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1.S: Contar (Resumen) - Matemáticas

1.S: Contar (Resumen) - Matemáticas


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¡Investigar!

Suponga que tiene una caja enorme de galletas de animales que contiene una gran cantidad de cada uno de los 10 animales diferentes. Para las preguntas de conteo a continuación, examine cuidadosamente sus similitudes y diferencias, y luego dé una respuesta. Las respuestas son todas una de las siguientes:

(P (10,6) qquad ) ({10 elija 6} qquad ) (10 ​​^ 6 qquad ) ({15 elija 9}. )
  1. ¿Cuántos desfiles de animales que contengan 6 galletas puedes alinear?
  2. ¿Cuántos desfiles de animales de 6 galletas puedes alinear para que los animales aparezcan en orden alfabético?
  3. ¿De cuántas formas podrías alinear 6 animales diferentes en orden alfabético?
  4. ¿De cuántas formas podrías alinear 6 animales diferentes si pueden venir en cualquier orden?
  5. ¿De cuántas formas podría dar a 6 niños una galleta de animales a cada uno?
  6. ¿De cuántas formas podría dar a 6 niños una galleta de animales cada uno para que no dos niños tengan el mismo animal?
  7. ¿De cuántas formas podrías regalar 6 jirafas a 10 niños?
  8. Escriba una pregunta sobre cómo dar galletas de animales a los niños que tenga la respuesta ({10 choose 6} text {.} )

Con todas las diferentes técnicas de conteo que hemos dominado en este último capítulo, puede ser difícil saber cuándo aplicar qué técnica. De hecho, es muy fácil confundirse y utilizar el método de conteo incorrecto para un problema determinado. Mejoras con la práctica. A medida que practica, comienza a notar algunas tendencias que pueden ayudarlo a distinguir entre tipos de problemas de conteo. A continuación se ofrecen algunas sugerencias que pueden resultarle útiles a la hora de decidir cómo abordar un problema de conteo y comprobar si su solución es correcta.

  • Recuerde que está contando el número de elementos en algunos lista de resultados. Anote parte de esta lista. Escriba un elemento en el medio de la lista: ¿cómo está decidiendo si su elemento realmente está en la lista? ¿Podría obtener este elemento más de una vez usando su respuesta propuesta?
  • Si generar un elemento en la lista implica seleccionar algo (por ejemplo, elegir una letra o elegir una posición para poner una letra, etc.), ¿se pueden repetir las cosas que seleccione? Recuerde, las permutaciones y combinaciones seleccionan objetos de un conjunto sin repite.
  • ¿Importa el orden? Tenga cuidado aquí y asegúrese de saber lo que realmente significa su respuesta. Por lo general, decimos que el orden importa cuando se obtienen diferentes resultados cuando se seleccionan los mismos objetos en diferentes órdenes. Las combinaciones y las "barras y estrellas" se utilizan al realizar el pedido. no es importar.
  • Hay cuatro posibilidades a la hora de ordenar y repetir. Si el orden importa y se permiten repeticiones, la respuesta se verá como (n ^ k text {.} ) Si el orden importa y no se permiten repeticiones, tenemos (P (n, k) text {.} ) Si el orden no importa y se permiten repeticiones, use estrellas y barras. Si el orden no importa y las repeticiones no están permitidas, use ({n choose k} text {.} ) Pero tenga cuidado: esto solo se aplica cuando está seleccionando cosas, y debe asegurarse de saber exactamente qué está seleccionando antes de determinar en qué caso se encuentra.
  • Piense en cómo representaría su problema de conteo en términos de conjuntos o funciones. Sabemos cómo contar diferentes tipos de conjuntos y diferentes tipos de funciones.
  • Como vimos con las pruebas combinatorias, a menudo se puede resolver un problema de conteo de más de una forma. Haga eso y compare sus respuestas numéricas. Si no coinciden, algo anda mal.

Si bien hemos cubierto muchas técnicas de conteo, en realidad solo hemos arañado la superficie del gran tema de combinatoria enumerativa. Hay matemáticos que realizan investigaciones originales en esta área incluso mientras lees esto. Contar puede ser muy difícil.

En el próximo capítulo, abordaremos las preguntas de conteo desde una dirección muy diferente y, al hacerlo, responderemos infinitas preguntas de conteo al mismo tiempo. Nosotros crearemos secuencias de respuestas a preguntas relacionadas.

Revisión del capítulo

1

Tienes 9 regalos para darles a tus 4 hijos. ¿De cuántas formas se puede hacer esto si:

  1. ¿Los regalos son idénticos y cada niño recibe al menos un regalo?
  2. ¿Los regalos son idénticos y es posible que algunos niños no reciban regalos?
  3. ¿Los regalos son únicos y es posible que algunos niños no reciban regalos?
  4. ¿Los regalos son únicos y cada niño recibe al menos un regalo?
Respuesta
  1. ({8 elija 3} ) maneras, después de dar un regalo a cada niño, le quedan 5 regalos (estrellas) que deben dividirse entre los 4 niños (dando 3 barras).
  2. ({12 elija 3} ) formas. Tienes 9 estrellas y 3 barras.
  3. (4 ^ 9 text {.} ) Tienes 4 opciones para quién regalar cada regalo. Esto es como hacer una función del conjunto de regalos al conjunto de niños.
  4. (4 ^ 9 - left [{4 choose 1} 3 ^ 9 - {4 choose 2} 2 ^ 9 + {4 choose 3} 1 ^ 9 right] ) formas. Ahora la función del conjunto de regalos al conjunto de niños debe ser sobreyectiva.

2

Para cada uno de los siguientes problemas de conteo, diga si la respuesta es ({10 choose 4} text {,} ) (P (10,4) text {,} ) o ninguna. Si su respuesta es “ninguno”, diga cuál debería ser la respuesta.

