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3: Propiedades adicionales de los números reales - Matemáticas


3: Propiedades adicionales de los números reales - Matemáticas

Propiedades asociativas, distributivas y conmutativas

Para obtener más información sobre cualquiera de las propiedades a continuación, visite la página individual de esa propiedad.

Propiedades y Operaciones

Veamos cómo (y si) estas propiedades funcionan con la suma, la multiplicación, la resta y la división.

Adición

Propiedad Ejemplo con adición
Propiedad distributiva
De asociación
Conmutativa
Resumen: Las 3 de estas propiedades se aplican a la suma.

Multiplicación

Propiedad Ejemplo con multiplicación
Propiedad distributiva La propiedad distributiva es una aplicación de la multiplicación (por lo que no hay nada que mostrar aquí).
De asociación
Conmutativo
Resumen: Las 3 de estas propiedades se aplican a la multiplicación.

Sustracción

Propiedad Ejemplo con resta
Propiedad distributiva
De asociación
Conmutativa
Resumen: La propiedad distributiva es la única que se aplica a la resta.

División

Propiedad Ejemplo con resta
Propiedad distributiva
De asociación
Conmutativo
Resumen: Ninguna de estas propiedades se aplica a la división.

Práctica Problemas

¿Cuál de las siguientes afirmaciones ilustra la propiedad distributiva, asociada y conmutativa?

Direcciones: Haga clic en cada botón de respuesta para ver qué propiedad corresponde a la declaración de la izquierda.

Estas tres propiedades también se pueden aplicar a Expresiones algebraicas.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones ilustra la propiedad distributiva, asociada y conmutativa?

Direcciones: Haga clic en cada botón de respuesta para ver qué propiedad corresponde a la declaración de la izquierda.


Contenido

El enfoque sintético define axiomáticamente el sistema de números reales como un campo ordenado completo. Precisamente, esto significa lo siguiente. A modelo para el sistema de números reales consta de un conjunto R, dos elementos distintos 0 y 1 de R, dos operaciones binarias + y × en R (llamada adición y multiplicación, respectivamente), y una relación binaria ≤ en R, satisfaciendo las siguientes propiedades.

Axiomas Editar

  1. (R, +, ×) forma un campo. En otras palabras,
    • Para todos X, y, y z en R, X + (y + z) = (X + y) + z y X × (y × z) = (X × y) × z. (asociatividad de suma y multiplicación)
    • Para todos X y y en R, X + y = y + X y X × y = y × X. (conmutatividad de suma y multiplicación)
    • Para todos X, y, y z en R, X × (y + z) = (X × y) + (X × z). (distributividad de la multiplicación sobre la suma)
    • Para todos X en R, X + 0 = X. (existencia de identidad aditiva)
    • 0 no es igual a 1, y para todos X en R, X × 1 = X. (existencia de identidad multiplicativa)
    • Para cada X en R, existe un elemento -X en R, tal que X + (−X) = 0. (existencia de inversos aditivos)
    • Para cada X ≠ 0 pulg R, existe un elemento X −1 pulg R, tal que X × X −1 = 1. (existencia de inversos multiplicativos)
  2. (R, ≤) forma un conjunto totalmente ordenado. En otras palabras,
    • Para todos X en R, XX. (reflexividad)
    • Para todos X y y en R, Si Xy y yX, luego X = y. (antisimetría)
    • Para todos X, y, y z en R, Si Xy y yz, luego Xz. (transitividad)
    • Para todos X y y en R, Xy o yX. (totalidad)
  3. Las operaciones de campo + y × en R son compatibles con el pedido ≤. En otras palabras,
    • Para todos X, y y z en R, Si Xy, luego X + zy + z. (preservación del orden bajo adición)
    • Para todos X y y en R, si 0 ≤ X y 0 ≤ y, entonces 0 ≤ X × y (preservación del orden bajo multiplicación)
  4. El orden ≤ es completo en el siguiente sentido: cada subconjunto no vacío de Racotado arriba tiene un límite superior mínimo. En otras palabras,
    • Si A es un subconjunto no vacío de R, y si A tiene un límite superior, entonces A tiene un límite superior mínimo tu, de modo que para cada límite superior v de A, tuv.

En la propiedad del límite superior mínimo Editar

El axioma 4, que requiere que la orden sea completa de Dedekind, implica la propiedad de Arquímedes.

El axioma es crucial en la caracterización de lo real. Por ejemplo, el campo totalmente ordenado de los números racionales Q satisfacen los tres primeros axiomas, pero no el cuarto. En otras palabras, los modelos de los números racionales también son modelos de los tres primeros axiomas.

Tenga en cuenta que el axioma no se puede ordenar en primer lugar, ya que expresa una declaración sobre colecciones de reales y no solo sobre números individuales. Como tal, los reales no están dados por una teoría lógica de primer orden.

En modelos Editar

A continuación se dan varios modelos para los axiomas 1-4. Dos modelos cualesquiera para los axiomas 1-4 son isomorfos, por lo que hasta el isomorfismo, solo hay un campo de Arquímedes ordenado completo.

Cuando decimos que dos modelos cualesquiera de los axiomas anteriores son isomorfos, queremos decir que para dos modelos cualesquiera (R, 0R, 1R, +R, ×R, ≤R) y (S, 0S, 1S, +S, ×S, ≤S), hay una biyección F : RS preservando tanto las operaciones de campo como el orden. Explícitamente,

  • F es tanto inyectiva como sobreyectiva.
  • F(0R) = 0S y F(1R) = 1S.
  • Para todos X y y en R, F(X +Ry) = F(X) +SF(y) y F(X ×Ry) = F(X) ×SF(y).
  • Para todos X y y en R, XRysi y solo siF(X) ≤SF(y).

