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5.4.E: Problemas sobre funciones complejas y con valores vectoriales en (E ^ {1} ) - Matemáticas


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Haga el caso (g ^ { prime} (r) = + infty ) en el Lema 1.
[Sugerencia: demuestre que hay (s> r ) con
[
g (x) -g (r) geq left ( left | f ^ { prime} (r) right | +1 right) (x-r) geq | f (x) -f (r) | text {para} x in (r, s).
]
( text {Tales} x text {son "buenas"}] )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Haga el caso (r = p_ {n} in Q ) en Lema (1. )
[Sugerencia: demuestre por continuidad que hay (s> r ) tal que (( forall x in (r, s)) )
[
| f (x) -f (r) | < frac { varepsilon} {2 ^ {n + 1}} text {y} | g (x) -g (r) | < frac { varepsilon} {2 ^ {n + 1}}.
]
Demuestre que todos esos (x ) son "buenos" ya que (x> r = p_ {n} ) implica
[
left.2 ^ {- n} + Q (r) leq Q (x). quad ( text {¿Por qué?}) right]
]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Demuestre que el Corolario 3 en §2 (de ahí también el Teorema 2 en §2) falla para funciones complejas.
( left. text {[Sugerencia: Sea} f (x) = e ^ {xi} = cos x + i cdot sin x. text {Verifique que} left | f ^ { prime} right | = 1 text {todavía} f (2 pi) -f (0) = 0. right] )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

(i) Verifique que todas las proposiciones de §4 sean válidas también si (f ^ { prime} ) y (g ^ { prime} ) son solo derivadas rectas en (I-Q ).
(ii) Haga lo mismo con las derivadas izquierdas. (Ver nota 2 a pie de página).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

(i) Demuestre que si (f: E ^ {1} rightarrow E ) es continuo y finito en (I = (a, b) ) y diferenciable en (I-Q, ) y si
[
sup _ {t in I-Q} left | f ^ { prime} (t) right | <+ infty,
]
entonces (f ) es uniformemente continua en (I ).
(ii) Además, si (E ) está completo ( left ( mathrm {e}. g., E = E ^ {n} right), ) entonces (f left (a ^ { +} right) ) y (f left (b ^ {-} right) ) existen y son finitos.
( text {[Sugerencias: (i) Use el Corolario 1. (ii) Vea la "sugerencia" del Problema 11 (iii) del Capítulo} 4, §8.] )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Demuestre que si (f ) es como en el Teorema (2, ) con (f ^ { prime} geq 0 ) en (IQ ) y (f ^ { prime}> 0 ) en algún (p en I, ) entonces (f (a)

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Sea (f, g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) relativamente continuo en (I = [a, b] ) y tenga derivadas derechas (f _ {+} ^ { prime } ) y (g _ {+} ^ { prime} ) (finito o infinito, pero no ambos infinitos) en (IQ ).
(i) Demuestre que si
[
m g _ {+} ^ { prime} leq f _ {+} ^ { prime} leq M g _ {+} ^ { prime} text {on} I-Q
]
para algunos fijos (m, M en E ^ {1}, ) entonces
[
m [g (b) -g (a)] leq f (b) -f (a) leq M [g (b) -g (a)].
]
( text {[Sugerencia: aplique el teorema} 2 text {y el problema} 4 text {a cada uno de} M g-f text {y} f-m g.] )
(ii) Por lo tanto, pruebe que
[
m_ {0} (b-a) leq f (b) -f (a) leq M_ {0} (b-a),
]
dónde
[
m_ {0} = inf f _ {+} ^ { prime} [IQ] text {y} M_ {0} = sup f _ {+} ^ { prime} [IQ] text {in} E ^ {*}.
]
( left. text {[Sugerencia: Tome} g (x) = x text {if} m_ {0} in E ^ {1} text {o} M_ {0} in E ^ {1 }. text {El} text {el caso infinito es simple.} right] )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

(i) Sea (f: (a, b) rightarrow E ) finito, continuo, con una derivada derecha en ((a, b). ) Demuestre que (q = lim _ {x flecha derecha a ^ {+}} f _ {+} ^ { prime} (x) ) existe (finito) iff
[
q = lim _ {x, y rightarrow a ^ {+}} frac {f (x) -f (y)} {x-y},
]
es decir, iff
[
( forall varepsilon> 0) ( existe c> a) ( forall x, y in (a, c) | x neq y) quad left | frac {f (x) -f (y )} {xy} -q right | < varepsilon.
]
[Sugerencias: si es así, deje (y rightarrow x ^ {+} ) (manteniendo (x ) fijo) para obtener
[
( forall x in (a, c)) quad left | f _ {+} ^ { prime} (x) -q right | leq varepsilon. quad text {(¿Por qué?)}
]
Por el contrario, si ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f _ {+} ^ { prime} (x) = q, ) entonces
[
( forall varepsilon> 0) ( existe c> a) ( forall t in (a, c)) quad left | f _ {+} ^ { prime} (t) -q right | < varepsilon.
]
Poner
[
M = sup _ {a ]
y
(h (t) = f (t) -t q, quad t in (a, b) ).
Aplique el Corolario 1 y el Problema 4 a (h ) en el intervalo ([x, y] subseteq (a, c), ) para obtener
[
| f (y) -f (x) - (y-x) q | leq M (y-x) leq varepsilon (y-x).
]
Continuar.]
(ii) Demuestre afirmaciones similares para los casos (q = pm infty ) y (x rightarrow b ^ {-} ). ( text {[Sugerencia: En caso de que} q = pm infty, text {use el Problema} 7 ​​text {(ii) en lugar del Corolario} 1.] )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Del problema 8 deduzca que si (f ) es como se indica y si (f _ {+} ^ { prime} ) se deja continuo en algún (p in (a, b), ) entonces ( f ) también tiene una derivada izquierda en (p. )
Si (f _ {+} ^ { prime} ) también es continuo a la derecha en (p, ) entonces (f _ {+} ^ { prime} (p) = f _ {-} ^ { prime} (p) = f ^ { prime} (p) ).
( text {[Sugerencia: aplique el problema} 8 text {a} (a, p) text {y} (p, b).] )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

