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6.4: Trabajo - Matemáticas

6.4: Trabajo - Matemáticas


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Objetivos de aprendizaje

En esta sección, nos esforzamos por comprender las ideas generadas por las siguientes preguntas importantes:

  • ¿Cómo medimos el trabajo realizado por una fuerza variable que mueve un objeto una cierta distancia?
  • ¿Cuál es la fuerza total que ejerce el agua contra una presa?
  • ¿En qué se parecen los conceptos anteriores y su uso correspondiente de integrales definidas a los problemas que hemos encontrado en el pasado que involucran fórmulas como “la distancia es igual a la velocidad por el tiempo” y “la masa es igual a la densidad por el volumen”?

En nuestro trabajo hasta la fecha con la integral definida, hemos visto varias circunstancias diferentes en las que la integral nos permite medir la acumulación de una cantidad que varía, siempre que la cantidad sea aproximadamente constante en pequeños intervalos. Por ejemplo, basado en el hecho de que el área de un rectángulo es (A = l cdot w, ) si deseamos encontrar el área delimitada por una curva no negativa (y = f (x) ) y la (x ) - eje en un intervalo ([a, b] ), un segmento representativo de ancho ( Delta x ) tiene un área (A _ { text {segmento}} = f (x) Delta x ), y por lo tanto, cuando dejamos que el ancho del corte representativo tienda a cero, encontramos que el área exacta de la región es

[A = int ^ b_a f (x) dx. ]

De manera similar, si sabemos que la velocidad de un objeto en movimiento está dada por la función (y = v (t) ), y deseamos saber la distancia que recorre el objeto en un intervalo ([a, b ] ) donde (v (t) ) no es negativo, podemos usar una integral definida para generalizar el hecho de que (d = r cdot t ) cuando la tasa, (r ), es constante. Más específicamente, en un intervalo de tiempo corto ( Delta t ), (v (t) ) es aproximadamente constante y, por lo tanto, durante un pequeño intervalo de tiempo, (d _ { text {slice}} = v ( t) Delta t ), y como el ancho del intervalo de tiempo ( Delta t ) tiende a cero, la distancia exacta recorrida viene dada por la integral definida

[d = int ^ b_a v (t) dt. ]

Finalmente, cuando aprendimos recientemente sobre la masa de un objeto de densidad no constante, vimos que desde (M = D cdot V ) (la masa es igual a la densidad multiplicada por el volumen, siempre que la densidad sea constante), si podemos considerar una pequeña porción de un objeto en el que la densidad es aproximadamente constante, se puede usar una integral definida para determinar la masa exacta del objeto. Por ejemplo, si tenemos una varilla delgada cuyas secciones transversales tienen densidad constante, pero cuya densidad se distribuye a lo largo del eje (x ) de acuerdo con la función (y = rho (x) ), se sigue que para un pequeña rebanada de la barra que es ( Delta x ) de espesor, (M _ { text {rebanada}} = rho (x) Delta x ). En el límite como ( Delta x rightarrow 0 ), encontramos que la masa total está dada por

[M = int ^ b_a rho (x) dx. ]

Tenga en cuenta que estas tres situaciones son similares en que tenemos una regla básica ( (A = l · w, d = r · t, M = D · V )) donde una de las dos cantidades que se multiplican ya no es constante; en cada uno, consideramos un intervalo pequeño para la otra variable en la fórmula, calculamos el valor aproximado de la cantidad deseada (área, distancia o masa) sobre el intervalo pequeño y luego usamos una integral definida para sumar los resultados como la longitud de los intervalos pequeños se permite que se acerque a cero. Debería ser evidente que este enfoque funcionará eficazmente para otras situaciones en las que tenemos una cantidad de interés que varía. Pasamos ahora a la noción de trabajo: desde la física, un principio básico es que el trabajo es el producto de la fuerza y ​​la distancia. Por ejemplo, si una persona ejerce una fuerza de 20 libras para levantar un peso de 20 libras a 4 pies del suelo, el trabajo total realizado es

[ begin {align} W & = F · d [4pt] & = 20 · 4 [4pt] & = 80 text {pie-libras}. end {align} ]

Si la fuerza y ​​la distancia se miden en unidades inglesas (libras y pies), entonces las unidades de trabajo son lb-pie. Si, en cambio, trabajamos en unidades métricas, donde las fuerzas se miden en Newtons y las distancias en metros, las unidades de trabajo son Newton-metros.

Figura 6.14: Tres configuraciones en las que calculamos la acumulación de una cantidad variable: el área bajo (y = f (x) ), la distancia recorrida por un objeto con velocidad (y = v (t) ) y la masa de un barra con función de densidad (y = rho (x) ).

Por supuesto, la fórmula (W = F cdot d ) solo se aplica cuando la fuerza es constante mientras se ejerce sobre la distancia (d ). En la Actividad preliminar 6.4, exploramos una forma en que podemos usar una integral definida para calcular el trabajo total realizado cuando varía la fuerza ejercida.

Actividad de vista previa ( PageIndex {1} )

Se está levantando un balde del fondo de un pozo de 50 pies de profundidad; su peso (incluido el agua), (B ), en libras a una altura (h ) pies sobre el agua está dado por la función (B (h) ). Cuando el balde sale del agua, el balde y el agua juntos pesan (B (0) = 20 ) libras, y cuando el balde llega a la parte superior del pozo, (B (50) = 12 ) libras. Suponga que el balde pierde agua a un ritmo constante (en función de la altura, (h )) a lo largo de su recorrido desde el fondo hasta la parte superior del pozo.

  1. Encuentra una fórmula para (B (h) ).
  2. Calcule el valor del producto (B (5) Delta h ), donde ( Delta h = 2 ) pies. Incluya unidades en su respuesta. Explica por qué este producto representa el trabajo aproximado que tomó mover el balde de agua de (h = 5 ) a (h = 7 ).
  3. ¿Es el valor en (b) una sobreestimación o subestimación de la cantidad real de trabajo que se necesitó para mover el balde de (h = 5 ) a (h = 7 )? ¿Por qué?
  4. Calcule el valor del producto (B (22) Delta h ), donde ( Delta h = 0.25 ) pies. ¿Cuál es el significado del valor que encontró?
  5. De manera más general, ¿qué mide la cantidad (W _ { text {slice}} = B (h) Delta h ) para un valor dado de (h ) y un pequeño valor positivo de ( Delta h )?
  6. Evalúa la integral definida ( int ^ 50_0 B (h) dh ). ¿Cuál es el significado del valor que encuentra? ¿Por qué?