La axiomatización de los reales por parte de Tarski Editar

Alfred Tarski dio una axiomatización sintética alternativa de los números reales y su aritmética, que consta de solo los 8 axiomas que se muestran a continuación y solo cuatro nociones primitivas: un conjunto llamado los números reales, denotado R, una relación binaria sobre R llamada pedido, denotado por infijo & lt, una operación binaria sobre R llamada adición, denotado por infijo +, y la constante 1.

Axiomas de orden (primitivas: R, & lt):

Axioma 1. Si X & lt y, entonces no y & lt X. Es decir, "& lt" es una relación asimétrica.

Axioma 2. Si X & lt z, existe un y tal que X & lt y y y & lt z. En otras palabras, "& lt" es denso en R.

Axioma 3. "& lt" es Dedekind-completo. Más formalmente, para todos X, YR, si por todos XX y yY, X & lt y, entonces existe un z tal que para todos XX y yY, Si zX y zy, luego X & lt z y z & lt y.

Para aclarar un poco la afirmación anterior, dejemos XR y YR. Ahora definimos dos verbos comunes en inglés de una manera particular que se adapte a nuestro propósito:

X precede a Y si y solo si para cada XX y cada yY, X & lt y. El numero real z separa X y Y si y solo si para cada XX con Xz y cada yY con yz, X & lt z y z & lt y.

Entonces, el axioma 3 puede expresarse como:

"Si un conjunto de reales precede a otro conjunto de reales, entonces existe al menos un número real que separa los dos conjuntos".

Axiomas de suma (primitivas: R, & lt, +):

Axioma 4. X + (y + z) = (X + y) + z.

Axioma 5. Para todos X, y, existe un z tal que X + z = y.

Axioma 6. Si X + y & lt z + w, luego X & lt z o y & lt w.

Axiomas para uno (primitivas: R, & lt, +, 1):

Estos axiomas implican que R es un grupo abeliano ordenado linealmente bajo adición con elemento distinguido 1. R también es Dedekind completo y divisible.

No probaremos que ningún modelo de axiomas sea isomórfico. Esta prueba se puede encontrar en cualquier número de libros de texto modernos de análisis o teoría de conjuntos. Sin embargo, esbozaremos las definiciones y propiedades básicas de varias construcciones, porque cada una de ellas es importante por razones tanto matemáticas como históricas. Los tres primeros, debidos a Georg Cantor / Charles Méray, Richard Dedekind / Joseph Bertrand y Karl Weierstrass, se produjeron con unos pocos años de diferencia. Cada uno tiene ventajas y desventajas. Una motivación importante en los tres casos fue la instrucción de los estudiantes de matemáticas.

Construcción a partir de secuencias de Cauchy Editar

Un procedimiento estándar para forzar la convergencia de todas las secuencias de Cauchy en un espacio métrico es agregar nuevos puntos al espacio métrico en un proceso llamado finalización.

R se define como la finalización de Q con respecto a la métrica |X-y|, como se detallará a continuación (para las terminaciones de Q con respecto a otras métricas, consulte pag-números ádicos.)

Dejar R ser el conjunto de sucesiones de Cauchy de números racionales. Es decir, secuencias

de números racionales tales que para cada racional ε & gt 0, existe un número entero norte tal que para todos los números naturales metro,norte & gt norte , |XmetroXnorte| & lt ε . Aquí las barras verticales denotan el valor absoluto.

Secuencias de Cauchy (Xnorte) y (ynorte) se puede sumar y multiplicar de la siguiente manera:

(Xnorte) + (ynorte) = (Xnorte + ynorte) (Xnorte) × (ynorte) = (Xnorte × ynorte).

Dos secuencias de Cauchy se llaman equivalente si y solo si la diferencia entre ellos tiende a cero. Esto define una relación de equivalencia que es compatible con las operaciones definidas anteriormente, y el conjunto R de todas las clases de equivalencia se puede demostrar que satisface todos los axiomas de los números reales. Podemos incrustar Q dentro R identificando el número racional r con la clase de equivalencia de la secuencia (r,r,r, …) .

La comparación entre números reales se obtiene definiendo la siguiente comparación entre secuencias de Cauchy: (Xnorte) ≥ (ynorte) si y solo si X es equivalente a y o existe un entero norte tal que Xnorteynorte para todos norte & gt norte .

Por construcción, cada número real X está representado por una secuencia de Cauchy de números racionales. Esta representación está lejos de ser única en todas las secuencias racionales que convergen en X es una representación de X. Esto refleja la observación de que a menudo se pueden usar diferentes secuencias para aproximar el mismo número real.

El único axioma de número real que no se sigue fácilmente de las definiciones es la completitud de ≤, es decir, la propiedad del límite superior mínimo. Se puede probar de la siguiente manera: Sea S ser un subconjunto no vacío de R y U ser un límite superior para S. Sustituyendo un valor mayor si es necesario, podemos suponer U es racional. Desde S no está vacío, podemos elegir un número racional L tal que L & lt s para algunos s en S. Ahora defina secuencias de racionales (tunorte) y (lnorte) como sigue:

Colocar tu0 = U y l0 = L.

Para cada norte considere el número:

Si metronorte es un límite superior para S colocar:

tunorte+1 = metronorte y lnorte+1 = lnorte

lnorte+1 = metronorte y tunorte+1 = tunorte

Esto define dos secuencias de Cauchy de racionales, por lo que tenemos números reales l = (lnorte) y tu = (tunorte). Es fácil de probar, por inducción en norte que:

tunorte es un límite superior para S para todos norte

lnorte nunca es un límite superior para S para cualquier norte

Por lo tanto tu es un límite superior para S. Para ver que es un límite mínimo superior, observe que el límite de (tunortelnorte) es 0, por lo que l = tu. Ahora suponga B & lt tu = l es un límite superior más pequeño para S. Desde (lnorte) es monótona aumentando es fácil ver que B & lt lnorte para algunos norte. Pero lnorte no es un límite superior para S y, por lo tanto, tampoco lo es B. Por eso tu es un límite superior mínimo para S y ≤ está completo.