En el problema (8, ) demuestre que si, además, (E ) está completo y si
[
q = lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f _ {+} ^ { prime} (x) neq pm infty quad text {(finito)},
]
entonces (f left (a ^ {+} right) neq pm infty ) existe, y
[
lim _ {x rightarrow a ^ {+}} frac {f (x) -f left (a ^ {+} right)} {x-a} = q;
]
de manera similar en el caso ( lim _ {x rightarrow b ^ {-}} f _ {+} ^ { prime} (x) = r ).
Si ambos existen, establezca (f (a) = f left (a ^ {+} right) ) y (f (b) = f left (b ^ {-} right). ) Mostrar que entonces (f ) se vuelve relativamente continuo en ([a, b], ) con (f _ {+} ^ { prime} (a) = q ) y (f _ {-} ^ { primo} (b) = r ).
[Sugerencia: si
[
lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f _ {+} ^ { prime} (x) = q neq pm infty,
]
entonces (f _ {+} ^ { prime} ) está acotado en algún subintervalo ((a, c), a

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Resuelva el problema 9 en §2 para funciones complejas y con valores vectoriales.
( text {[Sugerencia: use el corolario 1 de} §4.] )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

El problema continuo (7, ) muestra que las igualdades
[
m = frac {f (b) -f (a)} {b-a} = M
]
mantenga si (f ) es lineal, es decir, (f (x) = c x + d ) para algunos (c, d en E ^ {1}, ) y luego (c = m = M. )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Sea (f: E ^ {1} rightarrow C ) como en el Corolario (1, ) con (f neq 0 ) en (I. ) Sea (g ) el real parte de (f ^ { prime} / f. )
(i) Demuestre que (| f | uparrow ) en (I ) iff (g geq 0 ) en (I-Q ).
(ii) Amplíe el problema 4 a este resultado.

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Defina (f: E ^ {1} rightarrow C ) por
[
f (x) = left { begin {array} {ll} {x ^ {2} e ^ {i / x} = x ^ {2} left ( cos frac {1} {x} + i cdot sin frac {1} {x} right)} & { text {if} x> 0, text {and}} {0} & { text {if} x leq 0 .} end {matriz} derecha.
]
Demuestre que (f ) es diferenciable en (I = (- 1,1), ) pero (f ^ { prime} [I] ) no es convexo ( left. Text {set en} E ^ {2} = C text {(por lo tanto, no hay análogo al Teorema} 4 text {of} §2 right). )


Funciones Tau, Grassmannianos y condiciones de rango uno ☆

En los sistemas integrables, específicamente la jerarquía KP, existen funciones conocidas como “funciones tau”, estrechamente relacionadas con los polinomios de Schur en términos de los cuales se escriben a menudo. Aunque generalmente se ven como las soluciones a una colección de PDE no lineales, en esta nota se caracterizarán de manera equivalente por un cuadro cuadrático ecuación diferencial. El teorema de Sato & # x27s asocia funciones tau a los puntos de una variedad de Grassmann. Para aclarar ese asombroso teorema a los no expertos, primero mostraremos un ejemplo análogo (pero de fácil comprensión) de una EDO lineal y su solución a partir de un flujo en el xy-avión. En cada caso, la solución se crea a través de un flujo generado por un determinado operador lineal. La pregunta que planteamos es la siguiente: "¿Qué otro los operadores podrían haberse utilizado para generar soluciones de la misma manera? " Aunque la respuesta es bien conocida en el caso de ODE, la pregunta en el caso no lineal es el resultado principal de nuestro nuevo artículo. Enunciaremos el resultado y discutiremos su relación con la “tendencia” de escribir funciones tau en términos de matrices que satisfacen ciertas condiciones de rango uno. La elucidación de una interpretación geométrica de la ecuación de diferencia bilineal de Hirota (HBDE) es una característica clave de la demostración y se describirá brevemente.

Este artículo es una contribución a las actas de dos sesiones especiales de AMS en la Reunión Conjunta de Matemáticas de 2005 en Atlanta, GA, donde fue presentado como una charla por el segundo autor.