Trabaja

Dado que el trabajo se calcula mediante la regla (W = F cdot d ), siempre que la fuerza (F ) sea constante, se deduce que podemos usar una integral definida para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable. Por ejemplo, suponga que en un escenario similar al problema planteado en la Actividad preliminar 6.4, tenemos un balde que se levanta en un pozo de 50 pies cuyo peso a la altura h viene dado por

[B (h) = 12 + 8e ^ {- 0,1 h}. ]

A diferencia del problema en la actividad de vista previa, este depósito no tiene fugas a un ritmo constante; pero debido a que el peso del balde y el agua no es constante, tenemos que usar una integral definida para determinar el trabajo total que resulta de levantar el balde. Observe que a una altura (h ) sobre el agua, el trabajo aproximado para mover el balde una pequeña distancia ( Delta h ) es

[W _ { text {sector}} = B (h) Delta h = (12 + 8e ^ {- 0.1h}) Delta h. ]

Por lo tanto, si dejamos que ( Delta h ) tienda a 0 y tomamos la suma de todos los segmentos de trabajo realizados en estos pequeños intervalos, se deduce que el trabajo total está dado por

[W = int ^ {50} _0 B (h) dh = int ^ {50} _0 (12 + 8e ^ {- 0.1h}) dh. ]

Si bien es un ejercicio sencillo evaluar esta integral usando exactamente el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, en entornos aplicados como este usualmente usaremos tecnología informática para encontrar aproximaciones precisas de integrales que nos interesen. Aquí, resulta que

[W = int ^ {50} _0 (12 + 8e ^ {- 0.1h}) dh approx 679.461 , text {pie-libras}. ]

Nuestro trabajo en la Actividad de vista previa 6.1 y en el ejemplo más reciente anterior emplea el siguiente principio general importante.

Para un objeto que se mueve en la dirección positiva a lo largo de un eje, (x ), por una fuerza (F (x) ), el trabajo total para mover el objeto de (a ) a (b ) es dado por

[W = int ^ b_a F (x) dx. ]

Actividad ( PageIndex {1} )

Considere las siguientes situaciones en las que una fuerza variable realiza el trabajo.

  1. Suponga que una cuerda pesada cuelga del lado de un acantilado. La cuerda mide 200 pies de largo y pesa 0.3 libras por pie; inicialmente la cuerda está completamente extendida. ¿Cuánto trabajo se requiere para arrastrar toda la longitud de la cuerda? (Sugerencia: configure una función (F (h) ) cuyo valor sea el peso de la cuerda que queda sobre el acantilado después de que se hayan izado sus pies.)
  2. Se está sacando un balde con fugas de un pozo de 30 metros de profundidad. Cuando se levanta del agua, el balde y el agua juntos pesan 40 libras. A medida que el balde se arrastra hacia arriba a un ritmo constante, el balde pierde agua a un ritmo constante, de modo que pierde peso a un ritmo de 0,1 libras por pie. ¿Qué función (B (h) ) indica el peso del balde después de que se ha levantado (h ) pies? ¿Cuál es la cantidad total de trabajo realizado para levantar el balde hasta la parte superior del pozo?
  3. Ahora suponga que el balde en (b) no tiene fugas a una tasa constante, sino que su peso a una altura (h ) pies sobre el agua está dado por (B (h) = 25 + 15e ^ {- 0,05 h} ). ¿Cuál es el trabajo total requerido para levantar el balde 100 pies? ¿Cuál es la fuerza promedio ejercida sobre el balde en el intervalo (h = 0 ) a (h = 100 )?
  4. De la física, Ley de Hooke para resortes establece que la cantidad de fuerza requerida para sostener un resorte que está comprimido (o extendido) a una longitud particular es proporcional a la distancia que el resorte está comprimido (o extendido) de su longitud natural. Es decir, la fuerza para comprimir (o extender) un resorte (x ) unidades de su longitud natural es (F (x) = kx ) para alguna constante (k ) (que se llama la constante del resorte. ) Para los resortes, elegimos medir la fuerza en libras y la distancia a la que se comprime el resorte en pies. Suponga que una fuerza de 5 libras extiende un resorte particular 4 pulgadas (1/3 pie) más allá de su longitud natural.
    1. Usa el hecho dado de que (F (1/3) = 5 ) para encontrar la constante de resorte (k ).
    2. Encuentre el trabajo realizado para extender el resorte de su longitud natural a 1 pie más allá de su longitud natural.
    3. Encuentre el trabajo necesario para extender el resorte desde 1 pie más allá de su longitud natural hasta 1,5 pies más allá de su longitud natural.

Trabajo: Bombeo de líquido desde un tanque

En determinadas ubicaciones geográficas donde el nivel freático es alto, las viviendas residenciales con sótano tienen una característica peculiar: en el sótano se encuentra un gran agujero en el suelo y en el agujero hay agua. Por ejemplo, en la Figura 6.15 donde vemos un cántaro de sumidero.

Figura 6.15: Una vasija de sumidero. Crédito de la imagen para www.warreninspect.com/basement-moisture.

Esencialmente, una vasija de sumidero proporciona una salida para el agua que se puede acumular debajo del piso del sótano; por supuesto, a medida que sube el agua, es imperativo que el agua no inunde el sótano. Por lo tanto, en la vasija vemos la presencia de una bomba flotante que se asienta en la superficie del agua: esta bomba se activa por elevación, por lo que cuando el nivel del agua alcanza una altura particular, la bomba se enciende y bombea una cierta porción del agua. agua de la vasija, aliviando así la acumulación de agua debajo de la base. Una de las preguntas que nos gustaría responder es: ¿cuánto trabajo realiza una bomba de sumidero? Con ese fin, supongamos que tenemos una vasija de sumidero que tiene la forma de un tronco de cono, como se muestra en la figura 6.16. Suponga que la vasija tiene un diámetro de 3 pies en su superficie, un diámetro de 1.5 pies en su base y una profundidad de 4 pies. Además, suponga que la bomba de sumidero está configurada de modo que bombee el agua verticalmente por una tubería hasta un desagüe que se encuentra a nivel del suelo justo afuera de una ventana del sótano. Para lograr esto, la bomba debe enviar el agua a una ubicación a 9 pies por encima de la superficie de la vasija del sumidero.

Figura 6.16: Una vasija de sumidero con secciones transversales aproximadamente cilíndricas que tiene 4 pies de profundidad, 1,5 pies de diámetro en su base y 3 pies de diámetro en su parte superior.