  1. ¿Cuántas rutas de celosía más cortas hay desde ((0,0) ) a ((10,4) text {?} )
  2. Si tiene 10 pajaritas y desea seleccionar 4 de ellas para la próxima semana, ¿cuántas opciones tiene?
  3. Suponga que tiene 10 pajaritas y usará una en cada uno de los próximos 4 días. Cuantas opciones tienes?
  4. Si desea usar 4 de sus 10 pajaritas la próxima semana (de lunes a domingo), ¿de cuántas maneras se puede lograr?
  5. De un grupo de 10 compañeros de clase, ¿de cuántas formas puedes clasificar a tus 4 mejores amigos?
  6. Si 10 estudiantes vienen a la oficina de su profesor, pero solo 4 pueden caber a la vez, ¿cómo las diferentes combinaciones de 4 estudiantes pueden ver al profesor primero?
  7. ¿Cuántas palabras de 4 letras se pueden formar a partir de las primeras 10 letras del alfabeto?
  8. ¿De cuántas formas puedes hacer la palabra "pastel" a partir de las primeras 10 letras del alfabeto?
  9. ¿De cuántas formas hay de distribuir 10 manzanas entre 4 niños?
  10. Si tiene 10 hijos (y vive en un zapato) y 4 tipos de cereal, ¿de cuántas maneras pueden desayunar sus hijos?
  11. ¿De cuántas formas puedes organizar exactamente 4 unos en una cadena de 10 dígitos binarios?
  12. Desea seleccionar 4 números de un solo dígito como su lotería elige. Cuantas opciones tienes?
  13. 10 niños quieren helado. Tienes 4 variedades. ¿De cuántas formas hay de darles a los niños todo el helado que quieran?
  14. ¿Cuántas funciones 1-1 hay desde ( {1,2, ldots, 10 } ) a ( {a, b, c, d } text {?} )
  15. ¿Cuántas funciones sobreyectivas hay desde ( {1,2, ldots, 10 } ) a ( {a, b, c, d } text {?} )
  16. Cada una de tus 10 pajaritas combina con 4 pares de tirantes. ¿Cuántos conjuntos puedes hacer?
  17. Después de la fiesta, los 10 niños eligen cada uno uno de los 4 obsequios. ¿Cuántos resultados?
  18. ¿Cuántos subconjuntos de 6 elementos hay del conjunto ( {1,2, ldots, 10 } )
  19. ¿De cuántas formas puedes dividir a 11 niños en 5 equipos?
  20. ¿Cuántas soluciones hay para (x_1 + x_2 + cdots + x_5 = 6 ) donde cada (x_i ) no es negativo?
  21. Tu banda se va de gira. Hay 10 ciudades a poca distancia en automóvil, pero solo el tiempo suficiente para jugar 4 de ellas. ¿Cuántas opciones tienes para las ciudades de tu gira?
  22. ¿De cuántas formas diferentes puedes jugar en las 4 ciudades que elijas?
  23. De los 10 cereales para el desayuno disponibles, desea tener 4 tazones. ¿De cuántas formas puedes hacer esto?
  24. Hay 10 tipos de cookies disponibles. Quieres hacer una pila de 4 galletas. ¿Cuántas pilas diferentes puedes hacer?
  25. Desde su casa en (0,0) desea ir a la tienda de donas en (5,4) o la de (3,6). ¿Cuántos caminos podrías tomar?
  26. ¿Cuántos números de 10 dígitos no contienen una subcadena de 4 dígitos repetidos?
Respuesta
  1. Ninguno de los dos. ({14 elija 4} ) rutas.
  2. ({10 elija 4} ) pajaritas. (P (10,4) text {,} ) ya que el orden es importante.
  3. Ninguno de los dos. Suponiendo que usará cada una de las 4 corbatas en solo 4 de los 7 días, sin repeticiones: ({10 choose 4} P (7,4) text {.} )
  4. (P (10,4) text {.} ) ({10 elija 4} text {.} )
  5. Ninguno de los dos. Como podría repetir letras: (10 ​​^ 4 text {.} ) Si no se permiten repeticiones, sería (P (10,4) text {.} )
  6. Ninguno de los dos. En realidad, "k" es la undécima letra del alfabeto, por lo que la respuesta es 0. Si "k" estuviera entre las primeras 10 letras, solo habría una forma: escríbalo.
  7. Ninguno de los dos. Ya sea ({9 choose 3} ) (si todos los niños reciben una manzana) o ({13 choose 3} ) (si se permiten niños sin manzana).
  8. Ninguno de los dos. Tenga en cuenta que esto no puede ser ({10 elija 4} ) ya que las 10 cosas y las 4 cosas son de diferentes grupos. (4 ^ {10} text {.} )
  9. ({10 elija 4} ) - no se deje engañar por el "arreglo" que hay allí - está eligiendo 4 de 10 lugares para poner los 1. ({10 elija 4} ) (asumiendo que el orden es irrelevante).
  10. Ninguno de los dos. (16 ^ {10} ) (cada niño elige sí o no a 4 variedades).
  11. Ninguno de los dos. 0.
  12. Ninguno de los dos. (4 ^ {10} - [{4 choose 1} 3 ^ {10} - {4 choose 2} 2 ^ {10} + {4 choose 3} 1 ^ {10}] text {.} )
  13. Ninguno de los dos. (10 ​​ cdot 4 text {.} )
  14. Ninguno de los dos. (4 ^ {10} text {.} )
  15. ({10 choose 4} ) (que es lo mismo que ({10 choose 6} )).
  16. Ninguno de los dos. Si todos los niños fueran idénticos y no quisiera equipos vacíos, sería ({10 choose 4} text {.} ). En su lugar, será el mismo que el número de funciones sobreyectivas de un conjunto de tamaños 11 en un conjunto de talla 5.
  17. ({10 elija 4} text {.} ) ({10 elija 4} text {.} )
  18. Ninguno de los dos. (4! Text {.} )
  19. Ninguno de los dos. Es ({10 choose 4} ) si no repite ninguna elección. Si se permite la repetición, esto se convierte en (x_1 + x_2 + cdots + x_ {10} = 4 text {,} ) que tiene ({13 choose 9} ) soluciones en números enteros no negativos.
  20. Ninguno de los dos. Dado que se permite la repetición del tipo de cookie, la respuesta es (10 ​​^ 4 text {.} ) Sin repetición, tendría (P (10,4) text {.} )
  21. ({10 choose 4} ) ya que eso es igual a ({9 choose 4} + {9 choose 3} text {.} )
  22. Ninguno de los dos. Será un problema de conteo complicado (posiblemente PIE).