La notación decimal habitual se puede traducir a secuencias de Cauchy de forma natural. Por ejemplo, la notación π = 3,1415. significa que π es la clase de equivalencia de la secuencia de Cauchy (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,.). La ecuación 0.999. = 1 indica que las secuencias (0, 0.9, 0.99, 0.999.) Y (1, 1, 1, 1.) son equivalentes, es decir, su diferencia converge a 0.

Una ventaja de construir R como la finalización de Q es que esta construcción no es específica de un ejemplo, también se usa para otros espacios métricos.

Construcción por cortes de Dedekind Editar

Un corte de Dedekind en un campo ordenado es una partición del mismo, (A, B), tal que A no está vacío y cerrado hacia abajo, B no está vacío y cerrado hacia arriba, y A no contiene ningún elemento mayor. Los números reales se pueden construir como cortes de Dedekind de números racionales.

Una ventaja de esta construcción es que cada número real corresponde a un corte único.

Construcción usando números hiperrealistas Editar

Como en los números hiperreales, se construyen los hiperracionales * Q de los números racionales por medio de un ultrafiltro. Aquí, un hiperracional es, por definición, una relación de dos hiper enteros. Considere el anillo B de todos los elementos limitados (es decir, finitos) en * Q. Luego B tiene un ideal máximo único I, los números infinitesimales. El anillo del cociente BI da el campo R de números reales [ cita necesaria ]. Tenga en cuenta que B no es un conjunto interno en * Q. Tenga en cuenta que esta construcción utiliza un ultrafiltro no principal sobre el conjunto de números naturales, cuya existencia está garantizada por el axioma de elección.

Resulta que el ideal máximo respeta el orden en * Q. Por tanto, el campo resultante es un campo ordenado. La completitud puede demostrarse de manera similar a la construcción a partir de las secuencias de Cauchy.

Construcción a partir de números surrealistas Editar

Cada campo ordenado se puede incrustar en los números surrealistas. Los números reales forman un subcampo máximo que es de Arquímedes (lo que significa que ningún número real es infinitamente grande). Esta incrustación no es única, aunque puede elegirse de forma canónica.

Construcción a partir de enteros (Eudoxo reales) Editar

Una construcción relativamente menos conocida permite definir números reales usando solo el grupo aditivo de enteros Z < displaystyle mathbb > con diferentes versiones. [3] [4] [5] La construcción ha sido verificada formalmente por el proyecto IsarMathLib. [6] Shenitzer [7] y Arthan se refieren a esta construcción como el Eudoxo reales, llamado así por un antiguo astrónomo y matemático griego Eudoxo de Cnidus.

Otras construcciones Editar

Pocas estructuras matemáticas se han sometido a tantas revisiones o se han presentado en tantas formas como los números reales. Cada generación reexamina lo real a la luz de sus valores y objetivos matemáticos. [8]

Varias otras construcciones han sido dadas por:

Como señaló un revisor de uno: "Todos los detalles están incluidos, pero, como de costumbre, son tediosos y no demasiado instructivos". [14]


3: Propiedades adicionales de los números reales - Matemáticas

En esta lección, analizamos algunas propiedades que se aplican a todos los números reales. Si aprendes estas propiedades, te ayudarán a resolver problemas de álgebra. Veamos cada propiedad en detalle y aplíquela a una expresión algebraica.

# 1. Propiedades conmutativas
La propiedad conmutativa de la suma dice que podemos sumar números en cualquier orden. La propiedad conmutativa de la multiplicación es muy similar. Dice que podemos multiplicar números en el orden que queramos sin cambiar el resultado.

adición
5a + 4 = 4 + 5a

multiplicación
3
X 8 X 5b = 5b X 3 X 8

# 2. Propiedades asociativas
Tanto la suma como la multiplicación se pueden hacer con dos números a la vez. Entonces, si hay más números en la expresión, ¿cómo decidimos cuáles dos & quotasociar& quot primero? La propiedad asociativa de la suma nos dice que podemos agrupar números en una suma de la forma que queramos y aún así obtener la misma respuesta. La propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que podemos agrupar números en un producto de la forma que queramos y aún así obtener la misma respuesta.

adición
(4x + 2x) + 7x = 4x + (2x + 7x)

multiplicación
2x 2 (3y) = 3y (2x 2)

# 3. Propiedad distributiva
La propiedad distributiva entra en juego cuando una expresión implica tanto suma como multiplicación. Un nombre más extenso es & quot; la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma & quot ;. Nos dice que si un término se multiplica por términos entre paréntesis, necesitamos & quotdistribuir& quot la multiplicación de todos los términos dentro.

Aunque el orden de las operaciones dice que primero debes sumar los términos dentro del paréntesis, la propiedad distributiva te permite simplificar la expresión multiplicando cada término dentro del paréntesis por el multiplicador. Esto simplifica la expresión.

# 4. Propiedad de densidad
La propiedad de la densidad nos dice que siempre podemos encontrar otro número real que se encuentre entre dos números reales cualesquiera. Por ejemplo, entre 5,61 y 5,62, hay 5,611, 5,612, 5,613 y así sucesivamente.

Entre 5.612 y 5.613, hay 5.6121, 5.6122. ¡y una lista interminable de otros números!