Resulta ventajoso pensar que la profundidad debajo de la superficie de la vasija es la variable independiente, por lo que, en problemas como este, normalmente dejamos que el eje positivo (x ) apunte hacia abajo y el positivo (y ) - eje a la derecha, como se muestra en la figura. Al pensar en el trabajo que realiza la bomba, primero nos damos cuenta de que la bomba se asienta sobre la superficie del agua, por lo que tiene sentido pensar en la bomba moviendo el agua una "rebanada" a la vez, donde se necesita una fina rebanada de la superficie, la bombea fuera del tanque y luego procede a bombear la siguiente rebanada a continuación. Para la vasija de sumidero descrita en este ejemplo, cada rebanada de agua tiene forma cilíndrica. Vemos que el radio de cada corte aproximadamente cilíndrico varía según la función lineal (y = f (x) ) que pasa por los puntos (0, 1.5) y (4, 0.75), donde (x ) es la profundidad del corte en particular en el tanque; es un ejercicio sencillo encontrar que (f (x) = 1.5 - 0.1875x ). Ahora estamos preparados para pensar en el problema general en varios pasos:

  1. determinar el volumen de una rebanada típica;
  2. hallar el peso (asumimos que la densidad de peso del agua es 62,4 libras por pie cúbico) de una rebanada típica (y, por lo tanto, la fuerza que se debe ejercer sobre ella)
  3. decidir la distancia que se mueve un corte típico; y
  4. calcular el trabajo para mover una porción representativa. Una vez que conocemos el trabajo que se necesita para mover una rebanada, usamos una integral definida en un intervalo apropiado para encontrar el trabajo total.

Considere una rebanada cilíndrica representativa que se asienta sobre la superficie del agua a una profundidad de (x ) pies por debajo de la parte superior de la vasija. De ello se deduce que el volumen aproximado de esa rebanada viene dado por

(V _ { text {segmento}} = pi f (x) ^ 2 Delta x = pi (1.5-0.1875x) ^ 2 Delta x ).

Dado que el agua pesa 62,4 lb / pie3, se deduce que el peso aproximado de una rebanada representativa, que también es la fuerza aproximada que debe ejercer la bomba para mover la rebanada, es

(F _ { text {sector}} = 62,4 cdot V _ { text {sector}} = 62,4 pi (1,5-0,1875x) ^ 2 Delta x ).

Debido a que la rebanada está ubicada a una profundidad de (x ) pies por debajo de la parte superior de la vasija, la rebanada que mueve la bomba debe moverse (x ) pies para llegar al nivel del piso del sótano, y luego, como se indica en la descripción del problema, muévase otros 9 pies para llegar al desagüe a nivel del suelo fuera de una ventana del sótano. Por tanto, la distancia total que recorre un segmento representativo es

(d _ { text {sector}} = x + 9 ).

Finalmente, observamos que el trabajo para mover un segmento representativo viene dado por

(W _ { text {sector}} = F _ { text {sector}} · d _ { text {sector}} = 62,4π (1,5 - 0,1875x) ^ 2 Delta x · (x + 9) ) ,

ya que la fuerza para mover un corte en particular es constante. Sumamos el trabajo requerido para mover rebanadas por todo el tanque (de (x = 0 ) a (x = 4 )), sea ( Delta x rightarrow 0 ), y por lo tanto

(W = int ^ 4_0 62.4π (1.5 - 0.1875x) ^ 2 (x + 9) dx ),

lo cual, cuando se evalúa usando tecnología apropiada, muestra que el trabajo total es (W = 10970.5 pi ) pie-libras.

El ejemplo anterior demuestra el enfoque estándar para encontrar el trabajo requerido para vaciar un tanque lleno de líquido. La tarea principal en cada uno de estos problemas es determinar el volumen de una rebanada representativa, seguido de la fuerza ejercida sobre la rebanada, así como la distancia que se mueve dicha rebanada. En el caso de que las unidades sean métricas, hay una diferencia clave: en la configuración métrica, en lugar del peso, normalmente encontramos primero la masa de una rebanada. Por ejemplo, si la distancia se mide en metros, la densidad másica del agua es 1000 kg / m3 . En ese entorno, podemos encontrar la masa de una rebanada típica (en kg). Para determinar la fuerza requerida para moverlo, usamos F = ma, donde m es la masa del objeto y a es la constante gravitacional 9.81 N / kg3 . Es decir, en unidades métricas, la densidad de peso del agua es 9810 N / m3 .

Actividad ( PageIndex {2} )

En cada uno de los siguientes problemas, determine el trabajo total requerido para realizar la tarea descrita. En los incisos (b) y (c), un paso clave es encontrar una fórmula para una función que describa la curva que forma el límite lateral del tanque.

Figura 6.17: Un comedero con extremos triangulares, como se describe en la Actividad 6.11, parte (c).

  1. Considere un tanque cilíndrico vertical de 2 metros de radio y 6 metros de profundidad. Suponga que el tanque se llena con 4 metros de agua con una densidad de masa de 1000 kg / m3 , y el metro de agua superior se bombea sobre la parte superior del tanque.
  2. Considere un tanque hemisférico con un radio de 10 pies. Suponga que el tanque está lleno a una profundidad de 7 pies con agua con una densidad de peso de 62.4 libras / pie.3, y los 5 pies superiores de agua se bombean fuera del tanque a un camión cisterna cuya altura es 5 pies por encima de la parte superior del tanque.
  3. Considere un comedero con extremos triangulares, como se muestra en la Figura 6.17, donde el tanque mide 10 pies de largo, la parte superior mide 5 pies de ancho y el tanque tiene 4 pies de profundidad. Digamos que el comedero está lleno hasta 1 pie de la parte superior con agua con una densidad de peso de 62.4 libras / pie3, y se usa una bomba para vaciar el tanque hasta que el agua que queda en el tanque tenga 1 pie de profundidad.

Fuerza debida a la presión hidrostática

Cuando se construye una presa, es imperativo que los ingenieros comprendan cuánta fuerza ejercerá el agua contra el frente de la presa. Lo primero que nos damos cuenta es que la fuerza que ejerce el fluido está relacionada con el concepto natural de presión. La presión que ejerce una fuerza sobre una región se mide en unidades de fuerza por unidad de área: por ejemplo, la presión del aire en un neumático a menudo se mide en libras por pulgada cuadrada (PSI). Por tanto, vemos que la relación general está dada por

(P = dfrac {F} {A} ), o (F = P cdot A ),

donde P representa la presión, F representa la fuerza y ​​A el área de la región que se está considerando. Por supuesto, en la ecuación F = PA, asumimos que la presión es constante en toda la región A.

