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1.5: Transformación de funciones - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Grafica funciones usando cambios verticales y horizontales.
  • Grafica funciones usando reflexiones sobre el eje xy el eje y.
  • Determina si una función es par, impar o ninguna de ellas a partir de su gráfica.
  • Grafica funciones usando compresiones y estiramientos.
  • Combina transformaciones.

Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen precisa de nosotros mismos y de lo que está detrás de nosotros. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden cambiar horizontal o verticalmente. Pero, ¿qué pasa cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de carnaval, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. De manera similar, podemos distorsionar o transformar funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos en el mundo real. En esta sección, veremos varios tipos de transformaciones.

A menudo, cuando se nos presenta un problema, intentamos modelar el escenario utilizando matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del kit de herramientas para construir nuevos modelos para un escenario dado. Hay formas sistemáticas de alterar funciones para construir modelos apropiados para los problemas que estamos tratando de resolver.

Identificación de cambios verticales

Un tipo simple de transformación implica desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El cambio más simple es un desplazamiento vertical, moviendo el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica agregar una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, agregamos la misma constante al valor de salida de la función independientemente de la entrada. Para una función (g (x) = f (x) + k ), la función (f (x) ) se desplaza verticalmente (k ) unidades. Consulte la Figura ( PageIndex {2} ) para ver un ejemplo.

Para ayudarle a visualizar el concepto de desplazamiento vertical, considere que (y = f (x) ). Por lo tanto, (f (x) + k ) es equivalente a (y + k ). Cada unidad de (y ) se reemplaza por (y + k ), por lo que el valor de (y ) - aumenta o disminuye según el valor de (k ). El resultado es un cambio hacia arriba o hacia abajo.

Definición: Desplazamiento vertical

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = f (x) + k ), donde (k ) es una constante, es una desplazamiento vertical de la función (f (x) ). Todos los valores de salida cambian en (k ) unidades. Si (k ) es positivo, la gráfica se desplazará hacia arriba. Si (k ) es negativo, la gráfica se desplazará hacia abajo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Agregar una constante a una función

Para regular la temperatura en un edificio ecológico, las rejillas de ventilación cerca del techo se abren y cierran durante todo el día. La figura ( PageIndex {3} ) muestra el área de los conductos de ventilación abiertos (V ) (en pies cuadrados) a lo largo del día en horas después de la medianoche, (t ). Durante el verano, el gerente de las instalaciones decide tratar de regular mejor la temperatura aumentando la cantidad de respiraderos abiertos en 20 pies cuadrados durante el día y la noche. Dibuja una gráfica de esta nueva función.

Solución

Podemos trazar un gráfico de esta nueva función sumando 20 a cada uno de los valores de salida de la función original. Esto tendrá el efecto de desplazar el gráfico verticalmente hacia arriba, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Observe que en la Figura ( PageIndex {4} ), para cada valor de entrada, el valor de salida ha aumentado en 20, por lo que si llamamos a la nueva función (S (t) ), podríamos escribir

[S (t) = V (t) +20 ]

Esta notación nos dice que, para cualquier valor de (t ), (S (t) ) se puede encontrar evaluando la función (V ) en la misma entrada y luego sumando 20 al resultado. Esto define (S ) como una transformación de la función (V ), en este caso un desplazamiento vertical hacia arriba 20 unidades. Observe que, con un desplazamiento vertical, los valores de entrada permanecen iguales y solo cambian los valores de salida. Consulte la tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )

(t )

0810171924

(Vermont))

0022022000

(S t))

20202402402020

Cómo...

Dada una función tabular, cree una nueva fila para representar un desplazamiento vertical.

  1. Identifique la fila o columna de salida.
  2. Determina el magnitud del turno.
  3. Agregue el cambio al valor en cada celda de salida. Agregue un valor positivo para arriba o un valor negativo para abajo.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Desplazamiento vertical de una función tabular

Una función (f (x) ) se da en la Tabla ( PageIndex {2} ). Cree una tabla para la función (g (x) = f (x) −3 ).

Tabla ( PageIndex {2} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

Solución

La fórmula (g (x) = f (x) −3 ) nos dice que podemos encontrar los valores de salida de (g ) restando 3 de los valores de salida de (f ). Por ejemplo:

[ begin {align *} f (x) & = 1 & text {Dado} [4pt] g (x) & = f (x) -3 & text {Transformación dada} [4pt] g (2) & = f (2) −3 & = 1-3 & = - 2 end {align *} ]

Restando 3 de cada valor de (f (x) ), podemos completar una tabla de valores para (g (x) ) como se muestra en la Tabla ( PageIndex {3} ).

Tabla ( PageIndex {3} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

-2048

Análisis

Al igual que con el desplazamiento vertical anterior, observe que los valores de entrada permanecen iguales y solo cambian los valores de salida.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

La función (h (t) = - 4.9t ^ 2 + 30t ) da la altura (h ) de una pelota (en metros) lanzada hacia arriba desde el suelo después de (t ) segundos. Supongamos que la pelota se lanza desde lo alto de un edificio de 10 m. Relaciona esta nueva función de altura (b (t) ) con (h (t) ), y luego encuentra una fórmula para (b (t) ).

Respuesta

(b (t) = h (t) + 10 = −4,9t ^ 2 + 30t + 10 )

Identificación de cambios horizontales

Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida o fuera de la función. Ahora veremos cómo los cambios en la entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y significado. Un cambio a la entrada da como resultado un movimiento del gráfico de la función hacia la izquierda o hacia la derecha en lo que se conoce como desplazamiento horizontal, que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Por ejemplo, si (f (x) = x ^ 2 ), entonces (g (x) = (x − 2) ^ 2 ) es una función nueva. Cada entrada se reduce en 2 antes de cuadrar la función. El resultado es que la gráfica se desplaza 2 unidades hacia la derecha, porque necesitaríamos aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en (f ).

Definición: desplazamiento horizontal

Dada una función (f ), una nueva función (g (x) = f (x − h) ), donde (h ) es una constante, es una desplazamiento horizontal de la función (f ). Si (h ) es positivo, la gráfica se desplazará a la derecha. Si (h ) es negativo, la gráfica se desplazará a la izquierda.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Agregar una constante a una entrada

Volviendo a nuestro ejemplo de flujo de aire del edificio de la Figura ( PageIndex {2} ), suponga que en otoño el gerente de las instalaciones decide que el plan de ventilación original comienza demasiado tarde y quiere comenzar todo el programa de ventilación 2 horas antes. Dibuja una gráfica de la nueva función.

Solución

Podemos configurar (V (t) ) para que sea el programa original y (F (t) ) para que sea el programa revisado.

[V (t) = text {el plan de ventilación original} nonumber ]

[F (t) = text {comenzando 2 horas antes} nonumber ]

En el nuevo gráfico, en cada momento, el flujo de aire es el mismo que la función original (V ) fue 2 horas después. Por ejemplo, en la función original (V ), el flujo de aire comienza a cambiar a las 8 am, mientras que para la función (F ), el flujo de aire comienza a cambiar a las 6 am Los valores de la función comparable son (V (8 ) = F (6) ). Vea la Figura ( PageIndex {5} ). Observe también que las rejillas de ventilación se abrieron por primera vez a (220 text {ft} ^ 2 ) a las 10 am con el plan original, mientras que con el nuevo plan las rejillas de ventilación llegan a (220 text {ft} ^ 2 ) a las 8 soy, entonces (V (10) = F (8) ).

En ambos casos, vemos que, debido a que (F (t) ) comienza 2 horas antes, (h = −2 ). Eso significa que se alcanzan los mismos valores de salida cuando (F (t) = V (t - (- 2)) = V (t + 2) ).

Análisis

Tenga en cuenta que (V (t + 2) ) tiene el efecto de desplazar la gráfica hacia la izquierda.

Los cambios horizontales o "cambios internos" afectan el dominio de una función (la entrada) en lugar del rango y, a menudo, parecen contradictorios. La nueva función (F (t) ) usa las mismas salidas que (V (t) ), pero hace coincidir esas salidas con las entradas 2 horas antes que las de (V (t) ). Dicho de otra manera, debemos agregar 2 horas a la entrada de (V ) para encontrar la salida correspondiente para (F: F (t) = V (t + 2) ).

Cómo...

Dada una función tabular, cree una nueva fila para representar un desplazamiento horizontal.

  1. Identifique la fila o columna de entrada.
  2. Determine la magnitud del cambio.
  3. Agregue el cambio al valor en cada celda de entrada.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Desplazamiento horizontal de una función tabular

Una función (f (x) ) se da en la Tabla ( PageIndex {4} ). Crea una tabla para la función (g (x) = f (x − 3) ).