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5.4.E: Problemas sobre funciones complejas y con valores vectoriales en (E ^ {1} ) - Matemáticas

Mayor geometría de diferenciación

- CR Eq. caracterizar funciones analíticas (existencia de amplitwist / compleja derivada f ’)

1) indirecto, geométrico (amplitwist)

2) directo, vía Cálculo (geometría infinitesimal / parciales).

- Hecho geométrico: mapeos analíticos amplitwist infinitesimales cuadrados = & gt CR Eq. Figura 1

(1) pendiente x: recorrido x. ROC (f) = eps. DXF

(2) pendiente y: carrera y. ROC (f) = eps. DyF

Mismo ángulo de 90 0: dy = i dx = & gt dyf = yo dXf (forma compacta CR Eq)

Prueba: escribir en forma cartesiana (Ej.)

- Para obtener el amplitwist, recuerde: dw = f ’dz (vector - & gt vector)

eje x: eps - & gt eps. f ’= eps. DXf por (1) = & gt dXf = f "

eje y: i eps - & gt i eps. f ’= eps. Dyf por (2) = & gt dyf = -i f "

- El CR Eq. son Cart.-Cart. formulario

II Una intimidación a la rigidez

- “Rigidez” de las funciones analíticas: hay una extensión única de una región a otra (continuación analítica), pero si se ciclan, pueden ocurrir múltiples valores (por ejemplo, log z).

- Además (fórmula integral de Cauchy): los valores en una curva cerrada de una función analítica determinan los valores en su interior (ver Fig. 3).

- Ex. Restricciones geométricas "los círculos concéntricos se asignan a líneas horizontales", determinan el tipo de función analítica:

Diferenciación visual de log (z)

- La forma más simple de log (z) es su forma de carro polar:

- Considerar la interpretación amplitwist de la derivada (Fig. 6) implica directamente esta fórmula.

Reglas de diferenciación

- En lugar de "diferenciación visual" (que consume mucho tiempo), podemos utilizar la teoría Calc I:

- Regla de composición y cadena de amplificador (o prod. Amplitwist)

- Funciones inversas (amplitwist inverso)

- Función de potencia (regla de potencia o diferenciación visual)

- Funciones Poly, Rational y Amp Power Series (Calc II)

- Diferenciación de exp (z) (PS o Visual Diff. Integrando E ’= E)

IX Derivadas superiores y curvatura de amplificador (Opc.)

- Milagro: ¡las funciones analíticas son infinitamente diferenciables!

- Función f (z): desplazamiento / campo vectorial

- Derivada f ’(z): amplitwist (comportamiento local)

Segunda derivada y curvatura

Si f (Curva) = Curva ': ¿cómo se ve afectada la curvatura?

es decir, además de un factor de amplificación global del radio de la curvatura "antigua" (R = 1 / K), debido a la amplificación, la "nueva" curvatura tiene una contribución de la derivada logarítmica de la amplificación d / dz log f '( z) (se interpretará más adelante).

- Ejemplo f (z) = e z, k ’= e -x (sin (t) + k), Fig.17

- Recuerde f: curva - & gt curva = & gt k ’= k / | f’ (p) | + término extra

- Incluso si k = 0 (línea), el mapa analítico (flujo) curva la línea, reflejada en el término extra.

- Def. Curvatura compleja K (p) = i 1 /| f ’| conj. [d /dz log f ’(z)] en p

curvatura direccional (curvatura en una dirección T):

- La curvatura de la imagen de esa línea en f (p) es la proyección de K (p) sobre una línea que pasa por p.

- Prop. Dada una curva z (t) = & gt k ’= K.T es la curvatura de f (z (t)), donde T es el vector tangente a la curva z (t) (Fig. 19).

Interpretación de la curvatura compleja

- Considere una “forma” Q en p (cuadro 2D) y sus movimientos en varias direcciones (curvas con vectores tangentes en p).

La curvatura explica el efecto local de f (z) en p, en la forma Q ’= f (Q) (Figura 21): cuando Q se traduce por T:

a) Q ’se traduce por f’ (p) T (efecto de amplitwist)

b) Q ’gira y se expande (Fig. 18)

c) Q ’gira más rápidamente y el tamaño del amplificador permanece constante, cuando Q se mueve en la dirección de K (derivada compleja)

d) Q ’se expande más rápidamente, sin girar, cuando Q se mueve perpendicularmente a K.

Funciones analíticas como flujos

- Aunque los mapas conformes tienen un comportamiento restringido, hay suficientes para cambiar la forma de un dominio sin "agujeros": Teorema de mapeo de Riemann:

(Imagen) w = f (z) "moviendo" un dominio D a D ’

- La libertad de tal "flujo" de una "forma" de D - & gtD ’, son las transformaciones de Mobius (automorfismos del disco unitario: una rotación y amp fiel transitiva en los puntos).

- Los agujeros o puntos faltantes en un dominio juegan el papel de fuentes de dinámica adicional: "cargas" = & gt "fuerzas", radiales ("eléctricas") y rotacionales ("magnéticas").