La mayoría de la gente sabe por experiencia que cuanto más profundo uno se sumerge bajo el agua mientras nada, mayor es la presión que ejerce el agua. Esto se debe al hecho de que cuanto más profundo se sumerge, más agua hay justo encima del nadador: es la fuerza que ejerce la “columna” de agua la que determina la presión que experimenta el nadador. Para medir la presión del agua en sus unidades estándar (libras por pie cuadrado), decimos que la presión total del agua se calcula calculando el peso total de la columna de agua que se encuentra sobre una región de un área de 1 pie cuadrado a una profundidad fija. Tal columna rectangular con una base de 1 × 1 y una profundidad de d pies tiene un volumen V = 1 · 1 · d pies3y, por tanto, el peso correspondiente del agua por encima de la cabeza es 62,4 d. Dado que esta es también la cantidad de fuerza que se ejerce en una región de 1 pie cuadrado a una profundidad de d pies bajo el agua, vemos que P = 62.4d (lbs / ft2) es la presión que ejerce el agua a la profundidad d.

El entendimiento de que P = 62.4d nos dirá la presión ejercida por el agua a una profundidad de d, junto con el hecho de que F = PA, ahora nos permitirá calcular la fuerza total que el agua ejerce sobre una presa, como vemos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Considere una presa en forma de trapecio que tiene 60 pies de ancho en su base y 90 pies de ancho en su parte superior, y suponga que la presa tiene 25 pies de altura con agua que se eleva a 5 pies de la parte superior de su cara. El agua pesa 62,5 libras por pie cúbico. ¿Cuánta fuerza ejerce el agua contra la presa?

Solución

Primero, dibujamos una imagen de la presa, como se muestra en la Figura 6.18. Tenga en cuenta que, como en los problemas que involucran el trabajo para bombear un tanque, dejamos que el eje x positivo apunte hacia abajo.
Es esencial aprovechar el hecho de que la presión es constante a una profundidad fija. Por lo tanto, consideramos una rodaja de agua a profundidad constante en la cara, como la que se muestra en la figura. Primero, el área aproximada de este corte es el área del rectángulo ilustrado. Dado que el ancho de ese rectángulo depende de la variable (x ) (que representa qué tan lejos se encuentra el corte de la parte superior de la presa), encontramos una fórmula para la función (y = f (x) ) que determina un lado de la cara de la presa. Dado que (f ) es lineal, es sencillo encontrar que (y = f (x) = 45 - dfrac {3} {5} x ). Por lo tanto, el área aproximada de un corte representativo es

(A _ { text {sector}} = 2f (x) Delta x = 2 (45- dfrac {3} {5} x) Delta x ).

En cualquier punto de este corte, la profundidad es aproximadamente constante y, por lo tanto, la presión puede considerarse constante. En particular, observamos que dado que (x ) mide la distancia hasta la parte superior de la presa, y debido a que el agua se eleva a menos de 5 pies de la parte superior de la presa, la profundidad de cualquier punto en el corte representativo es aproximadamente ((x - 5) ). Ahora, desde la presión

Figura 6.18: Una presa trapezoidal que mide 25 pies de alto, 60 pies de ancho en su base, 90 pies de ancho en su parte superior, con la línea de agua a 5 pies hacia abajo desde la parte superior de su cara.

está dada por (P = 62.4d ), tenemos que en cualquier punto de la rebanada representativa

(P _ { text {sector}} = 62,4 (x - 5) ).

Conociendo tanto la presión como el área, podemos encontrar la fuerza que ejerce el agua sobre la rodaja. Usando (F = PA ), se sigue que

(F _ { text {sector}} = P _ { text {sector}} · A _ { text {sector}} = 62,4 (x - 5) · 2 (45 - dfrac {3} {5} x) Delta x ).

Finalmente, usamos una integral definida para sumar las fuerzas en el rango apropiado de valores (x ). Dado que el agua sube a menos de 5 pies de la parte superior de la presa, comenzamos en (x = 5 ) y cortamos hasta el fondo de la presa, donde (x = 30 ). Por eso,

(F = int ^ {x = 30} _ {x = 5} 62,4 (x-5) cdot2 (45- dfrac {3} {5} x) dx ).

Usando tecnología para evaluar la integral, encontramos F ≈ 1.248 × 106 libras.

Actividad ( PageIndex {4} )

En cada uno de los siguientes problemas, determine la fuerza total que ejerce el agua contra la superficie que se describe.

  1. Considere una presa rectangular de 100 pies de ancho y 50 pies de alto, y suponga que el agua presiona contra la presa hasta arriba.
  2. Considere una presa semicircular con un radio de 30 pies. Suponga que el agua sube a menos de 10 pies de la parte superior de la presa.
  3. Considere un comedero con extremos triangulares, como se muestra en la Figura 6.17, donde el tanque mide 10 pies de largo, la parte superior mide 5 pies de ancho y el tanque tiene 4 pies de profundidad. Digamos que el comedero está lleno hasta 1 pie de la parte superior con agua con una densidad de peso de 62.4 libras / pie3. ¿Cuánta fuerza ejerce el agua contra uno de los extremos triangulares?

Si bien hay muchas fórmulas diferentes que usamos para resolver problemas que involucran trabajo, fuerza y ​​presión, es importante entender que las ideas fundamentales detrás de estos problemas son similares a varias otras que hemos encontrado en aplicaciones de la integral definida. En particular, la idea básica es tomar un problema difícil y de alguna manera dividirlo en partes más manejables que comprendamos, y luego usar una integral definida para sumar estas partes más simples.

Resumen

En esta sección, encontramos las siguientes ideas importantes:

  • Para medir el trabajo realizado por una fuerza variable que mueve un objeto, subdividimos el problema en partes en las que podemos usar la fórmula W = F · d, y luego usamos una integral definida para sumar el trabajo realizado en cada pieza.
  • Para encontrar la fuerza total ejercida por el agua contra una presa, usamos la fórmula F = P · A para medir la fuerza ejercida sobre un corte que se encuentra a una profundidad fija, y luego usamos una integral definida para sumar las fuerzas en el rango apropiado de profundidades.
  • Debido a que el trabajo se calcula como el producto de la fuerza y ​​la distancia (siempre que la fuerza sea constante), y la fuerza que ejerce el agua sobre una presa se puede calcular como el producto de la presión y el área (siempre que la presión sea constante), los problemas que involucran estos conceptos son similares a Problemas anteriores que hicimos usando integrales definidas para encontrar la distancia (a través de “la distancia es igual a la velocidad por el tiempo”) y la masa (“la masa es igual a la densidad por el volumen”).