# 5. Propiedad de identidad
La propiedad de identidad para la suma nos dice que cero sumado a cualquier número es el número mismo. El cero se llama "identidad aditiva". La propiedad de identidad para la multiplicación nos dice que el número 1 multiplicado por cualquier número da el número en sí. El número 1 se llama la & quot identidad multiplicativa & quot.


1.5 Propiedades de los números reales

El orden en que sumamos dos números no afecta el resultado. Si sumamos $ 8 + 9 $ o $ 9 + 8 $, los resultados son los mismos y si ambos son iguales a $ 17 $. Entonces, $ 8 + 9 = 9 + 8 $. ¡El orden en el que agreguemos no importa!

Del mismo modo, al multiplicar dos números, el orden no afecta el resultado. Si multiplicamos $ 9 cdot 8 $ o $ 8 cdot 9 $ los resultados son los mismos & mdash, ambos son iguales a $ 72 $. Entonces, $ 9 cdot 8 = 8 cdot 9 $. ¡El orden en el que nos multiplicamos no importa!

Estos ejemplos ilustran la propiedad conmutativa.

PROPIEDAD CONMUTATIVA

de adiciónSi $ a $ y $ b $ son números reales, entonces$ a + b = b + a $
de multiplicaciónSi $ a $ y $ b $ son números reales, entonces$ a cdot b = b cdot a $

Al sumar o multiplicar, cambiar el pedido da el mismo resultado.

La propiedad conmutativa tiene que ver con el orden. Restamos $ 9-8 $ y $ 8-9 $, y vemos que $ 9-8 y ne8-9 $. Dado que cambiar el orden de la resta no da el mismo resultado, sabemos que la resta no es conmutativa.

La división tampoco es conmutativa. Dado que $ 12 div 3 & ne 3 div 12 $, cambiar el orden de la división no dio el mismo resultado. ¡Las propiedades conmutativas se aplican solo a la suma y la multiplicación!

& emsp & emspAdición y multiplicación están conmutativo.

& emsp & emsp La resta y la división son no conmutativo.

Al sumar tres números, cambiar la agrupación de los números da el mismo resultado. Por ejemplo, $ (7 + 8) + 2 = 7 + (8 + 2) $, ya que cada lado de la ecuación es igual a $ 17 $.

Esto también es cierto para la multiplicación. Por ejemplo, $ (5 cdot frac <1> <3>) cdot 3 = 5 cdot ( frac <1> <3> cdot 3) $ ya que cada lado de la ecuación es igual a 5.

Estos ejemplos ilustran la propiedad asociativa.

PROPIEDAD ASOCIATIVA

de adiciónSi $ a $, $ b $ y $ c $ son números reales, entonces$ (a + b) + c = a + (b + c) $
de multiplicaciónSi $ a $, $ b $ y $ c $ son números reales, entonces$ (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c) $

Al sumar o multiplicar, cambiar el agrupamiento da el mismo resultado.

La propiedad asociativa tiene que ver con la agrupación. Si cambiamos la forma en que se agrupan los números, el resultado será el mismo. Observe que son los mismos tres números en el mismo orden y mdash, la única diferencia es la agrupación.

Vimos que la resta y la división no eran conmutativas. Tampoco son asociativos.

$ begin (10-3) -2 & amp & ne 10- (3-2) 7-2 & amp & ne 10-1 5 & amp & ne 9 end$$ begin (24 div 4) div 2 & amp & ne 24 div (4 div 2) 6 div2 & amp & ne 24 div 2 3 & amp & ne 12 end$

Al simplificar una expresión, siempre es una buena idea planificar cuáles serán los pasos. Para combinar términos semejantes en el siguiente ejemplo, usaremos la propiedad conmutativa de la suma para escribir los términos semejantes juntos.

Ejemplo 1

El uso de la propiedad distributiva como se muestra en el siguiente ejemplo será muy útil cuando resolvamos aplicaciones monetarias en capítulos posteriores.

Ejemplo 8

Cuando distribuimos un número negativo, ¡debemos tener mucho cuidado para que los signos sean correctos!

Ejemplo 9

$ -11 (4-3a) $
Distribuir.$ -11 cdot 4 & ndash (-11) cdot 3a $
Multiplicar.$ -44 & ndash (-33a) $
Simplificar.$ -44 + 33a $

En el siguiente ejemplo, mostraremos cómo usar la propiedad distributiva para encontrar el opuesto de una expresión.

Ejemplo 10

$ - (y + 5) $
Multiplicar por $ -1 $ da como resultado lo contrario.$ -1 (y + 5) $
Distribuir.$ -1 cdot y + (-1) cdot 5 $
Simplificar.$ -y + (-5) $
Simplificar.$ -y-5 $

Habrá ocasiones en las que necesitemos utilizar la propiedad distributiva como parte del orden de las operaciones. Empiece por mirar los paréntesis. Si la expresión entre paréntesis no se puede simplificar, el siguiente paso sería multiplicar usando la propiedad distributiva, que elimina los paréntesis. Los siguientes dos ejemplos ilustrarán esto.

Ejemplo 11

Seguimos el orden de operaciones. La multiplicación viene antes que la resta, entonces distribuiremos los $ 2 $ primero y luego restaremos.

$ 8-2 (x + 3) $
Distribuir.$ 8-2 cdot x & ndash 2 cdot 3 $
Multiplicar.$ 8-2x-6 $
Combina términos semejantes.$ -2x + 2 $

Ejemplo 12

$ 4 (x-8) - (x + 3) $
Distribuir.$ 4x-32-x-3 $
Combina términos semejantes.$ 3x-35 $

Todas las propiedades de los números reales que hemos utilizado en este capítulo se resumen aquí.