3

Recuerde, posee 3 corbatas regulares y 5 pajaritas. Te das cuenta de que estaría bien usar más de dos corbatas para tu entrevista de payaso en la universidad.

  1. Debes seleccionar algunas de tus corbatas para usar. Todo está bien, desde sin ataduras hasta todas las ataduras. Cuantas opciones tienes?
  2. Si desea usar al menos una corbata normal y una pajarita, pero está dispuesto a usar todas sus corbatas, ¿cuántas opciones tiene para qué corbatas usar?
  3. ¿Cuántas opciones tienes si usas exactamente 2 de las 3 corbatas regulares y 3 de las 5 pajaritas?
  4. Una vez que haya seleccionado 2 pajaritas regulares y 3, ¿en cuántos órdenes podría poner las corbatas, asumiendo que debe tener una de las tres pajaritas en la parte superior?
Respuesta
  1. (2 ^ 8 = 256 ) opciones. Tienes dos opciones para cada corbata: úsala o no.
  2. Tiene 7 opciones para corbatas regulares (las 8 opciones menos la opción "sin corbata regular") y 31 opciones para pajaritas (32 en total menos la opción "sin corbata de lazo"). Por lo tanto, tiene (7 cdot 31 = 217 ) opciones en total.
  3. ({3 choose 2} {5 choose 3} = 30 ) opciones.
  4. Seleccione una de las 3 pajaritas para ir arriba. Entonces hay 4 opciones para el próximo empate, 3 para el empate posterior, y así sucesivamente. Por lo tanto, (3 cdot 4! = 72 ) opciones.

Recuento: definición con ejemplos

Aquí, por ejemplo, hemos utilizado números de conteo para determinar el número de animales o aves. La tabla también muestra cómo podemos usar nuestros dedos para contar objetos hasta diez.

Aquí, por ejemplo, podemos contar los botones tocando cada botón una vez.

Aquí, contamos hacia adelante mientras colocamos los botones en el frasco, para encontrar el número de botones.

Aquí, por ejemplo, podemos invertir el conteo de los botones tocando cada botón una vez.

Aquí, invertimos el conteo mientras sacamos los botones del frasco, para encontrar el número de botones.


Números y valor posicional: hojas de trabajo de matemáticas de primer grado

Esta página contiene todas nuestras hojas de trabajo imprimibles en la sección Contar, comparar y ordenar de Matemáticas de primer grado. A medida que se desplaza hacia abajo, verá muchas hojas de trabajo para números hasta 20, números hasta 30, números hasta 100, antes, después y medio, escribir números en palabras, comparar números hasta 100, problemas verbales de comparación, contar y comparar, usar símbolos para comparar, uno más, uno menos, diez más, diez menos, contando en una recta numérica, números de pedido, y más.

Una breve descripción de las hojas de trabajo se encuentra en cada uno de los widgets de la hoja de trabajo. Haga clic en las imágenes para verlas, descargarlas o imprimirlas. Todas las hojas de trabajo son libre para uso individual y no comercial.

Vea la lista completa de temas para este grado y asignatura categorizados por estándares básicos comunes o de una manera tradicional.


¿Qué es la cardinalidad?

Cardinalidad es cuando su hijo puede entender que el último número en una secuencia de objetos que están contando, es el número de objetos en el completo grupo. Por ejemplo, si cuentan los siete crayones que están sobre la mesa, entienden que cuando llegan a siete han terminado de contar. todas los crayones. Y que ese grupo de crayones representa la cantidad siete.

Conservación de número

En el escenario anterior, sabrá que su hijo comprende este concepto cuando pueda preguntar cuántos crayones hay en el grupo sobre la mesa y podrá responder siete sin importar cómo estén ordenados. Entonces, por ejemplo, tiene los siete crayones colocados uno al lado del otro en una línea y luego los levanta y los deja caer en una pila y su hijo todavía entiende que hay 7 crayones en ese grupo.

Subitizing también es una habilidad importante para obtener una comprensión completa de la cardinalidad. Subitizing es poder reconocer instantáneamente cuántos objetos hay en un grupo. Por ejemplo, su hijo mira los crayones en la mesa y sabe que hay siete sin tener que hacer otras matemáticas para averiguarlo.


Sistema numérico sumerio y babilónico: Base 60

Las matemáticas sumerias y babilónicas se basaron en un sexiesimal, o base 60, sistema numérico, que podría contarse físicamente utilizando los doce nudillos de una mano y los cinco dedos de la otra. A diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los números babilónicos usaban un sistema de valor posicional verdadero, donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores más grandes, como en el sistema decimal moderno, aunque por supuesto usando la base 60 y no la base 10. Por lo tanto ,

en el sistema babilónico representaba 3600 más 60 más 1, o 3661. Además, para representar los números 1 & # 8211 59 dentro de cada valor posicional, se utilizaron dos símbolos distintos, un símbolo de unidad (

) que se combinaron de manera similar al sistema familiar de números romanos (por ejemplo, 23 se mostraría como

representa 60 más 23, o 83. Sin embargo, el número 60 estaba representado por el mismo símbolo que el número 1 y, debido a que carecían de un equivalente del punto decimal, el valor de posición real de un símbolo a menudo tenía que inferirse del contexto .

