 Analiticidad
2.4 Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.5 Funciones armónicas

Capítulo 3: Funciones elementales
3.1 Polinomios y funciones racionales
3.2 Las funciones exponencial, trigonométrica e hiperbólica
3.3 La función logarítmica
3.4 Arandelas, cuñas y paredes
3.5 Potencias complejas y funciones trigonométricas inversas

Capítulo 4: Integración compleja
4.1 Contornos
4.2 Integrales de contorno
4.3 Independencia de camino
4.4 Teorema integral de Cauchy
4.5 Fórmula integral de Cauchy y sus consecuencias
4.6 Límites para funciones analíticas

Capítulo 5: Representaciones en serie para funciones analíticas
5.1 Secuencias y Series
5.2 Serie de Taylor
5.3 Serie de potencia
5.4 Teoría matemática de la convergencia
5.5 Serie Laurent
5.6 Ceros y singularidades
5.7 El punto en el infinito

Capítulo 6: Teoría de los residuos
6.1 El teorema del residuo
6.2 Integrales trigonométricas
6.3 Integrales impropias de ciertas funciones
6.4 Integrales impropias que involucran funciones trigonométricas
6.5 Contornos con sangría
6.6 Integrales que involucran funciones de valor múltiple
6.7 El principio del argumento y el teorema de Rouche
A discreción del instructor, otros temas según lo permita el tiempo.

Adaptaciones de CSD:

Ajustes académicos / ayudas auxiliares: El Sistema de la Universidad de Houston cumple con la Sección 504 de la Ley de Rehabilitación de 1973 y la Ley de Estadounidenses con Discapacidades de 1990, relacionada con la provisión de ajustes académicos razonables / ayudas auxiliares para estudiantes que tienen una discapacidad. De acuerdo con la Sección 504 y las pautas de la ADA, la Universidad de Houston se esfuerza por proporcionar ajustes académicos razonables / ayudas auxiliares a los estudiantes que las soliciten y requieran. Si cree que tiene una discapacidad que requiere ajustes académicos / ayuda auxiliar, visite el sitio web & # 160 The Center for Students with DisABILITIES (CSD) & # 160 en & # 160 http://www.uh.edu/csd/ & # 160 para obtener más información.

Formularios de alojamiento: Los estudiantes que buscan ajustes académicos / ayudas auxiliares deben, de manera oportuna (generalmente al comienzo del semestre), proporcionar a su instructor un Formulario de adaptación del estudiante (SAF) actual (copia impresa o & # 160 en línea & # 160, como apropiado) de la oficina del CSD antes de que se pueda implementar una adaptación aprobada.

Los detalles de esta política y las responsabilidades correspondientes del estudiante se describen en & # 160 La Política de Ajustes Académicos para Estudiantes / Ayudas Auxiliares (01.D.09) & # 160 documento bajo [PASO 4: Presentación del Estudiante (5.4.1 & amp 5.4 .2), página 6]. Para obtener más información, visite la página & # 160 Center for Students with Disabilities Student Resources & # 160.

Además, si un estudiante solicita una adaptación para la prueba (aprobada por el CSD), el estudiante también completará un formulario en papel de Solicitud de adaptaciones para las pruebas individualizadas (RITA) para organizar la administración de las pruebas en la oficina del CSD. CSD sugiere que el estudiante se reúna con su instructor durante el horario de oficina y / o haga una cita para completar el formulario RITA para garantizar la confidencialidad.

* Nota: Los formularios RITA deben completarse al menos 48 horas antes de la fecha original del examen. Consulte con su & # 160 consejero & # 160 con anticipación para asegurarse de que sus pruebas se programen de manera oportuna. Tenga en cuenta que si supera el límite de tiempo acordado para su examen, será penalizado en proporción a la cantidad de tiempo extra que se tome.

Los Servicios de Consejería y Psicología (CAPS) pueden ayudar a los estudiantes que tienen dificultades para manejar el estrés, adaptarse a la universidad o sentirse tristes y desesperanzados. Puede comunicarse con & # 160 (CAPS) & # 160 llamando al 713-743-5454 durante y después del horario laboral para citas de rutina o si usted o alguien que conoce está en crisis. No es necesaria una cita para el programa & # 160 "Hablemos" & # 160, un servicio de consulta sin cita previa en lugares y horarios convenientes en el campus.