Propiedad conmutativa

Al sumar o multiplicar, cambiar el pedido da el mismo resultado

de adiciónSi $ a $ y $ b $ son números reales, entonces$ a + b = b + a $
de multiplicaciónSi $ a $ y $ b $ son números reales, entonces$ a cdot b = b cdot a $

Propiedad asociativa
Al sumar o multiplicar, cambiar el agrupamiento da el mismo resultado.


Tratar puntos en el plano como números

    La "suma" de puntos se describe más simplemente como Suma de vectores. Un vector puede ser representado por un segmento de línea dirigido. Dos vectores se consideran iguales si apuntan en la misma dirección y tienen la misma longitud. (Ver diagrama). Podemos cambiar la representación de un vector moviéndolo (es decir, "trasladándolo") a una nueva posición paralela a la posición original.

Para sumar dos vectores V1 y V2, representarlos con segmentos de línea dirigidos de modo que el final inicial de V2 se encuentra en el extremo terminal de V1. Por lo tanto, las flechas en el diagrama forman un camino: comience en el final inicial de V1, diríjase a su extremo terminal, luego gire una esquina y siga V2 desde su extremo inicial hasta su extremo terminal. La suma, o resultante, V1+ V2, es el viaje que va desde el final inicial de V1 hasta el extremo terminal de V2. Esa suma está representada por un solo segmento de línea dirigido, el tercer lado punteado del triángulo.

Para representar vectores con el sistema de coordenadas cartesiano, dibuje un vector V de modo que su extremo inicial esté en el origen (0,0). Luego, las coordenadas de la ubicación de su extremo terminal se utilizan como coordenadas del vector. (Ver diagrama).

Si usamos ese sistema de coordenadas, entonces la fórmula para la suma de vectores es muy simple: La primera coordenada de V1+ V2 es la suma de las primeras coordenadas de V1 y V2, y la segunda coordenada de V1+ V2 es la suma de las segundas coordenadas de V1 y V2. Es decir,

Si p1 tiene coordenadas polares & ltr11& gt y P2 tiene coordenadas polares & ltr22& gt, entonces
el producto P1PAG2 se define como el punto con coordenadas polares & ltr1r2, θ12& gt.

Dado que (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) y (a, 0) & # 215 (c, 0) = (ac, 0), los puntos a lo largo del eje horizontal tienen una aritmética al igual que los números "ordinarios", escribiremos (a, 0) más brevemente como a. Por ejemplo, (5,0) se escribirá como 5. Los puntos a lo largo del eje vertical también tienen una notación más corta: el punto (0, b) se escribirá más brevemente como bi, por ejemplo, (0,5) será escrito como 5i. La i significa "imaginario", por las razones que se explican a continuación.

Ejercicios importantes. Usando la fórmula (a, b) & # 215 (c, d) = (ac & # 8722bd, ad + bc) o la definición en términos de coordenadas polares, el principiante ahora debería verificar que yo 2 = & # 87221. Eso será importante en la discusión a continuación.

Aquí están las respuestas a esos dos ejercicios: Usando el sistema de coordenadas cartesianas, calculamos = = = O, usando coordenadas polares: El número i tiene radio 1 y ángulo Por lo tanto, el número tiene radio y ángulo, el número complejo con esas coordenadas polares es & # 87221.

¿Qué tienen de "real" los números reales?

Todos sabemos que en realidad no existe ningún "número" p que pueda satisfacer la ecuación p 2 = & # 87221. Tal "número" sólo puede existir en nuestra imaginación. Pero si de alguna manera existiera, ¿qué tipo de reglas aritméticas tendría que seguir?

Hay que admirar el genio de los matemáticos del siglo XVI: ¡trabajaron correctamente las reglas aritméticas de los números complejos a pesar de su falta del modelo geométrico simple que calcularon con "números" en cuya existencia ni siquiera creían!

Sin embargo, su terminología fue desafortunada. No hay nada ficticio o onírico en las rotaciones de los motores, pero el nombre se quedó. Los puntos en el eje vertical ahora se llaman números imaginarios, a pesar de que tienen aplicaciones muy tangibles. Los puntos en el eje horizontal se denominan (por el contrario) numeros reales. Todos los puntos del plano se llaman números complejos, porque son más complicados, tienen tanto una parte real como una imaginaria.

Así termina nuestro relato sobre el origen del nombre "número real". Pero apenas hemos comenzado a investigar las propiedades matemáticas asociadas con ese nombre.


Ecuación reescrita

Para cualquier número real a y B, a + B = B + a.

La resta no es conmutativa. Por ejemplo, 4 - 7 no tiene la misma diferencia que 7 - 4. El signo - aquí significa resta.

Sin embargo, recuerde que 4 - 7 se puede reescribir como 4 + (- 7), ya que restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Aplicando aquí la propiedad conmutativa para la suma, puedes decir que 4 + (- 7) es lo mismo que (- 7) + 4. Observa cómo esta expresión es muy diferente de 7 - 4.

Ahora mira algunos ejemplos de multiplicación.

Propiedad conmutativa de la multiplicación

Para cualquier número real a y B, a · B = B · a.

El orden no importa siempre que las dos cantidades se multipliquen juntas. Esta propiedad funciona para números reales y para variables que representan números reales.

Así como la resta no es conmutativa, tampoco la división es conmutativa. 4 ÷ 2 no tiene el mismo cociente que 2 ÷ 4.

Escribe la expresión (15.5) + 35.5 de una manera diferente, usando la propiedad conmutativa de la suma, y ​​demuestre que ambas expresiones dan como resultado la misma respuesta.