Tabla ( PageIndex {4} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

Solución

La fórmula (g (x) = f (x − 3) ) nos dice que los valores de salida de (g ) son los mismos que el valor de salida de (f ) cuando el valor de entrada es 3 menos que el valor original. Por ejemplo, sabemos que (f (2) = 1 ). Para obtener el mismo resultado de la función (g ), necesitaremos un valor de entrada 3 más grande. Ingresamos un valor que es 3 más grande para (g (x) ) porque la función quita 3 antes de evaluar la función (f ).

[ begin {align *} g (5) & = f (5-3) & = f (2) & = 1 end {align *} ]

Continuamos con los otros valores para crear Table ( PageIndex {5} ).

Tabla ( PageIndex {5} )

(X)

57911

(x-3 )

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

13711

El resultado es que la función (g (x) ) se ha desplazado hacia la derecha en 3. Observe que los valores de salida para (g (x) ) siguen siendo los mismos que los valores de salida para (f (x) ), pero los valores de entrada correspondientes, (x ), se han desplazado hacia la derecha en 3. Específicamente, 2 se desplazó a 5, 4 se desplazó a 7, 6 se desplazó a 9 y 8 se desplazó a 11.

Análisis

La figura ( PageIndex {6} ) representa ambas funciones. Podemos ver el desplazamiento horizontal en cada punto.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): identificación de un desplazamiento horizontal de una función del juego de herramientas

La figura ( PageIndex {7} ) representa una transformación de la función del juego de herramientas (f (x) = x ^ 2 ). Relaciona esta nueva función (g (x) ) con (f (x) ), y luego encuentra una fórmula para (g (x) ).

Solución

Observa que la gráfica tiene una forma idéntica a la función (f (x) = x ^ 2 ), pero los valores de (x ) - se desplazan 2 unidades hacia la derecha. El vértice solía estar en ((0,0) ), pero ahora el vértice está en ((2,0) ). La gráfica es la función cuadrática básica desplazada 2 unidades a la derecha, entonces

[g (x) = f (x − 2) nonumber ]

Observe cómo debemos ingresar el valor (x = 2 ) para obtener el valor de salida (y = 0 ); los valores de (x ) - deben ser 2 unidades más grandes debido al desplazamiento hacia la derecha en 2 unidades. Entonces podemos usar la definición de la función (f (x) ) para escribir una fórmula para (g (x) ) evaluando (f (x − 2) ).

[ begin {align *} f (x) & = x ^ 2 g (x) & = f (x-2) g (x) & = f (x-2) = (x-2 ) ^ 2 end {align *} ]

Análisis

Para determinar si el desplazamiento es (+ 2 ) o (- 2 ), considere un solo punto de referencia en la gráfica. Para una cuadrática, es conveniente mirar el punto del vértice. En la función original, (f (0) = 0 ). En nuestra función desplazada, (g (2) = 0 ). Para obtener el valor de salida de 0 de la función (f ), necesitamos decidir si un signo más o menos funcionará para satisfacer (g (2) = f (x − 2) = f (0) = 0 ). Para que esto funcione, necesitaremos restar 2 unidades de nuestros valores de entrada.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Interpretación de los desplazamientos horizontales frente a los verticales

La función (G (m) ) da la cantidad de galones de gasolina necesarios para conducir (m ) millas. Interpreta (G (m) +10 ) y (G (m + 10) )

Solución

(G (m) +10 ) se puede interpretar como sumar 10 galones a la salida. Esta es la gasolina necesaria para conducir (m ) millas, más otros 10 galones de gasolina. El gráfico indicaría un desplazamiento vertical.

(G (m + 10) ) se puede interpretar como sumar 10 a la entrada, millas. Entonces, esta es la cantidad de galones de gasolina necesarios para conducir 10 millas más que (m ) millas. El gráfico indicaría un desplazamiento horizontal.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dada la función (f (x) = sqrt {x} ), grafica la función original (f (x) ) y la transformación (g (x) = f (x + 2) ) en el mismos ejes. ¿Es este un cambio horizontal o vertical? ¿De qué manera se desplaza la gráfica y en cuántas unidades?

Respuesta

Las gráficas de (f (x) ) y (g (x) ) se muestran a continuación. La transformación es un cambio horizontal. La función se desplaza 2 unidades hacia la izquierda.

Combinando cambios verticales y horizontales

Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. Los cambios verticales son cambios externos que afectan los valores del eje de salida ((y -) ) y desplazan la función hacia arriba o hacia abajo. Los cambios horizontales son cambios internos que afectan los valores del eje de entrada ((x -) ) y desplazan la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de cambios hará que la gráfica de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o hacia la izquierda.

Cómo...

Dada una función y un desplazamiento vertical y horizontal, esboce la gráfica.

  1. Identifica los cambios verticales y horizontales de la fórmula.
  2. El desplazamiento vertical resulta de una constante agregada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa.
  3. El desplazamiento horizontal resulta de una constante agregada a la entrada. Mueva la gráfica hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa.
  4. Aplique los cambios al gráfico en cualquier orden.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Graficar desplazamientos verticales y horizontales combinados

Dado (f (x) = | x | ), dibuja una gráfica de (h (x) = f (x + 1) −3 ).

Solución

La función (f ) es la función de valor absoluto de nuestra caja de herramientas. Sabemos que esta gráfica tiene forma de V, con el punto en el origen. La gráfica de (h ) ha transformado (f ) de dos maneras: (f (x + 1) ) es un cambio en el interior de la función, lo que da un desplazamiento horizontal a la izquierda en 1, y la resta por 3 en (f (x + 1) −3 ) es un cambio hacia el exterior de la función, lo que da un desplazamiento vertical hacia abajo en 3. La transformación de la gráfica se ilustra en la Figura ( PageIndex {9} ).

Sigamos un punto de la gráfica de (f (x) = | x | ).

  • El punto ((0,0) ) se transforma primero desplazando 1 unidad a la izquierda: ((0,0) rightarrow (−1,0) )
  • El punto ((- 1,0) ) se transforma a continuación desplazando hacia abajo 3 unidades: ((- 1,0) rightarrow (−1, −3) )

La figura ( PageIndex {10} ) muestra la gráfica de (h ).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Dado (f (x) = | x | ), dibuja una gráfica de (h (x) = f (x − 2) +4 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Identificación de desplazamientos verticales y horizontales combinados

Escribe una fórmula para el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ), que es una transformación de la función raíz cuadrada del juego de herramientas.

Solución

El gráfico de la función del kit de herramientas comienza en el origen, por lo que este gráfico se ha desplazado 1 hacia la derecha y hacia arriba 2. En la notación de funciones, podríamos escribir eso como

[h (x) = f (x − 1) +2 nonumber ]

Usando la fórmula para la función de raíz cuadrada, podemos escribir

[h (x) = sqrt {x − 1} +2 nonumber ]

Análisis

Tenga en cuenta que esta transformación ha cambiado el dominio y el rango de la función. Este nuevo gráfico tiene dominio ( left [1, infty right) ) y rango ( left [2, infty right) ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Escribe una fórmula para una transformación de la función recíproca del juego de herramientas (f (x) = frac {1} {x} ) que desplaza la gráfica de la función una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba.

Respuesta

[g (x) = dfrac {1} {x-1} +1 nonumber ]

Graficar funciones usando reflexiones sobre los ejes

Otra transformación que se puede aplicar a una función es una reflexión sobre el eje xo y. A reflejo vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x, mientras que un reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje y. Las reflexiones se muestran en la Figura ( PageIndex {13} ).

.

Observe que la reflexión vertical produce una nueva gráfica que es una imagen especular de la gráfica base o original sobre el eje x. La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico que es una imagen especular del gráfico base o original sobre el eje y.

Definiciones: Reflexiones

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = - f (x) ) es una reflejo vertical de la función (f (x) ), a veces llamada reflexión sobre (o sobre oa través) del eje x.

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = f (−x) ) es una reflexión horizontal de la función (f (x) ), a veces llamada reflexión sobre el eje y.

Cómo...

Dada una función, refleje el gráfico tanto vertical como horizontalmente.

  1. Multiplique todas las salidas por –1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es un reflejo del gráfico original sobre el eje x.
  2. Multiplique todas las entradas por –1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es un reflejo del gráfico original sobre el eje y.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Reflejar un gráfico horizontal y verticalmente

Refleja la gráfica de (s (t) = sqrt {t} ) (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Solución

una. Reflejar el gráfico verticalmente significa que cada valor de salida se reflejará sobre el eje t horizontal como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ).

Debido a que cada valor de salida es opuesto al valor de salida original, podemos escribir

[V (t) = - s (t) text {o} V (t) = - sqrt {t} nonumber ]

Observe que este es un cambio externo, o desplazamiento vertical, que afecta los valores de salida (s (t) ), por lo que el signo negativo pertenece fuera de la función.

