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15.6: Integrales triples - Matemáticas

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Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer cuando una función de tres variables es integrable sobre una caja rectangular.
  • Evalúe una integral triple expresándola como una integral iterada.
  • Reconocer cuando una función de tres variables es integrable en una región cerrada y acotada.
  • Simplifique un cálculo cambiando el orden de integración de una integral triple.
  • Calcule el valor promedio de una función de tres variables.

Anteriormente, discutimos la integral doble de una función (f (x, y) ) de dos variables sobre una región rectangular en el plano. En esta sección definimos la integral triple de una función (f (x, y, z) ) de tres variables sobre una caja sólida rectangular en el espacio, ( mathbb {R} ^ 3 ). Más adelante en esta sección ampliamos la definición a regiones más generales en ( mathbb {R} ^ 3 ).

Funciones integrables de tres variables

Podemos definir una caja rectangular (B ) en ( mathbb {R} ^ 3 ) como

[B = big {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f big }. ]

Seguimos un procedimiento similar al que hicimos anteriormente. Dividimos el intervalo ([a, b] ) en (l ) subintervalos ([x_ {i-1}, x_i] ) de igual longitud ( Delta x ) con

[ Delta x = dfrac {x_i - x_ {i-1}} {l}, ]

divide el intervalo ([c, d] ) en (m ) subintervalos ([y_ {i-1}, y_i] ) de igual longitud ( Delta y ) con

[ Delta y = dfrac {y_j - y_ {j-1}} {m}, ]

y divide el intervalo ([e, f] ) en (n ) subintervalos ([z_ {i-1}, z_i] ) de igual longitud ( Delta z ) con

[ Delta z = dfrac {z_k - z_ {k-1}} {n} ]

Luego, la caja rectangular (B ) se subdivide en (lmn ) subcajas:

[B_ {ijk} = [x_ {i-1}, x_i] times [y_ {i-1}, y_i] times [z_ {i-1}, z_i], ]

como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

Para cada (i, , j, ) y (k ), considere un punto de muestra ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) en cada subcaja (B_ {ijk} ). Vemos que su volumen es ( Delta V = Delta x Delta y Delta z ). Forme la suma triple de Riemann

[ sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ * ) , Delta x Delta y Delta z. ]

Definimos la integral triple en términos del límite de una suma de Riemann triple, como hicimos para la integral doble en términos de una suma de Riemann doble.

Definición: la integral triple

La integral triple de una función (f (x, y, z) ) sobre una caja rectangular (B ) se define como

[ lim_ {l, m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) , Delta x Delta y Delta z = iiint_B f (x, y, z) , dV ] si existe este límite.

Cuando la integral triple existe en (B ), se dice que la función (f (x, y, z) ) es integrable en (B ). Además, la integral triple existe si (f (x, y, z) ) es continua en (B ). Por lo tanto, usaremos funciones continuas para nuestros ejemplos. Sin embargo, la continuidad es suficiente pero no necesaria; en otras palabras, (f ) está limitado en (B ) y es continuo excepto posiblemente en el límite de (B ). El punto de muestra ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) puede ser cualquier punto en la subcaja rectangular (B_ {ijk} ) y todos los Las propiedades de una integral doble se aplican a una integral triple. Así como la integral doble tiene muchas aplicaciones prácticas, la integral triple también tiene muchas aplicaciones, que discutiremos en secciones posteriores.

Ahora que hemos desarrollado el concepto de integral triple, necesitamos saber cómo calcularlo. Al igual que en el caso de la integral doble, podemos tener una integral triple iterada y, en consecuencia, una versión de Teorema de Fubini para integrales triples existe.

Teorema de Fubini para integrales triples

Si (f (x, y, z) ) es continua en una caja rectangular (B = [a, b] times [c, d] times [e, f] ), entonces

[ iint_B f (x, y, z) , dV = int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ b f (x, y, z) , dx , dy , dz. ]

Esta integral también es igual a cualquiera de los otros cinco posibles ordenamientos para la integral triple iterada.

Para (a, b, c, d, e ) y (f ) números reales, la integral triple iterada se puede expresar en seis ordenamientos diferentes:

[ begin {align} int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ bf (x, y, z) , dx , dy , dz = int_e ^ f left ( int_c ^ d left ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx right) dy right) dz = int_c ^ d left ( int_e ^ f left ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx right) dz right) dy = int_a ^ b left ( int_e ^ f left ( int_c ^ df (x, y, z) , dy right) dz right) dx = int_e ^ f left ( int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y, z) , dy right) dx right) dz = int_c ^ d left ( int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y, z) , dz right) dx right) dy = int_a ^ b left ( int_c ^ d left ( int_e ^ ff ( x, y, z) , dz right) dy right) dx end {align} ]

Para una caja rectangular, el orden de integración no hace ninguna diferencia significativa en el nivel de dificultad en el cálculo. Calculamos integrales triples usando el teorema de Fubini en lugar de usar la definición de suma de Riemann. Seguimos el orden de integración de la misma manera que lo hicimos para las integrales dobles (es decir, de adentro hacia afuera).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Evaluación de una integral triple

Evalúa la integral triple [ int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz. sin número ]

Solución

El orden de integración se especifica en el problema, entonces integre con respecto a (x ) primero, luego yy luego (z ).