Su entrada: simplifique y calcule diferentes formas de $$ left (1 + 3 i right) left (5 + i right) $$

Usa FOIL para multiplicar (para conocer los pasos, consulta la calculadora de foil), no olvides que $$ i ^ 2 = -1 $$:

Por lo tanto, $$ left (1 + 3 i right) left (5 + i right) = 2 + 16 i $$

Para un número complejo $$ a + bi $$, la forma polar está dada por $$ r ( cos ( theta) + i sin ( theta)) $$, donde $$ r = sqrt $$ y $$ theta = operatorname left ( frac derecha) $$

Tenemos que $$ a = 2 $$ y $$ b = 16 $$

La inversa de $$ 2 + 16 i $$ es $$ frac <1> <2 + 16 i> $$

En el caso general, multiplica la expresión $$ frac <1> $$ por el conjugado (el conjugado de $$ a + i b $$ es $$ a - i b $$):

En nuestro caso, $$ a = 2 $$ y $$ b = 16 $$

El conjugado de $$ a + i b $$ es $$ a - i b $$: el conjugado de $$ 2 + 16 i $$ es $$ 2 - 16 i $$

El módulo de $$ a + i b $$ es $$ sqrt + b ^ <2>> $$: el módulo de $$ 2 + 16 i $$ es $$ 2 sqrt <65> $$


Operaciones básicas con números complejos

Adición

Muy simple, sume las partes reales (sin i) y sume las partes imaginarias (con i):
Esto es igual a la regla de uso: (a + bI) + (c + dI) = (a + c) + (b + d)I

Sustracción

Nuevamente muy simple, reste las partes reales y reste las partes imaginarias (con i):
Esto es igual a la regla de uso: (a + bI) + (c + dI) = (a-c) + (b-d)I

Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos, use la ley distributiva, evite los binomios y aplique yo 2 = -1.
Esto es igual a la regla de uso: (a + bI) (c + dI) = (ac-bd) + (ad + bc)I

División

La división de dos números complejos se puede lograr multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador. Esto evita la unidad imaginaria I del denominador. Si el denominador es c + dI, para hacerlo sin i (o hacerlo real), multiplica con conjugado c-dI:

(c + dI)(CDI) = c 2 + d 2

Valor absoluto o módulo

Raíz cuadrada

La raíz cuadrada del número complejo (a + bi) es z, si z 2 = (a + bi). Aquí acaba la sencillez. Debido al teorema fundamental del álgebra, siempre tendrás dos raíces cuadradas diferentes para un número dado. Si desea averiguar los valores posibles, probablemente la forma más fácil sea utilizar la fórmula de De Moivre. Aquí nuestra calculadora está al borde, porque la raíz cuadrada no es una función bien definida en un número complejo. Calculamos todas las raíces complejas a partir de cualquier número, incluso en expresiones:

Cuadrado, potencia, exponenciación compleja

Funciones

sqrt Raíz cuadrada de un valor o expresión. sin el seno de un valor o expresión. Detecta automáticamente radianes / grados. cos el coseno de un valor o expresión. Detecta automáticamente radianes / grados. tan tangente de un valor o expresión. Detecta automáticamente radianes / grados. exp e (la constante de Euler) elevado a la potencia de un valor o expresión pow Potencia un número complejo a otro número entero / real / complejo ln El logaritmo natural de un valor o expresión log El logaritmo en base 10 de un valor o expresión abs o | 1 + i | El valor absoluto de una fase de valor o expresión La fase (ángulo) de un número complejo cis es una notación menos conocida: cis (x) = cos (x) + i sin (x) ejemplo: cis (pi / 2) + 3 = 3 +I conjugado de número complejo - ejemplo: conj (4i + 5) = 5-4I

Ejemplos:


3.1: Números complejos - Matemáticas

Ahora verá a los matemáticos trabajando: ¡hacer las cosas fáciles más difíciles para hacerlas más fáciles!