B. Reflejar horizontalmente significa que cada valor de entrada se reflejará sobre el eje vertical como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ).

Debido a que cada valor de entrada es opuesto al valor de entrada original, podemos escribir

[H (t) = s (−t) text {o} H (t) = sqrt {−t} nonumber ]

Tenga en cuenta que se trata de un cambio interior o un cambio horizontal que afecta los valores de entrada, por lo que el signo negativo está en el interior de la función.

Tenga en cuenta que estas transformaciones pueden afectar el dominio y el rango de las funciones. Mientras que la función raíz cuadrada original tiene dominio ( left [0, infty right) ) y rango ( left [0, infty right) ), la reflexión vertical da (V (t) ) función el rango ( left (- infty, 0 right] ) y la reflexión horizontal da a la función (H (t) ) el dominio ( left (- infty, 0 right] ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Refleja la gráfica de (f (x) = | x − 1 | ) (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Respuesta

una.

B.

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Reflejar una función tabular horizontal y verticalmente

Una función (f (x) ) se da como Tabla ( PageIndex {6} ). Cree una tabla para las funciones siguientes.

una. (g (x) = - f (x) )
B. (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {6} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

una. Para (g (x) ), el signo negativo fuera de la función indica una reflexión vertical, por lo que los valores de x permanecen iguales y cada valor de salida será el opuesto al valor de salida original. Consulte la tabla ( PageIndex {7} ).

Tabla ( PageIndex {7} )

(X)

2468

(g (x) )

-1-3-7-11

B. Para (h (x) ), el signo negativo dentro de la función indica una reflexión horizontal, por lo que cada valor de entrada será el opuesto al valor de entrada original y los valores de (h (x) ) permanecerán iguales a los (f (x) ) valores. Consulte la tabla ( PageIndex {8} ).

Tabla ( PageIndex {8} )

(X)

-2-4-6-8

(h (x) )

13711

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Una función (f (x) ) se da como Tabla ( PageIndex {9} ). (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {9} )

(X)

-2024

(f (x) )

5101520
Respuesta

una. (g (x) = - f (x) )

Tabla ( PageIndex {10} )

(X)

-2024

(g (x) )

-5-10-15-20

B. (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {11} )

(X)

-202-4

(h (x) )

1510520

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Aplicación de una ecuación de modelo de aprendizaje

Un modelo común de aprendizaje tiene una ecuación similar a (k (t) = - 2 ^ {- t} +1 ), donde (k ) es el porcentaje de dominio que se puede lograr después de (t ) sesiones de práctica. Esta es una transformación de la función (f (t) = 2 ^ t ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {18} ). Dibuja una gráfica de (k (t) ).

Solución

Esta ecuación combina tres transformaciones en una sola ecuación.

  • Una reflexión horizontal: (f (−t) = 2 ^ {- t} )
  • Una reflexión vertical: (- f (−t) = - 2 ^ {- t} )
  • Un desplazamiento vertical: (- f (−t) + 1 = −2 ^ {- t} +1 )

Podemos esbozar una gráfica aplicando estas transformaciones una a la vez a la función original. Sigamos dos puntos a través de cada una de las tres transformaciones. Elegiremos los puntos ((0, 1) ) y ((1, 2) ).

  • Primero, aplicamos una reflexión horizontal: ((0, 1) ; (–1, 2) ).
  • Luego, aplicamos una reflexión vertical: ((0, −1) ; (-1, –2) ).
  • Finalmente, aplicamos un desplazamiento vertical: ((0, 0) ; (-1, -1) ).

Esto significa que los puntos originales, ((0,1) ) y ((1,2) ) se convierten en ((0,0) ) y ((- 1, -1) ) después de que aplicar las transformaciones.

En la Figura ( PageIndex {19} ), el primer gráfico resulta de una reflexión horizontal. El segundo resulta de una reflexión vertical. El tercero resulta de un desplazamiento vertical hacia arriba 1 unidad.

Análisis

Como modelo para el aprendizaje, esta función estaría limitada a un dominio de (t geq0 ), con el rango correspondiente ( left [0,1 right) ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dada la función del juego de herramientas (f (x) = x ^ 2 ), grafica (g (x) = - f (x) ) y (h (x) = f (−x) ). Tome nota de cualquier comportamiento sorprendente de estas funciones.

Respuesta

Aviso: (g (x) = f (−x) ) tiene el mismo aspecto que (f (x) ).

Determinación de funciones pares e impares

Algunas funciones exhiben simetría de modo que las reflexiones dan como resultado el gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones del juego de herramientas (f (x) = x ^ 2 ) o (f (x) = | x | ) dará como resultado el gráfico original. Decimos que estos tipos de gráficos son simétricos con respecto al eje y. Las funciones cuyas gráficas son simétricas con respecto al eje y se denominan incluso funciones.

Si las gráficas de (f (x) = x ^ 3 ) o (f (x) = frac {1} {x} ) se reflejaran en ambos ejes, el resultado sería la gráfica original, como se muestra en la Figura ( PageIndex {21} ).

Decimos que estas gráficas son simétricas con respecto al origen. Una función con una gráfica que es simétrica con respecto al origen se llama Función impar.

Nota: Una función no puede ser ni par ni impar si no presenta ninguna simetría. Por ejemplo, (f (x) = 2 ^ x ) no es ni par ni impar. Además, la única función que es par e impar es la función constante (f (x) = 0 ).

Definiciones: funciones pares e impares

Una función se llama incluso función si para cada entrada (x )

(f (x) = f (−x) )

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

Una función se llama Función impar si para cada entrada (x )

(f (x) = - f (−x) )

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Cómo...

Dada la fórmula de una función, determina si la función es par, impar o ninguna de las dos.

  1. Determina si la función satisface (f (x) = f (−x) ). Si lo hace, es parejo.
  2. Determina si la función satisface (f (x) = - f (−x) ). Si lo hace, es extraño.
  3. Si la función no satisface ninguna de las reglas, no es ni par ni impar.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): determinar si una función es par, impar o ninguna

¿Es la función (f (x) = x ^ 3 + 2x ) par, impar o ninguna de las dos?

Solución

Sin mirar un gráfico, podemos determinar si la función es par o impar encontrando fórmulas para las reflexiones y determinando si nos devuelven a la función original. Comencemos con la regla para funciones pares.

[f (−x) = (- x) ^ 3 + 2 (−x) = - x ^ 3−2x nonumber ]

Esto no nos devuelve a la función original, por lo que esta función no es pareja. Ahora podemos probar la regla para funciones impares.

[- f (−x) = - (- x ^ 3−2x) = x ^ 3 + 2x nonumber ]

Como (- f (−x) = f (x) ), esta es una función impar.

Análisis

Considere la gráfica de (f ) en la Figura ( PageIndex {22} ). Observe que la gráfica es simétrica con respecto al origen. Para cada punto ((x, y) ) en el gráfico, el punto correspondiente ((- x, −y) ) también está en el gráfico. Por ejemplo, ((1, 3) ) está en la gráfica de (f ), y el punto correspondiente ((- 1, −3) ) también está en la gráfica.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

¿La función (f (s) = s ^ 4 + 3s ^ 2 + 7 ) es par, impar o ninguna de las dos?

Respuesta

incluso

Graficar funciones usando estiramientos y compresiones

Agregar una constante a las entradas o salidas de una función cambió la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afectó la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar las entradas o salidas por alguna cantidad.

Podemos transformar el interior (valores de entrada) de una función o podemos transformar el exterior (valores de salida) de una función. Cada cambio tiene un efecto específico que se puede ver gráficamente.

Estiramientos y compresiones verticales

Cuando multiplicamos una función por una constante positiva, obtenemos una función cuya gráfica se estira o comprime verticalmente en relación con la gráfica de la función original. Si la constante es mayor que 1, obtenemos un estiramiento vertical; si la constante está entre 0 y 1, obtenemos un compresión vertical. La figura ( PageIndex {23} ) muestra una función multiplicada por los factores constantes 2 y 0.5 y el estiramiento y compresión verticales resultantes.

Definiciones: estiramientos y compresiones verticales

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = af (x) ), donde (a ) es una constante, es una estiramiento vertical o compresión vertical de la función (f (x) ).

Cómo...

Dada una función, grafica su estiramiento vertical.

  1. Identifica el valor de (a ).
  2. Multiplica todos los valores del rango por (a )
  3. Si (a> 1 ), la gráfica se estira por un factor de (a ).
  4. Si (0
  5. Si (a <0 ), el gráfico se estira o se comprime y también se refleja sobre el eje x.