[ begin {align *} int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} left. left [ dfrac {x ^ 2} {2} + xyz ^ 2 right | _ {x = -1} ^ {x = 5} right] , dy , dz text {Integrar con respecto a $ x $.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} left [12 + 6yz ^ 2 right] , dy , dz text {Evaluar.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} left [ left.12y + 6 dfrac {y ^ 2} {2} z ^ 2 right | _ {y = 2} ^ {y = 4} right] dz text {Integrar con respecto a $ y $.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} [24 + 36z ^ 2] , dz text {Evaluar.} = left [24z + 36 dfrac {z ^ 3} {3} right] _ {z = 0} ^ {z = 1} text {Integrar con respecto a $ z $.} = 36. text {Evaluar.} end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de una integral triple

Evaluar la integral triple

[ iiint_B x ^ 2 yz , dV ]

donde (B = big {(x, y, z) , | , - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 big } ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Solución

El orden no está especificado, pero podemos usar la integral iterada en cualquier orden sin cambiar el nivel de dificultad. Elija, digamos, integrar (y ) primero, luego (x ) y luego (z ).

[ begin {align *} iiint limits_ {B} x ^ 2 yz , dV = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 int_0 ^ 3 [x ^ 2 yz] , dy , dx , dz = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 left [ left. x ^ 2 dfrac {y ^ 3} {3} z right | _0 ^ 3 right] dx , dz = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 dfrac {y} {2} x ^ 2 z , dx , dz = int_1 ^ 5 left [ left. dfrac {9} {2} dfrac {x ^ 3} {3} z right | _ {- 2} ^ 1 right] dz = int_1 ^ 5 dfrac {27} {2} z , dz = izquierda. dfrac {27} {2} dfrac {z ^ 2} {2} right | _1 ^ 5 = 162. end {align *} ]

Ahora intente integrar en un orden diferente solo para ver que obtenemos la misma respuesta. Elija integrar con respecto a (x ) primero, luego (z ), luego (y )

[ begin {align *} iiiint limits_ {B} x ^ 2yz , dV = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 [x ^ 2yz] , dx , dz , dy = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 left [ left. dfrac {x ^ 3} {3} yz right | _ {- 2} ^ 1 right] dz , dy = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 3yz ; dz , dy = int_0 ^ 3 left. left [3y dfrac {z ^ 2} {2} right | _1 ^ 5 right] , dy = int_0 ^ 3 36y ; dy = left. 36 dfrac {y ^ 2} {2} right | _0 ^ 3 = 18 (9-0) = 162. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Evaluar la integral triple

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV nonumber ]

donde (B = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq pi, , dfrac {3 pi} {2} leq y leq 2 pi , , 1 leq z leq 3 big } ).

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior.

Respuesta

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV = 8 nonumber ]

Triple Integral sobre una Región General

La integral triple de una función continua (f (x, y, z) ) sobre una región tridimensional general

[E = big {(x, y, z) , | , (x, y) in D, , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big } ]

en ( mathbb {R} ^ 3 ), donde (D ) es la proyección de (E ) en el plano (xy ) -, es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz right] dA. ]

De manera similar, podemos considerar una región acotada general (D ) en el plano (xy ) - y dos funciones (y = u_1 (x, z) ) y (y = u_2 (x, z) ) tal que (u_1 (x, z) leq u_2 (x, z) ) para todo (9x, z) ) en (D ). Entonces podemos describir la región sólida (E ) en ( mathbb {R} ^ 3 ) como

[E = grande {(x, y, z) , | , (x, z) in D, , u_1 (x, z) leq z leq u_2 (x, z) grande } ] donde (D ) es la proyección de (E ) sobre el plano (xy ) - y la integral triple es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (x, z)} ^ {u_2 (x, z)} f ​​(x, y, z) , dy right] dA. ]

Finalmente, si (D ) es una región limitada general en el plano (xy ) - y tenemos dos funciones (x = u_1 (y, z) ) y (x = u_2 (y, z) ) tal que (u_1 (y, z) leq u_2 (y, z) ) para todo ((y, z) ) en (D ), luego la región sólida (E ) en ( mathbb {R} ^ 3 ) se puede describir como

[E = big {(x, y, z) , | , (y, z) in D, , u_1 (y, z) leq z leq u_2 (y, z) big } ] donde (D ) es la proyección de (E ) sobre el plano (xy ) - y la integral triple es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (y, z)} ^ {u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx right] dA. ]

Tenga en cuenta que la región (D ) en cualquiera de los planos puede ser de Tipo I o Tipo II como se describió anteriormente. Si (D ) en el (xy ) - el plano es de Tipo I (Figura ( PageIndex {4} )), entonces

[E = grande {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , g_1 (x) leq y leq g_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

Entonces la integral triple se convierte en

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x , y)} f (x, y, z) , dz , dy , dx. ]

Si (D ) en el (xy ) - el plano es de Tipo II (Figura ( PageIndex {5} )), entonces

[E = grande {(x, y, z) , | , c leq x leq d, h_1 (x) leq y leq h_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

Entonces la integral triple se convierte en

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {x = h_1 (y)} ^ {x = h_2 (y)} int_ {z = u_1 (x, y)} ^ {z = u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz , dx , dy. ]

Ejemplo ( PageIndex {3A} ): Evaluación de una integral triple sobre una región limitada general

Evalúa la integral triple de la función (f (x, y, z) = 5x - 3y ) sobre el tetraedro sólido delimitado por los planos (x = 0, , y = 0, , z = 0 ) y (x + y + z = 1 ).

Solución

La figura ( PageIndex {6} ) muestra el tetraedro sólido (E ) y su proyección (D ) en el plano (xy ).

Podemos describir el tetraedro de la región sólida como

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y grande }. sin número]

Por tanto, la integral triple es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz , dy , dx. sin número]

Para simplificar el cálculo, primero evalúa la integral ( displaystyle int_ {z = 0} ^ {z = 1-x-y} (5x - 3y) , dz ). Tenemos

[ int_ {z = 0} ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz = (5x - 3y) z bigg | _ {z = 0} ^ {z = 1-xy} = (5x - 3y) (1 - x - y). Nonumber ]

Ahora evalúa la integral

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy, nonumber ]

obtención

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy = dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1). Nonumber ]

Finalmente evaluar

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1) , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

Poniéndolo todo junto, tenemos

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz , dy , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

Así como usamos la integral doble [ iint_D 1 , dA ] para encontrar el área de una región acotada general (D ), podemos usar [ iiint_E 1 , dV ] para encontrar el volumen de una región sólida general acotada (E ). El siguiente ejemplo ilustra el método.