Se ha conjeturado que Avances babilónicos en matemáticas probablemente fueron facilitados por el hecho de que 60 tiene muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 & # 8211 de hecho, 60 es el número entero más pequeño divisible por todos los números enteros de 1 a 6), y el uso continuo en la actualidad de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 (60 x 6) grados en un círculo, son todos testimonios del antiguo sistema babilónico. Es por razones similares que 12 (que tiene factores de 1, 2, 3, 4 y 6) ha sido un múltiplo tan popular históricamente (por ejemplo, 12 meses, 12 pulgadas, 12 centavos, 2 x 12 horas, etc.).

Los babilonios también desarrollaron otro concepto matemático revolucionario, algo más que los egipcios, griegos y romanos no tenían, un carácter de círculo para cero, aunque su símbolo era todavía más un marcador de posición que un número por derecho propio.


Contando por 1

Este elemento visual está diseñado para usarse con los naipes de 2 dígitos (ver más abajo).

Naipes de 2 dígitos

Contando con varillas de Cuisenaire

  • Obtenga más información sobre el poder de las varillas Cuisenaire: VideoBookSimon GreggComprar varillas
  • Observa y pregunta: ¿Qué notas? ¿Qué te preguntas?
  • Eventualmente, los estudiantes notarán que el color de la varilla representa una cantidad. Notarán que la varilla naranja representa el 10 y podemos ver los grupos de diez en cada número. Verán el patrón de los que se repiten una y otra vez y los grupos de diez aumentan. Eso llevará a la idea de que los dígitos escritos representan el valor posicional: naranja para el lugar de las decenas y los otros colores para el lugar de las unidades.

Gracias a todos los colaboradores en Twitter y correo electrónico que compartieron ideas y comentarios sobre estas imágenes.

Estas imágenes se inspiraron en parte en: Rekenreks, tarjetas de valor posicional, mis estudiantes y las personas que han proporcionado comentarios en Twitter o por correo electrónico.

Un manipulador / visual similar está disponible por Rémi Brissiaud: J & # 8217apprends les maths avec Picbille CP, 2016 (primera edición 1992) París: Retz


Contar de 1 en 1 con coches (A)

Maestro s Puede usar hojas de trabajo de matemáticas como pruebas, tareas de práctica o herramientas de enseñanza (por ejemplo, en el trabajo en grupo, como andamiaje o en un centro de aprendizaje). Padres pueden trabajar con sus hijos para darles práctica adicional, ayudarlos a aprender una nueva habilidad matemática o mantener sus habilidades frescas durante las vacaciones escolares. Estudiantes Puede usar hojas de trabajo de matemáticas para dominar una habilidad matemática a través de la práctica, en un grupo de estudio o como tutoría entre compañeros.

Utilice los botones a continuación para imprimir, abrir o descargar la versión PDF del Contando de 1 en 1 con Cars (A) hoja de cálculo de matemáticas. El tamaño del archivo PDF es 79295 bytes. Se muestran imágenes de vista previa de la primera y segunda (si hay una) página. Si hay más versiones de esta hoja de trabajo, las otras versiones estarán disponibles debajo de las imágenes de vista previa. Para obtener más información como esta, use la barra de búsqueda para buscar algunas o todas estas palabras clave: matemáticas, número, saltar, contar, coches .

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Contar de 1 en 1 con Automóviles (A) Página 1 Contar de 1 en 1 con Automóviles (A) Página 2

1.S: Contar (Resumen) - Matemáticas

Este generador de hojas de trabajo de números imprimibles proporcionará una gran cantidad de práctica de conteo de números, mejorará los puntajes de las pruebas y preparará al niño / niños para cumplir con los estándares del plan de estudios de jardín de infantes, grado 1, grado 2 (K-2). Este creador de hojas de trabajo numérico creará los patrones de conteo / conteo de saltos de 1, 2, 3, 5 y 10. Eliminará aleatoriamente los números seleccionados según el nivel de dificultad (fácil, medio o difícil) para que el niño o los niños completen los números que faltan.

Vea una muestra de hojas de trabajo de patrones de conteo a continuación:

Siga estos pasos para hacer su hoja de trabajo.
1. Seleccione un patrón de conteo / conteo de saltos: conteo de 1, 2, 3, 5 o 10.
2. Seleccione un nivel de dificultad:
- Fácil (Quite 2-4 números por fila)
- Medio (Quite 4-6 números por fila)
- Difícil (Quite 6-9 números por fila)
3. Envíe para crear su hoja de trabajo de conteo de patrones / omisión de conteo
4. Opción: Retroceda la página y haga clic en Enviar para crear un conjunto diferente de números.


Puede comprar un juego de estos lindos números en el enlace de abajo, o dividir a sus hijos en grupos y hacer que los recorten y etiqueten los suyos para mostrarlos.

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Contar de diez en diez

Para contar hacia adelante y hacia atrás de diez en diez.

Materiales

Descripción general

Elija un número que no sea múltiplo de 10 (por ejemplo, 36). Haga que los niños cuenten de diez en diez al unísono, comenzando con el número elegido. Después de varias decenas, diga "¡unos!" y los niños empezarán a contar de uno en uno. Di "¡Diez!" cambiar varias veces más para que los niños vayan y vengan contando de diez en diez y de uno en uno. Como variación, puede repetir esto trabajando al revés decenas y unidades.

Sobre la secuencia

En la Parte 1, los niños pasan de contar de diez en diez a uno. La parte 2 se mueve hacia adelante y hacia atrás contando decenas y unidades. En la extensión, los niños cuentan hacia atrás, comenzando con unos y luego contando de diez en diez.