Ejemplo 1.5.14: Graficar un estiramiento vertical

Una función (P (t) ) modela la población de moscas de la fruta. El gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {24} ).

Un científico está comparando esta población con otra población, (Q ), cuyo crecimiento sigue el mismo patrón, pero es el doble. Dibuja una gráfica de esta población.

Solución

Debido a que la población siempre es dos veces mayor, los valores de salida de la nueva población son siempre el doble de los valores de salida de la función original. Gráficamente, esto se muestra en la Figura ( PageIndex {25} ).

Si elegimos cuatro puntos de referencia, ((0, 1) ), ((3, 3) ), ((6, 2) ) y ((7, 0) ) multiplicaremos todos de las salidas por 2.

A continuación se muestra dónde se ubicarán los nuevos puntos para el nuevo gráfico.

[(0, 1) rightarrow (0, 2) ]

[(3, 3) rightarrow (3, 6) ]

[(6, 2) rightarrow (6, 4) ]

[(7, 0) rightarrow (7, 0) ]

Simbólicamente, la relación se escribe como

[Q (t) = 2P (t) nonumber ]

Esto significa que para cualquier entrada (t ), el valor de la función (Q ) es dos veces el valor de la función (P ). Observe que el efecto en el gráfico es un estiramiento vertical del gráfico, donde cada punto duplica su distancia desde el eje horizontal. Los valores de entrada, (t ), permanecen iguales mientras que los valores de salida son dos veces más grandes que antes.

Cómo...

Dada una función tabular y asumiendo que la transformación es un estiramiento o compresión vertical, cree una tabla para una compresión vertical.

  1. Determina el valor de (a ).
  2. Multiplica todos los valores de salida por (a ).

Ejemplo ( PageIndex {15} ): encontrar una compresión vertical de una función tabular

Una función (f ) se da como Tabla ( PageIndex {12} ). Crea una tabla para la función (g (x) = frac {1} {2} f (x) ).

Tabla ( PageIndex {12} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

Solución

La fórmula (g (x) = frac {1} {2} f (x) ) nos dice que los valores de salida de (g ) son la mitad de los valores de salida de (f ) con el mismo entradas. Por ejemplo, sabemos que (f (4) = 3 ). Luego

[g (4) = frac {1} {2} f (4) = frac {1} {2} (3) = frac {3} {2} nonumber ]

Hacemos lo mismo con los otros valores para producir Table ( PageIndex {13} ).

Tabla ( PageIndex {13} )

(X)

2468

(g (x) )

( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {3} {2} ) ( dfrac {7} {2} ) ( dfrac {11} {2} )

Análisis

El resultado es que la función (g (x) ) ha sido comprimida verticalmente por ( frac {1} {2} ). Cada valor de salida se divide por la mitad, por lo que el gráfico tiene la mitad de la altura original.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Una función (f ) se da como Tabla ( PageIndex {14} ). Crea una tabla para la función (g (x) = frac {3} {4} f (x) ).

Tabla ( PageIndex {14} )

(X)

2468

(f (x) )

1216200
Respuesta
Tabla ( PageIndex {15} )

(X)

2468

(g (x) )

912150

Ejemplo ( PageIndex {16} ): Reconocer un estiramiento vertical

El gráfico de la Figura ( PageIndex {26} ) es una transformación de la función del juego de herramientas (f (x) = x ^ 3 ). Relaciona esta nueva función (g (x) ) con (f (x) ), y luego encuentra una fórmula para (g (x) ).

Al intentar determinar un estiramiento o desplazamiento vertical, es útil buscar un punto en el gráfico que sea relativamente claro. En este gráfico, parece que (g (2) = 2 ). Con la función cúbica básica en la misma entrada, (f (2) = 2 ^ 3 = 8 ). Basado en eso, parece que las salidas de (g ) son ( frac {1} {4} ) las salidas de la función (f ) porque (g (2) = frac {1 } {4} f (2) ). De esto podemos concluir con bastante seguridad que (g (x) = frac {1} {4} f (x) ).

Podemos escribir una fórmula para (g ) usando la definición de la función (f ).

[g (x) = frac {1} {4} f (x) = frac {1} {4} x ^ 3. ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Escribe la fórmula para la función que obtenemos cuando estiramos la función del conjunto de herramientas de identidad en un factor de 3, y luego la desplazamos hacia abajo en 2 unidades.

Respuesta

(g (x) = 3x-2 )

Estiramientos y compresiones horizontales

Ahora consideramos los cambios en el interior de una función. Cuando multiplicamos la entrada de una función por una constante positiva, obtenemos una función cuya gráfica se estira o se comprime horizontalmente en relación con la gráfica de la función original. Si la constante está entre 0 y 1, obtenemos un estiramiento horizontal; si la constante es mayor que 1, obtenemos un compresión horizontal de la función.

Dada una función (y = f (x) ), la forma (y = f (bx) ) resulta en un estiramiento o compresión horizontal. Considere la función (y = x ^ 2 ). Observe la figura ( PageIndex {27} ). La gráfica de (y = (0.5x) ^ 2 ) es un tramo horizontal de la gráfica de la función (y = x ^ 2 ) por un factor de 2. La gráfica de (y = (2x) ^ 2 ) es una compresión horizontal de la gráfica de la función (y = x ^ 2 ) por un factor de 2.

Definiciones: estiramientos y compresiones horizontales

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = f (bx) ), donde (b ) es una constante, es una estiramiento horizontal o compresión horizontal de la función (f (x) ).

  • Si (b> 1 ), entonces el gráfico se comprimirá en ( frac {1} {b} ).
  • Si (0
  • Si (b <0 ), entonces habrá una combinación de un estiramiento o compresión horizontal con una reflexión horizontal.

Cómo...

Dada una descripción de una función, dibuje una compresión o estiramiento horizontal.

  1. Escribe una fórmula para representar la función.
  2. Establezca (g (x) = f (bx) ) donde (b> 1 ) para una compresión o (0

Ejemplo ( PageIndex {17} ): Graficar una compresión horizontal

Suponga que un científico está comparando una población de moscas de la fruta con una población que progresa a lo largo de su vida dos veces más rápido que la población original. En otras palabras, esta nueva población, (R ), progresará en 1 hora lo mismo que lo hace la población original en 2 horas, y en 2 horas, progresará tanto como la población original lo hace en 4 horas. Dibuja una gráfica de esta población.

Solución

Simbólicamente, podríamos escribir

( begin {align} R (1) & = P (2), R (2) & = P (4), & text {y en general,} R (t) & = P ( 2t). End {align} )

Consulte la Figura ( PageIndex {28} ) para ver una comparación gráfica de la población original y la población comprimida.

Análisis

Tenga en cuenta que el efecto en el gráfico es una compresión horizontal donde todos los valores de entrada son la mitad de su distancia original desde el eje vertical.

Ejemplo ( PageIndex {18} ): encontrar un estiramiento horizontal para una función tabular

Una función (f (x) ) se da como Tabla ( PageIndex {16} ). Crea una tabla para la función (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ).

Tabla ( PageIndex {16} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

La fórmula (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ) nos dice que los valores de salida para (g ) son los mismos que los valores de salida para la función (f ) con una entrada de la mitad del tamaño. Observe que no tenemos suficiente información para determinar (g (2) ) porque (g (2) = f ( frac {1} {2} ⋅2) = f (1) ), y lo hacemos no tiene un valor para (f (1) ) en nuestra tabla. Nuestros valores de entrada para (g ) deberán ser el doble de grandes para obtener entradas para (f ) que podamos evaluar. Por ejemplo, podemos determinar (g (4) ).

[g (4) = f ( dfrac {1} {2} ⋅4) = f (2) = 1 ]

Hacemos lo mismo con los otros valores para producir Table ( PageIndex {17} ).

Tabla ( PageIndex {17} )

(X)

481216

(g (x) )

13711

La Figura ( PageIndex {29} ) muestra las gráficas de ambos conjuntos de puntos.

Análisis

Debido a que cada valor de entrada se ha duplicado, el resultado es que la función (g (x) ) se ha estirado horizontalmente por un factor de 2.

Ejemplo ( PageIndex {19} ): Reconocer una compresión horizontal en un gráfico

Relacione la función (g (x) ) con (f (x) ) en la Figura ( PageIndex {30} ).

Solución

La gráfica de (g (x) ) se parece a la gráfica de (f (x) ) comprimida horizontalmente. Como (f (x) ) termina en (6,4) y (g (x) ) termina en (2,4), podemos ver que los valores de x han sido comprimidos por ( frac { 1} {3} ), porque (6 ( frac {1} {3}) = 2 ). También podríamos notar que (g (2) = f (6) ) y (g (1) = f (3) ). De cualquier manera, podemos describir esta relación como (g (x) = f (3x) ). Esta es una compresión horizontal por ( frac {1} {3} ).