Ejemplo ( PageIndex {3B} ): encontrar un volumen evaluando una integral triple

Encuentra el volumen de una pirámide recta que tiene la base cuadrada en el (xy ) - plano ([- 1,1] times [-1,1] ) y el vértice en el punto ((0, 0 , 1) ) como se muestra en la siguiente figura.

Solución

En esta pirámide, el valor de (z ) cambia de 0 a 1 y en cada altura (z ) la sección transversal de la pirámide para cualquier valor de (z ) es el cuadrado

[[- 1 + z, , 1 - z] times [-1 + z, , 1 - z]. Nonumber ]

Por lo tanto, el volumen de la pirámide es [ iiint_E 1 , dV nonumber ] donde

[E = grande {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z big }. nonumber ]

Por lo tanto, tenemos

[ begin {align *} iiint_E 1 , dV = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = -1 + z} ^ {y = 1-z} int_ {x = -1 + z} ^ {x = 1-z} 1 , dx , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = -1 + z} ^ {y = 1-z} (2 - 2z) , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} (2 - 2z) ^ 2 , dz = dfrac {4 } {3}. end {alinear *} ]

Por tanto, el volumen de la pirámide es ( dfrac {4} {3} ) unidades cúbicas.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Considere la esfera sólida (E = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 big } ). Escribe la integral triple [ iiint_E f (x, y, z) , dV nonumber ] para una función arbitraria (f ) como una integral iterada. Luego evalúa esta integral triple con (f (x, y, z) = 1 ). Observe que esto da el volumen de una esfera usando una integral triple.

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior. Usa la simetría.

Respuesta

[ begin {align *} iiint_E 1 , dV = 8 int_ {x = -3} ^ {x = 3} int_ {y = - sqrt {9-z ^ 2}} ^ {y = sqrt {9-z ^ 2}} int_ {z = - sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} ^ {z = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} 1 , dz , dy , dx = 36 pi , text {unidades cúbicas}. end {alinear *} ]

Cambiar el orden de integración

Como ya hemos visto en integrales dobles sobre regiones limitadas generales, el cambio del orden de integración se realiza con bastante frecuencia para simplificar el cálculo. Con una integral triple sobre una caja rectangular, el orden de integración no cambia el nivel de dificultad del cálculo. Sin embargo, con una integral triple sobre una región limitada general, elegir un orden de integración apropiado puede simplificar bastante el cálculo. A veces, hacer el cambio a coordenadas polares también puede ser muy útil. Demostramos dos ejemplos aquí.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Cambiar el orden de integración

Considere la integral iterada

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y} f (x, y, z ) , dz , dy , dx. ]

El orden de integración aquí es primero con respecto a z, luego y, y entonces X. Exprese esta integral cambiando el orden de integración para que sea primero con respecto a (x ), luego (z ) y luego (y ). Verifica que el valor de la integral sea el mismo si dejamos (f (x, y, z) = xyz ).

Solución

La mejor manera de hacer esto es dibujar la región (E ) y sus proyecciones en cada uno de los tres planos de coordenadas. Por lo tanto, dejemos

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2, , 0 leq z leq y grande }. nonumber ]

y

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} f (x, y , z) , dz , dy , dx = iiint_E f (x, y, z) , dV. nonumber ]

Necesitamos expresar esta integral triple como

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy. nonumber ]

Conociendo la región (E ) podemos dibujar las siguientes proyecciones (Figura ( PageIndex {8} )):

en el plano (xy ) - está (D_1 = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2 big } = {(x, y) , | , 0 leq y leq 1, , sqrt {y} leq x leq 1 big }, )

en el plano (yz ) - es (D_2 = big {(y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 big }), y

en el plano (xz ) - está (D_3 = big {(x, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x ^ 2 big } ).

Ahora podemos describir la misma región (E ) como ( big {(x, y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 , , sqrt {y} leq x leq 1 big } ), y en consecuencia, la integral triple se convierte en

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} f (x, y, z) , dx , dz , dy ]

Ahora suponga que (f (x, y, z) = xyz ) en cada una de las integrales. Entonces nosotros tenemos

[ begin {align *} int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2 } xyz , dz , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} left. left [xy dfrac {z ^ 2} {2} right | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} right] , dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} left (x dfrac {y ^ 5} {2} right) dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} izquierda. left [x dfrac {y ^ 6} {12} right | _ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} right] dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {x ^ {13}} {12} dx = left. dfrac {x ^ {14}} {168} right | _ {x = 0} ^ {x = 1} = dfrac {1} {168}, end {align *} ]

[ begin {align *} int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} xyz , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} left. Left [ yz dfrac {x ^ 2} {2} right | _ { sqrt {y}} ^ {1} right] dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ { z = 0} ^ {z = y ^ 2} left ( dfrac {yz} {2} - dfrac {y ^ 2z} {2} right) dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} izquierda. left [ dfrac {yz ^ 2} {4} - dfrac {y ^ 2z ^ 2} {4} right | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} right] dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left ( dfrac {y ^ 5} {4} - dfrac {y ^ 6} {4} right) dy = left. left ( dfrac {y ^ 6} {24} - dfrac {y ^ 7} {28} right) right | _ {y = 0} ^ {y = 1} = dfrac {1} {168 }. end {alinear *} ]

Las respuestas coinciden.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Escribe cinco integrales iteradas diferentes iguales a la integral dada

[ int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {y = 0} ^ {y = 4-z} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x , y, z) , dx , dy , dz. nonumber ]

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior, usando la región (E ) como ( big {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt {y} big } ), y describe y dibuja las proyecciones en cada uno de los tres planos, cinco tiempos diferentes.