X Mecánica celeste (opcional)

- Fuerzas centrales F (r) = & gt velocidad de área A es constante = & gt h = 2mA momento angular es constante = & gt órbitas planas.

- Newton descubrió que las órbitas son elípticas si la fuerza central es lineal o cuadrada inversa:

r = & gt la fuerza central está en el centro (péndulo)

1 / r2 = & gt fuerza central en un foco (planetas).

- ¿Por qué? b / c en caso de fuerza lineal z ’’ + z = 0 (movimiento armónico) = & gt z = lin. combin. e it = p e it + q e it (superposición de dos movimientos circulares Fig.22)

Fuerzas duales y amplificador Kasner-Arnold Th.

1 / r 2 elipses Fig.23, y el centro de la primera a un foco de la segunda.

2) Ley de fuerza dual (K-A Th.): Cualquier F (r)

rA hay exactamente una ley de potencia F (r)

rA ’dual al primero, es decir, mapeando las órbitas del primero en las órbitas del segundo bajo z- & gtzm:

3) +/- órbitas de energía positiva - & gt órbitas atractivas en campo dual, energía negativa - & gt repulsivas, excepto para -3 & ltA & lt-1 (0 & ltm & lt1) cuando estos roles se invierten.

- Idea de metodología: las funciones complejas pueden ser vistas como entidades geométricas, que NO necesitan ser expresadas por fórmulas (C-fn. Son transformaciones geométricas localmente, por lo tanto, pertenecen a la Geometría Conformal (Diferencial)).

- La herramienta principal (como beneficio del enfoque anterior): continuación analítica (ampliar funciones definidas por fórmulas).

- Objetivos de este apartado: 1) Hacer “rigidez” de C-fn. más claro 2) El método de Schwartz para encontrar mapeos en regiones más allá de la definición original (a la continuidad analítica a C-fn.).

Ejemplo: serie geométrica (& amp; localización)

- Sea G (z) = 1 + z + z 2 +. Serie de potencia geométrica centrada en z = 0, R = 1, mapas C (01) - & gt Línea (x = ½) (ver también cuadrículas en la Fig.25)

- El círculo es una barrera para la fórmula, pero NO para la entidad geométrica (C-fn .: conforme / flujo libre).

- PS centrado en z = -1: H (z) = ½ [1+ (z + 1) / 2 + ((z + 1) / 2) 2 +. ] es analítico (convergente) en C (-12), es decir, R = 2, Y coincide con G (z) dentro de C (01): H (z) = ½ 1 / (1- (z + 1) / 2) = G (z) (en el dominio común de convergencia).

- Terminología: H (z) es una continuación analítica de G (z).

- Rigidez (loc. Un amplitwist) = & gt ¡El “crecimiento” de G es único!

- Se puede continuar extendiendo G (z) - & gtH (z) - & gt. pero las series de potencia (PS) tienen una limitación incorporada: convergen en un disco, por lo que las extensiones perderán al menos la mitad del plano.

- Por otro lado, el “obj geométrico”, la transformación de Mobius M (z) = 1 / (1-z) se define en todas partes, excepto z = 1: es la continuación analítica completa (o máxima) de G (z ).

- En general, el crecimiento rígido de un mapeo, debido a la analiticidad (expandir una malla de cuadrados diminutos en otra malla de cuadrados diminutos), ignora las diferentes fórmulas, con sus limitaciones.

Rigidez, singularidad e identidades de amplificador

- Si una función analítica asigna un segmento pequeño a un punto = & gt, todo su dominio es

1) unicidad (f = g en un segmento de una curva = & gt f = g en el dominio común)

2) la unicidad de la continuación analítica en una cadena de dominios superpuestos (Fig. 26).

3) Cualquier identidad para funciones reales es válida para extensiones C

- Funciones multivalor ej. log z: a) f (z) = ln r + i t & amp g (z) = ln r + it ’(varios rangos para el ángulo ver Fig.27)

Continuación analítica a través de reflexiones

- Es un método para encontrar continuaciones analíticas, utilizando un principio de simetría debido a H. Schwarz, 1876.

- Usando conjugación (reflexión en el eje del Buey): f * (z) = C (f (C (z))) vea el problema de la Fig. 28: f & amp f * pueden ser diferentes en la superposición.

- Si f es una generalización C = & gt f * concuerda con f en L (Fig.29), entonces se puede continuar analíticamente de un lado de L al otro: F = f U f *

- Esto se puede generalizar a simetrías sobre círculos (involuciones como “reflejos” generalizados usan MT para mapear círculos a líneas): fd (z) = C (f (J (C (z)), J (z) = 1 / z F = fUf d

- Se pueden usar reflexiones más generales, sobre curvas analíticas, usando mapeos analíticos llamados funciones de Schwarz (ver Fig.31)

- Def. Para una curva analítica K, la función de Schwarz de K (Davis & amp Polack 1958) es una función analítica SK (z) tal que:

z en K = & gt SK(z) = C (z) (z conjugado)

- Def. El reflejo de Schwarz en K: RK(z) = C (SK(z)) (Fig.30): K es invariante RK (z) es la reflexión a través de la tangente de K (generalización de una reflexión).