Parte 1

(Nombre del niño), elija un número inicial. Contaremos de diez en diez, comenzando en ese número. Cuando digo "¡unos!" sigue contando de uno en uno, no de diez. Intentemos.

Si los niños necesitan más práctica o están disfrutando de su dominio, repita. Si los niños están listos para seguir adelante, vaya a la Parte 2.

Parte 2

(Nombre del niño), elija un número inicial. Contaremos de diez en diez, comenzando en ese número. Cuando digo "¡unos!" sigue contando de uno en uno, no de diez. Cuando digo, "¡Diez!" volver a contar de diez en diez, no de uno en uno.

  • 48, 58, 68, unos, 69, 70, 71, 72, 73, decenas, 83, 93, 103, unos, 104, 105, 106, 107, 108, decenas, 118, 128, 138, 148
  • 59, 69, 79, unos, 80, 81, 82, 83, 84, decenas, 94, 104, unos, 105, 106, 107, 108, decenas, 118, 128, unos, 129, 130

Si los niños necesitan más práctica, repita. O, cuando los niños parezcan emocionados por un nuevo desafío, muévase a la extensión.

Extensión

Esta vez contaremos hacia atrás por decenas, comenzando en un número. Cuando digo "¡unos!" sigue contando al revés de uno en uno, no de diez. Cuando digo, "¡Diez!" volver a contar al revés de diez en diez, no de uno en uno.

  • 93, 83, 73, unos, 72, 71, 70, 69, decenas, 59, 49, 39, unos, 38, 37, 36, 35, 34, decenas, 24, 14, 4
  • 88, 78, 68, unos, 67, 66, 65, 64, decenas 54, 44, 34, unos, 33, 32, 31, 30, 29, decenas 19, 9

1.S: Contar (Resumen) - Matemáticas

A continuación se muestran algunos de los diferentes sistemas numéricos discutidos en la historia de las matemáticas.

Contenido de esta página
El sentido numérico
Quipu - Un sistema de conteo Inca
Fracciones del Antiguo Egipto
El sistema numérico maya
El sistema numérico egipcio
El sistema numérico griego
El sistema numérico babilónico
¿Dónde se originaron los números?

El sentido numérico no es la capacidad de contar, sino la capacidad de reconocer que algo tiene cambios en una pequeña colección. Algunas especies animales son capaces de esto.

El número de crías que tiene la madre animal, si cambia, será notado por todos los mamíferos y la mayoría de las aves. Los mamíferos tienen cerebros más desarrollados y crían menos crías que otras especies, pero cuidan mejor a sus crías durante un período de tiempo mucho más largo.

Muchas aves tienen un buen sentido numérico. Si un nido contiene cuatro huevos, se puede tomar uno de manera segura, pero cuando se quitan dos, el ave generalmente abandona. El pájaro puede distinguir dos de tres. 1

Un experimento realizado con un jilguero mostró la capacidad de distinguir montones de semillas: tres de uno, tres de dos, cuatro de dos, cuatro de tres y seis de tres. El jilguero casi siempre confundía cinco y cuatro, siete y cinco, ocho y seis, y diez y seis.

Otro experimento involucró a un escudero que intentaba dispararle a un cuervo que hizo su nido en la torre de vigilancia de su finca. El escudero trató de sorprender al cuervo, pero al acercarse, el cuervo se marchaba, miraba desde la distancia y no regresaba hasta que el hombre abandonaba la torre. El escudero se llevó a otro hombre a la torre. Un hombre se fue y el otro se quedó a buscar el cuervo cuando regresó al nido, pero el cuervo no se dejó engañar. El cuervo se mantuvo alejado hasta que salió el otro hombre. El experimento se repitió al día siguiente con tres hombres, pero el cuervo no regresó al nido. Al día siguiente, cuatro hombres lo intentaron, pero no fue hasta el día siguiente con cinco hombres que el cuervo regresó al nido con un hombre todavía en la torre. 2

En el mundo de los insectos, la avispa solitaria parecía tener el mejor sentido numérico. La avispa madre pone sus huevos en celdas individuales y proporciona a cada huevo una serie de orugas vivas de las que se alimentan las crías cuando nacen. Algunas especies de avispas siempre proporcionan cinco, otras doce y otras hasta veinticuatro orugas por celda. La avispa solitaria del género Eumenus, pondrá cinco orugas en la celda si va a ser un macho (el macho es más pequeño) y diez orugas en la celda de una hembra. Esta habilidad parece ser instintiva y no aprendida ya que el comportamiento de la avispa está conectado con una función básica de la vida.

Uno podría pensar que la gente tendría un muy buen sentido numérico, pero resulta que la gente no lo tiene. Los experimentos han demostrado que la persona promedio tiene un sentido numérico de alrededor de cuatro.

Los grupos de personas en el mundo de hoy que no han desarrollado el conteo con los dedos tienen dificultades para discernir la cantidad cuatro. Suelen utilizar las cantidades uno, dos y muchas, que incluirían cuatro.

Los niños pequeños alrededor de los catorce meses de edad casi siempre notarán algo que falta en un grupo con el que están familiarizados. El niño de la misma edad normalmente puede volver a ensamblar objetos que se han separado en un grupo. Pero la capacidad del niño para percibir diferencias numéricas en las personas u objetos que lo rodean es muy limitada cuando el número va más allá de tres o cuatro.

Entonces, ¿qué separa a las personas del resto del reino animal? Puede incluir muchas cosas, pero la capacidad de contar es una de ellas. El conteo, que generalmente comienza al final de nuestras propias manos o dedos, generalmente lo enseña otra persona o posiblemente las circunstancias. Es algo que nunca debemos tomar a la ligera, ya que ha ayudado a que la raza humana avance de innumerables formas.