Respuesta

[(i) , int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {4-z}} int_ {y = x ^ 2} ^ { y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {z = 0 } ^ {z = 4-y} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x, y, z) , dx , dz , dy, , (iii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} int_ {z = 0} ^ {Z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dx , dy, , nonumber ]

[(iv) , int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = 0} ^ {z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dy , dx, , (v) int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4-x ^ 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dz , dx nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Cambiar el orden de integración y los sistemas de coordenadas

Evaluar la integral triple

[ iiint_ {E} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV, nonumber ]

donde (E ) es la región delimitada por el paraboloide (y = x ^ 2 + z ^ 2 ) (Figura ( PageIndex {9} )) y el plano (y = 4 ).

Solución

La proyección de la región sólida (E ) sobre el plano (xy ) - es la región acotada arriba por (y = 4 ) y abajo por la parábola (y = x ^ 2 ) como se muestra.

Por lo tanto, tenemos

[E = big {(x, y, z) , | , -2 leq x leq 2, , x ^ 2 leq y leq 4, , - sqrt {y - x ^ 2} leq z sqrt {y - x ^ 2} big }. Nonumber ]

La integral triple se convierte en

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx. nonumber ]

Esta expresión es difícil de calcular, así que considere la proyección de (E ) en el plano (xz ) -. Este es un disco circular (x ^ 2 + z ^ 2 leq 4 ). Entonces obtenemos

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx. Nonumber ]

Aquí el orden de integración cambia de ser primero con respecto a (z ) luego (y ) y luego (x ) a ser primero con respecto a (y ) luego a (z ) y luego a (x ). Pronto quedará claro cómo este cambio puede ser beneficioso para la computación. Tenemos

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2 } , dz , dx. nonumber ]

Ahora usa la sustitución polar (x = r , cos , theta, , z = r , sin , theta ), y (dz , dx = r , dr , d theta ) en el plano (xz ). Esto es esencialmente lo mismo que cuando usamos coordenadas polares en el plano (xy ) -, excepto que estamos reemplazando (y ) por (z ). En consecuencia, los límites de integración cambian y tenemos, al usar (r ^ 2 = x ^ 2 + z ^ 2 ),

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dx = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2} (4 - r ^ 2) rr , dr , d theta = int_0 ^ {2 pi} left. left [ dfrac {4r ^ 3} {3} - dfrac {r ^ 5} {5} right | _0 ^ 2 right] , d theta = int_0 ^ {2 pi} dfrac { 64} {15} , d theta = dfrac {128 pi} {15} nonumber ]

Valor medio de una función de tres variables

Recuerde que encontramos el valor promedio de una función de dos variables evaluando la integral doble sobre una región en el plano y luego dividiendo por el área de la región. De manera similar, podemos encontrar el valor promedio de una función en tres variables evaluando la integral triple sobre una región sólida y luego dividiendo por el volumen del sólido.

Valor medio de una función de tres variables

Si (f (x, y, z) ) es integrable sobre una región sólida delimitada (E ) con volumen positivo (V , (E), ) entonces el valor promedio de la función es

[f_ {ave} = dfrac {1} {V , (E)} iiint_E f (x, y, z) , dV. ]

Tenga en cuenta que el volumen es

[V , (E) = iiint_E 1 , dV. ]

Ejemplo ( PageIndex {6} ): encontrar una temperatura promedio

La temperatura en un punto ((x, y, z) ) de un sólido (E ) limitado por los planos de coordenadas y el plano (x + y + z = 1 ) es (T (x, y, z) = (xy + 8z + 20) , text {°} text {C} ). Encuentra la temperatura promedio sobre el sólido.

Solución

Usa el teorema dado arriba y la integral triple para encontrar el numerador y el denominador. Luego haz la división. Observe que el plano (x + y + z = 1 ) tiene intersecciones ((1,0,0), , (0,1,0), ) y ((0,0,1) ). La región (E ) parece

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y grande }. nonumber ]

Por tanto, la integral triple de la temperatura es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac {147} {40}. sin número ]

La evaluación de volumen es

[V , (E) = iiint_E 1 , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} 1 , dz , dy , dx = dfrac {1} {6}. sin número ]

Por tanto, el valor medio es

[T_ {ave} = dfrac {147/40} {1/6} = dfrac {6 (147)} {40} = dfrac {441} {20} , text {°} text { C} nonumber ].

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentre el valor promedio de la función (f (x, y, z) = xyz ) sobre el cubo con lados de 4 unidades de longitud en el primer octante con un vértice en el origen y bordes paralelos a los ejes de coordenadas.

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior.

Respuesta

(f_ {ave} = 8 )


Integral múltiple


Integral definida de una función de varias variables. Hay varios conceptos diferentes de una integral múltiple (integral de Riemann, integral de Lebesgue, integral de Lebesgue-Stieltjes, etc.).