- Casos especiales: K = Línea o Círculo = & gt RK(z) reflexión.

Continuaciones analíticas con Schwarz Reflections SK(z)

- La continuación analítica se define como antes:

F = fUf d, donde f d (z) = RL ’ o f o RL, con L la curva y RL(z) la reflexión a través de K, asociada a la función de Schwarz de K.

- Jacobian, CR Eq., Amplitwist, derivative (reglas de la derivada).

Topología y números de bobinado

- Def. No. de revoluciones de un bucle (orientado) alrededor de un punto: n (L, 0)

- Componentes interiores / exteriores (ilimitados) de C-L (Fig.2)

- Encontrar el número de bobinado:

1) regla de cruce (bucle como el movimiento de una partícula) Fig.3

2) número de intersección: L & amp rayo de p (Fig.4)

- Bucles como asignaciones de la normalización del círculo unitario

Polinomios y el principio del argumento

- Def. puntos p: preimagen de p hasta f (z)

- Principio de argumento Si f (z) es analítico en y sobre un bucle simple C, y N = Sumaq n (Cq) es el número de p-puntos q dentro de C, entonces N = n (f (C), p)

- Nota: el argumento Principio también es válido para mapas continuos (es puramente topológico).

IV Un principio de argumento topológico

- Contar preimágenes de forma algebraica: multiplicidad de ceros (Fig.9) y orden de puntos críticos (multiplicidad algebraica):

multiplicidad de un cero: 0 = f (a) = f ’(a) =. = f (m) (a)

- Representación local como serie de Taylor:

- Interpretación geométrica de la multiplicidad: el número de bobinado en un pequeño círculo alrededor del punto (Fig.10) es independiente de la multiplicidad topológica elegida por el bucle:

n (una) = n (h (Ca), a), donde Ca es un bucle alrededor de a.

¿Qué tiene de especial topológicamente las funciones analíticas?

- Desde un punto de vista geométrico, las funciones analíticas (AF) son más ricas que las funciones continuas (CF):

1) n (a) & gt0 para AF, mientras que para CF n (a) puede ser & lt = 0 ej. anti-analítico h (z) = z *, tiene n (a) = - 1, porque det (Jac.) & lt0 en general: n (a) = sign det (J (a)).

2) Los puntos críticos de AF pueden distinguirse por la multiplicidad topológica que los de CF pueden acumular (ej. F (x + iy) = x-iy 3).

3) n (a) nunca es cero para AF, pero puede desaparecer para CF (vea el siguiente ejemplo).

Un principio de argumento topológico

- Teorema Para una función continua h (z) el número N = || de puntos dentro de C es igual al número de bobinado de h (C) alrededor de p. Es más:

Prueba visual (Fig. 11): deforma C y separa las contribuciones al número de bobinado.

Ejemplo: n (p) & lt0 o 0 para Cont. Fn.

1) h (x + iy) = x + i | y | p complejo continuo, X real.

a) C alrededor de p & amp p * n (p) = 1, n (p *) = - 1, n (C, p) = 0

- Teorema f, g & amp C continuo. Si | g (z) | & lt | f (z) | en C = & gt f + gyf tienen el mismo número de ceros dentro de C.

[No se puede mover una carga sin superar el potencial cuántico]

1) Pasear al perro con la correa, alrededor de un árbol, correspondencia de analogía con las condiciones en la consecuencia del teorema: los números sinuosos coinciden (topológico) Argumento Principio = & gt tienen el mismo número de ceros.

2) Imagen de superficies modulares (tornados unidos).

El teorema fundamental del álgebra

Usando Th de Rouche. probar:

- El teorema fundamental del álgebra:

Prueba. Si f (z) = zn, P (z) = f (z) + g (z) ("cola" del poli), entonces hay un círculo "grande" C (R0), tal que | f (z ) | & gt | g (z) | (tome R & gt 1 + Sum | coeff.).

Luego Th de Rouche. = & gt No ceros (P) = No ceros (f) = n (contando con multiplicidad).

Teorema del punto fijo de Brouwer (arriba).

- Teorema (Brouwer) D = unidad de disco, f: D- & gtD continua = & gt hay un punto fijo f (a) = a.

- La demostración utiliza la teoría de la homotopía (Henri Poincaré: "padre" de la topología algebraica).

- Se puede probar un resultado más débil usando el teorema de Rouche:

Si g (z): D - & gt Int (D) cont. = & gt g tiene al menos un punto fijo y, como mucho, un número finito. Demostración: m (z) = g (z) -z, f (z) = - z, entonces m = g + f en el límite de D: | g (z) | & lt1 = | f (z) | Th de Rouche. = & gt m & amp f tienen el mismo número de raíces, es decir, 1 m (z) = 0 & lt- & gt punto fijo.

- Si g (z) es analítico = & gt, tiene exactamente un punto fijo.

