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Aritmética de enteros gaussianos


El trabajo del matemático alemán Carl F. Gauss es universal. Gauss produjo con facilidad en todas las ramas de las matemáticas. Incluso hizo importantes contribuciones en astronomía, desarrollando un método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes a partir de un pequeño número de observaciones. Hasta el día de hoy, este método se utiliza para rastrear órbitas satelitales. Sin embargo, el placer que sentí por la investigación en aritmética es notorio. Su monumental obra "Disquisitiones Arithmeticae" sentó las bases de la moderna teoría de los números.

En 1825, publicó un artículo presentando números complejos de la siguiente manera. el + byodonde el y b son enteros y yo = (-1)1/2. Este conjunto está indicado por Zyo y se llama Gaussian Integers o conjunto de Gaussian Integers en honor de su creador.

Gauss investigó cuestiones relacionadas con la reciprocidad bikadratica, es decir, las relaciones entre números primos p y que, tal que el primo que eran primos el resto de primos p, x4 = que(mod p)cuando se dio cuenta de que la investigación se estaba volviendo más simple al trabajar en Zyo. Así Gauss extendió la idea de entero al definir Zyoporque descubrió que gran parte de la antigua teoría de la factorización de enteros de Euclides podría trasladarse a este conjunto con importantes consecuencias para la teoría de números.

Esta generalización del conjunto de números enteros ofrece ejemplos especiales de desarrollos mucho más profundos que llamamos la teoría de números algebraicos. Esta teoría es profunda y poderosa. Además de su interés y fascinación por sus propias propiedades, proporciona muchas aplicaciones a la teoría de números que permiten comprender varios fenómenos previamente oscuros y misteriosos. Por ejemplo, consideramos irracionalidades algebraicas mucho más generales, es decir, raíces de ecuaciones algebraicas de todos los grados que están más allá de las irracionalidades cuadráticas.

Analicemos algunas de las propiedades aritméticas de los enteros gaussianos. Primero, observamos que Zyo es un subconjunto de C, el conjunto de números complejos. Por lo tanto, considere el conjunto Zyo con las operaciones de suma y multiplicación heredadas de C. Es decir, si z1 = el + yob y z 2 = el + yob entonces

z 1 + z 2 = (el + c) + yo(b + d)

y

z 1 . z 2 = (el + c) + yo(b + d).

El elemento neutral de la adición es 0 = 0 + 0yo, el elemento neutral de la multiplicación es 1 = 1 + 0yo y finalmente -1 = -1 + 0yo. Todas las demás propiedades, como la suma y la multiplicación asociativas, la suma y la multiplicación conmutativas, distributivas, se heredan de C. Tenga en cuenta que para cada número entero no tenemos la identificación no = no + 0yo, o todavía, no = no. Por lo tanto 0 = 0, ±1 = ±1, ±2 = ±2,…

Los problemas de divisibilidad se vuelven complejos en este conjunto. Tenga en cuenta que el número entero 5 es primo en Z. Sin embargo, en Zyo tenemos

(1 + 2yo).(1 - 2yo) = 1 - 2<>

yo + 2yo - 4yo2 = 1 - 4(-1) = 5.

Como no todos los primos enteros son primos gaussianos, surgen naturalmente algunas preguntas: ¿Cuáles son los números primos de este anillo? ¿Hay infinitos primos gaussianos? ¿Es posible descomponer los enteros gaussianos en factores primos de una sola manera a menos que sea por el orden?

Para comentar sobre estos temas, que implican la noción de divisibilidad en Zyo, necesitamos definir qué es la divisibilidad en Zyo.

Supongamos que x y y son enteros gaussianos distintos, donde y ¹ 0. Decimos que y dividir x, y lo indicamos por y çxsi hay un entero gaussiano w tal que x = wy. Por ejemplo,

(1 + yo) ç2, porque 2 = (1 + yo)(1 - yo)

y

(1 + yo) ç(1 - yo) porque 1 + yo = yo(1 - yo).

Ahora note que 1 + 2yo no dividas 1 - yo. De lo contrario tendríamos 1 + 2yo = (c + dyo)(1 - yo) donde c y d pertenecemos a Z. Tenemos 1 + 2yo = c + d + (d - c)yo, o sea, c + d = 1 y d - c = 2 igual, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria. Sumando las dos ecuaciones anteriores obtenemos 2d = 3. Sin embargo, d Es un entero!

Será la definición de divisibilidad en Zyo compatible con la definición de divisibilidad en Z? Queremos saber, por ejemplo, si es posible 3 dividir 7 en Zyo. La respuesta no podría ser más significativa:

hay compatibilidad entre la definición de divisibilidad

dado para enteros gaussianos en relación con la definición dada para los enteros.