La integral de Riemann múltiple se basa en el concepto de una medida de Jordan $ mu $. Sea $ E $ un conjunto medible de Jordan en el espacio euclidiano dimensional $ n $ $ mathbf R ^ $, sea $ mu _ $ sea la medida de Jordan $ n $ - dimensional y sea $ tau = > _ ^ $ ser una partición de $ E $, es decir, un sistema de conjuntos medibles de Jordan $ E _ $ tal que $ taza _ ^ E _ = E $ y $ mu _ (E _ capa _ ) = 0 $, $ i neq j $, $ i, j = 1 dots n $. La cantidad

$ delta _ tau = max _ d (E _ ), $

donde $ d (E _ ) $ es el diámetro de $ E _ $, se llama la malla de la partición $ tau $. Si $ f (x) $, $ x = (x _ <1> dots x _ ) $, es una función definida en $ E $, luego cualquier suma del tipo

$ sigma _ tau = sigma _ tau (f xi ^ <(> 1) puntos xi ^ <(> k)) = sum _ ^ f ( xi ^ <(> i)) mu _ (E _ ), $

se llama suma integral de Riemann de la función $ f $. Si $ f $ tiene la propiedad de que $ lim limits _ < delta _ tau rightarrow 0> sigma _ tau $ existe, independientemente de la secuencia específica de particiones, entonces este límite se llama $ n $ - tupla integral de Riemann de $ f $ sobre $ E $, y se denota por

Se dice entonces que la función $ f $ en sí misma es integrable de Riemann o, más brevemente, R-integrable.

Cuando $ n = 1 $, el conjunto $ E $ sobre el que tiene lugar la integración suele ser un intervalo y $ tau $ es una partición que consta exclusivamente de intervalos (ver integral de Riemann). Por tanto, tanto el conjunto sobre el que se realiza la integración como los elementos de la partición son conjuntos medibles de Jordan de una forma muy especial: intervalos. Es por eso que no todas las propiedades de las funciones que son R-integrables en un intervalo son válidas para funciones que son R-integrables en conjuntos arbitrarios medibles de Jordan. Por ejemplo, dado que cualquier función definida en un conjunto de la medida cero de Jordan es R-integrable en ese conjunto, se deduce que las funciones R-integrables no necesitan estar acotadas. Esto es imposible para las funciones integrables en R en intervalos. Si se desea que la R-integrabilidad de una función en algún conjunto implique que la función está acotada, se deben imponer ciertas condiciones adicionales al conjunto, por ejemplo, se podría requerir que el conjunto tenga particiones arbitrariamente finas, cuyos elementos tengan una medida de Jordan positiva . La clase definida por esta condición incluye todos los conjuntos abiertos medibles de Jordan y sus cierres, en particular todos los dominios abiertos medibles de Jordan y sus cierres. Estos son precisamente los conjuntos para los que se utilizan con más frecuencia múltiples integrales de Riemann. Cuando $ n = 2 $ ($ n = 3 $), una integral múltiple se llama integral doble (triple) (cf. también integral doble).

Dado que una integral de Riemann múltiple se puede evaluar solo sobre conjuntos medibles de Jordan (si $ n = 2 $ tal conjunto también se llama cuadrático si $ n = 3 $ también se llama cubable), las integrales de Riemann dobles (triples) se consideran solo en conjuntos (generalmente dominios o cierres de dominios) con límites del área de Jordania (volumen) cero.

La integral de Riemann de una función acotada de $ n $ variables ($ n geq 1 $) posee las propiedades usuales de una integral (linealidad, aditividad con respecto al conjunto de integración, preservación de desigualdades no estrictas bajo integración, integrabilidad de el producto de funciones integrables, etc.).

Una integral de Riemann múltiple se puede reducir a una integral repetida. Sea $ x = (x ^ prime, x ^ < prime prime>) in mathbf R ^ $,

$ x ^ prime = (x _ <1> puntos x _ ) in mathbf R ^ , $

$ x ^ < prime prime> = (x _ puntos x _ ) in mathbf R ^ , E subconjunto mathbf R ^ , $

donde $ E $ es un conjunto medible de Jordan en $ mathbf R ^ $, $ E (x _ <0> ^ prime) = E cap ^ prime > $ es la intersección de $ E $ con $ (n - m ) $ - hiperplano dimensional $ x ^ prime = x _ <0> ^ prime $, $ E _ > $ es la proyección de $ E $ en el hiperplano $ mathbf R ^ = < : = 0> > $, con $ E (x ^ prime) $ y $ E _ > $ medible en el sentido de la medida de Jordan $ (n - m) $ dimensional y $ m $ dimensional, respectivamente. Si $ f $ es una función R-integrable en $ E $ y si para todo $ x ^ prime en E _ > $ the $ (n - m) $ - múltiples integrales de las restricciones de $ f $ al conjunto $ E (x ^ prime) $ existen, entonces la integral repetida

donde la integral externa es una integral de Riemann de $ m $ - tupla, existe, y

Para $ n = 3 $ esto implica las siguientes fórmulas:

1) Si $ E subconjunto mathbf R _ ^ <3> $, si $ E _ $ es la proyección de $ E $ en el plano $ xy $ -, y si $ phi (x, y) $ y $ psi (x, y) $, $ x, y en E _ $, son funciones con gráficas limitadas por el conjunto $ E $ en la dirección $ z $ -, es decir

$ = int límites _ > dx dy int límites _ < phi (x, y)> ^ < psi (x, y)> f (x, y, z) dz. PS

2) Sea la proyección de $ E $ en el eje $ x $ - un intervalo $ [a, b] $, y sea $ E (x) $ la intersección de $ E $ con el plano que pasa por el punto $ x $ paralelo al plano $ yz $ - entonces

En caso de que $ G $ sea un dominio medible de Jordan en el espacio $ mathbf R _ ^ $ y $ phi $ también son continuamente diferenciables en el cierre $ overline $ de $ G $ en $ mathbf R ^ $, se tiene la siguiente fórmula para la sustitución de variables en la integral de una función $ f $ que es integrable en $ Gamma = phi (G) $:

$ etiqueta <1> int límites _ < phi (G)> f (x) dx = int límites _ f ( phi (t)) | J (t) | dt, $

donde $ J (t) $ es el jacobiano del mapeo $ phi $.