Usando la propiedad conmutativa, puede cambiar el - 15.5 y el 35.5 para que estén en un orden diferente.

Sumar 35,5 y - 15,5 es lo mismo que restar 15,5 de 35,5. La suma es 20.

Respuesta (- 15,5) + 35,5 = 20 y 35,5 + (- 15,5) = 20

Reescribir 52 • y de una manera diferente, usando la propiedad conmutativa de la multiplicación. Tenga en cuenta que y representa un número real.

Incorrecto. No puede cambiar un dígito de 52 y adjuntarlo a la variable y. La respuesta correcta es y • 52.

Incorrecto. Esta es otra forma de reescribir 52 • y, pero no se ha utilizado la propiedad conmutativa. La respuesta correcta es y • 52.

Incorrecto. No es necesario factorizar 52 en 26 · 2. La respuesta correcta es y • 52.

Correcto. El orden de los factores se invierte.

Las propiedades asociativas de la suma y la multiplicación

La propiedad asociativa de la suma establece que los números en una expresión de suma se pueden agrupar de diferentes formas sin cambiar la suma. Puede recordar el significado de la propiedad asociativa si recuerda que cuando asociar con familiares, amigos y compañeros de trabajo, terminas formando grupos con ellos.

A continuación, se muestran dos formas de simplificar el mismo problema de suma. En el primer ejemplo, 4 se agrupa con 5 y 4 + 5 = 9.

Aquí, el mismo problema se resuelve agrupando primero 5 y 6, 5 + 6 = 11.

En ambos casos, la suma es la misma. Esto ilustra que al cambiar la agrupación de números al sumar se obtiene la misma suma.

Los matemáticos a menudo usan paréntesis para indicar qué operación debe realizarse primero en una ecuación algebraica. Los problemas de suma de arriba se reescriben aquí, esta vez usando paréntesis para indicar la agrupación asociativa.

Está claro que los paréntesis no afectan la suma, la suma es la misma independientemente de dónde se coloquen los paréntesis.

Propiedad asociativa de la suma

Para cualquier número real a, B, y C, (a + B) + C = a + (B + C).

El siguiente ejemplo muestra cómo se puede usar la propiedad asociativa para simplificar expresiones con números reales.

Reescribe 7 + 2 + 8.5 - 3.5 de dos formas diferentes usando la propiedad asociativa de la suma. Muestre que las expresiones dan la misma respuesta.

La propiedad asociativa no se aplica a las expresiones que implican una resta. Entonces, vuelva a escribir la expresión como suma de un número negativo.

Agrupe 7 y 2, y súmelos. Luego, agregue 8.5 a esa suma. Finalmente, sume - 3.5, que es lo mismo que restar 3.5.

Resta 3.5. La suma es 14.

Agrupe 8.5 y –3.5, y súmelos para obtener 5. Luego sume 7 y 2, y sume esa suma al 5.

Respuesta (7 + 2) + 8.5 – 3.5 = 14 y 7 + 2 + (8.5 + (−3.5)) = 14

La multiplicación tiene una propiedad asociativa que funciona exactamente igual que la de la suma. La propiedad asociativa de la multiplicación establece que los números en una expresión de multiplicación se pueden reagrupar usando paréntesis. Por ejemplo, la siguiente expresión se puede reescribir de dos formas diferentes utilizando la propiedad asociativa.

Los paréntesis no afectan al producto, el producto es el mismo independientemente de dónde estén los paréntesis.

Propiedad asociativa de la multiplicación

Para cualquier número real a, B, y C, (aB) • C = a • (BC).

Reescribe usando solo la propiedad asociativa.

Correcto. Aquí, los números se reagrupan. Ahora y están agrupados entre paréntesis en lugar de y 6.

Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribe la expresión usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Como son agrupado debe cambiar. La respuesta correcta es .

Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribe la expresión usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Solo como son agrupado debe cambiar. La respuesta correcta es .

Incorrecto. Multiplicar entre paréntesis no es una aplicación de la propiedad. La respuesta correcta es .

Usando las propiedades asociativas y conmutativas

Descubrirá que las propiedades asociativas y conmutativas son herramientas útiles en álgebra, especialmente cuando evalúa expresiones. Con las propiedades conmutativas y asociativas, puede reordenar los términos de una expresión para que los números compatibles estén uno al lado del otro y agrupados. Los números compatibles son números que le resultan fáciles de calcular, como 5 + 5, o 3 · 10, o 12 - 2, o 100 ÷ 20. (El criterio principal para los números compatibles es que “funcionen bien” juntos). Los dos ejemplos siguientes muestran cómo se hace esto.

Evalúa la expresión 4 · (X · 27) cuando .

Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para reagrupar los factores de modo que 4 y estén uno al lado del otro. Multiplicar 4 por primero hace que la expresión sea un poco más fácil de evaluar que multiplicar por 27.

Multiplicar. 4 veces = −3 y −3 veces 27 es −81.

Simplifica: 4 + 12 + 3 + 4-8.

Identifica números compatibles. 4 + 4 es 8 y hay un presente de −8. Recuerda que puedes pensar en - 8 como + (−8). Usa la propiedad conmutativa de la suma para agruparlos.

Utilice la propiedad asociativa para agrupar 4 + 4 + (−8).

Suma el resto de los términos.

Respuesta 4 + 12 + 3 + 4 – 8 = 15

Simplifica la expresión: −5 + 25-15 + 2 + 8

Incorrecto. Cuando use la propiedad conmutativa para reorganizar los sumandos, asegúrese de que los sumandos negativos tengan sus signos negativos. La respuesta correcta es 15.

Correcto. Use la propiedad conmutativa para reorganizar la expresión de modo que los números compatibles estén uno al lado del otro y luego use la propiedad asociativa para agruparlos.