Lección 4

En esta lección, los estudiantes consolidan sus habilidades para escribir y resolver ecuaciones. En la primera actividad resuelven una variedad de ecuaciones con diferentes estructuras, y en la segunda trabajan para relacionar ecuaciones con situaciones y resolverlas. Los estudiantes pueden elegir cualquier estrategia para resolver ecuaciones, incluso dibujar diagramas para razonar sobre cantidades desconocidas, observar la estructura de la ecuación o hacer lo mismo con cada lado de la ecuación. Eligen herramientas y estrategias eficientes para problemas específicos. Esto ayudará a los estudiantes a desarrollar flexibilidad y fluidez al escribir y resolver ecuaciones.

Metas de aprendizaje

Resolvamos ecuaciones haciendo lo mismo con cada lado.

Objetivos de aprendizaje

Estándares CCSS

Entradas del glosario

Un coeficiente es un número que se multiplica por una variable.

Por ejemplo, en la expresión (3x + 5 ), el coeficiente de (x ) es 3. En la expresión (y + 5 ), el coeficiente de (y ) es 1, porque ( y = 1 boldcdot y ).

Una solución a una ecuación es un número que se puede usar en lugar de la variable para hacer que la ecuación sea verdadera.

Por ejemplo, 7 es la solución de la ecuación (m + 1 = 8 ), porque es cierto que (7 + 1 = 8 ). La solución de (m + 1 = 8 ) no es 9, porque (9 + 1 ne 8 ).

Una variable es una letra que representa un número. Puede elegir diferentes números para el valor de la variable.

Por ejemplo, en la expresión (10-x ), la variable es (x ). Si el valor de (x ) es 3, entonces (10-x = 7 ), porque (10-3 = 7 ). Si el valor de (x ) es 6, entonces (10-x = 4 ), porque (10-6 = 4 ).

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Recursos adicionales

IM 6–8 Math fue desarrollado originalmente por Open Up Resources y escrito por Illustrative Mathematics®, y tiene derechos de autor 2017-2019 de Open Up Resources. Tiene licencia de Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0). El plan de estudios de matemáticas 6–8 de OUR está disponible en https://openupresources.org/math-curriculum/.

Las adaptaciones y actualizaciones de IM 6–8 Math tienen copyright 2019 de Illustrative Mathematics y están autorizadas bajo la licencia internacional Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

Las adaptaciones para agregar apoyos adicionales para el aprendizaje del idioma inglés tienen derechos de autor de 2019 de Open Up Resources y tienen licencia de Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

El segundo conjunto de evaluaciones de inglés (marcado como conjunto "B") tiene copyright 2019 de Open Up Resources, y tiene licencia de Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

La traducción al español de las evaluaciones "B" tiene derechos de autor 2020 de Illustrative Mathematics y está autorizada bajo la Licencia Internacional Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

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Fracciones EZ: suma, resta, multiplicación y división de fracciones

Descripción: EZ Fractions es un popular taller de fracciones que permite a los estudiantes realizar operaciones con fracciones en un entorno simplificado que les ayuda a cambiar el nombre, reducir, multiplicar o encontrar LCM y GCF. Personalizable! Esto es similar a nuestro Taller de fracciones, pero a algunos usuarios les gusta más el formato.

Descripción: Estos programas innovadores permiten a los estudiantes trabajar de manera interactiva con el programa para resolver problemas matemáticos. Los programas guían a los estudiantes a través de los problemas matemáticos paso a paso, desglosando operaciones largas de división, ecuaciones y fracciones en una serie de problemas matemáticos secuenciados y más simples como en una entrevista. Estos funcionan en todas las computadoras y tabletas.

Multiplication Pal - Simulación de multiplicación en línea

Descripción: Esta asombrosa herramienta permite a los estudiantes completar una multiplicación pequeña o grande, paso a paso, en un formato de entrevista. ¡Los estudiantes incluso pueden ingresar su propio problema! Esto es algo que se debe probar.

Estándares CC: 4.NBT.B.5, 4.NBT.B.6

Descripción: Equation Pal es un gran programa que permite a los estudiantes resolver ecuaciones paso a paso en un formato de & quot entrevista & quot. Vea el video instructivo de esta actividad para obtener más información.

Taller ampliado de notación

Descripción: Este divertido taller permite a los estudiantes practicar el concepto de notación estándar. Es completamente personalizable y los estudiantes pueden elegir entre el modo de demostración o el modo de juego. Puede incluir o excluir decimales.

Descripción: Math Machine es una herramienta VISUAL para enseñar suma, resta, multiplicación, fracciones, división o valor posicional. ¡Los estudiantes reciben el poder de girar ruedas que determinan los números en los problemas! Vea el video instructivo para obtener más información.

Estándares CC: 1.OA.A.1, 1.OA.A.2, 1.OA.B.3, 1.OA.C.5, 1.OA.C.6, 2.OA.A.1 , 2.OA.B.2, 2.OA.C.3, 2.OA.C.4, 2.NBT.A.1, 2.NBT.B.5, 3.OA.A.1, 3 .OA.A.2, 3.OA.C.7, 3.NF.A.3

Taller de medición - Online

Descripción: Measurement Workshop es un gran programa para estudiantes de todos los niveles de grado. En el modo "construir", los usuarios construyen ciudades a partir de reglas métricas o imperiales (estándar) que se pueden cambiar de tamaño, colorear y arrastrar por el escenario para formar una ciudad gobernante. En este modo, los usuarios pueden comparar la relación entre pulgadas y centímetros. En el "modo de juego", el programa forma aleatoriamente la ciudad y los usuarios deben determinar la longitud de cada edificio en pulgadas o centímetros. Los usuarios pueden elegir entre cuatro niveles de habilidad de medición diferentes: números enteros (donde & quot; edificios & quot miden en pulgadas o centímetros a números enteros), números enteros y mitades (donde & quot; edificios & quot miden en pulgadas o centímetros a números enteros o números enteros y mitades, decimales (donde & quot; edificios & quot miden en pulgadas o centímetros a decimales) y fracciones (donde & quot; edificios & quot miden en pulgadas o centímetros a fracciones).