El significado geométrico de la integral de Riemann múltiple de una función de $ n $ variables está conectado con el concepto de la medida de Jordan $ (n + 1) $ - dimensional $ mu _ $: Si $ f $ es integrable en un conjunto $ E subset mathbf R _ ^ $, $ f (x) geq 0 $ en $ E $ y si

$ etiqueta <2> int límites _ f (x) dx = mu _ ( A). PS

Una integral de Lebesgue múltiple es la integral de Lebesgue de una función de varias variables. La definición se basa en el concepto de la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano de $ n $ - dimensional. Una integral de Lebesgue múltiple se puede reducir a una integral repetida (ver el teorema de Fubini). Para mapeos uno a uno continuamente diferenciables de dominios, se cumple la fórmula (1) para la sustitución de variables, así como la fórmula (2), que transmite el significado geométrico de la integral de Lebesgue múltiple, con $ mu _ $ ahora se interpreta como la medida de Lebesgue dimensional $ (n + 1) $.

El concepto de integral múltiple se traslada a funciones integrables en un subconjunto $ A $ del producto $ X times Y $ de dos conjuntos $ X $ y $ Y $, en cada uno de los cuales un $ sigma $ - finito completo no -medida negativa, $ mu _ $ y $ mu _ $, respectivamente, se ha dado en esta situación, la integración sobre $ A $ implica la medida $ mu $ que es el producto de $ mu _ $ y $ mu _ $.

Para funciones de varias variables, también se tiene el concepto de integral múltiple impropia (ver Integral impropia). El concepto de integral múltiple también se aplica a integrales indefinidas de funciones de varias variables: Una integral múltiple indefinida es una función de conjunto

$ F (E) = int límites _ f (x) dx, $

donde $ E $ es un conjunto medible. Por ejemplo, si $ f $ es integrable de Lebesgue en algún conjunto, entonces es la derivada simétrica de su integral indefinida $ F (E) $ casi en todas partes en ese conjunto. En este sentido (en analogía con el caso de funciones de una variable), la evaluación de una integral indefinida es la operación inversa a la diferenciación de funciones de conjunto.


Blog de Symbolab

En la publicación anterior cubrimos la sustitución, pero la sustitución no siempre es sencilla, por ejemplo, integrales que involucran potencias de funciones trigonométricas. Primero necesitamos transformar la función en una forma más adecuada para la sustitución. Podemos hacer eso usando alguna manipulación e identidades trigonométricas básicas (le mostraremos todos los trucos).

Aquí cubriremos integrales de la forma sin ^ n (x) cos ^ m (x).

  • Si n es impar, elimine sin (x), use la identidad sin ^ 2 (x) = 1- cos ^ 2 (x) y sustituya u = cos (x)
  • Si m es impar, saca cos (x), usa la identidad cos ^ 2 (x) = 1- sin ^ 2 (x) y sustituye u = sin (x)
  • Si tanto n como m son impares, use n o m
  • Si tanto n como m son pares, use una de las identidades de medio ángulo:
    • sin ^ 2 (x) = frac <1- cos (2x)>
    • cos ^ 2 (x) = frac <1+ cos (2x)>
    • sin (x) cos (x) = frac

    Veamos & # 8217s cómo funciona, comenzando con un ejemplo donde m es impar (haga clic aquí):

    A partir de aquí, simplemente aplique la regla de la suma y reemplace.


    Aquí & # 8217s otro ejemplo donde n es impar (haga clic aquí):


    Un ejemplo más en el que n y m son pares (haga clic aquí):

    En el próximo post continuaremos con integrales que involucran potencias de bronceado y sec.


    Por qué es posible que deba calcular la integral

    Los científicos intentan expresar todos los fenómenos físicos en forma de fórmula matemática. Tan pronto como tengamos una fórmula, ya podrá contar cualquier cosa con ella. Y la integral es una de las principales herramientas para trabajar con funciones.

    Por ejemplo, si tenemos una fórmula circular, podemos usar la integral para calcular su área. Si tenemos la fórmula de una pelota, entonces podemos calcular su volumen. A través de la integración, encuentran energía, trabajo, presión, masa, carga eléctrica y muchas otras cantidades.

    Our online integrals calculator with a detailed solution will help you calculate integrals and antiderivatives of functions online - for free! Using a calculator is easy.


    Probability integral

    which is the so-called Gaussian probability integral. For a random variable $ X $ having the normal distribution with mathematical expectation 0 and variance $ sigma ^ <2>$, the probability that $ | X | leq t $ is equal to $ mathop < m erf>( t / sqrt 2 ) $. For real $ x $, the probability integral takes real values in particular,

    The graph of the probability integral and its derivatives are illustrated in the figure. Regarded as a function of the complex variable $ z $, the probability integral $ mathop < m erf>( z) $ is an entire function of $ z $.

    The asymptotic representation for large $ z $, $ mathop < m Re>z > 0 $, is given by:

    In a neighbourhood of $ z = 0 $ the probability integral can be represented by the series

    The probability integral is related to the Fresnel integrals $ C ( z) $ and $ S ( z) $ by the formulas

    $ 1+ frac <2> mathop < m erf>left ( 1- frac z ight ) = C ( z) + i S ( z) , $

    $ 1- frac <2>mathop < m erf>left ( 1+ frac z ight ) = C ( z) - i S ( z) . PS

    The derivative of the probability integral is given by:

    The following notations are sometimes used:

    $ Theta ( x) = H ( x) = Phi ( x) = mathop < m erf>( x) , $

    $ mathop < m Erfi>( x) = - i frac <2>mathop < m erf>( i x ) = intlimits _ < 0 >^ < x >e ^ > d t , $