Análisis

Observe que el coeficiente necesario para un estiramiento o compresión horizontal es el recíproco del estiramiento o compresión. Entonces, para estirar el gráfico horizontalmente en un factor de escala de 4, necesitamos un coeficiente de ( frac {1} {4} ) en nuestra función: (f ( frac {1} {4} x) ) . Esto significa que los valores de entrada deben ser cuatro veces mayores para producir el mismo resultado, lo que requiere que la entrada sea mayor, lo que provoca el estiramiento horizontal.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Escribe una fórmula para la función raíz cuadrada del kit de herramientas estirada horizontalmente por un factor de 3.

Respuesta

(g (x) = f ( frac {1} {3} x) ), entonces usando la función de raíz cuadrada obtenemos (g (x) = sqrt { frac {1} {3} x} )

Realización de una secuencia de transformaciones

Al combinar transformaciones, es muy importante considerar el orden de las transformaciones. Por ejemplo, desplazarse verticalmente en 3 y luego estirar verticalmente en 2 no crea el mismo gráfico que estirar verticalmente en 2 y luego desplazarse verticalmente en 3, porque cuando cambiamos primero, tanto la función original como el cambio se estiran, mientras que solo el la función original se estira cuando estiramos primero.

Cuando vemos una expresión como (2f (x) +3 ), ¿con qué transformación debemos comenzar? La respuesta aquí se desprende muy bien del orden de las operaciones. Dado el valor de salida de (f (x) ), primero multiplicamos por 2, lo que provoca el estiramiento vertical, y luego sumamos 3, lo que provoca el desplazamiento vertical. En otras palabras, multiplicación antes que suma.

Las transformaciones horizontales son un poco más complicadas de pensar. Cuando escribimos (g (x) = f (2x + 3) ), por ejemplo, tenemos que pensar en cómo las entradas de la función (g ) se relacionan con las entradas de la función (f ) . Suponga que conocemos (f (7) = 12 ). ¿Qué entrada a (g ) produciría esa salida? En otras palabras, ¿qué valor de (x ) permitirá (g (x) = f (2x + 3) = 12? ) Necesitaríamos (2x + 3 = 7 ).Para resolver (x ), primero restaríamos 3, lo que resultaría en un desplazamiento horizontal, y luego dividiríamos por 2, lo que provocaría una compresión horizontal.

Este formato termina siendo muy difícil de trabajar, porque generalmente es mucho más fácil estirar horizontalmente un gráfico antes de cambiarlo. Podemos solucionar esto factorizando dentro de la función.

[f (bx + p) = f (b (x + frac {p} {b})) nonumber ]

Trabajemos con un ejemplo.

[f (x) = (2x + 4) ^ 2 nonumber ]

Podemos factorizar un 2.

[f (x) = (2 (x + 2)) ^ 2 nonumber ]

Ahora podemos observar más claramente un desplazamiento horizontal a la izquierda 2 unidades y una compresión horizontal. Factorizar de esta manera nos permite estirarnos horizontalmente primero y luego desplazarnos horizontalmente.

Combinando Transformaciones

  • Cuando combine transformaciones verticales escritas en la forma (af (x) + k ), primero estírese verticalmente en (a ) y luego desplace verticalmente en (k ).
  • Cuando combine transformaciones horizontales escritas en la forma (f (bx + h) ), primero cambie horizontalmente (h ) y luego estire horizontalmente ( frac {1} {b} ).
  • Cuando combine transformaciones horizontales escritas en la forma (f (b (x + h)) ), primero estire horizontalmente ( frac {1} {b} ) y luego cambie horizontalmente (h ).
  • Las transformaciones horizontales y verticales son independientes. No importa si se realizan primero las transformaciones horizontales o verticales.

Ejemplo ( PageIndex {20} ): Encontrar una transformación triple de una función tabular

Dada la Tabla ( PageIndex {18} ) para la función (f (x) ), cree una tabla de valores para la función (g (x) = 2f (3x) +1 ).

Tabla ( PageIndex {18} )

(X)

6121824

(f (x) )

10141517

Solución

Hay tres pasos para esta transformación y trabajaremos de adentro hacia afuera. Comenzando con las transformaciones horizontales, (f (3x) ) es una compresión horizontal por ( frac {1} {3} ), lo que significa que multiplicamos cada (x ) - valor por ( frac { 1} {3} ). Consulte la tabla ( PageIndex {19} ).

Tabla ( PageIndex {19} )

(X)

2468

(f (3x) )

10141517

Mirando ahora las transformaciones verticales, comenzamos con el tramo vertical, que multiplicará los valores de salida por 2. Aplicamos esto a la transformación anterior. Consulte la tabla ( PageIndex {20} ).

Tabla ( PageIndex {20} )

(X)

2468

(2f (3x) )

20283034

Finalmente, podemos aplicar el desplazamiento vertical, que sumará 1 a todos los valores de salida. Consulte la tabla ( PageIndex {21} ).

Tabla ( PageIndex {21} )

(X)

2468

(g (x) = 2f (3x) + 1 + 1 )

21293135

Ejemplo ( PageIndex {21} ): Encontrar una transformación triple de un gráfico

Usa la gráfica de (f (x) ) en la Figura ( PageIndex {31} ) para dibujar una gráfica de (k (x) = f Big ( frac {1} {2} x + 1 Grande) −3 ).

Para simplificar, comencemos por factorizar el interior de la función.

[f Big ( dfrac {1} {2} x + 1 Big) −3 = f Big ( dfrac {1} {2} (x + 2) Big) −3 ]

Al factorizar el interior, primero podemos estirar horizontalmente en 2, como lo indica ( frac {1} {2} ) en el interior de la función. Recuerda que el doble del tamaño de 0 sigue siendo 0, por lo que el punto ((0,2) ) permanece en ((0,2) ) mientras que el punto ((2,0) ) se estirará hasta ((4,0) ). Vea la Figura ( PageIndex {32} ).

A continuación, nos desplazamos horizontalmente a la izquierda 2 unidades, como lo indica (x + 2 ). Vea la Figura ( PageIndex {33} ).

Por último, cambiamos verticalmente hacia abajo en 3 para completar nuestro dibujo, como lo indica −3 en el exterior de la función. Vea la Figura ( PageIndex {34} ).

Ecuaciones clave

Conceptos clave

Glosario

incluso función

una función cuya gráfica no cambia por la reflexión horizontal, (f (x) = f (−x) ), y es simétrica con respecto al eje y

compresión horizontal
una transformación que comprime horizontalmente el gráfico de una función, al multiplicar la entrada por una constante b> 1

reflexión horizontal
una transformación que refleja el gráfico de una función en el eje y al multiplicar la entrada por −1

desplazamiento horizontal
una transformación que desplaza el gráfico de una función hacia la izquierda o hacia la derecha agregando una constante positiva o negativa a la entrada

estiramiento horizontal
una transformación que estira el gráfico de una función horizontalmente al multiplicar la entrada por una constante 0

Función impar
una función cuya gráfica no cambia por la reflexión horizontal y vertical combinada, (f (x) = - f (−x) ), y es simétrica con respecto al origen

compresión vertical
una transformación de función que comprime el gráfico de la función verticalmente multiplicando la salida por una constante 0

reflejo vertical
una transformación que refleja el gráfico de una función en el eje x multiplicando la salida por −1

desplazamiento vertical
una transformación que desplaza el gráfico de una función hacia arriba o hacia abajo agregando una constante positiva o negativa a la salida

estiramiento vertical
una transformación que estira el gráfico de una función verticalmente al multiplicar la salida por una constante a> 1


GRAFICA LA FUNCIÓN UTILIZANDO EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES

Un reflejo es la imagen especular del gráfico donde la línea l es el espejo del reflejo.

Aquí f 'es la imagen especular de f con respecto a l. Cada punto de f tiene una imagen correspondiente en f '. Algunas reflexiones útiles de y = f (x) son

(i) La gráfica y = −f (x) es la reflexión de la gráfica de f sobre el eje x.

(ii) La gráfica y = f (−x) es la reflexión de la gráfica de f sobre el eje y.

(iii) La gráfica de y = f −1 (x) es la reflexión de la gráfica de f en y = x.

Una traslación de un gráfico es un desplazamiento vertical u horizontal del gráfico que produce gráficos congruentes.

y = f (x + c), c & gt 0 provoca el desplazamiento hacia la izquierda.

y = f (x - c), c & gt 0 provoca el desplazamiento hacia la derecha.

y = f (x) + d, d & gt 0 provoca el desplazamiento hacia arriba.

y = f (x) - d, d & gt 0 provoca el desplazamiento hacia abajo.