Revisión: n (Cp) como emparejamiento y amp homotopía

- Números de bobinado: n: bucles X puntos - & gt Z (divisores)

- Teorema de Hopf - homotopía de bucles K

- Teorema de Rouche - homotopía de mapas f + g

g ("transversal" al punto), o demostrando mediante la Th de Hopf: (f + g) (C)

f (C) sin intersecar p:

- El ejemplo no analítico H (z) (Fig. 13): “desbordamiento de la hija” (los puntos dentro de C terminan fuera de H (C)) en contraste:

- Teorema (“Principio de no desbordamiento”) f analítica dentro y en un bucle C = & gt ningún punto fuera de f (C) puede tener una preimagen dentro de C.

3) ¡Pero para las funciones analíticas n (C, a) es SIEMPRE positivo! = & gt todos los puntos p están fuera de C.

AF: ¡sin derrames, solo superposiciones!

- Aunque no es posible que se produzcan desbordes para las funciones analíticas, pueden producirse “superposiciones” (Fig. 14), como para una masa de pizza más “rígida”, que puede curvarse:

Arg. Principio: n (f (C), oscuro) = 2 = 1 + 1 = número de preimágenes.

- Tenga en cuenta los números de bobinado para los diversos componentes de C f (C) n (f (C), p) es una función localmente constante (función de paso / función simple).

El teorema del módulo máximo

- Por el contrario, la ausencia de derrames implica:

- Teorema (M.M. Th.) El máximo de | f (z) | en una región donde una f (z) no constante es analítica, siempre se logra en el límite y nunca por puntos interiores.

Prueba. (Fig. 14) Módulo máximo: | f (z) | son los puntos más alejados del origen y, según el "principio de no desbordamiento", no pueden ocurrir más allá de la imagen del límite.

- Ejemplo B (z) = Prod (vértices z de un cuadrado) ¿Dónde se alcanza el máximo? (¡No en el centro! ¿En el medio? Ej. Vértices: +1, -1, i, -i = & gt B (z) = z 4 -1)

MM Th. y superficies modulares

- Imagine la superficie modular de una función analítica sobre una región y su límite.

- ¡No puede haber un máximo local! [Sugerencia: corte un trozo y contradiga el MM Th.]:

Fig.14: Si a en C ’= & gt f (C’) gira alrededor de a = & gt, hay puntos más alejados del origen, entonces A = f (a) [Considere un rayo OA que cruza f (C ’)].

Resultados relacionados con el MM-Th./Princ.

- Otras consecuencias del "Principio de no derrame" para las funciones analíticas (¡no constantes!):

1) Principio de módulo mínimo: si f no es cero en D, entonces se obtiene el módulo mínimo en el límite. Pruebas: a) de manera similar, considere un pequeño disco en un punto interior y el número de devanado b) superficie modular c) | Max - f (z) |

2) Puede reformularse como criterio para funciones constantes

3) u = Re (f) y v = Im (f) TAMBIÉN están sujetos a este Mod. Máx. Principio (ver figura 14).

- u & v are harmonic functions with many physics applications: heat flow, electrostatics, hydrodynamics etc.

VII The Schwarz-Pick Lemma * (opt)

- On conformal and hyperbolic geometry:

1) Poincare model of non-Euclidean geometry (hyperbolic geometry) and non-euclidean distance

2) “Harmony” between hyperbolic geometry and conformal mappings:

A) Automorphisms of the unit disk Aut(D)=Mobius Transf.

are those that preserve non-Euclidean distance

B) Pick’s result : analytic mappings decrees hyperbolic distance (are contractions: |f(z)-f(z’)|<=|z-z’|).

- Lemma If an analytic mapping f:D->D leaves the center fixed, then either is a strict contraction of the interior, towards the center, or a simple rotation (Fig. 15).

- Ex. f(z)=z 2 keeps the boundary, but contracts its interior.

- An analytic mapping cannot map the whole plane into a bounded region (but a continuous map can, e.g. h(z)=z/(1+z))

- Inversion J(z)=1/z maps an unbounded region to the disk, but not the whole plane.

- Liouville’s Th . f(z) analytic on the whole plane and bounded => f(z)=c is constant. [The proof uses a generalization of Schwarz Lemma].

- It connects hyperbolic geometry and conformal geometry

- Pick’s Result f(z):D->D analytic is either a rigid motion (hyperbolic distance preserved: MT) or the hyperbolic distance is decreased (contraction).

- It is a generalization of Schwarz Lemma , removing the limitation of fixing the center (so it is also referred to as Pick-Schwarz Lemma)

VIII The Generalized Argument Principle

- Rational Functions: P(z)/Q(z) have singularities (inf. val.)

- Explanation: Fig. 18 (On the Riemann sphere): the poles det. C to wrap the other way (when sliding past a singularity), canceling rotations around zeros (p-points, with p=0).

- Generalized Argument Principle (General p-points & poles): If f(z) is analytic in and on C then:

n(f(C),p)=no. of p-points - no. of poles.

- Recall: how to count p-points? (without solving the equation f(z)=p) Argument Principle: N=n(f(C),p).

- Next: how to generalize it to include singularities?

- Def. singularities: a) z=a is a pole for f(z) if f(z)->inf. no matter how z->a otherwise b) it is an essential singularity.

- Algebraic approach : consider F(z)=1/f(z) z=a is a pole of order m for f(z) iff z=a is a zero of F of multiplicity m:

f(z)=(z-a) -m g(z), g(z) analytic near z=a.