De hecho, supongamos que x y y, y ¹ 0, son elementos de Z tales que y çx en Zyo. Entonces hay w = c + dyo en Zyo tal que x = wy, o sea, x = (c + dyo)y = cy + dyyo. Pronto x = cy y 0 = dy. Como y ¹ 0, 0 = dy implica que d = 0 y por lo tanto w = c Es un entero! Por lo tanto x = wy = cy. Concluimos que si y çx en Zyoentonces y çx en Z.

Sabemos que 1 y -1 dividen todos los enteros. Del mismo modo, se muestra que ± 1 y ± yo divide todos los enteros gaussianos. Por lo tanto, ± 1 y ± yo se llaman unidades de enteros gaussianos. Si w es una unidad de los enteros gaussianos y x y y son enteros gaussianos tales que x = wyentonces decimos que x y y son elementos asociados Tenga en cuenta que, 1 + yo y 1 - yo son elementos asociados porque 1 + yo = yo (1 - yo).

Ahora podemos definir primos gaussianos: un entero gaussiano x es un primo gaussiano si los únicos divisores de x son sus asociados y las unidades de Zyo. Por ejemplo, el entero 2 no un primo en Zyoporque

<>

yo(1 - <>

yo)2 = yo(1 - 2yo + yo2) = yo(-2yo) = -2yo2 = <>

2.

Como se señaló anteriormente, hay muchas propiedades que los enteros gaussianos y los enteros tienen en común. Sabemos por columnas anteriores que hay enteros primos infinitos de la forma 4k + 3. A su vez, se muestra que cada entero primo de la forma 4k ¡+ 3 es una prima gaussiana! Así que hay infinitos primos gaussianos. Se muestra que los primos gaussianos son precisamente:

Todo el gaussiano 1+ yo y sus asociados; los enteros primos de la forma 4k + 3 y sus miembros; y los números para ± byodonde el2 + b2 es un entero primo de la forma 4k +1,

y sus asociados.

Observamos que los asociados de un entero gaussiano x se obtienen multiplicando x por ± 1 o ± yo.

Si p = 3 entonces p = 3 = 4.0 + 3; pronto todo el gaussiano 3 Es un primo gaussiano. Si p = 5entonces p = 5 = 4.1 + 1 implica que 2 + yo y 2 - yo y sus asociados son primos gaussianos.

Como todos los enteros primos o es de forma 4k + 1 o forma 4k + 3, concluimos que hay dos primos gaussianos correspondientes a cada entero primo de la forma 4k + 1, y un primo gaussiano que corresponde a cada entero primo de la forma 4k + 3. Por lo tanto, cada primo gaussiano es un factor de un único entero primo. A menudo decimos que los primos de la forma 4k + 3 siguen siendo primos en Zyoque los primos de la forma 4k + 1 descomponer en Zyo, es que 2 = -yo(1 + yo) se ramifica en Zyo.

Hemos observado que hasta ahora no tenemos elementos para comparar enteros gaussianos por la conocida relación de orden "<". Supongamos que esta definición se puede extender a los enteros gaussianos. Sabemos que sea cual sea la definición extendida, siempre tendremos que 0 < 1. Como yo ¹ 0, si suponemos yo < 0, tan necesariamente 0 < -yo y por lo tanto 0 < (-yo)2 = -1, lo cual es falso! Por otro lado, si suponemos 0 < yoentonces 0 < yo2 = -1, que también es falso!

Para comparar enteros gaussianos podemos definir una función de regla con dominio en ellos que asume valores en los N naturales. Por lo tanto, definimos N de un entero gaussiano x = el + byopor N(x) = N(el + byo) = el2 + b2. La norma juega un papel importante porque, como sabemos, las desigualdades son fundamentales en el estudio de las propiedades aritméticas y algebraicas de los enteros.

En zyo una división con resto es muy similar a la división euclidiana definida en enteros:

Ser x y y enteros gaussianos, con y ¹ 0. Entonces hay enteros gaussianos w y z

tal que: x = wy + zcon N(z) <N(w).

Entonces la división con resto en Zyo Es algorítmico Este hecho nos permite calcular el máximo común divisor de dos enteros gaussianos no nulos.

Los enteros satisfacen una propiedad muy importante en la teoría de números: la factorización única, es decir, cada entero positivo se expresa de una manera única, a menos que se ordene el factor, como producto de números primos. Los enteros gaussianos también satisfacen esta importante propiedad aritmética, es decir, permiten la descomposición primaria, y esta descomposición es única menos que el orden de los factores.

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