(i) f (x) = | x | (ii) f (x) = | x - 1 | (iii) f (x) = | x + 1 |

La dilatación es también una transformación que hace que la curva se estire (se expanda) o se comprima (se contraiga). Multiplicar una función por una constante positiva estira o comprime verticalmente su gráfico, es decir, el gráfico se aleja del eje xo hacia el eje x. & # Xa0

Si la constante positiva es mayor que uno, la gráfica se aleja del eje x. Si la constante positiva es menor que uno, la gráfica se mueve hacia el eje x.

(i) f (x) = x 2 (ii) f (x) = (1/2) x 2 (iii) f (x) = 2x 2


Transformaciones de funciones: dilatación

Esta publicación asume que ya está familiarizado con el análisis de traducciones de funciones. Incluso si lo está, leer Transformaciones de funciones: traducción puede ser una introducción útil, ya que utiliza este mismo enfoque para comprender las transformaciones. Tenga en cuenta que
& # 8211 Las traducciones mueven un gráfico, pero no no cambiar su forma
& # 8211 Las dilataciones cambian la forma de un gráfico, a menudo provocando & # 8220movimiento & # 8221 en el proceso

La curva roja en la imagen de arriba es una "transformación" de la verde. Se ha "dilatado" (o estirado) horizontalmente en un factor de 3. A dilatación es un estiramiento o encogimiento alrededor de un eje causado por multiplicación o división. Puede pensar en una dilatación como el resultado de dibujar un gráfico en papel engomado, grapar un eje en su lugar y luego estirar el gráfico alejándolo del eje en ambas direcciones o apretarlo hacia el eje desde ambos lados.

Las transformaciones suelen ser más fáciles de analizar al centrarse en cómo ha cambiado la ubicación de puntos específicos en la curva. En la imagen de arriba, el punto de la curva verde "corresponde" al punto de la curva roja. Con esto queremos decir que la transformación se ha movido un punto en el gráfico verde para estar en el gráfico rojo.

Dilataciones horizontales

Al observar las coordenadas de los dos puntos correspondientes identificados en el gráfico anterior, puede ver que la coordenada y no ha cambiado y la coordenada x se ha estirado para estar tres veces más alejada del eje y & # 8230 cambiando el forma de la curva en el proceso. Si examinara cualquier otro par de puntos correspondientes, vería exactamente el mismo factor de escala en funcionamiento. Esto se puede describir algebraicamente mediante la ecuación:

donde es la coordenada x inicial desde un punto en la curva verde, y es la coordenada x dilatada desde el punto correspondiente en la curva roja.

Las ecuaciones anteriores se pueden leer como & # 8220three veces que una coordenada x en el gráfico verde produce la coordenada x transformada en el gráfico rojo, mientras que las coordenadas y serán las mismas. & # 8221

Otra forma de describir esta situación es decir & # 8220 la curva verde se ha dilatado horizontalmente por un factor de 3 y verticalmente por un factor de 1. & # 8221

Tenga en cuenta que cada ecuación de dilatación implicará la multiplicación o división de la coordenada original por una constante: el factor de dilatación. La suma y la resta hacen que se produzcan traslaciones, mientras que la multiplicación o la división provocan que se produzcan dilataciones.

¿Ha notado que un valor de x no fue cambiado por esta dilatación horizontal? ¿Qué valor es idéntico a su valor transformado según la ecuación anterior? Mirar el gráfico puede ayudar: ¿qué punto tienen en común las curvas verde y roja?

Puntos que mienten en el eje perpendicular a la dirección de dilatación no se moverá. Dado que su coordenada en el otro eje es cero, multiplicar este valor por el factor de dilatación dejará la coordenada en cero y el punto dilatado será el mismo que el punto original.

La curva verde de arriba es el gráfico de la ecuación:

Para encontrar la ecuación de la curva roja traducida, solo las ecuaciones de traslación (1) para y, luego sustituye por esas variables en la ecuación (2). ya está resuelto, por lo que solo necesitamos resolver:

y el sistema de ecuaciones de transformación ya está listo para ser sustituido:

Sustituir este sistema en (2) produce:

Observe que el proceso de resolver antes de sustituir hace que el factor de dilatación horizontal se mueva al otro lado de la ecuación, convirtiéndose en el recíproco del factor original. Una dilatación horizontal por un factor de 3 hace que el original se convierta en la ecuación transformada.

Cuando los factores de dilatación son coeficientes de la variable a la que afectan (a diferencia del otro lado de la ecuación), serán el recíproco del factor de dilatación.

Dilataciones verticales

Mire las coordenadas de los puntos A correspondientes en los gráficos verde y rojo de arriba. La coordenada x no ha cambiado, pero la coordenada y se ha estirado para estar tres veces más alejada del eje x. Si examinara cualquier otro par de puntos correspondientes, vería exactamente la misma relación. Esto se puede describir algebraicamente mediante el sistema de ecuaciones de transformación:

donde es la coordenada y inicial desde un punto en la curva verde, y es la coordenada y dilatada desde el punto correspondiente en la curva roja. Las coordenadas x no cambian y, por lo tanto, se igualan entre sí.

Tenga en cuenta una vez más que un punto no se mueve en esta dilatación & # 8230 el que comparten ambos gráficos: el origen. Dado que está en el eje x, una dilatación vertical no lo mueve.

La curva verde es la gráfica de la ecuación:

Para encontrar la ecuación de la curva dilatada, sustituya las ecuaciones (3) anteriores en la ecuación de la curva (2). Para hacerlo, tendremos que resolver la ecuación (3) para:

y el sistema de ecuaciones de transformación se convierte en:

Sustituya los resultados en (2) para producir una ecuación para:

Observe que el proceso de resolver antes de sustituir mueve la cantidad de dilatación vertical al otro lado de la ecuación, de modo que una dilatación vertical por un factor de tres se convierte en la ecuación transformada. Si luego se resuelve esta ecuación, obtenemos:

La última ecuación anterior se puede interpretar como el resultado original de la función, con cada resultado estirado para estar tres veces más lejos del eje x. En resumen, aparecen factores de dilatación:

  • como el recíproco del factor de estiramiento / compresión cuando son un coeficiente de la variable que afectan
  • como el factor exacto de estiramiento / compresión cuando en el otro lado de la ecuación de, y no un coeficiente de, la variable a la que afectan

Factores de dilatación negativos

Un factor de dilatación negativo hará que el gráfico se refleje alrededor de un eje, así como que se estire o comprima.

Para el ejemplo de dilatación vertical anterior, si el factor de dilatación hubiera sido -3, el gráfico resultante se habría abierto hacia abajo (reflejado sobre el eje horizontal) y se ha estirado para que cada punto esté tres veces más lejos del eje x.

El siguiente ejemplo incluye un factor de dilatación negativo.

Múltiples dilataciones

La imagen de arriba muestra el resultado de dos dilataciones. La curva verde se ha dilatado ambas cosas horizontal y verticalmente para producir la curva roja. Al observar las coordenadas del punto A correspondiente, puede ver que se ha estirado horizontalmente en un factor de tres y verticalmente en un factor de menos dos. Algebraicamente, esto puede ser descrito por el sistema:

Mirando los dos puntos correspondientes del gráfico anterior, (1,1) es el punto & # 8220A & # 8221 de la curva verde, al que se hace referencia genéricamente como en el sistema de ecuaciones de traslación anterior, y (3, -2) es el punto dilatado correspondiente representado por en el sistema de ecuaciones de transformación anterior.

Resolver ambas ecuaciones para las variables de la curva & # 8220original & # 8221 (verde) produce

y la sustitución de ambos en la ecuación de la curva verde conduce a

Tenga en cuenta que aparecen cantidades de dilatación:

  • como el recíproco del factor de estiramiento / compresión cuando son un coeficiente de la variable que afectan
  • como el factor exacto de estiramiento / compresión cuando en el otro lado de la ecuación de, y no un coeficiente de, la variable a la que afectan

Otro ejemplo

El gráfico de arriba muestra una función verde diferente a todos los ejemplos anteriores, en que la curva verde no no intersecar el eje x. Intercepta el eje y. La curva roja es una dilatación de la verde, por un factor de 3 horizontalmente y un factor de -2 verticalmente. Puede utilizar los puntos correspondientes etiquetados A para verificar estos factores de dilatación vertical y horizontal.

En este ejemplo, como en los anteriores, hay un punto de la curva que no se mueve como consecuencia de la dilatación horizontal. La intersección con el eje y de la curva verde es no afectado por la dilatación horizontal porque se encuentra en el eje y, que es perpendicular a la dirección de la dilatación horizontal.