Estándares CC: 2.MD.A.1, 2.MD.A.2, 2.MD.A.3, 2.MD.A.4

Taller de valor posicional: en línea

Descripción: En el taller de valor posicional, los estudiantes pueden explorar el concepto de valor posicional de tres formas diferentes. En primer lugar, en el modo "jugar", los estudiantes tienen cinco minutos para construir tantos números como sea posible utilizando los bloques de base 10 en línea. El juego comienza usando números básicos pero progresa a decenas, cientos e incluso miles. Los puntos están determinados por el tamaño del número construido. En el modo de práctica, los usuarios acumulan números de la misma manera que en el modo de juego, pero sin temporizador ni puntuación. En el modo & quot; construir & quot, los estudiantes pueden hacer imágenes de valor posicional. A medida que agreguen bloques de base diez a su imagen, verán aumentar el valor de su imagen.

Estándares CC: 1.NBT.A.1, 1.NBT.B.2, 2.NBT.A.1, 2.NBT.A.3

Description: This awesome resource allows students to explore an interactive clock. Students can change from numbers to roman numerals, can change time zones, can track elapsed time. Backgrounds change as students manipulate time. Students can also make schedules and play an interactive game with different levels where they adjust the hands on the clock to randomly generated times.

Decimals Workshop - Online

Description: This innovative program allows students to perform decimals calculations in addition, subtraction, multiplication, and division. The program is totally customizable and allows users to select the number of problems and the numbers of digits before or after the decimal in each problem. It also provides a drag and drop, decimal-friendly work space

CC Standards: 5.NBT.A.3, 5.NBT.B.7, 6.NS.B.3

Fraction Workshop - Online

Description: Fraction Workshop is an amazing drag and drop application that allows students to complete any kind of fraction operation in an online stage with tools to help them. Fraction workshop allows users to practice ordering, reducing, adding, subtracting, multiplying, and dividing fractions and mixed numbers. Our drag and drop system makes ordering and organizing numbers easy. Choose the number of problems to practice, the specific skill to practice and click “begin”. Work the problem on the stage and drag and drop the correct numbers to the answer box. The system will indicate immediately whether or not your answer is correct. Printout a score summary when you are finished. Students can use the calculator tool or the visualize tool to help them work on the problems. The visualize tool turns the particular math problem into a picture. This helps students to better “see” the problem.


Work Formula

Work is the result when a force acts on an object and moves it by some distance. Sometimes, the direction an object moves is not the same as the direction of the force. In that case, only the component of the force that acts in the direction of the movement causes work to be done. The work formula includes the cosine of the angle between the force and distance for this reason. If the force and movement are in the same direction, than the angle is equal to 0 radianes (or 0°). The cosine of zero is: cos0 = 1. The units of work are Joules (J), where 1 J = 1 N∙m = 1 kg∙m 2 /s 2 .

work = force x distance×cosine(the angle between force and movement directions)

θ = the angle between the force direction and movement direction

1) A tractor pulled a wagon full of hay a distance of 1000 metro. The force exerted on the wagon to move it that distance was 12 000 N. The force acted in the same direction as the movement. Find how much work was done by the tractor to pull the wagon.

Answer: The force and the movement were in the same direction, so the angle between them is 0°. The work can be found using the formula:

W = (12 000 N)(1000 metro)

W = 12 000 000 N∙metro

The work done by the tractor to move the wagon the given distance was 12 000 000 J, which can also be stated as mega-Joules: 12.0 METROJ.

2) A man is pushing a lawn mower across his yard. The force he is applying to the handle of the lawn mower is angled down, 60.0° from the horizontal plane. This force has a magnitude of 900 N. If he pushes the lawn mower 30.0 metro, how much work has been done to move the mower?

Answer: The force is at an angle of 60.0° with respect to the movement. The work can be found using the formula:

W = (900 N)(30.0 metro)(0.5)

The work done while moving the lawn mower the given distance was 13 500 J.


Ordered Pair - Definition with Examples

An ordered pair is a composition of the x coordinate (abscissa) and the y coordinate (ordinate), having two values written in a fixed order within parentheses.

It helps to locate a point on the Cartesian plane for better visual comprehension.

The numeric values in an ordered pair can be integers or fractions.

Where, x = abscissa, the distance measure of a point from the primary axis &ldquox&rdquo

And, y = ordinate, the distance measure of a point from the secondary axis &ldquoy&rdquo

In the Cartesian plane, we define a two-dimensional space with two perpendicular reference lines, namely x-axis and y-axis. The point where the two lines meet at &ldquo0&rdquo is the origin.

To comprehend it better, let&rsquos take an example. Plot the point &ldquoP&rdquo with coordinates 6, 4.

As per the definition of ordered pair, the point P will be written as:

  • P = (6, 4)
  • The first number in the ordered pair shows the distance from &ldquox" axis which is 6
  • The second number in the ordered pair shows the distance from &ldquoy" axis which is 4

To mark the point on the Cartesian plane, start from the origin. Take 6 steps towards the &ldquox&rdquo axis (towards right) starting from the origin. From here, take 4 steps towards the &ldquoy&rdquo axis (upwards).

As the name &ldquoordered pair&rdquo suggests, the order in which values are written in a pair is very important. The ordered pair (6, 4) is different from the pair (4, 6). Both represent two different points as shown below.


Lesson 4

The table shows values of the expressions (10x^2) and (2^x) .

Predict which expression will have a greater value when:

Find the value of each expression when (x) is 8, 10, and 12.

Make an observation about how the values of the two expressions change as (x) becomes greater and greater.

Solución

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Problema 2

Function (f) is defined by (f(x)=1.5^x) . Function (g) is defined by (g(x)=500x^2 + 345x) .

  1. Which function is quadratic? Which one is exponential?
  2. The values of which function will eventually be greater for larger and larger values of (x) ?

Solución

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Problema 3

Create a table of values to show that the exponential expression (3(2)^x) eventually overtakes the quadratic expression (3x^2+2x) .

Solución

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Problema 4

The table shows the values of (4^x) and (100x^2) for some values of (x) .

Use the patterns in the table to explain why eventually the values of the exponential expression (4^x) will overtake the values of the quadratic expression (100x^2) .

Solución

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Problema 5

Here is a pattern of shapes. The area of each small square is 1 sq cm.

Expandir imagen

  1. What is the area of the shape in Step 10?
  2. What is the area of the shape in Step (n) ?
  3. Explain how you see the pattern growing.

Solución

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Problema 6

A bicycle costs $240 and it loses (frac<3><5>) of its value each year.