    $ mathop < m Erfc>( x) = frac <2>- mathop < m Erf>x = intlimits _ < x >^ infty e ^ <- t ^ <2>> d t , $

    $ alpha ( x) = frac<2> intlimits _ <- infty >^ < x >e ^ <- t ^ <2>> d t - 1 = frac <2>pi mathop < m Erf>left ( frac ight ) . PS

    Referencias

    [1] H. Bateman (ed.) A. Erdélyi (ed.) et al. (ed.) , Higher transcendental functions , 2. Bessel functions, parabolic cylinder functions, orthogonal polynomials , McGraw-Hill (1953)
    [2] E. Jahnke, F. Emde, "Tables of functions with formulae and curves" , Dover, reprint (1945) (Translated from German)
    [3] A. Krazer, W. Franz, "Transzendente Funktionen" , Akademie Verlag (1960)
    [4] N.N. Lebedev, "Special functions and their applications" , Prentice-Hall (1965) (Translated from Russian)

    Comentarios

    The series representation of the probability integral around $ z= 0 $ takes the form of a confluent hypergeometric function:


    Triple Integrals



    A series of free Calculus Video Lessons.
    How to evaluate and use a triple integral?

    Evaluating a Triple Integral

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    Input Arguments

    Fun — Integrand function handle

    Integrand, specified as a function handle, defines the function to be integrated over the region xmin ≤ x ≤ xmax , ymin ( x ) ≤ y ≤ ymax ( x ), and zmin ( x,y ) ≤ z ≤ zmax ( x,y ). The function fun must accept three arrays of the same size and return an array of corresponding values. It must perform element-wise operations.

    Data Types: function_handle

    Xmin — Lower limit of X real number

    Lower limit of X, specified as a real scalar value that is either finite or infinite.

    Data Types: double | single

    Xmax — Upper limit of X real number

    Upper limit of X, specified as a real scalar value that is either finite or infinite.

    Data Types: double | single

    Ymin — Lower limit of y real number | function handle

    Lower limit of y, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify ymin to be a function handle (a function of X) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | single

    Ymax — Upper limit of y real number | function handle

    Upper limit of y, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify ymax to be a function handle (a function of X) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | single

    Zmin — Lower limit of z real number | function handle

    Lower limit of z, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify zmin to be a function handle (a function of X,y) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | single

    Zmax — Upper limit of z real number | function handle

    Upper limit of z, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify zmax to be a function handle (a function of X,y) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | single

    Name-Value Pair Arguments

    Specify optional comma-separated pairs of Name,Value arguments. Name is the argument name and Value is the corresponding value. Name must appear inside quotes. You can specify several name and value pair arguments in any order as Name1,Value1. NameN,ValueN .

    Ejemplo: 'AbsTol',1e-12 sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

    'AbsTol' — Absolute error tolerance nonnegative real number

    Absolute error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'AbsTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the absolute error tolerance to limit an estimate of the absolute error, |qQ|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more decimal places of precision if you decrease the absolute error tolerance. The default value is 1e-10 .

    AbsTol and RelTol work together. integral3 might satisfy the absolute error tolerance or the relative error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

    Ejemplo: 'AbsTol',1e-12 sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

    Data Types: double | single

    'RelTol' — Relative error tolerance nonnegative real number

    Relative error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'RelTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the relative error tolerance to limit an estimate of the relative error, |qQ|/|Q|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more significant digits of precision if you decrease the relative error tolerance. The default value is 1e-6 .

    RelTol and AbsTol work together. integral3 might satisfy the relative error tolerance or the absolute error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

    Ejemplo: 'RelTol',1e-9 sets the relative error tolerance to approximately 9 significant digits.

    Data Types: double | single

    'Method' — Integration method 'auto' (default) | 'tiled' | 'iterated'

    Integration method, specified as the comma-separated pair consisting of 'Method' and one of the methods described below.

    Integration MethodDescripción
    'auto' For most cases, integral3 uses the 'tiled' method. It uses the 'iterated' method when any of the integration limits are infinite. This is the default method.
    'tiled' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'tiled' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) .
    'iterated' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'iterated' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) . The integration limits can be infinite.

    Ejemplo: 'Method','tiled' specifies the tiled integration method.

    Data Types: char | string

    The integral3 function attempts to satisfy:

    The 'iterated' method can be more effective when your function has discontinuities within the integration region. However, the best performance and accuracy occurs when you split the integral at the points of discontinuity and sum the results of multiple integrations.

    When integrating over nonrectangular regions, the best performance and accuracy occurs when any or all of the limits: ymin , ymax , zmin , zmax are function handles. Avoid setting integrand function values to zero to integrate over a nonrectangular region. If you must do this, specify 'iterated' method.

    Use the 'iterated' method when any or all of the limits: ymin(x) , ymax(x) , zmin(x,y) , zmax(x,y) are unbounded functions.

    When paramaterizing anonymous functions, be aware that parameter values persist for the life of the function handle. For example, the function fun = @(x,y,z) x + y + z + a uses the value of a at the time fun was created. If you later decide to change the value of a , you must redefine the anonymous function with the new value.

    If you are specifying single-precision limits of integration, or if fun returns single-precision results, you may need to specify larger absolute and relative error tolerances.

    To solve 4-D and higher order integrals, you can nest calls to integral , integral2 , and integral3 . Another option is to use the integralN function on the MATLAB ® File Exchange, which solves integrals of orders 4 - 6.


    Prerequisite: Math 4A or Math 4AI with a minimum grade of C.
    First and second order differential equations, separation of variables, linear differential equations, systems of first order equations, nonlinear differential equations and stability.

    Math 6A is the first quarter of a two quarter sequence in vector calculus. The text is Vector Calculus by M. Lovric. The course covers the following sections of the book.