Sin embargo, este es el primer ejemplo de este artículo en el que cada El punto de la curva verde se ve afectado por la dilatación vertical. Esto sucede porque la curva verde nunca cruza el eje x, y el factor de dilatación vertical estira cada punto verde para que esté dos veces más lejos del eje x que en la curva verde, por lo que cada punto en la curva verde se mueve como se estira lejos del eje x.

Observe que la curva roja parece haberse & # 8220moved & # 8221 en comparación con la verde, ya que las dos curvas no se comparten alguna puntos. Sin embargo, no hubo traducción, porque no se agregó ni se restó nada a las coordenadas originales. El proceso de dilatación, al estirar una curva lejos de un eje, puede parecer que & # 8220move & # 8221 la curva como parte del proceso de estiramiento & # 8230, particularmente cuando la curva no cruza el eje del que se está estirando.

Dilataciones en ecuaciones más complejas

Cuando se usa la sustitución, todas Las instancias de la variable que se sustituye deben reemplazarse. Lo mismo se aplica al dilatar una función. Por ejemplo, si está trabajando con una función que tiene varios términos x, como

y dilatándolo horizontalmente por un factor de 4

luego cada instancia de debe tener la ecuación de dilatación sustituida en su lugar

Entonces, al analizar una función para ver si es una dilatación de otra, verifique que cada instancia de cada variable ha tenido la misma ecuación de transformación aplicada antes de afirmar que la función es una transformación.

y2 hace no describe una dilatación horizontal de y1, porque el término & # 8220x & # 8221 no tenía la misma ecuación de transformación sustituida que el término & # 8220x al cuadrado & # 8221.

Dilataciones equivalentes

En matemáticas, a menudo (pero no siempre) es posible producir el mismo resultado final de diferentes maneras. Al trabajar con ecuaciones cuadráticas y utilizar el enfoque descrito anteriormente, es posible que se haya preguntado cómo manejar una situación como:

Lo anterior describe una dilatación horizontal de por un factor de, pero si expandimos y resolvemos para x, la ecuación se convierte en:

que describe una dilatación vertical por un factor de 4. ¿Son ambas interpretaciones válidas?

Dado que ambos de los anteriores son manipulaciones algebraicas de la misma ecuación, deber ambos tienen el mismo gráfico.

Examine la gráfica de arriba en verde, enfocándose en el punto (1,1). Piense en lo que le sucede a la coordenada x del punto cuando la curva se dilata horizontalmente por un factor de & # 8230, debe moverse a la mitad del eje y y convertirse en 0,5. De hecho, el punto (0.5, 1) se encuentra en la curva roja.

Ahora piense en ese mismo (1, 1) punto en la curva verde y en lo que le sucedería si la curva se dilata verticalmente en un factor de 4. Su coordenada y se volvería cuatro veces más grande, moviendo el punto a (1 , 4) & # 8230 que también se encuentra en la curva roja.

Así que ambos enfoques terminan siendo equivalentes: transforman toda la curva verde en roja, una apretando horizontalmente, la otra estirándola verticalmente.

Tenga en cuenta que estas dilataciones equivalentes no dependen del mismo factor de dilatación. El factor de dilatación horizontal se eleva al cuadrado, luego se convierte en su recíproco para convertirse en el factor de dilatación vertical.

Tenga en cuenta también que las dilataciones equivalentes no existen para cada curva. Las curvas asimétricas generalmente ganan & # 8217t tienen dos formas de producir una dilatación determinada, por lo que este es un caso un poco especial.

Así como a menudo hay múltiples formas de describir una situación específica usando palabras, las matemáticas a menudo también pueden describir algo de múltiples maneras.

Para aplicar sus conocimientos tanto de traslaciones como de dilataciones, consulte el siguiente artículo de esta serie: Uso de los puntos correspondientes para determinar los factores de dilatación y las cantidades de traducción


MathHelp.com

(Esta es la gráfica de la función regular).

(Esto es más grueso que el gráfico de la función regular, que se mostró en el cuadro anterior).

La primera parábola, la de 2X 2, crece dos veces más rápido que X 2 (el gráfico del medio), por lo que su gráfico es alto y delgado. Por otro lado, la tercera parábola, la de la función (& frac12) X 2, crece solo la mitad de rápido que X 2, por lo que su gráfico es corto y amplio.

Puede decir, en términos generales, que el primer gráfico, al ser más delgado, se multiplica por algo más grande que 1, por lo que crece más rápido que el estándar, y que el tercer gráfico, al ser más cuadrado, se multiplica por algo más pequeño que 1, por lo que crece. más lento de lo estándar. Pero generalmente es bastante difícil decir exactamente por qué se ha multiplicado un gráfico, simplemente mirando la imagen.

Por ejemplo, ¿puede decir que el siguiente gráfico muestra 1,4 y veces F (X) = 1.4X 2 ?

El otro tipo de transformación más difícil es la multiplicación sobre el argumento de la función. A menudo se parece mucho a la multiplicación en toda la función. Por ejemplo, considere las gráficas de F (2X) = (2X) 2 , F (X) = X 2, y F (& frac12 X) = (& frac12 x) 2, a continuación:

(Este gráfico crece dos veces más rápido que el gráfico de la función regular, que se muestra en el siguiente cuadro).

(Esta es la gráfica de la función regular).

(Este gráfico crece solo la mitad de rápido que el gráfico de la función regular, que se muestra en el cuadro anterior).

Como puede ver, multiplicar dentro de la función (dentro del argumento de la función) hace que la gráfica se vuelva más delgada o más gruesa. Esto se parece mucho a la otra transformación de multiplicación, pero esta transformación es una multiplicación fuera o en la función completa. Y, por lo general, es casi imposible identificar esta transformación a partir de un gráfico o distinguirla de la otra transformación multiplicativa.

A veces, sin embargo, es útil mirar los ceros del gráfico (si tiene más de uno) o los puntos de inflexión, ya que se extenderán más (si el argumento se multiplica por algo mayor que 1) o se agruparán hacia el y -eje (si el argumento se multiplica por algo menor que 1).

Por ejemplo, mirando y = X 2 & ndash 4, puede ver que multiplicar fuera de la función no cambia la ubicación de los ceros, pero multiplicar dentro de la función sí:

(Esta es la gráfica de F (X), con ceros en X = & ndash2, 2)

(Este gráfico es más alto, pero los ceros coinciden con los de la función original, que se muestra en el cuadro anterior).

(No solo este gráfico es más alto, sino que también los ceros se han movido hacia adentro, para X = & ndash1, 1.)

En resumen, las transformaciones & quot izquierda & quot, & quot; derecha & quot, & quot arriba & quot, & quot; abajo & quot, & quot; voltear & quot y & quot; espejo & quot; son bastante sencillas, pero las transformaciones & quotmultiply & quot, también llamadas & quotstretching & quot y & quot; quotsqueezing & quot, pueden ser un poco complicadas. Solo espero que no se los soliciten con frecuencia.

Los problemas típicos de tarea en casa sobre este tema le piden que grafique la transformación de una función, dada la función original, o bien le pida que averigüe la transformación, dadas las gráficas comparativas.

Pensando en la gráfica de F (X) = X 4, gráfico F (X & ndash 2) + 1

La gráfica de F (X) = X 4 se ve así:

Mirando la expresión de esta traducción, el & quot +1 & quot fuera de la función me dice que el gráfico se moverá arriba por una unidad. Y el & quot & ndash2 & quot dentro del argumento me dice que el gráfico se desplazará dos unidades a la DERECHA. (Recuerde que el desplazamiento de izquierda a derecha es hacia atrás de lo que podría esperar).

Generalmente, es mejor trabajar de adentro hacia afuera. Así que primero moveré el gráfico a la derecha dos unidades. Luego moveré el resultado una unidad hacia arriba.

Entonces mi gráfico traducido se ve así:

Cuando te hacen hacer un gráfico moviendo otros gráficos, no pueden ser muy críticos con tu dibujo, ya que se supone que no debes hacer un gráfico en T y calcular los puntos exactos. Pero intente que su gráfico parezca razonable.

Por cierto, siempre puedes hacer trampas, especialmente si tienes una calculadora gráfica, graficando rápidamente y = (X & ndash 2) 4 + 1 y verificando que coincide con lo que dibujaste. Pero necesitas saber cómo hacer transformaciones de funciones, porque hay formas de hacer las preguntas que no te permiten hacer trampa, como veremos en la siguiente sección.


1.5: Transformación de funciones - Matemáticas

Estiramientos y contracciones horizontales

¿Qué son los estiramientos y contracciones horizontales?

Los estiramientos y contracciones horizontales, respectivamente, tiran horizontalmente del gráfico base o lo juntan, dejando el y-intercepción sin cambios para anclar el gráfico.