Incorrecto. Verifique su suma y resta, y piense en el orden en el que está sumando estos números. Utilice la propiedad conmutativa para reorganizar los sumandos de modo que los números compatibles estén uno al lado del otro. La respuesta correcta es 15.

Incorrecto. Parece que ignoró los signos negativos aquí. Cuando utilice la propiedad conmutativa para reorganizar los sumandos, asegúrese de que los sumandos negativos tengan sus signos negativos. La respuesta correcta es 15.

La propiedad distributiva

La propiedad distributiva de la multiplicación es una propiedad muy útil que le permite reescribir expresiones en las que está multiplicando un número por una suma o diferencia. La propiedad establece que el producto de una suma o diferencia, como 6 (5 - 2), es igual a la suma o diferencia de productos, en este caso, 6 (5) - 6 (2).

La propiedad distributiva de la multiplicación se puede utilizar cuando multiplicas un número por una suma. Por ejemplo, suponga que desea multiplicar 3 por la suma de 10 + 2.

De acuerdo con esta propiedad, puede sumar los números 10 y 2 primero y luego multiplicar por 3, como se muestra aquí: 3 (10 + 2) = 3 (12) = 36. Alternativamente, primero puede multiplicar cada sumando por el 3 (esto se llama distribuido el 3), y luego puede agregar los productos. Este proceso se muestra aquí.

Los productos son los mismos.

Dado que la multiplicación es conmutativa, puede usar la propiedad distributiva independientemente del orden de los factores.

Las propiedades distributivas

Para cualquier número real a, B, y C:

La multiplicación se distribuye sobre la suma: a(B + C) = ab + C.A

La multiplicación se distribuye sobre la resta: a(BC) = abC.A

Reescribe la expresión 10 (9 - 6) usando la propiedad distributiva.

Incorrecto. Dado que la resta no es conmutativa, no puede cambiar el orden. La respuesta correcta es 10 (9) - 10 (6).

Incorrecto. Esta es una forma correcta de encontrar la respuesta. Pero la pregunta le pedía que reescribiera el problema usando la propiedad distributiva. La respuesta correcta es 10 (9) - 10 (6).

Incorrecto. Cambió el orden del 6 y el 9. Tenga en cuenta que la resta no es conmutativa y no usó la propiedad distributiva. La respuesta correcta es 10 (9) - 10 (6).

Correcto. El 10 está distribuido correctamente para que se utilice para multiplicar el 9 y el 6 por separado.

Distribuir con variables

Siempre que las variables representen números reales, la propiedad distributiva se puede usar con variables. La propiedad distributiva es importante en álgebra y, a menudo, verá expresiones como esta: 3 (X - 5). Si se le pide que expanda esta expresión, puede aplicar la propiedad distributiva tal como lo haría si estuviera trabajando con números enteros.

3 (X – 5 ) = 3(X) – 3(5) = 3X – 15

Recuerde, cuando multiplica un número y una variable, puede escribirlos uno al lado del otro para expresar la cantidad multiplicada. Entonces, la expresión "tres veces la variable X”Se puede escribir de varias formas: 3X, 3(X), o 3 · X.

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 9 (4 + X).

Distribuye el 9 y multiplica.

Respuesta 9(4 + X) = 36 + 9X

Usa la propiedad distributiva para evaluar la expresión 5 (2X - 3) cuando X = 2.

Sustituye 2 por Xy evaluar.

Respuesta Cuándo X = 2, 5(2X – 3) = 5.

En el ejemplo anterior, ¿qué crees que pasaría si sustituyeras X = 2 antes de distribuir el 5? ¿Obtendría la misma respuesta de 5? El siguiente ejemplo muestra lo que sucedería.

Use the distributive property to evaluate the expression 5(2X – 3) when X = 2.

Respuesta Cuándo X = 2, 5(2X – 3) = 5.

The distributive property can also help you understand a fundamental idea in algebra: that quantities such as 3X and 12X can be added and subtracted in the same way as the numbers 3 and 12. Let’s look at one example and see how it can be done.

Add: 3X + 12X.

3X is 3 times X, and 12X is 12 times X.

From studying the distributive property (and also using the commutative property), you know that X(3 + 12) is the same as

Combine the terms within the parentheses:

Respuesta 3X + 12X = 15X

Do you see what happened? By thinking of the X as a distributed quantity, you can see that 3X + 12X = 15X. (If you’re not sure about this, try substituting any number for X in this expression…you will find that it holds true!)

Groups of terms that consist of a coefficient multiplied by the same variable are called “like terms”. The table below shows some different groups of like terms:

3X, 7X, −8X, −0.5X

−1.1y, −4y, −8y

12t, 25t, 100t, 1t

4ab, −8ab, 2ab

Whenever you see like terms in an algebraic expression or equation, you can add or subtract them just like you would add or subtract real numbers. So, for example,

10y + 12y = 22y, and 8X – 3X – 2X = 3X.

Be careful not to combine terms that do not have the same variable: 4X + 2y is not 6xy!

Simplify: 10y + 5y + 9X – 6XX.

10y + 5y + 9X – 6XX

There are like terms in this expression, since they all consist of a coefficient multiplied by the variable X o y. Note that – X is the same as (−1)X.

Add like terms. 10y + 5y = 15y, y

9X – 6XX = 2x.

Respuesta 10y + 5y + 9X – 6XX = 15y + 2x

Simplify: 12XX + 2X – 8x.

Incorrect. It looks like you added all of the terms. Notice that −x and −8x are negative. The correct answer is 5X.

Incorrect. You combined the integers correctly, but remember to include the variable too! The correct answer is 5X.

