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Ejercicio ( PageIndex {1} )
Demuestre que si (A ) es contable pero (B ) no lo es, entonces (B-A ) es incontable.
[Sugerencia: si (B-A ) fuera contable, también lo sería
[
(B-A) cup A supseteq B. quad ( mathrm {¿Por qué?})
]
Utilice el corolario (1.] )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Sea (f ) un mapeo y (A subseteq D_ {f}. ) Demuestre que
(i) si (A ) es contable, también lo es (f [A] );
(ii) si (f ) es uno a uno y (A ) es incontable, también lo es (f [A] ).
( left [ text {Sugerencias:} left ( text {i) Si} A = left {u_ {n} right }, text {luego} right. right. )
[
f [A] = left {f left (u_ {1} right), f left (u_ {2} right), ldots, f left (u_ {n} right), ldots derecho}
]
(ii) Si (f [A] ) fuera contable, también lo sería (f ^ {- 1} [f [A]], ) por (i). Verificalo
[
f ^ {- 1} [f [A]] = A
]
aquí; cf. Problema 7 en §§4-7.]
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Sean (a, b ) números reales ((a Ejercicio ( PageIndex {4} ) Demuestre que entre cualquier número real (a, b (a Ejercicio ( PageIndex {5} ) Demuestre que todo conjunto infinito (A ) contiene un conjunto infinito numerable, es decir, una secuencia infinita de términos distintos. Ejercicio ( PageIndex {6} ) Del problema (5, ) demuestre que si (A ) es infinito, hay un mapa (f: A rightarrow A ) que es uno a uno pero no en (A. ) Ejercicio ( PageIndex {7} ) A la inversa (cf. Problema 6), demuestre que si hay un mapa (f: A rightarrow A ) que es uno a uno pero no sobre (A, ) entonces (A ) contiene una secuencia infinita ( left {a_ {n} right } ) de términos distintos.
f (x) = a + x (b-a).
]
Demuestre que (f ) es uno a uno y en el intervalo ([a, b) = {x | a leq x
[Sugerencia: Arregle cualquier (a_ {1} en A; A ) no puede consistir en (a_ {1} ) solo, por lo que hay otro elemento
[
a_ {2} in A- left {a_ {1} right }. quad ( mathrm {¿Por qué}?)
]
Nuevamente, (A neq left {a_ {1}, a_ {2} right }, ) entonces hay un (a_ {3} en A- left {a_ {1}, a_ {2} right }. ) (¿Por qué?) Continúe así ad infinitum para obtener la secuencia requerida ( left {a_ {n} right }. ) ¿Por qué están todos (a_ {n} ) ¿distinto? (] )
[Sugerencia: Con (a_ {n} ) como en el Problema (5, ) defina (f left (a_ {n} right) = a_ {n + 1}. ) Si, sin embargo, (x ) no es ninguno de (a_ {n}, ) put (f (x) = x ). Observe que (f (x) = a_ {1} ) nunca es cierto, entonces (f ) no está en (A. ) Demuestre, sin embargo, que (f ) es uno a uno.
[Sugerencia: como (f ) no está en (A, ) hay (a_ {1} in A ) tal que (a_ {1} notin f [A]. ) (¿Por qué ?) Arregle (a_ {1} ) y defina
[
a_ {2} = f left (a_ {1} right), a_ {3} = f left (a_ {2} right), ldots, a_ {n + 1} = f left (a_ { n} derecha), ldots text {ad infinitum. }
]
Para probar la distinción, demuestre que cada (a_ {n} ) es distinto de todos (a_ {m} ) con (m> n. ) Para (a_ {1}, ) esto es cierto ya que (a_ {1} notin f [A], ) mientras que (a_ {m} in f [A] (m> 1). ) Luego proceda inductivamente.]
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En ella algo es.Gracias por la ayuda en esta pregunta, ¿cómo puedo agradecerte?
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