Para la función base F (X) y una constante k, dónde k & gt 0 y k & ne 1, la función dada por

se puede dibujar encogiéndolo horizontalmente F (X) por un factor de 1 /k Si k & gt 1

estirando horizontalmente F (X) por un factor de 1 /k
si 0 & lt k & lt 1.

Un estiramiento o encogimiento horizontal en un factor de 1 /k significa que el punto (X, y) en el gráfico de F(X) se transforma al punto (X/k, y) en el gráfico de gramo(X).

Ejemplos de estiramientos y contracciones horizontales

Considere las siguientes funciones base,

La representación gráfica de la función (1), F (X), es una parábola. ¿Qué supones que la gráfica de

¿parece? Usando la definición de F (X), podemos escribir y1(X) como,

Basado en la definición de encogimiento horizontal, el gráfico de y1(X) debería verse como el gráfico de
F
(X), encogido horizontalmente por un factor de 1/4. Eche un vistazo a las gráficas de F (X) y y1(X).

Función (2), gramo (X), es una función coseno. ¿Cuál sería la gráfica de

¿parece? Utilizando nuestro conocimiento de los tramos horizontales, la gráfica de y2(X) debería verse como el gráfico base gramo(X) estirado horizontalmente por un factor de 3/2. Para comprobar esto, podemos escribir y2(X) como,

construya una tabla de valores y trace la gráfica de la nueva función. Como puede ver, la gráfica de y2(X) es de hecho el gráfico base gramo(X) estirado horizontalmente por un factor de 3/2.

En la siguiente sección, exploraremos las reflexiones.

El proyecto de biología & gt Biomath & gt Transformaciones & gt Estiramientos y contracciones horizontales


Hoja de trabajo de funciones y transformaciones principales

Como se mencionó anteriormente, cada familia de funciones tiene una función principal. A función padre es la función más simple que aún satisface la definición de cierto tipo de función. Por ejemplo, cuando pensamos en las funciones lineales que componen una familia de funciones, la función padre sería y = X. Esta es la función lineal más simple.

Además, todas las funciones dentro de una familia de funciones se pueden derivar de la función principal tomando el gráfico de la función principal y # 8217s a través de varias transformaciones. Estas transformaciones incluyen cambios horizontales, estiramiento o compresión vertical u horizontal, reflejándose sobre el X o y ejes y desplazamientos verticales. Por ejemplo, en el gráfico anterior, vemos que el gráfico de y = 2X^2 + 4X es la gráfica de la función padre y = X^ 2 desplazó una unidad hacia la izquierda, se estiró verticalmente y bajó dos unidades. Estas transformaciones no cambian la forma general del gráfico, por lo que todas las funciones de una familia tienen la misma forma y se parecen a la función principal.

Algebraicamente, estas transformaciones corresponden a sumar o restar términos a la función padre y multiplicar por una constante. Por ejemplo, la función y = 2X^2 + 4X se puede derivar tomando la función padre y = X^ 2, multiplicándolo por la constante 2 y luego sumando el término 4X lo.


1.5: Transformación de funciones - Matemáticas

Traducciones verticales

¿Qué es una traducción vertical?

Traducir verticalmente un gráfico es equivalente a mover el gráfico base hacia arriba o hacia abajo en la dirección de la y-eje. Se traduce un gráfico k unidades verticalmente moviendo cada punto en el gráfico k unidades verticalmente.

Para la función base F (X) y una constante k, la función dada por

se puede dibujar cambiando F (X) k unidades verticalmente.

El valor de k determina la dirección del cambio. Específicamente,

Si k & gt 0, el gráfico base cambia k unidades hacia arriba, y

Si k & lt 0, el gráfico base se desplaza k unidades hacia abajo.

Ejemplos de traducciones verticales

Considere las siguientes funciones base,

La representación gráfica de la función (1), F (X), es una parábola. ¿Qué supones que la gráfica de

¿parece? Usando la definición de F (X), podemos escribir y1 (X) como,

Basado en la definición de desplazamiento vertical, la gráfica de y1 (X) debería verse como el gráfico de F (X), bajó 8 unidades. Eche un vistazo a las gráficas de F (X) y y1 (X).

La representación gráfica de la función (2), gramo (X), es una recta con una pendiente de 4 y una y -intercepción en (0, -1). ¿Cuál sería la gráfica de

¿parece? Usando nuestro conocimiento de los cambios verticales, la gráfica de y2(X) debería verse como el gráfico base gramo (X) tamizó 7 unidades. Podemos escribir y2(X) como,

Por lo tanto, los y-intercepción se ha movido hacia arriba 7 unidades, desde (0, -1) para gramo(X) a (0,6) para y2(X), como se muestra en los siguientes gráficos.


Cómo trasladar un punto

La siguiente animación muestra la traducción de un triángulo.

Las traducciones son isometrías

Las traducciones son isometrías. Como puede ver en el diagrama 2 a continuación, $ triangle ABC $ se traduce para formar su imagen $ triangle A'B'C '$. Y la distancia entre cada uno de los puntos de la preimagen se mantiene en su imagen

$ m overline = 3 m overline = 3 m overline = 4 m overline = 4 m overline = 5 m overline = 5 $

También puede ver que se conserva la orientación de las letras, es decir, que los vértices en la forma original están ordenados $ ABC $, en el sentido de las agujas del reloj, y que la imagen mantiene el mismo orden en el sentido de las agujas del reloj, lo que hace que las traducciones sean una isometría directa.

Notación de traducción

En notación de traducción, el primer número representa cuántas unidades en la dirección x, el segundo número, cuántas en la dirección y. Ambos números nos dicen qué tan lejos y en qué dirección vamos a deslizar el punto.

En la siguiente animación, puede ver cómo traducimos realmente el punto $ -1 $ en la dirección x y luego $ + 2 $ en la dirección y.

Como muestra la animación, una traducción de $ T _ <( red <-1, + 2>)> $ en el punto A con coordenadas $ (3,2) $ produce una imagen en $ (2,4) $.


Transformación de gráficos mediante matrices: traducción

Un tipo de transformación que ocurre cuando una figura se mueve de una ubicación a otra en el plano de coordenadas sin cambiar su tamaño, forma u orientación es una traducción . La suma de matrices se puede utilizar para encontrar las coordenadas de la figura trasladada.

Encuentre las coordenadas de los vértices del triángulo TRI con T (2, & menos 1), R (4, 3) & thinsp & thinsp y & thinsp & thinsp I (& menos 3, & menos 2) si se va a mover 5 unidades a la izquierda y 2 unidades arriba.

Escribe las coordenadas del triángulo como una matriz de coordenadas.

Trasladar el triángulo 5 unidades a la izquierda significa que cada coordenada x disminuye en 5.

Trasladar el triángulo 2 unidades hacia arriba significa que cada coordenada y aumenta en 2.

La matriz de traducción que hará esto es

Para encontrar las coordenadas de los vértices del triángulo trasladado T 'R' I 'agregue la matriz de traslación a la matriz de coordenadas:

[2 4 y menos 3 y menos 1 3 y menos 2] + [y menos 5 y menos 5 y menos 5 2 2 2] = [y menos 3 y menos 1 y menos 8 1 5 0]

Las coordenadas de los vértices de T 'R' I 'son T' (& menos 3, 1), R '(& menos 1, 5) & thinsp & thinsp y & thinsp & thinsp I' (& menos 8, 0).


Funciones de estiramiento horizontal y trigonometría

En clase hablamos sobre cómo encontrar B en la expresion F(X) = A porqueB x) y gramo(X) = A pecado(B x) para que las funciones F(X) y gramo(X) tienen un período determinado. Esta explicación web intenta hacerlo con más cuidado.

Consideremos la función seno. Hemos graficado el pecadoX) A la derecha. Comienza en (0,0), hace un ciclo completo y termina el ciclo en 2Pi (porque su período es 2Pi). Es decir, cuando conectamos 2Pi en la función seno, obtenemos el segundo punto azul, que es donde la función comienza a repetirse.

Ahora suponga que queremos la curva sinusoidal sin (B X) tener un período de k. Eso significa que queremos que aparezca el punto azul cuando X = k. Es decir, cuando conectamos X = k deberíamos obtener el punto azul:

¿Cómo puede ser esto? Bueno, la función seno nos da el punto azul cuando lo que estaba conectado es igual a 2Pi (como se muestra en la figura). Entonces, lo que conectamos a nuestra nueva función sinusoidal debe ser igual a 2Pi:


Ver el vídeo: Desplazamientos Verticales y Horizontales - Transformaciones de Funciones - Ejercicios (Noviembre 2021).