Correct. When you combine these like terms, you end up with a sum of 5X.

Incorrect. It looks like you subtracted all of the terms from 12X. Notice that −x and −8x are negative, but that 2X is positive. The correct answer is 5X.

The commutative, associative, and distributive properties help you rewrite a complicated algebraic expression into one that is easier to deal with. When you rewrite an expression by a commutative property, you change the order of the numbers being added or multiplied. When you rewrite an expression using an associative property, you group a different pair of numbers together using parentheses. You can use the commutative and associative properties to regroup and reorder any number in an expression as long as the expression is made up entirely of addends or factors (and not a combination of them). The distributive property can be used to rewrite expressions for a variety of purposes. When you are multiplying a number by a sum, you can add and then multiply. You can also multiply each addend first and then add the products together. The same principle applies if you are multiplying a number by a difference.


Number Properties



In this lesson, we will learn three basic number properties (or laws) that apply to arithmetic operations: Commutative Property, Associative Property and Distributive Property.

Summary of Number Properties

The following table gives a summary of the commutative, associative and distributive properties. Scroll down the page for more examples and explanations of the number properties.

Commutative Property

An operation is commutative if a change in the order of the numbers does not change the results. This means the numbers can be swapped.

Numbers can be added in any order.
Por ejemplo:
4 + 5 = 5 + 4
x + y = y + x

Numbers can be multiplied in any order.
Por ejemplo:
5 × 3 = 3 × 5
a × b = b × a

Numbers that are subtracted are NOT commutative.
Por ejemplo:
4 &ndash 5 &ne 5 &ndash 4
x &ndash y &ne y &ndashx

Numbers that are divided are NOT commutative.
Por ejemplo:
4 ÷ 5 &ne 5 ÷ 4
x ÷ y &ne y ÷ x

Associative Property

An operation is associative if a change in grouping does not change the results. This means the parenthesis (or brackets) can be moved.

Numbers that are added can be grouped in any order.
Por ejemplo:
(4 + 5) + 6 = 5 + (4 + 6)
(x + y) + z = x + (y + z)

Numbers that are multiplied can be grouped in any order.
Por ejemplo:
(4 × 5) × 6 = 5 × (4 × 6)
(x × y) × z = x × (y × z)

Numbers that are subtracted are NOT associative.
Por ejemplo:
(4 &ndash 5) &ndash 6 &ne 4 &ndash (5&ndash 6)
x &ndash y) &ndash z &ne x &ndash (y &ndash z)

Numbers that are divided are NOT associative.
Por ejemplo:
(4 ÷ 5) ÷ 6 &ne 4 ÷ (5÷ 6)
(x ÷ y ) ÷ z &ne x ÷ ( y ÷ z)

Distributive Property

Distributive property allows you to remove the parenthesis (or brackets) in an expression. Multiply the value outside the brackets with each of the terms in the brackets.

Por ejemplo:
4(a + b) = 4a + 4b
7(2c &ndash 3d + 5) = 14c &ndash 21d + 35

What happens if you need to multiply (a &ndash 3)(b + 4)?

You do the same thing but with one value at a time.

Multiply a with each term to get a × b + 4 × a = ab + 4a

Then, multiply 3 with each term to get &ldquo &ndash3b &ndash 12&rdquo (take note of the sign operations).

Put the two results together to get &ldquoab + 4a &ndash 3b &ndash 12&rdquo

Therefore, (a &ndash 3)(b + 4) = ab + 4a &ndash 3b &ndash 12

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Properties of Equality

The following are the properties of equality for real numbers . Some textbooks list just a few of them, others list them all. These are the logical rules which allow you to balance, manipulate, and solve equations.

For all real numbers x , x = x .

For all real numbers x &thinsp &thinsp and &thinsp y ,

Order of equality does not matter.

For all real numbers x , y , &thinsp &thinsp and &thinsp z ,

if x = y and y = z , then x = z .

Two numbers equal to the same number are equal to each other.

For all real numbers x , y , &thinsp &thinsp and &thinsp z ,

For all real numbers x , y , &thinsp &thinsp and &thinsp z ,

For all real numbers x , y , &thinsp &thinsp and &thinsp z ,

For all real numbers x , y , &thinsp &thinsp and &thinsp z ,

For all real numbers x &thinsp &thinsp and &thinsp y ,

if x = y , then y can be substituted for x in any expression.

For all real numbers x , y , &thinsp &thinsp and &thinsp z ,

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3: Additional Properties of Real Numbers - Mathematics

There are four mathematical properties which involve addition. The properties are the commutative, associative, identity and distributive properties.

Commutative Property: When two numbers are added, the sum is the same regardless of the order of the addends.

To remember the commutative property, it might be helpful to think about the word commute which means to switch places between home and work (or home and school). In the example above, you can see the 4 and the 2 commuting or switching places.

Associative Property: When three or more numbers are added, the sum is the same regardless of the grouping of the addends.

For example (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

To remember the associative property, it might be helpful to think about the word associate, which as a verb means to interact with a group (maybe you associate with a certain group of friends!). The parentheses are grouping operators, that is, they form groups of numbers and operations. You can see in the example above, the 3 can associate with either the 2 or the 4, but the value of each side is still a total of 9.

Identity Property: The sum of any number and zero is the original number.

To remember the identity property, it might be helpful to think of it as a question and answer: What number can I add so that the value is not changed? Zero. In the example above, the 5 gets to keep its identity because adding zero does not change its value.

Distributive Property: The sum of two numbers times a third number is equal to the sum of each addend times the third number.

For example 4 * (6 + 3) = 4*6 + 4*3

The distributive property is the only property that combines multiplication and addition. That makes it very important!