  1. Write expressions for the value of the bicycle, in dollars, after 1, 2, and 3 years.
  2. When will the bike be worth less than $ 1?
  3. Will the value of the bike ever be 0? Explica tu razonamiento.

Solución

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Problema 7

A farmer plants wheat and corn. It costs about $150 per acre to plant wheat and about $350 per acre to plant corn. The farmer plans to spend no more than $250,000 planting wheat and corn. The total area of corn and wheat that the farmer plans to plant is less than 1200 acres.

Expandir imagen

Description: <p><strong>Inequality graphed on a coordinate plane, origin O. Horizontal axis from 20 to 2000 by 500’s, acres of wheat. Vertical axis from 0 to 1000 by 500’s, acres of corn. Dashed line passes through 0 comma 70, 500 comma 500 and 1200 comma 200. The region below the dashed line is shaded.</strong></p>

This graph represents the inequality, (150w + 350c leq 250,!000) , which describes the cost constraint in this situation. Let (w) represent the number of acres of wheat and (c) represent the number of acres of corn.

The inequality, (w + c < 1,!200) represents the total area constraint in this situation. On the same coordinate plane, graph the solution to the inequality you wrote.

Use the graphs to find at least two possible combinations of the number of acres of wheat and the number of acres of corn that the farmer could plant.

The combination of 400 acres of wheat and 700 acres of corn meets one constraint in the situation but not the other constraint. Which constraint does this meet? Explica tu razonamiento.

Solución

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To figure out the tip, you need to find 20% of $52.60. $0.2 imes 52.6 = 10.52$ You should leave $10.52 for the waiter if you want to leave him exactly 20%.

To figure the tax, you need to find 8% of $52.60. $0.08 imes 52.6 = 4.208$ Next, add them up: $52.6 + 10.52 + 4.208 = 67.328$ The total bill, including tax and tip, will be $67.33.

Solution: Estimating an answer

If you are not concerned whether you give the waiter exactly 20%, you can simply estimate the total bill. Tax and tip together are a little less than 30% and the bill is a little more than $50. Since 30% of 50 is 15, the tax and tip together are approximately $15. (Note that the exact calculation is $14.73.)

We can also estimate the total bill as $52 + $15 = $67, which is very close to the exact calculation of $67.33. This kind of estimating is a good way to check the answer to an exact calculation, and more like the way you would probably compute tax and a tip in a real restaurant.

Solution: Exact tax, approximate tip

In a real-world context, restaurant patrons generally estimate the tip, but pay the exact tax based on the calculation of their bill. Therefore, a third solution possibility is for students to estimate the tip portion of the calculations and to find the exact tax when calculating the total bill.

If you wish to estimate the tip, you can round $52.60 to $50. Twenty percent of $50 is $10. So, you would leave a $10 tip.

To figure tax, you need to find 8% of $52.60: $0.08 imes 52.6 = 4.208.$ Next, add the estimated tip, the calculated tax, and the pre-tax bill: $52.60 + 10 + 4.208 = 66.808.$ The total bill will be $66.81.


6.4: Work - Mathematics

If it is 3 o'clock and we add 5 hours to the time that will put us at 8 o'clock, so we could write 3 + 5 = 8. But if it is 11 o'clock and we add 5 hours the time will be 4 o'clock, so we should write 11 + 5 = 4 . Now everyone knows that 11 + 5 is really 16, but there is no 16 on the clock (unless you're in the military . "Sargent, have your squad fall in at the mess hall at 16 hundred hours! Yes, Sir!"). Every time we go past 12 on the clock we start counting the hours at 1 again. If we add numbers the way we add hours on the clock, we say that we are doing clock arithmetic. So, in clock arithmetic 8 + 6 = 2, because 6 hours after 8 o'clock is 2 o'clock.

Use clock arithmetic to add these numbers:

The 12 hour clock that we are so familiar with is very old. The ancient Babylonians gave us the idea of breaking up time into 12 hours for half a day. There really isn't anything very special about the number 12, the Babylonians could have picked another number, like 10, and if they had our clocks would look like this:

We can do clock arithmetic on this kind of clock too! This time, 8 + 4 = 2 because if we start at 8 and move ahead 4 hours we would be at 2 on this clock.

Use clock arithmetic on a 10 hour clock to add these numbers:

We could make our clocks with any number of hours and do clock arithmetic with them. We can also do subtraction. On a clock with 5 hours, 2 - 3 = 4 because if we start at 2 o'clock and move backwards 3 hours we would be at 4 o'clock. Draw your own picture of a 5 hour clock to see that this is true.

Use clock arithmetic on a 5 hour clock to find these numbers:

It could be very embarassing if we were doing clock arithmetic and someone looked at our work and, thinking that we were doing regular arithmetic, said, "Oh no! Most of your answers are wrong!" In order to prevent that from happening, we write clock arithmetic expressions in a special way. If we wanted to write that 4 + 3 = 1 on a 6 hour clock, we would write (4 + 3) mod 6 = 1. The "mod 6" tells us that we are doing clock arithmetic on a 6 hour clock. "Mod" is shorthand for the word "modulus" which is a fancy word for saying how long you have to go before starting over again. So, we would write some of our earlier work this way: (11 + 5) mod 12 = 4, (8 + 4) mod 10 = 2 and (2 - 3) mod 5 = 4.

Find these numbers

You may have noticed in some of the problems that when you go all the way around the clock exactly once you end up just where you started. Like, (5 + 7) mod 7 = 5 and (4 - 8) mod 8 = 4. In regular arithmetic, there is only one number that you could add or subtract from another number and leave that other number unchanged . 0 of course! In clock arithmetic, going around the clock a whole number of times has the same effect as doing nothing! So, if we had a 6 hour clock, adding or subtracting 6 is the same as adding or subtracting 0. For this reason, we usually write 0 for the number of hours in the clock and change the way the clock looks so that instead of having the number of hours in the clock at the top, we put a 0 there and think of the clock as starting there instead of ending there. So, our 10 hour clock would look like this:

  • (3 + 5) mod 8 = 0
  • (2 - 2) mod 7 = 0 (Now doesn't that look much better than 2 - 2 = 7 ?)
  • (6 + 18) mod 8 = 0

When Judy gets to the right side of the screen and keeps walking, she disappears and reappears on the left side of the screen again. If the screen is 18 inches wide and we are keeping track of how far Judy is from the left side of the screen, then as soon as she is 18 inches from the left side it's as if she were back at the beginning again . but this is just doing clock arithmetic with an 18 hour clock! The people who make these games have to use clock arithmetic to control where the images appear on the screen, and they will have to use different kinds of clocks for different kinds of screens. If you want to find out more about clock arithmetic, click here. Here are the answers to the first set of questions


6.4: Work - Mathematics

Has your child come home with something similar to a problem stating: Write the fact family for 5, 13, 8 with no examples in sight? Well, this article is for parents who have to help their children with Fact Family homework. Let’s look at an example:

8 + 5 = 13
5 + 8 = 13
13 – 8 = 5
13 – 5 = 8

Generally, the word family means certain people are related. Likewise, fact family implies that certain numbers and facts are related.