¿Cómo podemos saber que el polinomio es irreducible, cuando realizamos la completación de cuadrados o usamos la fórmula cuadrática? Probemos la terminación cuadrada: no hay mucho que completar aquí, transferir el término constante es todo lo que necesitamos hacer para ver cuál es el problema:

¡No podemos sacar raíces cuadradas ahora, ya que el cuadrado de cada número real no es negativo!

Aquí es donde interviene el matemático: ella (o él) imagina que hay raíces de -1 (aunque no números reales) y las llama i y - i. Entonces, la propiedad definitoria de este número imaginado i es que

Ahora que el polinomio se ha vuelto repentinamente reducible, podemos escribir

El número a se llama parte real de a + bi, el número b se llama parte imaginaria de a + bi.

Afortunadamente, el álgebra con números complejos funciona de manera muy predecible, aquí hay algunos ejemplos:

En general, la multiplicación funciona con el método FOIL:

Dos números complejos a + bi y a - bi se denominan par conjugado complejo. La buena propiedad de un par conjugado complejo es que su producto es siempre un número real no negativo:

Usando esta propiedad podemos ver cómo dividir dos números complejos. Veamos el ejemplo

El truco de magia consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el compañero conjugado complejo del denominador, en nuestro ejemplo multiplicamos por 1+ i:

Dado que (1+ i) (1- i) = 2 y (2 + 3 i) (1+ i) = - 1 + 5 i, obtenemos

Puede encontrar más información en nuestra sección de Números complejos.

Usando la fórmula cuadrática, las raíces se calculan para

No es difícil ver a partir de la forma de la fórmula cuadrática, que si un polinomio cuadrático tiene raíces complejas, ¡siempre serán un par conjugado complejo!

He aquí otro ejemplo. Considere el polinomio

se llama discriminante.

  • Si el discriminante es positivo, el polinomio tiene 2 raíces reales distintas.
  • Si el discriminante es negativo, el polinomio tiene 2 raíces complejas, que forman un par conjugado complejo.
  • Si el discriminante es cero, el polinomio tiene una raíz real de multiplicidad 2.

Ya sabemos que cada polinomio se puede factorizar sobre los números reales en un producto de factores lineales y polinomios cuadráticos irreducibles. Pero ahora también hemos observado que cada polinomio cuadrático se puede factorizar en 2 factores lineales, si permitimos números complejos. En consecuencia, la versión compleja del Teorema fundamental del álgebra es la siguiente:

Podemos afirmar esto también en el lenguaje raíz:

¡El uso de números complejos hace que los enunciados sean más fáciles y más bonitos!


Qué se espera de ti

Nuestro objetivo es cubrir la mayor parte del material de los primeros 6 capítulos del texto. En cualquier curso de análisis complejo, uno debe comenzar por tratar con las propiedades algebraicas básicas de los números complejos y la geometría de estas operaciones en el plano complejo (una semana más o menos). La mayor parte del curso se ocupa de las muchas propiedades geométricas, topológicas y analíticas de las funciones holomórficas (analíticas). Siguiendo el flujo general del texto, veremos primero algunas propiedades de mapeo geométrico de ciertas clases y ejemplos de funciones holomorfas (probablemente alrededor de 3 semanas), luego examinaremos la integración compleja y las nociones topológicas asociadas (alrededor de 4 semanas), use estos resultados para obtener propiedades analíticas y representaciones como series y productos (3-4 semanas), y luego volver a las propiedades cartográficas más generales (1-2 semanas). Se pueden omitir algunos temas (los candidatos probables son las secciones 2.4, 3.4, 3.5 del Capítulo 3, las secciones 4.1-4.4 del Capítulo 5) y la cantidad del Capítulo 6 que se cubra dependerá del tiempo disponible, aunque las secciones 1.1-1.4 del Capítulo 6 definitivamente aparecerán.


Números complejos Definición, formas y representación.