    1. Calculus of Functions of Several Variables

    2. Vector-Valued Functions of One Variable

    3. Scalar and Vector Fields

    4. Integration along paths

    5. Double and triple integrals

    6. Integration over surfaces, properties, and applications of integrals

    7. Classical integration theorems of vector calculus


    Input Arguments

    Fun — Integrand function handle

    Integrand, specified as a function handle, defines the function to be integrated over the region xmin ≤ x ≤ xmax , ymin ( x ) ≤ y ≤ ymax ( x ), and zmin ( x,y ) ≤ z ≤ zmax ( x,y ). The function fun must accept three arrays of the same size and return an array of corresponding values. It must perform element-wise operations.

    Data Types: function_handle

    Xmin — Lower limit of X real number

    Lower limit of X, specified as a real scalar value that is either finite or infinite.

    Data Types: double | single

    Xmax — Upper limit of X real number

    Upper limit of X, specified as a real scalar value that is either finite or infinite.

    Data Types: double | single

    Ymin — Lower limit of y real number | function handle

    Lower limit of y, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify ymin to be a function handle (a function of X) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | single

    Ymax — Upper limit of y real number | function handle

    Upper limit of y, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify ymax to be a function handle (a function of X) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | single

    Zmin — Lower limit of z real number | function handle

    Lower limit of z, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify zmin to be a function handle (a function of X,y) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | single

    Zmax — Upper limit of z real number | function handle

    Upper limit of z, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify zmax to be a function handle (a function of X,y) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | single

    Name-Value Pair Arguments

    Specify optional comma-separated pairs of Name,Value arguments. Name is the argument name and Value is the corresponding value. Name must appear inside quotes. You can specify several name and value pair arguments in any order as Name1,Value1. NameN,ValueN .

    Ejemplo: 'AbsTol',1e-12 sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

    'AbsTol' — Absolute error tolerance nonnegative real number

    Absolute error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'AbsTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the absolute error tolerance to limit an estimate of the absolute error, |qQ|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more decimal places of precision if you decrease the absolute error tolerance. The default value is 1e-10 .

    AbsTol and RelTol work together. integral3 might satisfy the absolute error tolerance or the relative error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

    Ejemplo: 'AbsTol',1e-12 sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

    Data Types: double | single

    'RelTol' — Relative error tolerance nonnegative real number

    Relative error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'RelTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the relative error tolerance to limit an estimate of the relative error, |qQ|/|Q|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more significant digits of precision if you decrease the relative error tolerance. The default value is 1e-6 .

    RelTol and AbsTol work together. integral3 might satisfy the relative error tolerance or the absolute error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

    Ejemplo: 'RelTol',1e-9 sets the relative error tolerance to approximately 9 significant digits.

    Data Types: double | single

    'Method' — Integration method 'auto' (default) | 'tiled' | 'iterated'

    Integration method, specified as the comma-separated pair consisting of 'Method' and one of the methods described below.

    Integration MethodDescripción
    'auto' For most cases, integral3 uses the 'tiled' method. It uses the 'iterated' method when any of the integration limits are infinite. This is the default method.
    'tiled' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'tiled' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) .
    'iterated' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'iterated' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) . The integration limits can be infinite.

    Ejemplo: 'Method','tiled' specifies the tiled integration method.

    Data Types: char | string

    The integral3 function attempts to satisfy:

    The 'iterated' method can be more effective when your function has discontinuities within the integration region. However, the best performance and accuracy occurs when you split the integral at the points of discontinuity and sum the results of multiple integrations.

    When integrating over nonrectangular regions, the best performance and accuracy occurs when any or all of the limits: ymin , ymax , zmin , zmax are function handles. Avoid setting integrand function values to zero to integrate over a nonrectangular region. If you must do this, specify 'iterated' method.

    Use the 'iterated' method when any or all of the limits: ymin(x) , ymax(x) , zmin(x,y) , zmax(x,y) are unbounded functions.

    When paramaterizing anonymous functions, be aware that parameter values persist for the life of the function handle. For example, the function fun = @(x,y,z) x + y + z + a uses the value of a at the time fun was created. If you later decide to change the value of a , you must redefine the anonymous function with the new value.

    If you are specifying single-precision limits of integration, or if fun returns single-precision results, you may need to specify larger absolute and relative error tolerances.

    To solve 4-D and higher order integrals, you can nest calls to integral , integral2 , and integral3 . Another option is to use the integralN function on the MATLAB ® File Exchange, which solves integrals of orders 4 - 6.


    Does a triple integral map to a fourth dimension?

    Ok, so I like having a conceptual foundation to mathematical concepts, but I can't come up with one for triple integrals. For single integrals, your domain is a line and each infinitesimal segment of the line maps to a second dimension, effectively creating an area. for double integrals, your domain (input) is an infinitesimal area, and this area maps up to a third dimension effectively creating a volume. However, with triple integrals your domain is a infinitesimal slice of volume. What does this volume "map up" to? I think that it needs to map to a fourth dimension, and this could be like volume mapping to a density function in order to determine the mass of the object. My friend however thinks that triple integrals represent a volume.

    The problem I have with this is that the input to a triple integral is a volume, so doesn't this have to map to another dimension?

    ** just to specify, I understand that if you do the triple integral of (1)dxdydz that would give you a volume, just like taking the double integral of (1)dxdy gives you an area (your actually getting a volume of 'height' one which means the volume has the same magnitude as the area, although the units wouldn't be the same


    Ver el vídeo: : Triple Integrals (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Samuzil

    inicialmente adivinado ..

  2. Faeran

    Puedo recomendar.

  3. Fercos

    Gracias por la ayuda de esta pregunta. Todo simplemente genial.



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