- Criterion the order is the smallest power (z-a) m f(z) is regular at z=a.

1) Poles. Calculate the order of the poles for:

a) P(z)=1/sin(z) b) cos(z)/z 2 c) 1/(e z -1) 3

a) As the order of the first non-vanishing derivative of 1/f(z)

2) Essential singularities. g(z)=e 1/z (“standard example”) in polar coordinates z=r et, |g(z)|=e cos(t)/r [see Fig.19: the modular surface].

Proof: lim x m e 1/x =infinity (for all m, so it is not a pole).

- The negative order of the poles (algebraic multiplicity) corresponds to a negative winding number of the curve around the N th pole of the Riemann sphere (due to opposite orientation of the curve, when viewed from the N th pole).

- Terminology: a pole is also called a root of negative multiplicity

General Argument Principle

- If a is a pole of order m & C contains NO p-points:

- Additivity of winding numbers (Fig. 11):

|p-points inside C| - |poles inside C|=n(f(C),p).

- Complex arithmetic and geometry Riemann sphere

- Complex functions: representations, extension to Riemann sphere, local behavior (conformal mappings & amplitwist branch points) Jacobian, CR-Eq. & complex derivative.

- Equivalence: Analytic functions (Laurent series centered at z=a), conformal, C.R.Eq., amplitwist, complex derivative

- Mobius transformations, generators, group property, fixed points, classification and properties.


Handbook of Proof Theory

3.21 Example

It should be fairly clear that for limits γ satisfying mild representability and closure conditions, that the γ-recursive functions are exactly those defined by nested recursions over initial segments of γ. For any such recursion F, a computation formula CF would be definable and an informal termination proof by transfinite induction could be translated into a formal proof within the system ⊢ γ . Conversely, the Hierarchy Theorem would show that any γ-recursive function is elementary in some Bα for αγ, and so definable by nested recursions because the Bα functions are.


Manifold Geometry

II Geometrical Spaces

II.A Euclidean Spaces

The simplest Euclidean space is the one-dimensional case of the real line, mi 1 . As is almost always the case in mathematical processes of generalization, there are two major steps: from one to more than one, and from finitely many to infinitely many. Thus the step from mi 1 a mi 2 , the real plane, is intuitively difficult at first meeting but the step on, to mi 4 or mi norte for any finite norte, is simple because the algebra and analysis are essentially unchanged. The further step to infinite dimensions is also difficult because definitions change the kind of hurdle that arises is like the transition for polynomial functions to power series. In fact, we shall not study infinite-dimensional spaces explicitly but they will arise incidentally.

So for our purposes, a good intuitive grasp of the geometry of the real plane mi 2 is a prime asset. By suppressing coordinates and other manifestations of its “twoness” we shall be able to use the algebra and analysis for higher-dimensional situations. We summarize the geometry as follows:

Points de mi 2 are ordered 2-tuples of real numbers like pag = (p1, p2).

There is a vector difference between pairs of points, a map, diff: mi 2 × mi 2 → R 2 : (p, q)↦q − p = (q1 − p1, q2 − p2), and this correspondence is the best possible in the sense that if we hold one of the points fixed then it is a one-to-one correspondence between all points of mi 2 and all vectors of R 2 reversing the points reverses the vector.

The parallelogram law holds for vector differences of points.

There is a distance function defined between pairs of points, the length (or norm) of their vector difference:

We use property (1) for labeling the points of the space: in mi 2 each point has two coordinates, so mi 2 and R 2 are equivalent (in bijective correspondence) as sets. The vector difference map gives us two things:

The set of all directions at each point this is the tangent space at the point.

A simple algebraic cohesion among points that facilitates the solution of problems by trigonometric methods.

Recall that in R 2 we have the dot product between two vectors given by

This also determines the length (or norm) of a vector tu por

and angle θ between nonzero vectors tu y v por

(see Fig. 2 ). Calculus on mi 2 depends on the usual process of partial differentiation applied to functions of two variables taking values in R norte . There are in particular two operators that readily generalize to mi norte : grad and div.

FIGURE 2 . Angle between two vectors.

For a differentiable real-valued map

its gradient is the vector-valued map

grad F at (x, y) ∈ mi 2 being viewed as a vector in the “tangent space” to mi 2 at (x, y), that is, in the space of directions there.

For a differentiable tangent space-valued map

its divergence is the real-valued map

Of course we can apply div to grad F then we get the Laplacian

Typical problems that arise in geometrical form are:Given Xmi 2 find F: X → R satisfying Δf = 0 and subject to certain boundary conditions on F.

Given Xmi 2 and Φ: X → R find a curve

beginning at (x0, y0), that is, C(0) = (x0, y0), with tangent vector there given by c . (0) = (u0, v0) and satisfying

Here c . ( t ) = ( d x d t , d y / d t ) , c . ( t ) = ( d 2 x / d t 2 , d 2 y / d t 2 ) .

II.B Non-Euclidean Spaces

We can obtain more general spaces, called manifolds, in two ways:

Keep the same point set (e.g., as in mi 2 ) but use nonstandard definitions for lengths and angles of vectors in the tangent spaces.