Un numero complejo z es un número de la forma
z = X + yi ,
dónde X y y son números reales, y I es la unidad imaginaria, con la propiedad I 2 = -1 .
El numero real X se llama la parte real del número complejo. Se denota por Re ( z ) .
El numero real y es la parte imaginaria. Se denota por Im ( z ) .
Por ejemplo, 2 + 3 I es un número complejo, con parte real 2 y parte imaginaria 3.
Si y = 0, el número z es real. The real numbers may be regarded as subset of the set of all complex numbers by considering them as a complex
z = X = X + 0 I .
Si X = 0 , the number is purely imaginary:
z
= y = 0 + yi .
The imaginary unit I = 0 + 1 I .
Zero is the only number which is at once real and purely imaginary: 0 = 0 + 0 I .
Two complex numbers are equal if and only if their real parts are equal and their imaginary parts are equal.
X 1 + y 1 I = X 2 + y 2 I Si X 1 = X 2 y y 1 = y 2 .

The complex numbers can be defined as ordered pairs of real numbers z ( X , y ) or ( X , y ).
The imaginary unit I = ( 0, 1 ).
Zero = ( 0, 0 ).
( X , y )( y , X ). For example z ( 2, 3 ) z ( 3, 2 ).

2. Geometric representation of the complex numbers
2.1 Cartesian representation of the complex numbers

The complex numbers can be represented by points on a two-dimensional Cartesian coordinate system called the complex plane. In this way we establish a one to one correspondence between the set of all complex numbers and the set of all points in the plane. The set of all real numbers corresponds to the real axis X and the set of all purely imaginary numbers corresponds to the imaginary axis y (see Figure 1.1).

Figure 1.1 Cartesian representation

The Cartesian representation of the complex numbers specifies a unique point on the complex plane, and a given point has a unique Cartesian representation of the complex numbers.

3. Polar representation of the complex numbers
3.1 Vector representation of the complex numbers

Another way of representing the complex numbers is to use the vector joining the origin ( 0, 0 ) of the complex plain to the point PAG = ( X , y ). (Figure 1.2 ).

Figure 1.2 Vector representation

3.2 Modulus and argument of the complex numbers
3.2.1 Modulus of the complex numbers

The length of the vector is called the modulus or absolute value of the complex numbers z , and is denoted by | z |. It is a nonnegative real number given by the equation
| z | = . (1.1)
The only complex number with modulus zero is the number ( 0, 0 ).

Some Examples

z = -2 + 4 I . Modulus | z | =.
z = 1 + I . Modulus | z | =.
z = - 1 + 0 I . Modulus | z | = 1 .
z = I . Modulus | z | = 1 .
z = - I . Modulus | z | = 1 .

3.2.2 Argument of the complex numbers

The angle between the positive real axis and the vector is called the argumento of the complex numbers z , and is denoted by Arg ( z ).
More exactly Arg ( z ) is the angle through which the positive real axis must be rotated to cause it to have the same direction as vector . We assume that the point PAG is not the origin, PAG ( 0, 0 ). Si PAG = ( 0, 0 ), then | z | = 0 and Arg ( z ) is indeterminate.
Arg ( z ) is considered positive if the rotation is counterclockwise and negative if the rotation is clockwise.
| z | and Arg ( z ) are the polar coordinates of the point ( X , y ).
z = | z | < cos Arg ( z ) + I sin Arg ( z ) > is a polar representation de z . (1.2)

Special values of the complex argument

Arg ( I ) =
Arg ( - I ) =
Arg ( 1 ) = 0
Arg ( -1 ) =
Arg ( 1 + I ) =

3.2.3 Trigonometric form of the complex numbers

Resulta que
broncearse (1.3)

Ejemplo 1:
z = 6 + 8 I .
| z | = .
tan = 8 / 6 = 4 / 3 .

z = X + yi = r ( cos + I sin ) . (1.4)
The identity (1.4) is called the trigonometric form of the complex number z .
In common with the Cartesian representation, the polar representation specifies a unique point on the complex plane. But unlike the Cartesian representation, a given point does not have a unique polar label. Look at the Figure 1.3 a y B. A point PAG has infinitely many different labels because any angles that differ by a multiple of correspond to the same direction.

Figure 1.3 Polar representation

The fact about angles is very important. It means that each number z = X + yi has infinite set of representation in a polar form. Each representation differ by a multiple of .