El sentido numérico es algo que muchas criaturas de este mundo tienen tan bien como nosotros. Aunque, como podemos ver, nuestra habilidad humana no es mucho mejor que la habilidad del cuervo común. Nacemos con el sentido numérico, pero aprendemos a contar.
1 Dantzig, pág. 1.
2 Dantzig, pág. 3.
3 Infrah, pág. 4.
4 Dantzig, pág. 5.
5 Infrah, pág. 6.

  1. Dantzig, Tobias. Número: El lenguaje de la ciencia. Nueva York: Macmillan Company, 1930.
  2. Ifrah, Georges. Del uno al cero: una historia universal de los números. Nueva York: Viking Penguin, Inc., 1985.

Imagínese, por así decirlo, una civilización muy avanzada. Esta civilización gobierna sobre un millón o más de personas, construyeron vastas ciudades, desarrollaron extensos sistemas de carreteras, trataron a sus ciudadanos de manera justa y construyeron muros de piedra tan apretados que ni siquiera una hoja de cuchillo puede pasar entre las enormes rocas. Ahora imagina poder hacer todo esto sin un lenguaje escrito.

Esta fue la antigua civilización sudamericana del Imperio Inca. Una civilización altamente desarrollada capaz de rastrear todos los hechos importantes necesarios para gobernar un imperio tan vasto. Hicieron esto usando una herramienta de memoria hecha de cuerdas anudadas llamada quipu. Los hombres encargados de mantener el quipu eran conocidos como "quipu camayocs" o "guardián del quipu".

Como no tenían lenguaje escrito y quedan muy pocos quipu antiguos, solo podemos especular para qué se usó realmente el quipu. Es una suerte que los quipu todavía se utilicen hoy en día, por lo que es posible que podamos aprender sobre los antiguos al ver cómo se utilizan los modernos. Combine esto con las tradiciones orales y parece que se usaron para mantener registros sobre la cantidad de cosas.

Otro misterio que permanece es, ¿qué base usó el Inca? Todos sus vecinos usaron una base 60, pero parece que los incas usaron la base 10. Descubrimientos recientes, aún sin fundamento, respaldan esta teoría. Para nuestro propósito, asumiremos que era base 10.

Hacer un quipu fue fácil. Se enrollaron cuerdas delgadas alrededor de un cordón más grande. Luego se ataron nudos de hilo o cuerda de colores alrededor de las cuerdas más delgadas. Donde se colocaron los nudos indica el valor. Cuanto más cerca de la cuerda grande se coloca un nudo, mayor es su valor. La forma en que se hizo un nudo y el color utilizado puede ser significativo, pero sin un lenguaje escrito, simplemente no lo sabemos.

Algunos quipu encontrados tenían varios pies de largo, por lo que era muy importante para los camayocs quipu recordar el quién, dónde y qué de cada cuerda y su ubicación en la cuerda más grande.

Los antiguos egipcios entendían las fracciones, sin embargo, no escribían fracciones simples como 3/5 o 4/9 debido a restricciones en la notación. El escriba egipcio escribió fracciones con el numerador 1. Usaron el jeroglífico "una boca abierta" encima del número para indicar su recíproco. El número 5, escrito, como fracción 1/5 se escribiría. Hay algunas excepciones. Había un jeroglífico especial para 2/3, y alguna evidencia de que 3/4 también tenía un jeroglífico especial. Todas las demás fracciones se escribieron como la suma de fracciones unitarias. Por ejemplo, 3/8 se escribió como 1/4 + 1/8.

Los egipcios necesitaban fracciones, como la división de alimentos, suministros, ya sea en partes iguales o en una proporción específica. Por ejemplo, una división de 3 panes entre 5 hombres requeriría la fracción de 3/5. A medida que surgían nuevas situaciones, los egipcios desarrollaron técnicas especiales para lidiar con la notación que ya tenían, lo que significaba que la fracción se expresaba como una suma de la fracción unitaria. Hoy en día, a medida que surgen nuevos conceptos, los matemáticos idean una nueva notación para lidiar con la situación.

Las fracciones eran tan importantes para los egipcios que de los 87 problemas del Papiro matemático de Rhind, solo seis no incluían fracciones. Debido a que los egipcios realizaban sus multiplicaciones y divisiones duplicando y dividiendo a la mitad, era necesario poder duplicar fracciones. Los escribas crearían tablas con cálculos de fracciones junto con números enteros. Estas tablas se usarían como referencias para que el personal del templo pudiera realizar las divisiones fraccionarias de alimentos y suministros.

Gillings, Richard J. Matemáticas en la época de los faraones. (1982), Dover.

El sistema numérico maya se remonta al siglo IV y era aproximadamente 1.000 años más avanzado que los europeos de esa época. Este sistema es exclusivo de nuestro sistema decimal actual, que tiene una base 10, ya que los mayas usaban un sistema vigesimal, que tenía una base 20. Se cree que este sistema se utilizó porque, dado que los mayas vivían en un clima tan cálido y rara vez había necesidad de usar zapatos, 20 era el número total de dedos de manos y pies, lo que hacía que el sistema funcionara. Por lo tanto, dos marcadores importantes en este sistema son 20, que se relaciona con los dedos de las manos y los pies, y cinco, que se relaciona con el número de dígitos de una mano o pie.

El sistema maya utilizó una combinación de dos símbolos. Se usó un punto (.) Para representar las unidades (del uno al cuatro) y un guión (-) para representar cinco. Se piensa que los mayas pudieron haber usado un ábaco debido al uso de sus símbolos y, por lo tanto, puede haber una conexión entre los japoneses y ciertas tribus americanas (Ortenzi, 1964). Los mayas escribieron sus números verticalmente en lugar de horizontalmente con la denominación más baja en la parte inferior. Su sistema se estableció de modo que los primeros cinco valores posicionales se basaran en los múltiplos de 20. Eran 1 (20 0), 20 (20 1), 400 (20 2), 8,000 (20 3) y 160,000 (20 4). En la forma árabe usamos los valores posicionales de 1, 10, 100, 1,000 y 10,000. Por ejemplo, el número 241,083 se calcularía y escribiría de la siguiente manera:

Este número escrito en árabe sería 1.10.2.14.3 (McLeish, 1991, p. 129).