For starters, they are only three numbers in each family. In the above fact family, the members are 5, 8, and 13.

How are they related?
*** You can add two of the numbers together to get the third number.
8 + 5 = 13
*** You can switch the order of the two numbers added above to equal the third number again. In math, this is referred to as the commutative property of addition.
5 + 8 = 13

Cousin Operators or Operands
*** Just as your sister/brother’s children are your children’s cousins, addition is related to subtraction via the term inverse property. Subtraction is the inverse property of addition. In other words, subtraction is the opposite of addition. We can undo the work of addition by subtracting. This is very important to remember for problem solving.

How to get the last two math facts of the family . . .
So far we’ve recreated 8 + 5 = 13 and 5 + 8 = 13
Since we know the inverse (opposite) of addition is subtraction, start with the sum (or the larger number), 13, and subtract one of the addends. 13 – 8 = 5 Of course, your answer is the third number. In this case, the answer is 5. Thus the next fact would be, 13 – 5 = 8.

Usefulness:
Consider this word problem:

Susan had 5 pencils. Her grandmother gave her more pencils for her collection. Susan now has 13 pencils. How many pencils did Susan’s grandmother give her?

If a student has an understanding of fact family concept, he/she could rebuild the family.
You know that Susan started out with 5 pencils and ended up with 13 pencils. Thus, you know two of the family members. They are 5 and 13. In math language that translates,
5 pencils + ____ more pencils = 13 pencils or 5 + ? = 13


Let’s look at the fact family again.

5 + ? = 13
? + 5 = 13
13 – 5 = ?
13 - ? = 5

Which equation above would give me the value of ‘?” ? Answer: The third equation. Hey, we just need to subtract 5 from 13 to learn that her grandmother gave her 8 pencils.

If your child did not know their addition and subtraction facts well, teaching them concept would definitely help.

What about Multiplication and Division?
Yes, there related. Division is the inverse property of Multiplication. Thus, the same principle applies. Study the example below.

6 x 4 = 24
4 x 6 = 24
24 / 6 = 4
24/ 4 = 6

Practice:
Let’s use dominoes to practice with addition and subtraction.

Weeks Class Dates Reading Tarea Homework Due Date Week 1 Jan 20, 22 1.1, 1.2

1.1: 8, 12, 18, 24 // 1.2: 4,14, 16, 30 Jan 26 Tue Week 2 Jan 25, 27, 29 1.3, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8

1.3: 2, 12, 14, 24 // 1.4: 4, 8, 12 // 1.5: 10, 12, 16 // 1.7: 6, 18 // 1.8: 2, 4

Feb 2 Tue Week 3 Feb 1, 3, 5 1.9, 2.1, 2.2 1.9: 2, 6, 18 // 2.1: 2, 4, 6, 10, 20 // 2.2: 2, 8, 10, 14, 32 Feb 9 Tue Week 4 Feb 8, 10 2.3, 3.1, 3.2, 3.3, 2.3: 4, 6, 8, 20 // 3.1: 10, 12, 14 // 3.2: 8, 22, 26 // 3.3: 6, 14 Feb 16 Tue Feb 12 Fri Midterm I (covers Chapters 1-3) solución Week 5 Feb 17, 19 4.1, 4.2 4.1: 2, 6, 8, 12, 30 // 4.2: 4, 12, 16, 20, 24, 26 Feb 23 Tue Week 6 Feb 22, 24, 26 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 4.3: 14, 20, 22// 4.4: 8, 10, 14 // 4.5: 6, 14, 20 // 4.6: 4, 6, 18 Mar 1 Tue Mar 1 Tue Quiz 1 (covers 4.1-4.6) Week 7 Feb 29, Mar 2,4 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 5.1: 4, 16, 22(a)(b)(d)(e) // 5.2: 14, 16, 20, 22 // 5.3: 4, 10, 18, 22 // 5.4: 6, 16 Mar 8 Tue Week 8 Mar 7, 9, 11 6.1, 6.2, 6.3 6.1: 10, 14, 20, 24 // 6.2: 10, 12, 14, 24 // 6.3: 4, 8, 14, 22 Mar 15 Tue Week 9 Mar 14, 18 6.4, 6.5 6.4: 4, 12, 16, 18 // 6.5: 4, 5, 10, 18, 19 Mar 29 Tue Mar 16 Wed Midterm II (covers 4.1-6.4) solución In the following, all sections except 7.1 are in Part Two of the textbook. Week 10 Mar 28,30, Apr 1 7.1, 4.2 7.1: 14, 20, 26, 28 // 4.2: 2, 14, 28, 38, 44 Apr 5 Tue Week 11 Apr 4, 6, 8 4.3, 4.4 4.3: 6, 20, 22, 26 // 4.4: 12, 14, 16, 26, 28, 30, 32, 34 Apr 12 Tue Apr 12 Tue Quiz 2 (covers (Part One: 6.5, 7.1) and (Part Two: 4.2, 4.3, 4.4)) Week 12 Apr 11, 13, 15 4.5, 4.6, 6.1 4.5: 2, 8, 18, 20, 30 // 4.6: 4, 10, 12 // 6.1: 16, 20, 22 Apr 19 Tue Week 13 Apr 18, 20, 22 6.2, 9.1, 9.4 6.2: 2, 14, 18, 20 // 9.1: 6, 8, 12 // 9.4: 8, 12, 20, 24 Apr 26 Tue Week 14 Apr 25, 27, 29 9.5, 9.6, 9.8 9.5: 12, 16, 26 // 9.6: 2, 6, 8 // 9.8: 8, 10 Ask GSI May 10 Tue Final (3:10pm-5:10pm, 1 Pimentel Hall) (sample) (solution of sample)


Ver el vídeo: Math 401 - Work cone problem (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Mentor

    La vida es un giro después de la muerte; el tonto es el que se pasa de la raya.

  2. Shacage

    Gracias, ¿también me gustaría algo que puedas ayudar?

  3. Chigaru

    Que curioso es. :)



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