3.2.4 Principal value of the argument

There is one and only one value of Arg ( z ), which satisfies the inequality
- < Arg ( z ) .
This is the principal value of the argument of z , written arg ( z ). The relation between Arg ( z ) and arg ( z ) es dado por
Arg ( z ) = arg ( z ) + norte ,
dónde norte ranges over all integers 0, ±1, ±2, .
tan arg ( z ) . (1.5)

Ejemplo 2:
Principal polar representation of z es
z = 4( cos + I sin ) .
Find other instances of the polar representation of z .

Some other instances of the polar representation of z :
z = 4( cos + I sin )
z = 4( cos (+ norte ) + I sin (+ norte ) ) .
See Figure 1.4 for this example.


Http://www.drexel.edu/provost/policies/academic_dishonesty.asp

Below is the proposed list of lecture topics and reading assignments. Perhaps, the pace will be sometimes slower, and it is possible that not all of the topics will be covered. In that case, I will let you know about the changes.

4/1: Lecture 1. Complex numbers, geometry of the complex plane – Sections 1.1-1.2.

4/3: Lecture 2. Analytic functions – Section 2.1.

4/5: Lecture 3. Power series: elementary theory. Elementary functions – Sections 2.2-2.3.

4/8: Lecture 4. Elements of set theory and topology. – Section 3.1.

4/10: Lecture 5. Elements of topology (cont.). – Section 3.1.

4/12: Lecture 6. Conformal mappings. – Section 3.2.

4/15: Lecture 7. Linear fractional transformations. – Section 3.3.

4/17: Lecture 8. Elementary conformal mappings. Riemann surfaces. – Section 3.4.

4/19: Lecture 9. Line integrals. – Section 4.1.

4/22: Lecture 10. Cauchy theorem. – Section 4.1.

4/24: Lecture 11. Cauchy integral formula. – Section 4.2.

4/26: Lecture 12. Removable singularities. Taylor theorem. Zeros and poles. – Section 4.3.

4/29: Lecture 13. The open mapping and maximum principles. – Section 4.3.

5/1: Lecture 14. The general form of the Cauchy theorem. – Section 4.4.

5/3: Lecture 15. Residues. – Section 4.5.

5/6: Lecture 16. The argument principle and evaluation of integrals. – Section 4.5.

5/8: Lecture 17. Harmonic functions. – Section 4.6.

5/10: Lecture 18. Poisson formula, Schwarz theorem, reflection principle. – Section 4.6.

5/13: Lecture 19. Power series. Weierstrass theorem. – Section 5.1.

5/15: Lecture 20. Taylor and Laurent series. – Section 5.1.

5/17: Lecture 21. Partial fractions. – Section 5.2.

5/20: Lecture 22. Infinite products. – Section 5.2.

5/22: Lecture 23. The gamma function and Stirling formula. – Section 5.2.

5/24: Lecture 24. Entire functions. Jensen formula. – Section 5.3.

5/27 – Memorial Day – University holiday

5/29: Lecture 25. Hadamard theorem. – Section 5.3.

5/31: Lecture 26. The Riemann zeta function. -Section 5,4.

6/3: Lecture 27. The Riemann zeta function (cont.). – Section 5.4.

6/5: Lecture 28. Normal families. – Section 5.5.

6/7: Lecture 29. Normal families (cont.). – Section 5.5.

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Writing Assignment 1 (WA1): #1 on p. 6 #4 on p. 9 #1 on p. 11 #1 on p. 20 ##3, 4 on p. 28. — Due by Monday, 4/8.

WA2: ##1, 2 on p. 32 ##4, 5, 6 on p. 37. — Due by Monday, 4/15.

WA3: ##2, 3 on p. 41 #4 on p. 44 ##5, 6, 8 on p. 47. — Due by Monday, 4/22.

WA4: ##2, 4 on p. 58 ##4, 5 on p. 66. – Due by Monday, 4/29.

WA5: #4 on p. 78 #1 on p. 80 ##4, 5 on p. 83. — Due by Monday, 5/6.

WA6: #1 on p. 96 #1 on p. 99 ##2, 5 on p. 108. — Due by Monday, 5/13.

WA7: #1 on p. 117, ##1, 2 on p. 120 ##1, 2, 4 on p. 123. — Due by Monday, 5/27.


Ver el vídeo: Módulo y argumento de un número complejo (Noviembre 2021).