Los mayas también fueron los primeros en simbolizar el concepto de nada (o cero). El símbolo más común era el de un caparazón () pero había varios otros símbolos (por ejemplo, una cabeza). Es interesante saber que con todos los grandes matemáticos y científicos que existían en la antigua Grecia y Roma, fueron los indios mayas quienes idearon de forma independiente este símbolo que generalmente significaba finalización en lugar de cero o nada. A continuación se muestra una imagen de diferentes números y cómo se habrían escrito:

En la siguiente tabla se representan algunos números mayas. La columna de la izquierda da el equivalente decimal para cada posición del número maya. Recuerde que los números se leen de abajo hacia arriba. Debajo de cada número maya está su equivalente decimal.

8,000
400
20
unidades
20 40 445 508 953 30,414

Se ha sugerido que se pueden haber utilizado contadores, como granos o guijarros, para representar las unidades y un palito corto o vaina de frijol para representar los cinco. Through this system the bars and dots could be easily added together as opposed to such number systems as the Romans but, unfortunately, nothing of this form of notation has remained except the number system that relates to the Mayan calendar.

For further study: The 360 day calendar also came from the Mayan's who actually used base 18 when dealing with the calendar. Each month contained 20 days with 18 months to a year. This left five days at the end of the year which was a month in itself that was filled with danger and bad luck. In this way, the Mayans had invented the 365 day calendar which revolved around the solar system.

  1. McLeish, J. (1991). The story of numbers. New York, NY: Fawcett Columbine.
  2. Ortenzi, E. C. (1964). Numbers in ancient times. Portland, ME: J. Weston Walch.
  3. Roys, R. L. (1972). The Indian background of colonial Yucatan. Norman, OK: University of Oklahoma Press.
  4. Thompson, J. E. S. (1967). The rise and fall of Maya civilization. Norman, OK: University of Oklahoma Press.
  5. Trout, L. (1991). The Maya. New York, NY: Chelsea House Publishers.

How do we know what the Egyptian language of numbers is? It has been found on the writings on the stones of monument walls of ancient time. Numbers have also been found on pottery, limestone plaques, and on the fragile fibers of the papyrus. The language is composed of heiroglyphs, pictorial signs that represent people, animals, plants, and numbers.

The Egyptians used a written numeration that was changed into hieroglyphic writing, which enabled them to note whole numbers to 1,000,000 . It had a decimal base and allowed for the additive principle. In this notation there was a special sign for every power of ten. For I, a vertical line for 10, a sign with the shape of an upside down U for 100, a spiral rope for 1000, a lotus blossom for 10,000 , a raised finger, slightly bent for 100,000 , a tadpole and for 1,000,000, a kneeling genie with upraised arms.

Decimal
Número
Egyptian
Símbolo
1 = staff
10 = heel bone
100 = coil of rope
1000 = lotus flower
10,000 = pointing finger
100,000 = tadpole
1,000,000 = astonished man

This hieroglyphic numeration was a written version of a concrete counting system using material objects. To represent a number, the sign for each decimal order was repeated as many times as necessary. To make it easier to read the repeated signs they were placed in groups of two, three, or four and arranged vertically.

1 = 10 = 100 = 1000 =
2 = 20 = 200 = 2000 =
3 = 30 = 300 = 3000 =
4 = 40 = 400 = 4000 =
5 = 50 = 500 = 5000 =

In writing the numbers , the largest decimal order would be written first. The numbers were written from right to left.

Below are some examples from tomb inscriptions.

A B C D
77 700 7000 760,00

Addition and Subtraction

The techniques used by the Egyptians for these are essentially the same as those used by modern mathematicians today.The Egyptians added by combining symbols. They would combine all the units () together, then all of the tens ( ) together, then all of the hundreds (), etc. If the scribe had more than ten units (), he would replace those ten units by . He would continue to do this until the number of units left was les than ten. This process was continued for the tens, replacing ten tens with , etc.

For example, if the scribe wanted to add 456 and 265, his problem would look like this

The scribe would then combine all like symbols to get something like the following

He would then replace the eleven units () with a unit () and a ten (). He would then have one unit and twelve tens. The twelve tens would be replaced by two tens and one one-hundred. When he was finished he would have 721, which he would write as

Subtraction was done much the same way as we do it except that when one has to borrow, it is done with writing ten symbols instead of a single one.

Multiplication

Egyptians method of multiplication is fairly clever, but can take longer than the modern day method. This is how they would have multiplied 5 by 29

*1 29
2 58
*4 116
1 + 4 = 5 29 + 116 = 145
When multiplying they would began with the number they were multiplying by 29 and double it for each line. Then they went back and picked out the numbers in the first column that added up to the first number (5). They used the distributive property of multiplication over addition.
29(5) = 29(1 + 4) = 29 + 116 = 145

The way they did division was similar to their multiplication. For the problem 98/7 , they thought of this problem as 7 times some number equals 98. Again the problem was worked in columns.