Construct a new set of points (e.g., by joining pieces of mi 2 ), then add some geometry.

In both cases we would want to meet certain compatibility conditions to avoid abrupt (i.e., not smooth) geometrical changes from place to place. In method 1 we already have all tangent spaces and may vary how we geometrize them in a smoothly changing manner. In method 2 we have only the tangent spaces for each small piece of Euclidean space so we have to make sure that they fit smoothly together, unambiguously overlapping at the joins then we can introduce smoothly changing measures of lengths and angles for vectors over the whole space.

Method 1 would allow us to construct 2-manifolds that have the appearance of bent and twisted planes, for example, a saddle-shaped surface. However, method 1 would not allow the construction of a sphere or torus. Either of these would involve some joining together (called identification) of certain points of mi 2. For example, to obtain a torus we begin with a rectangle in the plane, join together two edges to form a tube, then join the two open ends together. The joining process can be visualized through paper models, though this and the smoothing process at the joins can be made mathematically precise. There is a subtle point here. When we appeal intuitively to paper models it is implicit that they are viewed in three-dimensional space, and so at each point of such a model surface there is a well-defined tangent space of directions in the surface. It is actually the tangent plane at the point. In the formal mathematical process the tangent spaces can be constructed without leaving the surface. The same is true in general for norte-manifolds constructed by joining and smoothing out pieces of mi norte . However, there is an important theorem due to Whitney which says that we could, if we wish, view any such norte- manifold as embedded in a Euclidean space of sufficiently high dimension. We saw that the torus 2-manifold needed mi 3 in general an norte- manifold may need mi 2n+1 .

One final point before getting to technical definitions. In geometry we often speak of “the unit circle” or “the norte-sphere” when in fact there are many ways to describe these spaces. For example S 1 , the unit circle, can be viewed as the set of all unimodular complex numbers or perfectly equivalently (i.e., up to structural isomorphism) as the set of vectors of unit norm in R 2 . We often do not bother to make distinctions between them.


Preliminary

Functional setting

Let (mathbb _^ <2>= mathbb ^<2>/(2pi mathbb ^<2>)) be the two-dimensional complex torus. For (delta>0 ) , we denote the complex neighborhood of 2-torus (mathbb ^ <2>) by

where (|cdot| ) is the supremum norm of the complex vector.

Suppose (mathcal subseteq mathbb ^ <2>) is a compact set. For a (C^<1>_) ( (C^<1>) smooth in the sense of Whitney) function (f:mathcal ightarrow mathbb ) , we define its norm as

Given a function (f:D(delta) imes mathcal ightarrow mathbb ) , which is analytic in ( hetain D(delta)) and (C_^<1>) in (xiin mathcal ) with Fourier expansion (f( hetaxi)=sum_<>^<2>>widehat (kxi)mathrm ^langle k, heta angle>) , we define its norm as

where (langle k, heta angle=k_<1> heta_<1>+k_<2> heta_<2>) and (|k|=|k_<1>|+|k_<2>|) .

For (K>0) and an analytic function F on (D(delta) imes mathcal ) , we define the truncation operator (mathcal_) and projection operator (mathcal_) as

The average ([f( hetaxi)]_< heta>) of (f( hetaxi)) over (mathbb ^<2>) is defined as

We denote the index sets by (mathcal_<1>= <>in mathbb setminus <0>: 1leq i leq d >) ( (din mathbb setminus<0>) ) and (mathcal_<2>=mathbb setminusmathcal_<1>) . Then we define the space (ell_ := , ldots )_<>_<2>> : q_ inmathbb> ) of complex sequences equipped with the following norm:

where (langle j angle:= max<1,|j|>) and (ageq0) , (p>frac <1><2>) are constants such that the Banach algebra property holds in this space.

Lemma 2.1

Para (w,z inell_ ) , the convolution (w ast z ) es definido por ((w ast z)_ =sum_> w_ z_ ) . Para (a geq0) , (p>frac<1> <2>) , luego (| w ast z |_leq c|w| _ |z|_ ) with a constantCdepending only onpag.

For (delta, s>0) , we introduce a complex neighborhood of (mathbb ^<2> imes<0> imes <0>) by


White noise differential equations for vector-valued white noise functionals

In this paper, a framework of vector-valued white noise functionals has been constructed as a Gel’fand triple (>_otimes > subset varGamma (H)otimes K subset ( >_otimes >)^*) . Base on the Gel’fand triple, a new notion of Wick product of vector-valued white noise functionals induced by a bilinear mapping (>:>^* imes >^* ightarrow >) is introduced and called a (>) -Wick product. We establish the unique existence of solution of an abstract functional differential equation base on the Gel’fand triple. For our purpose, we improve slightly the well-known analytic characterization theorem for S-transform, and the convergence theorem in terms of S-transform for a sequence of vector-valued generalized white noise functionals. As an application, we study the Wick type differential equations for vector-valued white noise functionals, and as examples we discuss the Wick type differential equations for certain operator algebra valued white noise functionals which naturally includes random matrices of white noise functionals.