1 7
2 *14
4 *28
8 *56
2 + 4 + 8 = 14 14 + 28 + 56 = 98

This time the the numbers in the right-hand column are marked which sum to 98 then the corresponding numbers in the left-hand column are summed to get the quotient.
So the answer is 14. 98 = 14 + 28 + 56 = 7(2 + 4 + 8) = 7*14

  1. Boyer, Carl B. - A History of Mathematics, John Wiley, New York 1968
  2. Gillings, Richard J. - Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover, New York, 1982
  3. Jason Gilman, David Slavit, - Ancient Egyptian Mathematics., Washington State University, 1995

The Greek numbering system was uniquely based upon their alphabet. The Greek alphabet came from the Phoenicians around 900 B.C. When the Phoenicians invented the alphabet, it contained about 600 symbols. Those symbols took up too much room, so they eventually narrowed it down to 22 symbols. The Greeks borrowed some of the symbols and made up some of their own. But the Greeks were the first people to have separate symbols, or letters, to represent vowel sounds. Our own word "alphabet" comes from the first two letters, or numbers of the Greek alphabet -- "alpha" and "beta." Using the letters of their alphabet enabled them to use these symbols in a more condensed version of their old system, called Attic. The Attic system was similar to other forms of numbering systems of that era. It was based on symbols lined up in rows and took up a lot of space to write. This might not be to bad, except that they were still carving into stone tablets, and the symbols of the alphabet allowed them to stamp values on coins in a smaller, more condensed version.

Attic symbols
= 500
= 100
= 10
= 5
= 1

For example, represented the number 849

The original Greek alphabet consisted of 27 letters and was written from the left to the right. These 27 letters make up the main 27 symbols used in their numbering system. Later special symbols, which were used only for mathematics vau, koppa, and sampi, became extinct. The New Greek alphabet nowadays uses only 24 letters.

If you notice, the Greeks did not have a symbol for zero. They could string these 27 symbols together to represent any number up to 1000. By putting a comma in front of any symbol in the first row, they could now write any number up to 10,000.

Here are representations for 1000, 2000 and the number we gave above 849.

This works great for smaller numbers, but what about larger numbers? Here the Greeks went back to the Attic System, and used the symbol M for 10,000. And used multiples of 10,000 by putting symbols above M.

The Babylonians lived in Mesopotamia, which is between the Tigris and Euphrates rivers. They began a numbering system about 5,000 years ago. It is one of the oldest numbering systems. The first mathematics can be traced to the ancient country of Babylon, during the third millennium B.C. Tables were the Babylonians most outstanding accomplishment which helped them in calculating problems.

One of the Babylonian tablets, Plimpton 322, which is dated from between 1900 and 1600 BC, contains tables of Pythagorean triples for the equation a 2 + b 2 = c 2 . It is currently in a British museum.

Nabu - rimanni and Kidinu are two of the only known mathematicians from Babylonia. However, not much is known about them. Historians believe Nabu - rimanni lived around 490 BC and Kidinu lived around 480 BC.

The Babylonian number system began with tally marks just as most of the ancient math systems did. The Babylonians developed a form of writing based on cuneiform. Cuneiform means "wedge shape" in Latin. They wrote these symbols on wet clay tablets which were baked in the hot sun. Many thousands of these tablets are still around today. The Babylonians used a stylist to imprint the symbols on the clay since curved lines could not be drawn.

The Babylonians had a very advanced number system even for today's standards. It was a base 60 system (sexigesimal) rather than a base ten (decimal). Base ten is what we use today.

The Babylonians divided the day into twenty-four hours, each hour into sixty minutes, and each minute to sixty seconds. This form of counting has survived for four thousand years.

Any number less than 10 had a wedge that pointed down.

The number 10 was symbolized by a wedge pointing to the left.

Numbers less than 60 were made by combining the symbols of 1and 10.

As with our numbering system, the Babylonian numbering system utilized units, ie tens, hundreds, thousands.

However, they did not have a symbol for zero, but they did use the idea of zero. When they wanted to express zero, they just left a blank space in the number they were writing.

When they wrote "60", they would put a single wedge mark in the second place of the numeral.

When they wrote "120", they would put two wedge marks in the second place.

Following are some examples of larger numbers.

Ejemplo:79883
(22*602 2 )+(11*60)+23

Ejemplo:5220062
(24*60 3 ) + (10*60 2 ) + (1*60) + 2

Thousands of years ago there were no numbers to represent two or three . Instead fingers, rocks, sticks or eyes were used to represent numbers. There were neither clocks nor calendars to help keep track of time. The sun and moon were used to distinguish between 1 PM and 4 PM. Most civilizations did not have words for numbers larger than two so they had to use terminology familiar to them such as flocks of sheep, heaps of grain, or lots of people. There was little need for a numeric system until groups of people formed clans, villages and settlements and began a system of bartering and trade that in turn created a demand for currency. How would you distinguish between five and fifty if you could only use the above terminology?

Paper and pencils were not available to transcribe numbers. Other methods were invented for means of communication and teaching of numerical systems. Babylonians stamped numbers in clay by using a stick and depressing it into the clay at different angles or pressures and the Egyptians painted on pottery and cut numbers into stone.

Numerical systems devised of symbols were used instead of numbers. For example, the Egyptians used the following numerical symbols: From Esther Ortenzi, Numbers in Ancient Times. Maine:
J. Weston Walch, 1964, page 9.

The Chinese had one of the oldest systems of numerals that were based on sticks laid on tables to represent calculations. It is as follows: From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals.
W. D. Reeve, 1937, page 11.

From about 450 BC the Greeks had several ways to write their numbers, the most common way was to use the first ten letters in their alphabet to represent the first ten numbers. To distinguish between numbers and letters they often placed a mark (/ or ) by each letter: From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals.
W. D. Reeve, 1937, page 12.

The Roman numerical system is still used today although the symbols have changed from time to time. The Romans often wrote four as IIII instead of IV, I from V. Today the Roman numerals are used to represent numerical chapters of books or for the main divisions of outlines. The earliest forms of Roman numeral values are: From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals.
W. D. Reeve, 1937, page 14.

Finger numerals were used by the ancient Greeks, Romans, Europeans of the Middle Ages, and later the Asiatics. Still today you can see children learning to count on our own finger numerical system. The old system is as follows: From Tobias Dantzig, Number: The Language of Science.
Macmillan Company, 1954, page 2.


Ver el vídeo: Counting! Mini Math Movies. Scratch Garden (Julio 2022).


Comentarios:

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